Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA. Kolokwia i egzaminy. Wydanie ósme zmienione. GiS

ALGEBRA LINIOWA

Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA Kolokwia i egzaminy Wydanie ósme zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018

Projekt okadki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 2000 2018 by Teresa Jurlewicz Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych. Ponadto utwór nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cyfrowej zarówno w internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich. Składksiążkiwykonanowsystemie L A TEX. ISBN 978-83 62780 53 2 Wydanie VIII zmienione 2018 Oficyna Wydawnicza GiS, s.c., www.gis.wroc.pl Druk i oprawa: I-BiS Usugi Komputerowe Wydawnictwo spółka jawna 4

Spis treści Wstęp 7 Zestawy zadań z kolokwiów 9 Pierwszekolokwium... 9 Drugiekolokwium... 23 Zestawy zadań z egzaminów 37 Egzaminpodstawowy... 37 Egzaminpoprawkowy... 52 Odpowiedzi i wskazówki 65 Pierwszekolokwium... 65 Drugiekolokwium... 69 Egzaminpodstawowy... 73 Egzaminpoprawkowy... 77 5

Wstęp Niniejszy zbiór zadań jest przeznaczony dla słuchaczy wykładów z algebry liniowej prowadzonych w uczelniach technicznych. Jest on trzecią częścią zestawu podręczników do tego przedmiotu. Dwie pierwsze części zestawu tworzą Algebra liniowa. Definicje, twierdzenia, wzory oraz Algebra liniowa. Przykłady i zadania. W opracowaniu umieściłam zestawy zadań, które od roku akademickiego 1993/94 przygotowywałam na kolokwia i egzaminy. Zadania ze sprawdzianów obejmują przestrzenie i przekształcenia liniowe, układy równań liniowych oraz przestrzenie euklidesowe. Zbiór jest powiększoną i poprawioną wersją mojego wcześniejszego opracowania pt. PowtórkaodAdoZzalgebryliniowej2. Pierwszy rozdział książki zawiera zestawy zadań z kolokwiów. W drugim rozdziale znajdują się zestawy zadań z egzaminów podstawowego i poprawkowego. W ostatnim rozdziale podałam odpowiedzi lub wskazówki do wszystkich zadań. Sądzę, że opracowanie pozwoli studentom zapoznać się z rodzajami oraz stopniem trudności zadań kolokwialnych i egzaminacyjnych. Może być także dodatkowym materiałem do samodzielnej nauki. Mam nadzieję, że podręcznik pomoże osobom wykładającym algebrę liniową przy opracowywaniu zestawów zadań na kolokwia i egzaminy. Z aktualnego wydania wyłączyłam zestawy zadań z egzaminów na ocenę celującą. Staną się one częścią opracowania pt.: Algebra i analiza. Egzaminy na ocenę celującą. Ponadto poprawiłam zauważone błędy i usterki. Teresa Jurlewicz 7

52 Zestawy zadań z egzaminów Egzamin poprawkowy Zestaw 1. 1. Wektory x, y, z są liniowo niezależne. Zbadać z definicji liniową niezależność wektorów:3x+2y z, x y+2z, 7x+3y. 2.Wskazaćwielomiany p,q R[x]takie,że Odpowiedź uzasadnić. dim(lin{p,p,p })=3oraz dim(lin{q,q,q })=2. 3.Wyznaczyćwspółrzędnewektora(0,3,8,1)wbazie 4. Spośród generatorów: {(1,2,2,0),(2,1, 4,0),(0,0,3,6),(0,0,0,1)}. (1, 2,0,1,1), (1, 1,1,0,2), (3, 4,2,1,5), (1, 3, 1,2,0) przestrzeni liniowej V wybrać dwie bazy tej przestrzeni. 5.Podaćmacierzprzekształcenialiniowego(Lq)(x)=(3+x)q (x)wbazie { 1+x,1 x,x 2 } przestrzeni R 2 [x]. 6.Wyznaczyćrzutortogonalnyvwektorau=(5,6,1,3)napodprzestrzeń Zestaw 2. V= { (a,b,c,d) E 4 :a d=a+b=b c }. 1. Uzasadnić, że macierze nieodwracalne stopnia 3 nie tworzą podprzestrzeni liniowej przestrzeni M 3 3 wszystkichmacierzyrzeczywistychstopnia3. 2.Uzasadnićzdefinicji,żewielomiany2x+5,x 2 3x+1,x 2 +xtworząbazęprzestrzeni liniowej R 2 [x]. 3. Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni liniowej U= { (x,y,z,t) R 4 :x+2y z+t=x+y=x y+t }. 1 10 1 4. Obliczyć rząd macierzy 1 02 1 1 11 3. 0 23 2 5.CzywektorywłasneprzekształcenialiniowegoS: R 3 R 3 określonegowzorem S(x,y,z)=(x+4z,2y,x+z) tworząbazęprzestrzeni R 3?Jeżelitak,tonapisaćmacierzprzekształceniaSwtej bazie. 6. Wyznaczyć bazę ortonormalną przestrzeni lin{(2,0,1, 1),(1,1,0,2),(0,1,0,1)} inastępniepodaćwspółrzędnewektora(3,0,1,0)wtejbazie.

Egzamin poprawkowy 53 Zestaw 3. 1. Czy macierze stopnia 2, których rząd jest mniejszy od 2, stanowią podprzestrzeń liniowąprzestrzeni M 2 2?Odpowiedźuzasadnić. 2. Zbadać wymiar przestrzeni liniowej w zależności od parametru p. U=lin{(p,2, p),(1,p, 1),(p,3, p)} 3.Wektory(1,2,3),(0,2,1)uzupełnićdobazyprzestrzeni R 3 tak,abywektor(1,0,0) miałwniejwspółrzędne[1,2,1]. 4.Czywektory(1,1, 1,0, 3),(2,1,0,0, 5)tworząbazęprzestrzenirozwiązańukładu równań x+3y+ z +s=0 2x+ y + t+s=0? 5y+2z 2t+s=0 5. Znaleźć wartości własne i odpowiadające im przestrzenie wektorów własnych przekształcenialiniowegot: R 3 R 3 określonegowzorem T(x,y,z)=(x+2y 3z,x+2y 3z,x+2y 3z). 6. Znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni Zestaw 4. U= { (x+2y+3z,2x+2z,x+y+2z,y+z) E 4 :x,y,z R }. 1. Czy wielomiany, które są funkcjami: (a) parzystymi; (b) niemalejącymi, tworzą podprzestrzenie liniowe przestrzeni R[x]? Odpowiedź uzasadnić. 2.Dlajakiejwartościparametruqwektory:(1, q,2),(q,3, 1),(3q,5, 4)sąbazą przestrzeni R 3?Czymożetobyćbazaortogonalnaprzestrzeni E 3? 3.Wskazaćbazęprzestrzeni R 3 [x],wktórejwektorx+3mawszystkiewspółrzędne równe 1. 4. Podać wymiar i bazę przestrzeni rozwiązań układu równań x+ y+ 3z+ 4t=0 3x+5y+13z+10t=0. x+4y+ 9z+ t=0 5.ZnaleźćwartościiwektorywłasneprzekształcenialiniowegoL:R 3 R 3 określonego wzorem L(x,y,z)=(x z,x z,x z). 6.Wektory(1,1,0,0),(0,0,1,0)uzupełnićdobazyortogonalnejprzestrzeni E 4 inastępniepodaćwspółrzędnewektora(0,1,0,0)wtejbazie.

54 Zestawy zadań z egzaminów Zestaw 5. 1.Uzasadnić,żezbiór Wjestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeni M 2 2,gdzie {[ ] } ab W= :a+2d=3b c. cd 2.Jakijestwymiarprzestrzeniliniowejlin { 1,sin 2 x,cos2x,cos 2 x }? 3.Czywektor(1,0,0,0)należydoprzestrzeniliniowej lin{(1, 1,0,1),(1,0,2,1),(1, 1,1,3),(0,2,3, 2)}? 4.Znaleźćwspółrzędnewektora f=x 3 2x 2 x+4wwybranejbazieprzestrzeni liniowej U={f R 3 [x]: f(1)= f(2)}. 5.Napisaćmacierzobrotuokątπ/2wokółosiOzwprzestrzeni R 3 wbazie {(0,1, 1), (0,0,1), (1, 1,0)}. 6.Wprzestrzeni E 4 znaleźćrzutortogonalnywwektorav=(1,0,2,1)napodprzestrzeń W=lin{(2,1,0, 1),(1,0,1, 1)}. Zestaw 6. 1.Uzasadnić,żejeżeliwektoryu,vsąliniowoniezależne,awektoryu,v,wsąliniowo zależne,tow lin{u,v}. 2. Uzasadnić, że wielomiany rzeczywiste stopnia mniejszego od 5, które są funkcjami parzystymi, tworzą przestrzeń liniową. Podać wymiar tej przestrzeni. 3. Znaleźć współrzędne wektora(4, 4, 2, 5) w wybranej bazie przestrzeni liniowej W= { (a,b,c,d) R 4 :2a c=2b+7c=a b c }. 4. Określić wymiar i wyznaczyć bazę przestrzeni rozwiązań układu równań x +2z u+ v=0 x+ y +2u v=0 3x+2y+2z+3u v=0 x y+4z 4u+3v=0 5.ZnaleźćwartościiwektorywłasneprzekształcenialiniowegoL:R 2 R 2 spełniającegozależności:l(2,1)=(4,3), L(4, 1)=(2, 3). 6.Podaćprzykładunormowanegowektorau E 4 tworzącegozwektoremv = (1, 1,1, 1)kątπ/3. Zestaw 7. 1.Dlajakichwartościparametrupzbiór W={(px+y,y,x+p):x,y R}jestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeni R 3? 2. W przestrzeni liniowej R[x] zbadać z definicji liniową niezależność wektorów: x 3 +x, 2x 3 +x+1, 3x 2 +x, x+1..

Egzamin poprawkowy 55 3. Wskazać bazę przestrzeni liniowej { U= X M 2 2 : [ ] 2 1 X=X 1 1 [ ]} 01. 31 4.Sprawdzić,czywektory(1,1, 2,0,1),( 2,0,0,1,1)generująprzestrzeńrozwiązań układurównań x 2y + u+ v=0 x y+ z +2v=0. 3x 4y+2z+ u+5v=0 x 3y z+2u =0 5.Wbazie{(1,0,1),(0,1,1),(1,1,3)}przestrzeni R 3 znaleźćmacierzprzekształcenia liniowegol(x,y,z)=(z x,z y,x+y). 6.Wektoryu=(1,3, 2),v=( 1,1,1)uzupełnićdobazyortogonalnejprzestrzeni E 3 inastępnieznaleźćwspółrzędnewektorax=(12, 4,7)wtejbazie. Zestaw 8. 1. Uzasadnić, że jeżeli wektory a, b, c należące do przestrzeni liniowej V są liniowo zależneorazd V,towektorya,b,c,dsąteżliniowozależne. 2.Uzasadnić,żezbiór U={(a b,a+b,3b,2a):a,b R}jestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeni R 4.Wskazaćbazętejprzestrzeni,wktórejwszystkiewspółrzędne wektora(1,5,6,6)sąrówne5. 3.Sprawdzić,żegeneratoryprzestrzenilin { sin 2 x,cos2x } sąjejbaząinastępnie obliczyćwspółrzędnewektora5 cos 2 xwtejbazie. 4. Dla jakich wartości parametru p zachodzi równość dim(lin{(1,3,p,1),(p, 1,1,1),(4,5,5,3)})=p? 5.Wskazaćbazęprzestrzeni R 3 złożonązwektorówwłasnychmacierzy 101 020. 101 6.Zortogonalizowaćinastępnieunormowaćwprzestrzeni E 4 wektory: Zestaw 9. (1,0,0,1), (1,2,0,1), (1,4,2,3). 1. Uzasadnić, że zbiór U wszystkich wielomianów p spełniających warunek nie jest przestrzenią liniową. p(1)p (2)=0 2.Comożnapowiedziećoliniowejniezależnościfunkcji f,g,h C(R)spełniających nierówność f(1) f(2) f(3) g(1) g(2) g(3) h(1) h(2) h(3) >0?

56 Zestawy zadań z egzaminów 3.Czyspośródwektorów:x 2 +x+2,1 x 2,x 2 +2x+5,x+3,2x+3możnawybrać bazęprzestrzeni R 2 [x]? 4. Określić, w zależności od parametru m, liczbę rozwiązań układu równań 6x+my+4z=4m 3x+ y+2z= m. 6mx+ y+4z= 4 5. Korzystając z interpretacji geometrycznej wyznaczyć jądro, obraz oraz podać ich bazyprzekształcenialiniowegokprzestrzeni R 3,którejestrzutemprostokątnymna płaszczyznęπ:x+2y+3z=0. 6.Sprawdzić,żewektory(2, 1,3),( 1,4,2),(2,1, 1)tworząbazęortogonalnąprzestrzeni E 3 inastępniepodaćwspółrzędnewektora(0,1, 1)wtejbazie. Zestaw 10. 1.Zbadaćliniowąniezależnośćwektorów A T, A 1, A 2 wprzestrzeniliniowej M 2 2 dla [ ] 12 A=. 01 2.Którezwektorówbazystandardowejprzestrzeni R 3 [x]stanowiąuzupełnieniewektorówx 3 +2x,1 x 3 dobazytejprzestrzeni?podaćwszystkiemożliwości. 3.Znaleźćwspółrzędnewektora(1, 1,2)wbazie{(3,2,1),(0,5, 1),(1, 1,1)} przestrzeni R 3. 4. Jaki jest wymiar przestrzeni rozwiązań układu równań x+ y+2z+3s+ t=0 x+3y+ z+2s+2t=0? 5x 7y+ z 4t=0 5.PodaćwartościiwektorywłasnesymetriiS: R 3 R 3 względemosioz. 6.Wyznaczyćrzutortogonalnyvwektorau=(2,0,1) E 3 napodprzestrzeń Zestaw 11. lin{(1,2,0),(2,3,1)}. 1. Czy funkcje okresowe o okresie T, który jest dodatnią liczbą parzystą, tworzą podprzestrzeń liniową przestrzeni wszystkich funkcji na R? Odpowiedź uzasadnić. 2. Czy któraś z podanych macierzy jest kombinacją liniową pozostałych: [ ] [ ] [ ] [ ] 01 1 1 1 3 31,,,? 00 1 3 2 1 45 Odpowiedź uzasadnić. 3.Wektoru Umawbazie{b 1,b 2,b 3 }przestrzeniliniowej Uwspółrzędne[3,1,3]. Znaleźćwspółrzędnewektorauwbazie{b 1 b 2,b 1 +b 3,b 1 +2b 3 }.

Egzamin poprawkowy 57 4. Znaleźć wymiar przestrzeni liniowej generowanej przez wektory: (1, 2,0,1,3), (2,0,2,1,0), (1,0,1,0,4), (1, 4, 1,1,10) 5. Wyznaczyć wartości i wektory własne macierzy 101 040. 101 6. Znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni lin{(1,0,1,0),(1,0,1,1,),(1,1,1,1)} inastępniepodaćwspółrzędnewektora(6,3,6,5)wtejbazie. Zestaw 12. 1. Uzasadnić z definicji liniową niezależność funkcji sin x, sin 3x, sin 8x w przestrzeni liniowej C(R). 2. Uzasadnić, że zbiór U jest przestrzenią liniową i określić jej wymiar, jeżeli U={p R 4 [x]:2p(x)= p(2x)}. [ ] 5 3 3. Znaleźć współrzędne wektora wbazie 3 2 {[ ] [ ] [ ]} 1 0 21 0 1,, 0 1 11 1 3 przestrzeniliniowej M 2 2 rzeczywistychmacierzysymetrycznychstopnia2. 4. Określić, w zależności od parametru q, wymiar przestrzeni liniowej lin{(q,q,3,4),(1,1,1,1),(q,2,q,2)}. 5.NapisaćmacierzprzekształcenialiniowegoL:R 3 R 3 określonegowzorem L(x,y,z)=(x,x+y,x+z,x+y+z) wbazie{(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1)}przestrzeni R 3 orazwbazie przestrzeni R 4. {(1,1,0,0),(1, 1,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1, 1)} 6.Zortogonalizowaćwektory1,sinx,x+1wprzestrzenieuklidesowej C[ π/2,π/2] z iloczynem skalarnym (f,g)= π 2 f(x)g(x) dx. π 2 Zestaw 13. 1.Uzasadnić,żezbiór U={A M 3 3 :det( A)= det(a)}jestprzestrzeniąliniową. 2.Napisaćmacierzprzejściazbazy{(1,2,1),(2,3,1),(1,1,1)}dobazystandardowej przestrzeni R 3.

58 Zestawy zadań z egzaminów 3.Dlajakichwartościparametruawielomianx 2 +ax+a 2 jestuzupełnieniemwielomianówx 2 2x+3,2x 2 x+1dobazyprzestrzeni R 2 [x]? 4.Znaleźćwspółrzędnewektora(x,y,z,s,t)=(1,4,4,1,0)wwybranejbazieprzestrzenirozwiązańukładurównańx y+z s+t=x y+z s t=0. 5.WyznaczyćwartościiwektorywłasneprzekształcenialiniowegoK : R 3 R 3 określonego wzorem K(x,y,z)=(x+2y+3z,2y, z). 6. Znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni E= { (2x,y,y x,2x+y) E 4 :x,y R } inastępniewspółrzędnewektora(2,1,0,3)wtejbazie. Zestaw 14. 1.Niech W= { (x,y,x+ y ) R 3 :x,y R }.Któryzpodanychzbiorówjestprzestrzenią liniową: Odpowiedź uzasadnić. W 1 = W płaszczyznayoz, W 2 = W płaszczyznaxoz? 2.Baza Bprzestrzeniliniowej R 2 [x]zawierawektory1 x,2x+1.jakiemogąbyć współrzędne wektora 3x + 6 w tej bazie? Wypisać wszystkie możliwości. 3. Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni liniowej U= { (x,y,z,t) R 4 :(x+z) 2 =2 ( x 2 +z 2)}. 4. Zbadać macierzowo liniową niezależność wektorów: x 4 +2x 3 +x 2 x+1, 2x 4 +x 3 x 2 +x 1, 4x 4 +5x 3 +x 2 x wprzestrzeniliniowej R 4 [x]. 5.WyznaczyćbazyjądraorazobrazuprzekształcenialiniowegoK: R 3 R 4 określonego wzorem K(x,y,z)=(x+y+2z,x 2y+2z,2x y+4z,x+2y+2z). 6. Znaleźć wektor unormowany f ortogonalny do wektora h = x 1 w przestrzeni R 1 [x]ziloczynemskalarnymdanymwzorem (f,g)= f(1)g(1)+ f(2)g(2)dla f,g R 1 [x]. Zestaw 15. 1.Czyzbiór D={q R[x]: q R 2 [x]lub q (1)=0}jestpodprzestrzeniąliniową przestrzeni R[x]? Odpowiedź uzasadnić. 2.Uzasadnićzdefinicji,żewektory(4,1,3),(8,2,1),(1,0,2)tworząbazęprzestrzeni liniowej R 3. 3.Wektor(7,2,3,0,1)uzupełnićdobazyprzestrzeniliniowej U= { (x,y,z,s,t) R 5 :y+s=z t=x y z }.

Egzamin poprawkowy 59 4. Znaleźć wymiar przestrzeni liniowej generowanej przez kolumny macierzy 12011 13210 24022. 17232 5.PrzekształcenielinioweL:R 2 R 2 przeprowadzawektor(1,0)nawektor(3, 2), awektor(1,1)nawektor(4, 1).Znaleźćobrazwektora(1, 2)potrzykrotnym złożeniu tego przekształcenia. 6. Napisać współrzędne wektora(2, 3, 1, 0) w wybranej bazie ortogonalnej przestrzeni lin{(1,1, 1, 1),(1,1,1,1),(0,1,1,0)} E 4. Zestaw 16. 1. Wskazać przykład nieskończonego liniowo niezależnego podzbioru przestrzeni R[x] niezawierającegowielokrotnościwektorów:1,x,x 2,x 3,...Odpowiedźuzasadnić 2. Wektory u, v, w są liniowo niezależne. Dla jakich wartości parametru p podane niżej wektory są liniowo niezależne: 2pu+4v+pw, 2u+2v+w, pu+pv w? 3. Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni rozwiązań układu równań x+2y+z+2t=6x x+2y+z+2t=6y. x+2y+z+2t=6z x+2y+z+2t= 6t 4.NapisaćwzórprzekształcenialiniowegoL:R 2 R 2,któregojądremiobrazem jestośox. 5.PrzekształcenieL:R 2 [x] R 2 [x]jestokreślonewzorem (Lp)(x)=(2 x)p (x)dla p R 2 [x]. Pokazaćliniowośćtegoprzekształceniaipodaćjegomacierzwbazie { 1,x,x 2}. 6.Znaleźćbazęortogonalnąprzestrzeni E 4 zawierającąwektory: (1,1,0, 1), (1,0, 1,1). Zestaw 17. 1.Czyzbiór W = {(x,y,z):xy=0iyz=0}jestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeni R 3?Odpowiedźuzasadnić. 2. Dla jakich wartości parametru p wektory x 2 +px+p 2,x 2 +p 2 x+p 4,x 2 +p 3 x+p 6? sąliniowoniezależnewprzestrzeni R 2 [x].

60 Zestawy zadań z egzaminów 3. Obliczyć rząd macierzy 1 2 1 0 0 0 3 2 2 0 0 0 1 5 6 0 0 0 0 0 0 4 2 6. 0 0 0 2 1 3 0 0 0 6 3 9 4.NiechLbędzieliniowymprzekształceniemprzestrzeni R 3 [x]określonymwzorem (Lp)(x)=p(x)+ p (x).uzasadnićmacierzowo,żeprzekształceniel 1 istniejei następniewyznaczyćl 1( x+x 2). 5. Znaleźć wartości własne i odpowiadające im przestrzenie wektorów własnych przekształcenialiniowegol:r 3 R 3 określonegowzorem L(x,y,z)=(y,y,y). 6. Wyznaczyć bazę ortonormalną przestrzeni Zestaw 18. W= { (x,y,z,t) E 4 :4x z=2y 3z+2t=0 }. 1.Uzasadnić,żefunkcje2 x,x 2,sinπx,x 3sąliniowoniezależnewprzestrzeni liniowej C(R) wszystkich funkcji ciągłych na R. 2. Sprawdzić, że wektor(5, 1, 2, 3) należy do przestrzeni liniowej U={(x+2y+4z,x+2z,y+z,x 2y):x,y,z R} i następnie uzupełnić go do bazy tej przestrzeni. 3. Podać geometryczny opis zbioru rozwiązań podanego układu równań w zależności odparametrup: px+2y+pz=0 x+py+ z=0. px+3y+pz=0 4. Znaleźć bazy przestrzeni liniowych Ker L, Im L dla przekształcenia liniowego L: R 4 R 3 określonegowzorem L(a,b,c,d)=(a b c+3d,a+b c d,a b c+2d). 5.MacierzprzekształcenialiniowegoL:V Vmawbazie{v 1,v 2 }przestrzeni liniowej V postać [ ] 0 1 A L =. 1 2 ZnaleźćL 3 (v 1 +v 2 ). 6.Znaleźćrzutortogonalnyvwektorau=(1,1,3, 1)napodprzestrzeń V= { (x,y,z,t) E 4 :x+z+2t=y 2t=x+y z=0 }.

Egzamin poprawkowy 61 Zestaw 19. 1.Comożnapowiedziećoliniowejzależnościfunkcji f,g,h: R Rmającychciągłe pochodne rzędu 2 i spełniających nierówność f(1) f (1) f (1) g(1) g (1) g (1) h(1) h (1) h (1) >0? 2.Wskazaćbazęprzestrzeniliniowejlin{(1,2,3,4,5),(1,1,0,1,1),(2,3,3,5,7)}zawierającąwektor(0,1,3,3,4). 3. Określić wymiar przestrzeni rozwiązań układu równań x+y+z=z+2y+t=x y+3z t=t. 4.Danyjestczworokątowierzchołkach(0,0),(6,0),(4,2),(1,2)orazprzekształcenie płaszczyznyl(x,y)=(x+2y,x y).wyznaczyćpolefigurybędącejobrazemtego czworokąta w przekształceniu L. 5.Czyjestmożliwe,abywprzestrzenieuklidesowej R 1 [x]zpewnymiloczynemskalarnymwielomiany1,x 1tworzyłykątπ/4,awielomiany1,xbyłyortogonalne? Odpowiedź uzasadnić. 6.Wektory(1,1,1, 1), (1, 1,1,1), (4,2, 4,2)uzupełnićdobazyortogonalnejprzestrzeni E 4 ipodaćwspółrzędnewektora(0,1,0,0)wtejbazie. Zestaw 20. 1. Rozważmy zbiór U wszystkich funkcji dwóch zmiennych z = g(x, y), których wykresy są płaszczyznami przechodzącymi przez punkt(3, 1, 0). Uzasadnić, że ten zbiór jest przestrzenią liniową. 2.Wykorzystującmacierzprzejściazbazydobazypodaćwspółrzędnewektora4b 1 2b 2 wbazie{4b 1 +2b 2,6b 1 b 2 }. 3. Znaleźć wszystkie rozwiązania niejednorodnego układu równań z niewiadomymi x,y,z,t,jeżeliwiadomo,żex=1,y=0,z= 1,t=3jestjednymzrozwiązańtego układu, a jego macierz główna ma postać 1 211 2 302. 1 131 4.Znaleźćobrazwektorau=(1,1,1)poobrocieokątπ/4wokółosiOxinastępnie okątπ/2wokółosioz. 5.Czyjestmożliwe,abywektor(1,1,1)miałwpewnejbazieortonormalnejprzestrzeni E 3 współrzędne[1,1,0]?odpowiedźuzasadnić. 6.Wektoryu,v 1,v 2 sąunormowane.znaleźćrzutortogonalnywektoraunapodprzestrzeńlin{v 1,v 2 }jeżeliwiadomo,żewektorujestortogonalnydov 1,zwektorem v 2 tworzykątπ/3,zaśv 1 iv 2 tworząkątπ/6.

62 Zestawy zadań z egzaminów Zestaw 21. 1. Czy zbiór wszystkich macierzy rzeczywistych stopnia 2 o wyznacznikach niedodatnich tworzy przestrzeń liniową? Odpowiedź uzasadnić. 2.Zbadaćliniowąniezależnośćfunkcji 3 x, x,xwprzestrzeniliniowejfunkcjiciągłych na przedziale(0, ). 3.Wprzestrzeni R 3 znaleźćmacierzprzejściazbazy{(2,0,1),(1,1,1),(0,1,1)}do bazy{(1,1,1),(1,0,1),(0,0,1)}. 4.ZnaleźćjądroiobrazprzekształcenialiniowegoL: R 3 Rokreślonegowzorem L(x,y,z)=det xyz 123. 512 5.Czyliczbyλ 1 =0,λ 2 =9sąwartościamiwłasnymiprzekształcenialiniowego (Lf)(x)= f(3x) w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na R? Odpowiedź uzasadnić. 6. Iloczyn skalarny w przestrzeni R[x] dany jest wzorem b+1 (p, q)= p(x)q(x) dx, b 1 gdzieb R.Normawektora p=xwtejprzestrzeniwynosi 26/3,awektor q= x 13/6jestortogonalnydo p.wyznaczyćb. Zestaw 22. 1.Wektoryu v,v w,2u+v+wsąliniowoniezależne.czywektoryu,v,wteż są liniowo niezależne? Odpowiedź uzasadnić. 2.Współrzędnewektora p(x)=5x+2wpewnejbazieprzestrzeni R 1 [x]wynoszą [1,1],awektora q(x)=3 xwynoszą[ 1,3].Znaleźćtębazę. 3. Znaleźć bazę przestrzeni rozwiązań układu równań { x y+2z+3s t=0 x+3y+ z+2s+2t=0. 4.Napisaćmacierzwbaziestandardowejprzestrzeni M 2 2 przekształcenialiniowego L tej przestrzeni w siebie określonego wzorem [ ] 12 L(A)= A dla A M 03 2 2. 5. Wyznaczyć wartości i wektory własne macierzy zespolonej 250 120. 003

Egzamin poprawkowy 63 6.Znaleźćnajmniejsząwartośća>0,dlaktórejfunkcjesinxisin(3x/4)sąortogonalne do funkcji 1 w przestrzeni euklidesowej C[0, a] ze standardowym iloczynem skalarnym. Zestaw 23. 1. Zbadać liniową niezależność funkcji ln(3x), ln(5x), ln(10x) w przestrzeni funkcji ciągłych na przedziale(0, ). 2.Wektor p R 2 [x]mawbazieb= { 3x 2 +2x+1,3x 2 +x+1,2x 2 +x+1 } współrzędne[1, 1, 1]. Podać współrzędne tego wektora w bazie B = { x,2x 2,3 }. 13142 3. Obliczyć rząd macierzy 21103 55348. 47389 4.PrzekształcenielinioweLprzestrzeniliniowej M 2 2 wsiebiejestokreślonewzoreml(a)=3a A T dla A M 2 2.NapisaćmacierzprzekształceniaLwbazie standardowej tej przestrzeni. 5.ZnaleźćwartościiwektorywłasneprzekształcenialiniowegoL:R 4 R 4 określonegowzoreml(x,y,z,t)=(y,z,t,x). 6.Niech U= { u E 3 :u (2,1, 3) }.Uzasadnić,że Ujestpodprzestrzeniąliniową przestrzeni E 3 iwyznaczyćbazęortonormalnątejpodprzestrzeni. Zestaw 24. 1.Któryzpodanychwarunkówdlawektorówu=(r,s,t,u) R 4 wprowadzawnich strukturę przestrzeni liniowej: (a)x 2 +y 2 =z 2 +t 2 ; (b)x+y=z+t? Odpowiedź uzasadnić. 2. Znaleźć współrzędne wektora v =( 8, 5, 9) w jakiejkolwiek bazie podprzestrzeni liniowejprzestrzeni R 3 generowanejprzezwektory v 1 =(2,1,3),v 2 =(4, 1, 1),v 3 =(1, 1, 2),v 4 =(5,1,4). 112244 3. Obliczyć rząd macierzy 213160 326424. 224488 4.PrzekształcenieKprzestrzeni R 3 wsiebiejestokreślonewzorem K(v)=(4, 1,1) v, gdzie v R 3. Uzasadnić liniowość przekształcenia K i znaleźć jego macierz w bazie standardowej R 3.

64 Zestawy zadań z egzaminów 5.Dobraćtakiewartościparametruα,dlaktórychwielomiany p 0 =x+α 1, q 0 =x α 1tworząkąt2π/3wprzestrzenieuklidesowejR 2 [x]ziloczynemskalarnym określonymwzorem(p, q)= p(0)q(0)+ p(1)q(1)+ p(2)q(2). 6.Wektoryv 1,v 2,v 3,v 4 tworząbazęortogonalnąpewnejprzestrzenieuklidesowej. Znaleźćrzutortogonalnywtejprzestrzeniwektorav=v 1 +4v 2 v 3 +3v 4 na podprzestrzeńlin{v 1,v 4 }.