Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji Wstęp Moogrfi zwier prktycze wprowdzeie do lizy i symulcji włsości dymiczych prostych ukłdów fizyczych. Zkres mteriłu ogricz się do przedstwiei podstwowych metod, które wprowdzją Czytelik w typowe prolemy utomtyki, czyli die rekcji oiektów zchodzące zmiy w celu przygotowi do projektowi odpowiedich ukłdów sterowi. Duży cisk położoo fizyczą iterpretcję i prktycze zstosowie opisywych metod w odiesieiu do zjwisk, które zchodzą w typowych procesch techologiczych. Poprzez studium prostych przypdków Czytelik m szsę yć pewego doświdczei, które pomoże zdefiiowć potyke prolemy, wyrć jrdziej skuteczą metodę postępowi i rozwiązywć rdziej złożoe zdi. W prezetcji poszczególych temtów zwrc się szczególą uwgę możliwości weryfikcji wyików (smokotrolę. Zkłd się, że Czytelik posid podstwowe widomości temt rówń lgericzych i różiczkowych, przeksztłcei Lplce, zjwisk z fizyki klsyczej orz pewe doświdczeie w pisiu prostych progrmów. Njistotiejsze iformcje z tego zkresu przedstwioo we wprowdzeiu. Podręczik zwier krótkie wprowdzei do zgdień lityczych zilustrowe modelmi dymiki jprostszych oiektów z różych dziedzi. Uzupełieiem jest opis zstosowi modeli w dich symulcyjych w środowisku Mtl orz Scil (v.6. i Octve (. - ozczei w ogólych wzorch: t czs, s u, u( fukcj wejściow (wejście/poudzeie, ( rozwiązie r.różiczkowego (odpowiedź ukłdu, ( zmie stu (czsem tkże wyjście y, y( wyjście ( skok jedostkowy δ( impuls Dirc h( odpowiedź skokow (rekcj ( g( - odpowiedź impulsow (rekcj δ( - ozczei prmetrów fizyczych: A powierzchi, m współczyik tłumiei (trci, Ns/m C pojemość elektrycz, FC/V C v pojemość ciepl, W/K c współczyik sztywości, N/m c p ciepło włściwe mteriłu, J/(kg K F sił, N f przepływ ojętościowy, m /s g przyspieszeie ziemskie, 9,8m/s h wysokość, m i tężeie prądu, A K c współczyik przewodzei, W/K L idukcyjość, HVs/A Ozczei i symole j jedostk urojo s zmie zespolo K wzmocieie T, T stłe czsowe, s T d czs różiczkowi, s T i czs cłkowi, s α część rzeczywist pierwistk β część urojo liczy zespoloej φ przesuięcie fzowe, rd lu λ iegu ukłdu, pierwistek wielomiu ξ tłumieie (współczyik tłumiei ω pulscj (πf, rd lu m ms, kg p ciśieie, P Q ciepło, JWs q strumień ciepł, moc, W q łduek elektryczy, C R rezystcj, ΩV/A T tempertur, K lu C u pięcie, V V ojętość, m v prędkość, m/s przesuięcie, m Z impedcj, ΩV/A ρ gęstość mteriłu, kg/m Poiewż w progrmch symulcyjych ie m możliwości dokłdego odwzorowi wszystkich zw zmieych (ie m ideksów, więc przyjęto stępującą zsdę, że symol główy jest pisy dużą literą ideks młymi litermi. N przykłd zmieej T wew we wzorze odpowid zmie Twew w progrmie symulcyjym. Ozczei w rooczej wersji oprcowi: ieieskie pojęci/defiicje egzmim, w szczególości te pojęci wyróżioe oldem młe, szre uzupełiei, p. dowody, przeksztłcei (ltertyw - w treści tylko tytuły, rozwiięcie w złączikch? Do uzupełiei, sprwdzei lu poprwiei (ozczeie roocze Kometrze (p. listy, pomysły uzupełieie/rozszerzeie (ozczeie roocze w zkresie szkoły średiej i pierwszego roku studiów techiczych - 5 -
Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji I. Wprowdzeie Przedmiotem opisywych dń jest mtemtyczy opis ukłdu fizyczego (p. elektryczego, mechiczego, hydruliczego, cieplego, który ędzie moż wykorzystć do lizy i symulcji tego ukłdu. W szczególości omwie zgdiei mją zstosowie do di włsości dymiczych oiektów (procesów techologiczych i ukłdów sterowi (utomtyki dl tych oiektów. Podstwą dl rozwżń jest poiższe, krótkie wprowdzeie (powtórk podstwowych pojęć i zgdień z mtemtyki, fizyki i wyrego progrmu symulcyjego.. Podstwowe pojęci i rzędzi mtemtycze (powtórk z mtemtyki Opis i die dymiki oiektów (ukłdów wymg podstwowych umiejętości z różych dziłów mtemtyki elemetrej i lizy mtemtyczej. Rozdził I. jest swoistym zestwem słów kluczowych do zweryfikowi i uzupełiei wiedzy koieczej do prowdzei dń lityczych oiektów... Model oiektu (ukłdu Formy modeli Model oiektu opisuje zchowie wyrego ukłdu (fizyczego, chemiczego, iologiczego, ekoomiczego, z pomocą zmieych, które reprezetują pewe włsości ukłdu. Zmiee te moż podzielić : - zmiee wejściowe (wymuszei ich wrtość jest wymusz zewątrz (ie zleży od tego się dzieje w ukłdzie, - zmiee wyjściowe (rozwiązi ich wrtość jest rezulttem dziłi ukłdu. Stłe włsości ukłdów zywe są prmetrmi. Kostrukcj modelu przeprowdz podstwie opisu procesów zchodzących oiekcie zyw się modelowiem. Wyikiem tego procesu jest model lityczy (wyrżeie/wyrżei mtemtycze. Jeśli ze są wrtości prmetrów fukcji, to podstwie modelu lityczego moż rysowć różego typu wykresy (chrkterystyki. Wykresy mogą yć rówież zdejmowe eksperymetlie rzeczywistych oiektch. Odtworzeie modelu lityczego podstwie wykresu zywmy idetyfikcją (Rys. I-. Oiekt fizyczy Modelowie Wykresy Model Idetyfikcj Rys. I-. Modelowie i idetyfikcj Wykresy Model Fukcj mtemtycz opisując zchowie ukłdu może występowć w postci jwej f i (u,, u m lu uwikłej F(u,, u m,,, u (Rys. I-.. Jwą postć fukcji uzyskuje się drodze przeksztłceń lityczych - rozwiązi fukcji uwikłej. Progrmy symulcyje pozwlją oliczyć (rysowć wykres zrówo podstwie postci jwej, jk i uwikłej. u i f i (u,, u m u m Rys. I-. Model ukłdu Modele moż podzielić modele sttycze (u, opisujące ukłd w stie rówowgi orz modele dymiki, przedstwijące rekcję ukłdu ( zmiee wymuszei u(. Podstwowe zdie w dziedziie utomtyki dotyczy di dymiki ukłdów i poleg wyzczeiu fukcji opisujących przeieg zmieych wyjściowych oiektu podstwie modelu dymiki w postci ukłdu rówń lgericzych i/lu różiczkowych orz zej (zdej fukcji opisującej sty/zmiy zmieych wejściowych. Wzór, który jest rozwiąziem tkiego zdi po pierwsze m złożoą postć, po drugie może yć rdzo trudy lu wręcz iemożliwy do wyzczei (model występuje w postci uwikłej. Tymczsem w prktyce iżyierskiej zzwyczj te wzór ie jest potrzey - wystrczy zjomość chrkterystyczych cech rozwiązi, te moż określić w prostszy sposó, stosując przeksztłcei i włsości fukcji ze przykłd z lgery czy trygoometrii (Rys. I-. - 6 -
model: F(u, wejści: u ( Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji wyzczeie rozwiązi (zdy prolem przeksztłcei wyjści: ( zdie/zdi róworzęde die przeiegu zmieości fukcji ( metody lizy zsdy wioskowi Rys. I-. Aliz włsości dymiczych oiektu cechy rozwiązi Jedym z pierwszych elemetów lizy włsości, jest prost klsyfikcj typu modelu (rówń i fukcji, któr pozwl określić od rzu iektóre cechy oiektu i wyrć metodę dlszych dń. Podstwow klsyfikcj dotyczy liiowości fukcji, owiem zdecydow większość metod lityczych dotyczy modeli liiowych. Podczs kostrukcji i lizy modeli ukłdów stosowe są stępujące rzędzi mtemtycze: fukcje lgericze, p. wielomiy, fukcje wymiere i iewymiere, fukcje przestępe (wykłdicze, logrytmicze, trygoometrycze i cyklometrycze, rchuek różiczkowy i cłkowy (p. rówi różiczkowe,, rchuek opertorowy (p. przeksztłceie Lplce i Fourier, szeregi fukcyje (p. Fourier, Tylor, Lure. Przegląd podstwowych iformcji z tego zkresu zwrto w kolejych puktch rozdziłu. Włsości sttycze i dymicze Model sttyczy to jprostszy opis włsości oiektu (ukłdu. Przedstwi o zleżości pomiędzy zmieymi wejściowymi i wyjściowymi ukłdu w wrukch rówowgi, to zczy gdy wrtości zmieych wejściowych i wyjściowych stłe. Modele sttycze, opisywe w iiejszym oprcowiu, mją postć rówń lgericzych (r... Grficz reprezetcj włsości sttyczych chrkterystyk sttycz (Rys. I-4 pozwl odczytć wrtości wyjść podstwie wrtości wejść, p. (u p, (u k. W jprostszych przypdkch są to fukcje liiowe (p.: u. W rzeczywistych wrukch (u k (u p u zleżości liiowe prktyczie ie występują, le są rdzo często u p u k stosowe jko przyliżeie opisu rzeczywistych oiektów. Rys. I-4. Chrkterystyk sttycz Model dymiki ukłdu opisuje sposó rekcji ukłdu zmię sygłu wejściowego. W dich stosuje się rdzo proste sygły wejściowe, przykłd wymuszeie skokowe (Rys. I-5. Njprostszą reprezetcją grficzą opisu dymiki są chrkterystyki czsowe, przedstwijące rekcje oiektu określoe wymuszeie, przykłd odpowiedź skokową zmię wymuszei (Rys. I-6. Włsości dymicze sprwiją, że rekcj oiektu ie jest tychmistow, czsem może mieć chrkter oscylcyjy, co jwżiejsze ie zwsze kończy się dojściem do stu rówowgi, co zywmy rkiem stilości. Stąd wyik koieczość di dymiki oiektów. u k u p u Rys. I-5. Wymuszeie skokowe t (u k (u p t (u k (u p Rys. I-6. Rekcje ukłdu stilego i iestilego wymuszeie skokowe Model sttyczy opisuje ukłd w wrukch rówowgi, to zczy gdy wszystkie zmiee wejściowe i wyjściowe mją stłe wrtości. Ntomist model dymiki opisuje co się dzieje w ukłdzie gdy stąpi zmi wrtości wejściowych czy i jk ukłd osiągie owy st rówowgi. Podstwową lityczą formą modelu dymiki jest rówi różiczkowe (jczęściej zwyczje, gdzie zmieą iezleżą jest czs (r..4. Fukcj, któr jest rozwiąziem rówi różiczkowego dl określoego wymuszei i określoych wruków początkowych, odpowid chrkterystyce czsowej ukłdu (oiektu. Chrkterystyki sttycze i czsowe (dymicze ukłdu są wyzcze zrówo podstwie modelu mtemtyczego (di litycze i symulcyje, jk i zdejmowe rzeczywistym oiekcie przez przeprowdzeie odpowiediego eksperymetu (pomiry i di doświdczle. t - 7 -
Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji Stąd wyikją możliwości modelowi i idetyfikcji modeli mtemtyczych (Rys. I-7. Ntomist porówie zgodości chrkterystyk otrzymych podstwie modelu i chrkterystyk doświdczlych moż wykorzystć do weryfikcji i ocey dokłdości modelu. Oiekt fizyczy Doświdczei Chrkterystyk (sttycz/dymicz Weryfikcj Chrkterystyk (sttycz/dymicz Modelowie Idetyfikcj Aliz Symulcj Model mtemtyczy Rys. I-7. Kostrukcj, die i weryfikcj modelu W kolejych rozdziłch oprcowi przedstwioo podstwowe metody kostrukcji modeli rzeczywistych oiektów (modelowie, idetyfikcj orz di włsości (liz, symulcj, doświdczei modeli/oiektów. Dć umery podrozdziłów????.. Rówi i wyre opercje lgericze Wielomiy rzeczywiste Szczególą rolę w lizie dymiki oiektów pełią wyrżei lgericze w postci wielomiów o rzeczywistych współczyikch. Kluczowe zczeie w tych dich mją pierwistki wielomiu (miejsc zerowe, czyli rozwiązi rówi: (I- Pierwistki wielomiu mogą yć liczmi rzeczywistymi (λ lu prmi licz zespoloych sprzężoych (α ± jω. Wielomi rzeczywisty -tego stopi m pierwistków, przy czym mogą to yć pierwistki wielokrote. Wielomi rzeczywisty (I- moż rozłożyć iloczy wielomiów rzeczywistych stopi co jwyżej drugiego: ( λ ( λ ( (I- gdzie dwumiy liiowe (wielomiy pierwszego stopi są związe z pierwistkmi rzeczywistymi λ i, trójmiy kwdrtowe, to wielomiy o ujemym wyróżiku i zespoloych pierwistkch. Trójmi o ujemym wyróżiku moż rówież rozłożyć iloczy wielomiów pierwszego stopi, le o zespoloych współczyikch: ( ( α jω ( ( α jω. (I- Tym smym kżdy wielomi rzeczywisty moż przedstwić w postci iloczyu wielomiów liiowych: λ λ λ (I-4 ( ( ( przy czym, w tym wypdku, pierwistki λ i mogą yć rzeczywiste i/lu zespoloe. Dostępe są róże metody rozwiązywi rówń wielomiowych. Pierwistki wielomiów stopi od do 4 moż wyzczyć lityczie z pomocą powszechie zych wzorów pierwistki (p. Zł. A.. Powyżej stopi 4 wzory pierwistki ie istieją koiecze są ie metody rozwiązywi. Jeśli współczyiki wielomiu mją postć liczową, to moż zstosowć przyliżoe, umerycze wyzczie pierwistków. W progrmch symulcyjych metody umerycze są stosowe iezleżie od stopi wielomiu (p. Zł. D.. N podstwie rówowżości postci ogólej (I- i iloczyowej (I-4: λ λ λ ( ( ( (I-5 moż sprwdzić poprwość wyzczoych pierwistków λ λ. Rówie (I-5 pozwl też wyprowdzić ogóle wzory Viéte, czyli zleżości pomiędzy współczyikmi wielomiu jego pierwistkmi: λ λ λ / λλ λλ λλ λλ λλ / (I-6 M λλ λ ( / Pierwistki we wzorch (I-6 mogą yć zrówo rzeczywiste jk i zespoloe. Koiecze jest złożeie, że, le wzory są prwdziwe tkże dl wielomiów o współczyikch zespoloych. - 8 -
Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji - 9 - Poz różymi metodmi wyzczi wrtości pierwistków stosowe są rówież tk zwe kryteri położei pierwistków płszczyźie zespoloej (Rys. I-8. Kryteri pozwlją podstwie prostych opercji współczyikch wielomiu stwierdzić czy wszystkie pierwistki leżą w lewej półpłszczyźie. Im(λ Re(λ Rys. I-8. Płszczyz zespolo Njrdziej ze to kryteri Hurwitz i Routh. Kryterium Hurwitz stwierdz, że wszystkie pierwistki rówi λ λ leżą w lewej półpłszczyźie, jeśli wszystkie współczyiki wielomiu są róże od zer i mją jedkowy zk, wszystkie miory główe wielomiu są dodtie. Miory główe to koleje wyzcziki.., kostruowe według wzoru:,, 4 5, 4 5 6 7 4 5 4, itd. ż do (I-7 Kryterium ie określ ile jest pierwistków dodtich jeśli ie są spełioe wszystkie wruki. Podstwową wdą kryterium jest koieczość liczei dużych wyzczików Według kryterium Routh wszystkie pierwistki rówi λ λ leżą w lewej półpłszczyźie, jeśli wszystkie współczyiki wielomiu są róże od zer i mją jedkowy zk, wszystkie współczyiki pierwszej kolumy tlicy Routh są dodtie. Tlic (mcierz Routh jest kostruow w stępujący sposó:, 5 4, 7 6.. (I-8 c, 5 c 5 4 d d d c c c ; gdzie c c c d,.. Jeśli wruki kryterium ie są spełioe, to moż wyzczyć ilość pierwistków w prwej półpłszczyźie jest o rów liczie zmi zku w pierwszej tlicy Routh. Ukłdy rówń Model oiektu często oejmuje kilk rówń, które pozwlją wyzczyć kilk iezleżych zmieych wyjściowych. Ukłd rówń może yć ozczoy (skończo ilość rozwiązń lu ieozczoy (ieskończo ilość rozwiązń, le ie powiie yć sprzeczy (rk rozwiązń. Modele w postci ukłdu rówń liiowych mogą yć zpisywe przy pomocy wektorów i mcierzy, i lizowe metodmi z zkresu lgery liiowej. Podstwą metod są opercje lgericze mcierzch orz oliczie wyzczik i wrtości włsych mcierzy. Sformułowie prolemu w postci mcierzowej jest szczególie preferowe podczs stosowi metod symulcyjych (p.. Aliz włsości modeli wielowymirowych wymg często rozwiązywi ukłdów rówń liiowych typu: (I-9 Metody rozwiązywi ukłdów rówń są róże poiżej przedstwioo trzy podstwowe: - metod mcierzow, - wzory Crmer, - podstwiie i elimiowie kolejych zmieych.
Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji Metod mcierzow. Ukłd (I-9 moż przedstwić w zpisie mcierzowym: A (I- gdzie wektory/mcierze współczyików i zmieych mją postć: A,,. Ukłd (I- moż rozwiązć z pomocą opercji mcierzowych: A - (I- Ogóly wzór mcierz odwrotą m postć: D T A ( A det( A (I- gdzie: A D mcierz dopełień lgericzych, (A D T trspoow mcierz A D (mcierz dołączo, det(a wyzczik mcierzy A. Przykłd (może stopień. Rozpisć? A, ( ( A D, D ( ( ( A T ( ( ( ( Wzory Crmer. Ukłd rówń (I-9 moż też zpisć w postci wektorowej: gdzie współczyiki i zmiee są reprezetowe przez wektory kolumowe: i i i,,, i i rozwiązć wzormi Crmer: Wi det(,, i,, i,, i W det(,,, (I-5 Przykłd (może stopień. Rozpisć? (I-6 det det det(,, det(, det(, det(, det det Podstwiie i elimiowie kolejych zmieych. Jeśli rozwiązie jest wyzcze lityczie, to czsem jprostszą metodą rozwiązi ukłdu (I-9 jest metod podstwii i elimiowi kolejych zmieych, przykłd gdy ilość rówń jest iewielk ( współczyiki rówń są prmetrmi ukłdu (symole lu wyrżei. Przykłd (może stopień. Rozpisć? Dor rd podczs przeksztłceń uikć piętrowych ułmków (I- (I-4 - -
Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji.. Zmiee zespoloe i fukcje trygoometrycze Liczę zespoloą j stowi uporządkow pr Im [j] licz rzeczywistych (, zpisyw z użyciem jedostki zj urojoej j. Dwie podstwowe postcie licz zespoloych r koicz i trygoometrycz wyikją wprost z iterpretcji geometryczej liczy płszczyźie φ Re zespoloej (Rys. I-9. Są to postci rówowże, które moż stosowć zmieie: Rys. I-9. Płszczyz zespolo postć krtezjńsk (koicz postć trygoometrycz postć wykłdicz (część rzeczywist i urojo (moduł r i rgumet φ z j z r( cosϕ j siϕ jϕ z re r cosϕ, r siϕ Uzupełić iterpretcję ϕ rc tg(/ r, ϕ rc tg Korzystjąc z tych postci i iterpretcji geometryczej łtwo jest zilustrowć podstwowe dziłi liczch zespoloych: z z ( j ( j ( j( z z j j j ( ( ( ( jϕ ( [ cos( ( ] jϕ j ϕ ϕ r e r r e r r ϕ ϕ j ϕ ϕ jϕ / / / [ cos ] jϕ j ϕ ϕ r e r e r r e r r ϕ ϕ j ϕ ϕ z r e si / z z ( ( ( ( ( z si W te sposó moż rówież wprost uzsdić związki pomiędzy fukcjmi wykłdiczymi i trygoometryczymi, czyli wzory Euler w postci: jϕ jϕ e cosϕ j siϕ e j, (I-7 jϕ e cosϕ lu w postci: cosϕ siϕ j siϕ e jϕ jϕ ( e e / jϕ jϕ ( e e /( j jϕ j, gdzie: cosϕ, siϕ Wzory Euler są podstwą do udowodiei różych relcji dl fukcji trygoometryczych, tkich jk (p. Zł. A.4: si( α ± β siα cosβ ± cosα siβ (I-9 cos( α ± β cosα cosβ m siα siβ Wzory (I-7 (I-9 pozwlją udowodić zleżości, które pojwiją się w rozwiązich rówń różiczkowych (p..4: orz j B cos B si Ae Ae j ( ϕ A ( ϕ (I-8 (I- B cos B si Asi cos (I- gdzie: A ( B jb /, A ( B jb /, A B B, ϕ rctg( B / B, rctg( B / B ϕ. Dowód rówości (I- c poleg zstosowiu wzorów Euler (I-8: B j j B j j (I- B cos B si ( e e ( e e j i uporządkowiu otrzymego wyrżei: B B j B B j B B j B B (I- j e e j e j e j j Stąd wyik zleżość (I-, któr jest stosow w ou kierukch : j j B cos B si A e Ae, gdzie: A ( B jb /, A ( B jb / lu B A A, B j( A A (I-4 Wrto zwrócić uwgę, że współczyiki B i B są liczmi rzeczywistymi, współczyiki A i A są liczmi zespoloymi. - -
Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji Dowód rówości (I- wykorzystuje przedstwieie wyrżeń B jb i B jb w postci wykłdiczej: jϕ B jb Ae, gdzie A B B orz ϕ rctg( B /B. jϕ B jb Ae jϕ jϕ Stąd B A( e e / jϕ jϕ B A( e e /( j, po zstosowiu wzorów Euler (I-8 jest B B Acosϕ Asiϕ Po podstwieiu B i B w zleżości (I- i wykorzystiu wzorów trygoometryczych (I-9 otrzymujemy: B cos B si Acosϕ cos Asiϕ si Acos( ϕ Acos( ϕ (I-5 co odpowid zleżości (I- B cos B si Acos( ϕ (I-6 Stosując wzory redukcyje (p. Zł. A.4, otrzymujemy: o o Acos( ϕ Asi(9 ( ϕ Asi( (9 ϕ Asi( ϕ, (I-7 gdzie o o ϕ 9 ϕ. Skoro ϕ rctg( B / B,to B / B tg( ϕ tg(9 ϕ ctg( ϕ / tg( ϕ. Więc ϕ rctg( B / B. - -
Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji.4. Liiowe rówi różiczkowe zwyczje (LISTA.4.. Klsyfikcj rówń różiczkowych Dodć wprowdzeie: Rówi zwyczje i cząstkowe, liiowe i ieliiowe, stcjore i iestcjore. W dich dymiki oiektów (procesów techologiczych podstwowe zczeie mją rówi różiczkowe zwyczje, gdzie zmieą iezleżą jest czs (. Rozwżmy rówie różiczkowe zwyczje -tego rzędu postci: ( ( ( m & ( mu u& u( (I-8 gdzie i i i to prmetry, uu( - wymuszeie, ( - rozwiązie. W przypdku gdy wszystkie współczyiki i i i są stłe, otrzymujemy rówie liiowe, stcjore, które moż rozwiązć róże sposoy..4.. Ogóly lgorytm lityczego rozwiązywi liiowego rówi różiczkowego Rozwżmy liiowe rówie różiczkowe postci: ( ( ( m & ( mu u& u( (I-9 gdzie wszystkie i i i są stłe, wymuszeie uu(, rozwiązie (. Rozwiązie rówi, czyli fukcj ( skłd się rozwiązi swoodego s ( i rozwiązi wymuszoego w (: s w( (I- Algorytm rozwiązywi opier się zsdzie superpozycji i skłd się z czterech etpów. I. Wyzczeie rozwiązi swoodego (skłdowej swoodej s ( ( Ustlić postć rówi jedorodego: ( ( s s & s( s (I- ( Złożyć, że rozwiąziem jest fukcj ekspotecjl o dwóch prmetrch A i λ: λt s Ae (I- ( Podstwić złożoe rozwiązie do rówi jedorodego: λt λt λt λt λ Ae λ Ae λae Ae (I- (4 Podzielić rówie przez Ae λt, co prowdzi do rówi chrkterystyczego (wielomiu chrkterystyczego: λ λ λ (I-4 (5 Rozwiązć lgericze rówie chrkterystycze - wyzczyć pierwistków λ λ. (6 Pierwistki mogą yć rzeczywiste i zespoloe, jedo- i wielokrote. Stąd wyik postć s (: ( Jeśli wszystkie pierwistki rówi λ λ są rzeczywiste i róże, to λ t s( t A e λt A e ( Jeśli któryś z pierwistków jest wielokroty, p. k-ty pierwistek λ k jest m-kroty (λ k λ k λ km-, to s ( zwier m skłdików postci: ( A A k k t Ak t A m k mt ( Jeśli pierwistki są zespoloe (pr licz sprzężoych, p. λ αjω orz λ α-jω, to s ( zwier skłdiki, które moż zpisć trzy rówowże sposoy (I-, (I-: ( α jω t ( α jω t α t jω t jω t ( Ae A e e ( Ae A e e λ t α e t B cosω t B siωt B j A A. α t α t siωt ϕ Ae cosωtϕ ( ( gdzie: B A A, ( (c Ae ( ( gdzie: A B B, ϕ rctg( B, ϕ rctg( B / B / B Uwg: W rozwiązich rówń różiczkowych współczyiki A i A są liczmi zespoloymi, współczyiki B i B, oliczoe ich podstwie, są liczmi rzeczywistymi [Zł.B., Rozwiązie ]. W literturze występuje dość często ieprecyzyjy (i mylący zpis relcji B A A, B A A. Z włsości fukcji, które są skłdikmi rozwiązi swoodego wyik, że jeśli wszystkie pierwistki są ujeme lu mją ujemą część rzeczywistą, to rozwiązie swoode zik z czsem. Jeśli któryś z pierwistków jest dodti lu m dodtią część rzeczywistą dodtią, to rozwiązie s k (I-5 (I-6 (I-7 (I-8 (I-9 - -
Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji dąży do ieskończoości (±. Z tych włsości rozwiązi swoodego wyik stilość lu iestilość ukłdu (p.... II. Wyzczeie rozwiązi wymuszoego (skłdowej wymuszoej w ( Dl dowolej (różiczkowlej fukcji f(, któr jest podw jko wymuszeie u(: ( Wypisć fukcję wymuszjącą f( i jej koleje pochode (różego typu: f, f&, & f, (I-4 Wyrżei, które występują tkże w skłdowej swoodej s ( leży pomożyć przez t k, gdzie k jest jmiejszym wykłdikiem, który zpewi, że wyrżei ędą się różić od skłdików skłdowej swoodej. ( Złożyć, że rozwiązie wymuszoe w ( jest sumą tych skłdików, postci : C f C f& w.. (I-4 ( Podstwić wymuszeie f( i złożoe rozwiązie w ( do rówi różiczkowego (I-4: ( ( ( m w w & w( w( m f f& f (I-4 (4 Porówć współczyiki przy tkich smych fukcjch po ou stroch rówi. (5 Rozwiązć otrzymy ukłd rówń względem stłych C, C, Z kostrukcji w ( wyik, że jeśli fukcj wymuszjąc f( jest ogriczo, to skłdow wymuszo w ( też jest ogriczo. W prktyce iżyierskiej stosuje się zwykle wymuszeie stłe, skokowe, impulsowe i siusoidle. W przypdku stłego wymuszei u(u k mmy dl t >: ( u uk, u&, u&, ( w C uk & w, & w(, ( C uk uk (4 Cu k uk (5 C w uk Rozwiązie to moż otrzymć skróty, jko rozwiązie rówi sttyczego: u Przy stłym wymuszeiu wejściu u( u k, rozwiązie wymuszoe w ( też jest stłe: w( uk k (I-4 Rozwiązie (I-44 jest puktem rówowgi ( k ukłdu przy stłym wymuszeiu (u k. III. Ogóle rozwiązie rówi różiczkowego (cłk ogól, czyli sum rozwiązi swoodego (z prmetrmi A i i wymuszoego: λ A e t λ t A e ( (I-45 w t W rozwiąziu występują ieze prmetry A A, które moż wyzczyć dopiero przy kokretych wrukch początkowych. Jeśli skłdow swood zik z czsem, to iezleżie od wrtości A i rozwiązie ( dąży do rozwiązi wymuszoego w, tę włsość zyw się stilością. Jeśli skłdow swood ie zik, to rozwiązie ( jest iestile. IV. Rozwiązie szczególe (cłk szczegól wymg wyzczei wrtości prmetrów A i podstwie wrtości wruków początkowych, czyli dowolych spośród wrtości: ( ( t,, & ( t, ( t (I-46 N podstwie wruków początkowych orz wrtości fukcji wymuszjącej f(t i jej pochodych występujących w rozwiąziu ( powstje ukłd rówń do wyzczei prmetrów A A. Często wrukmi początkowymi jest st rówowgi, to zczy, że wszystkie pochode są rówe : ( ( (, (,., & (, Po podstwieiu tych wruków do rówi (I-, moż to wyrzić w rówowżej postci jko: ( (,., & (, ( p, gdzie p up (I-44-4 -
.5. Modele opertorowe Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji.5.. Przeksztłcei Lplce i Fourier Modele opise liiowymi rówimi różiczkowymi moż poddć przeksztłceiom cłkowym Lplce (L lu Fourier (F i otrzymć w wyiku lgericze modele opertorowe [, dodć]. Zstosowie cłkowego opertor Lplce L powoduje, że fukcje zleże od czsu zostją przeksztłcoe w fukcje zmieej zespoloej s (trsformty fukcji, zmist pochodych fukcji występują potęgi zmieej s, czyli fukcje lgericze (A.5. W prktyce rzdko zchodzi koieczość oliczi trsformty Lplce z defiicji przez cłkowie, poiewż zestw fukcji wykorzystywych do opisu przeiegu zmieych i modeli oiektów jest dość ogriczoy i wystrczy korzystć się z gotowych tlic (A.5: T. X-. Ntomist oliczie trsformt Fourier w prktyce iżyierskiej odyw się główie podstwie ierozerwlego związku pomiędzy przeksztłceiem Lplce i Fourier: s jω (I-47 Włsości przeksztłceń cłkowych zczie uprszczją lizowie dymiki oiektu. T. I-. Wyre włsości przeksztłceń cłkowych Twierdzeie o Przeksztłceie L Przeksztłceie F liiowości L i fi i fi ( s F i fi i i i f i (ω i i trsformcie cłki trsformcie pochodej wrtości końcowej wrtości początkowej t L f ( τ dτ f ( s s L[ (] f & s f ( ( F t sf F [ (] lim f lim sf ( s, jeśli gric f( istieje t s lim f lim sf ( s, jeśli gric f( istieje t s f ( τ dτ ( ω jω f f & j ω f (ω Zmie s w przeksztłceiu Lplce ie m iterpretcji fizyczej, le zmie ω w przeksztłceiu Fourier m iterpretcję fizyczą. Związek z odpowiedzią częstotliwościową (p..6. Szeregi fukcyje Typowym przykłdem zstosowi szeregów fukcyjych jest szereg Tylor, wykorzystywy do lieryzowi fukcji ieliiowych, czy szereg Fourier stosowy w lizie częstotliwościowej ukłdów. cd Ptrz: szereg (potęgowy Tylor (szereg Mcluri, szereg (trygoometryczy Fourier - 5 -
Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji. Elemetre przykłdy kostrukcji modeli dymiki ukłdów (powtórk z fizyki.. Ogóle zsdy kostrukcji modeli dymiki Jedą z metod kostruowi modeli dymiki oiektów opis oiektu podstwie mkroskopowych rówń ilsowych wielkości podlegjących prwom zchowi, czyli tkich jk p. ojętość, ms, eergi. Bilse są kostruowe dl wszystkich zczących mgzyów, czyli oszrów ukłdu, które mją zdolość mgzyowi określoej wielkości. Kżdy ils opisuje zmię zwrtości mgzyu w czsie: dx ± fi ± f g (I-48 dt gdzie: X( wielkość podlegjąc ilsowiu, f i ( strumieie ilsowej wielkości dopływjące/odpływjące z mgzyu, f g ( strumień ilsowej wielkości geerowy/zużywy wewątrz mgzyu (p. w wyiku procesów chemiczych. Model tworzą więc rówi różiczkowe zwyczje pierwszego rzędu. Wielkości X( opisujące st mgzyów są zywe zmieymi stu i zzwyczj są to rówocześie zmiee wyjściowe ukłdu. Model jest jedozczie określoy (komplety jeśli zwier tyle rówń ile jest zmieych wyjściowych (zmieych stu, pozostłe zmiee są zmieymi wejściowymi modelu (co ozcz, że ich wrtość jest wymusz/zdw z zewątrz i ie zleży od stu ukłdu. Model dymiki ukłdu stowi komplet rówń różiczkowych, opisujących ilse mgzyów tego ukłdu. Uproszczeie modelu dymiki, polegjące wyzerowiu wszystkich pochodych prowdzi do modelu sttyczego. Ukłd rówń stowiący model sttyczy może yć ozczoy lu ieozczoy (w szczególych przypdkch le ie może yć sprzeczy. Kostrukcj modelu oejmuje rówież idetyfikcję wrtości prmetrów modelu. W tym celu moż wykorzystywć iformcje o wymirch geometryczych i włsościch sustcji lu o pomirch zmieych wejściowych i wyjściowych. O zgodości jedostek. Więcej o kostrukcji [].. Zioriki otwrte ukłdy hydrulicze Kostrukcj modeli Njprostsze modele dymiki kostruowe dl oiektów hydruliczych występują w przypdku ukłdów skłdjących się z otwrtych ziorików przez które przepływ ciecz o stłej gęstości, przykłd wod. Kostrukcj modeli opier się dymiczym ilsie ojętości cieczy (V w kżdym zioriku zmi ojętości w czsie jest wyikiem ilsu strumiei wpływjących i wypływjących (f i : dv ± f i, [m /s] (I-49 dt Opisywe modele ędą dotyczyć ziorików o płskim die o powierzchi A i pioowych ścich, to zczy, że w ilsie (I-49 zmist ojętości V może występowć wysokość h: dh( A ± f i (I-5 dt Model dymiki pojedyczego ziorik (Rys. I- wymg jedego rówi różiczkowego : Ah f f f we h f wy A A Rys. I-. Ziorik: z pompą, ze swoodym wypływem f we h A w f wy & we wy (I-5 Wypływ cieczy f wy w zioriku ( zleży od pompy, więc wzór (I-5 stowi komplety (jedozczie określoy model ziorik (. Ntomist w zioriku ( wypływ cieczy f wy stępuje przez swoody wypływ przez otwór w die (lisko d, więc zleży od powierzchi otworu A w i wysokości cieczy w zioriku h: f A gh( h( (I-5 wy w Dokłdy wzór swoody wypływ jest ieliiowy, więc często ędzie stosowe liiowe przyliżeie (sposó wyzczei współczyik zostie opisy w p. 8... W dlszej części stąpi formle rozróżieie zmieych stu i zmieych wyjściowych modelu Ukłd rówń ozczoy jedo rozwiązie, ieozczoy wiele rozwiązń, sprzeczy rk rozwiązń ciecz iezyt lepk, iezyt gęst, jedorod, - 6 -
Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji Jeśli w zleżości (I-5 uwzględimy dokłdy wzór f wy, to uzyskujemy ieliiowy model ziorik: Ah f we Aw gh( (I-5 wykorzystując wzór przyliżoy model liiowy: Ah& fwe( h( (I-54 W ou przypdkch ktul wysokość cieczy h jest zmieą stu (zmieą wyjściową, tomist strumień wpływu f we jest zmieą wejściową ukłdu. W przypdku kskdy ziorików (Rys. I-, model dymiki zwier tyle rówń różiczkowych ile jest ziorików: f we A h& ( fwe( fwy( (I-55 h Ah& f ( fwy( fwy( A wy w Komplety, dokłdy model dymiki kskdy m postć: A A h& ( f we Aw gh h A f wy w A h& ( Aw gh Aw gh (I-56 A z jedą zmieą wejściową f we. Rys. I-. Zioriki iepołączoe Opisując swoody wypływ ze ziorików przyliżoą liiową zleżością (I-5 moż uzyskć model liiowy. Jeśli swoody wypływ cieczy ze ziorik stępuje ie zewątrz le przez połączeie rurowe do kolejego ziorik (Rys. I-, to strumień swoodego wypływu zleży od powierzchi otworu i różicy wysokości pomiędzy połączoymi ziorikmi: f we f A g h h h h ( (I-57 f wy h A w h f wy A w Rys. I-. Zioriki połączoe przewodem ( ( wy( w t (dotyczy to tylko przepływu pomiędzy ziorikmi, o wypływ f wy odyw się zewątrz. Model dymiki tego ukłdu opier się rówież rówich ilsowych (I-55, le w tym wypdku komplety, dokłdy model m postć: A h& ( f we Aw g( h h (I-58 A h& Aw g( h h Aw gh Model ukłdu ędzie liiowy jeśli zostą zstosowe przyliżoe, liiowe zleżości do opisu swoodego wypływu (I-5, (I-57 Przepływ cieczy może yć rówież wymuszy z pomocą pomp o sterowej wydjości, iezleżej od poziomu cieczy w ziorikch. Tki przepływ jest trktowy jko zmie wejściow ukłdu. Stąd komplety model kolejego ukłdu (Rys. I- m postć: f we A h& ( f we Aw g( h h h f wy f h wy Ah& Aw g( h h f wy (I-59 A w gdzie f we i f wy są zmieymi wejściowymi. Rys. I-. Zioriki z pompą N podstwie powyższych przykłdów moż wioskowć, że przy dl typowych otwrtych ukłdów hydruliczych leży się spodziewć ukłdów rówń pierwszego rzędu i są to zzwyczj rówi ieliiowe. Więcej o zjwiskch fizyczych w otwrtych ukłdch hydruliczych []. g h h ( h h ( Dodć uwgi: Przypdek h ( < h ( dl A w (, ( t Jedostki i idetyfikcj wrtości prmetrów ( t Idetyfikcję wrtości prmetrów modeli hydruliczych łtwo jest wykoć podstwie wymirów geometryczych ziorików i otworów. Przykłdy - Zł. C Jedostki zmieych i prmetrów: V [m ], f [m /s], Jedostką rówi ilsowego jest m /s, co moż potwierdzić wykoując podstwieie: A h & f A g h( we w - 7 -
Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji m m m m m m s s s s Zdi. Dyspoując ziorikmi orz pompmi o sterowej wydjości moż kostruowć oiekty o różych włsościch. m f f f f we f f f we f we f we h f wy f we c f d h f wy.. Oiekty cieple ukłdy termokietycze... Kostrukcj modeli Pierwszym krokiem w kostrukcji prostych modeli oiektów cieplych jest wskzie jrdziej zczących mgzyów ciepł (Q w ukłdzie. Opisywe modele wykorzystują złożeie o doskołym miesziu, to zczy, że cł ojętość mgzyu ędzie opisyw z pomocą jedej tempertury T. Wówczs zwrtość ciepł w mgzyie wyosi: Q c ρ VT C T( (I-6 p gdzie C V ozcz pojemość cieplą mgzyu stły prmetr zleży od ciepł włściwego c p, gęstości ρ i ojętości V sustcji wypełijącej mgzy. Drugi krok w kostrukcji modelu to opis zmiy zwrtości mgzyu w czsie w postci ilsu źródeł i strt ciepł (q i : dq( dt CV ± qi, [W] (I-6 dt dt Njprostszym źródłem ciepł w mgzyie jest grzłk elektrycz o określoej mocy (q g, zwykle z możliwością sterowi, tomist główą przyczyą strt jest zwykle przewodzeie ciepł przez ściy (Rys. I-4. Zkłdjąc, że domiującym mgzyem ciepł w tym ukłdzie jest powietrze w pomieszczeiu, to model dymiki zwier jedo rówie różiczkowe: C T & q K T T (I-6 q g K c T w,c v T zew Rys. I-4. Pomieszczeie z grzejikiem elektryczym v Ukłd cieply zwierjący kilk zczących mgzyów wymg ułożei kilku rówń ilsowych model zwier tyle rówń różiczkowych ile jest zczących mgzyów ciepł. Wyór - 8 - w V g c ( gdzie współczyik przewodzei (str K c zleży od powierzchi (A, gruości ( g orz współczyik przewodości cieplej mteriłu ści (λ: K λa / (I-6 w c g Zmieą wyjściową modelu jest tempertur T w chrkteryzując ktuly st mgzyu (zmie stu. Pozostłe zmiee moc q g i tempertur zewątrz T zew są zmieymi wejściowymi, poiewż ich wrtość ie zleży od procesów oiekcie. Iym typowym sposoem ogrzewi jest przeoszeie ciepł przez medium (ośik ciepł, przykłd wiew ciepłego powietrz do pomieszczei, dopływ gorącej wody do grzejik. Rys. I-5 przedstwi przykłd tkiego oiektu z wiewem ciepłego powietrz. Przy złożeiu, że tylko powietrze kumuluje ciepło, model oiektu m postć: T C T & v w c pρ f Tz c pρ f Tw T (I-64 w, C p T w v f f gdzie c pρ f Tz to ciepło dostrcze przez ciepłe powietrze, T z c pρ f Tw ciepło wyprowdze przez wypływjące powietrze. Rys. I-5. Pomieszczeie z wiewem N podstwie złożei o doskołym miesziu uzje się, że tempertur ośik wypływjącego z mgzyu (T p jest rów temperturze ośik w mgzyie (T w. zew
Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji mgzyów stępuje podstwie ich pojemości cieplych i jest ustly etpie formułowi złożeń dl modelu. Zmieymi wyjściowymi modelu są zmiee stu, to zczy zmiee opisujące st (tempertury poszczególych mgzyów. Pozostłe zmiee modelu powiy mieć chrkter wejść, czyli zmieych, które ie zleżą od stu oiektu, tylko są wymusze z zewątrz. Przykłdem tkiego oiektu może yć pomieszczeie z grzejikiem cetrlego ogrzewi (Rys. I-6 - przez grzejik przepływ gorąc i oddje ciepło do pomieszczei, pomieszczeie trci ciepło przez ściy. Ciepło jest mgzyowe przez wodę w grzejiku i powietrze w pomieszczeiu, w ou mgzych zkłdmy wruki doskołego mieszi. Stąd wyik model oiektu, skłdjący się z dwóch rówń: C T& vg gp c pwρ pw f Tgz c pwρ pw f Tgp K g Tgp T C T & vw wew K g( Tgp Twew( Kc( Twew Tzew T gp T gz f K c T zew T w,c vw C vg K g Rys. I-6. Pomieszczeie z grzejikiem ( Z przedstwioej zsdy kostrukcji ukłdów cieplych wyik, że modele mją postć ukłdów rówń pierwszego rzędu. Modele są ieliiowe jeśli w ukłdzie występuje przeoszeie ciepł przez medium o zmieym tężeiu przepływu. Więcej o zjwiskch fizyczych występujących w ukłdch termokietyczych w []. Dodć uwgi: Zkłdy kieruek przewodzei ciepł... Jedostki i idetyfikcj wrtości prmetrów Wrtości prmetrów w modelch cieplych moż wyzczyć podstwie wymirów geometryczych mgzyów ciepł i włsości fizyczych sustcji, p. pojemości cieple (I-6, współczyiki przewodzei (I-6. Część z ich moż rówież wyliczyć wykorzystując rówi sttycze modelu orz iformcje temt mocy cieplej i tempertur, przykłd dostępe w projektch udowlych lu z pomirów ([6]. Przykłdy - Zł. C. Wrto zwrócić uwgę to, że jeśli we w rówiu ilsowym występuje tempertur, to zwsze jest to różic tempertur. To ozcz, że zmist stosowi K, moż stosowć C. Jedostki zmieych i prmetrów: Q [JW s], C v [J/K], T [ C], c p [J/(kg K], ρ [kg/m ]. Jedostką rówi ilsowego jest W, co moż sprwdzić: C T & q K T T v w g c ( w J kg K W m W ( C C W kg K m s C Zdi. Oiekty przedstwioe poiżej mją jedą wspólą cechę zwierją dw mgzyy ciepł. Jedk ich włsości ędą się różić ze względu relcje pomiędzy mgzymi ciepł orz złożei ustle etpie plowi dń. q g K p Tp K c K T wew K c T zew zew K c K f p T we T zew K c T K c q e wew K c T zew f p,t wy T zew (I-65 f p T we c fp,t wy f p T we d K w fp,t wy Jeśli zmieych wyjściowych ędzie więcej iż rówń różiczkowych (ie wszystkie zmiee poz zmieymi stu moż uzć z wejści leży wówczs szukć dodtkowych zleżości i wyelimiowć dmirowe zmiee. - 9 -
.4. Oiekty mechicze liiowe Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji.4.. Kostrukcj modeli Modele dymiki ukłdów mechiczych opierją się ilsie sił i mometów sił. Njprostsze modele występują w przypdkch gdy ruch odyw się wzdłuż jedego kieruku orót wokół jedej osi. Pierwszy etp kostrukcji modelu poleg wykoiu schemtu, który opisuje dziłie ukłdu z pomocą idelych elemetów podstwowych: sprężyy, tłumik i msy orz zewętrzych sił. Spręży reprezetuje siły sprężystości siły rekcji elemetu proporcjole do przesuięci końców : A FcA c( A( B c B (I-66 FcB c( B A gdzie A przesuięcie końc A, B przesuięcie drugiego końc, F ca F A F cb F B c współczyik sztywości (zleży od kostrukcji i mteriłu. Rys. I-7. Spręży Tłumik reprezetuje zjwisko trci podczs ruchu cił w cieczy lu gzie (trcie lepkie, które powoduje ieodwrcle przeksztłcie eergii mechiczej w ciepło. Siły rekcji tłumik zleżą do prędkości poruszjących się końców : A B FA ( & A & B (I-67 F & & F A F A F B Rys. I-8. Tłumik F B B ( B gdzie & A ( prędkość końc A, & B ( prędkość końc B, współczyik tłumiei (zleży od kostrukcji i mteriłu. Ms jest włsością cił, któr przeciwdził zmiie prędkości wymuszej przez zewętrzą siłę. Sił rekcji F m jest proporcjol do przyspieszei (: F m m & (I-68 m gdzie & &(t przyspieszeie (, m ms. Opisywy elemet ie uwzględi ksztłtu cił i puktu przyłożei siły F m F cł ms cił jest skupio w jedym pukcie. Rys. I-9. Ms Kostrukcj modeli ukłdów mechiczych poruszjących się wzdłuż jedego kieruku poleg ułożeiu ilsu sił dl wszystkich puktów, które łączą elemety schemtu i mją róże przesuięci lu iczej mówiąc poruszją się z różymi prędkościmi (pukty ilsowe. Po jedej stroie ilsu występują wszystkie zewętrze siły kcji, po drugiej stroie siły rekcji wszystkich elemetów połączoych z dym puktem. Zjwisk fizycze i kostrukcję rdziej złożoych modeli mechiczych opiso przykłd w []. Njprostsze przykłdy ukłdów mechiczych zwierją jede ruchomy pukt model zwier jedo rówie ilsowe. N przykłd połączeie sprężyy i tłumik reprezetującego opory trci (Rys. I- jest opise przez rówie ilsowe, w którym występuje zewętrz sił F i sum sił rekcji c sprężyy i tłumik z jedym usztywioym końcem: c & c( F( (I-69 F F Zmieą wejściową modelu jest sił zewętrz F, Rys. I-. Spręży z tłumikiem wyjściem przesuięcie. Ntomist dl podoego ukłdu sprężyy i tłumik, w którym występuje dodtkowo ms puktow (Rys. I- rówie ilsowe sił m postć: m & & c( F( (I-7 F c Komplety model oejmuje dl jedo rówie, le tym m rzem drugiego rzędu. A w ogólym przypdku trze uwzględić fkt, że siły i momety sił są wielkościmi wektorowymi zewętrz sił kcji (F A wywołuje przesuięci ż do zrówowżei przez siłę rekcji elemetu (F ca zewętrz sił kcji (F A jest zrówowżo przez siłę rekcji elemetu (F A przy pewych prędkościch - -
Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji Pukty ilsowe, dl których leży ułożyć rówi różiczkowe często zjdują się w puktch reprezetujących msy, tk jk to prezetuje przykłd Rys. I-, opisy przez ukłd rówń: F F m&& & c ( (I-7 m&& & c c ( m m c Ukłd m jedą zmieą wejściową (F dwie zmiee wyjściowe (,. c Rys. I-. Ukłd z dwom puktmi i msmi Występowie ms w puktch ilsowych ie jest koiecze. Brdziej ogólie moż powiedzieć, że istote są pukty gdzie łączą się końce spręży i tłumików, jk Rys. I-. m&& & c ( (I-7 & c c ( m c W modelu ie występuje zewętrze wymuszeie c (ie m zmieej wejściowej, le moż dć zchowie ukłdu od zdych wruków Rys. I-. Ukłd z dwom puktmi początkowych, wyikjących przykłd z ciągięci/ściśięci spręży. N podstwie powyższych przykłdów moż wioskowć, że prezetow metod kostrukcji dje w wyiku ukłdy rówń liiowych mksymlie drugiego rzędu. Dodć uwgi: Zkłdy kieruek przesuięci i siły rekcji Może whdło (dokłde i uproszczoe?.4.. Jedostki i idetyfikcj wrtości prmetrów Wyzczeie wrtości prmetrów modeli mechiczych podstwie wymirów i mteriłu może stowić pewie prolem. cd. Przykłdy - Zł. C. Jedostki zmieych i prmetrów: F [Nkg m/s ], c [N/m], [Ns/m], m [kg] Jedostką rówń ilsowych jest N, co zjduje potwierdzeie p. w modelu: m & & c ( F( m Ns m N kg m N N s m s m Zdi. Ukłdy przedstwioe poiżej mją wspólą cechę zwierją dw pukty o różych przesuięcich (,, czyli wymgją ułożei dwóch rówń ilsowych. F F c m c c c m F c m c c c F d m c c - -
.5. Ukłdy elektrycze Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji.5.. Kostrukcj modeli Modele dymiki ukłdów mechiczych opierją się ilsie pięć w oczkch owodu i prądów lu łduków w węzch. W prktyce używ się do opisu owodów spdków pięć (u i tężeń prądów (i, poiewż są to wielkości, które łtwo jest zmierzyć. Jedk z defiicji tężei prądu: i q& (I-7 wyik, że moż wykorzystywć rówież opis ukłdów z pomocą pięć (u i łduków (q. Podstwowe elemety ukłdów elektryczych to rezystor, kodestor i cewk orz idele źródł pięciowe lu prądowe. Rezystor reprezetuje strty eergii elektryczej ciepło. Relcj pomiędzy tężeiem prądu i orz spdkiem pięci rezystorze jest proporcjol: R i u Ri( u Rq& (I-74 gdzie R rezystcj (zleż od wymirów geometryczych elemetu u i mteriłu, q& ( zmi łduku w czsie i(. Rys. I-4. Rezystor Kodestor opisuje zdolość ukłdu do gromdzei łduków, którą opisuje zleżość: C i du( i C q Cu( (I-75 dt u gdzie C pojemość elektrycz (zleż od udowy i mteriłu Rys. I-5. Kodestor kodestor, q ( łduek. Cewk jest elemetem ezwłdościowym, który przeciwdził zmiie tężei prądu przez smoidukcję siły elektromotoryczej e, któr jest proporcjol do zmiy prądu: e L di( L i e L L e L Lq& (I-76 dt u gdzie L idukcyjość włs (zleż od ksztłtu i mteriłu cewki. Rys. I-6. Cewk T. I- zwier zleżości (I-74 (I-76 orz przeksztłcei tych zleżości używe przy ukłdiu rówń różymi metodmi, w tym postć opertorową (p..5, często stosową w prktyce ze względu przygotowie do dlszej lizy. T. I-. Stosowe opisy podstwowych elemetów elektryczych Opis pięciowo-prądowy O.prąd.-pięciowy Impedcje u(i i(u u(q Z(s Z(jω rezystor (R u Ri( u ( s Ri( s i Gu( u Rq& R R kodestor (C cewk (L du( u i( dt u ( s i( s i C u q( C sc dt C sc jωc di( e L L u ( s sli( s i u( dt u Lq& dt L sl jω L Rozwżmy prosty owód złożoy ze źródł pięci, cewki i rezystor (Rys. I-7. Bils pięć w oczku moż przedstwić w postci stępującego rówi różiczkowego: L w R w i w u w Rys. I-7. Owód wzudzei silik L diw Rwiw uw (I-77 dt w Zmieą wejściową modelu jest pięcie zsiljące u w, zmieą wyjściową tężeie prądu w owodzie i w. Prktyczym przykłdem rozwżego oiektu yć może yć owód wzudzei silik, w którym uwzględioo idukcyjość zwojów i ich rezystcję. Kolejy prosty owód elektryczy zwier elemety RLC (Rys. I-8. Do opisi rówież wystrczy jedo rówie ilsowe: z defiicji tężeie prądu jest pochodą łduku w czsie: i( dq( / dt - -
R L i C Rys. I-8. Ukłd oscylcyjy RLC u Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji di( L Ri( i( dt u( dt C (I-78 Opisując ukłd z pomocą pięć i prądów uzyskuje się rówie cłkowo-różiczkowe. Uzyskie modelu w postci rówi różiczkowego wymg opisu z pomocą pięć i łduków: L q& Rq& q( u( (I-79 C W prktyce iżyierskiej jczęściej stosuje się rówie (I-78, które zostło przeksztłcoe (lu od rzu skostruowe do postci opertorowej: sli ( s Ri( s i( s u( s (I-8 sc Jedą z metod ukłdi rówń dl złożoych owodów elektryczych jest metod oczkow. Pierwszy etp metody poleg wyzczeiu odpowiediej liczy iezleżych oczek. W ukłdzie przedstwioym Rys. I-9 moż wyróżić dw iezleże oczk. Rówi ilsowe dl wyzczoych oczek jwygodiej jest zpisć w postci opertorowej: R L L e i i e sli Ri ( s sc (I-8 i i i i R sli Ri C C i sc sc i i Rys. I-9. Ukłd dwuowodowy Rówiom opertorowym (I-8 odpowidją rówi różiczkowo-cłkowe: di i i e L Ri dt dt C (I-8 di i i i L Ri dt dt dt C C i rówi różiczkowe: q q e Lq&& Rq& C (I-8 q q q Lq&& Rq& C C Przedstwio metod kostrukcji prowdzi do modeli, które zwierją ukłdy rówń liiowych w postci rówń opertorowych lu różiczkowo-cłkowych lu różiczkowych mksymlie drugiego rzędu. Wyór formy modelu zleży od jego dlszego wykorzysti. Rozwiięcie przedstwioych zsd zwier przykłd podręczik []. Dodć uwgi: Zkłdy kieruek prądu i spdku pięci.5.. Jedostki i idetyfikcj wrtości prmetrów Prmetry modeli elektryczych wyikją główie z elemetów RLC o zych wrtościch. Przykłdy - Zł. C Jedostki zmieych i prmetrów: u [V], i [AC/s], R [ΩV/A], C [FC/V], L [HW/AVs/A]; Jedostką rówi ilsowego w metodzie oczkowej jest V, co moż sprwdzić, p. dl: L q& R q& q( u( C C C H Ω F C V s s Eergi (prc [JVAs] V A / s A s V A A F C V Sposó wyzczei iezleżych oczek może yć róży przykłd moż po wyzczeiu kżdego oczk wyłączć z dlszego wyoru jedą z głęzi tego oczk - -
Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji Zdi. Wspólą cechą poiższych ukłdów jest możliwość zdefiiowi dwóch oczek orz jed zmie wejściow R L R C R R C i C i u L i L i u Dodć przykłd gdy zmieą wyjściową jest ie prąd, tylko pięcie elemecie.6. Ukłdy hydrulicze i peumtycze.7. Ie (w tym ukłdy iologicze Model v der Pol? Lotki-Volterry.8. Alogie Porówie opisu oiektów różego typu pozwl sformułowć kilk logii (T.I.-7. - 4 -
Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji Alogie opierją się podoieństwie opisu zjwisk. Jk moż zuwżyć podstwie teli jrdziej podoe są do sieie opisy ukłdów elektryczych i mechiczych spdki pięć - 5 -
Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji odpowidją siłom łduki przesuięciom i. Poz tym w ou ukłdch występują elemety gromdzące eergię (kodestor, spręży i rozprszjące eergię (rezystor, tłumik orz elemety ezwłdościowe przeciwdziłjące zmiom (cewk, ms. Alogie tę moż rozszerzyć o ukłdy hydrulicze zmkięte, czyli ukłdy w których rozptruje się przepływ medium wymuszoy przez różicę ciśień, przy czym to medium wykzuje pewą msę i jest ściśliwe zkłd się, że moż pomiąć termodymicze przemiy gzu i 4. Drugą prę rdzo podoych opisów stowią modele oiektów cieplych i ukłdów hydruliczych otwrtych (zioriki ciepłu odpowidją ojętości strumieiom ciepł (mocy przepływy medium. W ou przypdkch ilsuje się zwrtość pewego rodzju mgzyów (ciepł, ojętości, ich st chrkteryzują zmiee stu (tempertur, wysokość. W porówiu do ukłdów mechiczych i elektryczych ie występuje tu odpowiedik zjwisk ezwłdości 5. W oiektch cieplych moż z to wskzć chrkterystycze przykłdy elemetów opóźijących (, które występują przy wykorzystiu przepływjącego medium jko ośik przykłd ciepł (Rys. I-. Jeśli ściy przewodu są dorze izolowe (przewodzeie ciepł przez ściy jest pomijle to m miejsce jedyie opóźieie trsportowe opise rówiem: T wy T T ( t T T we f l Rys. I-. Opóźieie trsportowe f wy ( we o (I-84 gdzie T o czs opóźiei zleży od odległości i prędkości przepływu. Kżd logi m swoje ogriczei zkres zstosowi, przykłd złożeie o liiowości zstosowego opisu. Alogie ułtwiją m przeoszeie wiedzy pomiędzy dziedzimi i pokzują zczeie rozwiji i zstosowi uiwerslych metod lizy, oprtych rówich różiczkowych i trsmitcjch..9. Modele rzeczywistych oiektów - złożei i ogriczei modeli Elemetre liiowe ukłdy dymiki i rzędu mją duże zczeie teoretycze, le ie występują w rzeczywistych wrukch. Zstosowie tk prostych modeli zwsze jest efektem przyjętych złożeń, które pozwlją uprościć opis, kosztem ogriczei dokłdości modelu. Prostszy model to ie tylko łtwiejsze oliczei, le tkże miejsz ilość prmetrów, których wrtości trze wyzczyć. Tk więc w prktyce iżyierskiej kluczową rolę odgryw przygotowie dorego i w mirę prostego modelu. Dodć rzytw Ockhm?? Podstwowe zczeie mją złożei uprszczjące dotyczące zkresu stosowi modelu, jego rzędu orz liiowości opisu. Zzwyczj kżdy model jest kostruowy przy złożeiu, że zmiee opisujące przeieg procesów ie przekroczą turlych ogriczeń czy dopuszczlych wrtości, przykłd ie zdrzy się ujemy poziom cieczy, tempertur ie spowoduje odksztłcei lu ziszczei elemetu, itp. Jeśli jedk model miły yć wykorzystywy gricy zkresu wrtości zmieych, to uzupełi się go lokmi sycei, które ogriczją wrtości zmieych (Rys. I-. model dymiki Rys. I-. Ogriczeie wrtości zmieych Prktyczie rówież zwsze stosuje się złożei, które ogriczją rząd modelu. W przypdku modeli liiowych odpowid to wprost uwzględieiu tylko tych ieguów ukłdu, które mją istote zczeie dl stilości, czsu rekcji, oscylcji (. Doświdczei z kostrukcji modeli podstwie opisu zjwisk fizyczych ( wskzują, że elemet (proces m tym większy wpływ dymikę im stowi większy mgzy wielkości (msy, eergii, w ukłdzie. Rówie wże są złożei zpewijące liiowość modelu (o ile to możliwe. Włściwie to występują oe zwsze o kżd liiow zleżość stosow do opisu rzeczywistości jest jedyie jej przyliżeiem. Wymiei się więc jistotiejsze złożei, decydujące o dokłdości uprszczego modelu, któr zleży rówież od przewidywego zkresu zmi wrtości zmieych. u y mi m y i Ptrz: logie eletromechicze, p. [4] elemety mechicze mją miejszy zkres liiowości opisu iż elemety elektrycze Przy przepływie cieczy uwzględi się msę zwykle pomij ściśliwość. Ntomist przy przepływie gzu leży uwzględić ściśliwość msę moż pomiąć. i 4 Ptrz: mechik gzów, przemiy gzowe, p. [ (r.] 5 Bezwłdość przepływjącej cieczy rozptruje się w ukłdch hydruliczych zmkiętych - 6 -
Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji. Bdi symulcyje (powtórk z podstw Mtl.. Wprowdzeie elemety [5] Zmiee Progrmy symulcyje tkie jk Mtl i jemu podoe są przystosowe w szczególy sposó do wykoywi opercji wektorch i mcierzch. Tę włsość wykorzystuje się ie tylko do wykoywi opercji mcierzch (p.: AB, A-B, A*B, A/B, le tkże jko sposó relizcji szykich pętli progrmowych wówczs używe są opertory z kropką dziłjące elemetch mcierzy (p. A.B, A.-B, A.*B, A./B. W kżdym przypdku wrukiem wykoi opercji jest zgodość wymirów mcierzy odpowiedi dl opercji. Wektory i mcierze są rówież typowym sposoem defiiowi zestwu współczyików, przykłd dl wielomiów. Włściwie kżd prost zmie (licz, zmie logicz, zk lfumeryczy, teks może yć trktow jko mcierz o określoych wymirch, iezleżie od tego jk zostł zdefiiow. Zmiee (mcierze mogą yć defiiowe przez: - podstwieie wrtości, p.:, [ ; 4], c'cos', d['';'';'ccc'], - zstosowie specjlistyczych fukcji, p.: zeros(, oes(, eye(, - wygeerowe z pomocą opertor ':', p.: ::. Przy defiicji zwrtości mcierzy stosowe są wisy [], przy odwoływiu się do elemetów mcierzy wisy (. Wiersze i kolumy mcierzy są umerowe od. Podstwowe fukcje mtemtycze i tekstowe Pkiety symulcyje udostępiją rdzo wiele fukcji relizujących różorode zdi. Dokumetcj oprogrmowi jest rdzo oszer i choć jest podzielo typowe dziły to prolemem może yć szykie wyszukie zwy odpowiediej fukcji. Wrto więc zwrócić uwgę to, że w opisie kżdej fukcji są zzwyczj odośiki (zwy do iych fukcji z ią związych ( See lso. W przypdku Mtl, oprócz pełej dokumetcji dostępej w przeglądrce, dostępe są krótkie, podręcze opisy wyświetle w okie komed. Poleceie help wyświetl zwy zistlowych iliotek, tomist help zw_ilioteki wyświetl zwy wszystkich fukcji w iej zwrtych. N przykłd zwrtość podstwowych iliotek: - help ops opertory i zki specjle, - help elfu elemetre fukcje mtemtycze (si, ep, sqrt, s, mod, rel, img,, - help elmt podstwowe opercje mcierzch (zeros, oes, size, if,,, - help strfu opercje tekstch (strct, umstr, itstr, spritf,.... Wykresy Włsości oiektów utomtyki rdzo często są prezetowe i de podstwie różego typu wykresów. Zzwyczj stosowe są rodziy wykresów w ukłdzie -y, de do wykresów zwrte są w zmieych typu wektor lu mcierz. Do utworzei wykresów wystrcz podstwow fukcj typu plot, któr umożliwi rysowie wykresów w różych kolorch i różymi typmi liii. Dodtkowe możliwości zpewiją fukcje do defiiowi różych włsości wykresu lu ok grficzego, w którym te wykres jest wyświetly, przykłd tytuł, opis osi, leged, sklowie, itp. Zrówo fukcj plot, jk i fukcje pomocicze dziłją w ktywym okie grficzym...4. Skrypty Bdi symulcyje polegją zzwyczj wygeerowiu wielu serii wyików, otrzymywych przykłd dl różych wrtości wyrych prmetrów. Pojwi się więc prolem sposou dokumetowi prowdzoych dń. Moż to w prosty sposó osiągąć z pomocą skryptów, w których ędą zpise pełe progrmy dń od zdefiiowi zmieych, przez wykoie symulcji, do oprcowi wyików. Skrypt zpewi ie tylko dokumetowie le tkże możliwość powtórzei dń, poprwiei łędów, zmodyfikowi zkresu, itd. W skryptch często wykorzystuje się elemety progrmowi, tkie jk istrukcje wrukowe czy pętle (T. I-. T. I-. Elemety progrmowi Mtl Octve Scil kometrz liiowy % # lu % // kometrz lokowy #{ #} lu %{ %} wruek if WL, OP, else OP, ed if WL OP else OP edif if WL, OP, else OP, ed - 7 -
Dymik ukłdów podstwy lizy i symulcji wyór switch WL, cse OP, switch WL cse OP select WL, cse OP otherwise OP, ed otherwise OP, edswitch else OP, ed pętl for for LP, opercje ed for LP opercje edfor for LP do, opercje ed pętl while while WL, OP ed while WL OP edwhile while WL do, OP ed gdzie: WL wruek logiczy, OP opercje, LP liczik pętli, p.: ipocztek:krok:koiec,.. Przykłdy podstwowe fukcje i opercje Kilk poiższych frgmetów skryptów (T. I-4 zwier przykłdy geerowi i opercji zmieych (w szczególości mcierzy, tworzei i defiiowi włsości ok grficzego orz rysowi dwu- i trój-wymirowych wykresów fukcji. T. I-4. Przykłdy skryptów geerujących wykresy Mtl Octve Scil Nzw skryptu *.m *.m *.sci Otrcie ok Bez ksowi Włącz sitkę Wykres fukcji Wykres fukcji y e ( figure; hold o; grid o; [-::]; for - :.5 : ; plot(, *.*; ed [,y]meshgrid(-:.:,-:.:; z.*ep(-.^-y.^; mesh(z figure; hold o; grid o; [-::]; for - :.5 : ; plot(, *.*; edfor [,y]meshgrid(-:.:,-:.:; z.*ep(-.^-y.^; mesh(,y,z figure(; set(gc(, 'uto_cler', 'off'; set(gc(, 'grid', [,]; [-::]; for - :.5 : do plot(, *.*; ed [,y]meshgrid(-:.:,-:.:; z.*ep(-.^-y.^; mesh(z Wykresy są często podstwowym sposoem prezetcji wyików dń, powiy więc yć wykoe i opise w przejrzysty sposó, czemu służą przedstwioe fukcje - T. I-5. T. I-5. Fukcje pomocicze wykresów Mtl Octve Scil Tytuł wykresu Opis osi Opis osi y Tekst wykresie Leged title('tytul wykresu'; lel('czs [s]'; ylel('wyjście'; tet (,7, 'dowoly'; leged('a', 'B'; title("tytul wykresu" lel"opis osi " ylel("opis osi y" tet (, 7, "dowoly"; leged ("A","B"; title('tytul wykresu'; lel('czs [s]'; ylel('wyjście'; strig(, 7, 'dowoly'; leged('a', 'B'; Kolor i typ liii plot(,, 'r-' plot(,, 'r-' Podził ok i wyór suplot(,,; plot(, ; części ktywej suplot(,,; plot(, ;.. Pyti, zdi zstosowie mcierzy i wykresów (LAB Rozudowć przykłdy zdi przeieść do opisu l suplot(,,;plot(, ; suplot(,,; plot(, ; Celem pierwszych symulcji jest sprwdzeie fukcji związych z geerowiem wykresów orz zstosowiem mcierzy (wektorów w różych rolch: - geerowie mcierzy i odwoływie się do wyrych elemetów (m.i. opertor ':', - opercje mcierzch i elemetch mcierzy, - rysowie wykresów dwu- i trój-wymirowych. Symulcje leży zrelizowć z wykorzystiem skryptów. º Zdefiiuj przykłdowe mcierze o wyrej ilości wierszy i kolum, stępie zrelizuj opercje możei/dzielei: dwóch mcierzy: A*B; elemetów dwóch mcierzy: A.*B. Zwróć uwgę dopsowie wymirów mcierzy zleżie od opercji. º Przejrzyj podręczą dokumetcję (help fukcji w iliotekch: ops, elfu, elmt, strfu. º Rozuduj przykłdowy skrypt, który geeruje rodzię wykresów (T. I-4 w kolejych krokch wykoj: - zmist ideksowi pętli po zmieej, zdefiiuj wektor wrtości prmetru -:.5:, wprowdź liczik pętli i (p. for i: i rysuj wykresy w pętli dl kolejych wrtości prmetru ; - uzleżij liczę itercji od liczę pozycji w wektorze wrtości - wykorzystj fukcję size lu le; - rysuj koleje wykresy różymi kolormi - wprowdź wektor defiiujący listę kolorów (p. w postci: kolor'rgcrgcrgcrgc' i wyierj koleje elemety tego wektor do rysowi kolejych wykresów w pętli; - ogricz listę kolorów (p.: kolor'rgc' i gdy list kolorów skończy się, to wyierj od początku - wykorzystj fukcję mod (pmiętj, że tlice/mcierze są ideksowe od wrtości ; - 8 -