Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem różniczkowym: z warunkiem początkowym (0) = 0 Odgadnij rozwiąznia tego równania i sprawdź je (t) = a(t) () Zad 2 Załóż, że (t) w równaniu () oznacza ilość materiału radioaktywnego w chwili t Materiał scharakteryzowany jest czasem połowicznego rozpadu T 2 Jak parametr modelu a zależy od T? 2 Zad 3 Sprawdź, że rozwiązaniami równania drugiego rzędu: są: (t) = c(t), c > 0 (2) a) sin t b) cos t c) a sin t + b cos t d) sin ωt e) cos ωt f) a sin ωt + b cos ωt
W przykładach a), b), c) możesz przyjąć c = Zad 4 Pokaż, że sin(ωt + ϕ) jest również rozwiązaniem równania (2), ale sprowadza się do przypadku f) z zadania 3 Zad 5 Modelem oscylatora harmonicznego tłumionego jest równanie: (t) + µ m (t) + k m (t) = u(t), (3) m gdzie jest odchyleniem oscylatora od stanu równowagi, m masą oscylatora, k stałą sprężystości, µ współczynnikiem tłumienia, u - siłą przyłożoną do oscylatora (t) k m μ u(t) Jakie jest znaczenie wielkości (t)? Rozważ sytuację bez oporów ruchu, gdy oscylator po nadaniu pewnego odchylenia początkowego pozostaje bez oddziaływania z zewnątrz (czyli u(t) = 0(t)): (t) + k (t) = 0 (4) m Jak wówczas częstotliwość drgań oscylatora zależeć będzie od jego masy m oraz stałej sprężystości k? 2
Zad 6 Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e t 3t d) cos 5t e 3t e) (sin 3t t cos t) 2 f) e 2t sin t Zad 7 Wyznacz transmitancje obiektów dynamicznych opisanych równaniami różniczkowymi: a) y (t) + 3y (t) + 2y(t) = u (t) + u(t), b) y (t) + 2y(t) = u(t) Wyciągnij wnioski z otrzymanych rezultatów Zad 8 Układ liniowy ciągły na wymuszenie u(t) = (t) odpowiedział sygnałem y(t) = e t Wyznacz transmitancję tego układu Zad 9 Znajdź opis w postaci wektora stanu dla oscylatora harmonicznego, najpierw bez sygnału wejściowego, potem z uwzględnieniem wejścia Zad 0 Przebieg rakowacenia komórek tkanki można modelować następującym układem równań różniczkowych (dla zwiększenia czytelności formuł pominięto zależność od czasu zmiennych stanu pozostawiając ten szczegół domyślności Czytelnika): = a c + b 2 2 = a b 2 d 2 3 = c + d 2 gdzie: frakcja komórek wrażliwych na lek, 2 frakcja komórek tymczasowo odpornych, 3
3 frakcja komórek permanentnie odpornych Wykorzystaj fakt, że + 2 + 3 = aby zredukować model do 2 wymiarów, 3 Zapisz oba modele, oryginalny i zredukowany, za pomocą macierzy systemowej A: = A (5) Zad Sprawdź, że (t) = cos t 3 sin t, 2 (t) = 2 cos t sin t stanowią rozwiązanie układu równań różniczkowych opisanych macierzą systemową: A = 2, 0 = 2 Zad 2 Znajdź wartości i wektory własne macierzy: a) b) c) 2 2 2 2 3 3 d) e) f) 0 2 3 2 2 g) h) i) 3 0 0 0 Zad 3 Znajdź wartości i wektory własne macierzy, w których a > 0: a) b) 2 a 3 2 3 a c) d) 3 4 a 2 a 2a 3 e) z z 2, z z 3 z i, 0, } 4 4
Zad 4 Zbadaj stabilność stanów równowagi systemów o podanych opisach: a) = a b) = 2 2 = 2 d) = 2 = 2 2 + 2 3 3 = 3 2 2 3 = 2 = a + b 2 c) 2 = e) 2 = c + d 2 Zad 5 Zbadaj charakter stanów równowagi procesów liniowych opisanych podanymi macierzami systemowymi: a) b) 0 2 0 0 c) d) 3 2 2 3 2 2 e) f) Zad 6 Dany jest duwymiarowy liniowy proces opisany macierzą systemową a b A = c d Pokaż, że analizę stabilności tego procesu można przeprowadzić, korzystając jedynie ze śladu macierzy tr(a) i jej wyznacznika det(a) Zad 7 Wyznacz stany równowagi procesu liniowego: = A + c, (6) gdzie c jest wektorem stałych o odpowiednich wymiarach Następnie wprowadź oznaczenie w = i pokaż, że można za jego pomocą zredukować układ (6) do układu autonomicznego: w = Aw Jaki wniosek 5
można z tego wyniku wyciągnąć, mając na uwadze analizę stabilności systemów liniowych? Zad 8 Wyznacz liniowe przybliżenie funkcji y = f() = 2 wokół punktu pracy = 2 Rezultat zinterpretuj graficznie Zad 9 Znajdź liniowe przybliżenie układu poniższych dwóch funkcji wokół dowolnego punktu: f (, 2 ) = 2 f 2 (, 2 ) = 3 2 Zad 20 Zbadaj stabilność poniższego układu nieliniowego wokół jego stanu równowagi: = 2 2 = 3 2 Zad 2 Zbadaj stabilność nieliniowych systemów o podanych opisach: a) = 5 + 2 2 = 2 5 2 d) = ln 2 2 = ( 2 ) b) = 2 2 6 2 2 = 2 2 8 2 2 2 2 e) = y + y + a y = 2y y c) = e ( 2 ) 2 = 2 2 + 2 2 f) = a 2 + ay y = y, a 0 Zad 22 Zlinearyzuj względem początku układu współrzędnych następujące procesy: (t) = 3 2 (t) + (t) 2 (t) + 2 (t) 2 u 2 (t) a) 2(t) = 2 (t) + e 2(t) sin (t) + 2u(t) y(t) = (t) + u(t) 6
(t) = (t) sin 2 (t) + 2 (t)u(t) b) 2(t) = (t)e 2(t) + u 2 (t) y(t) = 2 (t) 2 (t) + 2 (t) 2 Następnie wyznacz wzór określający stany równowagi zlinearyzowanych procesów dla zadanych sterowań u(t) = u Zad 23 Znajdź model w postaci równania różniczkowego odwróconego wahadła umieszczonego na ruchomym wózku Opracuj jego opis w postaci wektora stanu Zlinearyzuj model wokół niestabilnego położenia równowagi Zad 24 Przeprowadź analizę stabilności układu Lotki-Volterry: = (a by) y = (c d) y Zad 25 Przeprowadź analizę stabilności układu Lorentza: = σ (y ) y = r y z z = y bz przy czym parametry σ, r, b są nieujemne Jak stabilność zależy od wartości parametru r? Dla jakich wartości r stany równowagi pokrywają się? Dla jakich wartości r występują oscylacje? Jeżeli na którymś etapie rozważań konieczne jest ustalenie konkretnych wartości parametrów σ i b, możesz przyjąć σ = 0, b = 8/3 Zad 26 Rozważ prosty proces dyskretny opisany równaniem: i+ = a i (7) Omów, jak zachowanie tego procesu zależy od warunku początkowego oraz od wartości parametru a, posługując się jedynie elementarnymy wiadomościami z matematyki 7
Zastanów się, w jaki sposób powyższe równanie może opisywać stan lokaty bankowej Jak w modelu uwzględniany jest czas kapitalizacji odsetek? Czy można za jego pomocą modelować lokatę z ciągłą kapitalizacją odsetek? Zad 27 Znajdź stan równowagi procesu opisanego równaniem różnicowym: i+ = a i ( i ) (8) oraz jego liniowego przybliżenia Porównaj rezultaty Zweryfikuj wyniki za pomocą symulacji komputerowej Zad 28 Wyznacz opis w postaci wektora stanu dla procesu: y i+3 2 y i+2 = y i+ + 2u i 3 y i 8
DODATEK Transformatą Laplace a nazywamy następujące przekształcenie: L f(t) F (s) 0 f(t)e st dt, gdzie s jest zmienną zespoloną Transformata Laplace a posiada następujące własności: L a f (t) + a 2 f 2 (t) = a F (s) + a 2 F (s), gdzie a, a 2 R 2 L f (n) (t) = s n F (s) s n f(0) s n 2 f (0) f (n ) (0) f (t) (t) F (s) s δ(t) sin at cos at t sin at t cos at a s 2 + a 2 s s 2 + a 2 2as (s 2 + a 2 ) 2 s 2 a 2 (s 2 + a 2 ) 2 f (t) F (s) e at s a e at b sin bt (s a) 2 + b 2 e at s a cos bt (s a) 2 + b 2 t n n!, n N s n+ at tn e n!, n N (s a) n+ Tablica : Tabela często używanych transformat Laplace a 9
Transmitancją liniowego procesu o zerowych warunkach początkowych nazywamy stosunek transformaty Laplace a wyjścia do transformaty Laplace a wejścia: K(s) Y (s) U(s) Opis w postaci wektora stanu ma formę układu: = F (, u) y = G (, u), gdzie u,, y to wektory o określonych wymiarach: = 2 R u u 2, u =, y = u S Funkcje F i G są funkcjami wektorowymi o postaciach: F (, u) = f (, u) f 2 (, u) f R (, u), G (, u) = y y 2 y L g (, u) g 2 (, u) g L (, u) W szczególnym przypadku, liniowy proces można opisać za pomocą układu: = A + Bu y = C + Du, gdzie A, B, C, D to macierze o odpowiednich wymiarach: A R R R, B R R S, C R L R, D R L S Metoda linearyzacji bazująca na rozwinięciu w szereg Taylora pozwala uzyskać dla opisu = F (, u) y = G (, u) 0
opis liniowy = A + B u y = C + D u, gdzie =, u = u u, y = y y = y G (, u ), będący jego przybliżeniem w otoczeniu wybranego punktu: u = R u Macierze wchodzące w skład przybliżenia liniowego mają postać: f f R A = F (, u) =,u=u = f R f R R B = u F (, u) =,u=u = C = G(, u) =,u=u = D = G(, u) =,u=u = u S f f u u S f R u f R u S g g R g L g L R g g u u S g L u g L u S =,u=u =,u=u =,u=u =,u=u Przyjmujemy, że stan równowagi procesu opisanego za pomocą wektora stanu to taki punkt, w którym = 0 (dla procesu ciągłego) lub n+ = n (dla procesu dyskretnego)
Analiza stabilności liniowych systemów autonomicznych Autonomiczny system liniowy o opisie = A ma stan równowagi w środku układu współrzędnych ( = 0) wtedy i tylko wtedy, gdy det A 0 Stan równowagi systemu dyskretnego o opisie n+ = A n spełnia warunek A = Jeżeli det A I 0, to system dyskretny ma dokładnie jeden stan równowagi, w przeciwnym razie tych stanów jest nieskończenie wiele Stan równowagi nazywamy stabilnym, jeżeli dla dowolnego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że każde rozwiązanie (t) dla stanu początkowego (0) leżącego w pobliżu, tj (0) < δ istnieje dla t > 0 i spełnia warunek (t) < ε Jeżeli dodatkowo lim t (t) = to stan równowagi nazywamy asymptotycznie stabilnym Definicja stabilności systemu dyskretnego jest analogiczna (po zmianie dziedziny czasu ciągłego na czas dyskretny) Stan równowagi = 0 autonomicznego systemu liniowego o opisie = A jest asymptotycznie stabilny, jeżeli wszystkie wartości własne macierzy A mają ujemne części rzeczywiste Stan równowagi autonomicznego systemu liniowego o opisie n+ = A n jest asymptotycznie stabilny, jeżeli moduły wszystkich wartości własnych macierzy A są mniejsze od 2
Piękne i przydatne wzory: sin = ei e i, cos = ei + e i 2i 2 e i = cos + i sin 3