Definicje- Algebra III

Transkrypt

1 Definicje- Algebra III Opracowane na podstawie notatek z wykładu w semetrze zimowym roku 2007r. (mocno niekompletne- umieszczono kilka pierwszych wykładów) r.

2 Algebry Definicja1(K-algebra)- Przestrzeń liniowa nad ciałem K z dwuliniowym mnożeniem. Definicja 2(Algebra łączna)- Algebra z łącznym mnożeniem. Definicja 3(Algebra przemienna)- Algebra z przemiennym mnożeniem. Definicja 4(Algebra z jedynką)- AlgebraA,wktórejistniejeelemente Abędącyjedynkąmnożenia: a A ea= ae=a. Definicja 5(Algebra z dzieleniem)- Algebra,wktórejzbiórA {0}jestgrupązewzględunamnożenie. Definicja 6(Algebra skończenie wymiarowa)- Algebra, która jako przestrzeń liniowa nad K jest skończenie wymiarowa. Definicja 7(Homomorfizm algebr)- NiechA,BbędąK-algebrami.Przekształcenieφ:A Bnazywamyhomomorfizmemalgebr,jeślijestK-liniowe,orazdladowolnycha 1,a 2 A: φ(a 1 a 2 )=φ(a 1 )φ(a 2 ). Definicja8(Mono-,Epi-,Izo-,Auto-algebr)- Homomorfizmφ:A Bnazywamy:monomorfizmem jeżeliφjestróżnowartościowe; epimorfizmem jeżeli φ(a) = B; izomorfizmem jeżeli φ jest monoiepi-;automorfizmem jeżeliφjestizo-orazb=a. Definicja 9(Ideał algebry, ideał obustronny)- JesttopodprzestrzeńIalgebryAtaka,żedlakażdegox Iidlakażdegoa A mamy:ax,xa I. Definicja 10(Algebra ilorazowa A/I)- Zbiór warstw algebry A względem ideału I, z mnożeniem indukowanym na reprezentantach warstw. 1

3 Definicja 11(Algebra z dzieleniem)- Algebra,wktórejzbiórA {0}jestgrupązewzględunamnożenie. Definicja 12(Algebra Liego)- Algebra,wktórejkażdyelementa Aspełniaa 2 =0orazdladowolnych x,y,z AzaachodzitożsamośćJacobiego: (xy)z+(yz)x+(zx)y=0. 2

4 Algebry łączne: algebry półproste Definicja 13(Algebra prosta)- Algebra skończenie wymiarowa, która nie ma ideałów właściwych. Definicja 14(Radykał Wedderburna)- Suma wszystkich nilpotentnych ideałów algebry A. Ozn.- W(A). Definicja 15(Algebra półprosta)- Algebra skończenie wymiarowa, dla której W(A) = 0. Definicja 16(Algebra pierwsza)- Algebra, w której iloczyn dowolnych dwóch niezerowych ideałów jest niezerowy. Definicja 17(Algebra półpierwsza)- Algebra, która nie posiada niezerowych ideałów z trywialnym mnożeniem. Definicja 18(Algebra nilpotentna)- Istniejen N,żeA n =0.Najmniejszetakiennazywamyindeksemnilpotentności algebry. Definicja 19(Przestrzeń z zerowym mnożeniem)- PrzestrzeńV,gdziedladowolnychdwóchv 1,v 2 V mamy:v 1 v 2 =0. Definicja 20(Element idempotentny)- Elemente Ataki,żee 2 =e. 3

5 Moduły nad algebrami Definicja 21(Lewostronny R- moduł)- Niech R będzie pierścieniem łącznym. Grupę abelową M nazywamy lewostronnymr-modułemjeżeliokreślonejestmnożenier M Mtakie,że: MnożeniejestrozdzielnewzględemdodawaniawRiM. Mnożeniejestłączne,dlar,s Rorazm Mmamy:(rs)m=r(sm). Jeśli1 R,to1m=mprzydowolnymm M. Definicja 22(Prawostronny R- moduł)- Niech R będzie pierścieniem łącznym. Grupę abelową M nazywamy lewostronnymr-modułemjeżeliokreślonejestmnożeniem R Mtakie,że: MnożeniejestrozdzielnewzględemdodawaniawRiM. Mnożeniejestłączne,dlar,s Rorazm Mmamy:m(rs)=(mr)s. Jeśli1 R,tom1=mprzydowolnymm M. Definicja23(R-homomorfizm)- NiechN,MbędąR-modułami.Przekształcenieφ:M NnazywamyR-homomorfizmem, jeżeli φ jest homomorfizmem grup abelowych i φ(rm) = rφ(m). Definicja24(KomutantA-modułu)- NiechMbędzieA-modułem.AlgebręEnd A (M)nazywamykomutantemMiM traktujemy jako moduł prawostronny nad komutantem. Definicja 25(Bikomutant A- modułu)- NiechMbędzieprawostronnymA-modułem.AlgebręEnd EndA(M)(M)nazywamy bikomutantem modułu M. Definicja26(AnnihilatorMwA)- JeżeliMjestA-modułem,toannihilatoremMwAnazywamyzbiór: {a A am=0}. Oznaczamygojakoann A M 4

6 Definicja 27(Moduł wierny)- A-modułMnazwiemywiernym,jeżeliann A M=0. Definicja 28(Zbiór wolnych generatorów)- JeżeliM jestr-modułem,topodzbiórg Rnazywamyzbioremwolnych generatorów, jeżeli dla dowolnego R- modułu N i dowolnego odwzorowania φ: G Nistniejedokładniejedenhomomorfizmφ:M Ntaki,żeφ G =φ. Definicja 29(Moduł półprosty)- A- moduł M nazwiemy półprostym(całkowicie przywiedlnym) jeżeli M jest sumą prostą A- modułów prostych. Definicja30(SkładowajednorodnatypuSwM)- NiechMbędzieA-modułempółprostym.NiechSbędzieA-modułemprostym. Składową jednorodną typu S w M nazywamy podmoduł w M generowany przez wszystkie moduły izomorficzne z S. 5

7 Algebry centralne, grupa Brauera Definicja 31(Centrum algebry)- Niech A będzie K- algebrą. Centrum algebry A, nazywamy zbiór: Z(A)={a A ax=xa, }. Definicja 32(Algebra centralna)- NiechAbędzieprostąK-algebrąz1.Nazywamyjącentralną,jeśliZ(A)=K. Definicja 33(Grupa Brauera)- NiechA,B-prosteicentralneK-algebry.Mówimy,że:A Bjeżeliistnieje algebrazdzieleniemd,że:a M r (D),B M s (D).Jesttorelacjarównoważności. Na zbiorze jej klas można określić działanie grupowe, indukowane z iloczynu tensorowego algebr. Elementem neutralnym względem tegoż działania jest klasa ciała K. Elementem odwrotnym do klasy algebry A jest klasa algebry A op.takuzyskanastrukturanazywasięgrupąbrauerabr(k)ciałak. x A 6

8 Reprezentacje grup i algebr Algebry grupowe Definicja 34(Algebra półgrupowa, algebra grupowa)- NiechSbędziepółgrupą(grupą).NiechK[S]={φ:S K φ(s)=0p.z.}t.j. dla wszystkich s, poza skończoną ilością. K[S] jest przestrzenią liniową nad K. Jako mnożenie przyjmujemy: (φ γ)(s)= φ(x) γ(y). x,y S,x y=s Tak określoną strukturę nazywamy algebrą półgrupową(grupową) K[G]. Definicja 35(Homomorfizm fundamentalny, ideał fundamentalny)- NiechGbędziegrupąorazK-ciałem.Rozważmyhomomorfizmφ:G {1} K.Zdokładnościądoizomorfizmu,istniejedokładniejedenhomomorfizmφ: K[G] K będącyrozszerzeniemφ.jestondanywzorem: φ( α i g i )= α i. Owo rozszerzenie określa się homomorfizmem fundamentalnym, zaś jego jądro oznaczane przez ω(k[g]) nazwiemy ideałem fundamentalnym w K[G]. Definicja 36(Reprezentacja macierzowa)- Niech G będzie grupą. Reprezentacją macierzową grupy G nazywamy homomorfizmg M n (K) =GL n (K). Definicja 37(Reprezentacja liniowa grupy G nad V)- JesttohomomorfizmG Aut K (V)=GL(V). Definicja 38(Reprezentacja nieprzywiedlna)- Takareprezentacjaρ:G Aut K (V),żeV niezawieranietrywialnychpodreprezentacji grupy G. Definicja 39(Reprezentacja całkowicie przywiedlna)- ρ:g Aut K (V)jestcałkowicieprzywiedlnajeżeliistniejerozkładV= n żeρindukujepodreprezentacjęnieprzywiedlnąnav i. i=1 V i, 7

9 Definicja 40(Moduł nierozkładalny)- K[G]-modułMnazywamynierozkładalnymjeżeliM 0iMniejestsumą prostą żadnej pary swoich właściwych podmodułów. Definicja 41(Skończony typ reprezentacyjny algebry)- Niech A będzie algebrą skończenie wymiarową. A ma skończony typ reprezentacyjny jeżeli jest tylko skończona ilość parami nieizomorficznych reprezentacji nierozkładalnych algebry A. Definicja 42(Charakter reprezentacji)- Charakterem reprezentacji grupy G na V o współczynnikach z K nazywamy przekształcenieχ:g K,którejeststałenaelementachnależącychdoidentycznychklassprzężonościG(awięcśladodpowieniejmacierzyρ g ).JeżeliM jesta-modułem,tomożemyprzyjąć,żecharakteremanadmjestprzypisany dowolnemua Aśladmnożeniaprzeza. 8

10 Problemy Burnside a Definicja 43(Grupa torsyjna)- Taka grupa G, której każdy element ma skończony rząd. Definicja 44(Grupa z ograniczonym wykładnikiem)- Grupa torsyjna, w której wykładniki wszyskich elementów są wspólnie ograniczone. Definicja 45(Grupa lokalnie skończona)- Taka grupa G, której każda skończenie generowana podgrupa jest skończona. Definicja 46(Grupa skończenie aproksymowalna)- Taka grupa, że dla każdego nietrywialnego elementu g G istnieje podgrupa normalnan g G,żeg/ N g,ale[g:n g ]<.Innanazwa:gruparezidualnie skończona. Definicja 47(Podzbiór nieprzywiedlnych przekształceń liniowych)- TakipodzbiórS End(V)(dim(V)< ),żev niemawłaściwychpodprzestrzeni S niezmienniczych. Definicja 48(Rozszerzenie rozdzielcze ciał)- TakierozszerzenieK L,żedlakażdegol L,wielomianminimalnyelementu lzk[x]mapierwiastkijednokrotnenadk. Definicja 49(Rozszerzenie całkowicie nierozdzielcze ciał)- Takie ciało niezerowej charakterystyki p, że dla każdego elementu a L istnieje n N,żea pn K.Innanazwa:rozszerzenieradykalnelubczystoprzestępne. Definicja 50(Ciało doskonałe)- Takie ciało, którego każde rozszerzenie algebraiczne jest rozdzielcze. 9

11 Inne Definicja 51(Pierścień lokalny)- Niech R będzie pierścieniem z 1. Jeżeli posiada on dokładnie jeden lewostronny ideał maksymalny, to nazywamy go lokalnym. Definicja 52(Wielomian charakterystyczny macierzy)- NiechR-pierścieńprzemiennyiA M n (R).Wielomianemcharakterystycznym macierzy A nazywamy wielomian: P A (x)=det(xi n A). ZatemP A R[x]. 10