MOMENTY BEZWŁADNOŚCI, RÓWNANIE KRĘTU I ENERGIA KINETYCZNA CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA

Podobne dokumenty
RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA

MODELOWANIE PRZESTRZENI ZA POMOCĄ MULTIILOCZYNÓW WEKTORÓW

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

MECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

FIZYKA R.Resnick & D. Halliday

Wyznaczenie gęstości cieczy za pomocą wagi hydrostatycznej. Spis przyrządów: waga techniczna (szalkowa), komplet odważników, obciążnik, ławeczka.

Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe

MECHANIKA OGÓLNA (II)

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści

R o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO

OPISY PRZESTRZENNE I PRZEKSZTAŁCENIA

Geometria analityczna

Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!)

Bryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XXI:

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

Zasada zachowania pędu

Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

TMM-1 Wyznaczanie współrzędnych tensorów bezwładności członów manipulatorów

Mechanika ogólna II Kinematyka i dynamika

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA

MECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Geometria. Hiperbola

Interpolacja. Interpolacja wykorzystująca wielomian Newtona

Wstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych

Geometria Lista 0 Zadanie 1

WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II

Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

12 RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ I. a=εr. 2 t. Włodzimierz Wolczyński. Przyspieszenie kątowe. ε przyspieszenie kątowe [ ω prędkość kątowa

18. Siły bezwładności Siła bezwładności w ruchu postępowych Siła odśrodkowa bezwładności Siła Coriolisa

i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]

VII.1 Pojęcia podstawowe.

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

ZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał.

Pierwsze dwa podpunkty tego zadania dotyczyły równowagi sił, dla naszych rozważań na temat dynamiki ruchu obrotowego interesujące będzie zadanie 3.3.

Geometria analityczna - przykłady

WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI CIAŁ METODĄ WAHADŁA FIZYCZNEGO GRAWITACYJNEGO I SPRAWDZANIE TWIERDZENIA STEINERA ĆWICZENIE

MECHANIKA 2 Wykład 7 Dynamiczne równania ruchu

LABORATORIUM Z FIZYKI

Zasady dynamiki Newtona. Pęd i popęd. Siły bezwładności

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki.

PF11- Dynamika bryły sztywnej.

Przekształcenia liniowe

Podstawy mechaniki. Maciej Pawłowski

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH

MECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu INŻYNIERIA MATERIAŁOWA Studia pierwszego stopnia

Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkowego

Podstawy robotyki wykład VI. Dynamika manipulatora

FUNKCJE ELEMENTARNE I ICH WŁASNOŚCI

Nara -Japonia. Yokohama, Japan, September 2014

III.4 Ruch względny w przybliżeniu nierelatywistycznym. Obroty.

PORÓWNANIE WPŁYWU WYBRANYCH PARAMETRÓW CIĄGNIKA ROLNICZEGO NA JEGO DRGANIA

Równania dla potencjałów zależnych od czasu

Rys. 1. Rozwiązanie zadania rozpoczniemy od wyznaczenia wartość momentów zginających wywołanych działaniem siły 20[kN]. Rys. 2

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

Dynamika manipulatora. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Cybernetyki Technicznej Politechnika Wrocławska. Podstawy robotyki wykład VI

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Rachunek całkowy - całka oznaczona

R o z d z i a ł 2 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO

Układy współrzędnych

Etap 1. Rysunek: Układy odniesienia

MACIERZE. ZWIĄZEK Z ODWZOROWANIAMI LINIOWYMI.

1. Z pręta o stałym przekroju poprzecznym i długości 1 m odcięto 25 cm kawałek. O ile przesunęło się połoŝenie środka masy pręta. Odp. o 8.

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Wydział Inżynierii Środowiska; kierunek Inż. Środowiska. Lista 2. do kursu Fizyka. Rok. ak. 2012/13 sem. letni

Dr Kazimierz Sierański www. If.pwr.wroc.pl/~sieranski Konsultacje pok. 320 A-1: codziennie po ćwiczeniach

WYMAGANIA EDUKACYJNE PRZEDMIOT : FIZYKA ROZSZERZONA

Fizyka 1(mechanika) AF14. Wykład 5

ZASADY ZALICZANIA PRZEDMIOTU:

Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Dynamika Newtonowska trzy zasady dynamiki

Ruch obrotowy bryły sztywnej. Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe

ver wektory

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

Rachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski

Wektory, układ współrzędnych

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel

Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 9

Kinematyka: opis ruchu

Bryła sztywna. zbiór punktów materialnych utrzymujących stałą odległość między sobą. Deformująca się piłka nie jest bryłą sztywną!

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Geometria powłoki, wg publikacji dr inż. Wiesław Baran

Transkrypt:

Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynaiki Maszyn Politechniki Łódzkiej MOMENTY BEZWŁADNOŚCI, RÓWNANIE KRĘTU I ENERGIA KINETYCZNA CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Praca wprowadza oenty bezwładności ciała sztywnego dla układu parasola związanego z dowolną osią oraz z osią chwilowego obrotu ciała w ruchu kulisty. Dla układu parasola związanego z chwilową osią obrotu wyznaczono równanie krętu oraz wartość energii kinetycznej ciała. Wykorzystano zapis w postaci ultiiloczynów wektorów oraz acierzowy, z użycie diad iloczynów skalarnych i wektorowych. Słowa kluczowe: ruch kulisty, oent bezwładności, równanie krętu, diada MASS MOMENTS OF INERTIA, EQUATION OF ANGULAR MOMENTUM AND KINETIC ENERGY OF A RIGID BODY IN AN UMBRELLA SYSTEM This paper introduces ass oents of inertia of a rigid body for an ubrella syste bound to any axis and subsequently for an ubrella syste bound to the axis of oentary rotation of a body in spherical otion. For an ubrella syste bound to the axis of oentary rotation an equation of angular oentu and a forula for the kinetic energy of the body are derived. Two notations are used: ultiproducts of vectors and atrices (using dyads of scalar and vector products). Keywords: spherical otion, ass oent of inertia, equation of angular oentu, dyad 1. UKŁAD PARASOLA Przyjęto w pracy istnienie trójwyiarowej przestrzeni kartezjańskiej R 3, która opisana jest bazą ortonoralną e i (i = 1,2,3). Układ trzech eleentów: dowolny punkt A w przestrzeni R 3, dowolna prosta l przechodząca przez ten punkt oraz płaszczyzna, prostopadła do prostej l w ty punkcie, nazwano w pracy parasole. Nazwę tę tłuaczy kształt układu w przestrzeni trójwyiarowej (rys. 1). Położenia parasola w przestrzeni określają współrzędne punktu A (współrzędne wektora a ; a = a 1 a 2 a 3 T ) oraz współrzędne wersora prostej l parasola i zaraze wersora płaszczyzny parasola π, (e l = e π ; e l = c l1 c l2 c l3 T ).

x 3 l b l b e l e π A b π a π x 1 x 2 Rys. 1 Układ parasola Parasol tworzy w przestrzeni R 3 swoisty układ odniesienia, w który ożna - w stosunkowo prosty sposób - opisać dowolny wektor b oraz iloczyn wektorowy dwóch wektorów w = a b. Rzuty wektora b na eleenty parasola w pokazano na rysunku 1. Jeżeli wektor b jest opisany acierzą współrzędnych b = b 1 b 2 b T 3, to jego rzuty b l i b π, w zapisie wektorowy i acierzowy ają postać b l = be l e l ; b l = P el e l b, (1) b π = b b π ; b π = b b l = (I 3 P el e l )b, (2) gdzie I 3 jest acierzą jednostkową trzeciego stopnia, natoiast acierz P el e l jest diadą, acierzą iloczynu zewnętrznego dwóch wektorów, której postać, własności i funkcje spełniane w zapisie ultiiloczynów opisano w pracach [3,4]. Wektor iloczynu wektorowego w = a b (gdy a ; a = a 1 a 2 a T 3 ) oże być w przestrzeni R 3 zapisany w jednej z dwóch postaci acierzy, acierzy kolunowej w lub wierszowej w T w = P ae b lub w T = a T P eb, (3) gdzie wyrazy obu diad iloczynu wektorowego - acierzy P ae oraz P eb - równe są odpowiednio = p ij = k=1 sgn i j k i k j a k, (i,j=1,2,3), (4) P ae P eb 3 3 = p ij = k=1 sgn i j k i k j b k, (i,j=1,2,3). (5) Rzut wektora w na oś l parasola, w l = w e l e l, a postać jednej z acierzy w l = P el e l P ae b lub w T l = a T P eb P el e l. (6) Rzut wektora w na płaszczyznę π parasola, w π = w w l = w we l e l, a współrzędne w postaci acierzy kolunowej w π lub wierszowej w π T w π = P ae b P el e l P ae b = P ae b I 3 P el e l, (7) w T π = a T P eb a T P eb P el e l = a T P eb I 3 P el e l. (8)

Pokazany tu układ parasola jest szczególnie przydatny przy opisie ruchu kulistego ciała sztywnego, zarówno dla analizy oentów bezwładności ciała, jak i wyrażenia paraetrów kineatycznych lub opisu dynaiki ruchu. Dla takiego opisu przyjęto układ parasola zawieszony w nieruchoy początku układu współrzędnych, który jest zaraze środkie ruchu kulistego. 2. MOMENTY BEZWŁADNOŚCI CIAŁA SZTYWNEGO Dowolny punktu ciała sztywnego jest punkte, którego położenie w układzie parasola określone jest wychodzący z bieguna O proienie-wektore r. Moenty bezwładności dowolnego, jednorodnego ciała sztywnego, obliczone względe eleentów parasola, są suai (całkai) iloczynów stopnia drugiego proienia-wektora r, określającego położenie asy eleentarnej d oraz wersorów e l = e π, określających położenie parasola w przestrzeni R 3, jak to pokazano na rys. 2. x 3 e l e π prosta l płaszczyzna π d x 1 biegun O r x 2 Rys. 2 Ciało sztywne w układzie parasola Moenty bezwładności ciała sztywnego względe eleentów parasola: względe bieguna O - J O ; prostej l - J l oraz płaszczyzny π J π, wprowadzono w postaci całek z następujących kwadratów iloczynów skalarnych i iloczynów wektorowych [2,5] J O = r 2 d ; J l = e l r 2 Wyrażenia podcałkowe równań (9) spełniają tożsaość Lagrange a e l r 2 = r 2 e π r 2, d ; J π = e π r 2 d (9) z czego wynika, że J O = J l + J π. (10) Dla dowolnego bieguna oent bezwładności ciała sztywnego względe tego bieguna jest suą oentów bezwładności tego ciała względe każdej prostej poprowadzonej przez biegun i płaszczyzny prostopadłej do tej prostej również przechodzącej przez ten biegun. Dla wektora r, którego współrzędne tworzą acierz r = x 1 x 2 x 3 T zdefiniowano diadę P rr [3,4], czyli acierz postaci (11) oraz oraz jej suę (całkę) po całej asie ciała,

stanowiącą acierz płaszczyznowych oentów bezwładności ciała sztywnego I rr (12), zawierającą na głównej przekątnej oenty bezwładności względe ortogonalnych płaszczyzn układu współrzędnych ( J ii = x 2 i d ; i = 1,2,3), natoiast poza główną przekątną - odśrodkowe oenty bezwładności względe płaszczyzn układu współrzędnych ( J ij = x i x j d). Macierz (12) jest całką z acierzy (11) w ty znaczeniu, że kolejne wyrazy acierzy (12) są całkai z odpowiednich wyrazów acierzy (11), co ożna zapisać w forie I rr = P rr d. Wówczas P rr = 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 1 x 3 x 2 2 x 3 ; I rr = J 11 J 12 J 13 J 21 J 22 J 23. (11)(12) J 31 J 32 J 33 Macierz płaszczyznowych oentów bezwładności ciała sztywnego I rr jest dopełnienie acierzy (tensora) oentów bezwładności ciała sztywnego I do acierzy diagonalnej I O oentu bezwładności względe bieguna, której wyrazai jest stała wartość J O (9) oentu bezwładności ciała względe bieguna O. Jeśli bowie I O = J O I 3 (13) gdzie I 3 jest acierzą jednostkową trzeciego rzędu, a kolejne oenty bezwładności J i ciała względe osi układu współrzędnych oraz tensor oentów bezwładności ciała sztywnego I ają odpowiednio postacie J i = r 2 x i 2 d, I = J 1 J 12 J 13 J 21 J 2 J 23, (14) J 31 J 32 J 3 to oczywista jest tożsaość I O = I + I rr. (15) Sua dwóch acierzy oentów bezwładności ciała sztywnego: tensora oentów bezwładności I oraz acierzy płaszczyznowych oentów bezwładności I rr równa jest diagonalnej acierzy I O = J O I 3 biegunowego oentu bezwładności względe bieguna O, środka układu współrzędnych. Moent bezwładności J l ciała względe prostej l (9) parasola jest iloczyne tensora oentów bezwładności ciała stałego I oraz acierzy współrzędnych wersora prostej e l = c l1 c l2 c l3 T, liczbą zapisaną w postaci J l = e l r 2 d = e l T I e l. (16) Moent bezwładności ciała J π względe płaszczyzny π (9) parasola ożna, po tożsaościowy przekształceniu i skorzystaniu z własności (11) i (12), wyrazić jako iloczyn acierzy płaszczyznowych oentów bezwładności ciała I rr i acierzy współrzędnych wersora prostej e l = c l1 c l2 c l3 T J π = e π r 2 d = e π r re π d = e l T ( P rr d) e l, J π = e l T I rr e l. (17)

Z własności (15) wynikają następujące wnioski: - ponieważ oent bezwładności J O ciała względe bieguna O a dla ciała sztywnego wartość stałą, jego pochodna względe dowolnej ziennej równa jest zero. Wynika z tego, że sua pochodnych odpowiednich wyrazów acierzy oentów bezwładności i acierzy płaszczyznowych oentów bezwładności względe dowolnej ziennej τ jest grą o suie zero, di + di rr dτ dτ = 0. (18) - acierzową tożsaość (15) ożna ponożyć lewo- i prawostronnie razy acierz e l współrzędnych wersora dowolnej prostej l e l T J O I 3 e l = e l T I e l + e l T I rr e l i, po wykorzystaniu (16) oraz (17), otrzyuje się tożsaość J O = J l + J π. (19) Moent bezwładności ciała sztywnego względe bieguna O, środka ortogonalnego układu współrzędnych, jest suą oentów bezwładności tego ciała względe dwóch wzajenie prostopadłych eleentów, prostej l i płaszczyzny π, poprowadzonych przez ten biegun i tworzących układ parasola. - acierzową tożsaość (15) ożna ponożyć stronai prawostronnie razy acierz współrzędnych ω wektora prędkości kątowej ruchu kulistego ω, (ω = ω 1 ω 2 ω 3 T ) wybierając ty say jako oś parasola kierunek wektora ω, a więc oś chwilowego obrotu ciała. Otrzyuje się wówczas - po uwzględnieniu (13) - acierzowe równanie krętu ruchu kulistego postaci I O ω = Iω+ I rr ω. (20) - acierzową tożsaość (15) ożna ponożyć stronai prawostronnie razy acierz ε współrzędnych wektora przyspieszenia kątowego ruchu kulistego ε ε = ε 1 ε 2 ε 3 T i otrzyuje się wówczas po uwzględnieniu (13) - acierzowe równanie dynaiczne ruchu kulistego postaci I O ε = Iε + I rr ε. (21) Równanie to wyprowadzone zostało w oddzielnej pracy, w postaci wektorowej i acierzowej. 3. ENERGIA I KRĘT CIAŁA SZTYWNEGO W RUCHU KULISTYM Wyprowadzone wyżej zależności pozwalają na określenie energii kinetycznej oraz równania krętu ciała sztywnego w ruchu kulisty z wykorzystanie układu parasola jako układu odniesienia. Przyjęto, że ciało sztywne, zaocowane obrotowo w biegunie O, porusza się ruche kulisty wokół chwilowej osi obrotu, której położenie w R 3 określa wersor tej osi e ω o acierzy współrzędnych e ω = c ω1 c ω2 c ω3 T, z prędkością kątową ω = ωe ω (ω = ω 1 ω 2 ω 3 T ), której wektor leży na osi obrotu. Z środkie ruchu kulistego O związano parasol o osi e ω i prostopadłej płaszczyźnie π, pokazany na rysunku 3.

Energia kinetyczna ciała sztywnego w ruchu kulisty jest suą energii wszystkich as eleentarnych E = 1 v 2 d gdzie prędkość v asy eleentarnej d, asy o położeniu 2 określony proienie r, jest iloczyne wektorowy v = ω r. Stąd, po uwzględnieniu (9) otrzyano E = 1 2 v 2 d = 1 2 ω2 e ω r 2 d = 1 2 J ωω 2. (22) Energia kinetyczna ciała sztywnego w ruchu obrotowy wokół chwilowej osi obrotu zależy od oentu bezwładności ciała względe tej osi i kwadratu wartości chwilowej prędkości kątowej. Równanie krętu dla ciała sztywnego w ruchu kulisty wynika z definicji krętu k O ciała obliczonego względe nieruchoego bieguna k O = r v d = r ω r d. (23) Wyrażenia podcałkowe jest podwójny iloczyne wektorowy i jest tożsaościowo równe r ω r = r 2 ω ω r r. x 3 e ω chwilowa oś obrotu oś parasola płaszczyzna π x 1 O r d x 2 Rys. 3 Ruch kulisty ciała sztywnego Wobec tego kręt k O ciała względe nieruchoego bieguna O a postać k O = ω r 2 d ω r r d. (24) Ponieważ r 2 d = J O, pierwszy z członów prawej strony równania jest wektore k = J O ω leżący zawsze na chwilowej osi obrotu, o długości zależnej tylko od wartości prędkości kątowej ω, bowie oent bezwładności ciała względe bieguna O, J O, a wartość stałą. Drugi z członów prawej strony równania (24), wyrażenie ω r r d jest wektore krętu do tej pory niedefiniowany, wektore, który nazwano tu kręte płaszczyznowy i oznaczono k rr.

Wobec tego równanie krętu (24) przybiera postać k = k O + k rr (25) Z równania wynika, że kręt k = J O ω, (26) leżący na osi obrotu jest całkowity (wypadkowy) kręte ciała sztywnego. Rozkład wektorów krętu względe eleentów parasola pokazano na rysunku 4. Kolejne wyrażenia równania (25) w postaci acierzowej ają postać. Kręt całkowity k = J O ω jest acierzą k = J O I 3 ω = I O ω. Kręt względe bieguna O k O (23) jest acierzą k O = Iω [1,2]. Kręt płaszczyznowy k rr = ω r r d ożna po wykorzystaniu diady P rr [3,4], czyli acierzy postaci (11) oraz jej całki po całej asie ciała, stanowiącej acierz płaszczyznowych oentów bezwładności ciała sztywnego I rr (12) - przedstawić jako acierz k rr = ( P rr d)ω = I rr ω. k rr chwilowa oś obrotu e ω k π O k O Rys. 4 Wektory krętu Uzyskano równanie krętu ciała sztywnego w zapisie acierzowy, I O ω = Iω+ I rr ω. (27) Równanie to a postać tożsaą z równanie (20), uzyskany po ponożeniu równania (15) stronai razy acierz współrzędnych ω wektora prędkości kątowej ruchu kulistego ω. Równanie (27) jest acierzowy odpowiednikie wektorowego równania krętu (25) w ruchu kulisty ciała sztywnego.

LITERATURA [1] Buczkowski R., Banaszek A.: Mechanika ogólna w ujęciu wektorowy i tensorowy. Warszawa: Wyd. Naukowo- Techniczne 2006 [2] Leyko J.: Mechanika ogólna. Warszawa: PWN 1997 [3] Polka A.: Modelowanie przestrzeni za poocą ultiiloczynów wektorów. Materiały XV-tej Szkoły Koputerowego Wspoagania Projektowania, Wytwarzania i Eksploatacji. Jurata V 2011. Mechanik, nr 7, 2011 str. 619, art. 91 w załączony CD. [4] Polka A.: Multi-Products of Unit Vectors and Vectors.Basic Notions. Mechanics and Mechanical Engineering, 12, No.2, 2008, str. 103-110. [5] Polka A.: Mass Moents of Inertia and Static Moents of a Rigid Body. Mechanics and Mechanical Engineering, (2008), 12, No.4, str. 297-308.