Statystyka opisowa Miary statystycze: 1. miary położeia a) średia z próby x = 1 x = 1 x = 1 x i - szereg wyliczający x i i - szereg rozdzielczy puktowy x i i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x i - środek przedziału klasowego b) moda (domiata) - wartość ajczęstsza szereg wyliczający i szereg rozdzielczy puktowy: moda to wartość ajczęstsza, o ile ie jest to wartość skraja szereg rozdzielczy przedziałowy: Mo = x m + ( m m 1 ) h ( m m 1 ) + ( m m+1 ) gdzie x m - lewy koiec przedziału z modą (czyli przedziału o ajwiększej liczebości, ale różego od przedziału pierwszego i ostatiego), h - długość przedziału z modą, m - liczebość przedziału z modą, m 1 - liczebość przedziału poprzedzającego przedział z modą, m+1 - liczebość przedziału astępującego po przedziale z modą c) mediaa - wartość środkowa w uporządkowaej próbie szereg wyliczający i szereg rozdzielczy puktowy: x ( +1 Me = ), gdy jest ieparzyste ( ) 1 x ( ) + x ( +1), gdy jest parzyste tz. mediaa jest to środkowa liczba, gdy jest liczbą ieparzystą, albo średia arytmetycza dwóch środkowych liczb, gdy jest liczbą parzystą szereg rozdzielczy przedziałowy: Me = x Me + h ( ) k 1 Me i gdzie x Me - lewy koiec przedziału z mediaą, h - długość przedziału z mediaą, Me - liczebość przedziału z mediaą, k - umer przedziału zawierającego mediaę 1
d) kwartyle (doly Q 1 i góry Q 3 ) - wartości, które dzielą uporządkowaą próbę w stosuku 1:3 i 3:1 szereg rozdzielczy przedziałowy: Q 1 = x Q1 + h ( ) k 1 Q1 4 i Q 3 = x Q3 + h ( ) 3 k 1 Q3 4 i gdzie x Q1 - lewy koiec przedziału zawierającego Q 1, h - długość przedziału zawierającego Q 1, Q1 - liczebość przedziału zawierającego Q 1, k - umer przedziału zawierającego Q 1. miary rozproszeia (zmieości, rozrzutu) a) rozstęp R = x max x mi b) wariacja s = 1 (x i x) - szereg wyliczający s = 1 (x i x) i - szereg rozdzielczy puktowy s = 1 (x i x) i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x i - środek przedziału klasowego c) odchyleie stadardowe s = s typowy przedział zmieości (x s; x + s) d) odchyleie przecięte od średiej d 1 = 1 x i x - szereg wyliczający d 1 = 1 x i x i - szereg rozdzielczy puktowy d 1 = 1 x i x i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x i - środek przedziału klasowego e) odchyleie przecięte od mediay d = 1 x i Me - szereg wyliczający d = 1 x i Me i - szereg rozdzielczy puktowy d = 1 x i Me i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x i - środek przedziału klasowego
f) odchyleie ćwiartkowe g) współczyik zmieości h) współczyik ierówomierości 3. miary asymetrii a) wskaźik asymetrii Q = 1 (Q 3 Q 1 ) V = s x 100% H = d 1 x 100% W s = x Mo b) współczyik asymetrii A = M 3 s 3, gdzie M 3 = 1 M 3 = 1 M 3 = 1 (x i x) 3 - szereg wyliczający (x i x) 3 i - szereg rozdzielczy puktowy (x i x) 3 i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x i - środek przedziału klasowego 4. miary kocetracji a) współczyik skupieia (kurtoza) K = M 4 s 4, gdzie M 4 = 1 M 4 = 1 M 4 = 1 (x i x) 4 - szereg wyliczający (x i x) 4 i - szereg rozdzielczy puktowy (x i x) 4 i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x i - środek przedziału klasowego b) eksces q = K 3 3
Etapy tworzeia szeregu rozdzielczego przedziałowego: 1. wyzaczamy x max oraz x mi. wyzaczamy rozstęp z próby R = x max x mi 3. wyzaczamy ilość przedziałów klasowych K 4. wyzaczamy długość przedziału klasowego h, h R K jest to przybliżeie z admiarem, a więc h R K 5. wyzaczamy lewy koiec pierwszego przedziału klasowego a = x mi α, gdzie α jest dokładością pomiaru Reguły ustalaia liczby przedziałów klasowych: K = K = 1 + 3, 3 log K 5 log tabela liczba pomiarów liczba przedziałów klasowych K 30-60 6-8 60-100 7-10 100-00 9-1 00-500 11-17 500-1500 16-5 4
Estymacja przedziałowa 1. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ (a) MODEL I Badaa cecha ma rozkład ormaly N(µ, σ) o iezaym parametrze µ i zaym σ. Przedział ufości: µ [ ( x u 1 α ) σ ( ; x + u 1 α ) ] σ gdzie u(1 α ) jest kwatylem rzędu 1 α rozkładu ormalego N(0, 1); x, - to średia i liczebość próby. (b) MODEL II Badaa cecha ma rozkład ormaly N(µ, σ) o iezaych parametrach µ i σ. Przedział ufości: µ [ x t (1 α ), 1 s ; x + t (1 α ) ] 1, 1 s 1 gdzie t(1 α, 1) jest kwatylem rzędu 1 α rozkładu Studeta o 1 stopiach swobody; x, s, - to średia, odchyleie stadardowe i liczebość próby. (c) MODEL III Badaa cecha ma dowoly rozkład (iekoieczie ormaly), o iezaej wartości oczekiwaej µ i iezaym odchyleiu stadardowym σ, zaś liczebość próby jest duża ( 100). Przedział ufości: µ [ ( x u 1 α ) s ( ; x + u 1 α ) ] s gdzie u(1 α ) jest kwatylem rzędu 1 α rozkładu ormalego N(0, 1); x, s, - to średia, odchyleie stadardowe i liczebość próby. Jeśli σ jest parametrem zaym, to zamiast s wstawiamy σ.. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA WARIANCJI (a) MODEL I Badaa cecha ma rozkład ormaly N(µ, σ) o iezaych parametrach µ i σ, zaś próba jest mała ( 50). Przedział ufości: [ σ s χ ( 1 α, 1) ; s ] χ ( α, 1) gdzie χ ( 1 α, 1) i χ ( α, 1) są kwatylami rzędu 1 α i α (odpowiedio) rozkładu chi-kwadrat o 1 stopiach swobody; s, - to wariacja i liczebość próby. (b) MODEL II Badaa cecha ma rozkład ormaly N(µ, σ) o iezaych parametrach µ i σ, zaś próba jest duża ( > 50). Przedział ufości: σ s ( ) ; 3 + u(1 α ) 5 s ( 3 u(1 α ) )
gdzie u(1 α ) jest kwatylem rzędu 1 α rozkładu ormalego N(0, 1); s, - to wariacja i liczebość próby. 3. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA WSKAŹNIKA STRUKTURY Jeśli próba jest duża ( 100), to przedział ufości dla wskaźika struktury p jest postaci: ( p q u 1 α ) q(1 q) ( ; q + u 1 α ) q(1 q) gdzie q = m ; m jest liczbą elemetów w próbie, które posiadają badaą cechę; u(1 α ) jest kwatylem rzędu 1 α rozkładu ormalego N(0, 1). 6
Weryfikacja hipotez (Testy istotości) 1. WERYFIKACJA HIPOTEZ O ŚREDNIEJ Hipoteza zerowa MODEL I H 0 : µ = µ 0 Badaa cecha populacji ma rozkład ormaly N(µ, σ) o iezaym parametrze µ i zaym σ. Hipoteza alteratywa H 1 Zbiór krytyczy W H 1 : µ µ 0 W = (, u(1 α )] [ u(1 α ), ) H 1 : µ > µ 0 W = [u(1 α), ) H 1 : µ < µ 0 gdzie u(1 α ) i u(1 α) są kwatylami rzędu 1 α W = (, u(1 α)] gdzie x, - to średia i liczebość próby. U = x µ 0, σ i 1 α (odpowiedio) rozkładu N(0, 1). MODEL II Badaa cecha populacji ma rozkład ormaly N(µ, σ) o iezaych parametrach µ, σ. Hipoteza alteratywa H 1 Zbiór krytyczy W H 1 : µ µ 0 W = (, t(1 α, 1), ] [ t(1 α, 1), + ) H 1 : µ > µ 0 W = [t(1 α, 1), + ) H 1 : µ < µ 0 W = (, t(1 α, 1)] gdzie t(1 α, 1) i t(1 α, 1) są kwatylami rzędu 1 α i 1 α (odpowiedio) rozkładu Studeta o 1 stopiach swobody. t = x µ 0 1, s gdzie x, s, - to średia, odchyleie stadardowe i liczebość próby. MODEL III Badaa cecha populacji ma dowoly rozkład o iezaych parametrach µ i σ. Liczebość próby jest duża 100. Weryfikację hipotezy H 0 przeprowadzamy testem aalogiczym jak w MODELU I DLA ŚRED- NIEJ. Jako iezaą wartość σ przyjmuje się odchyleie stadardowe s wyzaczoe z próby. 7
. WERYFIKACJA HIPOTEZ O WARIANCJI Hipoteza zerowa MODEL I H 0 : σ = σ 0 Badaa cecha populacji ma rozkład ormaly N(µ, σ) o iezaych parametrach µ i σ. Liczebość próby jest mała < 50. Hipoteza alteratywa H 1 Zbiór krytyczy W H 1 : σ σ0 W = ( 0, χ ( α, 1)] [ χ (1 α, 1), + ) H 1 : σ > σ0 W = [ χ (1 α, 1), + ) H 1 : σ < σ0 W = ( 0, χ (α, 1) ] gdzie χ ( α, 1), χ (1 α, 1), χ (1 α, 1), χ (α, 1) są kwatylami rzędu α, 1 α, 1 α, α (odpowiedio) rozkładu chi-kwadrat o 1 stopiach swobody. gdzie s, - to wariacja i liczebość próby. χ = s σ0, MODEL II Badaa cecha populacji ma rozkład ormaly N(µ, σ) o iezaych parametrach µ i σ. Liczebość próby jest duża 50. Hipoteza alteratywa H 1 H 1 : σ σ0 H 1 : σ > σ0 H 1 : σ < σ0 Zbiór krytyczy W W = (, u(1 α ), ] [ u(1 α ), + ) W = [u(1 α), + ) W = (, u(1 α)] gdzie u(1 α ) i u(1 α) są kwatylami rzędu 1 α i 1 α (odpowiedio) rozkładu N(0, 1). U = s σ 0 3, gdzie s, - to wariacja i liczebość próby. 8
3. WERYFIKACJA HIPOTEZ O RÓWNOŚCI DWÓCH ŚREDNICH Hipoteza zerowa MODEL I H 0 : µ 1 = µ Badaa cecha ma w dwóch populacjach rozkłady ormale N(µ 1, σ 1 ) i N(µ, σ ) o iezaych parametrach µ 1 i µ i zaych parametrach σ 1 i σ. Hipoteza alteratywa H 1 Zbiór krytyczy W H 1 : µ 1 µ W = (, u(1 α )] [ u(1 α ), ) H 1 : µ 1 > µ W = [u(1 α), ) H 1 : µ 1 < µ gdzie u(1 α ) i u(1 α) są kwatylami rzędu 1 α W = (, u(1 α)] U = x 1 x, σ1 1 + σ gdzie x 1, x, 1, - to średie i liczebości pobraych prób. i 1 α (odpowiedio) rozkładu N(0, 1). MODELl II Badaa cecha ma w dwóch populacjach rozkłady ormale N(µ 1, σ 1 ) i N(µ, σ ) o iezaych, ale jedakowych parametrach σ 1 i σ tz. σ 1 = σ. Hipoteza alteratywa H 1 Zbiór krytyczy W H 1 : µ 1 µ W = (, t(1 α, 1 + ) ] [ t(1 α, 1 + ), + ) H 1 : µ 1 > µ W = [t(1 α, 1 + ), + ) H 1 : µ 1 < µ W = (, t(1 α, 1 + )] gdzie t(1 α, 1 + ) i t(1 α, 1 + ) są kwatylami rzędu 1 α i 1 α (odpowiedio) rozkładu Studeta o 1 + stopiach swobody. x 1 x t =, 1 s 1 + s 1 + 1+ 1 gdzie x 1, x, s 1, s, 1, - to średie, wariacje i liczebości pobraych prób. MODEL III Badaa cecha ma w dwóch populacjach rozkłady ormale N(µ 1, σ 1 ) i N(µ, σ ) o iezaych parametrach. Liczebości prób są duże 1 100 i 100. Weryfikację hipotezy H 0 przeprowadzamy testem aalogiczym jak w MODELU I RÓWNOŚCI DWÓCH ŚREDNICH. Jako iezae wartości σ1 i σ przyjmuje się wariacje s 1 i s wyzaczoe z prób. 9
4. WERYFIKACJA HIPOTEZ O WSKAŹNIKU STRUKTURY POPULACJI Hipoteza zerowa H 0 : p = p 0 Badaa cecha populacji ma rozkład dwupuktowy zero-jedykowy z iezaym parametrem p. Liczebość próby jest duża 100. Hipoteza alteratywa H 1 H 1 : p p 0 H 1 : p > p 0 H 1 : p < p 0 Zbiór krytyczy W W = (, u(1 α ), ] [ u(1 α ), + ) W = [u(1 α), + ) W = (, u(1 α)] gdzie u(1 α ) i u(1 α) są kwatylami rzędu 1 α U = m p 0 p0 (1 p 0 ), i 1 α (odpowiedio) rozkładu N(0, 1). gdzie m - liczba elemetów w próbie, które posiadają wyróżioą cechę, - liczebość próby. 5. WERYFIKACJA HIPOTEZ O RÓWNOŚCI WSKAŹNIKÓW STRUKTURY DWÓCH POPULACJI Hipoteza zerowa H 0 : p 1 = p Badaa cecha ma w dwóch populacjach rozkład dwupuktowy z iezaymi parametrami p 1, p (odpowiedio). Obie próby są o dużej liczebości 1 100 i 100. Hipoteza alteratywa H 1 H 1 : p 1 p H 1 : p 1 > p H 1 : p 1 < p Zbiór krytyczy W W = (, u(1 α )] [ u(1 α ), + ) W = [u(1 α), + ) W = (, u(1 α)] gdzie u(1 α ) i u(1 α) są kwatylami rzędu 1 α i 1 α (odpowiedio) rozkładu N(0, 1). U = p 1 p, gdzie p m 1 p (1 p 1 =, p = m, p = m 1 + m, = 1, ) 1 1 + 1 + m 1, m - liczby elemetów w próbach, które posiadają wyróżioą cechę. 10