y ( x) x i. y x i y( x) = ( x) x i,

Teoria reprezentacji zmiennoprzecinkowej i błędu obliczeń () Zapisać liczby, /3, 275, 225 w arytmetyce M(2, 6, 2) (zapis dwójkowy, 6 miejsc na mantysę, 2 na wykładnik), M(6, 4, 4), M(2, 2, 2) (2) (W) Wykaż, że działania w dowolnej arytmetyce M(p, q, r) nie spełniają praw łączności i rozdzielności (3) Znajdź eps dla swojego komputera Wykonaj działania (w ulubionym programie) by uzyskać underflow i overflow Następujące dwa zadania należy rozwiązać używając przybliżonego wzoru na przenoszenie się błędów: Jeśli y(x,, x n ) jest funkcją, x jest przybliżeniem numerycznymx oraz x i = x i x i i y = y( x) y(x) oznaczają błędy, to y( x) = i= y x i ( x) x i, y i= y x i ( x) x i (4) Chcemy obliczyć wyrażenie ( 2 ) 6 używając wartości przybliżonej 4 pierwiastka z 2 Można podstawić tę wartość do powyższego wzoru albo zastosować jedno z następujących wyrażeń ( 2 + ) 6, (3 2 2) 3, (3 + 2 2) 3, 99 7 2, Które z przybliżeń będzie najlepsze? (5) Z jaką dokładnością można obliczyć x + y jeśli 3x + ay =, 5x + by = 2, gdzie a = 2 ± 5 4, b = 33 ± 5 4 (6) Z jaką dokładnością można obliczyć x + y jeśli 3x + ay =, 5x + by = 2, 99 + 7 2 gdzie a = 2 ± 5 4, b = 33 ± 5 4 (7) Następujące zadanie pokazuje, że błędy mogą pojawiać się również w czasie obliczeń: Rozwiązać różnymi metodami układ równań x + y = 2 x + y = 4, zaokrąglając wszystkie obliczenia do drugiego miejsca po przecinku Uzyskać co najmniej 3 różne wyniki (8) Niech dane będzie równanie x 2 2a x + a 2 =, < a 2 < a Problem: znaleźć mniejsze miejsce zerowe x = f(a, a 2 ) = a a 2 a 2 Algorytm: y := a a y 2 := y a 2, y 3 := y 2, x := y 4 = a y 3 Pokazać, że w podanym zakresie parametrów a, a 2 zadanie jest dobrze uwarunkowane (pochodne cząstkowe są ograniczone), natomiast wsteczny błąd przy stosowaniu algorytmu rośnie do nieskończoności dla a 2

2 2 Wstęp do algebry liniowej numerycznej (2) Obliczyć rząd, wyznacznik, ślad i wielomian charakterystyczny macierzy A = 2 3 λ 4 5 6, A 2 = λ, 7 8 9 λ oraz A 3 = ( ) A, B przy założeniu, że rząd, wyznacznik, ślad i wielomian charakterystyczny macierzy A i B są dane (22) Rozpatrzmy macierz Pokazać, że wartości własne tej macierzy to,, Znaleźć wektory własne i macierz podobieństwa do macierzy diagonalej Czy macierz A jest normalna? (23) Wykazać, że jeśli A i B są odwracalnymi macierzami tego samego wymiaru i takimi, że macierz A + B jest odwracalna, to macierz (A + B ) jest odwracalna i (A + B ) = A(A + B) B = B(A + B) A (24) Wykazać, że jeśli A i B są macierzami tego samego rozmiaru, posiadającymi tylko proste wartości własne i ten sam zbiór wektorów własnych, to AB = BA Pokazać, że odwrotna implikacja nie jest prawdziwa (25) Rozwiązać układ równań { 3x + y = 2 x + (/3 + /)y = 4 Natępnie rozważyć przybliżony układ równań { 3x + y = 2 x +, 34y = 4 i rozwiązać go Porównać rezulaty Z czego wynika tak duży błąd? (26) Niech A będzie macierzą kwadratową i niech p będzie zespolonym wielomianem jednej zmiennej p(z) = c k z k Definiujemy p(a) jako c k A k Pokazać, że zachodzi następująca równość zbiorów p(σ(a)) = σ(p(a)), gdzie σ(b) oznacza widmo macierzy B

3 (27) Wykonać następujące eksperymenty numeryczne (w dowolnym programie np Matlab, Maple, Mathematica albo i nawet Excel - ale bez używania obliczeń symbolicznych): a) Wziąć macierz o nietrywialnej strukturze Jordana A i odwracalną macierz S Natępnie obliczyć B = S AS i obliczyć wartości własne B Zanalizować otrzymane wyniki! b) Odwrócić różnymi metodami macierz a następnie obliczyć AA ((i + j) ) 5 i,j=, 3 Eliminacja Gaussa (3) Rozwiązać metodą eliminacji Gaussa układ równań Ax = b, gdzie 2 4 4 A = 2 4 3, b = 2 4 5 (32) Dana jest macierz 2 + α 2 + α M n (R), 2 + α 2 + α gdzie α > Wykazać, że układ Ax = b można sprowadzić metodą Gaussa (bez dzielenia) do postaci Cx = d, gdzie c c C = c 2 c c n c n 2 c n, d = Wskazówka: Uzasadnić, że c =, c = 2 + α, c k+ = (2 + α)c k c k dla k =,, n Podać wzory na współczynniki d k (33) Rozwiązać metodą eliminacji Gaussa układ równań Ax = b, gdzie 2 3 4 2 2, b = 2 2 5 8 9 4 7 d d n (34) Udowodnij, że iloczyn macierzy trójkątnych dolnych/górnych jest macierzą trójkątną dolną/górną

4 (35) Pokazać, że jeśli weźmiemy dowolną odwracalną macierz A i utworzymy macierz a a n [A I] := a 2 a 2n a n a nn to stosując metodę eliminacji Gaussa otrzymamy macierz [I A ] Obliczyć w ten sposób macierz odwrotną do 2 2 2 3 4 2 (36) Stosując eliminację Gaussa policz macierz odwrotną poniższych macierzy (36) [7 ] 4, 3 2 (362) (363) 2 5 7 2 3 4 6 3 4, 2 3 2 5 2 3 2 6 (37) Stosując metodę eliminacji Gaussa rozwiąż nad ciałem liczb rzeczywistych poniższe układy równań: 2x + 3x 2 + 8x 3 = 9 x x 2 4x 3 = 5 2x x 2 + 2x 3 = 6 3x + 2x 2 + x 3 = 5 2x + 3x 2 + x 3 = 2x + x 2 + 3x 3 = 4x + x 2 + 2x 3 = 9 2x + 4x 2 x 3 = 5 x + x 2 3x 3 = 9 4x x 2 + x 3 = 8 2x + 5x 2 + 2x 3 = 3 x + 2x 2 + 4x 3 = (38) Rozwiąż poniższe układy równań liniowych stosując rozkład LU: (38) 2x x 2 x 3 = 4, 3x + 4x 2 2x 3 =, 3x 2x 2 + 4x 3 = ; (382) x +x 2 +2x 3 =, 2x x 2 +2x 3 = 4, 4x +x 2 +4x 3 = 2 (39) Uzasadnić, że (a) w metodzie eliminacji Gaussa wykonuje się rzędu n3 3 operacji, natomiast (b) obliczenie wyznacznika macierzy n n bezpośrednio z definicji wymaga n!(n ) operacji (c) Porównać ilość operacji potrzebnych do rozwiązania układu równań liniownych Ax = b, gdzie A M n (R) jest macierzą nieosobliwą, za pomocą metody eliminacji Gaussa oraz metodą wyznaczników (wzory Cramera)

5 (3) Pokazać, że jeśli weźmiemy dowolną odwracalną macierz A i utworzymy macierz (A, I), to stosując metodę eliminacji Gaussa otrzymamy macierz (I, A ) Obliczyć w ten sposób odwrotność 2 2 2 3 4 2 (3) Rozwiązać metodą eliminacji Gaussa układ równań Ax = b, gdzie 2 4 4 A = 2 4 3, b = 2 4 5 (32) Dana jest macierz 2 + α 2 + α M n (R), 2 + α 2 + α gdzie α > Wykazać, że układ Ax = b można sprowadzić metodą Gaussa (bez dzielenia) do postaci Cx = d, gdzie c c c 2 c d C =, d = c n c n 2 d n c n Wskazówka: Uzasadnić, że c =, c = 2 + α, c k+ = (2 + α)c k c k dla k =,, n Podać wzory na współczynniki d k 4 Rozkłady LU, Cholesky ego i QR (4) Dana jest macierz trójkątna górna U (4) Wyznaczyć ogólne wzory na rozwiązanie układu U x = b Oszacować ilość wykonywanych operacji (42) Znaleźć rozwiązanie układu U x = b, w przypadku gdy U = a a a a a a, b = e n = (43) Oszacować współczynniki x i rozwiązania układu Ux = e n, jeśli u ii = oraz u ij

6 (42) W przestrzeni R n definiujemy następujące normy: x = max x i, x = x i, x 2 = n x i 2 i n A = max i= (42) Uzasadnić, że powyższe normy są parami równoważne i dla każdej pary norm znaleźć optymalne stałe m, M >, takie że zachodzą nierówności m x a x b M x a, i= x R n, a, b {, 2, } (422) Dla ustalonej normy a (tutaj a =, 2, ) definiujemy normę macierzową (indukowaną przez a ) za pomocą wzoru A a := max x i n j= Ax a x a Wykazać, że a ij, A = max = max x a= Ax a, j n i= A M n (R) a ij, A 2 = λ max (A T A), gdzie A T oznacza transpozycję macierzy A, natomiast λ max (B) oznacza największą wartość własną macierzy B (423) Obliczyć normy macierzowe macierzy ( 2 (43) Dana jest macierz A M n (R), jej wiersze oznaczamy przez W, W 2,, W n (43) Wypisać macierz L k zamiany k-tego wiersza W k macierzy A na kombinację liniową W + αw k (α ) Znaleźć macierz odwrotną (432) Metodą eliminacji Gaussa, znaleźć rozkład LU macierzy 2 2 2 5 3 4 (433) Zapoznać się z innymi metodami rozkładu LU macierzy A (44) Wygenerować losowo dużą macierz i znaleźć jej rozkład LU Z pomocą tego rozkładu obliczyć wyznacznik (45) Dana jest macierz ) 2 2 2 2 2 2 2 (a) Znaleźć rozkład LU macierzy A, stosując metodę eliminacji Gaussa oraz metodę Crouta (b) Sprawdzić, czy iloczyn LU daje A (c) Porównać ilość operacji potrzebnych w obu metodach

(d) Zastosować rozkład do rozwiązania układu Ax = (e) Z rozkładu LU wyznaczyć det A 2 3 4 7 (46) Rozkład Cholesky ego (a) Opisać algorytm znajdowania rozkładu LL T macierzy symetrycznej, dodatnio określonej (rozkład Cholesky ego) (b) Sprawdzić, że macierz 2 3 3 2 jest dodatnio określona (c) Znaleźć jej rozkład Cholesky ego (47) Przekształć w układ ortonormalny wektory x = (2,, ), x 2 = (2,, 3), x 3 = (2,, ) (48) Wykazać, że przekształcenie Householdera H = I 2vv T, gdzie v jest wektorem jednostkowym ( v 2 = ) jest przekształceniem ortogonalnym Omówić metodę Householdera rozkładu QR na przykładzie macierzy 3 2 2 Wykorzystując ten rozkład proszę rozwiązać równanie Ax = (3, 2, 3) T (49) Wykonać rozkład QR metodą odbić Householdera macierzy 2 4 2 4 4 2 4 4 (4) Niech [ ] [ ] [ ] c s x = x s c x 2 2 Wskaż jak dobrać c i s tak, by macierz [ s c s c ] była ortogonalna i przekształcała x = (x, x 2 ) T w zadany wyżej sposób (4) Korzystając z rozwiązania poprzedniego zadania (tzw metody obrotów Givensa) zrób dekompozycję macierzy 6 5 5 4 4 3 na iloczyn macierzy QR, gdzie Q jest macierzą ortogonalną zaś R trójkątną górną

8 (42) Znajdź rozkład QR macierzy dowolna metodą: 2 2 (42), 2 (422), 2 3 (423) 2, 3 3 2 6 (424) 2 2, 4 6 8 (425) 2 4 5 2 5 3 4 3 4 6 6 2 2 (43) a) Znaleźć rozkład QR macierzy ε ε ε za pomocą zmodyfikowanej ortogonalizacji Gramma-Schmidta b) Znaleźć wektor x minimalizujący Ax b, gdzie b = (,,, ) T Należy wykorzystać twierdzenie mówiące, że taki x istnieje i jest jednoznacznie wyznaczony jeśli macierz A A jest nieosobliwa, ponadto x jest jedynym rozwiązaniem układu A Ax = b c) Niech eps będzie tak małe, że eps 2 = (np eps = 4 a pracujemy w arytmetyce zmiennoprzecinkowej o 5 cyfrach mantysy) Co się wtedy dzieje z macierzą A A? d) Niech D = Q T Q Pokazać, że x = D Q T b Wykorzystać ten wzór do obliczenia rozwiązania układu równań z punktu b) przyjmując, że ε 2 = (44) Wykazać, że przekształcenie Householdera H = I 2ww T, gdzie w jest wektorem jednostkowym ( w 2 = ) jest przekształceniem ortogonalnym Omówić metodę Householdera rozkładu QR na przykładzie macierzy 3 2 2 Wykorzystując ten rozkład rozwiązać równanie Ax = (3, 2, 3) T 5 Metody iteracyjne (5) Niech a oznacza normę wektorową w R n oraz indukowaną przez nią normę macierzową (np a =, 2, ) Dla nieosobliwej macierzy A definujemy wskaźnik uwarunkowania cond a (A) := A a A a (5) Wykazać, że jeśli a oraz b są równoważnymi normami wektorowymi, to istnieją α, β > takie, że α cond a (A) cond b (A) β cond a (A) Ile wynosi α i β, jeśli a =, b = 2? (52) Niech a (, ) Obliczyć wskaźniki uwarunkowania dla macierzy ( a + a a a ) ( a, B = ),

9 korzystając z normy Dla jakich a macierze stają się źle uwarunkowane? (52) Dany jest układ równań Ax = b, gdzie ( ) ( 78 563 27, b = 93 659 254 (52) Obliczyć wartość residuum r( x) = b A x dla przybliżonych rozwiązań: x = (999, ) T oraz x 2 = (34, 87) T Porównać dokładność rozwiązania z wartością residuum (522) Wyznaczyć wskaźnik uwarunkowania macierzy A w normie (523) Wyrazić wektor x = x x w zależności od residuum i wyjaśnić wyniki otrzymane w punkcie (a) Metodę iteracyjną postaci (*) x () dane, x (k+) = Bx (k) + f dla k nazywamy odpowiednią (ang consistent) dla problemu Ax = b, jeśli x = Bx + f lub równoważnie f = (I B)A b Metodę ( ) nazywamy zbieżną, jeśli rozwiązania przybliżone x (k) są zbieżne do rozwiązania problemu Ax = b lub równoważnie, jeśli promien spektralny macierzy B jest mniejszy od jeden (53) Opisać metodę Jacobiego i jej zastosowanie do macierzy 2 6 α 2 α 4 ) Dla jakich wartości parametru α R metoda ta jest zbieżna? (54) Aby rozwiązać układ równań Ax = b, gdzie ( ) ( 2 3, b = 2 3 5 stosujemy metodę iteracyjną ), x (k+) = B(θ)x (k) + g(θ), k, gdzie θ jest parametrem rzeczywistym, x () jest dane oraz B(θ) = ( ) ( 2θ 2 + 2θ + 2θ 2 + 2θ + 4 2θ 2 + 2θ + 2θ 2, g(θ) = 2 θ + 2θ + 2 θ (54) Sprawdzić, że powyższa metoda jest odpowiednia dla wyjściowego problemu dla wszystkich θ R (542) Określić, dla jakich parametrów θ metoda jest zbieżna (543) Znaleźć optymalne θ, dla którego zbieżność jest najszybsza (ρ(b) najmniejsze) )

(55) Dana jest macierz 2 2 2 2 i niech M = diag (2,, 2) i N = tridiag (,, ) (55) Wykazać, że macierz A jest dodatnio określona (552) Uzasadnić, że metoda Gaussa-Seidla jest zbieżna (553) Opisać algorytm pozwalający obliczać x (k) Uwzględnić kryterium stopu (554) Zastosować algorytm do obliczenia pierwszych sześciu przybliżeń rozwiązania równania 2 2 2 2 x = 2 2 2, startując od x () = (,,, ) T (56) Dana jest macierz 2 2 2 2 2 Wykazać, że macierz A jest dodatnio określona Uzasadnić, że metoda Jacobiego zastosowana do tej macierzy jest zbieżna (57) Rozwiązać poniższy układ metoda Jacobiego Obliczyć kolejne trzy przybliżenia rozwiązania (57) 4x x 2 = 2 x + 4x 2 x 3 = 6 x 2 + 4x 3 = 2 (572) 4x x 2 2x 3 + 2x 4 = 3 x + 5x 2 2x 4 = 2x + x 2 + x 3 x 4 = 2x 2 x 3 + 4x 4 = 5 (58) Rozwiązać poniższy układ metodą Gaussa-Seidla Przyjmując za przybliżenie początkowe wektor x = (3, 7, 5) T podać trzy kolejne przybliżenia rozwiązania 4x x 3 x 4 = 3 4x 2 x 3 x 4 = x x 2 + 4x 3 = 7 x x 2 + 4x 4 = 5

Zrób to samo z układem 4x x 2 + x 3 = 4 x + 6x 2 + x 3 = 9 x + 2x 2 + 5x 3 = 2 przyjmując za przybliżenie początkowe wektor x = (,, ) T (59) Rozważamy metodę iteracyjną x k+ = (I A)x k + b, k Proszę udowodnić, że jeśli macierz [a ij ] i,j n jest (silnie) diagonalnie dominująca i ma jedynki na przekątnej, tzn spełnia nierówności a ii = > n j=,j i a ij, i n, to metoda jest zbieżna 6 Wartości własne (6) Liczenie wartości własnych macierzy jako pierwiastów wielomianu charakterystycznego może być niestabilne numerycznie Rozważamy macierz ( ) α β M(2 2) β γ (6) Znaleźć współczynniki c, c wielomianu charakterystycznego macierzy p A (x) = x 2 + c x + c (62) Obliczyć współczynniki c, c w arytmetyce dzisiętnej zmiennopozycyjnej o ośmiu cyfrach mantysy, gdy α = γ = oraz β = 7 5 (63) W tej samej arytmetyce obliczyć λ i λ 2 jako zera wyznaczonego trójmianu Porównać wyniki z wartościami dokładnymi λ max = 7, λ min = 99993 (64) Mamy dany następujący algorytm (V): ξ := α + γ, δ := αγ β 2, ω := (α γ) 2 + 4β 2 if ξ = then [λ max := ω 2, λ min := λ max ] else [λ max: = sgn(ξ) ξ +ω 2, λ min := δ λ max ] Wykazać, że algorytm (V) w realizacji dokładnej wyznacza wartości własne macierzy A, przy czym λ max λ min (65) Obliczyć λ i λ 2 przy tych samych danych, co w punkcie (b), stosując algorytm (V) (62) Korzystając z tego twierdzenia (i innych znanych faktów), zlokalizować widmo macierzy 2 2 7 5 (63) Niech A będzie macierzą diagonalną diag (a,, a n ) oraz à = A+E, gdzie e ii = dla i =,, n Wykazać, że jeśli λ σ(ã), to istnieje takie k ( k n) że zachodzi oszacowanie a k λ e kj j=,

2 (64) Dane są macierze ( 2 ) ( ε, E = ε Obliczyć wartości własne macierzy A oraz macierzy A + E Porównać wyniki z oszacowaniem w punkcie (b) (65) Wylosować dużą macierz (co najmniej na ) i spróbować wyznaczyć jej widmo poznanymi metodami Macierz może mieć pewną strukturę, na przykład tylko 3 niezerowe diagonale, macierz symetryczna, itd Proszę nie używać wbudowanej komendy eig(a) w Matlabie, choć dobrze jest porównać swoje wyniki z wartościami zwracanymi przez tą funkcję (66) Dana jest macierz 2 2 2 2 ) (a) Wykazać, że macierz A jest dodatnio określona (b) Uzasadnić, że metoda Jacobiego zastosowana do tej macierzy jest zbieżna (c) Zilustrować tę metodę obliczając pierwszych sześć przybliżeń rozwiązania równania 2 2 2 2 startując od x () = (,,, ) T x = 2 2 2, (67) Rozważamy metodę iteracyjną x (k+) = (I A)x (k) + b, k Udowodnić, że jeśli macierz A jest (silnie) diagonalnie dominująca i ma jedynki na diagonali, tzn spełnia nierówności a ii = > to metoda jest zbieżna j=,j i a ij, ( i n),

3 (68) Opisać algorytm wyznaczania największej co do modułu wartości własnej macierzy metodą potęgową Zastosować metodȩ do macierzy 3 3 2 2, startując od wektora x = (,, ) T (69) Proszę opisać algorytm wyznaczania największej co do modułu wartości własnej macierzy metodą potęgową Zastosować tą metodę do macierzy 3 3 2 2, startując od wektora x = (,, ) T (6) Dana jest macierz [a ij ] n i,j= Kołami Gershgorina macierzy A nazywamy zbiory D i := {z C : z a ii że n j=,j i σ(a) := {λ C : A λi jest osobliwa} (6) Zlokalizować σ(a) widmo macierzy 2 2 7 5 a ij } Proszę wykazać, n D i (62) Niech A będzie macierzą diagonalną diag(a,, a n ) oraz à = A+E, gdzie e ii = dla i =,, n Wykazać, że jeśli λ σ(a), to istnieje takie k ( k n), że zachodzi oszacowanie a k λ e kj (63) Dane są macierze [ ] 2 j= E = [ ] ε ε Proszę obliczyć wartości własne macierzy A oraz macierzy A + E Porównaj wyniki z oszacowaniem w punkcie (62) (64) Zlokalizuj wartości własne poniższej macierzy stosując twierdzenie Gerszgorina 2 4 2 3 2 i=

4 (65) Dana jest macierz: 4 3 2 2 3 Znaleźć przybliżoną wartość własną wykonując 2 kroki iteracji metodą potęgową dla macierzy A i A Przyjąć wektor startowy x = (,, ) T (7) Niech 7 Równanie normalne, rozkład SVD 3 a) Rozwiązać zadanie minimalizacji, b = min x Ax b 2 2 2 3 3 b) Pokazać, że w obliczona w arytmetyce o 6 cyfrach mantysy macierz A A jest nieodwracalna c) Rozwiązać równanie normalne w arytmetyce o 7 cyfrach mantysy, porównać z rozwiązaniem z punktu a d) Rozwiązać problem minimalizacji w arytmetyce o 7 cyfrach mantysy za pomocą rozkładu QR (72) Pokazać, że istnieje rozkład SVD macierzy wymiaru n i n (krok pierwszy dowodu indukcyjnego istnienia rozkładu SVD) (73) Obliczyć rozkład SVD macierzy 3 3 (74) Obliczyć wartości własne i singularne macierzy A + εe n e gdzie A jest blokiem Jordana rozmiaru n o wartości własnej zero (w wersji z jedynkami nad przekątną) 8 Numeryczne wyznaczanie zer (8) Stosując metodę połowienia (bisekcji) wyznaczyć pierwiastek równania f(x) = x 3 x + w przedziale [ 2, 2] (82) Znaleźć rozwiązanie równania x 2 = w przedziale [ 3, 5] metodą bisekcji zakładając wielkość błędu równą 25 (83) Za pomocą metody Newtona proszę obliczyć pierwiastek 2 (84) Rozwiąż podane równanie nieliniowe x 2 = metodą stycznych przyjmując punkt startowy x = 9 i wielkość błędu równą 25 9 Interpolacja (9) Wyznaczyć wielomian P stopnia 3 dla którego zachodz a warunki: P () = 3, P ( 3 2 ) =, P (2) =, P (3) = 2 Zapisać P przy pomocy wzoru interpolacyjnego Lagrange a oraz wzoru interpolacyjnego Newtona

5 (92) Niech x,, x n bȩd a różnymi liczbami rzeczywistymi oraz niech L (x),, L n (x) bȩd a wielomianami stopnia n takimi, że L i (x k ) = δ i,k dla i, k =,,, n Obliczyć n i= L i()x j i dla j =,,, n + (93) Niech x, x,, x m bȩd a różnymi liczbami rzeczywistymi Pokazać, że f[x, x,, x m ] = m f(x i) i= Φ (x, gdzie Φ(x) = (x x i) )(x x ) (x x m ) (94) Funkcjȩ ln(x) interpolujemy wielomianem drugiego stopnia w wȩzłach,, 2 Oszacować bł ad interpolacji w punkcie (95) Niech f : [a, b] R bȩdzie funkcj a klasy C tak a, że dla pewnej stałej M > oraz dla każdego x [a, b] oraz i N zachodzi f (i) (x) < M Ponadto niech, dla każdego n N, A n bȩdzie (n + )-elementowym podzbiorem [a, b], a P n wielomianem stopnia n takim, że P n An = f An Czy ci ag {P n } jest zbieżny jednostajnie do f na [a, b]? (96) Dana jest funkcja I(x) = π π cos(x sin t)dt Niech P n (x) bȩdzie wielomianem stopnia n interpoluj acym funkcjȩ I w n + równoodległych wȩzłach na przedziale [, ] Czy ci ag {P n } jest zbieżny jednostajnie do I na przedziale [, ]? (97) Wyznaczyć wielomian Q(x) stopnia co najwyżej czwartego taki, że Q() = Q () =, Q() = Q () =, Q(2) = (98) Wyznaczyć wielomian P (x) stopnia co najwyżej czwartego taki, że P ( 2) = 3, P ( ) = 3, P ( ) = 2, P ( ) = 2 oraz P () = 3 (99) Funkcjȩ f C n+ ([, ]) interpolujemy w wȩzłach x, x,, x n [, ] wielomianem P n stopnia n Wtedy sup x [,] P n (x) f(x) α, gdzie α = max z [,] f (n+) (z) max x [,] (x x )(x x ) (x x n ) (n + )! W jaki sposób należy wybrać wȩzły, żeby α było najmniejsze? Wykonać odpowiednie rachunki (obliczyć również α) dla n = 2 oraz f(x) = x+3 (9) Pokazać, że dla n + wȩzłów x < x < < x n < π oraz wartości y,, y n istnieje dokładnie jeden wielomian trygonometryczny C(x) = a j cos(jx) j= taki, że C(x k ) = y k Czy teza twierdzenia pozostaje prawdziwa jeśli wȩzły wybieramy z przedziału [ π 2, π 2 ]?

6 (9) Wyznaczyć wielomian P stopnia 3 dla którego zachodzą warunki: P () = 3, P ( 3 2 ) =, P (2) =, P (3) = 2 Zapisać P przy pomocy wzoru interpolacyjnego Lagrange a oraz wzoru interpolacyjnego Newtona (92) Niech x,, x n będą różnymi liczbami rzeczywistymi oraz niech L (x),, L n (x) będą wielomianami stopnia n takimi, że L i (x k ) = δ i,k dla i, k =,,, n Obliczyć n i= L i()x j i dla j =,,, n + (93) Niech x, x,, x m będą różnymi liczbami rzeczywistymi Pokazać, że f[x, x,, x m ] = m f(x i) i= Φ (x, gdzie Φ(x) = (x x i) )(x x ) (x x m ) (94) Funkcję ln(x) interpolujemy wielomianem drugiego stopnia w węzłach,, 2 Oszacować błąd interpolacji w punkcie (95) Niech f : [a, b] R będzie funkcją klasy C taką, że dla pewnej stałej M > oraz dla każdego x [a, b] oraz i N zachodzi f (i) (x) < M Ponadto niech, dla każdego n N, A n będzie (n + )-elementowym podzbiorem [a, b], a P n wielomianem stopnia n takim, że P n An = f An Czy ciąg {P n } jest zbieżny jednostajnie do f na [a, b]? (96) Dana jest funkcja I(x) = π π cos(x sin t)dt Niech P n (x) będzie wielomianem stopnia n interpolującym funkcję I w n + równoodległych węzłach na przedziale [, ] Czy ciąg {P n } jest zbieżny jednostajnie do I na przedziale [, ]? (97) Wyznaczyć wielomian Q(x) stopnia co najwyżej czwartego taki, że Q() = Q () =, Q() = Q () =, Q(2) = (98) Wyznaczyć wielomian P (x) stopnia co najwyżej czwartego taki, że P ( 2) = 3, P ( ) = 3, P ( ) = 2, P ( ) = 2 oraz P () = 3 (99) Funkcję f C n+ ([, ]) interpolujemy w węzłach x, x,, x n [, ] wielomianem P n stopnia n Wtedy sup x [,] P n (x) f(x) α, gdzie α = max z [,] f (n+) (z) max x [,] (x x )(x x ) (x x n ) (n + )! W jaki sposób należy wybrać węzły, żeby α było najmniejsze? Wykonać odpowiednie rachunki (obliczyć również α) dla n = 2 oraz f(x) = x+3 (92) Pokazać, że dla n + węzłów x < x < < x n < π oraz wartości y,, y n istnieje dokładnie jeden wielomian trygonometryczny C(x) = a j cos(jx) j= taki, że C(x k ) = y k Czy teza twierdzenia pozostaje prawdziwa jeśli węzły wybieramy z przedziału [ π 2, π 2 ]?

7 (92) Przeprowadzić następujący eksperyment Wybrać funkcję na odcinku [,] Następnie razy wybieramy losowo 5 różnych punktów na [,] jako węzły interpolacji Wyznaczyć, która z interpolacji (tzn który wybór punktów) była najlepsza Czy jest to zgodne z teorią? (922) Znaleźć wielomian Lagrange a L 3 (x), L 3 (x), L 3 3(x) dla podanych węzłów: ( 2, 3), (, ), (, ), (2, 5) (923) Znaleźć wielomian interpolacyjny Lagrange a dla funkcji f(x) = x dla x = 2, x = 25, x 2 = 4 (924) Obliczyć za pomocą interpolacji Lagrange a następujące wartości danych funkcji: a) f(x) = x dla x = 7, b) f(x) = 6 x dla x = 5, 2 c) f(x) = log x dla x = 3 (925) Wyznaczyć wielomiany interpolacyjne Lagrange a stopnia, 2, 3, 4 i obliczyć f(25) jeśli: f(2) = 54, f(22) = 528, f(24) = 54, f(26) = 483, f(28) = 4359 (926) Obliczyć ilorazy różnicowe dla funkcji, której wartości są następujące: f() =, f(2) =, f(4) = 3, f(5) = 2 (927) Znaleźć wielomian interpolacyjny Newtona mając dane węzły: (, 4), (, ), (, ), (2, 5) (928) Przedstaw wielomiany w postaci Newtona: a) f(x) = 3x 2 5x + 6 dla x =, 2, 3, b) f(x) = 3x 2 9x + 8 dla trzech dowolnie wybranych punktów, c) f(x) = x 3 2x + 8 dla czterech dowolnie wybranych punktów (929) Proszę wyznaczyć wielomian P stopnia 3 dla którego zachodzą następujące warunki: P () = 3, P ( 3 2 ) =, P (2) =, P (3) = 2 Zapisz P przy pomocy wzoru interpolacyjnego Lagrange a oraz wzoru interpolacyjnego Newtona (93) Niech x,, x n będą różnymi liczbami rzeczywistymi oraz niech L (x),, L n (x) będą wielomianami stopnia n takimi, że L i (x k ) = δ ik dla i, k =,,, n Obliczyć n L i ()x j i dla j =,,, n + i= (93) Niech f : [a, b] R będzie funkcją klasy C taką, że dla pewnej stałej M > oraz dla każdego x [a, b] oraz i N zachodzi f (i) (x) < M Ponadto niech, dla każdego n N, A n będzie (n + )-elementowym podzbiorem [a, b], a P n wielomianem stopnia n takim, że P n An = f An Czy ciąg {P n } jest zbieżny jednostajnie do f na [a, b]? (932) Niech x,, x n będą różnymi liczbami rzeczywistymi Pokazać, że f[x, x,, x n ] = f(x i) Φ (x, gdzie Φ(x) = (x x i) )(x x ) (x x n ) i= (933) Znajdź wielomian interpolacyjny Hermite a, wiedząc, że: a) f(2) =, f (2) = 2, f (2) =, f(3) =, f (3) = 2; b) f(2) =, f(4) =, f (4) =, f (4) = (934) Oszacuj błąd powstały przy interpolacji Lagrange a przy: a) obliczaniu f(x) = 7 przy węzłach w punkach, 4 i 9; b) obliczaniu f(x) = sin π 36 znając wartości sin, sin π 6, sin π 4, sin π 3

8 (935) Dla funkcji f(x) = 3xe x e 2x obliczyć f(3) za pomocą wzorów interpolacyjnych Hermite a stopnia 3, przyjmując punkty węzłowe x = i x = 5 Oszacuj błąd interpolacyjny (936) Znaleźć wielomian interpolujący (trygonometryczny) funkcję daną wzorem { f(x) = x dla x [, π] 2π x dla x [π, 2π] w węzłach x =, x = π 2, x 2 = π, x 3 = 3π 2 (937) Wyznacz funkcję sklejaną stopnia 2, która w punktach x =, x =, x 2 = 2, x 3 = 3 ma wartości, 9, 2, (938) Dla tych samych danych z poprzedniego zadania wyznacz funkcję sklejaną stopnia 3 (939) Pokazać, że dla n + węzłów x < x < < x n < π oraz wartości y,, y n istnieje dokładnie jeden wielomian trygonometryczny W (x) = a j cos(jx) j= taki, że W (x k ) = y k Czy teza twierdzenia pozostaje prawdziwa jeśli węzły wybieramy z przedziału [ π 2, π 2 ]? Aproksymacja () Wyznaczyć rodziny wielomianów ortogonalnych związanych z następującymi funkcjami wagowymi: (a) w(x) = (x( x)) 2, dla x [, ], (b) w(x) =, dla x [, ] (2) Wyznaczyć wielomiany ortogonalne ϕ n (x) (n =,, 2, 3) ze współczynnikiem wiod"acym dla funkcji wagowej w(x) = + x 2 i x [, ] (3) Wyznaczyć wielomiany ortogonalne ϕ n (x) (n =,, 2, 3, 4) ze współczynnikiem wiod"acym na zbiorze { 2,,,, 2} z wag"a w i = dla i = 2,,,, 2 (4) Pokazać, że jeśli x = cos(φ) to U n (x) = sin(n+)φ sin φ jest wielomianem n-tego stopnia spełniającym wzór rekurencyjny: U n+ (x) = 2xU n (x) U n (x) Pokazać, że {U n } jest rodziną wielomianów ortogonalnych wzgl"edem funkcji wagowej w(x) = ( x 2 ) 2, dla x [, ] (5) Dla funkcji f(x) = π 2 x 2 oraz ustalonej liczby n N wyznaczyć wielomian trygonometryczny C(x) = n j= c j cos(jx) minimalizujący wartość wyrażenia π f(x) C(x) 2 dx (6) Wyznaczyć wielomian trygonometryczny H(t) = a + a sin( 2πt 2 ) + a 2 cos( 2πt 2 ) minimalizujący wartość wyrażenia 5 i= H(2s) G(2s) 2, jeśli G() =, G(2) = 6, G(4) = 4, G(6) = 6, G(8) = 2, G() = 8

9 (7) Niech {ϕ n } n= będzie ciągiem wielomianów zmiennej rzeczywistej o współczynnikach rzeczywistych takich, że ϕ n jest wielomianem stopnia n, ortogonalnym względem wszystkich wielomianów niższego stopnia w przedziale [a, b] z ciągłą wagą w : [a, b] [, ) Niech U n C n ([a, b]) będzie rozwiązaniem równania w(x)ϕ n (x) = dn U n (x) dx n Pokazać, że funkcja U n spełnia równanie [ U (n ) n q U (n 2) q + U (n 3) q + ( ) n U n q (n )] b = n n w którym q(x) jest dowolnym wielomianem stopnia co najwyżej n, a [ ] b F := F (b) F (a) dla dowolnej funkcji F na przedziale [a, b] a (8) Niech L n (x) = e x dn dx (e x x n ) dla n =,, 2, Pokazać, że {L n n } n= jest ciągiem wielomianów ortogonalnych względem funkcji wagowej w(x) = e x, gdzie x [, ) Wykazać, że zachodzi związek rekurencyjny L n+ = (2n + x)l n (x) n 2 L n (x), n (9) Dla funkcji f(x) = sin x określonej w przedziale [, π 2 ] znaleźć wielomian p Π 4 taki, że π 2 f(x) p(x) 2 dx = min q Π 4 π 2 f(x) q(x) 2 dx, gdzie Π 4 jest zbiorem wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych co najwyżej czwartego stopnia, (9) rozwiązując odpowiedni układ normalny, (92) stosując wielomiany Legendre a () Napisać program/funkcję która mając daną wagę i stopień wielomianu oblicza odpowiedni wielomian ortogonalny a następnie umieszcza na osi jego miejsca zerowe () Wyznacz funkcję liniową aproksymującą punkty (, ), (2, 25), (3, 35), (4, 4) Wyznacz błąd aproksymacji w sensie normy maksimum (2) Wyznacz parabolę aproksymującą punkty (, 5), (2, 7), (4, 5), (6, 4), (8, 25), (, 2) Wyznacz błąd aproksymacji w sensie normy maksimum (3) Dla zestawu danych x i 2 4 6 8 znajdź wielomian aproksymacyjny stopnia a) pierwszego b) drugiego w bazie wielo- y i 5 7 5 4 25 2 mianów ortogonalnych Wyznacz błąd aproksymacji w sensie normy maksimum (4) Wyznacz aproksymację trygonometryczną dla punktów (, 3), ( π 3, 2), (2π 3, 3), (π, ), ( 4π 3, ), (5π 3, 2) (5) Znaleźć wielomian drugiego stopnia najlepiej przybliżający, w sensie metryki średniokwadratowej funkcję f(x) = x w przedziale [, 2] (6) Wyznaczyć rodziny wielomianów ortogonalnych związanych z następującymi funkcjami wagowymi: (6) w(x) = (x( x)) 2 dla x [, ], a

2 (62) w(x) = dla x [, ] (7) Wyznaczyć wielomiany ortogonalne ϕ n (x) (n =,, 2, 3) ze współczynnikiem wiodącym dla funkcji wagowej w(x) = + x 2 i x [, ] (8) Proszę pokazać, że jeśli x = cos(φ) to U n (x) = sin(n+)φ sin φ jest wielomianem n-tego stopnia spełniającym wzór rekurencyjny: U n+ (x) = 2xU n (x) U n (x) Pokazać, że {U n } jest rodziną wielomianów ortogonalnych względem funkcji wagowej w(x) = x 2 dla x [, ] (9) Niech L n (x) = e x dn dx (e x x n ) dla n =,, 2, Proszę pokazać, że n {L n } n= jest ciągiem wielomianów ortogonalnych względem funkcji wagowej w(x) = e x, gdzie x [, ) Wykazać, że zachodzi związek rekurencyjny: L n+ = (2n + x)l n (x) n 2 L n (x), n Całkowanie numeryczne () Obliczyć xdx za pomocą metody prostokątów z h = /4 trapezów z h = /4 Newtona-Cotesa z węzłami inerpolacji w punktach /8, 3/8, 5/8, 7/8 (najwygodniej posłużyć się tu programem komputerowym do rozwiązania układu równań 4 4, można też ewentualnie zmniejszyć liczbę węzłów do trzech) Porównać otrzymane wyniki z rzeczywistą wartością xdx Który ze sposobów okazał się lepszy, dlaczego? (2) Wykazać, że wzór trapezów dla całkowania w przedziale o długości 2π i dla h = 2π/(n + ) jest dokładny dla wszystkich wielomianów trygonometrycznych stopnia n o okresie 2π, tzn dla funkcji postaci c k e ikt, c k C k= n (3) Wyprowadzić dwupunktowy wzór Gaussa dla całki f(x)dx Skorzystać z wzajemnie jednoznacznego przekształcenia afinicznego odcinka [a, b] (a < b) na [, ] i wyprowadzić dwupunktowy wzór Gaussa dla całki b a f(x)dx (4) W oparciu o wielomiany Czebyszewa wyprowadzić k + punktowy wzór całkowania dla całek postaci f(x)( x 2 ) /2 dx, dokładny dla wielomianów stopnia 2k + (5) Oszacować błąd obcięcia przy obliczaniu całki x4 sin xdx metodą Newtona- Cotesa z węzłami, /2,, /2, (Zastosować teorię z [Björck, Dahlquist, rozdział 746]) (6) (6) Pokazać, że dla dowolnego M i dla dowolnego n istnieje funkcja ciągła f na przedziale [, ] taka, że błąd obcięcia przy

obliczaniu całki f(t)dt metodą prostokątów z h = 2 k jest większy niż M dla k =, n (62) Pokazać, że f w punkcie (a) może być wybrane w klasie wielomianów (63) Czy powyższe zjawisko zachodzi dla również dla metod Newtona- Cotesa i Gaussa? (7) Stosując metodę trapezów oblicz całkę π 2 sin xdx dzieląc przedział na cztery części (8) Stosując metodę Simpsona oblicz poniższe całki dzieląc przedział całkowania na N części: (8) (x 2 + 2x)dx dla N = (82) 3 (x 2 3x + 5)dx dla 4, N = 3, (9) Stosując metodę Newtona-Cotesa (przy interpolacji wielomianem 3-go stopnia), obliczyć całkę: 2 ( 8x 3 + 4x 2 + 2x + 8)dx () Wyznacz współczynniki kwadratury, która jest oparta na interpolacji Lagrange a dla węzłów x =, x =, x 2 = 2, x 3 = 3 () Policz przybliżoną wartość całki funkcji (2) Policz dla węzłów z poprzedniego zadania π 3 x x 2 dx stosując kwadraturę + sin xdx korzystając z przybliżenia funkcji podcałkowej wielomianem interpolacyjnym Lagrange a dla węzłów x =, x = π 3, x 2 = 2π 3, x 3 = π Podaj górne oszacowanie na błąd tej kwadratury (3) Oblicz xdx za pomocą metody: (3) prostokątów z h = 4, (32) trapezów z h = 4, (33) Newtona-Cotesa z węzłami interpolacji w punktach 8, 3 8, 5 8, 7 8 (najwygodniej posłużyć się tu programem komputerowym do rozwiązania układu równań 4 4, można też ewentualnie zmniejszyć liczbę węzłów do trzech) Proszę porównać otrzymane wyniki z rzeczywistą wartością xdx Który ze sposobów okazał się lepszy, dlaczego? (4) Oblicz współczynniki (węzły i wagi) dla kwadratury Gaussa, gdy n = 2 (5) Wyprowadzić dwupunktowy wzór Gaussa dla całki f(x)dx Skorzystać z wzajemnie jednoznacznego przekształcenia afinicznego odcinka [a, b],

22 gdzie (a < b) na [, ] i wyprowadzić dwupunktowy wzór Gaussa dla całki b a f(x)dx (6) Stosując kwadraturę Gaussa dla dwóch węzłów oblicz całkę )dx (7) Oblicz całkę π/2 (4x 3 +5x 2 + sin xdx stosując kwadraturę Gaussa dla trzech węzłów (8) W oparciu o wielomiany Czebyszewa wyprowadzić k + -punktowy wzór całkowania dla całek postaci f(x)( x 2 ) 2 dx, dokładny dla wielomianów stopnia 2k +