POLARYZACJA ŚWIATŁA OPISY MATMATYCZN prof. dr hab. nŝ. Krzyszof Paorsk Krzyszof Analza propagacj śwała w ośrodku anzoropowym, kórego właścwośc zaleŝą od kerunku propagacj wązk, wymaga wprowadzena w perwszej kolejnośc pojęca polaryzacj śwała jej opsu maemaycznego. W nnejszej częśc wykładu przedsawono opsy właścwośc śwała za pomocą elpsy polaryzacj (ops geomeryczny) oraz rachunku wekorowego (macerzowego): Jonesa Sokesa. Ops geomeryczny umoŝlwa przedsawene analzę sanu polaryzacj za pomocą pojedynczego wzoru jes węc prosy przydany, aczkolwek ogranczony do śwała całkowce spolaryzowanego. Ops Jonesa (wraz z macerzam Jonesa) umoŝlwa analzę superpozycj amplud zespolonych wązek wzajemne koherennych. Ops en domnuje w foonce, gdze podsawową rolę odgrywa całkowce spolaryzowane, koherenne promenowane. Ops Sokesa (wraz z macerzam Mullera) umoŝlwa, dodakowo, analzę śwała nespolaryzowanego lub częścowo spolaryzowanego. Znajomość sanu polaryzacj wązk śwelnej ma fundamenalne znaczene z uwag na jego wpływ na nasępujące welkośc zjawska opyczne: współczynnk odbca śwała na grancy dwóch ośrodków, współczynnk absorpcj ośrodka, rozproszene śwała w ośrodku, współczynnk załamana maerałów anzoropowych (zaburzena o róŝnych sanach polaryzacj propagują sę z róŝnym prędkoścam podlegają róŝnym opóźnenom fazowym), obró płaszczyzny polaryzacj w przypadku propagacj w ak zwanych akywnych ośrodkach opycznych.
1. Ops geomeryczny Z analzy równań Maxwella wynka, Ŝe wekor pola elekrycznego drga w pewnej płaszczyźne zawerającej zarówno wekor jak wekor propagacj k. Wekor pola elekrycznego orzymuje sę w wynku superpozycj dwóch zaburzeń harmoncznych o ej samej częsolwośc, o płaskch czołach falowych, spolaryzowanych lnowo w dwóch wzajemne prosopadłych płaszczyznach propagujących sę w ym samym kerunku. Zaburzena e moŝna rakować jako składowe zaburzena wypadkowego, kórego san polaryzacj ne mus być juŝ lnowy. Jak pokaŝemy nŝej san polaryzacj będze podykowany sosunkem amplud róŝncą faz zaburzeń składowych. Składowe wekora pola elekrycznego moŝna przedsawć w posac x ox cos ω, y oy cos (ω + δ), gdze 0x,y oznacza ampludy rzeczywse zaburzeń, ω πν, δ δ x δ y, δ x δ y oznaczają fazy składowych w począku układu współrzędnych czase 0. Po wyelmnowanu zmennej orzymuje sę (1) () Tak węc w usalonej odległośc z konec wekora kreśl w płaszczyźne x-y elpsę, naomas przy propagacj wzdłuŝ os z kreśl on okresową rajekorę (elpyczną helsę) leŝącą na powerzchn elpycznego cylndra, rys. 1. Podczas pełnego obrou wekora pola elekrycznego o 360 0 czoło falowe przemeszcza sę wzdłuŝ kerunku propagacj o λ c/ν. y x λ z Rys. 1. Przykładowa rajekora ruchu końca wekora w przesrzen przy propagacj fal płaskej wzdłuŝ os z.
a) b) Rys.. (a) welkośc fzyczne defnujące san polaryzacj śwała; (b) zmana sanu polaryzacj w funkcj róŝncy faz δ. WyróŜna sę nasępujące paramery opsujące san polaryzacj śwała: Ką przekąnej α arc g ( 0y / 0x ). Jes o ką mędzy przekąną prosokąa opsanego na elpse a osą x układu współrzędnych, 0 0 α 90 0. Azymu ψ. Jes o ką mędzy duŝą osą elpsy sanu polaryzacj śwała a osą x układu współrzędnych; -α ψ α. MoŜna wyprowadzć nasępujące zaleŝnośc 0x0y gψ 0x 0y cosδ (3) g ψ g(α) cosδ; 0 ψ < π (4) Skręność. Przyjmując, Ŝe fala propaguje sę do obserwaora Ŝe jeśl w danej płaszczyźne z cons wekor obraca sę w kerunku zgodnym z kerunkem ruchu wskazówek zegara, o mamy do czynena z polaryzacją prawoskręną. Wysępuje o gdy 0 < δ < 180 0, snδ > 0. Naomas gdy 180 0 < δ < 360 0 mamy przypadek polaryzacj lewoskręnej, snδ < 0. lpyczność. Defnowana jes jako loraz b/a, czyl loraz małej duŝej os elpsy sanu polaryzacj śwała. Ką elpycznośc υ arc g (b/a). Dla polaryzacj prawoskręnej 0 0 < υ < 45 0, dla lewoskręnej -45 0 υ < 0 0. W przypadkach szczególnych polaryzacj lnowej kołowej, parz nŝej, mamy, odpowedno, υ 0 0 υ 45 0. Obowązuje zaleŝność sn υ sn(α) snδ; (-π/4) < υ π/4 (5) Zgodne z powszechne przyjęą umową jako płaszczyznę drgań rozume sę płaszczyznę drgań wekora, a jako płaszczyznę polaryzacj płaszczyznę do nej prosopadłą, czyl z zawerającą drgający wekor H.
Przypadk szczególne Polaryzację lnową orzymuje sę w przypadku zerowej warośc jednej ze składowych lub róŝncy faz δ równej 0 lub welokronośc π. Mamy eraz y ± ( 0y / 0x ) x, a węc równane ln prosej o nachylenu ± 0y / ox (znak + odpowada róŝncy faz δ 0 lub parzysej welokronośc π, a znak neparzysej welokronośc π). W ym przypadku elpyczny cylnder przechodz w płaszczyznę. Jeśl, dodakowo, 0x 0y, płaszczyzna polaryzacj worzy ką 45 0 z płaszczyzną x-z. Polaryzację kołową orzymuje sę w przypadku 0x 0y δ ±π/. Gdy δ +π/ δ -π/ mamy do czynena, odpowedno, z polaryzacją prawo- lewoskręną. Inensywność sumarycznego zaburzena (wyznaczana poprzez przemnoŝene sumy zaburzeń składowych danych wzorem (1) przez warość sprzęŝoną ej sumy) jes sała nezaleŝna od δ. Dopero zasosowane dodakowego elemenu polaryzacyjnego nazywanego analzaorem umoŝlwa uzyskane ej nformacj. Geomeryczny ops właścwośc śwała za pomocą elpsy polaryzacj jes bardzo przydany, gdyŝ umoŝlwa przedsawene sanu polaryzacj za pomocą pojedynczego wzoru. JednakŜe z welu powodów ops en jes newysarczający. Czas kreślena krzywej sanu polaryzacj przez konec wekora elekrycznego (pelen obró) podczas kórego fala przemeszcza sę w przesrzen o λ wynos około 10-15 sekundy, a węc jes zby krók aby móc zarejesrować ę krzywą (w przypadku ogólnym elpsę). Arakcyjne są węc modele maemayczne wyraŝające san polaryzacj za pomocą obserwowalnych merzalnych welkośc, zn. nensywnośc. Dodakowo, ops z wykorzysanem elpsy polaryzacj moŝna sosować do śwała całkowce spolaryzowanego, a częso spoyka sę promenowane częścowo lub całkowce nekoherenne. Najpowszechnej sosuje sę dwa opsy macerzowe: Sokesa (zaproponowany w 185r.) Jonesa (zaproponowany w 1941r.). Perwszy z nch umoŝlwa ops kaŝdego sanu polaryzacj śwała za pomocą czerech merzalnych welkośc, zw. paramerów Sokesa. Jes on unwersalny moŝe być sosowany do śwała nespolaryzowanego, częścowo spolaryzowanego lub całkowce spolaryzowanego. Dodakowo, za pomocą formalzmu Sokesa moŝna analzować superpozycję welu wązek nekoherennych względem sebe. W przypadkach konecznośc dodawana wązek wzajemne koherennych, a węc ch amplud zespolonych (np. w nerferomer), sosuje sę formalzm macerzowy Jonesa. Ogólną zasadą sosowaną przy wyborze opsu maemaycznego jes właśne fak, czy superpozycj podlegają ampludy czy nensywnośc wązek.
. Ops macerzowy Jonesa Ops en zaproponowany w 1941r. przez amerykańskego fzyka R. Clarka Jonesa moŝe być sosowany ylko do wązek całkowce spolaryzowanych koherennych. W ym przypadku najbardzej nauralnym sposobem przedsawena zaburzena śwelnego jes wykorzysane do ego celu samego wekora elekrycznego. Dla wązk propagującej sę wzdłuŝ os z moŝemy zapsać macerz kolumnową uworzoną z równana (1) wyraŝonego w posac skalarnej, (6) gdze x () y () oznaczają chwlowe składowe skalarne wekora. Ta macerz kolumnowa nos nazwę wekora Jonesa. Mając wekor Jonesa moŝna wyznaczyć nensywność zaburzena I 0x + 0y oraz orenację kszał elpsy polaryzacj, zn. kąy Ψ, α, υ parz wzory (3), (4) (5) oraz dyskusja powyŝej. W abel 1 podano wekory Jonesa dla charakerysycznych sanów polaryzacj. W kaŝdym przypadku unormowano warość nensywnośc do jednośc. Warość fazy δ x dla składowej x przyjęo równą 0..1. Macerze Jonesa [ ] x y ( ) ( ) 0x 0y exp exp ( δ ) ( δ ) exp( δ) RozwaŜmy przejśce wązk o płaskm czole falowym polaryzacj opsanej wekorem Jonesa przez elemen opyczny, kóry zmena san polaryzacj wązk, ale zachowuje jej płaske czoło falowe. Zakłada sę lnowość oddzaływana elemenu opycznego. Jako przykład słuŝyć mogą odbce załamane na grancy rozdzału dwóch ośrodków o róŝnych współczynnkach załamana lub propagacja wązk przez płykę wykonaną z maerału anzoropowego. Wekor Jonesa wązk po przejścu przez elemen opyczny (lub odbcu od nego) moŝna przedsawć w posac loczynu x j11 j 1 x [ ] [ J ][ ] (7) lub (8) y j1 j y ( δ) gdze macerz J nos nazwę macerzy Jonesa o wymarach x. Wzór (8) opsuje lnowość opycznych elemenów polaryzacyjnych. Wyrazy j 11, j 1, j 1 j charakeryzują wpływ elemenu opycznego na san polaryzacj nensywność wązk, zn. x y 0y 0x 0x exp x j 11 x + j 1 y, y j 1 x + j y. (9) 0y
Tabela 1 Wekory Jonesa nekórych sanów w polaryzacj Symbol Azymu ψ Ką elpycznośc Sandardowy wekor Jonesa Pełny wekor Jonesa 1 0 0 0 0 0 0x 0 90 0 0 0 0 1 0 0y / 45 0 0 0 1 1 \ -45 0 0 0 1-1 0x 0x 0x 0x Polaryzacja lnowa ogólne 0 0 cos α ± sn α 0x ± 0y - -45 0 1 - - 45 0 1 0x π / 0xe 0xe 0x π / Polaryzacja elpyczna ogólne ψ υ cos α sn α e δ 0x ιδ 0ye
Tabela Przykłady macerzy Jonesa Symbol ψ Macerz 0 0 1 0 0 0 / \ Płyka opóźnająca składową y o ką δ 90 0 0 0 0 1 45 0 1 1 1 1 1-45 0 1 1-1 -1 1 0 0 1 0 0 exp( - δ) Zasosujmy rachunek macerzowy do przedsawena nasępujących charakerysycznych przypadków dzałana płyek opóźnających (przy przyjęej konwencj opóźnena fazy składowej y o δ pozosawenu bez zmany składowej x, ose x y noszą, odpowedno, nazwę szybkej wolnej os płyk opóźnającej): Gdy δ π/ płyka opóźnająca (nazywana płykąćwerćfalową) zmena polaryzację lnową o azymuce 45 0 opsaną wekorem Jonesa [1,1] na lewoskręną polaryzację kołową [1,-], oraz prawoskręną polaryzację kołową [1,] na polaryzację lnową [1,1]. Gdy δ π płyka opóźnająca (nazywana płyką półfalową) zmena polaryzację lnową [1,1] na polaryzację lnową [1,-1], a węc płaszczyzna polaryzacj lnowej doznała obrou o π/. Płyka półfalowa zmena prawoskręną polaryzację kołową [1,] na lewoskręną polaryzację kołową [1,-].
W przypadku przechodzena przez klka elemenów opycznych opsanych macerzam J 1, J,..., J n obowązuje zaps J n,..., J, J 1 (10) z uwag na neprzemeność macerzy. Obowązuje węc kolejność mnoŝena macerzy, zn. wekora Jonesa wązk padającej mnoŝy sę przez macerz Jonesa J 1 perwszego elemenu, wynk mnoŝy sę przez drugą macerz J, d. W przypadku analzy zman sanu polaryzacj wązk padającej przez en sam układ opyczny wygodnej jes sworzyć macerz zasępczą ego układu J J n... J J 1. Ops macerzowy odbca załamana na grancy dwóch ośrodków delekrycznych RozwaŜmy przypadek wązk śwelnej padającej na płaszczyznę rozgranczającą dwa ośrodk delekryczne o współczynnkach załamana n 1 n n n. Zakładamy, Ŝe obydwa ośrodk są lnowe, jednorodne, zoropowe, bezdyspersyjne nemagneyczne. Z praw opyk geomerycznej wadomo Ŝe: 1) wekory propagacj wszyskch rzech wązek: padającej, odbej załamanej leŝą w jednej płaszczyźne; ) spełnone jes prawo załamana n snθ n snθ ; 3) spełnone jes prawo odbca θ θ r, gdze ndeksy, r, odnoszą sę do wązk padającej, odbej załamanej. Jako Ŝe prawa opyk geomerycznej dają jedyne nformację o kerunku propagacj wązek, dla pełnego opsu propagacj koneczna jes nformacja o zwązkach mędzy ampludam poszczególnych wązek o ch sanach polaryzacj. W ym celu z kaŝdą z rzech wązek naleŝy zwązać odpowadające m wekory Jonesa, zn. x y ; x ; r y rx ry (11) wyznaczyć zwązk J oraz r J r, gdze J J r oznaczają macerze Jonesa x opsujące, odpowedno, załamane odbce fal śwelnej.
Jak wspomnano wyŝej, polaryzację lnową monochromaycznej fal płaskej propagującej sę w perwszym ośrodku moŝna przedsawć za pomocą dwóch składowych, wzajemne prosopadłych polaryzacj lnowych. Składowe leŝą, odpowedno: w płaszczyźne padana (rysunku) składowa w płaszczyźne do nej prosopadłej składowa. Podobne wyróŝna sę składowe wązk odbej r r oraz załamanej, rys. 3. a) b) Rys. 3. Oznaczena składowych pola elekrycznego leŝących: a) w płaszczyźne prosopadłej do płaszczyzny padana (ndeks ) oraz b) w płaszczyźne padana (ndeks ) dla wązk padającej ( ), odbej ( r ) załamanej ( ) []; k, k r k oznaczają kerunk propagacj odpowednch wązek.
NezaleŜność składowych pocąga za sobą fak, Ŝe macerze Jonesa J J r są macerzam dagonalnym, zn. J 0 0 ; II J r r 0 0 rii (1) ak Ŝe 0 0; 0 II0 (13) 0r r0; 0r rii 0 (14) Współczynnk oraz r r są zespolonym, ampludowym współczynnkam ransmsj odbca. WyraŜone są one zw. wzoram Fresnela [,3] r r snθ snθ II gθ gθ ( θ ) ( + θ ) ( θ ) ( + θ ) (15) (16) snθcosθ sn ( θ + θ ) (17) II sn snθ cosθ ( θ + θ ) cos( θ θ ) (18)
Szczegółową nerpreację wzorów Fresnela moŝna znaleźć w leraurze [,3].Tuaj ogranczymy sę do zasygnalzowana nasępujących przypadków szczególnych: Gdy n 1 < n oraz θ θ B g -1 (n /n 1 ), zn. gdy θ + θ π/, znka składowa równoległa (r 0) w śwele odbym wysępuje ylko polaryzacja lnowa. Ką θ B nos nazwę kąa Brewsera. Gdy n 1 > n oraz θ θ c sn-1(n /n 1 ) mamy θ π/. Oznacza o, Ŝe dla kryycznego kąa padana θ c śwało propaguje sę wzdłuŝ grancy podzału ośrodków, a dla θ > θ c doznaje całkowego wewnęrznego odbca ne wchodz do drugego ośrodka. MoŜna wykazać, Ŝe warośc kąa Brewsera w przypadkach n 1 < n n > n 1 dla ych samych delekryków są waroścam wzajemne uzupełnającym sę do kąa π/. W zaleŝnośc od ego czy n 1 n /n 1 > 1 lub n 1 < 1, oraz czy θ > θ B lub θ < θ B składowe śwała odbego mogą doznawać dyskrenych skoków fazy o π, co odpowada zmane znaku ampludy. Uwaga: Wysępowane ylko dwóch warośc fazy 0 π składowych jes charakerysyczne dla delekryków. W przypadku odbca od mealu, gdze współczynnk załamana ma warość zespoloną, róŝnca faz mędzy składowym w funkcj kąa padana przyjmuje warośc w pełnym przedzale 0 π; ne wysępuje eŝ ką Brewsera [3-5]) Współczynnk r odpowadają, odpowedno, lorazom amplud zespolonych wązk odbej padającej oraz wązk załamanej padającej. Naomas współczynnk podzału energ R T, a węc welkośc deekowanych przez rzeczywse odbornk promenowana, defnuje sę jako lorazy energ wązk odbej załamanej względem wązk padającej. MoŜna wyprowadzć nasępujące zaleŝnośc [-5]: R r 0r 0 g g ( θ θ ) ( θ + θ ) (19) R r 0r 0 sn sn ( θ θ ) ( θ + θ ) (0)
T n cosθ (1) n1cosθ n cosθ T n1cosθ () R +T 1 (3) R +T 1 (4) Jak juŝ wspomnano wyŝej, dla kąa Brewseraθ θ B, zn. gdy θ + θ π/, w śwele odbym znka składowa równoległa (manownk we wzorze (19) przyjmuje warość neskończene duŝą). W przypadku ośwelena powerzchn rozdzelającej ośrodk wzdłuŝ jej normalnej, θ 0, płaszczyzna padana pozosaje nezdefnowana mamy R R R T T T n n1 n1 n + 4n1n n + n ( ) Tak węc w przypadku powerzchn rozdzelającej powerze szkło około 4% śwała padającego wzdłuŝ normalnej ulega odbcu (zarówno w przypadku n > n 1 jak n < n 1 ). Gdy śwało padające jes nespolaryzowane orzymuje sę 1 ( R ) 1 R + R ( T ) 1 T + T (5) (6) (7) (8)
Rysunek 4 lusruje zmany współczynnka odbca energ R w funkcj kąa padana dla przypadku n 1 1 n 1.5. Środkowa krzywa (R + R )/ odpowada nespolaryzowanemu promenowanu padającemu. Pokazuje ona, Ŝe w przypadku θ θ B odbjane jes ylko 7.5% śwała padającego. Jednocześne wązka załamana jes częścowo spolaryzowana. Gdy θ θ B zarówno wązka odba jak załamana są spolaryzowane częścowo. Sopeń polaryzacj moŝna zdefnować jako R R P R (9) R + R Rys. 4. Zmany współczynnka odbca energ R w funkcj kąa padana wązk śwelnej [4]. Rys. 5. Zmana sopna polaryzacj w funkcj kaa padana dla śwała odbego od powerzchn rozgranczającej powerze wodę (n /n 1 n 1 1.33) oraz powerze szkło (n 1 1.5) [5]. Dwa przykłady zman sopna polaryzacj PR w funkcj kąa padana θ pokazano na rys. 5. W przecweńswe do wązk odbej wązka załamana (przechodząca) jes zawsze spolaryzowana częścowo. Sopeń polaryzacj dany jes wzorem P T T T T + T (30) jego zmany w funkcj kaa padana pokazano na rys.6. P T % Rys. 6. Zmana sopna polaryzacj w funkcj kąa padana dla wązk przechodzącej przez powerzchnę rozgranczającą powerze wodę (n /n 1 n 1 1.33) oraz powerze szkło (n 1 1.5) [5]. θ [ ]
Wzory Fresnela obró płaszczyzny polaryzacj Padające śwało spolaryzowane lnowo pod kąem α do płaszczyzny padana xz ampluda fal padającej II składowe równoległa prosopadła fal padającej
Obró płaszczyzny polaryzacj z pomnęcem przypadku całkowego odbca α α r r α r II II II r Fala padająca PonewaŜ < 0.5π 0 < 0. 5π 0 węc α gα α II α r Fala przechodząca Azymu fal ransmowanej zmnejsza sę, o odbej - zwększa α gα gα r Fala odba ( ) II cos gα cos cos ( ) ( + ) gα Dla kąa Brewsera: brak składowej ll fal odbej + II 0 0.5π r
Zjawsko dla przypadku n /n 1.5 lnowo spolaryzowanej wązk padającej o azymuce 45 lusruje ponŝszy wykres, rys. 7 α r, α α r α θ [ ] Rys. 7. Zmana kąów α r α w funkcj kąa padana θ, przypadek wązk padającej spolaryzowanej lnowo o azymuce 45. Uwaga: dyskusja przypadku całkowego wewnęrznego odbca zachodzącego gdy n wykracza poza zakres ego wykładu. > n
Odbce od powerzchn mealu Ops jes rudnejszy nŝ w przypadku odbca od delekryka ponewaŝ ką odbca, współczynnk załamana nne welkośc mają posać zespoloną. Grafczną reprezenację rozwązana analycznego pokazuje wykres, rys. 8 R [%] R R II θ p θ [ ] Rys. 8. Zmany energeycznych współczynnków odbca R II R w funkcj kąa padana dla przypadku odbca od wypolerowanej powerzchn Al. Warośc R II R są znaczne wększe nŝ w przypadku odbca od delekryka. Dla θ θ p uzyskuje sę mn. warość R II, jednakŝe róŝną od zera. Ne uzyskuje sę śwała lnowo spolaryzowanego (kąa Brewsera).
W ogólnośc, śwało odbe od powerzchn mealu jes spolaryzowane elpyczne. Składowe sę z róŝncą fazy δ II - δ zmenającą sę cągle od 0 do π gdy θ zmena sę od 0 do 90, rys. 9. r II r odbjają θ [ ] θ [ ] R /R II R /R II θ [ ] θ [ ] Rys. 9. Zmana róŝncy fazy δ II - δ lorazu R /R II energeycznych współczynnków odbca w funkcj kąa padana: a) odbce od powerzchn ypowego mealu (powerze/srebro), b) odbce od delekryka (powerze/szkło). Dla θ 0 lub 90 lnowo spolaryzowanej w ązk padającej, po odbcu uzyskuje sę wązkę spolaryzowaną elpyczne.
Ćwczena 1.Wyznaczyć san polaryzacj fal o nasępujących składowych: a) 0x cos(ω kz) + 0y sn(ω kz) b) 0x cos(ω kz) 0y cos(ω kz)) 0x sn(kz ω) 0y sn(kz ω) c) 0x cos(ω kz) + 0y cos(ω kz ¾π) d) 0x cos(ω kz) + 0y cos(ω kz + ¼π) e) 0x sn(ω kz) + 0y sn(ω kz ¼π) f) 0x cos(ω kz) + 0y cos(ω kz + ½π) Zaps ogólny sumy składowych: 0x cos(ω - δ x ) + 0y cos(ω - δ y ) ZałoŜena: 0x 0y ; oraz δ δ x - δ y a) 0x cos(ω kz) + 0y sn(ω kz) 0x cos(ω kz) + 0x cos(ω kz - π/); gdyŝ cos(90 0 +/- α) -/+snα. δ 0 (π/) - π/ Jeśl 0x 0y orzymuje sę polaryzację kołową lewoskręną. b) 0x cos(ω - kz) 0y cos(ω kz) 0x cos(ω kz) + 0x cos(ω kz + π); gdyŝ cos(π +/- α) - cosα δ 0 (-π) π Polaryzacja lnowa o azymuce 3π/4 względem os x.
c) 0x sn(kz - ω) 0y sn(kz - ω) ponewaŝ cos(70 0 + α) snα; cos(90 0 + α) - snα 0x cos(kz - ω + 3π/) + 0y cos(kz - ω + π/) 0x cos(ω kz - 3π/) + 0y cos(ω kz - π/) δ 3π/ - π/ π orzymuje sę polaryzacje lnową jak w przypadku b) d) 0x cos(ω kz) + 0y cos(ω - kz - 3π/4) δ δ x - δ y 0-3π/4-3π/4 polaryzacja elpyczna, lewoskręna ( bo 180 0 < δ < 360 0 ) Przy załoŝenu 0x 0y azymu duŝej przekąnej elpsy: gψ 0x 0y cosδ / ( 0x oy ) ψ π/ lub 3π/; w naszym przypadku ψ 3π/4 e) 0x cos(ω kz) + 0y cos(ω - kz + π/4) δ 0 (-π/4) π/4 Polaryzacja elpyczna, prawoskręna (gdyŝ 0 < δ < π) Przy załoŝenu 0x 0y azymu duŝej przekąnej elpsy: (parz oblczena w punkce d) ψ π/4 f) 0x sn(ω kz) + 0y sn(ω kz - π/4) cos(90 0 - α) snα; 0x cos[(π/) (ω kz)] + 0y cos[(π/) (ω kz) + (π/4)] 0x cos[(ω kz) - π/] + 0y cos[(ω kz) (π/) (π/4)] δ (π/) [(π/) + (π/4)] - π/4 Przy załoŝenu 0x 0y mamy polaryzację elpyczną lewoskręną o azymuce os głównej π/4 g) 0x cos(ω kz) + 0y cos(ω kz + π/) δ 0 (-π/) π/ Przy załoŝenu 0x 0y polaryzacja kołowa prawoskręna
. Za pomocą rachunku wekorowego Jonesa wyznaczyć wynk superpozycj przecwskręnych polaryzacj kołowych o równych róŝnych ampludach. Suma unormowanych wekorów Jonesa polaryzacj kołowej prawo lewoskręnej wynos opsuje san pozomej polaryzacj lnowej o ampludze dwa razy wększej od amplud zaburzeń składowych. PonŜej wykaŝemy, Ŝe nerówność amplud składowych polaryzacj kołowych prowadz do polaryzacj elpycznej. Jeśl zapszemy polaryzacje składowe zapszemy w posac o zaburzene wypadkowe opsuje wekor gdze x a + b y (a b)exp[π/] Zapsując e wyraŝena z uwzględnenem czynnka zwązanego z propagacją wązk orzymujemy x (a + b) exp[(ω kz)] y (a b) exp[(ω kz +π/)]. Uwzględnając ylko część rzeczywsą mamy x (z, ) (a + b) cos(ω kz) y (z, ) (a b) cos (ω kz + π/) (a b) sn(ω kz) Przepsując osane równana w posac orzymuje sę po podnesenu do kwadrau zsumowanu
Osan wzór opsuje elpsę, kórej oś duŝa (główna) mała mają długość, odpowedno, (a + b) (a b). Tak węc w wynku superpozycj dwóch przecwskręnych polaryzacj kołowych o nerównych ampludach orzymuje sę lewoskręną polaryzację elpyczną o osach elpsy pokrywająch sę z osam układu współrzędnych. 3. Jaką macerz Jonesa moŝna przyporządkować odbcu fal płaskej od zwercadła w przypadku propagacj wzdłuŝ normalnej? W przypadku θ 0 mamy [r ] θ0 [-r ] θ0. Macerz Jonesa x dla odbca wzdłuŝ normalnej przyjmuje posać Waro zwrócć uwagę, Ŝe jes o aka sama macerz jak macerz opóźnającej płyk półfalowej (parz Tabela ). Tak węc wseczne odbce wązk (wzdłuŝ kerunku padana), ak samo jak jej przejśce przez płykę półfalową, wprowadza zmanę skręnośc sanu polaryzacj śwała. Leraura 1. F. Raajczyk, Opyka ośrodków anzoropowych, PWN, Warszawa, 1994.. R. Jóźwck, Opyka nsrumenalna, WNT, Warszawa, 1970. 3. M. Plua, Advanced Lgh Mcroscopy, vol. 1, PWN-lsever, Warszawa-Amserdam, 1988.
.. MACIRZ JONSA DLA POLARYZATORA, PŁYTKI OPÓŹNIAJ NIAJĄCJ (FAZOWJ, FALOWJ) I OBRACAJĄCJ CJ LIPSĘ POLARYZACJI ZałóŜmy, jak o uczynono we wzorach (7-10), Ŝe składowe wązk po przejścu przez elemen polaryzacyjny, x y, są lnowo zwązane ze składowym wązk padającej, x y. Wyznaczmy macerze Jonesa dla polaryzaora, płyk opóźnającej (przesuwającej fazę mędzy składowym) oraz elemenu powodującego obró elpsy polaryzacj...1. Macerze Jonesa dla polaryzaora Dla polaryzaora macerz ma posać: MoŜemy węc zapsać J P px 0 0, p y 0 p xy 1 (31) x px 0 x. 0 p y y y Dla dealnego polaryzaora przepuszczającego w kerunku równoległym do os x mamy p x 1 oraz p y 0 (3) 1 0 (33) J PH. 0 0 Dla dealnego polaryzaora ponowego (34) Ogólny przypadek doyczy macerzy Jonesa polaryzaora obróconego o ką θ. MoŜna ją zapsać korzysając z zw. macerzy obrou, zn. J J(-θ) J J(θ), (35) gdze J(θ) jes macerzą obrou (36) cosθ sn θ J( θ), sn cos θ θ J PV 0 0 0. 1
a macerz Jonesa J dana jes wzorem (8). Dla obróconego polaryzaora J P opsanego wzorem (31) z wzoru (35) orzymuje sę cos θ sn θ px 0 cos θ sn θ J', (37) sn cos 0 p θ θ y sn θ cos θ Po wymnoŝenu px cos θ + py sn θ ( px py ) sn θcosθ J P ( θ). ( p p ) sn cos p sn p cos (38) x y θ θ x θ + y θ Dla dealnego polaryzaora moŝna zapsać p x 1 p y 0; dealny obrócony polaryzaor opsuje macerz Jonesa cos θ snθ cosθ J P( θ ) snθ cosθ sn θ (39) Macerz dealnego polaryzaora lnowego obróconego o ką 45 0 1 1 1 J P (45 ) (40) 1 1 Dla nedealnego polaryzaora lnowego, parz wzór (31), obróconego o ką 45 0, ze wzoru (38) orzymujemy J P 1 px (45 ) px W przypadkach θ 0 0 θ 90 0 orzymuje sę macerze Jonesa dla pozomego ponowego polaryzaora lnowego, parz wzory (33) (34). Wzór (38) opsuje równeŝ absorpcyjny flr szaroodcenowy (ang. neural densy, ND), dla kórego mamy p x p y p. Macerz Jonesa ma eraz posać 1 0 J ND ( θ ) p (4) 0 1 Macerz Jonesa ego ypu flra ne zaleŝy od kąa obrou θ, współczynnk absorpcj dla obu składowych wynos p. Charaker macerzy dagonalnej w osanm wzorze powerdza fak, Ŝe flr ND ne zmena sanu polaryzacj padającej wązk. + p p y y p p x x p + p y y. (41)
... Macerze Jonesa dla płyek p opóźnaj nających (fazowych, falowych) ZałóŜmy, Ŝe płyka opóźnająca przyspesza fazę składowej wzdłuŝ os x (os szybkej) o +φ/, a opóźna fazę składowej równoległej do os y (os wolnej) o -φ/. To zachowane moŝna wyrazć wzorem + φ x e y 0 Macerz Jonesa płyk opóźnającej ma węc posać gdze φ oznacza całkowe przesunęce fazowe mędzy składowym. Indeks WP wywodz sę z języka angelskego wave plae. Dwe najczęścej spoykane płyk opóźnające (płyk fazowe, płyk falowe) o ćwerćfalówka półfalówka, dla kórych, odpowedno, φ 90 0 φ 180 0. Macerze Jonesa mają posać J WP + π λ e 4 0 /4 e 0 π/4 e + π/4 1 0 0 Macerz Jonesa dla obróconej płyk opóźnającej opsuje wzór kórą moŝna zapsać w posac φ φ cos + sn cos θ J WP ( φ, θ) φ sn sn θ Dla płyk ćwerćfalowej półfalowej mamy, odpowedno J WP λ, θ 4 1 + cos θ sn θ, e ( φ, θ) cos φ/ φ/ ( e e ) / e 0 φ/ x y. + φ e ( φ) 0 (43) (44) (45) λ 0 1 0 J. (46) WP 0 0 1 θ + e sn sn θcos θ (47) (48) (49) λ cos θ sn θ J WP, θ. (50) sn cos θ θ / e 0 J WP φ/ φ/ φ/ ( e e ) e sn sn θcos θ, φ/ θ + e cos θ φ/ φ/ J WP φ/ sn θ, 1 cos θ θ φ sn sn θ. φ φ cos sn cos θ,
Czynnk wysępujący przed macerzą jes zazwyczaj pomjany macerz półfalówk zapsuje sę jako (51) λ cos θ sn θ J WP, θ sn θ cos θ Porównując posać macerzy z osanego wzoru z macerzą obrou, parz wzór (36), moŝna zauwaŝyć ch pewne podobeńswo. Dwe róŝnce o: a) dla półfalówk wysępuje ką θ, ne ką θ. Obró półfalówk o ką θ powoduje obró elpsy polaryzacj o ką θ. b) Obró o ką θ w kerunku zgodnym z kerunkem obrou wskazówek zegara, wzór (51), powoduje obró elpsy polaryzacj w kerunku przecwnym do kerunku obrou wskazówek zegara. Wyjaśnmy o na przykładze wązk padającej o pozomej polaryzacj lnowej, [ x, 0]. Składowe wązk opuszczającej elemen wyłączne obracający, parz wzór (36), opsują wzory x x cos θ y - x sn θ. (5a) (5b) Ką obrou α wynos węc g α y / x - (sn θ) / (cosθ) g (-θ). (53) W podobny sposób, przemnaŝając wekor Jonesa wązk padającej przez (51) orzymujemy x x cos θ y x sn θ, (54a) (54b) mamy eraz g α y / x (sn θ) / (cos θ) g θ. (55) Porównując (53) z (55) wdzmy, Ŝe kerunek obrou uzyskwany za pomocą obracanej półfalówk jes przecwny do kerunku obrou wywoływanego przez elemen obracający. Osan wzór pokazuje równeŝ, Ŝe ką obrou za półfalówką jes dwukrone wększy od kąa obrou za elemenem obracającym. Częścej spoykana macerz półfalówk ma posać λ 1 0 kórą orzymuje sę opuszczając we wzorze (46) lub podsawając θ 0 we wzorze (51). J 0 1 (56)
..3. Macerz Jonesa elemenu obracającego cego Dla elemenu obracającego zapsuje sę Macerz Jonesa elemenu obracającego ma węc posać x y cosβ sn β sn cos β β J ROT cosβ sn β sn β cosβ x y. (57) (58) Przeanalzujmy eraz efek mechancznego obrou elemenu obracającego. Z wzorów (35) (58) J ROT cosθ sn θ sn θ cosβ cosθ sn β sn β cosθ cosβ sn θ sn θ ( θ) cosθ (59) Po wymnoŝenu macerzy cosβ sn β J ROT sn cos β β ( θ) JROT Mechanczny obró elemenu obracającego ne powoduje obrou elpsy polaryzacj. lpsę polaryzacj moŝna obrócć ylko o ką charakerysyczny dla elemenu obracającego, zn. ką β. Jedynym sposobem realzacj mechancznego obrou elpsy polaryzacj jes zasosowane półfalówk umeszczonej w obroowej oprawce..3. ZASTOSOWANIA WKTORA I MACIRZY JONSA.3.1. Wyznaczene wekora Jonesa nensywnośc wązk za obracanym polaryzaorem lnowym Wekor Jonesa polaryzacj lnowej wynos [ x, y ], macerz Jonesa obracanego dealnego polaryzaora opsuje wzór (39). Ogranczmy sę do przypadku pozomej polaryzacj lnowej wązk padającej, [ x, 0] x [1,0]. W rozwaŝanym przypadku xcos θ. snθcosθ x (60) (61)
San wynkowej polaryzacj moŝna znerpreować wyraŝając go za pomocą wekora Jonesa dla śwała spolaryzowanego elpyczne, zn. δx a e δy b e (6) gdze a b są lczbam rzeczywsym. Porównując dwa osane wzory mamy x x cos θ a exp(δ x ), (63a) y x cos θ sn θ b exp(δ y ) (63b) Dzeląc (63b) przez (63a) orzymujemy y / x sn(θ) / cos(θ) (b/a) exp(δ), (64) gdze δ δ y - δ x. Oblczając rzeczywsą urojoną część wzoru (64) mamy sn(θ) / cos(θ) (b/a) cosδ, (65a) 0 (b/a) snδ b a (65b) Z wzoru (65b) wynka δ 0 0, a węc z (65a) (b/a) sn(θ) / cos(θ) (66) lpsa polaryzacj, parz wzór (6), ma posać x a + y b xy cosδ ab sn δ (67) Dla δ 0 0 osan wzór upraszcza sę do y b a x sn θ x cos θ (68) Wekor Jonesa dany wzorem (61) opsuje lnowo spolaryzowaną wązkę o azymuce (nachylenu) płaszczyzny polaryzacj m g α g θ. (69)
Inensywność wązk na wyjścu z polaryzaora I x x + y y xcos θ [ cos θ, snθ cosθ ] x x x snθ cosθ (70a) gdze ( x*, y* ); macerz werszowa sanow zespoloną macerz ransponowaną wekora Jonesa (macerzy kolumnowej ). Transponowane macerz kolumnowej na macerz werszową, a nasępne uwzględnene warośc sprzęŝonej, oznacza sę symbolem. Inensywność I wynos I x cos θ x* cos θ + x snθcosθ x* snθcosθ x x* [cos 4 θ + sn θcos θ] I cos θ, (70b) gdze I x x*. Osan wzór nos nazwę wzoru Malusa. Rozszerzmy powyŝszy przykład wprowadzając za obroowy polaryzaor, wzór (61), lnowy polaryzaor o ponowej płaszczyźne przepuszczana. Macerz Jonesa dosawonego polaryzaora opsuje wzór (14). Wekor Jonesa wązk za drugm polaryzaorem opsuje loczyn (34) (61), zn. P 0 x cos θ 1 ( θ ) sn( ), (71) Inensywność wynos I x snθcosθ x *snθcosθ Isn θcos θ (I/8)[1 cos 4θ] (I/4)[1 cos θ], (7) gdze I x x*. Przy obroce drugego polaryzaora obserwuje sę zerowe warośc nensywnośc dla kąa θ równego 0 0, 90 0, 180 0 70 0.
.3.. Zasosowane lnowego polaryzaora do wyznaczena lorazu duŝej małej os elpsy polaryzacj Jeśl ose elpsy będą pokrywały sę z osam x y układu współrzędnych, wykorzysując lnowy polaryzaor moŝna wyznaczyć sosunek długośc os elpsy. Wekor Jonesa akej elpsy polaryzacj opsuje wzór (δπ/, rys. ) Składowe ampludy opsują wzory x cos α cos ω, y sn α sn ω, elmnując ω orzymujemy x y + 1, a b gdze a cos α b sn α. Welkośc a b sanową węc połowy długośc duŝej małej os elpsy polaryzacj opsanej wzorem (75). Macerz Jonesa obróconego polaryzaora opsuje wzór (39). Iloczyn (73) (39) daje wekor Jonesa wązk za polaryzaorem MoŜna wykazać (parz wzory 70a 70b), Ŝe nensywność wynos Przyjmując θ 0 0 90 0 orzymuje sę, odpowedno, cosα a snα b a cos θ + b cosθsn θ a cos θsn θ + bsn θ (74a) (74b) (75) (76) I (θ) a cos θ + b sn θ, (77) I (0 0 ) a cos α, (78a) I (90 0 ) b sn α. (78b) Merząc nensywnośc w prosopadłych kerunkach moŝna wyznaczyć warośc proporcjonalne do kwadraów długośc os elpsy. Sosunek połówek długośc os elpsy wyznacza sę ze wzoru (73) a / b [ I (0 0 ) / I (90 0 ) ] 1/. (79)