Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0
Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D B C C C D C A C Zadaia ( pkt) Schematy oceiaia zadań otwartych Rozwiąż rówaie x x x 0 I sposób rozwiązaia (metoda grupowaia) Przedstawiamy lewą stroę rówaia w postaci iloczyu stosując metodę grupowaia wyrazów, p: x x x 0 lub x x x 0, stąd x 0 x Zatem x lub x lub x Schemat oceiaia I sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze lewą stroę rówaia w postaci iloczyu co ajmiej dwóch wielomiaów x x 0 i a tym poprzestaie lub dalej popełi błąd stopi dodatich, p: Zdający otrzymuje pkt gdy wyzaczy bezbłędie wszystkie rozwiązaia rówaia: x lub x lub x II sposób rozwiązaia (metoda dzieleia) Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomiau x x x Dzielimy wielomia x x x przez dwumia x Otrzymujemy iloraz x x Zapisujemy rówaie w postaci ( x )(x x ) 0 Obliczamy wyróżik trójmiau x x : 9 Stąd pierwiastkami trójmiau są liczby x oraz x Zatem x lub x lub x 6 6 stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomiau x x x Dzielimy wielomia x x x przez dwumia x Otrzymujemy iloraz x x Zapisujemy rówaie w postaci ( x )(x x ) 0 Obliczamy wyróżik trójmiau x x : 9 Stąd pierwiastkami trójmiau są liczby x oraz x Zatem x lub x lub x 6 6 stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomiau x x x Dzielimy wielomia x x x przez dwumia x Otrzymujemy iloraz x Stroa z
Schemat oceiaia Zapisujemy rówaie w postaci x (x ) 0 i dalej x ( x )( x ) 0 Zatem x lub x lub x Schemat oceiaia II sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje pkt gdy: podzieli wielomia x x x przez dwumia x, otrzyma iloraz x x i a tym poprzestaie lub dalej popełi błąd podzieli wielomia x x x przez dwumia x, otrzyma iloraz x x i a tym poprzestaie lub dalej popełi błąd podzieli wielomia x x x przez dwumia i a tym poprzestaie lub dalej popełi błąd podzieli wielomia x x x przez trójmia i a tym poprzestaie lub dalej popełi błąd x, otrzyma iloraz x x, otrzyma iloraz x Zdający otrzymuje pkt gdy wyzaczy bezbłędie wszystkie rozwiązaia rówaia: x lub x lub x Jeżeli zdający poda jedyie dwa pierwiastki wielomiau oraz zbiór,,,,, wszystkich liczb wymierych, w którym zajduje się trzeci pierwiastek wielomiau, to otrzymuje pukt Zadaie 8 ( pkt) Kąt jest ostry i cos Oblicz wartość wyrażeia si si cos I sposób rozwiązaia si si cos si si cos si, więc obliczymy Poieważ sius tego kąta Otrzymujemy zatem kolejo skąd wyika, że 9 si, 6 6 si ( jest kątem ostrym) Zatem wartość tego wyrażeia rówa się Stroa z
Schemat oceiaia Schemat oceiaia I sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje pkt gdy zauważy, że si si cos si i a tym zakończy lub dalej popełi błędy, obliczy wartość siusa daego kąta si i popełi błąd w obliczeiach Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze, że wartość wyrażeia si si cos jest rówa II sposób rozwiązaia si si cos si si cos si, więc obliczymy Poieważ wartość si Rysujemy trójkąt prostokąty o przeciwprostokątej rówej, zaś przyprostokątych rówych Z twierdzeia Pitagorasa otrzymujemy i a oraz zazaczamy kąt ostry α taki, że a a, skąd Zatem si, a więc wartość wyrażeia jest rówa Schemat oceiaia II sposobu rozwiązaia cos Zdający otrzymuje pkt gdy gdy arysuje trójkąt prostokąty o przeciwprostokątej rówej, przyprostokątych rówych oraz a, zazaczy kąt ostry α taki, że cos, obliczy długość drugiej przyprostokątej a i a tym zakończy lub dalej popełi błędy zauważy, że si si cos si i a tym zakończy lub dalej popełi błędy Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze, że wartość wyrażeia si si cos jest rówa Zadaie 9 ( pkt) Oblicz, ile jest liczb aturalych czterocyfrowych, w których cyfra jedości jest o większa od cyfry setek Rozwiązaie W zapisie każdej z szukaych liczb a pierwszym miejscu (miejscu cyfry tysięcy) może wystąpić jeda z cyfr:,,,, 5, 6,, 8, 9, czyli mamy 9 możliwości Na trzecim miejscu (miejscu cyfry dziesiątek) może być jeda z liczb: 0,,,,, 5, 6,, 8, 9, czyli mamy 0 możliwości Poieważ cyfra jedości jest o większa od cyfry setek, więc a miejscu Stroa z
Schemat oceiaia drugim (miejscu cyfry setek) może wystąpić jeda z liczb: 0,,,,, 5, 6 i wtedy a miejscu czwartym (miejscu cyfry jedości) wystąpi odpowiedio cyfra:,, 5, 6,, 8, 9, zatem mamy możliwości, w których cyfra jedości jest o większa od cyfry setek Zatem mamy 90 60 liczb aturalych czterocyfrowych, w których cyfra jedości jest o większa od cyfry setek Schemat oceiaia Zdający otrzymuje pkt gdy: wypisze wszystkie możliwości obsadzeia cyfry setek i cyfry jedości liczby czterocyfrowej, w której cyfra jedości jest o większa od cyfry setek: _0_,, 5, 6,, _5_8, _6_9 lub zapisze, że jest takich możliwości zapisze, że cyfrę tysięcy możemy wybrać a 9 sposobów, a cyfrę dziesiątek a 0 lub wypisze te możliwości (p _0_,,, _9_, _0_,,, _9,, 9_0_, 9, 9_9_ ) lub obliczy, że jest 90 takich możliwości Zdający otrzymuje pkt gdy poprawie obliczy, ile jest liczb aturalych czterocyfrowych, w których cyfra jedości jest o większa od cyfry setek: 90 60 Zadaie 0 ( pkt) Wykaż, że liczba 0 0 jest dzielikiem liczby 5 6 0 0 0 0 0 0 0 I sposób rozwiązaia Zauważamy, że liczbę zapisać w postaci, p: Liczbę 5 6 0 0 0 0 0 0 0 moża 0 0 0 0 0 0 0 6 6 0 0 0 0 zapisujemy w postaci 0 0 6 0 0 0 Zatem liczba 0 0 jest dzielikiem liczby Stroa 5 z 5 6 0 0 0 0 0 0 0 Schemat oceiaia I sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje pkt gdy: 5 6 zapisze liczbę 0 0 0 0 0 0 0 w postaci 6 0 0 0 0 0 0 i ie zauważy, że liczbę moża zapisać w postaci 6 0 0 0, Zdający otrzymuje pkt gdy przeprowadzi pełe rozumowaie
Schemat oceiaia 5 6 Zdający może rozłożyć a czyiki wielomia x x x x x x x, gdzie x 0 Wtedy zdający otrzymuje pukt za zapisaie tego wielomiau w postaci iloczyu x x x x, a za zapisaie, że x x x x x pukty i uzasadieie podzielości otrzymuje II sposób rozwiązaia 5 6 Zauważamy, że suma 0 0 0 0 0 0 0 jest sumą ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometryczego, w którym a, q 0 i a8 0 Stąd S 8 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Zatem liczba 0 0 jest dzielikiem liczby 0 0 0 5 6 0 0 0 0 0 0 0 Schemat oceiaia II sposobu rozwiązaia Zdający otrzymuje pkt gdy: 5 6 zauważy, że liczba 0 0 0 0 0 0 0 jest sumą ośmiu wyrazów ciągu geometryczego, w którym a, q 0 i a8 0 8 0 zapisze, że S8 0 Zdający otrzymuje pkt gdy przeprowadzi pełe rozumowaie i zapisze 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 6 III sposób rozwiązaia Zauważamy, że liczbę 5 6 0 0 0 0 0 0 0 moża zapisać w postaci, p: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Zatem liczba 0 0 jest dzielikiem liczby 0 0 0 Stroa 6 z
Schemat oceiaia III sposobu rozwiązaia Schemat oceiaia Zdający otrzymuje pkt w postaci 0 0 0 0 moża zapisać w postaci 0 0 gdy zapisze liczbę 0 0 0 i ie zauważy, że liczbę 0 0 0 Zdający otrzymuje pkt gdy przeprowadzi pełe rozumowaie Zadaia ( pkt) Nieskończoy ciąg geometryczy a jest określoy wzorem iloraz q tego ciągu a, dla Oblicz Rozwiązaie (I sposób) Poieważ ciąg a jest geometryczy, więc wystarczy obliczyć dwa koleje wyrazy tego ciągu, p a q a 9 a 9 oraz Rozwiązaie (II sposób) Pierwszy wyraz ciągu a jest rówy a Iloraz ciągu a 6 Poieważ ciąg a Stroa z a jest więc rówy a jest geometryczy oraz a 6, więc ze wzoru a -ty wyraz ciągu geometryczego wyika, że iloraz tego ciągu jest rówy q Rozwiązaie (III sposób) Poieważ wszystkie wyraz ciągu a są róże od zera, więc iloraz q tego ciągu jest rówy a q a Rozwiązaie (IV sposób) dla a, więc ciąg a Dla każdego mamy a jest geometryczy, a jego iloraz jest rówy Schemat oceiaia Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy dwa koleje wyrazy ciągu a, p: a 9 oraz a oraz poprawie zapisze relację między tymi wyrazami, p: a a q i a tym poprzestaie lub błędie obliczy iloraz ciągu obliczy pierwszy wyraz ciągu i zapisze -ty wyraz ciągu w postaci tym poprzestaie lub błędie poda iloraz ciągu a 6 i a
Schemat oceiaia wyzaczy wyraz ciągu a oraz poprawie zapisze relację między wyrazami, p: q a lub a a a q i a tym poprzestaie lub błędie obliczy iloraz ciągu Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy iloraz q: q Jeżeli zdający poda od razu iloraz ciągu q, to otrzymuje pukty Zadaie ( pkt) Podstawą graiastosłupa ABCDEFGH jest prostokąt ABCD (zobacz rysuek), którego krótszy bok ma długość Przekąta prostokąta ABCD tworzy z jego dłuższym bokiem kąt 0 Przekąta HB graiastosłupa tworzy z płaszczyzą jego podstawy kąt 60 Oblicz objętość tego graiastosłupa H G E F D C A B Rozwiązaie (krawędź podstawy AB, przekąta BD i wysokość DH graiastosłupa) H G E F A D 60 0 B C Strategia rozwiązaia tego zadaia sprowadza się do realizacji astępujących etapów rozwiązaia: obliczeie długości dłuższej krawędzi podstawy graiastosłupa, ew długości przekątej podstawy i wysokości tego graiastosłupa obliczeie pola podstawy graiastosłupa obliczeie objętości ostrosłupa Stroa 8 z
Schemat oceiaia Niech AD Z defiicji tagesa kąta ostrego w trójkącie prostokątym ABD wyika, że AD tg0, stąd AB AB Z twierdzeia Pitagorasa zastosowaego do trójkąta ABD otrzymujemy BD 6 Pole P podstawy graiastosłupa (pole prostokąta ABCD) jest rówe: P 9 A teraz z defiicji tagesa kąta ostrego w trójkącie prostokątym BDH otrzymujemy, że DH tg60, stąd 6 BD DH Obliczamy zatem objętość graiastosłupa ABCDEFGH: V 9 6 6 Schemat oceiaia rozwiązaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia pkt Obliczeie długości dłuższej krawędzi podstawy graiastosłupa: AB długości przekątej podstawy graiastosłupa: BD 6 Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp pkt Obliczeie długości dłuższej krawędzi podstawy graiastosłupa i długości przekątej podstawy graiastosłupa: AB, BD 6 pola podstawy graiastosłupa: PABCD BC BD si 60 6 9 Pokoaie zasadiczych trudości zadaia pkt Obliczeie długości dłuższej krawędzi podstawy graiastosłupa i długości przekątej podstawy graiastosłupa i wysokości graiastosłupa: AB, BD 6, DH 6 pola podstawy graiastosłupa i wysokości graiastosłupa: P 9, DH 6 ABCD Rozwiązaie pełe pkt Obliczeie objętości graiastosłupa: V 6 Zdający może zauważyć, że trójkąt ABD jest połową trójkąta rówoboczego, w którym połowa długości boku jest rówa, pole podstawy graiastosłupa jest rówe polu takiego 6 trójkąta rówoboczego i od razu zapisać, że AB, BD 6, PABCD 9 Podobie może zauważyć, że trójkąt BHD jest połową trójkąta rówoboczego, w którym połowa długości boku jest rówa 6 i od razu zapisać DH 6 Stroa 9 z
Schemat oceiaia Zadaie (5 pkt) Grupa zajomych wykupiła wspólie dostęp do Iteretu a okres jedego roku Opłata miesięcza wyosiła 0 złotych Podzieloo tę kwotę a rówe części, by każdy ze zajomych płacił tyle samo Po upływie miesiąca do grupy dołączyły jeszcze dwie osoby i wówczas opłata miesięcza przypadająca a każdego użytkowika zmiejszyła się o 5 złotych Ile osób liczyła ta grupa w pierwszym miesiącu użytkowaia Iteretu? I sposób rozwiązaia Niech x ozacza liczbę osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do Iteretu, zaś y opłatę przypadającą a każdą z tych osób (w zł) Koszt wykupieia dostępu do Iteretu opisuje rówaie xy 0 Gdy do grupy dołączyły jeszcze dwie osoby, to opłata przypadająca a każdego użytkowika zmiejszyła się o 5 złotych miesięczie Otrzymujemy zatem rówaie: x y 5 0 Rozwiązujemy układ rówań xy0 x y 5 0 Drugie rówaie możemy zapisać w postaci xy 5x y 0 0 Stąd i z pierwszego rówaia otrzymujemy 0 5x y0 0, y5x 0, 5 y x 5 Podstawiamy do pierwszego rówaia układu i otrzymujemy Zatem 5 x x50, 5 5 0 0 x x, x x8 0 9 96 x 8, x 6 Pierwsze z rozwiązań odrzucamy, gdyż liczba osób ie może być ujema Zatem w pierwszym miesiącu użytkowaia Iteretu grupa liczyła 6 osób Z rówaia 0 5x y0 0 możemy także wyzaczyć x y Wówczas 5 otrzymujmy rówaie 0 5 y y, 0 0 5 y y, Stroa 0 z
Schemat oceiaia y 5y00 0 5 00 5 5 Zatem 5 5 5 5 y 5, y 0 Pierwsze z rozwiązań odrzucamy, gdyż opłata ie może być ujema Gdy y 0, to wtedy x 0 6 Zatem w pierwszym miesiącu użytkowaia Iteretu grupa liczyła 6 osób 5 Schemat oceiaia I sposobu rozwiązaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia zadaia pkt Zapisaie zależości między x ilością osób w grupie i y opłatą przypadająca a każdą z tych osób, p: xy 0 x y 5 0 Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp pkt xy0 Zapisaie układu rówań z iewiadomymi x i y, p x y 5 0 Pokoaie zasadiczych trudości zadaia pkt Zapisaie rówaia z jedą iewiadomą x lub y, p: 5 x x50 lub 0 5 y y lub 0 0 x 50 lub y 5 0 x y Zdający ie musi zapisywać układu rówań, może bezpośredio zapisać rówaie z jedą iewiadomą Rozwiązaie zadaia do końca, lecz z usterkami, które jedak ie przekreślają poprawości rozwiązaia (p błędy rachukowe) pkt zapisaie rówaia kwadratowego z iewiadomą x i rozwiązaie tego rówaia z błędem rachukowym bezbłęde rozwiązaie rówaia z iewiadomą y i ie obliczeie liczby osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do Iteretu rozwiązaie rówaia z iewiadomą y z błędem rachukowym i kosekwete obliczeie liczby osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do Iteretu Rozwiązaie pełe 5 pkt Obliczeie liczby osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do Iteretu: 6 II sposób rozwiązaia Niech x ozacza liczbę osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do Iteretu Wtedy opłata przypadającą a każdą z tych osób jest rówa 0 zł Gdy do grupy dołączyły x jeszcze dwie osoby, to liczba osób w grupie jest wtedy rówa x, więc opłata Stroa z
Schemat oceiaia przypadająca wówczas a każdego użytkowika jest rówa 0 zł Poieważ opłata x zmiejszyła się o 5 zł, więc otrzymujemy rówaie 0 0 5 x x Przekształcamy je do postaci x x8 0 9 96 Zatem x 8, x 6 Pierwsze z rozwiązań odrzucamy, gdyż liczba osób ie może być ujema Zatem w pierwszym miesiącu użytkowaia Iteretu grupa liczyła 6 osób Schemat oceiaia II sposobu rozwiązaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia zadaia pkt Przyjęcie ozaczeia, p: x - liczba osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do Iteretu oraz wyzaczeie opłaty przypadającej a jedą osobę w zależości od przyjętej zmieej 0 x Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp pkt Wyzaczeie opłaty przypadającej a jedą osobę w zależości od przyjętej zmieej w sytuacji, gdy liczba osób zwiększyła się o : 0 x Pokoaie zasadiczych trudości zadaia pkt Zapisaie rówaia z jedą iewiadomą: 0 0 5 x x Rozwiązaie zadaia do końca, lecz z usterkami, które jedak ie przekreślają poprawości rozwiązaia (p błędy rachukowe) pkt Zapisaie rówaia kwadratowego, p x x8 0 i rozwiązaie go z błędem rachukowym Rozwiązaie pełe 5 pkt Obliczeie liczby osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do Iteretu: 6 Uwagi Jeżeli zdający porówuje wielkości różych typów, to otrzymuje 0 puktów Jeżeli zdający odgadie liczbę osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do Iteretu i ie uzasadi, że jest to jedye rozwiązaie, to otrzymuje pukt Jeżeli zdający poda liczbę osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do Iteretu i ie uzasadi, że jest to jedye rozwiązaie, ale sprawdzi, że spełioe są wówczas waruki zadaia, to otrzymuje pukty Jeżeli zdający systematyczie sprawdza, czy są spełioe waruki zadaia dla kolejych liczb od do 6 i poda liczbę osób, które w pierwszym miesiącu wykupiły dostęp do Iteretu, to otrzymuje 5 puktów Stroa z
Zadaie (5 pkt) Schemat oceiaia Wierzchołki trapezu ABCD mają współrzęde: A, 5, B 5,,, D,0 C, Napisz rówaie okręgu, który jest styczy do podstawy AB tego trapezu, a jego środek jest puktem przecięcia się prostych zawierających ramioa AD oraz BC trapezu ABCD Rozwiązaie Wyzaczamy rówaia prostych zawierających ramioa AD oraz BC trapezu, odpowiedio: y 5x 0 oraz y x Środkiem okręgu S jest pukt przecięcia się prostych o wyzaczoych rówaiach Aby wyzaczyć współrzęde puktu S zapisujemy i rozwiązujemy układ rówań: y 5x0 y x Stąd x 5x 0, czyli x Zatem y 5, czyli S,5 Zauważmy, że promień szukaego okręgu jest rówy odległości puktu S od prostej AB Trzeba też sprawdzić, czy pukt styczości okręgu i prostej AB leży a podstawie tego trapezu Wyzaczamy rówaie prostej prostopadłej do prostej AB przechodzącej przez pukt S: y x, a astępie wyzaczamy współrzęde puktu P przecięcia się tej prostej z prostą y x AB Rozwiązujemy zatem układ rówań i zapisujemy, że P, y x Zauważmy, że pukt P leży między puktami A i B, gdyż xa xp xb 5 Obliczamy promień okręgu r: r SP 5 6 Zapisujemy rówaie okręgu ośrodku S i promieiu r: ( x) ( y5) Promień okręgu r możemy także wyzaczyć w iy sposób: Wyzaczamy rówaie prostej AB: yx i obliczamy promień 5 okręgu: r 6 Obliczamy pole trójkąta ABS, korzystając ze wzoru a pole trójkąta o wierzchołkach, 5 5, S,5 : A, B, PABS 55 5 5 60 6 Pole trójkąta ABS możemy zapisać w iy sposób: PABS AB r 6 Poieważ AB 6 6 6, to 6 6 r Stąd r 6 Stroa z
Schemat oceiaia Schemat oceiaia Rozwiązaie, w którym postęp jest iewielki, ale koieczy a drodze do pełego rozwiązaia zadaia pkt Zapisaie rówaia prostej zawierającej ramię AD trapezu rówaia prostej zawierającej ramię BC trapezu, odpowiedio: y 5x 0 y x Rozwiązaie, w którym jest istoty postęp pkt Obliczeie współrzędych środka okręgu S: S,5 Zdający może podać rozwiązaie układu rówań y 5x0 bez obliczeń y x Pokoaie zasadiczych trudości zadaia pkt Obliczeie promieia r okręgu: r 6 Rozwiązaie zadaia do końca, lecz z usterkami, które jedak ie przekreślają poprawości rozwiązaia (p błędy rachukowe) pkt wyzaczeie współrzędych środka okręgu z błędem rachukowym i kosekwete obliczeie długości promieia okręgu oraz zapisaie rówaia okręgu obliczeie długości promieia okręgu z błędem rachukowym i kosekwete zapisaie rówaia okręgu Rozwiązaie pełe 5 pkt Zapisaie rówaia okręgu ośrodku S i promieiu r: ( x ) ( y 5) Jeśli zdający odczytał z rysuku współrzęde środka okręgu S, ie sprawdził, że te pukt ależy do prostych AD i BC i kotyuował rozwiązaie do końca, to za takie rozwiązaie może otrzymać maksymalie pukty Stroa z