ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW
|
|
- Mateusz Socha
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
2 Szkic wykładu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 2 3 4
3 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przedziałem ufności nazywamy przedział losowy, o którym przypuszczamy z zadanym prawdopodobieństwem, że zawiera nieznany parametr populacji.
4 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przedziałem ufności nazywamy przedział losowy, o którym przypuszczamy z zadanym prawdopodobieństwem, że zawiera nieznany parametr populacji. Parametrami populacji, których estymacja będziemy się zajmować sa: średnia, wariancja i frakcja.
5 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przedziałem ufności nazywamy przedział losowy, o którym przypuszczamy z zadanym prawdopodobieństwem, że zawiera nieznany parametr populacji. Parametrami populacji, których estymacja będziemy się zajmować sa: średnia, wariancja i frakcja. Z przedziałem ufności zwiazany jest poziom ufności 1 α, określajacy prawdopodobieństwo tego, że przedział ufności rzeczywiście zawiera interesujacy nas parametr.
6 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przedziałem ufności nazywamy przedział losowy, o którym przypuszczamy z zadanym prawdopodobieństwem, że zawiera nieznany parametr populacji. Parametrami populacji, których estymacja będziemy się zajmować sa: średnia, wariancja i frakcja. Z przedziałem ufności zwiazany jest poziom ufności 1 α, określajacy prawdopodobieństwo tego, że przedział ufności rzeczywiście zawiera interesujacy nas parametr. Krańce przedziału ufności wyznaczone na podstawie konkretnej realizacji próby losowej dostarczaja oceny przedziałowej nieznanego parametru.
7 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przedziałem ufności nazywamy przedział losowy, o którym przypuszczamy z zadanym prawdopodobieństwem, że zawiera nieznany parametr populacji. Parametrami populacji, których estymacja będziemy się zajmować sa: średnia, wariancja i frakcja. Z przedziałem ufności zwiazany jest poziom ufności 1 α, określajacy prawdopodobieństwo tego, że przedział ufności rzeczywiście zawiera interesujacy nas parametr. Krańce przedziału ufności wyznaczone na podstawie konkretnej realizacji próby losowej dostarczaja oceny przedziałowej nieznanego parametru. W przeciwieństwie do oceny przedziałowej, możliwa jest też ocena punktowa szukanego parametru.
8 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przykładowo, mówiac, że średnia w populacji oszacowana na podstawie próby wynosi 10, podajemy ocenę punktowa tego parametru.
9 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przykładowo, mówiac, że średnia w populacji oszacowana na podstawie próby wynosi 10, podajemy ocenę punktowa tego parametru. Ocena punktowa nie mówi jednak, jak dalece podana wartość odbiega od rzeczywistej średniej populacji. Z tego powodu, bardziej wskazana jest ocena przedziałowa.
10 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przykładowo, mówiac, że średnia w populacji oszacowana na podstawie próby wynosi 10, podajemy ocenę punktowa tego parametru. Ocena punktowa nie mówi jednak, jak dalece podana wartość odbiega od rzeczywistej średniej populacji. Z tego powodu, bardziej wskazana jest ocena przedziałowa. Przypuśćmy, że do estymacji wykorzystaliśmy przedział ufności skonstruowany dla zadanego 1 α. Np. 95-procentowy przedział [9, 11] informuje, że możemy mieć 95% ufności, iż w tym przedziale znajduje się średnia populacji.
11 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przykładowo, mówiac, że średnia w populacji oszacowana na podstawie próby wynosi 10, podajemy ocenę punktowa tego parametru. Ocena punktowa nie mówi jednak, jak dalece podana wartość odbiega od rzeczywistej średniej populacji. Z tego powodu, bardziej wskazana jest ocena przedziałowa. Przypuśćmy, że do estymacji wykorzystaliśmy przedział ufności skonstruowany dla zadanego 1 α. Np. 95-procentowy przedział [9, 11] informuje, że możemy mieć 95% ufności, iż w tym przedziale znajduje się średnia populacji. Estymacja przedziałowa dostarcza zatem więcej informacji o możliwej wartości parametru populacji, niż estymacja punktowa. Uwzględnia bowiem wielkość błędu estymacji dla zadanego poziomu ufności.
12 Przedział ufności dla średniej, gdy dysponujemy duża próba W wykładzie Podstawy wnioskowania część I wyznaczony był przedział ufności dla średniej µ cechy X w populacji w przypadku, gdy dysponujemy duża próba.
13 Przedział ufności dla średniej, gdy dysponujemy duża próba W wykładzie Podstawy wnioskowania część I wyznaczony był przedział ufności dla średniej µ cechy X w populacji w przypadku, gdy dysponujemy duża próba. Teoretycznie zakłada się tu, że liczebność próby daży do nieskończoności. W praktyce przyjmuje się, że próba powinna liczyć co najmniej 30 obserwacji, tj. n 30.
14 Przedział ufności dla średniej, gdy dysponujemy duża próba W wykładzie Podstawy wnioskowania część I wyznaczony był przedział ufności dla średniej µ cechy X w populacji w przypadku, gdy dysponujemy duża próba. Teoretycznie zakłada się tu, że liczebność próby daży do nieskończoności. W praktyce przyjmuje się, że próba powinna liczyć co najmniej 30 obserwacji, tj. n 30. Przy tym założeniu przedział ufności dla parametru µ, dla zadanego poziomu ufności 1 α, ma postać: [ ] σ σ X u α n ; X + uα n, gdzie u α jest kwantylem rzędu 1 α 2 rozkładu N(0, 1), σ jest odchyleniem standardowym cechy X w populacji.
15 Przedział ufności dla średniej, gdy dysponujemy duża próba W wykładzie Podstawy wnioskowania część I wyznaczony był przedział ufności dla średniej µ cechy X w populacji w przypadku, gdy dysponujemy duża próba. Teoretycznie zakłada się tu, że liczebność próby daży do nieskończoności. W praktyce przyjmuje się, że próba powinna liczyć co najmniej 30 obserwacji, tj. n 30. Przy tym założeniu przedział ufności dla parametru µ, dla zadanego poziomu ufności 1 α, ma postać: [ ] σ σ X u α n ; X + uα n, gdzie u α jest kwantylem rzędu 1 α 2 rozkładu N(0, 1), σ jest odchyleniem standardowym cechy X w populacji. Jeśli nie znamy parametru σ, zastępujemy go odchyleniem standardowym S z próby.
16 Fragment tablicy rozkładu normalnego standaryzowanego
17 Przykład 1 Wprowadzenie W pewnym hipermarkecie przeprowadzono badanie maja- ce na celu oszacowanie średniego, dziennego zapotrzebowania na mleko (w dniach roboczych). Zbadano wielkość sprzedaży w ciagu 50 losowo wybranych dni roboczych, otrzymujac średnia dzienna sprzedaż równa 100 litrów, przy odchyleniu standardowym 15 litrów.
18 Przykład 1 Wprowadzenie W pewnym hipermarkecie przeprowadzono badanie maja- ce na celu oszacowanie średniego, dziennego zapotrzebowania na mleko (w dniach roboczych). Zbadano wielkość sprzedaży w ciagu 50 losowo wybranych dni roboczych, otrzymujac średnia dzienna sprzedaż równa 100 litrów, przy odchyleniu standardowym 15 litrów. Oszacować przedziałowo średnia, dzienna sprzedaż mleka w tym hipermarkecie, przyjmujac poziom ufności 0, 95.
19 Przykład 1 Wprowadzenie W pewnym hipermarkecie przeprowadzono badanie maja- ce na celu oszacowanie średniego, dziennego zapotrzebowania na mleko (w dniach roboczych). Zbadano wielkość sprzedaży w ciagu 50 losowo wybranych dni roboczych, otrzymujac średnia dzienna sprzedaż równa 100 litrów, przy odchyleniu standardowym 15 litrów. Oszacować przedziałowo średnia, dzienna sprzedaż mleka w tym hipermarkecie, przyjmujac poziom ufności 0, 95. Rozwiazanie. Kwantyl u α rzędu 1 α 2 = 0, 975 rozkładu N(0, 1) wynosi 1, 96 - zob. poprzedni slajd. Podstawiajac dane z próby do wzoru na przedział ufności: [ 100 1, ; , ], otrzymujemy ocenę przedziałowa: [96 (l); 104 (l)].
20 Przedział ufności dla średniej, gdy cecha ma rozkład normalny Istnieje jeszcze inna formuła określajaca przedział ufności dla średniej µ badanej cechy w populacji, wyprowadzona przy pewnych założeniach dotyczacych tej cechy.
21 Przedział ufności dla średniej, gdy cecha ma rozkład normalny Istnieje jeszcze inna formuła określajaca przedział ufności dla średniej µ badanej cechy w populacji, wyprowadzona przy pewnych założeniach dotyczacych tej cechy. Załóżmy, że badana cecha ma rozkład normalny (czego nie wymagaliśmy w przypadku poprzedniego modelu) oraz nie znamy odchylenia standardowego σ tej cechy.
22 Przedział ufności dla średniej, gdy cecha ma rozkład normalny Istnieje jeszcze inna formuła określajaca przedział ufności dla średniej µ badanej cechy w populacji, wyprowadzona przy pewnych założeniach dotyczacych tej cechy. Załóżmy, że badana cecha ma rozkład normalny (czego nie wymagaliśmy w przypadku poprzedniego modelu) oraz nie znamy odchylenia standardowego σ tej cechy. Przy tych założeniach niezależnie od liczebności n próby losowej przedział ufności dla średniej µ określony dla zadanego poziomu ufności 1 α ma postać: [ ] S S X t α ; X + tα, n 1 n 1 gdzie t α oznacza kwantyl rzędu 1 α 2 rozkładu Studenta o k = n 1 stopniach swobody (wielkości t α sa stablicowane zob. następny slajd).
23 Fragment tablicy kwantyli rozkładu Studenta
24 Przykład 2 Wprowadzenie Kierownictwo banku chce oszacować średni czas obsługi klienta przy pewnym okienku kasowym. Na podstawie czasu obsługi dla 20 losowo wybranych klientów, stwierdzono, że średni czas obsługi przy tym okienku wynosi 15 min, przy odchyleniu standardowym 5 min. Wiadomo dodatkowo, że czas obsługi jest zmienna losowa o rozkładzie normalnym.
25 Przykład 2 Wprowadzenie Kierownictwo banku chce oszacować średni czas obsługi klienta przy pewnym okienku kasowym. Na podstawie czasu obsługi dla 20 losowo wybranych klientów, stwierdzono, że średni czas obsługi przy tym okienku wynosi 15 min, przy odchyleniu standardowym 5 min. Wiadomo dodatkowo, że czas obsługi jest zmienna losowa o rozkładzie normalnym. Oszacować przedziałowo średni czas obsługi klientów, przyjmujac poziom ufności 0, 98.
26 Przykład 2 Wprowadzenie Kierownictwo banku chce oszacować średni czas obsługi klienta przy pewnym okienku kasowym. Na podstawie czasu obsługi dla 20 losowo wybranych klientów, stwierdzono, że średni czas obsługi przy tym okienku wynosi 15 min, przy odchyleniu standardowym 5 min. Wiadomo dodatkowo, że czas obsługi jest zmienna losowa o rozkładzie normalnym. Oszacować przedziałowo średni czas obsługi klientów, przyjmujac poziom ufności 0, 98. Rozwiazanie. Kwantyl t α z rozkładu Studenta o 19 stopniach swobody wynosi 2, zob.poprzedni slajd. Stad: [ 15 2, ; , ] Otrzymaliśmy ocenę przedziałowa: [12, 1(min); 17, 9(min)].
27 Załóżmy, że badana cecha X przyjmuje tylko dwie wartości (warianty). Taka cechę określa się często mianem cechy dychotomicznej. Typowym przykładem jest płeć.
28 Załóżmy, że badana cecha X przyjmuje tylko dwie wartości (warianty). Taka cechę określa się często mianem cechy dychotomicznej. Typowym przykładem jest płeć. Przypuśćmy, że interesuje nas jeden z dwóch wariantów cechy X. Niech p oznacza udział elementów populacji posiadajacych wybrany wariant cechy, np. udział kobiet w pewnej zbiorowości osób.
29 Załóżmy, że badana cecha X przyjmuje tylko dwie wartości (warianty). Taka cechę określa się często mianem cechy dychotomicznej. Typowym przykładem jest płeć. Przypuśćmy, że interesuje nas jeden z dwóch wariantów cechy X. Niech p oznacza udział elementów populacji posiadajacych wybrany wariant cechy, np. udział kobiet w pewnej zbiorowości osób. Parametr p określa się mianem frakcji elementów wyróżnionych (w skrócie frakcji lub wskaźnika struktury).
30 Załóżmy, że badana cecha X przyjmuje tylko dwie wartości (warianty). Taka cechę określa się często mianem cechy dychotomicznej. Typowym przykładem jest płeć. Przypuśćmy, że interesuje nas jeden z dwóch wariantów cechy X. Niech p oznacza udział elementów populacji posiadajacych wybrany wariant cechy, np. udział kobiet w pewnej zbiorowości osób. Parametr p określa się mianem frakcji elementów wyróżnionych (w skrócie frakcji lub wskaźnika struktury). Przyporzadkujmy elementom populacji posiadajacym wybrany wariant cechy X wartość 1, natomiast pozostałym elementom wartość 0.
31 Załóżmy, że badana cecha X przyjmuje tylko dwie wartości (warianty). Taka cechę określa się często mianem cechy dychotomicznej. Typowym przykładem jest płeć. Przypuśćmy, że interesuje nas jeden z dwóch wariantów cechy X. Niech p oznacza udział elementów populacji posiadajacych wybrany wariant cechy, np. udział kobiet w pewnej zbiorowości osób. Parametr p określa się mianem frakcji elementów wyróżnionych (w skrócie frakcji lub wskaźnika struktury). Przyporzadkujmy elementom populacji posiadajacym wybrany wariant cechy X wartość 1, natomiast pozostałym elementom wartość 0. W ten sposób zdefiniowaliśmy zmienna losowa o rozkładzie zero-jedynkowym z parametrem p.
32 Zauważymy, że parametr p równy jest też średniej arytmetycznej z zer i jedynek, składajacych się na tak określona zbiorowość.
33 Zauważymy, że parametr p równy jest też średniej arytmetycznej z zer i jedynek, składajacych się na tak określona zbiorowość. Np. w zbiorowości liczacej 10 elementów możemy otrzymać następujacy ciag zer i jedynek: 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0 Liczba m jedynek w tym ciagu wynosi: m = 6, co daje udział jedynek równy: m n = 6 10 = 0, 6.
34 Zauważymy, że parametr p równy jest też średniej arytmetycznej z zer i jedynek, składajacych się na tak określona zbiorowość. Np. w zbiorowości liczacej 10 elementów możemy otrzymać następujacy ciag zer i jedynek: 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0 Liczba m jedynek w tym ciagu wynosi: m = 6, co daje udział jedynek równy: m n = 6 10 = 0, 6. Łatwo sprawdzić, że m n jest średni a arytmetyczna z podanego zbioru liczb, natomiast iloczyn m ( ) n 1 m n równy jest wariancji w tym zbiorze.
35 Zagadnienie estymacji przedziałowej parametru p można więc sprowadzić do zagadnienia estymacji średniej w populacji. Korzysta się tu z tw. granicznych. Warunkiem jest więc dysponowanie dostatecznie duża próba (n 100).
36 Zagadnienie estymacji przedziałowej parametru p można więc sprowadzić do zagadnienia estymacji średniej w populacji. Korzysta się tu z tw. granicznych. Warunkiem jest więc dysponowanie dostatecznie duża próba (n 100). Przyjmujac p jako odpowiednik średniej w populacji, m n ( jako odpowiednik ) średniej arytmetycznej z próby oraz m n 1 m n jako odpowiednik wariancji S 2 z próby, otrzymujemy następujacy przedział ufności dla frakcji p: m ( ) ( ) m n u n 1 m m n m α ; n n + u n 1 m n α, n gdzie u α jest kwantylem rzędu 1 α 2 rozkładu normalnego standaryzowanego N(0, 1) zob. następny slajd.
37 Fragment tablicy rozkładu normalnego standaryzowanego
38 Przykład 3 Wprowadzenie Producent nowego leku interesuje się, dla jakiej części chorych pacjentów jest on skuteczny. W tym celu zbadano losowa próbę 150 pacjentów, którym podano nowy lek, stwierdzajac, że w 110 przypadkach wyleczył z choroby.
39 Przykład 3 Wprowadzenie Producent nowego leku interesuje się, dla jakiej części chorych pacjentów jest on skuteczny. W tym celu zbadano losowa próbę 150 pacjentów, którym podano nowy lek, stwierdzajac, że w 110 przypadkach wyleczył z choroby. Oszacować przedziałowo odsetek chorych, którzy zostaliby skutecznie wyleczeni tym lekiem, przyjmujac 1 α = 0, 9.
40 Przykład 3 Wprowadzenie Producent nowego leku interesuje się, dla jakiej części chorych pacjentów jest on skuteczny. W tym celu zbadano losowa próbę 150 pacjentów, którym podano nowy lek, stwierdzajac, że w 110 przypadkach wyleczył z choroby. Oszacować przedziałowo odsetek chorych, którzy zostaliby skutecznie wyleczeni tym lekiem, przyjmujac 1 α = 0, 9. Rozwiazanie. Kwantyl u α rzędu 1 α 2 = 0, 95 rozkładu N(0, 1) wynosi 1, 64 (poprzedni slajd). Mamy więc: 110 ( ) ( ) , 64 ; + 1, 64, co daje ocenę przedziałowa: [0, 67; 0, 79] lub [67%; 79%].
41 W wielu sytuacjach interesuje nas szczególnie wariancja zjawiska σ 2 (względnie odchylenie standardowe σ), np. w procesach produkcyjnych, gdy kontroli podlega stabilność procesu.
42 W wielu sytuacjach interesuje nas szczególnie wariancja zjawiska σ 2 (względnie odchylenie standardowe σ), np. w procesach produkcyjnych, gdy kontroli podlega stabilność procesu. W celu wyznaczenia przedziału ufności dla wariancji korzysta się z następujacego twierdzenia.
43 W wielu sytuacjach interesuje nas szczególnie wariancja zjawiska σ 2 (względnie odchylenie standardowe σ), np. w procesach produkcyjnych, gdy kontroli podlega stabilność procesu. W celu wyznaczenia przedziału ufności dla wariancji korzysta się z następujacego twierdzenia. Jeśli próba prosta X 1,...,X n pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym N(µ, σ), to zmienna losowa Z= ns2 σ 2 ma rozkład chi-kwadrat o k = n 1 stopniach swobody.
44 W wielu sytuacjach interesuje nas szczególnie wariancja zjawiska σ 2 (względnie odchylenie standardowe σ), np. w procesach produkcyjnych, gdy kontroli podlega stabilność procesu. W celu wyznaczenia przedziału ufności dla wariancji korzysta się z następujacego twierdzenia. Jeśli próba prosta X 1,...,X n pochodzi z populacji o rozkładzie normalnym N(µ, σ), to zmienna losowa Z= ns2 σ 2 ma rozkład chi-kwadrat o k = n 1 stopniach swobody. W zapisie ns2 symbol S 2 oznacza wariancję z próby, czyli σ 2 zmienna losowa postaci: S 2 = 1 n ( Xi n X ) 2. i=1
45 Niech c 1 oraz c 2 oznaczaja kwantyle rzędu odpowiednio α 2 i 1 α 2 rozkładu chi-kwadrat o k = n 1 stopniach swobody (por. następne slajdy).
46 Niech c 1 oraz c 2 oznaczaja kwantyle rzędu odpowiednio α 2 i 1 α 2 rozkładu chi-kwadrat o k = n 1 stopniach swobody (por. następne slajdy). Dla zadanego poziomu ufności 1 α zachodzi równość: P (c 1 Z c 2 ) = 1 α, gdzie Z oznacza zmienna losowa o rozkładzie chi-kwadrat o k = n 1 stopniach swobody.
47 Niech c 1 oraz c 2 oznaczaja kwantyle rzędu odpowiednio α 2 i 1 α 2 rozkładu chi-kwadrat o k = n 1 stopniach swobody (por. następne slajdy). Dla zadanego poziomu ufności 1 α zachodzi równość: P (c 1 Z c 2 ) = 1 α, gdzie Z oznacza zmienna losowa o rozkładzie chi-kwadrat o k = n 1 stopniach swobody. Podstawiamy w miejsce Z wyrażenie ns2. Po prostych σ 2 przekształceniach otrzymujemy: P ( ns 2 c 2 σ 2 ns2 c 1 ) = 1 α.
48 Niech c 1 oraz c 2 oznaczaja kwantyle rzędu odpowiednio α 2 i 1 α 2 rozkładu chi-kwadrat o k = n 1 stopniach swobody (por. następne slajdy). Dla zadanego poziomu ufności 1 α zachodzi równość: P (c 1 Z c 2 ) = 1 α, gdzie Z oznacza zmienna losowa o rozkładzie chi-kwadrat o k = n 1 stopniach swobody. Podstawiamy w miejsce Z wyrażenie ns2. Po prostych σ 2 przekształceniach otrzymujemy: ( ns 2 ) P c 2 σ 2 ns2 c 1 = 1 α. Stad przedział ufności dla wariancji σ 2 ma postać: [ ns 2 ns 2 ] ;. c 2 c 1
49 Fragment tablicy kwantyli rozkładu chi-kwadrat
50 Fragment tablicy kwantyli rozkładu chi-kwadrat c.d. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Agnieszka Low Resolution Rossa
51 Przykład 4 Wprowadzenie Wróćmy do przykładu 2. Czas obsługi przy okienku kasowym nie powinien mieć dużej wariancji. W przeciwnym przypadku kolejka ma tendencję do rozrastania się.
52 Przykład 4 Wprowadzenie Wróćmy do przykładu 2. Czas obsługi przy okienku kasowym nie powinien mieć dużej wariancji. W przeciwnym przypadku kolejka ma tendencję do rozrastania się. Korzystajac z informacji zawartych w przykładzie 2, oszacować przedziałowo wariancję czasu obsługi klientów przy okienku kasowym, przyjmujac 1 α = 0, 9.
53 Przykład 4 Wprowadzenie Wróćmy do przykładu 2. Czas obsługi przy okienku kasowym nie powinien mieć dużej wariancji. W przeciwnym przypadku kolejka ma tendencję do rozrastania się. Korzystajac z informacji zawartych w przykładzie 2, oszacować przedziałowo wariancję czasu obsługi klientów przy okienku kasowym, przyjmujac 1 α = 0, 9. Rozwiazanie. Kwantyle c 1 i c 2 rozkładu chi-kwadrat o 19 stopniach swobody sa równe c 1 = 10, 117, c 2 = 30, 144 (por. poprzednie slajdy). Mamy: [ , 144 ; ]. 10, 117 co daje ocenę przedziałowa wariancji: [ 16, 6(min) 2 ; 49, 4(min) 2].
Estymacja parametrów rozkładu cechy
Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH Szkic wykładu 1 Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona 2 Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład
Bardziej szczegółowoPODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść I
PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO czȩść I Szkic wykładu 1 Przykład wprowadzajacy 2 Prawo wielkich liczb Bernoulliego i centralne tw. graniczne 3 4 Przykład wprowadzajacy W Polsce różne głosowania odbywaja
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoEstymacja punktowa i przedziałowa
Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora
Bardziej szczegółowo1 Estymacja przedziałowa
1 Estymacja przedziałowa 1. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ (a) MODEL I Badana cecha ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanym parametrze µ i znanym σ. Przedział ufności: [ ( µ x u 1 α ) ( σn ; x + u 1 α
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowo1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.
LABORATORIUM 4 1. Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz. I) WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE (STATISTICAL INFERENCE) Populacja
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowo1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, tzn. F (x) = P [X < x]. 1. dla zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II
WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowoZad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:
Zadania ze statystyki cz. 7. Zad.1 Z populacji wyłoniono próbę wielkości 64 jednostek. Średnia arytmetyczna wartość cechy wyniosła 110, zaś odchylenie standardowe 16. Należy wyznaczyć przedział ufności
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoBłędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa. Przedział ufności
Estymacja przedziałowa Przedział ufności Estymacja przedziałowa jest to szacowanie wartości danego parametru populacji, ρ za pomocą tak zwanego przedziału ufności. Przedziałem ufności nazywamy taki przedział
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych
Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
22 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2
LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2 TEORIA ESTYMACJI I 1. ODRZUCANIE WYNIKÓW WĄTPLIWYCH PRÓBA P (m) (m-elementowa) Obliczenie: ; s bez wyników wątpliwych Odrzucenie wyników z poza przedziału: 3s PRÓBA LOSOWA
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne Teoria estymacji Jędrzej Potoniec Bibliografia Bibliografia Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) (X 1, X 2,..., X n ) Próba losowa (x 1, x 2,...,
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych
Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoZadanie 1 Odp. Zadanie 2 Odp. Zadanie 3 Odp. Zadanie 4 Odp. Zadanie 5 Odp.
Zadanie 1 budżet na najbliższe święta. Podać 96% przedział ufności dla średniej przewidywanego budżetu świątecznego jeśli otrzymano średnią z próby równą 600 zł, odchylenie standardowe z próby równe 30
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoEstymacja parametro w 1
Estymacja parametro w 1 1 Estymacja punktowa: średniej, odchylenia standardowego i frakcji µ - średnia populacji h średnia z próby jest estymatorem średniej populacji = - standardowy błąd estymacji średniej
Bardziej szczegółowoStatystyka w przykładach
w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich
Bardziej szczegółowo... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 8 Magdalena Alama-Bućko 7 maja 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 7 maja 2018 1 / 19 Przypomnijmy najpierw omówione na poprzednim wykładzie postaci przedziałów
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoIV WYKŁAD STATYSTYKA. 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
IV WYKŁAD STATYSTYKA 26/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 4 Populacja generalna, próba, losowanie próby, estymatory Statystyka (populacja generalna, populacja próbna, próbka mała, próbka duża, reprezentatywność,
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 13. Elementy statystki matematycznej I Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 17.01.2019 1 / 30 Zagadnienia statystki Przeprowadzamy
Bardziej szczegółowoStatystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28
Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowo166 Wstęp do statystyki matematycznej
166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.
Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności
Statystyka matematyczna. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich w dwóch populacjach 2 3 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich
Bardziej szczegółowoPrzedziały ufności. Poziom istotności = α (zwykle 0.05) Poziom ufności = 1 α Przedział ufności dla parametru μ = taki przedział [a,b], dla którego
Przedziały ufności Poziom istotności = α (zwykle 0.05) Poziom ufności = 1 α Przedział ufności dla parametru μ = taki przedział [a,b], dla którego czyli P( μ [a,b] ) = 1 α P( μ < a ) = α/2 P( μ > b ) =
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby. Statystyka
Rozkłady statystyk z próby tatystyka Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających ten
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoWłasności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4
Własności statystyczne regresji liniowej Wykład 4 Plan Własności zmiennych losowych Normalna regresja liniowa Własności regresji liniowej Literatura B. Hansen (2017+) Econometrics, Rozdział 5 Własności
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
Bardziej szczegółowoPobieranie prób i rozkład z próby
Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.
Bardziej szczegółowoRozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26
Rozkład normalny Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.6
Zadania ze statystyki, cz.6 Zad.1 Proszę wskazać, jaką część pola pod krzywą normalną wyznaczają wartości Z rozkładu dystrybuanty rozkładu normalnego: - Z > 1,25 - Z > 2,23 - Z < -1,23 - Z > -1,16 - Z
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Temat Testowanie hipotez statystycznych Kody znaków: Ŝółte wyróŝnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Idea i pojęcia teorii testowania hipotez
Bardziej szczegółowoDefinicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego
Rozdział 1 Statystyki Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego X = (X 1,..., X n ). Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową
Bardziej szczegółowoWykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną war
Wykład 5 Estymatory nieobciążone z jednostajnie minimalną wariancją Wrocław, 25 października 2017r Statystyki próbkowe - Przypomnienie Niech X = (X 1, X 2,... X n ) będzie n elementowym wektorem losowym.
Bardziej szczegółowoDokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby
Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,
Bardziej szczegółowo), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0
Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów w modelu normalnym
Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia
Bardziej szczegółowoWykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu
Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA
Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
Bardziej szczegółowoZmienna bazowa. 100(1 α)% przedział ufności dla µ: 100(α)% test hipotezy dla µ = µ 0; odrzucić, jeżeli Ȳ nie jest w przedziale
Wprowadzenie Wprowadzenie Wnioskowanie podsumowanie Zdefiniuj populację, która będzie przedmiotem badań Zbierz parametry, które będą przedmiotem wnioskowania Wybierz losową próbę z populacji Przeprowadź
Bardziej szczegółowoKARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański
KARTA KURSU (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Nazwa Statystyka 2 Nazwa w j. ang. Statistics 2 Kod Punktacja ECTS* 3 Koordynator Dr hab. Tadeusz Sozański (koordynator, konwersatorium) Zespół
Bardziej szczegółowoZaliczenie. Ćwiczenia (zaliczenie = min. 15 punktów)
Zaliczenie Ćwiczenia (zaliczenie = min. 15 punktów) Kolokwium (8/10 czerwca) = maks. 30 punktów Dwa zadania z listy pod linkiem = maks. 1 punkt http://www.fuw.edu.pl/~prozanski/ws/upload/20150415-zadania.php
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Bardziej szczegółowoRozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli
Bardziej szczegółowoWstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh, Katedra Elektroniki, WIET AGH Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoZawartość. Zawartość
Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.05 2011 Zawartość Zawartość 1. Rozkład normalny... 3 2. Rozkład normalny standardowy... 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami
Bardziej szczegółowoNa podstawie dokonanych obserwacji:
PODSTAWOWE PROBLEMY STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ Niech mamy próbkę X 1,..., X n oraz przestrzeń prób X n, i niech {X i } to niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie P θ P. Na podstawie obserwacji chcemy
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych
Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA FRAKCJI. Ryszard Zieliński. XXXVIII Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane Kościelisko 8-15 września 2009
Ryszard Zieliński XXXVIII Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane Kościelisko 8-15 września 2009 ESTYMACJA FRAKCJI W populacji składającej się z N elementów jest nieznana liczba M elementów
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoStatystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )
Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie
Wrocław University of Technology Testowanie hipotez statystycznych. Wprowadzenie Jakub Tomczak Politechnika Wrocławska jakub.tomczak@pwr.edu.pl 10.04.2014 Pojęcia wstępne Populacja (statystyczna) zbiór,
Bardziej szczegółowoJeśli powyższy opis nie jest zrozumiały należy powtórzyć zagadnienie standaryzacji zanim przejdzie się dalej!
CO POWINNIŚMY WIEDZIEĆ (I ROZUMIEĆ) ZABIERAJĄC SIĘ DO CZYTANIA 1. Jeśli mamy wynik (np. z kolokwium) podany w wartościach standaryzowanych (np.: z=0,8) to wiemy, że aby ustalić jaki był wynik przed standaryzacją
Bardziej szczegółowoStatystyka. #6 Analiza wariancji. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2015/ / 14
Statystyka #6 Analiza wariancji Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2015/2016 1 / 14 Analiza wariancji 2 / 14 Analiza wariancji Analiza wariancji jest techniką badania wyników,
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowoTeoria Estymacji. Do Powyżej
Teoria Estymacji Zad.1. W pewnym przedsiębiorstwie wylosowano niezależnie próbę 25 pracowników. Staż pracy (w latach) tych pracowników w 1996 roku był następujący: 37; 34; 0*; 5; 17; 17; 0*; 2; 24; 33;
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych cd.
Temat Testowanie hipotez statystycznych cd. Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Przykłady testowania hipotez dotyczących:
Bardziej szczegółowoStatystyka dla doktorantów: Estymacja przedziałowa. Przemysław Borys Wydział Chemiczny Politechniki Śląskiej
Statystyka dla doktorantów: Estymacja przedziałowa Przemysław Borys Wydział Chemiczny Politechniki Śląskiej Ogólna idea W estymacji punktowej z próby statystycznej uzyskujemy pewne oszacowania parametrów,
Bardziej szczegółowoWykład 3 Hipotezy statystyczne
Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski Metody analizy danych ćwiczenia Estymacja przedziałowa Program ćwiczeń obejmuje następująca zadania: 1. Dom handlowy prowadzący
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 9 i 10 Magdalena Alama-Bućko 14 i 21 maja 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 14 i 21 maja 2018 1 / 25 Hipotezy statystyczne Hipoteza statystyczna nazywamy
Bardziej szczegółowoVII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
VII WYKŁAD STATYSTYKA 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 7 (c.d) WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności,
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25
Testowanie hipotez Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Aby porównać ze sobą dwie statystyki z próby stosuje się testy istotności. Mówią one o tym czy uzyskane
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Bardziej szczegółowoTESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy.
TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Hipotezą statystyczną nazywamy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu interesującej nas cechy. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Zajmiemy
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem
Bardziej szczegółowoUwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości
TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu, z którego pochodzi próbka. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Parametrycznymi
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowo