Przykładowy program ćwiczeń

Transkrypt

1 Przykładowy program ćwiczeń Ćwiczenie 1. Obliczenie funkcji elementarnych za pomocą szeregów. Opracowanie wyrażeń rekurencyjnych. 3 4 Realizacja w Ecelu funkcji e 1. 1!! 3! 4! Przykład 1: Obliczenie wartości wielomianu metodą Hornera y = a 0 n + a 1 n-1 + a n a n-1 + a n i y =(...((a 0 +a 1 )*+a )*+...+a n-1 )*+a n a(i) (a 0 +a 1 ) ((...)*+a) ((..)*+a 3 ) ((...)*+a4) Przykład : Obliczenie wartości funkcji przy pomocy szeregów 1, e =1+/1! + /! + 3 /3! n /n! i e =y(1)+y()+y(3)+...+y(n) y(i) 1 1 0,5 0, , y(1)=1, y(i) = y(i-1)* / (i-1) Wynik, Zadania indywidualne na ocenę według wariantów: y 1 cos! 4! 6! 8!. y sin 3! 5! 7! 9! y ln(1 ) y arctg y 1 ch! 4! 6! 8! 6. y sh 3! 5! 7! 9! y ( ) ln n n 1 y a0 a1 an 1 an 9. y tg Uwaga: Możliwa jest realizacja wybranego zadania w postaci programu (C++, Pascal, lub inny język programowania).

2 . Metody całkowania numerycznego prostokątów i trapezów Metody obliczenia całki y f ( ) d 0, f ( ) 1 a=0 n= 6 b=1 h= 0, i (i) 0 0, , ,5 0, , f((i)) 1 0, , , , , ,49E-08 prostokątów trapezów 0, , Ćwiczenie. 1. Metody rozwiązywania równań nieliniowych (wyznaczenie miejsca zerowego funkcji): Metoda siecznej. Metoda stycznej. delta = 1,00E-10 = 0 1,5,,1 f() = ,65 0,168-0,459 b ò a i = a =,1,17306, ,174559, , f(a) = -0,459-0, , ,7E-06-4,7306E-08-8,906E-10 b =,,,,,, f(b) = 0,168 0,168 0,168 0,168 0,168 0,168 (i) =,17306,174536,174559, , , f((i)) = -0, , ,7E-06-4,73E-08-8,906E-10-1,4531E-11 Metoda Newtona (stycznej) delta = 1,00E-10 f'()=3^-4+1 f''()=6-4 i = a =,1,1,1,1,1,1 f(a) = -0,459-0,459-0,459-0,459-0,459-0,459 f'(a) = 5,83 5,83 5,83 5,83 5,83 5,83 f''(a) = 8,6 8,6 8,6 8,6 8,6 8,6 b =,5,30769,176650,174565, , f(b) =,65 0, , ,974E-05 4,186E-11 4,18598E-11 f'(b) = 9,75 7, , , , , f''(b) = 11 9, , , , , (i) =,30769,17665,174565, , , f((i)) = 0, , ,974E-05 4,186E Rozwiązanie równania nieliniowego metodą siecznej lub metodą stycznej. Zadania indywidualne na ocenę według wariantów (realizacja w Ecelu i/lub w postaci programu): 1. 8ln(9)-7 +5=0 1= ln(0.1486)-sin()+3=0 1= ln( )-sin(4)+=0 1= cos(5)-33-30=0 1= ln(0.15)-sin(4)+1=0 1=

3 6. 5ln(5)-36+9=0 1= ln(9)-36+9=0 1= ln(0.5)-sin()+4=0 1= cos(5)-7-8=0 1= ln(7)-9+=0 1= ln(5)-6+=0 1= ln( )-sin(5)+4=0 1= ln(0.15)-sin(4)+9=0 1= ln(0.1486)-sin(5)+1=0 1= cos(3)-31-4=0 1= cos(3)-18-37=0 1= ln(4)-4+=0 1= ln( )-sin(3)+4=0 l= cos(5)-48-7=0 1= ln(0.5)-sin4+1=0 1= ln(0.15)-sin()+=0 1= ln(6)-5+9=0 1= ln(6)-4+10=0 1= ln(5)-9+=0 1= ln()-+=0 1= Ćwiczenie 3. Rozwiązanie układu równań liniowych: metoda eliminacji Gaussa + redukcja wsteczna. Zadania indywidualne na ocenę według wariantów - realizacja na kartkach (przykładowe zadania znajdują się na końcu tego pliku) + opracowanie programu. Ćwiczenie Rozwiązanie układu równań liniowych A*=b i obliczenie wyznacznika macierzy A. (metoda rozkładu LU z wyborem elementu wiodącego + metoda podstawienia +redukcja wsteczna).. Sprawdzenie mnożenie macierzy L przez macierz U oraz mnożenie macierzy A przez wektor b. Realizacja program. Ćwiczenie Rozwiązanie układu równań liniowych A*X=B (kilka wektorów wyrazów wolnych) i obliczenie macierzy odwrotnej do macierzy A. (metoda Jordana-Gaussa z wyborem elementu wiodącego + redukcja wsteczna).. Sprawdzenie mnożenie macierzy A przez macierz X. Realizacja program. Ćwiczenie Realizacja programowa metody interpolacji wielomianowej (rozbudowa programu opracowanego w ramach ćwiczenia 4,5 lub 6).. Sprawdzenie: obliczenie wartości wielomianu w zadanych punktach (i) (i=0,1,...,n). 3. Realizacja programowa metody aproksymacji wielomianowej. 4. Sprawdzenie: obliczenie kryteriów jakościowych funkcji aproksymującej (odchylenie kwadratowe). Ćwiczenie 7. Zaliczenie zaległych ćwiczeń.

4 Zaawansowane metody numeryczne WYKŁAD 1 (3 godz.) Macierze pasmowe, rzadkie i blokowe. 1. Formaty przedstawienia w/w macierzy w komputerze.. Operacje na macierzach pasmowych, rzadkich i blokowych. Transponowanie, norma, macierzy, A+B, A-B, const*a, macierz*wektor, macierz*macierz, wyznacznik, odnalezienie macierzy odwrotnej. 3. Osobliwości rozwiązywania układów równań liniowych (URL) z macierzami pasmowymi, rzadkimi i blokowymi. 4. Źle uwarunkowane układy i macierze. Współczynnik uwarunkowania macierzy. WYKŁAD (4 godz.) Ortogonalne macierze i przekształcenia. Rozkład QR-macierzy prostokątnych za pomocą metod przekształceń ortogonalnych. Metoda odbić Householdera: wzory macierzowe, wzory dla macierzy A(4,3), fragment programu; Metoda obrotów Givensa; Ortogonalizacja Gramma-Schmidta. WYKŁAD 3 (3 godz.) Rozwiązanie problemu najmniejszych kwadratów. 1. Rozwiązanie problemu najmniejszych kwadratów w oparciu o metody Householdera i Givensa.. Metoda Faddeeva (oryginalna i ortogonalna) i jej zastosowania. 3. Odnalezienie macierzy odwrotnej i pseudo-odwrotnej w oparciu w/w metody przekształceń orthogonalnych. WYKŁAD 4 (4 godz.) Metody odnalezienia wartości własnych i wektorów własnych macierzy. 1. Metody odnalezienia wartości własnych i wektorów własnych macierzy symetrycznych: Metoda Jacobi ego; Metody iteracji prostej i odwrotnej; Metoda QR i jej modyfikacje: (QR z przesunięciem, QL).. Odnalezienie wartości własnych macierzy trój-diagonalnych i Hessenberga: Metoda bisekcji; Metoda Lanczos a. WYKŁAD 5 (4 godz.) 1. Zastosowanie metod numerycznych w modelowaniu procesów ewolucyjnych: w analizie obwodów elektrycznych, modelowaniu zjawisk fizycznych i ekonomicznych, w biologii.. Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych: metody jednokrokowe: schematy różnicowe Eulera, Heuna i Rungego-Kutty; metody wielokrokowe: schematy różnicowe Adamsa-Bashfortha i Adamsa-Moultona; zbieżność schematów różnicowych i dokładność obliczeń; stabilność rozwiązań: funkcja Lapunowa. 3. Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych: eliptycznych, hiperbolicznych i parabolicznych WYKŁAD 6 (5 godz.). 1. Zapewnienie zadanej dokładności i wiarygodności otrzymywanych wyników przy realizacji komputerowej metod numerycznych metoda zbyteczności czasowej TTR (ang. triple time redundance) ;

5 działania na przesuniętych argumentach; metoda ważonych sum kontrolnych WCS (ang. weighted checksum method);. Zastosowanie metody WCS do opracowania odpornych na błędy algorytmów algebry liniowej (mnożenia macierzy, redukcji wstecznej, eliminacji Gaussa i in.) WYKŁAD 7 (5 godz.) Realizacja metod numerycznych w systemach specjalistycznych i równoległych. 1. Sposoby obliczenia funkcji elementarnych 1/, sqrt(), sin(), tg(), itd. Metodą Voldera (CORDIC - ang. COordinate Rotation DIgital Computer). Przykład realizacji w oparciu o metodę CORDIC funkcji arctg().. Opracowanie równoległych wersji algorytmów numerycznych (na przykładzie algorytmów macierzowych, np. redukcji wstecznej, eliminacji Gaussa, metody Householdera i in.). Repetytorium ( godz.) Czynności kontrolne i organizacyjne związane z dopuszczeniem do zasadniczej sesji egzaminacyjnej. Literatura: 1. Fortuna Z., Macuków B., Wąsowski J. Metody numeryczne. WNT, 198, 1998 (seria podręczniki akademickie).. Baron B. Metody numeryczne w Turbo-Pascalu. Helion, Kiełbasiński A., Schwetlick H. Numeryczna algebra liniowa. WNT, Bjorck A., Dahlquist G. Metody numeryczne, PWN, J. i M. Jankowscy. Przegląd metod i algorytmów numerycznych. WNT, Kaczorek T. Wektory i macierze w automatyce i elektrotechnice. WNT, Stoer J. Wstęp do metod numerycznych. PWN, Ralston A. Wstęp do analizy numerycznej. WNT, Legras J. Praktyczne metody analizy numerycznej. WNT, Palczewski A. Równania różniczkowe zwyczajne. WNT, Ćwiczenia przykładowe Ćwiczenie 1 (3 godz.) Operacje na macierzach pasmowych, rzadkich i blokowych. Opracowanie i przetestowanie: programu konwertującego tablice dwuwymiarową reprezentującej macierz A[M][N] w format CSR i na odwrót; programu mnożenia macierzy pasmowej przez wektor (zadania indywidualne na ocenę według wariantów); programu do obliczenia wyznacznika macierzy blokowej; Ćwiczenie (3 godz.) Rozkład QR-macierzy prostokątnych na czynniki trójkątne. Opracowanie i przetestowanie: programu realizującego rozkład QR macierzy Hessenberga w oparciu o obroty Givensa; programu wyznaczającego prądy we wszystkich gałęziach zadanego obwodu elektrycznego, w oparciu o rozkład QR Householdera i redukcję wsteczną (zadania indywidualne na ocenę według wariantów). Ćwiczenie 3 ( godz.) Obliczenie wartości własnych i wektorów własnych macierzy. Opracowanie i przetestowanie: programu doprowadzającego macierz kwadratową do postaci Hessenberga. programu do odnalezienia wartości i wektorów własnych macierzy Hessenberga. Ćwiczenie 4 ( godz.) Zastosowanie metod numerycznych w modelowaniu procesów ewolucyjnych

6 Wyprowadzenie wzoru analitycznego (nie rekurencyjnego), pozwalającego na obliczenie i-tego elementu ciągu liczb Fibonacci ego. Model rozwijającej się ekonomiki. Inne podobne zadania. Ćwiczenie 5 ( godz.) Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych: eliptycznych, hiperbolicznych i parabolicznych Opracowanie i przetestowanie programu formującego (dla zadanego równania różniczkowego) i rozwiązującego układ równań liniowych z pasmową macierzą współczynników (zadania indywidualne na ocenę według wariantów). Ćwiczenie 6 ( godz.) Opracowanie odpornych na błędy algorytmów algebry liniowej. Opracowanie i przetestowanie programu realizującego odporną na błędy wersję algorytmu obrotów Givensa. Ćwiczenie 7 (1 godz.) Zaliczenie zaległych ćwiczeń.

7 Metody numeryczne Typy błędów powstających przy realizacji metod numerycznych. Dokładność obliczeń. Obliczenie funkcji elementarnych za pomocą szeregów. Macierze i ich typy, operacje na macierzach, prawa algebry macierzowej. Metody rozkładu macierzy na czynniki trójkątne LU, LL T i QR. Metody rozwiązywania układów równań liniowych i odwracania macierzy. Strategia wyboru elementu wiodącego. Obliczenie wyznacznika, rzędu i norm macierzy. Współczynnik uwarunkowania macierzy. Określenie złożoności obliczeniowej metod numerycznych. Interpolacja funkcji: wielomianowa, Lagrange a, Aitkena. Ekstrapolacja i interpolacja odwrotna. Aproksymacja funkcji: liniowa, wielomianowa, trygonometryczna. Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Interpretacja geometryczna metod siecznej, stycznej, iteracji prostej. Metody całkowania numerycznego. Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych metodami Eulera, Runge-Kutty. Metody wielokrokowe.