Liczby zespolone. dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0.in». 6 pa¹dziernika Oznaczenia. B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«:

Podobne dokumenty
Materiaªy do Repetytorium z matematyki

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Macierze i Wyznaczniki

Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Zbiory i odwzorowania

Informacje pomocnicze


Indeksowane rodziny zbiorów

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

Macierze i Wyznaczniki

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)

r = x x2 2 + x2 3.

2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe

Wektory w przestrzeni

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Rozdział 2. Liczby zespolone

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

istnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Informacje pomocnicze:

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

Ukªady równa«liniowych

Analiza Matematyczna MAT1317

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Wielomiany. El»bieta Sadowska-Owczorz. 19 listopada 2018

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2

Kolorowa płaszczyzna zespolona

1 Funkcje elementarne

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

Kurs z matematyki - zadania

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:

Rozdział 2. Liczby zespolone

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Podstawy matematyki dla informatyków

Lista nr 1 - Liczby zespolone

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.

Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).

Liczby zespolone. Katarzyna Grabowska. Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki, Katedra Metod Matematycznych Fizyki. Letnia Szkoła Fizyki, Płock 2008

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)

Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±

Krzywe i powierzchnie stopnia drugiego

Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14

Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Matematyczne Metody Fizyki I

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR

Funkcje wielu zmiennych

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci

Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej

1. Liczby zespolone i

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

TRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych

Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006

Matematyka w Instytucie Akustyki. Maciej Radziejewski

Maªgorzata Murat. Modele matematyczne.

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Wykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28

Graka komputerowa Wykªad 3 Geometria pªaszczyzny

Algebra liniowa z geometria

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Praca domowa - seria 2

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

Wektor. Uporz dkowany ukªad liczb (najcz ±ciej: dwóch - na pªaszczy¹nie, trzech - w przestrzeni 3D).

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

x y x y x y x + y x y

GAL 80 zadań z liczb zespolonych

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Metody dowodzenia twierdze«

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

Ÿ1 Oznaczenia, poj cia wst pne

Algebra liniowa i geometria analityczna. Autorzy: Agnieszka Kowalik Michał Góra

Indukcja matematyczna

Funkcje trygonometryczne

Transkrypt:

Liczby zespolone Oznaczenia B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: N = {1, 2, 3,...}- zbiór liczb naturalnych, Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}- zbiór liczb caªkowitych, Q = { a b : a, b Z, b 0}- zbiór liczb wymiernych, R- zbiór liczb rzeczywistych, R + - zbiór liczb rzeczywistych dodatnich, x X- oznacza,»e element x nale»y do zbioru X, -kwantykator ogólny (du»y), x X φ(x) czyt.: dla ka»dego x nale» cego do zb. X zachodzi φ(x), -kwantykator szczegóªowy (maªy), x X φ(x)czyt.: istnieje x nale» cy do zb. X taki,»e zachodzi φ(x) B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: Iloczyn kartezja«ski A X-zb. A jest podzbiorem zb. X [ x (x A x X) ], - zbiór pusty. Iloczyn kartezja«ski zbiorów A i B to, z denicji, zbiór zªo»ony z uporz dkowanych par elementów zbiorów A i B : A B = {(a, b) : a A, b B}. Przykªad: Niech A = {1, 2, 3}, B = {p, q}. Wówczas iloczyn kartezja«ski zbiorów A i B: { } A B = (1, p), (1, q), (2, p), (2, q), (3, p), (3, q). Liczby zespolone jako pary liczb rzeczywistych Denicja. Liczbami zespolonymi nazywamy uporz dkowane pary liczb rzeczywistych np. (a, b). Liczb zespolon oznaczamy najcz ±ciej przez z, (z 1,, z 3,...), a zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy symbolem C (ªac. complexus - zespolony). Zatem: C = R R = { z = (a, b) : a, b R }. Niech z 1 = (a 1, b 1 ), = (a 2, b 2 ) b d dwiema dowolnymi liczbami zespolonymi. W zbiorze C wprowadzamy dziaªania dodawania i mno»enia liczb zespolonych: 1

z 1 + = (a 1 + a 2, b 1 + b 2 )-dodawanie liczb zespolonych z 1 = (a 1 a 2 b 1 b 2, a 1 b 2 + a 2 b 1 )-mno»enie liczb zespolonych. Przykªady: 1. (3, 5) + ( 2, 1) = (3 2, 5 + 1) = (1, 6) 2. (3, 5) ( 2, 1) = (3 ( 2) 5 1, 3 1 + ( 2) 5) = ( 11, 7). Geometryczne liczb zespolon z = (a, b) interpretujemy na pªaszczy¹nie jako punkt o wspóªrz dnych (a, b), albo jako wektor o pocz tku w punkcie (0, 0) i ko«cu w punkcie (a, b). Zbór wszystkich liczb zespolonych nazywamy pªaszczyzn zespolon. O± poziom (Re z) nazywamy osi rzeczywist, a o± pionow (Im z) osi urojon. Liczby zespolone jako wielomiany Ze zbioru liczb zespolonych mo»na wyodr bni podzbiory o elementach (a, 0), które wzgl dem dodawania i mno»enia jego elementów ma analogiczne wªa±ciwo±ci jak zbiór liczb R : (a 1, 0) + (a 2, 0) = (a 1 + a 2, 0), (a 1, 0) (a 2, 0) = (a 1 a 2, 0). Wobec tego zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych: R C. Zamiast (a, 0) b dziemy pisa a. Natomiast liczby postaci (0,b), ró»nej od zera, nie mo»na w analogiczny sposób uto»sami z»adn liczb rzeczywist. St d mamy nast puj c denicj : Denicja: ( Liczb (0, ) 1) b dziemy nazywa jednostk urojon (jedynk urojon ) oraz oznacza symbolem i i = (0, 1). Jedynk urojon dlatego,»e i 2 = 1 : i 2 = (0, 1) (0, 1) = (0 0 1 1, 0 1 + 1 0) = ( 1, 0) = 1. 2

Liczb zespolon z = (a, b) mo»emy zapisa : z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1) = a + bi. Posta z = a + bi nazywamy postaci algebraiczn liczby zespolonej (postaci kanoniczn Gaussa). Zatem, mamy C = { a + bi : a, b R, i 2 = 1 }. Niech z = a + bi, gdzie a, b R, b dzie liczb zespolon. Wówczas: liczb a nazywamy cz ±ci rzeczywist (ªac. realis) liczby zespolonej z, co oznaczamy: Re z = a; liczb b nazywamy cz ±ci urojon (ªac. imaginarius) liczby zespolonej z, co oznaczamy: Im z = b. Dodawanie, odejmowanie i mno»enie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy jak odpowiednie dziaªania na wielomianach zmiennej i zachowuj c warunek i 2 = 1 oraz odpowiednio i 3 = i 2 i = i, i 4 = i 2 i 2 = 1, i 5 = i 3 i 2 = i, itd. Przykªady: 1) (3 + 5i) + ( 2 + i) = (3 2) + (5 + 1)i = 1 + 6i 2) (3+5i) ( 2+i) = 3 ( 2)+3 i+5i ( 2)+5i i = 6+3i 10i+5i 2 = 6 7i + 5 ( 1) = 11 7i. Sprz»enie liczby zespolonej Denicja. Liczb sprz»on do liczby zespolonej z = a + bi oznaczamy poprzez z i okre±lamy wzorem: z = a bi. 3

Przykªady: 1) 3 + 5i = 3 5i; 2) 2 4i = 2 + 4i. Wªasno±ci sprz»enia: Niech z, z 1, b d liczbami zespolonymi. Wówczas: 1. z 1 ± = z 1 ±, 2. z 1 = z 1, ( ) z 3. 1 = z 1, dla 0 = (0, 0), 4. (z) = z. Dzielenie liczb zespolonych Aby podzieli liczb zespolon z 1 = a 1 + ib 1, przez liczb zespolon = a 2 + ib 2 nale»y dzieln i dzielnik pomno»y przez liczb sprz»on do dzielnika ( ): Przykªad: z 1 = a 1 + ib 1 a 2 + ib 2 = a 1 + ib 1 a 2 + ib 2 a2 ib 2 a 2 ib 2 = (a 1a 2 + b 1 b 2 ) i(a 1 b 2 b 1 a 2 ) a 2 2 + b 2 2 1 + 2i 3 4i = 1 + 2i 3 4i 3 + 4i 3 + 4i = 3 + 4i + 6i 8 3 2 + 4 2 = 5 + 10i 25 Funkcje trygonometryczne - wtr cenie = 1 5 + 2 5 i Zdeniujmy funkcje trygonometryczne dowolnego k ta α [0, 2π) : sin α = y r, cos α = x r, tg α = y x, ctg α = x y, gdzie r to odlegªo± punktu P (x, y) od pocz tku ukªadu wspóªrz dnych, wi c r = x 2 + y 2. 4

dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0.in». Rysunek 1: wykres funkcji sinus Rysunek 2: wykres funkcji kosinus Rysunek 3: wykres funkcji tanges Rysunek 4: wykres funkcji kotanges 5 6 pa¹dziernika 2016

Znaki funkcji trygonometrycznych w wiartkach ϕ I w. II w. III w. IV w. sin ϕ + + cos ϕ + + tg ϕ + + ctg ϕ + + Mo»na nauczy si wierszyka, który obrazuje powy»sz tabel : w pierwszej wiartce same plusy, w drugiej tylko sinus(jest dodatni), w trzeciej tangens i kotangens, a w czwartej kosinus. Wzory redukcyjne π ϕ π 3π 3π 2 2 2 2 sin ϕ cos α cos α sin α sin α cos α cos α sin α cos ϕ sin α sin α cos α cos α sin α sin α cos α tg ϕ ctg α ctg α tg α tg α ctg α ctg α tg α ctg ϕ tg α tg α ctg α ctg α tg α tg α ctg α Pewne wªasno±ci funkcji trygonometrycznych: funkcje sinus, tangens, kotangens s funkcjami nieparzystymi tzn. sin( x) = sin x, tg( x) = tg x, ctg( x) = ctg x; funkcja kosinus jest parzysta tzn. cos( x) = cos x; funkcje sinus i kosinus s okresowe o okresie podstawowym 2π tzn. k Z, sin(x + 2π k) = sin x, cos(x + 2π k) = cos x; funkcje tangens i kotangens s okresowe o okresie podstawowym π tzn. k Z, tg(x + π k) = tg x, ctg(x + π k) = ctg x. Przykªad. Wykorzystuj c wªasno±ci (równie» wzory redukcyjne) funkcji trygonometrycznych mamy: a) sin 5 4 π = sin(π + π 4 ) = sin π 4 = 2 2 ; b) cos( 23 1 3 π) = cos 23 1 3 π = cos 1 1 3 π = cos(π + π 3 ) = cos π 3 = 1 2 ; c) tg 3 3 4 π = tg 3 4 π = tg( π 2 + π 4 ) = ctg π 4 = 1; d) ctg( 25 3 π) = ctg 8 1 3 π = ctg 1 3 = 3 3. 6

Moduª liczby zespolonej Denicja.Moduªem liczby zespolonej z = a + ib nazywamy liczb rzeczywist z okre±lon nast puj co: z = a 2 + b 2. Ma on nast puj ce wªasno±ci: 1. z = z, 2. z 1 = z 1, 3. z n = z n, 4. z 1 = z 1, 5. z 1 + z 1 +. Przykªad. 3 4i = 3 2 + ( 4) 2 = 25 = 5. Argument liczby zespolonej Denicja. Argumentem niezerowej liczby zespolonej z = a + bi (ozn. arg z ) nazywamy ka»d liczb ϕ R speªniaj c warunki: cos ϕ = a z oraz sin ϕ = b z. Argument liczby z = 0 jest nieokre±lony. Argumentem gªównym niezerowej liczby z (ozn. Arg z ) nazywamy ten argument ϕ liczby z, nale»y do przedziaªu [0, 2π). Interpretacja geometryczna moduªu i argumentu liczby zespolonej: 7

Posta trygonometryczna liczby zespolonej Dokonujemy przeksztaªcenia dla liczby zespolonej z 0 : z = a + bi = { } a a 2 + b 2 a2 + b + i b = z (cos ϕ + i sin ϕ). 2 a2 + b 2 Otrzyman posta z = z (cos ϕ + i sin ϕ) nazywamy postaci trygonometryczn liczby zespolonej. Przykªad: Napisa w postaci trygonometrycznej liczb z = 3 + i. 3 2 Liczymy moduª: z = + 12 = 2. Liczymy argument: { cos ϕ = 3 2 ϕ = π + 2kπ, k N. sin ϕ = 1 6 2 St d liczba z = 3 + i ma nast puj c posta trygonometryczn ( z = 2 cos π 6 + i sin π ). 6 Korzystaj c ze wzorów Eulera: mamy: Wobec tego Mo»emy zapisa Posta wykªadnicza liczby zespolonej cos ϕ = eiϕ + e iϕ, sin ϕ = eiϕ e iϕ 2 2i e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. z = z (cos ϕ + i sin ϕ) = z e iϕ. Posta z = z e iϕ nazywamy postaci wykªadnicz liczby zespolonej. Przykªad: Liczba zespolona z = 3 + i korzystaj c z wylicze«poprzedniego przykªadu ma nast puj c posta wykªadnicz z = 2e π 6 i. Mno»enie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej Denicja. Dwie liczby zespolonych s równe: z 1 = 0 z 1 = = 0, z 1 0 0 z 1 = ( z 1 = Arg z 1 = Arg ). Twierdzenie. Niech z 1, C i z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ), = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ), gdzie r 1 = z 1, r 2 =. Wówczas: z 1 = [r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 )] [r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 )] = r 1 r 2 [(cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) + i(cos ϕ 1 sin ϕ 2 + sin ϕ 1 cos ϕ 2 )] = r 1 r 2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )] z 1 = r 1 r 2 [cos(ϕ 1 ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 ϕ 2 )]. 8

Wniosek. Niech z 1, C. Wówczas: arg (z 1 ) = arg z 1 + arg, ( ) z arg 1 = arg z 1 arg, Arg (z 1 ) = Arg z 1 + Arg ± 2kπ dla pewnego k N, ( ) z Arg 1 = Arg z 1 Arg ± 2kπ dla pewnego k N. Przykªad. Niech z 1 = 2(cos 3π + i sin 3π) oraz z 5 5 2 = 2[cos 2π + i sin 2 π]. Wówczas: 5 5 oraz z 1 = 2(cos π + i sin π) z 1 = (cos 1 5 π + i sin 1 5 π). Pot gowanie liczb zespolonych Twierdzenie. (Wzór de Moivre'a) Niech z = r(cos ϕ + i sin ϕ) b dzie dowoln liczb zespolon oraz n N. Wówczas zachodzi wzór z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ). Uwaga. Powy»szy wzór zachodzi równie» dla liczb caªkowitych ujemnych. Przykªad. Obliczy (1 i) 8. Obliczaj c mamy z = 2 oraz Arg φ = 7 π. Wobec tego 4 (1 i) 8 = [ 2 (cos 74 π + i sin 74 )] 8 π = [ ( ) ( )] 2 8 7π 7π cos 4 8 + i sin 4 8 Pierwiastkowanie liczb zespolonych = 16[cos 14π + i sin 14π] = 16[1 + i 0] = 16. Denicja. Pierwiastkiem stopnia n N z liczby zespolonej z nazywamy ka»d liczb zespolon w speªniaj c warunek: w n = z. Twierdzenie. Dla ka»dej liczby zespolonej z = r(cosϕ + i sin ϕ) istnieje dokªadnie n ró»nych liczb zespolonych z 0, z 1,..., z n 1 takich,»e (z k ) n = z. Pierwiastki te wyra»aj si wzorem: ( z k = n r cos ϕ + 2kπ + i sin ϕ + 2kπ ) dla k = 0, 1, 2,..., n 1. n n Geometryczne zbiór pierwiastków stopnia n 3 z liczby zespolonej z pokrywa si ze zbiorem wierzchoªków n-k ta foremnego wpisanego w okr g o promieniu n r i o ±rodku w pocz tku ukªadu wspóªrz dnych. Wierzchoªki wyznaczone s w punktach z 0, z 1,..., z n 1, a k t pomi dzy ich s siednimi promieniami wodz cymi wynosi 2π n. 9

Zadania 1.Wykonaj podane dziaªania w zbiorze liczb zespolonych. Wynik przedstaw w postaci algebraicznej. (a) ( 4 + 3i) + (8 7i) (b) (4i 3) (1 10i) (c) (1 + 2i) ( 3 6i) (d) ( 2 + i)(3 3i) (e) ( 7 + 3i)( 7 + 3i) (f) (3 2i)(1 + i) + 3 + 4i (g) i(2 3i) (h) (2 3i)2 3 7i (i) (1 i)3 1 5+4i 1 i 2 3i (1+i) 3 +1 3. W zbiorze liczb zespolonych rozwi» podane równania. (a) 4z + 13 = 0 (b) z + i z + i = 0 (c) (i 3)z = 5 + i z (d) + (2 + 2i)z + 3 2i = 0 (e) 3+i Re z iz 2i (f) z 2i+1 2 iz (i+1)im z i (g) + (1 + 3i)z + i 2 = 0 (h) 6z + 10 = 0 4. Na pªaszczy¹nie zespolonej narysowa zbiory liczb speªniaj ce podane warunki. (a) Re z = 3 (b) Im z = 2 (c) z 2i < 3 π (d) < arg z < 4π (e) 1 < z 3 + 2i < 3 (f) 3 3 z2 Im (4z) + 5 5. Przedstaw w postaci trygonometrycznej nast puj ce liczby zespolone. (a) 5 (b) i (c) i (d) 2 + 2i (e) 1 i (f) 3 i (g) 2 6i 6. Korzystaj c ze wzorów redukcyjnych oraz wªasno±ci funkcji trygonometrycznych oblicz: (a) sin 135 o (b) cos 2π (c) tg 5π (d) cos 3 6 180o (e) ctg 5 π (f) sin 210o 4 (g) sin 3π (h) ctg 2 315o (i) cos 330 o (j) sin 7π (k) cos 11 π (l) tg 510o 3 3 (m) ctg 32π (n) sin 37 2π (o) cos 58 4π (p) tg 1001 7π 3 3 3 4 7. Oblicz i zapisz w postaci algebraicznej. (a) ( 3 i) 32 (b) (2 3 2i) 30 (c) ( ) 6 1 i 3+i (1+i) 22 (d) (cos 33 0 + i sin 33 0 ) 10 (e) (1 + i) 6 (f) (1 3i) ( 6 1+i (g) ) 4 ( 7 2 + 1+i ) 4 7 (h) (1 + i) 8 (1 i 3) 6 (i) (1 + i) 8 + (1 i) 8 2 ( (j) (l) (1+i) 42 ( 3 i) 17 (k) (1 i 3) 6 i 9 (1+i) 3 ) 20 3+i 1 i 8. Oblicz i narysuj na pªaszczy¹nie zespolonej. (a) 3 1 (b) 6 64 (c) 4 116i (d) 5 1 + i (e) 1 3i (f) 5 8 1 i (g) 3 i (h) 4 1 + i (i) 3 4i (j) 3 4i Literatura: 1. Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra i geometria analityczna. Denicje, twierdzenia, wzory, wyd. Ocyna Wydawnicza GiS, 2008r. 2. Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra i geometria analityczna. Przykªady i zadania, wyd. Ocyna Wydawnicza GiS, 2008r. 3. Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1. Denicje, twierdzenia, wzory., wyd. Ocyna Wydawnicza GiS, 2001r. 4. Krysicki W., Wªodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach., wyd. PWN, t.i, 2001r. 5. Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1. Przykªady i zadania., wyd. Ocyna Wydawnicza GiS, 2001r. 10

6. Siewierski L., wiczenia z anzlizy matematycznej., wyd. PWN, 1982r. 7. Borsuk M., Dawidowicz A., Wykªady z analizy matematycznej., wyd. WSIiE TWP, 1998r. 11