Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne 2016/17 1
|
|
- Natalia Chmielewska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne /7 Warunkiem koniecznym (nie wystarczającym) uzyskania zaliczenia jest rozwiązanie co najmniej 3 z poniższych zadań, przy czym zadania oznaczone literą O są obowiązkowe. Jeśli zadanie ma podpunkty, to wciąż jest to jedno zadanie. W rozwiązaniu należy wskazać algorytm, którym się posłużono i uzasadnić jego wybór. Rozwiązania wykorzystujące niewłaściwy algorytm (na przykład algorytm dla macierzy pełnej w przypadku macierzy rzadkiej) będą odrzucane. Rozwiązanie powinno obejmować krótkie omówienie wyników. Do rozwiązania proszę dołączyć kod programu. Rozwiązanie każdego zadania osobno, w postaci jednego pliku pdf o nazwie XXnazwisko.pdf, gdzie XX są cyframi odpowiadającymi numerowi zadania, proszę przesyłać do mnie elektronicznie na adres pawel.gora@uj.edu.pl.. Rozwiązać układ równań = O. Dobierając odpowiedni algorytm (wybór należy uzasadnić!), rozwiązać układ równań = () () 3. Dane są następująca macierz i wektory: A = b = b 3 = , b =, b 4 = ,., (3) Definiujemy z i = A b i dla i =,, 3, 4. Obliczyć b b, b 3 b 4, z z / b b, z 3 z 4 / b 3 b 4. Zinterpretować otrzymane wyniki.
2 Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne /7 4 O. Dane jest macierz A R 8 8 o następującej strukturze A = (4) Rozwiązać równanie A = e, gdzie A jest macierzą (4), natomiast e jest wektorem, którego wszystkie składowe są równe, za pomocą (a) metody Gaussa-Seidela, (b) metody gradientów sprzężonych. Algorytmy musza uwzględniać strukturę macierzy (4) w przeciwnym razie zadanie nie będzie zaliczone! Oba algorytmy proszę zastartować z tego samego przybliżenia początkowego. Porównać graficznie tempo zbieżności tych metod, to znaczy jak zmieniaję się normy k k, gdzie k oznacza k-ty iterat. Porównać efektywną złożoność obliczeniową ze złożonością obliczeniową rozkładu Cholesky ego dla tej macierzy.. Dana jest macierz A = () Przy użyciu metody potęgowej znajdź jej dwie największe na moduł wartości własne i odpowiadające im wektory własne.. Sprowadź macierz z zadania do postaci trójdiagonalnej, a następnie znajdź jej wszystkie wartości własne.
3 Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne / Konstruując odpowiednią macierz symetryczną, rzeczywistą, znajdź wartości własne i unormowane wektory własne poniższej macierzy hermitowskiej: i i i i () Wskazówka: Wektory własne tej macierzy mogą być zespolone. Normę wektora u C N obliczamy jako u = u u. 8. Dana jest macierz (7) Znajdź jej (przybliżony) wektor własny do wartości własnej λ Zbudować wielomian interpolacyjny oparty na następującej tabelce: y Podać jawne współczynniki wielomianu interpolacyjnego. O. Znajdź, z dokładnością do czterech cyfr dziesiętnych, wartości współczynników wielomianu interpolacyjnego opartego na następującej tabelce: f() Sporządź wykres uzyskanego wielomianu w przedziale i zaznacz na nim punkty, które posłużyły do jego konstrukcji.. Znaleźć wartości funkcji f() = + (8) w punktach, + 3, + 3,..., 3,, a następnie skonstruować wielomian interpolacyjny Lagrange a oparty na tych węzłach i wartościach funkcji (8) w tych węzłach. Narysować wykres wielomianu interpolacyjnego. O. Skonstruować naturalny splajn kubiczny dla funkcji i węzłów z zadania. Sporządzić jego wykres. 3. Skonstruować interpolację funkcjami wymiernymi według algorytmu Floatera i Hormanna z parametrem d = 3 dla funkcji i węzłów z zadania. Sporządzić odpowiedni wykres.
4 Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne /7 4 4 O. Posługując się wzorem trapezów i metodą Romberga, oblicz całkę z dokładnością do 7. Wskazówka: I = sin ( π + ) + e d (9) I = A ( sin π + ) + e d } {{ } I + ( sin π + ) + e d A } {{ } I ogon () prz czym I ogon A ( sin π + ) + e d A e d = e A. () Znajdź A takie, że e A < 7, a następnie znajdź numerycznie wartość I z odpowiednią dokładnością.. Niech F () = Narysuj wykres F () oraz oblicz lim F () z dokładnością 8.. Dane jest równanie ( ) + t cos t e t dt () +.4 ( ) sinh 3 =. (3) Zastosuj algorytm siecznych i algorytm oparty o trzypunktową interpolację odwrotną do znalezienia rozwiązania równania (3), startując, odpowiednio, z dwu i trzech losowych punktów z przedziału (, ). Punkty początkowe dla metody siecznych mają być dwoma z trzech punktów początkowych dla algorytmu opartego o iterację odwrotną. Wyznacz miejsce zerowe z dokładnością do 8. Powtórz zadanie dla kilku(nastu) różnych zestawów punktów początkowych. Porównaj wyniki. 7 O. Stosując metodę Laguerre a wraz ze strategią obniżania stopnia wielomianu i wygładzania, znajdź wszystkie rozwiązania równań 43z 7 48z + 783z 99z 4 + 8z 3 8z 7z + = z + z 9 + 3z 8 + z 7 z 3z z 4 8z 3 z 4z 4 = z 4 + iz 3 z iz + = (4a) (4b) (4c)
5 Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne /7 8. Rozwiąż układ równań + y = (a) ( ) + (y ) = (b) 4 9. Sporządź naturalny splajn kubiczny na podstawie danych zawartych w pliku th- Przedstaw graficznie punkty danych i znaleziony splajn.. Stosując metodę Brenta znajdź minimum funkcji skonstruowanej w poprzednim zadaniu (znalezionego splajnu!), startując z losowo wybranej pary bliskoleżących punktów z przedziału [. :.]; użyj tej pary to znalezienia trójki punktów wstępnie otaczających minimum. Powtórz zadanie dla kilkunastu różnych par punktów początkowych. O. Znajdź numerycznie (analitycznie zrobić można to bardzo łatwo) minimum funkcji Rosenbrocka (zobacz rysunek) Rosenbrock function z = (-) + (y- ) y f(, y) = ( ) + (y ). () Rozpocznij poszukiwania od kilku kilkunastu różnych, losowo wybranych punktów i oszacuj, ile trzeba kroków aby zbliżyć się do minimum narozsądną odległość. Przedstaw graficznie drogę, jaką przebywa algorytm poszukujący minimum (to znaczy pokaż położenia kolejnych minimalizacji kierunkowych lub kolejnych zaakceptowanych kroków wykonywanych w metodzie Levenberga Marquardta).. Startując z kilku losowo wybranych punktów poczatkowych, spróbuj numerycznie znaleźć minima czterowymiarowej funkcji Rosenbrocka f(,,, 4 ) = ( ) + ( ) + ( 3 ) + ( 4 3). (7)
6 Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne /7 3. Startując ze 8 punktów początkowych, rozmieszczonych losowo w kwadracie [ 3, 3] [ 3, 3], znajdź minima funkcji f(, y) =. 4 + y ( y) (8) 4. Dopasuj wielomiany niskich stopni do danych zawartych w pliku uj.edu.pl/zfs/gora/metnum/w.tt, zakładając, że pomiary są nieskorelowane i obarczone takim samym błędem. Ustal za pomocą kryterium Akaike, jaki stopień wielomianu wybrać. Przyjmując σ = N (y i w( i )), (9) N i= gdzie ( i, y i ) oznaczają punkty pomiarowe, N jest liczbą pomiarów, w() dopasowanym wielomianem, znajdź macierz kowariancji estymatorów (czyli współczynników dopasowanego wielomianu). Jest to jeden z niewielu przypadków, w których trzeba eplicite znaleźć odwrotność jakiejś macierzy.. Znajdź przybliżenia Padé R 4, R 3, R, R 3, R 4 funkcji E() = π sin θ dθ, (, ) () Sporządź ich wykresy, oraz wykres samej funkcji (), w przedziale [.,.]. Wskazówka: Use Mathematica, Luke! PFG
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowox y
Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka
Bardziej szczegółowoRównania nieliniowe. LABORKA Piotr Ciskowski
Równania nieliniowe LABORKA Piotr Ciskowski przykład 1. funkcja fplot fplot ( f, granice ) fplot ( f, granice, n, linia, tol ) [ x, y ] = fplot ( )» fplot ( sin(x*x)/x, [ 0 4*pi ] )» fplot ( sin(x*x)/x,
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.
OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH. Obliczanie pochodnych funkcji. Niech będzie dana funkcja y(x określona i różniczkowalna na przedziale
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowoBardzo łatwa lista powtórkowa
Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Bardziej szczegółowoLaboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych
Uniwersytet Zielonogórski Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Elektrotechnika niestacjonarne-zaoczne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Aproksymacja i zagadnienie najmniejszych kwadratów
Wstęp do metod numerycznych Aproksymacja i zagadnienie najmniejszych kwadratów P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011/12 Aproksymacja Termin aproksymacja występuje w dwu znaczeniach: Aproksymacja
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna kolokwium2a-15grudnia2005
kolokwium2a-15grudnia2005 1.Niechf(x)=a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 0.Jakąwartośćprzyjmujeilorazróżnicowy f[x 0,...,x n ]dladowolnychn+1paramiróżnychwęzłówx j?odpowiedźuzasadnić. 2. Pokazać, że zamiana zmiennych
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1: Zagadnienia do opanowania:
Laboratorium komputerowe oraz Ćwiczenia rachunkowe z przedmiotu Metody obliczeniowe Prowadzący: L. Bieniasz (semestr letni 018) Zagadnienia do opanowania przed zajęciami, pomocnicze zadania rachunkowe
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 8 Interpolacja Interpolacja polega na budowaniu tzw. funkcji interpolujących ϕ(x) na podstawie zadanych
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski
Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia
Bardziej szczegółowoModelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R
Modelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R Metody numeryczne i symulacje stochastyczne Mateusz Topolewski woland@mat.umk.pl Wydział Matematyki i Informatyki UMK Plan działania 1 Całkowanie
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Strategia minimalizacji wielowymiarowej Zakładamy, że metody poszukiwania minimów
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowo3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która
3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Optymalizacja. Wojciech Szewczuk
Metody Numeryczne Optymalizacja Optymalizacja Definicja 1 Przez optymalizację będziemy rozumieć szukanie minimów lub maksimów funkcji. Optymalizacja Definicja 2 Optymalizacja lub programowanie matematyczne
Bardziej szczegółowoZał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Obliczenia Naukowe Nazwa w języku angielskim : Scientific Computing. Kierunek studiów : Informatyka Specjalność
Bardziej szczegółowodr inż. Damian Słota Gliwice r. Instytut Matematyki Politechnika Śląska
Program wykładów z metod numerycznych na semestrze V stacjonarnych studiów stopnia I Podstawowe pojęcia metod numerycznych: zadanie numeryczne, algorytm. Analiza błędów: błąd bezwzględny i względny, przenoszenie
Bardziej szczegółowoZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ
ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoInterpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D
Interpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D Dariusz Jacek Jakóbczak Politechnika Koszalińska Wydział Elektroniki i Informatyki Zakład Podstaw Informatyki i Zarządzania e-mail: Dariusz.Jakobczak@tu.koszalin.pl
Bardziej szczegółowoECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures.
Algorytmy i struktury danych. Metody numeryczne ECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures. dzienne magisterskie Numerical methods. (Part 2. Numerical methods)
Bardziej szczegółowoZakłócenia w układach elektroenergetycznych LABORATORIUM 3
Zakłócenia w układach elektroenergetycznych LABORATORIUM 3 Przekształcenie 0-1- Dane są napięcia w trzech fazach (symetryczne): U = V U A = U max sin(ωt + 11. ) U B = U max sin(ωt + 11. ) U C = U max sin(ωt
Bardziej szczegółowoDokąd on zmierza? Przemieszczenie i prędkość jako wektory
A: 1 OK Muszę to powtórzyć... Potrzebuję pomocy Dokąd on zmierza? Przemieszczenie i prędkość jako wektory Łódź żegluje po morzu... Płynie z szybkością 10 węzłów (węzeł to 1 mila morska na godzinę czyli
Bardziej szczegółowoInterpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne
Interpolacja, aproksymacja całkowanie Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Aproksymacja Punkty kontrolne jedynie sterują kształtem krzywej INTERPOLACJA Zagadnienie interpolacji można sformułować
Bardziej szczegółowoIteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów Autorzy: Maria Kosiorowska Marta Kornafel Grzegorz Kosiorowski Grzegorz Szulik Sebastian Baran Jakub Bielawski Materiały przygotowane w ramach projektu
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Wykład nr 2 Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n (nazywane węzłami interpolacji) i wartości w węzłach y 0,..., y n. Od węzłów żądamy spełnienia warunku x i x j dla
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 8 Interpolacja wielomianowa. Karol Tarnowski A-1 p.223
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykład 8 Interpolacja wielomianowa Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Wielomian interpolujący Wzór interpolacyjny Newtona Wzór interpolacyjny
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski
Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Elektrotechnika stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia
Bardziej szczegółowoElementy metod numerycznych
Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Transformacja Householdera Niech u R N, u 0. Tworzymy macierz W sposób oczywisty P T = P. Obliczmy
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Sposoby reprezentacji liczb całkowitych i rzeczywistych patrz wykład z Teoretycznych Podstaw
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x.
Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) Sprawdzić że macierz ma wartości własne2+ 222 2 2 Niechx R n Udowodnić że 2 0 0 x x 2 n x 3 NiechA R n n będzie macierzą symetryczną Wiadomo że wówczas istnieje
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest
Bardziej szczegółowoZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY
ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Algebraiczna metoda gradientów sprzężonych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Metoda gradientów sprzężonych motywacja Rozważmy funcję f : R N R f(x) = 1 2
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoNumeryczne rozwiązywanie równań i układów równań
Lekcja Strona z 2 Numeryczne rozwiązywanie równań i układów równań Rozwiązywanie pojedynczego równania - funkcja root Do rozwiązywania jednego równania z jedną niewiadomą służy funkcja root(f(z), z), gdzie:
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 1. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.02.2019 1 / 54 Plan wykładu Optymalizacja funkcji jednej
Bardziej szczegółowoDOPASOWYWANIE KRZYWYCH
DOPASOWYWANIE KRZYWYCH Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Motywacje Przykład 1. Dane o przyroście światowej populacji są aktualizowane co każde 10 lat, celem szacowania średniego przyrostu rocznego.
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 9. Miejsca zerowe wielomianów. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 9. Miejsca zerowe wielomianów P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Podstawowe Twierdzenie Algebry Rozwiazywanie równań wielomianowych P n (z) = a n z n + a n
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoWyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego
Ćwiczenie M6 Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego M6.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego poprzez analizę ruchu wahadła prostego. M6..
Bardziej szczegółowoRzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P.
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1
Bardziej szczegółowoStatystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów
Statystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów dla studentów Ochrony Środowiska Teresa Jaworska-Gołąb 2017/18 Co czytać [1] H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa 1999. [2] A. Zięba, Analiza
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-R1A1P-052 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoKORELACJE I REGRESJA LINIOWA
KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
Bardziej szczegółowoPendolinem z równaniami, nierównościami i układami
Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami 1. Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych. Równaniami z jedną niewiadomą są, np. równania: 2 x+3=5 x 2 =4 2x=4 9=17 x 3 2t +3=5t 7 Równaniami
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 5. Numeryczne zagadnienie własne. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 5. Numeryczne zagadnienie własne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Zagadnienie własne Definicja: Niech A C N N. Liczbę λ C nazywam wartościa własna macierzy
Bardziej szczegółowoStatystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów
Statystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów dla studentów ZMIN Teresa Jaworska-Gołąb 2017/18 Co czytać [1] I Pracownia fizyczna, Andrzej Magiera red., Oficyna Wydawnicza IMPULS, Kraków 2006; http://www.1pf.if.uj.edu.pl/materialy/zalecana-literatura
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński
Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa
Bardziej szczegółowo