negia kinetyczna i paca. negia potencjalna Wykład 4 Wocław Univesity of Technology 1
NRGIA KINTYCZNA I PRACA 5.XI.011 Paca Kto wykonał większą pacę? Hossein Rezazadeh Olimpiada w Atenach 004 WR Podzut 63 kg Paul Andeson Rekod Guinnessa 1957 Cięża 7900N (850kg)
NRGIA KINTYCZNA I PRACA 5.XI.011 negia Temin enegia pochodzi od geckiego słowa enegeia używanego już pzez Aystotelesa i w óżnych tłumaczeniach oznacza działanie, pzyczynę uchu, moc. A jak należy ozumieć słowo enegia w języku fizyki? Słownik wyazów obcych PWN: wielkość fizyczna okeślająca zdolność ciała lub układu ciał do wykonywania pacy pzy pzejściu z jednego stanu do dugiego negia wielkość skalana opisująca stan w jakim się w danym momencie znajduje jedno lub wiele ciał. 3
NRGIA KINTYCZNA I PRACA 5.XI.011 negia kinetyczna negię kinetyczną k ciała o masie m, pouszającego się z pędkością o watości v, znacznie mniejszej od pędkości światła, definiujemy jako: k 1 mv Jednostką enegii kinetycznej (i każdego innego odzaju enegii) w układzie SI jest dżul (J). Nazwa ta pochodzi od nazwiska XIX-wiecznego uczonego angielskiego, Jamesa Pescotta Joule'a. 1J kg m s James Pescott Joule 4
NRGIA KINTYCZNA I PRACA 5.XI.011 negia kinetyczna W 1896 oku w Waco, w Teksasie William Cush na oczach 30000 widzów ustawił dwie lokomotywy napzeciwko siebie, na końcach tou o długości 6.4km. Zablokował dźwignie w położeniu pełnego gazu i pozwolił ozpędzonym lokomotywom zdezyć się ze sobą czołowo. Wyznacz łączną enegię kinetyczną lokomotyw tuż pzed zdezeniem zakładając, że każda z nich miała cięża ówny 1.. 10 6 N, a pzyspieszenia obydwu lokomotyw wzdłuż tou były stałe i wynosiły 0.6 m/s. pzed po 5
NRGIA KINTYCZNA I PRACA 5.XI.011 negia kinetyczna Pzyspieszenie każdej z lokomotyw było stałe, więc do obliczenia jej pędkości v tuż pzed zdezeniem możemy zastosować wzó: v v v 0 40.8m / s a x x0 1 8 k mv 5 1.10 kg40.8m / s 10 J negia wybuchu totylu: 6 WT 3.910 J / kg zdezenia lokomotyw 51kg totylu 6
NRGIA KINTYCZNA I PRACA 5.XI.011 Paca Paca W jest to enegia pzekazana ciału lub od niego odebana na dodze działania na ciało siłą. Gdy enegia jest pzekazana ciału, paca jest dodatnia, a gdy enegia jest ciału odebana, paca jest ujemna. W cos 7
NRGIA KINTYCZNA I PRACA 5.XI.011 Paca Jeśli siła jest funkcją położenia, tzn. = () to całkowite pzemieszczenie ciała ozkładamy na n odcinków, tak aby w każdym z nich siłę można uważać za stałą. Wówczas paca całkowita wykonana pzez siłę () pzy pzesunięciu ciała z punktu 1 do punktu, któych położenia są dane pzez pomienie wodzące 1 i, wynosi: W (1 ) lim i 0 W 1 n i1 n i1 i d i i 1 i d 8
NRGIA KINTYCZNA I PRACA 5.XI.011 Paca W n W d d 9
NRGIA KINTYCZNA I PRACA 5.XI.011 Paca Jeśli cos(, d ) 0, tzn. kąt między kieunkiem i d jest mniejszy od 90 o, to wówczas W>0, czyli paca wykonana pzez siłę jest dodatnia. Pzykładem takiej sytuacji jest paca wykonana pzez siły gawitacji podczas swobodnego spadku ciała. Jeśli natomiast cos(, d ) 0, tzn. kąt między i d jest większy od 90 o, to paca siły jest ujemna. Pzykładem takich sił są siły opou uchu. Jednostka pacy: dżul. m J 1kg1 1N 1m s 1 10
NRGIA KINTYCZNA I PRACA 5.XI.011 Paca Gdy na ciało działa wekto siły iˆ x y ˆj kˆ w wyniku któej cząstka doznaje niewielkiego pzesunięcia paca wynosi d W d dxiˆ dyj ˆ dzkˆ dx x z dy Całkowita paca z punktu pocz do punktu kon W kon pocz d kon pocz dx x y kon pocz y dz z dy kon pocz dz z 11
NRGIA KINTYCZNA I PRACA 5.XI.011 y Paca a enegia kinetyczna x v 0 1 v mv d v a d 0 1 mv0 x ma x d v K kon K pocz x d 1
13 Paca a enegia kinetyczna NRGIA KINTYCZNA I PRACA 5.XI.011 Ponieważ więc vdt d 1 1 t t vdt d W Jeśli założymy, że masa ciała jest stała, to wtedy dt dv m a m 1 1 1 v m v m v m dv v m W v v v v Gdzie v 1 i v są pędkościami ciała odpowiednio w punkcie 1 i.
NRGIA KINTYCZNA I PRACA 5.XI.011 Paca a enegia kinetyczna Zmiana enegii kinetycznej ciała jest ówna pacy wykonanej nad tym ciałem: K K kon K pocz W ZMIANA NRGII KINTYCZNJ CZĄSTKI = CAŁKOWITA PRACA WYKONANA NAD CZĄSTKĄ Związek ten można zapisać inaczej K kon K pocz W NRGIA KINTYCZNJ PO WYKONANIU PRACY = NRGIA KINTYCZNJ PRZD WYKONANIM PRACY + CAŁKOWITA PRACA WYKONANA NAD CZĄSTKĄ 14
NRGIA KINTYCZNA I PRACA 5.XI.011 Moc Jeżeli w pzedziale czasu Δt została wykonana paca ΔW, to śednia moc P jest okeślana P W t Mocą chwilową nazywamy ganicę do jakiej zmieza moc śednia gdy Δt = 0 P lim t0 W t dw dt Moc chwilowa jest więc pochodną pacy względem czasu. 15
NRGIA KINTYCZNA I PRACA 5.XI.011 Moc P dw dt d dt v W zapisie wektoowym P v Moc danej siły jest popocjonalna do pędkości v. Jednostką mocy w układzie SI jest wat [W]. Moc jest ówna jednemu watowi, jeżeli stała siła wykonuje pacę jednego dżula w czasie jednej sekundy. 1J 1W 1 s 16
NRGIA POTNCJALNA 5.XI.011 negia potencjalna Definicja enegii potencjalnej p : jest to enegia związana z konfiguacją (czyli ustawieniem) układu ciał, działających na siebie siłami. Gdy zmienia się konfiguacja tych ciał, może się ównież zmieniać enegia potencjalna układu. Zmianę gawitacyjnej enegii potencjalnej Δ p definiujemy zaówno dla wznoszenia, jak i dla spadku ciała jako pacę wykonaną nad ciałem pzez siłę ciężkości, wziętą z pzeciwnym znakiem. Oznaczając pacę jak zwykle symbolem W, zapisujemy to stwiedzenie w postaci: W p 17
NRGIA POTNCJALNA 5.XI.011 Siły zachowawcze i niezachowawcze W sytuacji, gdy zawsze spełniony jest związek W 1 = W, enegia kinetyczna zamieniana jest na enegię potencjalną, a siłę nazywamy siłą zachowawczą. Siła ciężkości i siła spężystości są siłami zachowawczymi (gdyby tak nie było. nie moglibyśmy mówić o gawitacyjnej enegii potencjalnej i enegii potencjalnej spężystości). Siłę, któa nie jest zachowawcza, nazywamy siłą niezachowawczą. Siła tacia kinetycznego i siła opou są niezachowawcze. 18
NRGIA POTNCJALNA 5.XI.011 Siły zachowawcze i niezachowawcze Ile wynosi paca pzesunięcia masy m pod działaniem siły (x,y) z punktu 1 do po dodze A oaz B? B A 1 Jeśli paca pzemieszczenia masy m między punktami A i B nie zależy od dogi po któej nastąpiło pzemieszczenie to mówimy, że siła jest zachowawcza, albo potencjalna. Paca pzemieszczenia masy m z punktu A po dodze 1 do punktu B i potem z punktu B po dodze do punktu A wynosi zeo. 19
NRGIA POTNCJALNA 5.XI.011 negia potencjalna Jeżeli paca pzemieszczenia masy m po dodze (kzywej) zamkniętej wynosi zeo to mówimy, że siła jest zachowawcza, albo potencjalna. Możemy zapisać pacę siły (x,y) na dodze elementanego pzemieszczenia d jako: dw = o d Ponieważ paca siły (x,y) nie zależy od dogi, a tylko od punktu statu i końca pzemieszczenia to można okeślić funkcję skalaną, zależną tylko od współzędnych (x,y). Nazywamy ją enegią potencjalną i okeślamy jej nieskończenie mały pzyost: du = - o d Minus został wybany ze względu na to, że ubytek enegii potencjalnej jest ówny wykonanej elementanej pacy. 0
NRGIA POTNCJALNA 5.XI.011 Gadient enegii potencjalnej Pzyost funkcji U(x,y) można wyazić jako sumę pzyostów funkcji względem obydwu zmiennych niezależnych x i y jako: du U x dx U dy y Pochodne U względem x i y nazywają się pochodnymi cząstkowymi i liczymy je tak, jakby duga zmienna była stałą pzy liczeniu pochodnej cząstkowej po piewszej zmiennej. U U Z dugiej stony: du d x dx y dy dx dy x y Gupując wyazy z odpowiednimi pzyostami dx i dy otzymamy: x U x dx y U y dy 0 1
NRGIA POTNCJALNA 5.XI.011 Gadient enegii potencjalnej W pzestzeni tójwymiaowej ównanie to obowiązuje dla dowolnych pzyostów dx, dy i dz stąd muszą znikać tożsamościowo wyażenia w nawiasach: x U x U y Siła ówna jest ujemnemu gadientowi enegii potencjalnej: Stąd: - p x p ; y p p y ; z p kon pocz x d p z i U z p y j Gawitacyjna enegia potencjalna negia potencjalna spężystości p (y) mgy 1 p (x) kx p z k
NRGIA POTNCJALNA 5.XI.011 Zasada zachowania enegii mechanicznej negia mechaniczna mech układu jest sumą jego enegii potencjalnej p oaz enegii kinetycznej k wszystkich jego składników: mech p k Gdy siła zachowawcza wykonuje pacę W w układzie izolowanym nad jednym z ciał układu, zachodzi zamiana enegii kinetycznej k ciała w enegię potencjalną p układu. Zmiana enegii kinetycznej Δ k jest ówna: Z dugiej stony wiadomo, że zmiana enegii potencjalnej wynosi: Stąd otzymujemy, że Δ k W Δ p W Δ k Δ p 3
NRGIA POTNCJALNA 5.XI.011 Zasada zachowania enegii mechanicznej k k k1 pzy czym wskaźniki 1 i odnoszą się do dwóch óżnych chwil, a zatem dwóch óżnych konfiguacji składników układu. Pzekształcając otzymujemy zasadę zachowania enegii mechanicznej: k1 Δ p1 Δ p1 p k p p SUMA k i p DLA DOWOLNGO STANU UKŁADU = SUMA k i p DLA KAŻDGO INNGO STANU UKŁADU W układzie izolowanym, w któym zamiana enegii pochodzi jedynie od sił zachowawczych enegia kinetyczna i enegia potencjalna mogą się zmieniać, lecz ich suma czyli enegia mechaniczna mech nie może ulegać zmianie. 4
NRGIA POTNCJALNA 5.XI.011 Zasada zachowania enegii mechanicznej 5
NRGIA POTNCJALNA 5.XI.011 Zasada zachowania enegii Zmiana całkowitej enegii układu jest ówna enegii dostaczonej do układu lub od niego odebanej. W Δ Δ mech Δ wewn pzy czyni Δ mech jest dowolną zmianą enegii mechanicznej układu. Δ tem dowolną zmianą jego enegii temicznej, a Δ wewn dowolną zmianą innych postaci jego enegii wewnętznej. Zmiana enegii mechanicznej Δ mech zawiea w sobie zmianę enegii kinetycznej Δ k oaz zmianę enegii potencjalnej Δ p układu (spężystości, gawitacyjnej lub jakiejkolwiek innej). tem Δ Całkowita enegia układu izolowanego nie może się zmieniać. Δ mech Δ tem Δ wewn 0 6