MACIERZE STOCHASTYCZNE

Podobne dokumenty
( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

ZADANIA - ZESTAW 2. Zadanie 2.1. Wyznaczyć m (n)

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:

Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.

Parametryzacja rozwiązań układu równań

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

Wykład 11. a, b G a b = b a,

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

Definicja interpolacji

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

I. Podzielność liczb całkowitych

Model Lesliego. Oznaczmy: 0 m i liczba potomstwa pojawiającego się co jednostkę czasu u osobnika z i-tej grupy wiekowej, i = 1,...

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

Planowanie doświadczeń - DPLD LMO Materiały pomocnicze

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

1 Układy równań liniowych

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej

Podprzestrzenie macierzowe

Egzaminy. na wyższe uczelnie zadania

A A A A11 A12 A1. m m mn

ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Podprzestrzenie macierzowe

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

Podprzestrzenie macierzowe

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

"Liczby rządzą światem." Pitagoras

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

x t 1 (x) o 1 : x s 3 (x) Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

P = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

Twierdzenia graniczne:

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

III. LICZBY ZESPOLONE

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

Operatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki

Ekonomia matematyczna 2-2

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x

Funkcja wykładnicza i logarytm

Chemia Teoretyczna I (6).

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.

Ciągi liczbowe wykład 3

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja

8 Weryfikacja hipotez statystycznych

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska

1. Granica funkcji w punkcie

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

Elementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE

Podstawowe struktury algebraiczne

Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform)

Matematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Estymacja przedziałowa

KADD Metoda najmniejszych kwadratów

Rozkład normalny (Gaussa)

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa

TESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.

Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.

Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne

8. Udowodnić, że: a) macierz X X jest macierzą symetryczną; b) jeśli M jest macierzą idempotentną, o wyznaczniku różnym od 0, to M = I;

1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup

Elementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N

Transkrypt:

MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść: a) p b) suma każdego wiersza jest rówa. ij Zauważmy też, że w macierzy tej ie może istieć koluma złożoa z samych zer. Każdą macierz spełiającą waruki a), b) azywamy macierzą stochastyczą. Uwaga. stochastycza i rozkład zmieej losowej X określają pewie łańcuch Markowa. Własości macierzy stochastyczych są zatem ściśle związae z własościami łańcuchów Markowa. Własości macierzy stochastyczych. Własość Średia arytmetycza i iloczy dwóch macierzy stochastyczych tego samego stopia są także macierzami stochastyczymi. P = Są macierzami stochastyczymi. Ich średia 5 /,5,5 / 6,75,5 5/ P / 3 = / 3 / 3 jest macierzą stochastyczą

Ich iloczy 5 / / 6,5 / 6 / 3 5/ / 6,5 jest macierzą stochastyczą A - dowola macierz kwadratowa stopia r. Wielomiaem charakterystyczym tej macierzy azywamy wielomia W ( λ) = det λ ( I A) Rówaie W ( λ) = azywamy rówaiem charakterystyczym. Pierwiastki tego rówaia to wartości włase lub pierwiastki charakterystycze tej macierzy. Niech λ,..., λ k - wartości włase macierzy A o krotościach α,..., α k (k r). Wektorem własym operatora f odpowiadającym wartości własej λ azywamy iezerowy wektor v spełiający waruek f(v) = λv. Własość: I) suma wartości własych (z krotościami) jest rówa śladowi macierzy tz. sumie elemetów jej przekątej. II) jest osobliwa wtedy i tylko wtedy gdy zero jest jej wartością własą 3 4 4 ma rówaie charakterystycze 3 3 5 i wartości włase: λ =, λ =. 3 λ 4 4 7 W ( λ) = det = λ λ λ 3 3 5 = Własości macierzy stochastyczych: a) Wartością własą każdej macierzy stochastyczej jest λ = (ozaczamy λ =),

Dowód. Dodajemy wszystkie kolumy macierzy ( λ I A) do pierwszej kolumy, sumy wierszy są rówe więc po dodaiu wszystkie elemety pierwszej kolumy są rówe λ - i moża tą wartość wyłączyć przed wyzaczik. b) Moduły wszystkich wartości własych dowolej macierzy stochastyczej są miejsze od, k c) (tw. Dooba ) istieje graica lim A, A ma własość PA = A A = A (macierz idempoteta), k = Klasyfikacja macierzy stochastyczych. i i> α = α > λ Regulare (tz. ierozkładale i iecyklicze) λ = ierozkładale i> i cyklicze rozkładale iecyklicze rozkładale cyklicze Tw. Frecheta (tw. Dooba dla macierzy ierozkładalych) Dla każdej ierozkładalej macierzy stochastyczej P istieje graica k lim E, k = e e E = e e e e er e r er (macierz ergodycza) E ma własość PE = E E = E i spełia waruki a), b) defiicji macierzy stochastyczej. Elemety macierzy E możemy wyzaczyć z waruków: r (P - I)e T =, e =, gdzie e = (e,..., e r ) i= i

Dla macierzy regularych tw. Dooba ma postać: Twierdzeie. Jeśli macierz stochastycza P jest regulara to istieje graica gdzie E - macierz ergodycza. lim P = E, Stochastycze macierze regulare charakteryzuje też tzw. twierdzeie ergodycze: Twierdzeie. Jeśli macierz stochastycza P jest regulara to istieje taka jej potęga w której co ajmiej jeda koluma ma wszystkie elemety dodatie.,5,75 ma wartości włase + 7 λ =, λ =, 8 7 λ 3 = więc jest macierzą regularą. 8 ma wartości włase λ =, λ =, λ o krotości, więc jest macierzą cykliczą ierozkładalą. 3 = ta ma własość P gdy ieparzyste P =. P gdy parzyste

λ = o krotości 3, λ =, ma wartości włase 3 3 3 4 4 λ = 3, więc jest macierzą iecykliczą rozkładalą. stochastycza rozkładala (po ewetualym przestawieiu wierszy i kolum) ma bloki diagoale, które są macierzami stochastyczymi. Wartościami własymi macierzy P są wartości włase poszczególych bloków. W tym przykładzie są trzy bloki diagoale. ma wartości włase λ = o krotości, λ =, λ =, więc jest macierzą cykliczą rozkładalą. 3 przywiedla. kwadratowa P stopia azywa się przywiedla, jeśli przez odpowiedie permutacje wierszy i kolum moża przekształcić P do postaci B C D gdzie B, D są kwadratowe. W przeciwym przypadku macierz P azywa się ieprzywiedla. dodatia jest ieprzywiedla, Jeśli macierz ma zerowy wiersz lub kolumę zerową to jest przywiedla. diagoala lub trójkąta jest przywiedla.

Postać ormala macierzy stochastyczej. Postać ormala macierzy stochastyczej P stopia to macierz T T R T g S Otrzymaa z P przez odpowiedie permutacje wierszy i kolum, gdzie T i to macierze stochastycze i ieprzywiedle, g, g = krotość wartości własej. S kwadratowa, iestochastycza i ieprzywiedla (jeśli istieje). ma wartości włase λ = o krotości, λ = o krotości. Jej postać ormala Ma dwie macierze stochastycze Brak macierzy S i R. T = T =

ma wartości włase λ = o krotości, λ =, λ =, 5 iecyklicza. Jej postać ormala jest taka jak P. Jest to macierz rozkładala Ma dwie macierze stochastycze = T [ ] R =, S = T, = ZADANIA Zadaie. Wyzacz wartości włase i ich krotości dla macierzy,5,75 Do jakiej klasy ależy ta macierz? Zadaie. Wyzacz wartości włase i ich krotości dla macierzy,,,9,8 Do jakiej klasy ależy ta macierz? Zadaie 3. Wyzacz wartości włase i ich krotości dla macierzy

Do jakiej klasy ależy ta macierz? Czy istieje Czy istieje k lim P? k lim P? k = Zadaie 4. Wyzacz wartości włase i ich krotości dla macierzy Do jakiej klasy ależy ta macierz? / 3 / 3 / 3 Czy istieje Czy istieje k lim P? k lim P? k = Zadaie 5. Wyzacz wartości włase i ich krotości dla macierzy,,,7 Do jakiej klasy ależy ta macierz? Przedstaw macierz P w postaci ormalej..kowalski,..9