DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2002 2 J Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2008
Spis treści 1 ELEMENTARNA TEORIA PRZESTRZENI LINIOWYCH 3 11 Teoria 3 111 Metoda eliminacji Gaussa 3 112 Przestrzeń, podprzestrzeń 4 113 Kombinacje liniowe wektorów, liniowa zależność wektorów 5 114 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 6 115 Suma algebraiczna i suma prosta podprzestrzeni 7 12 Zadania 8 2 TEORIA MACIERZY 12 21 Teoria 12 211 Operacje na macierzach 12 212 Rząd macierzy 13 22 Zadania 14 3 WYZNACZNIK MACIERZY opracowanie dra Piotra Rzonsowskiego 16 31 Teoria 16 311 Definicja i podstawowe własności wyznacznika, tw Laplace a, tw Cauchy ego 16 312 Wzór na macierz odwrotną 17 313 Wzory Cramera 18 32 Zadania 19 4 ODWZOROWANIA LINIOWE 21 41 Teoria 21 411 Przekształcenie liniowe 21 412 Jądro i obraz przekształcenia liniowego 21 413 Macierz przekształcenia liniowego 22 414 Zmiana bazy 22 42 Zadania 23 2
1 ELEMENTARNA TEORIA PRZESTRZENI LINIOWYCH Przestrzeń, podprzestrzeń, liniowa zależność wektorów, wymiar, baza, suma prosta przestrzeni 11 Teoria 111 Metoda eliminacji Gaussa Niech m, n N i niech K będzie dowolnym ciałem Układ równań postaci: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (11) gdzie a ij, b i K dla dowolnych i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n nazywamy układem m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,, x n Następujące przekształcenia nie zmieniają zbioru rozwiązań układu: 1 zamiana miejscami dwóch dowolnych równań układu, 2 pomnożenie dowolnego równania układu przez niezerowy element ciała K, 3 dodanie do dowolnego równania układu innego równania tego układu pomnożonego przez dowolny element ciała K METODA ELIMINACJI GAUSSA: 1 W układzie (11) wyszukujemy równanie, w którym przy niewiadomej x 1, współczynnik a i1 jest różny od 0 i wstawiamy to równanie na pierwsze miejsce 2 Mnożymy równanie pierwsze przez a 1 i1 Otrzymujemy równanie, w którym współczynnik przy x 1 jest równy 1 3 Dodajemy do równania drugiego, trzeciego,, m-tego, równanie pierwsze pomnożone odpowiednio przez a 21, a 31,, a m1 Otrzymamy układ równań, w którym w pierwszym równaniu przy x 1 jest współczynnik równy 1, a w równaniach drugim, trzeci,, m-tym współczynnik przy x 1 jest równy 0: x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 22x 2 + + a 2nx n = b 2 a m2x 2 + + a mnx n = b m, 4 Czynności 1 3 powtarzamy dla równań od drugiego do m-tego, otrzymanego układu równań (12), itd (12) 3
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 4 112 Przestrzeń, podprzestrzeń Definicja 111 (Ciało) Ciałem nazywamy niepusty zbiór K (posiadający co najmniej dwa elementy) wraz z działaniami + : K K K oraz : K K K takimi, że: C1 (K, +, ) jest pierścieniem przemiennym z jedynką C2 Zbiór K = K \ {0} z mnożeniem jest grupą Definicja 112 (Charakterystyka ciała) Niech K będzie ciałem Jeśli istnieje liczba naturalna n taka, że n 1 = 0, to charakterystyką ciała K nazywamy najmniejszą liczbę naturalną o tej własności i oznaczamy char K Jeśli dla każdego n N, mamy n 1 0, to mówimy, że charakterystyka ciała K jest równa 0 Przykład 111 char Q = char R = char C = 0, char Z/p = p, gdzie p jest liczbą pierwszą Definicja 113 (Przestrzeń liniowa) Niech K będzie dowolnym ciałem θ = θ V V oraz z dwoma działaniami: Zbiór V z wyróżnionym elementem + : V V V dodawania elementów V, : K V V mnożenia elementów V przez elementy K, nazywamy przestrzenią liniową nad ciałem K (lub przestrzenią wektorową nad ciałem K), jeśli spełnione są następujące warunki: 1 (V, +, θ) jest grupą abelową z elementem neutralnym θ, 2 α (v + w) = α v + α w, 3 (α + β) v = α v + β v, 4 α (β v) = (αβ) v, 5 1 v = v, gdzie 1 oznacza element neutralny dla mnożenia w ciele K, tzn jedynkę ciała K Równości z podpunktów 2 5 zachodzą dla wszystkich v, w V oraz α, β K Elementy przestrzeni liniowej nazywamy wektorami Elementy ciała K nazywamy skalarami Przykład 112 Przykłady przestrzeni liniowych: 1 K n := {(a 1, a 2,, a n ) : a i K dla każdego i = 1, 2,, n}, 2 K[x] przestrzeń wielomianów jednej zmiennej nad ciałem K, 3 K n [x] = {f K[x] : deg n}, 4 C [a,b] przestrzeń funkcji ciągłych określonych na przedziale [a, b] o wartościach rzeczywistych nad R Działania są zdefiniowane następująco: (αf)(x) = αf(x), (f + g)(x) = f(x) + g(x) Definicja 114 (Podprzestrzeń) Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Niepusty podzbiór W V nazywamy podprzestrzenią przestrzeni V, jeśli spełnione są następujące dwa warunki: 1 dla dowolnych w 1, w 2 W zachodzi w 1 + w 2 W, 2 dla dowolnych α K oraz w W zachodzi α w W Powyższe dwa warunki możemy zastąpić w definicji podprzestrzeni równoważnie jednym następującym warunkiem: Piszemy W < V α, β K w 1, w 2 W : α w 1 + β w 2 W
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 5 113 Kombinacje liniowe wektorów, liniowa zależność wektorów Definicja 115 1 Układem wektorów przestrzeni liniowej V o wskaźnikach ze zbioru T nazywamy każdą funkcję v : T V Wartość funkcji v na elemencie t T oznaczamy v t Układ wektorów będziemy zapisywać w postaci (v t ) t T 2 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Niech będzie dany układ wektorów S = (v 1, v 2,, v m ) z V oraz układ skalarów (α 1, α 2,, α m ) z K Wektor: v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α m v m = m α i v i nazywamy kombinacją liniową wektorów układu S Skalary α i nazywamy współczynnikami tej kombinacji Liniową kombinację wektorów można zdefiniować dla dowolnego układu wektorów S = (v t ) t T, gdzie T jest pewnym niekoniecznie skończonym zbiorem wskaźników Należy jednak pamiętać, że po to, aby wyrażenie: α t v t miało sens, trzeba założyć, że α t = 0 dla prawie wszystkich t T t T 3 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Niech S = (v t ) t T będzie pewnym układem wektorów z V Weźmy układ skalarów (α t ) t T t T K, taki że α t = 0 dla prawie wszystkich t T Wektor: i=1 v = t T α t v t nazywamy kombinacją liniową wektorów układu S Skalary α t nazywamy współczynnikami tej kombinacji 4 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Mówimy, że wektory układu S = (v 1, v 2,, v m ) z V rozpinają przestrzeń V, jeśli każdy wektor v V jest kombinacją liniową wektorów v i, dla i = 1, 2,, m Oznacza to, że każdy wektor v V można zapisać w postaci: dla pewnych skalarów α 1, α 2,, α m K v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α m v m 5 Niech będzie dany układ wektorów (v 1, v 2,, v m ) z przestrzeni V Wtedy zbiór wszystkich kombinacji liniowych: L(v 1, v 2,, v m ) = {α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α m v m : α 1, α 2,, α m K} wektorów v 1, v 2,, v m nazywa się powłoką liniową układu wektorów (v 1, v 2,, v m ) 6 Niech dany będzie skończony układ wektorów (v 1, v 2,, v m ) przestrzeni liniowej V nad ciałem K Mówimy, że układ ten jest liniowo zależny, gdy istnieją skalary α 1, α 2, ldots, α m K takie, że α k 0 dla pewnego k {1, 2,, m} oraz zachodzi równość: α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α m v m = θ V Nieskończony układ wektorów (v t ) t T przestrzeni V nad ciałem K jest liniowo zależny, gdy pewien jego skończony podukład jest liniowo zależny Dowolny układ wektorów (v t ) t T przestrzeni V nad ciałem K nazywamy liniowo niezależnym, jeśli nie jest on układem liniowo zależnym
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 6 Twierdzenie 111 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Niech S = (v 1, v 2,, v m ) będzie pewnym układem wektorów z V Niech będzie dany układ wektorów S 0 = (v i1, v i2,, v ik ), gdzie v ij dla 1 j k są pewnymi wektorami układu S oraz liczby i 1, i 2,, i k są parami różne Wówczas: 1 Jeśli wektory z S są liniowo zależne, to jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych 2 Jeśli θ V jest jednym z wektorów układu S, to układ S jest liniowo zależny 3 Jeśli wektory układu S są liniowo niezależne, to wektory układu S 0 są liniowo niezależne 4 Jeśli wektory układu S 0 są liniowo zależne, to wektory układu S są liniowo zależne 114 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Definicja 116 Układ wektorów S = (v t ) t T przestrzeni V nazywamy bazą przestrzeni V, jeśli są spełnione następujące warunki: 1 Układ S jest liniowo niezależny 2 Układ S rozpina przestrzeń V, tzn V = L(S) W szczególności, jeśli skończony układ wektorów S = (v 1, v 2,, v n ) jest bazą przestrzeni V, to mówimy, że V ma bazę skończoną Definicja 117 Niech dane będą dwa układy wektorów S 1 = (v t ) t T1 oraz S 2 = (w t ) t T2 przestrzeni V Mówimy, że układ S 1 zawiera układ S 2, gdy T 2 T 1 oraz w t = v t dla każdego t T 2 Zawieranie układów zapisujemy S 2 S 1 Twierdzenie 112 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K i niech S = (v t ) t T będzie danym układem wektorów w V Wtedy następujące warunki są równoważne: 1 Układ S jest bazą przestrzeni V 2 Każdy wektor v V da się jednoznacznie zapisać w postaci kombinacji liniowej wektorów: v = t T α t v t, gdzie v t S i α t są prawie wszystkie równe 0 3 S jest maksymalnym układem liniowo niezależnym w V ze względu na relację zawierania układów 4 S jest minimalnym układem ze względu na relację zawierania układów, które rozpinają przestrzeń V Definicja 118 Niech S = (v t ) t T będzie bazą przestrzeni liniowej V oraz niech v V 1 Układ skalarów (α t ) t T taki, że α t = 0 dla prawie wszystkich t T oraz taki, że: v = α t v t, t T nazywamy współrzędnymi wektora v względem bazy S i oznaczamy symbolem v S 2 W szczególności, jeśli V ma bazę skończoną S = (v 1, v 2,, v n ) oraz: v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n, to współrzędne wektora v V względem bazy S zapisujemy jako wektor z K n w następujący sposób: α 1 α 2 v S = α n
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 7 Twierdzenie 113 Niech S = (v 1, v 2,, v n ) oraz S 2 = (w t ) t T baza S 2 też jest skończona i składa się z n wektorów będą bazami przestrzeni liniowej V Wówczas Definicja 119 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K 1 Jeśli V ma skończoną bazę S, to mówimy, że V jest przestrzenią skończenie wymiarową 2 Liczbę elementów bazy S przestrzeni skończenie wymiarowej V nazywamy wymiarem przestrzeni V i oznaczamy symbolem dim K V 3 Jeśli przestrzeń V nie ma skończonej bazy, to mówimy, że jest nieskończenie wymiarowa Wniosek 1131 Niech dim K V = n 1 Jeśli S = (v 1, v 2,, v m ) jest liniowo niezależnym układem wektorów w V, to m n 2 Jeśli S = (v 1, v 2,, v n ) jest liniowo niezależnym układem wektorów w V, to S jest bazą przestrzeni V 115 Suma algebraiczna i suma prosta podprzestrzeni Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Definicja 1110 Sumą algebraiczną podprzestrzeni W 1, W 2,, W n przestrzeni V nazywamy zbiór: W 1 + W 2 + + W n = {w 1 + w 2 + + w n : w i W i, dla i = 1, 2,, n} Jest to najmniejsza podprzestrzeń przestrzeni V zawierająca n i=1 W i Definicja 1111 Sumę algebraiczną W 1 +W 2 + +W n nazywamy sumą prostą podprzestrzeni W 1, W 2,, W n, gdy przedstawienie każdego wektora w W 1 + W 2 + + W n w postaci: w = w 1 + w 2 + + w n, gdzie w i W i, dla każdego i = 1, 2,, n jest jednoznaczne, tzn gdy w = w 1 + w 2 + + w n, gdzie w i W i, dla każdego i = 1, 2,, n jest drugim takim przedstawieniem, to w i = w i, dla każdego i = 1, 2,, n Jeśli W = W 1 + W 2 + + W n oraz suma algebraiczna jest sumą prostą to piszemy W = W 1 W 2 W n lub W = n W i Twierdzenie 114 Suma algebraiczna W 1 + W 2 + + W n jest sumą prostą podprzestrzeni W 1, W 2,, W n przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi następujący warunek: i {1, 2,, n} : W i (W 1 + W 2 + + W i 1 + W i+1 + + W n ) = {θ V } Twierdzenie 115 Jeśli podprzestrzenie W 1, W 2 przestrzeni V mają wymiar skończony, to podprzestrzenie W 1 + W 2 oraz W 1 W 2 mają również wymiar skończony i zachodzi: i=1 dim K (W 1 + W 2 ) = dim K W 1 + dim K W 2 dim K W 1 W 2
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 8 12 Zadania Zadanie 121 Rozwiązać (metodą Gaussa) następujące układy równań w ciele liczb rzeczywistych: (a) (b) (c) x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 2 2x 1 + 7x 2 + 9x 3 = 1 3x 1 + 8x 2 + 7x 3 = 7 2x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 1 5x 1 + 9x 2 + 7x 3 = 3 x 1 8x 2 + 7x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 4 3x 1 + 5x 2 2x 3 = 9 4x 1 + 5x 2 x 3 = 7 (d) (e) (f) x 1 + 3x 2 + x 3 + 4x 4 = 0 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 1 5x 1 + x 2 + 2x 3 + 8x 4 = 4 7x 1 + 3x 3 + 5x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 2 x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 6 3x 1 + 4x 2 + 4x 3 = 8 5x 1 6x 2 3x 3 = 8 x 1 + 4x 2 + 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 5 x 1 + 3x 2 + x 3 + 2x 4 + 5x 5 = 2 x 1 + 7x 2 + 5x 3 2x 4 3x 5 = 14 Zadanie 122 (zd) Czy zbiór Q( 2) := {a + b 2 : a, b Q} ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia jest ciałem? Zadanie 123 (zd) Udowodnić, że charakterystyka ciała jest liczbą pierwszą lub jest równa 0 Zadanie 124 (zd) Wyznaczyć charakterystykę ciała K, gdzie 1 + 1 + 1 + 1 = 0 Zadanie 125 Obliczyć: (a) (b) 1 4 + 2 w Z/5, 1 + 1 2 + 1 3 + 1 5 w Z/7 Zadanie 126 (zd) Wykazać, że jeśli char K = p > 0, to (a + b) p = a p + b p, dla dowolnych a, b K Zadanie 127 Czy struktura V,, jest przestrzenią liniową nad ciałem R, gdzie: V = R >0 oraz : V V V, : R V V zdefiniowane są wzorami: v w := vw, α v := v α, dla dowolnych v, w V oraz α R Zadanie 128 Rozpatrując iloczyn (1 + 1) (v + w), gdzie v, w V uzasadnić, że w aksjomatach przestrzeni liniowej słowo abelowa można opuścić Zadanie 129 Czy struktura V, +, jest przestrzenią liniową nad ciałem R, gdzie: V := R 2 oraz + : V V V, : R V V zdefiniowane są wzorami: dla dowolnych (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) V oraz α R Zadanie 1210 Sprawdzić, czy W < V, gdzie: (a) V = R 3, W = {(x, y, z) R 3 : x = 0}, (b) V = R 3, W = {(x, y, z) R 3 : x + y = 0}, (c) (d) (e) (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) := (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ), α (x 1, x 2 ) := (αx 1, x 2 ), V = Map(R, R) := {f : R R : f jest funkcją}, W = {f Map(R, R) : f jest ograniczona}, V = Map(R, R) := {f : R R : f jest funkcją}, W = {f Map(R, R) : f(x) Q, dla każdego x R}, V = C [0,1] := {f : [0, 1] R : f jest funkcją ciągłą}, W = {f C [0,1] : 2f(0) = f(1)}, (f) V = C [0,1] := {f : [0, 1] R : f jest ciągła}, W = {f C [0,1] : x [0, 1](f(x) = 0)}, (g) V = R[x], W = {f R[x] : f(0)f(1) = 0},
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 9 (h) V = R n, W = {(x 1, x 2,, x n ) R n : x 1 + x 2 + + x n = 0}, (i) V = C n, W = {(x 1, x 2,, x n ) C n : x 1 = x n }, (j) V = C n, W = {(x 1, x 2,, x n ) C n : x 1 = x 2 = = x n } Zadanie 1211 Obliczyć w przestrzeni (Z/5) 3 : 2 (1, 4, 3) + 4 (3, 1, 2) (4, 2, 3) Zadanie 1212 Znaleźć wektor v (Z/7) 3 spełniający następującą równość w tej przestrzeni: 3 v + (1, 2, 5) = (3, 4, 6) Zadanie 1213 Z ilu różnych wektorów składa się przestrzeń (Z/p) n, gdzie p jest liczbą pierwszą? Zadanie 1214 Czy wektor (2, 4, 8) jest kombinacją liniową wektorów (1, 2, 3), (3, 7, 5), (5, 12, 8) w R 3 Jeśli jest, podać współczynniki tej kombinacji Zadanie 1215 Sprawdzić, czy prawdziwa jest przynależność: (a) (8, 9, 11) L((3, 1, 4), (2, 7, 3)) w R 3, (b) ( 2, 0, 1, 0) L(( 1, 1, 1, 2), (0, 1, 1, 2), (2, 1, 1, 1), (1, 3, 0, 2)) w R 4, (c) (1, 5, 1, 1) L((1, 3, 4, 5), (1, 4, 6, 3)) w (Z/7) 4, (d) (x, y, z, t) L((1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (i, 1, i, 1)), gdzie x + y + z + t = 0 oraz t = 1 w C 4, (e) (7, 6, 4) L((3, 4, 2), (5, 5, 3)) w R 3 Zadanie 1216 Sprawdzić, czy zachodzi równość w R 3 : (a) L((4, 5, 3), (5, 7, 5)) = L((6, 9, 7), (7, 11, 9)), (b) L((1, 6, 5), (4, 1, 2)) = L((1, 2, 2), (5, 2, 4)), (c) L((1, 1, 3), (2, 5, 0)) = L((1, 2, 1), (1, 0, 5), (2, 1, 8)) Zadanie 1217 Pokazać, że jeśli v 1 + v 2 + v 3 = θ, to L(v 1, v 2 ) = L(v 2, v 3 ) Zadanie 1218 (zd) Sprawdzić czy dane wektory, generują przestrzeń R n : (a) (2, 2), ( 1, 3), dla n = 2, (b) (1, 3, 5), (1, 4, 7), (3, 8, 17), dla n = 3, (c) (1, 2, 4), (7, 6, 4), (9, 7, 3), dla n = 3, (d) (1, 2, 4), (3, 5, 9), dla n = 3 Zadanie 1219 Sprawdzić, czy dane wektory przestrzeni V są liniowo zależne: (a) V = R 3 nad ciałem R, wektory: (3, 1, 2), ( 9, 3, 6); (b) V = R 3 nad ciałem R, wektory: (4, 4, 1), (1, 4, 4); (c) V = R 3 nad ciałem R, wektory: (1, 0, 4), (5, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 8); (d) V = (Z/5) 3 nad ciałem Z/5, wektory: (1, 1, 0), (4, 3, 1), (1, 4, 2); (e) V = C R nad ciałem R, wektory: 1, sin x, cos x; (f) V = C R nad ciałem R, wektory: 1, 2 x, 3 x, 6 x ; (g) V = C (0, ) nad ciałem R, wektory: log x, log 2x, log 3x; Zadanie 1220 Czy wektory w 1 = x 5, w 2 = x 2 + 2x + 3, w 3 = x 2 + x + 1 tworzą bazę przestrzeni R 2 [x]? Zadanie 1221 Udowodnić, że wektory 1, x, x 2,, x n stanowią bazę przestrzeni R n [x] Zadanie 1222 Wykazać, że dane wektory w przestrzeni C R są liniowo niezależne: (a) 1, cos x, cos 2x, cos 3x,, (b) 1, sin x, sin 2 x, sin 3 x,
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 10 Zadanie 1223 (zad 62, JR) Sprawdzić, czy każdy wektor przestrzeni R 3 przedstawia się jednoznacznie w postaci kombinacji liniowej następującego układu wektorów: (a) (1, 0, 1), (1, 1, 3), (4, 1, 1), (b) (3, 3, 5), (1, 8, 4), (2, 7, 5), (c) (1, 3, 4), (2, 7, 9), (d) (1, 1, 1), (1, 2, 3), (4, 7, 11), (3, 4, 7) Zadanie 1224 Wyznacz współrzędne wektora: v = (1, 2, 0) R 3 w bazie ((1, 0, 1), ( 2, 1, 2), (0, 1, 1)) Zadanie 1225 (zad 68, JR) Zbadać, czy następujące wektory tworzą bazę przestrzeni R 3 (wykorzystać fakt, że gdy dim K V = n, to n wektorów przestrzeni V tworzy jej bazę wektory te są liniowo niezależne): (a) (1, 1, 1), (1, 1, 1), ( 1, 1, 1), (b) (1, 0, 1), (5, 1, 6), (8, 5, 3) Zadanie 1226 (zad 69, JR) Wyznacz jedną z baz podprzestrzeni W przestrzeni R 4, gdzie: (a) W = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : 2x 1 + 3x 2 + 4x 4 = 0, 4x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 }, (b) W = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 4x 2 9x 3 + 8x 4 = 0 }, (c) W = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : 2x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 = 0, x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 0, 4x 1 + 4x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 0 }, (d) W = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 + 3x 2 + 9x 3 6x 4 = 0, x 1 + 7x 2 + x 3 2x 4 = 0, 2x 1 + x 2 + 7x 3 5x 4 = 0 } Zadanie 1227 (zad 76, JR) Wskazać taką bazę podprzestrzeni W przestrzeni R 4, która jest podukładem danego układu wektorów rozpinających podprzestrzeń W Określić wymiar podprzestrzeni W (a) W = L((1, 3, 3, 2), (3, 5, 6, 5), (8, 4, 9, 11), (5, 3, 6, 7)), (b) W = L((1, 1, 3, 7), (3, 4, 9, 17), (1, 2, 5, 9), (4, 5, 9, 27)), (c) W = L((1, 2, 0, 1), (4, 5, 1, 3), (5, 1, 3, 2), (1, 1, 1, 8)) Zadanie 1228 (zad 79, JR) Dla podanych podprzestrzeni W 1, W 2 < R 4 znaleźć bazę przestrzeni W 1 W 2 : (a) W 1 = L((1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 0)), W 2 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 2 x 4 = 0}, (b) W 1 = L((1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0)), W 2 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 x 2 = x 3 + x 4 = 0}, (c) W 1 = L((1, 7, 7, 8), (2, 6, 5, 7)), W 2 = L((5, 7, 1, 8), (5, 8, 1, 9)), (d) W 1 = L((1, 1, 4, 1), (3, 4, 9, 3)), W 2 = L((3, 4, 7, 6), (5, 7, 9, 9)) Zadanie 1229 (zad 87, JR) Wiadomo, że R 4 = W 1 W 2 Przedstawić dany wektor v R 4 w postaci odpowiedniej sumy: (a) W 1 = L((0, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1)), W 2 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 = x 2 5x 4 = 0}, v = (7, 2, 15, 8), (b) W 1 = L((4, 0, 1, 0)), W 2 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 3 7x 4 = 0}, v = (5, 6, 9, 1) Zadanie 1230 (zad R 4 = W 1 W 2 : 88, JR) Zbadać, czy dla danych podprzestrzeni W 1, W 2 < R 4 prawdziwy jest związek (a) W 1 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 x 3 = x 2 + x 3 = 0}, W 2 = L((1, 1, 4, 1), (0, 1, 3, 0)), (b) W 1 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 + 2x 2 x 3 2x 4 = x 2 x 3 = 0}, W 2 = L((4, 1, 0, 3), (5, 1, 1, 4)) Zadanie 1231 (zad 89, JR) Podprzestrzenie W, W 1 i W 2 przestrzeni R 4 określone są następująco: W = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 + x 2 = x 3 + x 4 = 0}, W 1 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 = x 2 = x 3 = x 4 }, W 2 = L((1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)) Zbadać, czy W = W 1 + W 2 i czy suma algebraiczna W 1 + W 2 jest sumą prostą Zadanie 1232 (zad 97, JR) Określone są podprzestrzenie W 1, W 2 < R 4 Obliczyć wymiary podprzestrzeni W 1, W 2, W 1 + W 2, W 1 W 2, gdzie: (a) W 1 = L((2, 5, 0, 2)), W 2 = L((1, 7, 3, 4), (3, 0, 5, 2)), (b) W 1 = L((1, 1, 1, 1)), W 2 = L((1, 0, 3, 1), (3, 5, 4, 2), (3, 4, 5, 1)), (c) W 1 = L((1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)), W 2 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 + 3x 2 x 3 + x 4 = 3x 1 + 8x 2 4x 3 + 3x 4 = 0}, (d) W 1 = L((1, 1, 2, 1), (6, 1, 1, 3)), W 2 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 +5x 2 +2x 3 +7x 4 = 3x 1 4x 2 +7x 3 +5x 4 = 0}, (e) W 1 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 x 2 + x 4 = x 1 + 2x 3 x 4 = 0}, W 2 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 + x 2 + x 3 = x 1 + 3x 2 + x 3 x 4 = 0}
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 11 Zadanie 1233 (zad 61, JR) Dane są wektory v 1, v 2, w 1, w 2, w 3, w 4 R 4 Wektory v 1, v 2 są liniowo niezależne (dim R L(v 1, v 2 ) = 2), a L(w 1, w 2, w 3, w 4 ) = R 4 Które z wektorów w 1, w 2, w 3, w 4 można dołączyć do wektorów v 1, v 2, by otrzymać bazę przestrzeni R 4 (a) v 1 = (1, 4, 2, 1), v 2 = (0, 1, 1, 1) w 1 = (1, 1, 0, 0), w 2 = (2, 4, 1, 0), w 3 = (1, 0, 0, 2), w 4 = (2, 5, 3, 4), (b) v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (5, 2, 4, 1) w 1 = (1, 0, 1, 1), w 2 = (2, 1, 1, 0), w 3 = (4, 1, 1, 2), w 4 = (3, 4, 3, 4) Zadanie 1234 Niech W = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 x 2 = x 4 x 2 + 2x 3 = 0} < R 4 Uzupełnić jedną z baz podprzestrzeni W do bazy przestrzeni R 4 Zadanie 1235 (zad 71, JR) Zbadać, dla jakich liczb x R dana trójka wektorów tworzy bazę przestrzeni liniowej R 3 : (a) (1, 3, 4), (2, 1, 5), (1, 8, x), (b) (1, 2, 3), (3, 4, 9), (1, x, 3), (c) (x, 4, 1), (x, 1, 2), (5, x, 2) Zadanie 1236 (zad 40, 41, JR) Znaleźć układ równań liniowych określający daną podprzestrzeń przestrzeni R n : (a) L((1, 0, 0), (0, 1, 0)), dla n = 3, (b) L((4, 1, 3), (0, 3, 1)), dla n = 3, (c) L((1, 1, 1)), dla n = 3, (d) L((4, 1, 3, 5)), dla n = 4, (e) L((1, 1, 1, 1), (3, 4, 5, 8)), dla n = 4, (f) L((0, 1, 2, 1), (1, 3, 4, 1), (4, 7, 6, 1)), dla n = 4 Zadanie 1237 Oblicz: A = A + 3I 3, 3A, D + D, ( B + D T ) T, D + B T, AA T, ( AA ) T T, A T A, C T C, CC T, BDD T, CC T A, αb, ADBE, C T AE, gdzie: 2 0 1 1 1 2 0 2 3, B = 3 0 1 2 2 2 1 1 1 2, C = 1, D = 0 1 2 1, E = 2 1, 1 1 1 3 1 2 2 0 1 1 1 1 0 0 1 1 α R
2 TEORIA MACIERZY 21 Teoria 211 Operacje na macierzach Definicja 211 Macierzą o elementach z ciała K o m wierszach i n kolumnach nazywamy każdą funkcję T : {1,, m} {1,, n} K Zbiór wszystkich macierzy o elementach z ciała K o m wierszach i n kolumnach oznaczamy symbolem M m n (K) Dla prostoty zapisu przyjmujemy, że T ((i, j)) = a ij i wówczas zapisujemy: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn lub skrótowo A = [a ij ] M m n (K) Fakt 211 M m n (K) z dodawaniem macierzy i mnożeniem przez skalar z ciała K jest przestrzenią liniową nad ciałem K Definicje działań: [a ij ] + [b ij ] = [c ij ], gdzie c ij = a ij + b ij dla i = 1,, m, j = 1,, n, α [a ij ] = [c ij ], gdzie c ij = αa ij dla i = 1,, m, j = 1,, n Definicja 212 Niech m, n, l N oraz A = [a ij ] M m n (K), B = [b ij ] M n l (K) Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz [c i j] M m l (K) zdefiniowaną następująco: c ij = Iloczyn macierzy A i B oznaczamy AB n a ik b kj, dla i = 1,, m, j = 1,, l k=1 Definicja 213 Niech A = [a ij ] M m n (K) Macierzą transponowaną macierzy A, jest macierz A T = [a T ij ] M n m (K), zdefiniowana następująco: a T ij = a ji, dla i = 1,, m, j = 1,, l Fakt 212 W zbiorze macierzy kwadratowych M n (K) mnożenie macierzy jest działaniem wewnętrznym Elementem neutralnym dla mnożenia jest macierz jednostkowa I = [a ij ], gdzie { 1, gdy i = j a ij = 0, gdy i j 12
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 13 Zbiór M n (K) wraz z dodawaniem macierzy, mnożeniem macierzy przez skalar oraz mnożeniem macierzy tworzy algebrę (nieprzemienną) z jedynką nad ciałem K Definicja 214 Niech A = [a ij ] M n (K) Śladem macierzy A nazywamy sumę elementów na głównej przekątnej i oznaczamy symbolem tr A, tzn n tr A = a ii 212 Rząd macierzy Definicja 215 Mówimy, że macierz A jest w postaci zredukowanej, gdy spełnione są następujące warunki: i=1 1 (Jeśli występują w macierzy A wiersze zerowe) Począwszy od pewnego wiersza wszystkie następne wiersze macierzy składają się z samych zer Powyżej tego wiersza nie ma wierszy złożonych z samych zer 2 W każdym niezerowym wierszu pierwszy od lewej niezerowy wyraz jest równy 1 Ten niezerowy wyraz będziemy nazywać jedynką wiodącą wiersza 3 Jeśli dwa sąsiednie wiersze nie są złożone z samych zer, to wiodąca jedynka wyższego wiersza znajduje się na lewo od wiodącej jedynki niższego wiersza 4 Jeśli ponadto, każda kolumna zawierająca wiodącą jedynkę ma pozostałe wyrazy równe 0, to mówimy, że macierz A jest w postaci całkowicie zredukowanej Definicja 216 Następujące operacje wykonywane na wierszach macierzy, nazywać będziemy operacjami elementarnymi: OE1 Zamiana miejscami dwóch wierszy OE2 Pomnożenie wiersza przez niezerowy element ciała K OE3 Dodanie do danego wiersza wielokrotności innego wiersza Definicja 217 Rzędem macierzy A nazywamy liczbę wiodących jedynek w dowolnej postaci zredukowanej macierzy A Fakt 213 Operacje elementarne nie zmieniają rzędu danej macierzy Fakt 214 Dla dowolnej macierzy A M m n (K), mamy: rz A = rz A T Twierdzenie 211 Jeśli A M n (K), to następujące warunki są równoważne: 1 A jest macierzą odwracalną, 2 postać całkowicie zredukowana macierzy A jest macierzą identycznościową I n, 3 rz A = n, 4 det A 0, 5 dla każdego b K n układ równań liniowych AX = b ma dokładnie jedno rozwiązanie, 6 jednorodny układ równań liniowych AX = θ n ma tylko jedno rozwiązanie: x 1 = x 2 = = x n = 0, 7 kolumny (wiersze) macierzy A są wektorami liniowo niezależnymi w przestrzeni K n
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 14 22 Zadania Zadanie 221 Wykonać następujące działania na macierzach: [ ] 1 5 (a) 4, 2 8 [ ] [ ] 1 0 4 2 1 3 (b) 3 +, 1 2 3 4 2 0 [ ] [ ] 0 4 3 1 8 5 (c) 2 4 1 0 1 3 Zadanie 222 (zad 112, JR) Niech: 1 1 1 1 2 1 A = 2 1 0, B = 1 1, C = 2 0 1 1 1 2 3 Wykonać następujące iloczyny: AB, AC, A 2, BB T, B T B, AA T, B T A, B T C, C T B Zadanie 223 (zad 113, 115, 116, JR) Obliczyć iloczyny: 1 4 4 3 1 4 3 5 (a) 2 1 2 2 2 6 2 4 5 8 4 1 3 7 1 0, 9 1 6 7 1 0 5 7 1 1 1 95 99 101 (b) 1 3 4 97 96 99, 2 1 4 96 99 102 1 1 1 6 6 5 3 5 4 (c) 1 2 4 5 4 4 5 4 3, 2 5 6 4 5 4 8 9 7 [ ] 1 2 [ ] 1 1 1 3 (d) 4 3 2 2 1 1 3 1 1 0 1 1 1 2 1 Zadanie 224 (zad 117, JR) Podać przykład macierzy A, B M 2 (R) takich, że A 0, B 0 i AB = 0 Zadanie 225 (zad 120, JR) Niech n N Obliczyć: [ ] n 1 1 (a), 0 1 [ ] n a 1 (b), 0 a [ ] n cos α sin α (c) sin α cos α 11 4 7 Zadanie 226 (zad 125, JR) Obliczyć ślad macierzy 12 8 5 13 9 5 Zadanie 227 (zad 126, 109, 129, JR) Udowodnić, że dla dowolnych macierzy A, B M m n (K), C M n l (K), D, F M n (K) zachodzi: (a) tr(d + F ) = tr D + tr F, (b) tr(df ) = tr(f D),
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 15 (c) tr(ad) = a tr D, (d) (A + B) T = A T + B T, (e) (A T ) T = A, (f) (aa) T = aa T, (g) (AC) T = C T A T Zadanie 228 (zad 127, JR) Pokazać, że nie istnieją macierze A, B M n (K), takie że AB BA = I Zadanie 229 (zad 130, JR) Wykazać, że dla każdej macierzy A M m n (K), iloczyn AA T jest macierzą symetryczną Zadanie 2210 Znajdź postacie zredukowane i rzędy następujących macierzy: 1 0 1 0 1 1 0 2 2 1 4 (a) A = 1 1 1 0 1 1, (c) C = 2 1 0 1 0 0 1 1 1 4, 2 0 1 3 2 0 1 1 1 0 2 0 1 2 3 1 3 5 7 9 (b) B = 0 1, 5 3 4, 5 0 0 4 5, (d) D = 4 8 3 2 5 7 1 4 7 5 5 0 3 0 4 4 4 4 20 Zadanie 2211 Znajdź postacie całkowicie zredukowane i rzędy następujących macierzy: 1 0 2 1 0 (a) 0 1 2 0 1 A = 1 0 0 2 3 1 0 0 0 1, 0 1 0 1 4 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 4 (b) B = 2 4 2 0 0 0 2 0 0 1 0 1 1 1 Zadanie 2212 W zależności od parametru m R oblicz rząd poniższych macierzy: (a) [ ] 3m + 7 m + 2 A = 6m 5 2m 2 1 2m + 5 m 2 + m (b) B = 2 5m + 10 3m 2 + 3m (c) 3 6m + 15 4m 2 + 2m [ ] 2m C = + 9m 5 m 2 + 6m + 5 2m 2 + 8m 10 m 2 + 5m m + 1 m m m (d) D = m m + 1 m m m 2 m m 2 m 5m m 5m m Zadanie 2213 Znajdź macierze odwrotne (o ile istnieją) dla poniższych macierzy: 3 4 2 2 1 3 2 A = 2 5 7, B = 1 3 1 1 2 2 1 1 3 2 0 3 1 0, C = 3 1 1, D = 1 4 1 1 2 4 1 4 1 0 1 3 2 2 1 1
3 WYZNACZNIK MACIERZY opracowanie dra Piotra Rzonsowskiego 31 Teoria 311 Definicja i podstawowe własności wyznacznika, tw Laplace a, tw Cauchy ego Definicja 311 Wyznacznik macierzy kwadratowej zdefiniujemy za pomocą indukcji matematycznej 1 Jeżeli A = [a] M 1,1 (K), to det A = a 2 Załóżmy, że został zdefiniowany wyznacznik macierzy kwadratowej o n 1 wierszach Niech A M n,n (K) oraz niech M i,j M n 1,n 1 (K) będzie macierzą, którą otrzymujemy po wykreśleniu z A i-tego wiersza i j-tej kolumny Ponadto niech A ij = ( 1) i+j det M ij Element A ij ciała K nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A Przy tych oznaczeniach wyznacznik macierzy A definiujemy za pomocą wyrażenia det A = a 11 A 11 + a 12 A 12 + + a 1n A 1n Twierdzenie 311 (Laplace a) Jeżeli A M n,n (K), to zachodzą następujące wzory: 1 det A = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in dla każdego 1 i n, 2 det A = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj dla każdego 1 j n Definicja 312 Niech A M n,n (K) będzie macierzą o współrzędnych a ij K Wówczas mówimy, że A jest macierzą: 1 dolną trójkątną/dolnotrójkątną, gdy ma zera nad przekątną, czyli a ij = 0 dla i < j, 2 górną trójkątną/górnotrójkątną, gdy ma zera pod przekątną, czyli a ij = 0 dla i > j, 3 przekątniową (diagonalną), jeżeli a ij = 0 dla i j Własności 311 (Wyznacznika) Niech a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = M n,n(k) a n1 a n2 a nn 16
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 17 1 Jeżeli macierz A ma wiersz lub kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 2 Dla każdego c K i dla każdego 1 j n mamy a 11 ca 1j a 1n a 21 ca 2j a 2n det = c det A a n1 ca n2 a nn Taka sama własność zachodzi przy mnożeniu dowolnego wiersza macierzy przez skalar 3 Jeżeli macierze B, C M n,n (K) różnią się od macierzy A tylko j-tą kolumną i mają postać a 11 b 1j a 1n a 21 b 2j a 2n B = a n1 b n2 a nn a 11 a 1j + b 1j a 1n a 21 a 2j + b 2j a 2n C = a n1 a nj + b n2 a nn to det C = det A + det B Taka sama własność zachodzi dla wierszy macierzy 4 Jeżeli macierz A ma dwie identyczne kolumny (odpowiednio wiersze), to det A = 0 5 Zamiana miejscami dwóch kolumn (wierszy) macierzy powoduje, że znak wyznacznika zmienia się na przeciwny 6 Jeżeli jedna kolumna (wiersz) macierzy A jest wielokrotnością innej kolumny (odpowiednio - wiersza), to det A = 0 7 Jeżeli do jednej kolumny (wiersza) macierzy A dodamy wielokrotność innej kolumny (odpowiednio wiersza), to wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie 8 Jeżeli A, B M n,n (K) to zachodzą następujące równości: det(ab) = det A det B = σ S n (sgn σ)b σ(1)1 b σ(2)2 b σ(n)n σ S n (sgn σ)b σ(1)1 b σ(2)2 b σ(n)n gdzie S n jest grupą permutacji zbioru n-elementowego, a sgn σ jest znakiem permutacji σ S n Twierdzenie 312 (Cauchy ego) Jeżeli A, B M n,n (K), to 312 Wzór na macierz odwrotną det(ab) = det A det B Definicja 313 Dla macierzy kwadratowej A M n,n (K) definiujemy jej macierz dołączoną A 11 A 21 A n1 A D A 12 A 22 A n2 = A 1n A 2n A nn tzn A D jest macierzą kwadratową, która na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny ma dopełnienie algebraiczne A ji
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 18 Twierdzenie 313 Jeżeli A Gl n (K), to zachodzi następujący wzór: 313 Wzory Cramera Mamy następujący układ równań: A 1 = 1 det A AD a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m (31) Twierdzenie 314 Jeżeli det A 0, to układ równań (31) ma dokładnie jedno rozwiązanie, które jest dane za pomocą wzorów x i = det A x i det A, dla 1 i n, gdzie A xi otrzymuje się przez zastąpienie i-tej kolumny macierzy A kolumną wyrazów wolnych układu (31)
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 19 32 Zadania Zadanie 321 Obliczyć następujące wyznaczniki: 1 1 1 1 1 0 0 (a) 2 3 0 1 1 1, (b) 0 1 2 1 1 1 1 3, (c) 0 5 1 0 1 1 0 0 0 1 2 1 0 0 1 3 0 0 0 3 Zadanie 322 Wykazać, że wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej/górnotrójkątnj jest równy iloczynowi elementów na przekątnej Zadanie 323 Wykaż, że jeśli liczba zer w macierzy stopnia n jest większa od n 2 n, to jej wyznacznik równy jest 0 Zadanie 324 Wyprowadzić wzór na wyznaczniki macierzy 1 1, 2 2, 3 3 z własności 8 wyznacznika Zadanie 325 Niech c R, A M n (R) i det A = a Oblicz det ca Zadanie 326 Niech a, b, c, d, t R Stosując twierdzenie Cauchy ego do macierzy [ ] [ ] a b c d A =, B = udowodnić tożsamość (a 2 + b 2 t)(c 2 + d 2 t) = (ac bdt) 2 + (ad + bc) 2 t bt a dt c Zadanie 327 Oblicz wyznaczniki: 1 9 100 29 23 0 5 2 24 67 (a) 0 0 2 345 2 0 0 0 3 22 0 0 0 0 1 1 3 1 4 (b) 5 1 2 1 4 2 3 2 3 5 4 3 (c) (d) (e) 2 2 3 3 1 2 0 1 4 4 0 0 0 2 3 0 4 3453 345 7 6786 678 1 9129 912 9 4 3 8 4 3 7 3 2 (f) (g) (h) 8 4 3 7 3 2 9 4 3 8 3 4 7 2 3 9 3 4 1 3 2 2 1 2 7 4 7 2 3 8 5 6 1 4 5 3 5 2 5 9 7 9 4 Zadanie 328 Za pomocą wzorów Cramera rozwiąż następujący układ równań nad ciałem R: (a) { 4x1 7x 2 = 3 5x 1 6x 2 = 4 (b) x 1 x 2 + x 3 = 1 3x 1 4x 2 + 5x 3 = 5 4x 1 5x 2 + 9x 3 = 8 (c) x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 1 2x 1 + 4x 2 + 7x 3 = 2 4x 1 + 9x 2 + 11x 3 = 5 Zadanie 329 (zad 157, JR) Nie obliczając danego wyznacznika, wykazać, że dzieli się on przez 10: 2 4 7 (a) 8 6 3 2 1 5, (b) 8 3 9 2 4 8 3 1 7, (c) 4 2 4 8 1 1 5 3 2 Zadanie 3210 Oblicz macierze odwrotne do następujących macierzy (jeśli istnieją): (a) [ ] 7 9 A = 4 5 1 0 1 (b) B = 4 3 1 3 1 1 3 0 1 (c) C = 3 1 3 4 0 2 3 2 2 (d) D = 5 5 4 3 4 3 cos α 0 sin α (e) E = 0 1 0 sin α 0 cos α
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 20 Zadanie 3211 (zad 159, JR) Dowieść, że nie można tak dobrać elementów macierzy A M 3 (R), aby wszystkie składniki, których sumą jest wyznacznik macierzy A (wzór Sarrusa), były dodatnie Zadanie 3212 (zad 160, JR) Obliczyć wyznacznik: (a) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 n (c) x a a a a x a a a a x a a a a x (b) (d) 1 a 1 a 2 a n 1 a 1 + b 1 a 2 a n 1 a 1 a 2 + b 2 a n 1 a 1 a 2 a n + b n a 1 a 1 0 0 0 0 a 2 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 0 0 a n a n 1 1 1 1 1 Zadanie 3213 (zad 162, JR) Obliczyć wyznacznik Vandermonde a: 1 x 1 x 2 1 x n 1 1 1 x 2 x 2 2 x n 1 2 1 x n x 2 n x n 1 Zadanie 3214 (zad 172, JR) Niech A M m (K), B M m n (K), D M n (K) Wykazać, że: [ ] A B det = det A det D 0 D Zadanie 3215 (zad 173, JR) Niech A M m (K), C M n m (K), D M n (K) Wykazać, że: [ ] A 0 det = det A det D C D Zadanie 3216 (zad 174, JR) Niech A M m n (K), B M m (K), C M n (K) Wykazać, że: [ ] A B det = ( 1) mn det B det C C 0 n Zadanie 3217 Rozwiąż równania: (a) (b) [ ] [ ] [ ] 2 5 x11 x 12 1 3 = 1 3 x 21 x 22 0 4 [ ] [ ] [ ] 3 8 x1 2 = 1 2 0 x 2 (c) x 11 x 12 x 13 2 1 2 1 2 0 x 21 x 22 x 23 3 2 3 = 0 1 0 x 31 x 32 x 33 4 1 2 0 2 1
4 ODWZOROWANIA LINIOWE 41 Teoria 411 Przekształcenie liniowe Definicja 411 Niech V, W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K Mówimy, że funkcja ϕ : V W jest przekształceniem liniowym, gdy spełnia następujące warunki: 1 ϕ(v 1 + v 2 ) = ϕ(v 1 ) + ϕ(v 2 ) dla każdego v 1, v 2 V, 2 ϕ(αv) = αϕ(v) dla każdego skalara α K i każdego wektora v V Powyższe warunki są równoważne warunkowi: α, β K v 1, v 2 V : ϕ(αv 1 + βv 2 ) = αϕ(v 1 ) + βϕ(v 2 ) Jeśli V = W, to przekształcenie liniowe ϕ nazywamy operatorem liniowym przestrzeni V lub endomorfizmem liniowym przestrzeni V Definicja 412 Przekształcenie liniowe ϕ : V W nazywamy: 1 monomorfizmem przestrzeni liniowych, gdy ϕ jest iniekcją (różnowartościowe); 2 epimorfizmem przestrzeni liniowych, gdy ϕ jest suriekcją ( na ); 3 izomorfizmem przestrzeni liniowych, gdy ϕ jest bijekcją; 4 automorfizmem przestrzeni liniowej, gdy V = W oraz ϕ jest bijekcją Zbiór wszystkich przekształceń liniowych z V do W oznaczmy Hom(V, W ) lub L(V ; W ) Natomiast zbiór wszystkich endomorfizmów przestrzeni V oznaczmy End(V ), a automorfizmów V : Aut(V ) Twierdzenie 411 Niech V, W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K Niech n N oraz niech v 1,, v n V i w 1,, w n W Wówczas następujące warunki są równoważne: 1 istnieje przekształcenie liniowe ϕ : V W takie, że ϕ(v i ) = w i dla każdego i = 1,, n; 2 α 1, α n K : α 1 v 1 + + α n v n = θ V = α 1 w 1 + + α n w n = θ W 412 Jądro i obraz przekształcenia liniowego Definicja 413 Jądrem przekształcenia liniowego ϕ : V W nazywamy zbiór: ker ϕ := {v V : ϕ(v) = θ W } Definicja 414 Obrazem przekształcenia liniowego ϕ : V W nazywamy zbiór: im ϕ := ϕ(v ) = {ϕ(v) : v V } 21
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 22 Twierdzenie 412 Jeśli funkcja ϕ : V W jest przekształceniem liniowym oraz dim V <, to: dim V = dim ker ϕ + dim im ϕ 413 Macierz przekształcenia liniowego Definicja 415 Niech będą dane przestrzenie liniowe V i W nad ciałem K, których wymiarami są odpowiednio n i m Niech ϕ : V W będzie przekształceniem liniowym W przestrzeni V wybieramy bazę: B V = (v 1, v 2,, v n ), a w przestrzeni W ustalamy bazę: B W = (w 1, w 2,, w m ) Obrazy wektorów bazy B V przy przekształceniu ϕ zapisujemy w postaci kombinacji liniowych wektorów bazy B W ze współczynnikami a ij K: ϕ(v 1 ) = a 11 w 1 + a 21 w 2 + + a m1 w m ϕ(v 2 ) = a 12 w 1 + a 22 w 2 + + a m2 w m (41) ϕ(v n ) = a 1n w 1 + a 2n w 2 + + a mn w m Macierz M BV B W (ϕ) M m,n (K): a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn której kolumnami są współrzędne wektorów ϕ(v i ) w bazie B W, uzyskane z równań (41), nazywa się macierzą przekształcenia ϕ w bazach B V i B W UWAGA 1 Jeśli M BV B W (ϕ) jest macierzą przekształcenia liniowego ϕ : V W w bazach B V, B W oraz M BW B Z (ψ) jest macierzą przekształcenia liniowego ψ : W Z w bazach B W, B Z, to: M BV B Z (ψ ϕ) = M BW B Z (ψ) M BV B W (ϕ) jest macierzą przekształcenia liniowego ψ ϕ w bazach B V, B Z Twierdzenie 413 Niech ϕ : V W będzie przekształceniem liniowym Niech B V = (v 1, v 2,, v n ), B W = (w 1, w 2,, w m ) będą bazami przestrzeni V i W odpowiednio Niech M BV B W (ϕ) będzie macierzą przekształcenia ϕ w bazach B V, B W Niech v V będzie dowolnym wektorem Wówczas zachodzi następujący wzór na współrzędne wektora ϕ(v) w bazie B W : ϕ(v) BW = M BV B W (ϕ) v BV (42) 414 Zmiana bazy Definicja 416 Niech V/K będzie przestrzenią n- wymiarową (tzn każda baza tej przestrzeni składa się z n wektorów), niech B 1, B 2 będą dwoma bazami tej przestrzeni B 1 = (w 1,, w n ), B 2 = (v 1,, v n ) Zapisujemy wektory bazy B 2 za pomocą wektorów bazy B 1, jako kombinacje liniowe: v 1 = a 11 w 1 + a 21 w 2 + + a n1 w n v 2 = a 12 w 1 + a 22 w 2 + + a n2 w n v n = a 1n w 1 + a 2n w 2 + + a nn w n i zapisujemy współrzędne wektora v i w bazie B 2, w i-tej kolumnie macierzy A dla i = {1, 2,, n}: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn Powyższa macierz nazywa się macierzą przejścia od bazy B 1 do bazy B 2 Fakt 411 1 Jeśli A jest macierzą przejścia z bazy B 1 do bazy B 2, to macierz A jest odwracalna oraz A 1 jest macierzą przejścia z bazy B 2 do B 1 2 Jeśli A 1 jest macierzą przejścia z bazy B 1 do bazy B 2, A 2 jest macierzą przejścia z bazy B 2 do B 3, to A 1 A 2 jest macierzą przejścia z bazy B 1 do B 3 UWAGA 2 Niech V/K będzie dowolną przestrzenią liniową skończenie wymiarową oraz B, B będą dwoma bazami tej przestrzeni Niech v V będzie dowolnym wektorem Niech ponadto A będzie macierzą przejścia z bazy B do B Współrzędne wektora v względem bazy B i współrzędne względem bazy B spełniają równanie: v B = A v B (43) Twierdzenie 414 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Niech B = (v 1, v 2,, v n ) i B = (w 1, w 2,, w n ) będą bazami przestrzeni V Wtedy macierz przejścia A od bazy B do bazy B jest równa macierzy przekształcenia identycznościowego id V : V V w bazach B i B
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 23 42 Zadania Zadanie 421 (zad 222, JR) Sprawdzić, czy dana funkcja jest przekształceniem liniowym: (a) ϕ : R 2 R 3, ϕ((x 1, x 2 )) = (x 1 + x 2 + 1, 55x 2, x 1 x 2 ), (b) ϕ : R 2 R 2, ϕ((x 1, x 2 )) = (3x 1 + 4x 2, 5x 1 x 2 ), (c) ϕ : R[x] R[x], ϕ(f) = f, (d) ϕ : R R 2, ϕ((a i ) i=1 ) = (a 1, a 2 ), (e) ϕ : C (, ) C (, ), (ϕ(f))(x) = f(x 1) Zadanie 422 (zad 225, 226, JR) Przekształcenie liniowe ϕ : R n R 3 dane jest przez poniższe przyporządkowania Obliczyć ϕ((x 1, x 2 )) (a) n = 2, (3, 4) (3, 5, 7), (4, 5) (4, 7, 9), (b) n = 2, (3, 1) (2, 5, 5), (5, 2) (3, 0, 9), (c) n = 3, (1, 1, 1) (1, 4, 6), (4, 5, 1) (0, 3, 7), (4, 7, 4) (1, 4, 9) Zadanie 423 (zad 227, JR) Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech a K Wykazać, że funkcja ϕ a : V V określona dla każdego v V wzorem ϕ a (v) = av jest endomorfizmem przestrzeni V (funkcję tę nazywamy homotetią o współczynniku a) Zbadać dla jakich a funkcja ϕ a jest automorfizmem przestrzeni V Zadanie 424 (zad 228, JR) Niech V będzie przestrzenią liniową, a W 1, W 2 takimi jej podprzestrzeniami, że V = W 1 W 2 Funkcję π 1 : V W 1 określoną dla dowolnych w 1 W 1, w 2 W 2 wzorem π 1 (w 1 + w 2 ) = w 1 nazywamy rzutowaniem przestrzeni V na podprzestrzeń W 1 wzdłuż przestrzeni W 2 Sprawdzić, że funkcja ta jest przekształceniem liniowym Zadanie 425 (zad 230, JR) Poniższe podprzestrzenie W 1 i W 2 przestrzeni wektorowej R 3 spełniają warunek R 3 = W 1 W 2 Wyrazić analitycznie rzutowanie przestrzeni R 3 na podprzestrzeń W 1 wzdłuż podprzestrzeni W 2 : (a) W 1 = L((1, 0, 0), (0, 1, 0)), W 2 = L((1, 1, 1)), (b) W 1 = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 + 2x 2 3x 3 = 0}, W 2 = L((5, 2, 0)), (c) W 1 = L((4, 3, 5)), W 2 = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 5x 2 + 2x 3 = 0} Zadanie 426 (zad 236, 237, JR) Zbadać, czy istnieje przekształcenie liniowe ϕ : R 3 R n, spełniające dane warunki: (a) n = 2, (2, 4, 3) (1, 3), (1, 5, 4) (0, 3), (9, 3, 1) (7, 6), (b) n = 2, (2, 4, 5) (3, 5), (1, 5, 8) (3, 8), (7, 5, 1) (6, 1), (10, 8, 3) (9, 4), (c) n = 3, (1, 0, 3) (4, 5, 6), (4, 3, 1) (3, 8, 7), (d) n = 3, (2, 4, 0) (7, 3, 4), (1, 1, 1) (3, 1, 1), (1, 7, 5) (6, 4, 7), (e) n = 3, (4, 1, 2) (1, 2, 1), (5, 3, 4) (3, 5, 1), (6, 5, 6) (5, 8, 1), (7, 7, 8) (7, 9, 1) Zadanie 427 (zad 245, JR) Sprawdzić, że jądro przekształcenia liniowego ϕ : przestrzeni V V W jest podprzestrzenią Zadanie 428 (zad 247, JR) Sprawdzić, że obraz przekształcenia liniowego ϕ : V W jest podprzestrzenią przestrzeni W Zadanie 429 (zad 246, JR) Wykazać, że przekształcenie liniowe ϕ : i tylko wtedy, gdy ker ϕ = {θ V } V W jest monomorfizmem wtedy Zadanie 4210 (zad 248, JR) Sprawdzić, że jeśli funkcja ϕ : V W jest przekształceniem liniowym i V = L(v 1,, v n ), to im ϕ = L(ϕ(v 1 ),, ϕ(v n )) Zadanie 4211 (zad 252, JR) Znaleźć po jednej bazie jądra i obrazu przekształcenia liniowego ϕ : R 3 R 4, którego wartość w dowolnym punkcie (x 1, x 2, x 3 ) R 3 jest równa: (a) (x 1 3x 2 5x 3, x 1 3x 2 5x 3, x 1 3x 2 5x 3, x 1 3x 2 5x 3 ), (b) (x 1 + 2x 2 + 4x 3, 3x 1 + x 2 + 7x 3, 2x 1 + 5x 2 + 9x 3, 6x 2 + 6x 3 ), (c) (x 1 x 2 + x 3, 2x 1 x 2 + 2x 3, 3x 1 x 2 + 4x 3, 4x 1 2x 2 )
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 24 Zadanie 4212 Wyznaczyć współrzędne wektora: (a) v = (1, 2, 0), (b) v = (0, 1, 2) w bazie B 2 = ((1, 3, 4), (0, 1, 2), (0, 0, 1)) Zadanie 4213 Niech ϕ : R 3 R 2, ψ : R 2 R 3 będą przekształceniami liniowymi danymi wzorami: ϕ ((x 1, x 2, x 3 )) = (4x 1 + 3x 2 + x 3, 5x 1 + 4x 2 + 2x 3 ), ψ ((x 1, x 2 )) = (3x 1 x 2, 5x 1 3x 2, 7x 1 5x 2 ) Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego ϕ, ψ, ϕ ψ, ψ ϕ Zadanie 4214 (zad 262, 263, JR) Niech ϕ będzie przekształceniem liniowym Wyznaczyć macierz M BC (ϕ), gdzie: (a) ϕ : R 2 R 2, ϕ((x 1, x 2 )) = (4x 1 x 2, 7x 1 3x 2 ), B = ((2, 1), (4, 7)), C = ((1, 1), (0, 1)), (b) ϕ : R 3 R 2, ϕ((x 1, x 2, x 3 )) = (x 1 + x 2, x 1 + 2x 2 x 3 ), B = ((1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)), C = ((1, 4), (1, 5)), (c) ϕ : R 3 R 3, ϕ((x 1, x 2, x 3 )) = (x 1 x 2 + x 3, x 1 + x 2 x 3, x 1 + x 2 + x 3 ), B = ((1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)), C = ((0, 1, 0), (1, 2, 0), (0, 0, 2)) Zadanie 4215 (zad 264, 265, JR) Niech ϕ będzie przekształceniem liniowym danym przez macierz M BC (ϕ) Znaleźć wzór: [ ] 1 3 (a) ϕ((x 1, x 2 )), gdzie ϕ : R 2 R 2, M BC (ϕ) =, B = C = ((1, 0), (0, 1)), 8 5 [ ] 7 8 (b) ϕ((x 1, x 2 )), gdzie ϕ : R 2 R 2, M BC (ϕ) =, B = ((5, 1), (11, 2)), C = ((1, 1), (4, 3)), 3 5 [ ] 2 3 0 (c) ϕ((x 1, x 2, x 3 )), gdzie ϕ : R 3 R 2, M BC (ϕ) =, B = ((5, 4, 2), (1, 1, 0), (2, 2, 1)), C = ((3, 1), (2, 1)) 5 7 3 Zadanie 4216 (zad 268, 269, JR) Niech ϕ : R 2 R 2 będzie przekształceniem liniowym Znaleźć bazę: [ ] 9 1 (a) C, gdy mamy dane: wzór przekształcenia ϕ((x 1, x 2 )) = (3x 1 + x 2, x 1 + 3x 2 ), macierz M BC (ϕ) = oraz 2 2 bazę B = ((5, 4), (3, 2)), [ ] 4 3 (b) B, gdy mamy dane: wzór przekształcenia ϕ((x 1, x 2 )) = (x 1 x 2, 4x 1 + x 2 ), macierz M BC (ϕ) = 1 1 oraz bazę C = (( 1, 6), (0, 5)) Zadanie 4217 (zad 281, JR) Na podstawie definicji znaleźć macierz przejścia od bazy B do bazy C przestrzeni wektorowej V, gdzie: (a) V = R 2, B = ((1, 1), (3, 2)), C = ((3, 4), (9, 8)), (b) V = R 2, B = ((7, 3), (9, 4)), C = ((1, 0), (16, 7)), (c) V = R 3, B = ((1, 0, 1), ( 2, 1, 2), (0, 1, 1)), C = ((1, 2, 0), (0, 1, 1), ( 1, 2, 1)) Zadanie 4218 (zad 282, 283, JR) Korzystając z Faktu 411, znaleźć macierz przejścia od bazy B do bazy C przestrzeni wektorowej V, gdzie: (a) V = R 2, B = ((4, 5), (7, 8)), C = ((7, 11), (1, 5)), (b) V = R 3, B = ((1, 2, 3), (1, 3, 4), (1, 5, 7)), C = ((2, 3, 4), (4, 4, 5), (6, 3, 4)), (c) V = R 3, B = ((5, 2, 4), (3, 1, 1), (5, 1, 2)), C = ((6, 5, 7), (9, 9, 8), (9, 8, 9)) Zadanie 4219 [ (zad ] 292, JR) Przekształcenie liniowe ϕ : R 3 R 2 dane jest przez macierz 4 3 5 M BC (ϕ) = Znaleźć macierz M 1 1 1 B C (ϕ), gdy: B = ((4, 5, 1), (1, 1, 1), (3, 0, 5)), C = ((4, 4), ( 4, 5)), B = ((6, 4, 5), (4, 1, 6), (5, 2, 7)), C = ((0, 1), (4, 3)) Zadanie 4220 (zad 296, JR) Wyznaczyć macierz M BC (ϕ) przekształcenia liniowego ϕ : R 3 R 2, gdzie: ϕ((x 1, x 2, x 3 )) = (4x 1 + x 2 3x 3, 7x 1 + 2x 2 5x 3 ), B = (( 2, 9, 0), (4, 0, 5), (0, 7, 2)), C = ((1, 4), (2, 7))