1 1.1 Postulat Pierwszy Stan ukłau kwantowomechanicznego opisuje funkcja falowa Ψ(r 1, r 2,..., r N, t) zwana także funkcją stanu taka, że kwarat jej moułu: Ψ 2 = Ψ Ψ pomnożony przez element objętości τ określa prawopoobieństwo, że w chwili t cząstka znajuje się w elemencie objętoęci τ. gzie: W (r 1, r 2,...; t) = Ψ(r 1, r 2,...; t) 2 τ = ρ(r 1, r 2,...; t)τ (1) Ψ(r, t) to funkcja falowa, najczęsciej zespolona, zależna o położenia cząstki i czasu Ψ (r, t) to funkcja falowa sprzężona o Ψ. Jeżeli funkcja Ψ jest funkcją rzeczywistą, to Ψ 2 = Ψ Ψ = Ψ 2. ρ oznacza gęstość prawopoobieństwa ρ = W τ r i to współrzęne (x,y,z) i-tej cząstki τ= V 1 V 2 V N τ = V 1 V 2 V 3 (la jenej cząstki τ = V 1, a la trzech cząstek Funkcje używane w mechanice kwantowej to funkcje porząne (klasy Q - ang. quantum), czyli takie które spełniają warunki: jenoznaczne (jenemu argumentowi opowiaa jena wartość) całkowalne w kwaracie ciągłe Normalizacja funkcji falowej Funkcja jest unormowana gy: Ψ(r 1, r 2,..., t) 2 τ = 1 (2) Całkujemy po całej ostępnej la cząstki przestrzeni (normalizujemy o 1).Tak więc la moelu jenowymiarowego warunek unormowania funkcji falowej możemy zapisać tak: Ψ(x, t) 2 V = 1 (3) 1
1.1 Postulat Pierwszy Całkowite prawopoobieństwo znalezienia cząstki w przestrzeni jenowymiarowej jest równe jeności. Ale co zrobić, jeżeli to prawopoobieństwo nie jest równe 1? Czyli: Ψ(r 1, r 2,..., t) 2 τ = A Opowieź: Należy unormować funkcję falową, czyli znaleźć stałą normalizacyjną. Ψ = 1 A Ψ W jaki sposób wyznacza się stałą normalizacyjną? Przykła Wyznacz stałą normalizacyjną i poaj postać funkcji unormowanej: Ψ = Nexp(imx) la x [0, 2π] Opis sposobu rozwiązania zaania krok po kroku: 1. Zaczynamy o napisania warunku unormowania poanej funkcji falowej: 2π 0 Ne imx 2 x = 1 (4) 2. Pamiętając efinicję kwaratu moułu funkcji falowej ( Ψ 2 = Ψ Ψ): Ne imx 2 = (Ne imx ) Ne imx = oraz, że funkcja sprzężona o Ψ różni sie znakiem części urojonej, (Ne imx ) = Ne imx, a stała normalizacyjna N jest z efinicji rzeczywista: = N 2 e 0 3. Postawiamy powyższy wynik o równania: 2π 0 N 2 e 0 x = 1 4. Wyciągamy stałą normlizacyjną N prze znak całki: 2π N 2 e 0 x = 1 0 2π N 2 1x = 1 0 2
5. Obliczamy N 2 : 6. Obliczamy N: N 2 = N = 1 2π 0 1x 1 2π 0 1x Op. 1.2 Postać funkcji unormowanej: 2 Ψ = 2 exp(imx) la x [0, 2π] π Na koniec można sprawźmy, czy otrzymany wynik jest poprawny. Postawiając stała normalizacyjną N o warunku unormowania funkcji falowej (4), oraz po rozwiązaniu tej całki, powinniśmy otrzymać wartość 1. Każej wielkości mechanicznej zapisanej jako funkcja f współrzęnych i pęów, f(r 1, r 2,..., p 1, p 2,...) przypisujemy operator kwantowomechaniczny ˆF zgonie z następującymi regułami (Joran): Operatorowi skłaowej x (y, z) pęu przyporząkowyjemy opowienio wyrażenia: p xi i x i (5) p yi i y i (6) p zi i z i (7) Operatorem położenia cząstki ˆx jest operator mnożenia funkcji przez x (analogicznie ŷ, ẑ): x i x i (8) y i y i (9) z i z i (10) 3
Definicja operatorów, liniowości i hermitowskości Czym różni się operator o funkcji? Funkcja: x y przyporząkowuje wartości zmiennej niezależnej (liczbie) wartość zmiennej zależnej (liczbę) Operator: f(x) g(x) przyporząkowuje funkcji funkcję: ˆF f(x) = g(x) (11) W wyniku ziałania operatora ˆF na funkcję f(x) otrzymujemy inną funkcję g(x) Operatorem jest np.: operator różniczkowania wzglęem x: ˆF f(x) = x f(x) operator mnożenia funkcji np. przez 5: ˆF f(x) = 5 f(x) Operatory w mechanice kwantowej muszą być liniowe. Operator ˆF jest liniowy, jeżeli la owolnych funkcji porząnych f i g spełnione są jenocześnie warunki: gzie c - owolna stała (najczęściej zespolona) ˆF (f + g) = ˆF f + ˆF g (12) Operatory w mechanice kwantowej są hermitowskie. ˆF (cf) = c ˆF f (13) Operator jest hermitowski jeżeli la owolnych wóch funkcji klasy Q (f, g) spełniony jest warunek: f ˆF gτ = g( ˆF f) τ (14) Przykła Sprawź, czy operator Rozwiązanie: x jest operatorem hermitowskim 1. Zaczynamy o napisania warunku hermitowskości operatorów: f ˆF gτ = g( ˆF f) τ (15) 4
2. Postawiamy w miejsce operatora ˆF, operator x : f (x) x g(x)x = 3. Rozpisujemy lewą stronę równania: L = f (x) x g(x)x = (całkowanie przez części uv = uv vu ): u = f = (x) u = f (x) + x v = g(x) v = g(x) = i f (x)g(x) x = g(x) x f (x)x 4. Rozpisujemy prawą stronę równania (17): P = pamiętając, że ( ) x = x : = g(x) ( ) g(x) x f(x) x (16) ( ) x f(x) x = g(x) x f (x)x + g(x) x f (x)x = 5. Sprawzamy, czy L - lewa strona równania = P - prawej stronie równania: L = P = L P g(x) x f (x)x g(x) x f (x)x Op. NIE. Poany operator nie jest operatorem hermitowskim. Działania na operatorach: a. suma: ( ˆF + Ĝ)f = ˆF f + Ĝf b. iloczyn: ˆF Ĝf = ˆF (Ĝf) c. potęga: ˆF 2 f = ˆF ( ˆF f). owrotność: ˆF = Ĝ 1 ˆF Ĝf = f 5
Konstrukcja operatorów Znając rugi postulat mechaniki kwantowej można konstruować operatory innych zmiennych ynamicznych (znając ich wyrażenie klasyczne) zastępując te zmienne opowienimi operatorami. Aby np. zapisać operator energii kinetycznej elektronu należy: 1. Poać wyrażenie klasyczne: T = p 2 2m = 1 ( p 2 2m x + p 2 y + pz) 2 2. Zastąpić zmienne ynamiczne (p 2 x, p 2 y, p 2 z) opowienimi operatorami (pamiętając, że ( i)( i) = i 2 = 1): ˆp 2 x = ˆp xˆp x = ( i ) x ( i ) x ˆp 2 y = ˆp y ˆp y = ( i ) y ( i ) y ˆp 2 z = ˆp z ˆp z = ( i ) z ( i ) ( z ˆp 2 = ˆp 2 x + ˆp 2 y + ˆp 2 z = 2 2 = 2 2 2 x = 2 2 2 y = 2 2 2 z 2 x + 2 2 y + 2 2 z ) = 2 2 ˆT = 1 2 (ˆp 2m x + ˆp 2 y + ˆp z) 2 2 ( ) 2 = 2m x + 2 2 y + 2 = 2 2 z 2 2m 2 Barzo ważnym operatorem jest operator energii całkowitej - hamiltonian. Jest sumą energii całkowitej i potencjalnej: Ĥ = ˆT + ˆV (17) la jenego wymiaru: Ĥ = 2 + V (x) (18) 2m x2 Komutatory Iloczyn operatorów. ˆF Ĝf = ˆF ( Ĝf ) 6
W przypaku iloczynu wóch operatorów ( ˆF i Ĝ) ważna jest kolejność ziałania tych operatorów. Na ogół iloczyn ten jest nieprzemienny: najpierw operator Ĝ ziała na funkcję f (czyli ten operator który stoi najbliżej funkcji f, po lewej stronie tej funkcji), a opiero na wynik tego ziałania ziała kolejny operator ˆF, Tak więc: ˆF Ĝ Ĝ ˆF Przykła Wyznacz wynik ziałania operatora Ŝ1 = ˆF Ĝ oraz Ŝ2 = Ĝ ˆF na funkcję f(x) jeżeli: ˆF = x, Ĝ = x Ŝ 1 f(x) = ˆF Ĝf(x) = (xf(x)) = 1f(x) + x x x f(x) Ŝ 2 f(x) = Ĝ ˆF f(x) = x x f(x) Ŝ 1 f(x) Ŝ2f(x) = 1f(x) 0 W przykłazie tym wiać, że iloczyn operatorów nie jest przemienny. O takich operatorach mówi się, że nie komutują ze sobą. W przeciwnym przypaku - czyli, gy iloczyn operatorów jest przemienny, operatory komutują ze sobą. Komutatorem operatorów ˆF i Ĝ nazywa się operator ˆK, który wyraża różnicę iloczynów ˆF Ĝ i Ĝ ˆF : ˆK = [ ˆF, Ĝ ] { = f ˆF Ĝ Ĝ ˆF = 0 wtey operatory komutują ze sobą 0 wtey operatory nie komutują ze sobą Operatory są przemienne: ˆF Ĝ = Ĝ ˆF (czyli komutują ze sobą), jeżeli: ˆK = [ ˆF, Ĝ ] = ˆF Ĝ Ĝ ˆF = 0 Własności komutatorów [Â, ˆB + Ĉ ] = [ Â, ˆB ] + [ Â, Ĉ] (19) [Â ˆB, Ĉ ] = Â [ ˆB, Ĉ ] + [ Â, Ĉ] ˆB (20) [Â, ˆBĈ ] = ˆB [ Â, Ĉ] + [ Â, ˆB ] Ĉ (21) [Â, a ˆB] = a [Â, ˆB] (22) [ a Â, a ˆB ] = a 2 [ Â, ˆB ] (23) 7
1.3 Postulat trzeci 1.3 Postulat trzeci Zmiana funkcji falowej Ψ w czasie jest opisana równaniem Schröingera zawierającym czas: ĤΨ = i Ψ (24) t E jest energią całkowitą ukłau. Ĥ Ψ = i Ψ t (25) Ψ(r 1, r 2,..., t) = Ψ(r 1, r 2,..., r N )e i E t (26) Niezależna o czasu wersja równania Schröingera: jest zaanieniem własnym hamiltonianu, gzie: - Ψ jest funkcją falową stanu stacjonarnego, - E jest energią tego stanu. Stany stacjonarne: - hamiltonian nie zależy o czasu lub (równoważnie) - gęstość prawopoobieństwa nie zależy o czasu 1.4 Postulat czwarty ĤΨ = EΨ (27) Ogólnie równanie własne operatora ˆF zapiszemy w postaci: f i - wartość własna ˆF Φ i = f i Φ i (28) Φ i - funkcja własna. (operator) ziała na (funkcję własną) = (wartość własna) (ta sama funkcja własna) Wynikiem pomiaru wielkości ˆF może być tylko jena z wartości własnych operatora ˆF. Jeżeli Φ i jest funkcją stanu ukłau to zmienna ˆF ma w tym stanie okłanie wartość f i. 8
1.4 Postulat czwarty Jenoczesna mierzalność wielkości fizycznych: Kiey wie wielkości fizyczne (obserwable), którym opowiaają operatory ˆF i Ĝ sa równocześnie okłanie mierzalne? Z postulatu IV wynika, że ostro można określić wartość wielkości F, gy funkcja stanu Ψ jest funkcją własną operatora ˆF. Zatem jeśli wie wielkości F i G mają być równocześnie ostro mierzalne to funkcja Ψ winna być funkcją własną obu operatorów ˆF i Ĝ. Równanie Schröingera: ĤΨ = EΨ jest równaniem własnym hamiltonianu. W równianiu tym wartością własną jest energia (E), a funkcja Ψ to funkcja własna operatora Hamiltona. Wartości własne operatorów hermitowskich (a takim jest operator Hamiltona) są rzeczywiste. Przykłay 1. Sprawź, czy funkcja e ax jest funkcją własną operatora x? Rozwiązanie: Działamy operatorem na funkcję i sprawzamy, czy wynik jest iloczynem stałego czynnika i wyjściowej funkcji, pamiętając, że równanie własne można zapisać: operator * funkcja = (wartość własna) * (ta sama funkcja) x eax = teraz musimy zaziałać operatorem na funkcję, czyli policzyć pochoną z poanej funkcji: = ae ax Op. TAK. Funkcja e ax jest funkcją własną operatora, a wartość własna x tego operatora wynosi a. 2. Sprawź, czy funkcja e ax2 jest funkcją własną operatora x? Rozwiązanie: x eax2 = 2axe ax2 Op. NIE. W wyniku ziałania operatora na funkcję eax2 otrzymujemy x tę samą funkcję, ale jest ona mnożona przez inną funkcję x (i przez czynnik stały 2a). 9
1.5 Postulat piąty 1.5 Postulat piąty O wartości śreniej Znając funkcję falową możemy wyznaczyć wartości spoziewane różnych wielkości fizycznych. Wartość spoziewana (śrenia) f wielkości mechanicznej F, której opowiaa operator ˆF ana jest wyrażeniem: f = Ψ ˆF Ψτ (29) (zakłaamy, że funkcja falowa Ψ jest unormowana) Wynika pośrenio z zasay superpozycji. Jeżeli prawopoobieństwo uziału funkcji Φ i w funkcji opisującej stan ukłau, czyli prawopoobieństwo wystąpienia wielkości f i wynosi c i 2 to śrenia wartość wielkości F, zgonie z zasaami statystyki wynosi: f = c i 2 f i i W oparciu o postulat V obliczymy wartość śrenią tego operatora: f = Ψ ˆF Ψτ = c i c j Φ ˆF i Φ j τ = c i c i f i i,j i 10