Wektory w przestrzeni

Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem wektora. Wektor o pocz tku w punkcie A i ko«cu w punkcie B oznaczamy AB i przedstawiamy na rysunku w postaci odcinka AB zako«czonego w punkcie B grotem strzaªki. Wektorem zerowym nazywamy wektor, którego pocz tek i koniec pokrywaj si. Wektor zerowy oznaczamy zerem: 0. Je»eli punkt A = (x A, y A, z A ) jest pocz tkiem wektora, a B = (x B, y B, z B ) jego ko«cem, to AB = [x B x A, y B y A, z B z A ], natomiast ró»nice wspóªrz dnych punktów A i B : x B x A, y B y A, z B z A - wspóªrz dnymi tego wektora. Wielko±ci opisuj ce wektor: kierunek: kierunkiem wektora niezerowego nazywamy kierunek prostej, na której le»y wektor; zwrot: zwrotem wektora niezerowego AB nazywamy ten zwrot prostej AB, w którym punkt A poprzedza punkt B. dªugo± ; punkt przyªo»enia (gdy go nie ma to mówimy o wektorach swobodnych). Denicja. Dªugo±ci wektora AB nazywamy dªugo± odcinka AB i oznaczamy przez AB. Zatem dªugo± wektora u = [x, y, z] lub te» AB = [x B x A, y B y A, z B z A ] jest okre±lona wzorem: u = x + y + z lub AB = (x B x A ) + (y B y A ) + (z B z A ). Wektory u = [x u, y u, z u ] i v = [x v, y v, z v ] s równolegªe (co zapisujemy u v) wtedy i tylko wtedy, gdy maj proporcjonalne wspóªrz dne czyli wtedy i tylko wtedy, gdy x u x v = y u y v = z u z v λ R u = λ v. Warunek wspóªpªaszczyznowo±ci wektorów: Wektory u, v, w s wspóªpªaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy x u y u z u x v y v z v x w y w z w = 0 λ 1 λ R w = λ 1 v + λ u. 1

Denicja 3. Wersorem niezerowego wektora u = [x u, y u, z u ] nazywamy wektor jednostkowy (dªugo±ci jeden), którego kierunek i zwrot jest zgodny z kierunkiem i zwrotem wektora u. Wersor oznaczamy przez û i wyznaczamy ze wzoru [ xu û = u, y u u, z ] u. u Ponadto maj miejsce wzory: u = [ u cos α, u cos β, u cos γ], oraz û = [cos α, cos β, cos γ]. gdzie α, β, γ to k ty jakie tworzy wektor u z kolejnymi osiami (Ox, Oy, Oz) ukªadu wspóªrz dnych. Denicja 4. Niech u = [u x, u y, u z ], v = [v x, v y, v z ] b d dowolnymi wektorami w R 3. Iloczyn skalarny (oznaczamy symbolem ) wektorów u i v jest liczb rzeczywist i okre±lamy wzorem: u v = u v cos ϕ, lub u v = u x v x + u y v y + u z v z ; gdzie ϕ jest k tem mi dzy wektorami u i v. Zastosowania iloczynu skalarnego: do wykazywania prostopadªo±ci wektorów: wektory u i v s prostopadªe wtedy i tylko wtedy, gdy u v = 0; do obliczania k ta pomi dzy dwoma wektorami do obliczania dªugo±ci wektora u = u u. Rzut prostok tny u wektora a na wektor b wyra»a si wzorem: u = a b b Denicja 5. Iloczynem wektorowym wektorów u = [u x, u y, u z ], v = [v x, v y, v z ] nazywamy wektor w, który oznaczamy symbolem i j k w = u v = u x u y u z v x v y v z, i który w przypadku, gdy u v jest wektorem zerowym. Natomiast, je»eli u i v nie s równolegªe, to wektor w speªnia warunki: ma kierunek prostopadªy do u i prostopadªy do v, jego dªugo± jest równa polu równolegªoboku rozpi tego na wektorach u i v, co mo»na zapisa : gdzie ϕ jest k tem mi dzy wektorami u i v; b. w = u v sin ϕ,

zwrot wektora w jest taki,»e wektory u, v, w tworz ukªad zgodnie skr tny z ukªadem wektorów i, j, k. Zastosowanie iloczynu wektorowego: pole trójk ta rozpi tego na wektorach u i v: P = 1 u v ; pole równolegªoboku rozpi tego na wektorach u i v: P = u v ; do wykazywania równolegªo±ci wektorów; wektory u i v s równolegªe wtedy i tylko wtedy, gdy u v = 0. Denicja 6. Iloczyn mieszanym uporz dkowanej trójki wektorów u = [u x, u y, u z ], v = [v x, v y, v z ], w = [w x, w y, w z ] okre±lamy wzorem: ( u, v, w) = ( u v) w. Mo»na wykaza,»e Zastosowanie iloczynu mieszanego: u x u y u z ( u, v, w) = v x v y v z w x w y w z. obj to± czworo±cianu rozpi tego na wektorach u, v, w: obj to± prostopadªo±cianu rozpi tego na wektorach u, v, w: V = 1 ( u, v, w) ; 6 V = ( u, v, w) wykazywanie wspóªpªaszczyznowo±ci wektorów. Denicja 7. Je±li zachodzi równo± : x = c 1 x 1 + c x +... + c n x n to mówimy, ze wektor x jest kombinacj liniow wektorów x 1, x,..., x n o odpowiednich wspóªczynnikach c 1, c,..., c n. Denicja 8. Je±li tylko zerowa kombinacja liniowa wektorów x 1, x,..., x n daje nam wektor zerowy tzn. c 1 x 1 + c x +... + c n x n = 0 c 1 = c =... = c n = 0 to ukªad wektorów x 1, x,..., x n nazywamy liniowo niezale»nym. W przeciwnym wypadku tzn. gdy istniej co najmniej jedna staªa c k 0 taka»e zachodzi to ukªad ten nazywamy liniowo zale»nym. c 1 x 1 + c x +... + c n x n = 0, 3

Zadania 1. W trapezie OABC, zachodzi OA = 3 CB. Wyra¹: a) wektor OA przez wektory OB i OC, b) wektor OB przez wektory OA i OC.. Dane s wektory u = [1, 0, 1], v = [, 1, 3], w = [1, 1, 3] oraz punkty A = (1, 1, ), B = (0,, 4), C = ( 1,, 3). Oblicz: a) u + v, b) 5 u 4 w, c) 3 u v + 3 w d) AC e) CA f) u g) BA i) u w j) w u j) CA BA h) u v 3. Dany jest wektor AB = [1, 4, 6]. Wyznacz wspóªrz dne punktu A wiedz c,»e B = (1, 5, ). 4. Znajd¹ wektor o tym samym kierunku i zwrocie co wektor u = [, 4, 8] ale o dªugo±ci równej u. 5. Oblicz iloczyn skalarny wektorów: a) u = i 3 j + k, v = i + j 4 k b) u = i + k, v = 3 i + j k 6. Obliczy iloczyn skalarny u v wiedz c,»e a) u =, v = 3, ( v, u) = π, b) u = 1, v = 4, ( v, u) = π, 3 3 c) u =, v = 5, ( v, u) = π, d) u = 1, v = 3, ( v, u) = π. 7. Znale¹ dªugo± wektora u = v 3 w, wiedz c»e wektory v i w s prostopadªe a ich dªugo±ci v = 4 i w =. 8. Sprawdzi, czy punkty A = (1,, 1), B = (, 3, 4), C = (0, 3, 3) i D = (5, 5, 5) s wspóªpªaszczyznowe. 9. Czy wektory u = [ 1, 3, 5], v = [1, 1, 1], w = [4,, 0] s komplanarne(wspóªpªaszczyznowe). 10. Dane s punkty A = (3, 1, 1), B = (4, 3, 1). Znajd¹ wersor wektora AB. 11. Znajd¹ dªugo± i cosinusy kierunkowe wektorów u = [1, 1, 1] oraz v = [ 1, 4, 5] 1. Oblicz miary k tów pomi dzy wektorami: a) u = [ 4, 8, 3] oraz v = [, 1, 1] b) u = [, 3, 0] oraz v = [ 6, 0, 4] 13. Oblicz u v : a) u = [, 1, ], v = [1, 0, ] b) u = [1, 1, ], v = [,, 4] c) u = i + 3 j + k, v = i + j 5 k d) u = i 3 j, v = i + j 5 k 14. Wiedz c,»e ( u, v) = π oraz u = v = 1 oblicz: 3 a) ( u v) + u v, b) ( u + 3 v) ( v u). 15. Obliczy iloczyn mieszany ( u, v, w) wektorów: a) u = [1,, 0], v = [1,, 3], w = [0, 1, 3], b) u = 3 i + j + k v = j 5 k, w = i + 3 j 4 k. 4

16. Zbada, liniow niezale»no± nast puj cych wektorów: a) u 1 = [1, 1], u = [1, 1] b) u 1 = [ 1, 3], u = [, 6] c) u 1 = [0, 1, ], u = [0, 1, 3] d) u 1 = [, 1, 0], u = [1, 0, 1], u = [1, 1, 1] e) u 1 = [1,, 1], u = [0, 1, 1], u 3 = [1, 1, 1] f) u 1 = [0, 1, 1], u = [1,, 3], u 3 = [1, 1, 1] 17. Wyznaczy pola trójk ta ABC : a) o wierzchoªkach A = (3, 1, 4), B = (1, 3, 5), C = (5, 3, 6) b) o wierzchoªkach A = (0, 0, ), B = (, 1, 1), C = ( 1, 1, 0) c) rozpi tego na wektorach AB = [1, 1, 1] i AC = [, 1, 3]. 18. Wyznaczy pola równolegªoboku zbudowanego na wektorach u = [1, 3, 1] i v = [, 1, 3]. 19. Znajd¹ rzut prostok tny u wektora a = i j + k na prosta wyznaczon przez wektor b = i + j k oraz k t pomi dzy tymi wektorami. 0. Sprawdzi czy trójk t o wierzchoªkach A = (3,, 1), B = ( 1, 6, 5), C = (5, 3, ) jest prostok tny. 1. Znajd¹ dªugo± wysoko±ci trójk ta o wierzchoªkach A = (4, 4, 6), B = (1, 3, 0), C = (0, 5, ) prostopadªej do boku ª cz cego dwa ostatnie wierzchoªki.. Dla czworo±cianu o wierzchoªkach A = (1,, 1), B = (3,, ), C = (, 5, ), D = (, 3, 5) wyznaczy obj to± i dªugo± jego wysoko±ci opuszczonej z wierzchoªka A. 3. Obliczy pole i obj to± równolegªo±cianu rozpi tego na wektorach u = [, 3, 4], v = [0, 4, 1], w = [5, 1, 3]. 4. Dla jakich warto±ci parametru p R wektory u = [0,, 1] i v = [1, p, p] s prostopadªe? 5. Wykaza,»e je»eli u + v oraz u v s prostopadªe to wektory u i v s równej dªugo±ci. 6. Dla jakiego parametru p R punkty A = (1, 1, 0), B = (0, 1, 1), C = (p, 1, 1) i D = (0, 1, ) le» na jednej pªaszczy¹nie? 7. Oblicz iloczyn skalarny wektorów u = a + 4 b i v = 3 a + b je»eli ( a, b) = π 3 b =. oraz a = 3 i 5