Badanie zgodności z określonym rozkładem. F jest dowolnym rozkładem prawdopodobieństwa. Test chi kwadrat zgodności. F jest rozkładem ciągłym

Transkrypt

1 Badanie zgodności z określonym rozkładem H 0 : Cecha X ma rozkład F F jest dowolnym rozkładem prawdopodobieństwa Test chi kwadrat zgodności F jest rozkładem ciągłym Test Kołmogorowa F jest rozkładem normalnym Test Shapiro Wilka W Z Statystyka 9.1

2 Test Chi kwadrat zgodności (poziom istotności α) Statystyka testowa Klasa Liczebność 1 n 1 2 n 2.. k n k χ 2 emp = k i=1 (n i n t i )2 n t i n t i = Np t i, N = k n i, i=1 p t i = P F {X przyjęła wartość z klasy i} Wartość krytyczna χ 2 (α; k u 1) (u jest liczbą nieznanych parametrów hipotetycznego rozkładu F ) Wniosek. Jeżeli χ 2 emp > χ 2 (α; k u 1), to hipotezę H 0 odrzucamy W Z Statystyka 9.2

3 Przykład. Pracodawca przypuszcza, że liczba pracowników nieobecnych w różne dni tygodnia nie jest taka sama. W tym celu w ciągu pewengo okresu czasu zebrał następujące dane Dzień n i Poniedziałek 200 Wtorek 160 Środa 140 Czwartek 140 Piątek 100 Populacja: Cecha X: dzień nieobecności pracownika Założenie: cecha przyjmuje wartości będące nazwami dni tygodnia (cecha jakościowa) W Z Statystyka 9.3

4 Formalizacja: Liczbę pracowników nieobecnych w kolejne dni tygodnia można przedstawić jako odesetek załogi. Odsetki te można interpretować jako prawdopodobieństwo nieobecności pracownika w danym dniu tygodnia. Jeżeli ilość pracowników nieobecnych w kolejne dni tygodnia jest mniej więcej taka sama, to można ten fakt sformalizować jako identyczne prawdopodobieństwo nieobecności pracownika w poszczególne dni tygodnia. Tak więc, weryfikowana będzie hipoteza H 0 : X ma rozkład Pon Wtk Śro Czw Ptk 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 Technika statystyczna: test chi kwadrat zgodności poziom istotności α = 0.05 W Z Statystyka 9.4

5 Obliczenia Dzień n i p t i n t i (n i n t i )2 /n t i Poniedziałek 200 1/5 148 Wtorek 160 1/5 148 Środa 140 1/5 148 Czwartek 140 1/5 148 Piątek 100 1/5 148 ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = χ 2 emp = Wartość krytyczna χ 2 (α; k u 1) = χ 2 (0.05; 5 0 1) = Odpowiedź: hipotezę odrzucamy Wniosek: Odrzucamy hipotezę o równomiernym rozkładzie nieobecności w tygodniu. Zatem przypuszczenie pracodawcy można uznać za uzasadnione W Z Statystyka 9.5

6 Przykład. Na pewnej uczelni badano strukturę miesięcznych dochodów (na głowę) w rodzinach studentów. W tym celu wylosowano grupę 192 studentów i zanotowano miesięczne dochody w ich rodzinach. Uzyskano następujące wyniki (w setkach złotych): x i x i+1 n i poniżej powyżej 14 6 Czy można, że rozkładów dochodów w rodzinach studenckich jest normalny? W Z Statystyka 9.6

7 Populacja: studenci pewnej uczelni Cecha X: miesięczne dochody na głowę w rodzinach studentów Założenie: cecha ciągła Formalizacja: H 0 : Cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ) Technika statystyczna: test chi kwadrat zgodności poziom istotności α = 0.05 Obliczenia Szereg ma k = 10 klas Do całkowitego określenia hipotetycznego rozkładu brakuje dwóch parametrów, czyli u = 2 Wartość krytyczna χ 2 (α; k u 1) = χ 2 (0.05; ) = W Z Statystyka 9.7

8 Wyznaczenie wartości statystyki χ 2 emp Wyznaczenie prawdopodobieństw teoretycznych p t i =P {x i <X <x i+1 }=F ( ) ( ) xi+1 µ xi µ F σ σ Z próby wyznaczamy x = 10.09, s 2 = 4.81 p t i = F ( xi+1 x s ) F ( ) xi x s = F (z i+1 ) F (z i ) x i x i+1 z i z i+1 F (z i ) F (z i+1 ) p t i poniżej powyżej W Z Statystyka 9.8

9 Wyznaczenie wartości statystyki testowej x i x i+1 n i p t i n t i (n i n t i )2 /n t i poniżej powyżej Odpowiedź. Nie odrzucamy hipotezy Wniosek. Możemy uznać, że miesięczne dochody na głowę w rodzinach studentów mają rozkład normalny N(10.09, 4.81) W Z Statystyka 9.9

10 H 0 : Cecha X ma rozkład ciągły F Test Kołmogorowa zgodności (poziom istotności α) Próba X 1,..., X n Próbę X 1,..., X n porządkujemy niemalejąco X (1) X (2) X (n) Tak uporządkowane obserwacje nazywamy statystykami pozycyjnymi Statystyka testowa D n = max {max{ F (X (i)) i 1 1 i n n, i n F (X (i)) }} Wartość krytyczna testu Kołmogorowa D(α; n) Jeżeli D n > D(α; n), to hipotezę H 0 odrzucamy W Z Statystyka 9.10

11 Przykład. Obserwujemy cechę X H 0 : X ma rozkład jednostajny na przedziale (0, 1) Test Kołmogorowa zgodności (α = 0.05) Dystrybuanta rozkładu jednostajnego F (x) = { 0, jeżeli x 0, x, jeżeli 0 < x 1, 1, jeżeli x 1. Próba: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Wartość statystyki testowej D 20 = Wartość krytyczna D(0.05; 20) = Ponieważ D 20 < D 0.05,20, więc nie odrzucamy weryfikowanej hipotezy W Z Statystyka 9.11

12 Wyznaczenie wartości statystyki testowej i F (X (i) ) i/n (i 1)/n F (X (i) i/n F (X (i) (i 1)/n W Z Statystyka 9.12

13 H 0 : Cecha X ma rozkład normalny Test Shapiro Wilka (poziom istotności α) Próbę X 1,..., X n porządkujemy niemalejąco X (1) X (2) X (n) Tak uporządkowane obserwacje nazywamy statystykami pozycyjnymi Statystyka testowa W = ( [n/2] i=1 a i:n (X (n i+1) X (i) ) ) 2 varx a i:n są stablicowanymi współczynnikami [n/2] = { n/2, dla n parzystych (n 1)/2, dla n nieparzystych Wartość krytyczna testu Shapiro Wilka W n (α) Jeżeli W W n (α), to hipotezę H 0 odrzucamy. W Z Statystyka 9.13

14 Przykład. Z cechy X pobrano próbę (n = 19): 12.4, 14.2, 14.9, 15.6, 16.1, 17.3, 17.9, 18.2, 18.6, 19.3, 19.7, 20.4, 21.9, 22.8, 23.7, 25.2, 25.9, H 0 : Cecha X ma rozkład normalny Test Shapiro Wilka (α = 0.05) Licznik statystyki W x = , varx = i x (19 i+1) x (i) a i:19 a i:19 (x (19 i+1) x (i) ) = = = = = = = = = Statystyka testowa W = = Wartość krytyczna W 19 (0.05) = Ponieważ W < W 19 (0.05), więc hipotezę odrzucamy W Z Statystyka 9.14