POMIAR, JEGO OPRACOWANIE I INTERPRETACJA

Podobne dokumenty
= (10.1) gdzie: σ - odchylenie standardowe m - wartość średnia (10.2) (10.3) gdzie: p i prawdopodobieństwo wystąpienia wyniku x i

Fizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Matematyka stosowana i metody numeryczne

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

2. Tensometria mechaniczna

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/ Sumy algebraiczne

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE Ib ZAKRES PODSTAWOWY

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

1 Definicja całki oznaczonej

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 Wykład 1

1Coulomb 1Volt. Rys. 1. Schemat kondensatora płaskiego. Jednostką pojemności w układzie SI, jest Farad (F):

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Struktura energetyczna ciał stałych-cd. Fizyka II dla Elektroniki, lato

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014)

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Kodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

SZTUCZNA INTELIGENCJA

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

Wykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Redukcja układów sił działających na bryły sztywne

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Katedra Chemii Fizycznej Uniwersytetu Łódzkiego. Energia aktywacji jodowania acetonu. opracowała dr B. Nowicka, aktualizacja D.

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

3. F jest lewostronnie ciągła

Materiały pomocnicze do ćwiczeń z przedmiotu: Ogrzewnictwo, wentylacja i klimatyzacja II. Klimatyzacja

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. I poziom podstawowy

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Kombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

3. Rozkład macierzy według wartości szczególnych

Wymagania kl. 2. Uczeń:

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych

Całkowanie metodą Monte Carlo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.

Temat: SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

4. RACHUNEK WEKTOROWY

Część 2 7. METODA MIESZANA 1 7. METODA MIESZANA

Całkowanie metodą Monte Carlo

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH

Ruch unoszenia, względny i bezwzględny

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Uproszczone kryteria obciążeń projektowych dla konwencjonalnych bardzo lekkich samolotów A1 Ogólne

Wymagania edukacyjne z matematyki

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Małgorzata Żak. Zapisane w genach. czyli o zastosowaniu matematyki w genetyce

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2

Podstawy układów logicznych

Transkrypt:

POMIAR, JEGO OPRACOWANIE I INTERPRETACJA N wynik kżdego pomiru wpływ duż ilość czynników. Większość z nich jest nieidentyfikowln, sił ich oddziływni zmieni się w sposób przypdkowy. Z tego względu, chociż niemożliwe jest ustlenie prwdziwej wrtości wyniku pomiru, teori pomiru zjmuje się ustlniem zsd prowdzeni pomiru i oprcowywni wyników w sposób zpewnijący ustlenie wrtości mierzonej jk njbrdziej zbliżonej do wrtości rzeczywistej. Pomiry mogą być bezpośrednie i pośrednie. Bezpośredni pomir przeprowdzny jest z pomocą przyrządu przeznczonego do pomiru jednej tylko wielkości, ntomist pomir pośredni poleg n pomirch kilku wielkości i zstosowniu odpowiedniej formuły mtemtycznej do obliczeni wyniku. 10.1. Pomiry bezpośrednie O dokłdności wyniku decydują czynniki tkie jk: jkość przyrządu, ilość powtrznych pomirów, wrunki pomiru, tkże - w dużym stopniu - umiejętności osoby przeprowdzjącej pomir. Istotne jest tkże, by wyeliminowć tzw. błąd systemtyczny; dltego przyrząd musi być poprwnie wyjustowny (np. w Urzędzie Mir i Wg). Zkłd się, że jeżeli n wrtość wyniku pomiru wpływ duż ilość nieidentyfikowlnych czynników, rozkłd wrtości wyniku zbliżony jest do centrlnej części tzw. rozkłdu Guss wyrżonego funkcją 10.1. gdzie: σ - odchylenie stndrdowe m - wrtość średni f ( x m 1 σ ( x) e σ π σ m i 1 n gdzie: p i prwdopodobieństwo wystąpieni wyniku x i n i p p i x i ) (10.1) 1 (10.) i x i m (10.3) Mksimum rozkłdu możn utożsmić ze średnią z wielokrotnie powtrznych pomirów, odchylenie stndrdowe z szerokości rozkłdu n poziomie około 0,6 jego mksymlnej wrtości (rys. 10.1). Rys. 10.1 Rozkłd Guss.

Funkcj Guss jest gęstością prwdopodobieństw wrtości wyniku pomiru. Funkcj pozwl obliczyć prwdopodobieństwo P(x 1, x ), że wynik zwier się w określonym przedzile x 1 x : P( x1, x ) x f ( x) dx x (10.4) Prwdopodobieństwo że wynik pomiru znjdzie się w przedzile [m-σ; m+σ] wynosi 69,5 % (zkreskowny obszr n wykresie) Prwdopodobieństwo że wynik pomiru znjdzie się w przedzile [m-σ; m+σ] wynosi 95,7 % Prwdopodobieństwo że wynik pomiru znjdzie się w przedzile [m-3σ; m+3σ] wynosi 99,6 % Odchylenie stndrdowe przyjmuje się często jko wskźnik błędu bezwzględnego. Znczenie prktyczne funkcji Guss poz przedziłem [m-3σ; m+3σ] jest nieistotne, poniewż prwdopodobieństwo wyniku poz tym przedziłem jest znikome - mniejsze od 0,4 %. Powyższe rozwżni dotyczą wyniku pojedynczego pomiru. Możn tkże ustlić funkcję opisującą rozkłd dl średniej z określonej ilości pomirów. Odchylenie stndrdowe tkiego rozkłdu estymuje się inczej... (zgdnieni dotyczące przypdkowości bdne są w obrębie dziedziny sttystyki). 10.. Pomiry pośrednie Pomiry pośrednie prowdzi się w jk njszerszym zkresie wrunków pomiru, przy czym wrunki te nie mogą wykrczć poz rmy stosowlności określonej formuły mtemtycznej wynikjącej z przyjętej teorii. Kontrol stosowlności teorii jest stosunkowo łtw, jeżeli zleżność teoretyczn może być zlineryzown. Tkie włśnie przypdki wykorzystuje się w dydktyce fizyki. Lineryzcj jest możliw np. przy wyznczniu ntężeni pol grwitcyjnego z wykorzystniem idei whdł mtemtycznego, lbo w wyznczniu ntężeni źródł świtł metodą Lmbert, wyznczniu współczynnik tłumieni kmertonu, czy wyznczniu ciepł prowni (rys. 10..). W przykłdch pokznych n rys. 10. współczynnik kierunkowy prostej (nie tngens kąt nchyleni!!!) stnowi szukną wielkość. Podczs wykreślni prostej trzeb kierowć się zsdą, by przebiegł on jk njbliżej punktów pomirowych; le uwzględnimy tylko punkty ukłdjące się wzdłuż prostej, czyli w przedzile stosowlności teorii. () (b) (c) (d) Rys. 10. Przykłdy wyznczni wielkości fizycznych: () ntężeni pol grwitcyjnego g, (b) ntężeni źródł świtł I, (c) współczynnik tłumieni drgń β, (d) ciepł prowni q.

N rys. 10. możn zuwżyć, iż n osich odłożone bywją nie tylko pojedyncze wielkości le tkże cłe wyrżeni lgebriczne. Istotne jest, by prwidłowo określić przedziły ich nieokreśloności (błędy bezwzględne). Jeżeli wyrżenie jest funkcją tylko jednej zmiennej, wtedy nieokreśloność zmiennej niezleżnej przenosi się funkcyjnie n nieokreśloność zmiennej zleżnej (rys. 10.3). Ntomist w przypdkch gdy zmienn zleżn jest funkcją kilku zmiennych, jej nieokreśloność oszcowywn jest metodą różniczki zupełnej (rys. 10.4). Rys. 10.3. Nieokreśloność wyrżeni Yf(X) wyznczni sposobem podstwowym. Rys. 10.4. Nieokreśloność wyrżeni Yf(X) wyznczn metodą różniczki. Przykłd różniczki funkcji dwóch i więcej zmiennych - tzw. różniczk zupełn: f (, l ) + l (10.5) l df (, l) d + dl d + dl Przykłd obliczni błędu bezwzględnego metodą różniczki zupełnej dl (10.6) f (, l) + l l gdzie: niepewność (uchyb) pomiru wielkości l niepewność (uchyb) pomiru wielkości l + l l (10.7) Przykłd obliczni błędu względnego metodą różniczki zupełnej f f + b l (10.8) Przy brku możliwości zminy wrunków pomirów, czyli gdy pomir musi być jednorzowy, wynik musi być podny ntychmist, o jego jkości/użyteczności świdczy błąd względny. N błąd

ów wpływją uchyby poszczególnych pomirów bezpośrednich i zstosown teori (reguł mtemtyczn). Przykłdem może być populrne w dydktycznych prcownich fizyki ćwiczenie polegjące n wyznczniu równowżnik elektrochemicznego miedzi w elektrolizie wodnego roztworu sircznu miedzi. W ćwiczeniu tym korzyst się z prw elektrolizy, czyli ze stwierdzeni, że ilość substncji wydzielonej n elektrodzie jest proporcjonln do łdunku elektrycznego jki przepłynął przez elektrolit. W przypdku gdy ilość wydzielonej substncji wyrżon jest msą m, wówczs współczynnikiem proporcjonlności jest tzw. równowżnik elektrochemiczny k. Zleżność tę wyrż równnie... m k Q Jeżeli przez elektrolit płynie prąd stły, wtedy iloczyn jego ntężeni I i czs przepływu t stnowi przepuszczony łdunek Q. Wyrżenie n równowżnik elektrochemiczny k przyjmuje ztem postć funkcji: wyrżenie n błąd względny: k k (m, I, t, k ( m, I, t) m, I, t) m I t m I t + + m I t (10.9) (10.10) W wyrżeniu 10.10 poszczególne skłdniki informują o błędch, jkie wnoszą poszczególne pomiry (msy, prądu i czsu). Pomir jest poprwnie przygotowny, jeżeli poszczególne skłdniki wnoszą podobne błędy. Błąd względny wyliczony z zleżności 10.10 jest teoretycznym błędem mksymlnym - złożono bowiem, że błędy z poszczególnych pomirów bezpośrednich kumulują się ( w prktyce mogą się częściowo wzjemnie znosić, poniewż jedne wielkości mogą być zmierzone z ndmirem, inne z niedomirem). Jeżeli znn jest tblicow wrtość wyniku Y tbl, możn wyliczyć względny błąd pomirowy δ (...). δ Y Y tbl Y zmierzone tbl (10.11) Oczywiste jest, że błąd względny teoretyczny wyliczony z zleżności 10.10 powinien być większy od względnego błędu pomirowego wyrżonego zleżnością 10.11. Sytucj odwrotn jest dowodem n to, że n błąd wpływją jeszcze czynniki inne, niż uwzględnione przy obliczniu błędu teoretycznego. Jest to dobry sposób n testownie stnowisk pomirowych i systemów kontrolnopomirowych. Rys. 10.5. Rozróżnienie określeń błąd i niepewność.

Oprócz określeni błąd pomirowy spotyk się również określenie niepewność pomirow orz tolerncj. Niepewność pomirow (bezwzględn lub względn) jest njczęściej kojrzon z podwojoną wrtością błędu względnego (rys. 10.5). Tolerncj to jednowyrzowy synonim niepewności pomirowej. 10.. Interpretcj wyników Możn wyróżnić dw nstępujące zsdnicze cele pomirów: wyznczenie wrtości określonej wielkości sprwdzenie teoretycznej zleżności. W pierwszym przypdku rezulttem pomiru jest wynik liczbowy wrz z jego dokłdnością. W drugim opini o stosowlności teoretycznej zleżności. Wyprcownie tej opinii jest łtwe, jeżeli teoretyczn zleżność jest lineryzowln. Przykłdem może być przypdek zilustrowny n rys. 10.6. () (b) Rys. 10.6. Przykłdy wykresów sporządznych w rmch procedury sprwdznie. Jeżeli n wykresie możn poprowdzić prostą przechodzącą przez pol niepewności (rys.10.6) nie m podstw do stwierdzeni odstępstw od teoretycznej zleżności w cłym zkresie wrunków pomiru. Jeżeli w określonym zkresie wrunków pomiru prost wykrcz poz pol niepewności (rys. 10.6b) wtedy formuł nie m podstw do stwierdzeni odstępstw od teoretycznej zleżności odnosi się tylko do przedziłu, w jkim prost przechodzi przez prostokąty. Poz grnicmi tego przedziłem stwierdz się odstępstwo od teoretycznej zleżności. Możn ztem w określonym przedzile zmienności wrunków sformułowć jeden z dwóch nstępujących wniosków: wykryto odstępstwo od teorii; nie m podstw do stwierdzeni odstępstw od teorii. Z formlno-logicznego punktu widzeni nie możn nigdy ze stuprocentową pewnością stwierdzić, że wyniki potwierdzją teorię. Teori jest bowiem wynikiem złożeń idelnych, które w świecie mterilnym nie są możliwe do spełnieni.