Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 13 stycznia 013 1 Reprezentacje liniowe grup skończonych 1. Pokazać, że zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z jedności jest grupa abelowa wzgle dem mnożenia.. Pokazać, że wszystkie automorfizmy 1-wymiarowej przestrzeni wektorowej V nad cia lem K sa homotetiami, tzn. jeśli h AutV, to istnieje k K (k 0 takie, że dla każdego v V, h(v = kv. 3. Znaleźć wszystkie 1-wymiarowe reprezentacje grup Z 4 i Z Z. 4. Znaleźć wszystkie 1-wymiarowe reprezentacje wszystkich skończonych grup cyklicznych C n. 5. Znaleźć regularna grupy Z 4. 6. Znaleźć regularna podgrupy G = {(1, (13, (4, (13(4} grupy S 4. 7. Znaleźć permutacyjna podgrupy G = {(1, (13, (4, (13(4} grupy S 4. 8. Znaleźć grupy czwórkowej Kleina w postaci grupy przekszta lceń R przeprowadzaja cych romb w siebie. 9. Pokazać, że równoważność reprezentacji 1-wymiarowych jest równościa tych reprezentacji. 1
PODREPREZENTACJE I SUMY PROSTE 10. Pokazać, że odwzorowania ( ( ( (a (1, (1, (13, ( ( ( (3, (13, (13 ; ( ( ( 0 ε (b (1, (1, (13 ε 1, ( ( 0 ( 0 ε 1 ε 0 ε 1 0 (3, (13 ε 0 0 ε 1, (13, 0 ε gdzie ε = 1+ 3 ; sa reprezentacjami grupy S 3. Sprawdzić, czy te reprezentacje sa równoważne. 11. Pokazać, że odwzorowanie ( 0, 1 3 (, 4 ( 1 1, ( 1 1, 5 (, 1 1 ( 0 1 1 1 jest reprezentacja grupy Z 6. Czy jest to reprezentacja unitarna? Znaleźć dowolna inna grupy Z 6 równoważna danej. 1. Sprawdzić, czy reprezentacje grupy S 3 z zadania 10 sa unitarne. 13. Opisać wierna grupy Z 4 w postaci odpowiedniej grupy obrotów p laszczyzny R. Znaleźć macierzowa postać tej reprezentacji. Podreprezentacje i sumy proste 1. Niech ϱ : G AutV be dzie reprezentacja regularna czwórkowej grupy Kleina G. (a Sprawdzić, że podprzestrzenie W 1 = L(e 1 + e + e 3 + e 4 i W = L(e 4 e 1, e 4 e, e 4 e 3 przestrzeni V = L(e 1, e, e 3, e 4 sa niezmiennicze wzgle dem tej reprezentacji.
3 CHARAKTERY REPREZENTACJI 3 (b Znaleźć podreprezentacje ϱ W 1 i ϱ W oraz określić ich wymiar.. Sprawdzić, że podprzestrzeń W = L(e 1 e 3, e e 3 przestrzeni V = L(e 1, e, e 3 jest niezmiennicza wzgle dem reprezentacji permutacyjnej grupy S 3. Roz lożyć te na sume prosta dwóch reprezentacji nierozk ladalnych. Znaleźć macierze wyjściowej reprezentacji w nowej bazie be da cej suma baz znalezionych podprzestrzeni niezmienniczych. 3. Dana jest 3-wymiarowa reprezentacja ϱ : Z AutV grupy Z wyznaczona przez przyporza dkowanie: 0 1 0. 0 (a Sprawdzić, czy ϱ jest reprezentacja unitarna? (b Sprawdzić, czy podprzestrzeń U := L(v 1 = (1, 1, 1 jest niezmiennicza wzgle dem reprezentacji ϱ. 4. Pokazać, że reprezentacja grupy czwórkowej Kleina w postaci grupy przekszta lceń R przeprowadzaja cych romb w siebie, jest rozk ladalna. Roz lożyć te na sume prosta reprezentacji nierozk ladalnych. 5. Pokazać, że odwzorowanie ( ( i i 1, g, g 0 i (, g 3 ( i i jest reprezentacja grupy cyklicznej rze du 4. Roz lożyć te na sume prosta reprezentacji nierozk ladalnych. 3 Charaktery reprezentacji 1. Stosuja c teorie charakterów sprawdzić, czy reprezentacje grupy cyklicznej C 4 : (a 1 (, g ( ( ( i 0, g, g 3 0 i
3 CHARAKTERY REPREZENTACJI 4 (b 1 (, g ( ( 0 i, g, g 3 ( i 0 sa równoważne. Czy reprezentacje te sa rozk ladalne?. Sprawdzić, czy reprezentacja grupy S 3 ( ( ( (1, (1, (13, 1 1 ( ( ( 1 1 1 1 (3, (13, (13 1 1 jest rozk ladalna. 3. Znaleźć klasy sprze żoności grupy kwaternionów Q 8. 4. Znaleźć liczbe nierozk ladalnych, parami nierównoważnych reprezentacji: (a grupy czwórkowej Kleina, (b grupy przemiennej rze du n, (c grupy S 3. 5. Znaleźć tabelki charakterów nierozk ladalnych grup cykliczych rze du i 3. 6. Znaleźć charakter -wymiarowej, nierozk ladalnej reprezentacji grupy S 3. 7. Znaleźć nierozk ladalne reprezentacje grupy kwaternionów Q 8. Znaleźć tabelke charakterów nierozk ladalnych grupy Q 8. Wskazówka: Wykazać, że niżej podane odwzorowanie jest nierozk ladalna grupy Q 8 : ( ( ( ( i 0 1, 1, i, i, j, j ( i 0 ( 0 i, k 0 i (, k. (
3 CHARAKTERY REPREZENTACJI 5 8. Znaleźć nierozk ladalne reprezentacje grupy D 4. Znaleźć tabelke charakterów nierozk ladalnych grupy D 4. Wskazówka: Wykazać, że niżej podane odwzorowanie jest nierozk ladalna grupy D 4 : ( ( ( ( i 0 1, g, g, g 3, h (, hg 0 i ( 0 i i 0, hg (, hg 3 ( 9. Znaleźć wszystkie reprezentacje nierozk ladalne zawarte w reprezentacji regularnej grupy (Z Z 3. Zadania dodatkowe 10. Znaleźć wszystkie jednowymiarowe, parami nierównoważne reprezentacje 0-elementowej grupy G, generowanej przez dwa elementy a, b takie, że a 10 = 1, a 5 = b, b 1 ab = a 1. Ile jest wszystkich nierozk ladalnych, parami nierównoważnych reprezentacji grupy G i jakie sa ich wymiary? 11. Uzupe lnić tabelke charakterów nierozk ladalnych grupy S 4. (1 (1(34 (1 (13 (134 χ 1 1 x 1 x x 3 x 4 χ 1 1 1 1 1 χ 3 0 χ 4 3 χ 5 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9. 1. Uzupe lnić tabelke charakterów nierozk ladalnych 1-elementowej grupy G, generowanej przez dwa elementy a, b takie, że a 7 = b 3 = 1 i b 1 ab = a. 1 a a 3 b b χ 1 χ χ 3 χ 4 α ᾱ 0 0 χ 5
3 CHARAKTERY REPREZENTACJI 6 gdzie α = 1+i 7.