SŁAWOMIR WIAK (redakcja)

SŁAWOMIR WIAK (redakcja) Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT

Recenzenci: Prof. Janusz Turowski Politechnika Łódzka Prof. Ewa Napieralska Juszczak University Lille Nord de France, LSEE, UA, Francja Autorzy rozdziałów: Prof. Sławomir Wiak (rozdz. 1, 2, 10) Dr inż. Krzysztof Smółka (rozdz. 1, 2, 10) Mgr inż. Anna Firych-Nowacka (rozdz. 2) Prof. Zbigniew Kołaciński (rozdz. 3, 5, 6, 13) Mgr inż. Andrzej Kubiak (rozdz. 4) Prof. Zbigniew Lisik (rozdz. 4) Dr hab. inż. Jacek Gołębiowski, prof. PŁ (rozdz. 7) Dr inż. Michał Szermer (rozdz. 8, 9) Dr inż. Przemysław Sękalski (rozdz. 8, 9) Prof. Andrzej Napieralski (rozdz. 8, 9) Dr hab. inż. Zbigniew Gmyrek (rozdz. 11) Dr hab. inż. Paweł Witczak, prof. PŁ (rozdz. 12) Podręcznik akademicki przygotowany w ramach projektu "Innowacyjna dydaktyka bez ograniczeń - zintegrowany rozwój Politechniki Łódzkiej - zarządzanie Uczelnią, nowoczesna oferta edukacyjna i wzmacniania zdolności do zatrudniania, także osób niepełnosprawnych", współfinansowanego przez Unię Europejską w ramach europejskiego Funduszu Społecznego - Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki "Priorytet IV, poddziałanie 4.1.1. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni". Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych, w tym również nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cyfrowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnych bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich. ISBN 978-83-60434-68-0 Copyright by EXIT, Politechnika Łódzka Łódź 2009

Paweł Witczak 12. Wibroakustyka systemów mechatronicznych 12.1. Wprowadzenie Dowolnemu procesowi technologicznemu towarzyszą zawsze zjawiska pasożytnicze w postaci drgań poszczególnych części danego urządzenia i związanej z tym emisji hałasu. Efekty te, w zależności od ich nasilenia, mogą mieć niekorzystny wpływ na otaczające środowisko, przyczyniają się do obniżenia trwałości obiektu oraz zakłócają jego działanie. Czynnikiem sprzyjającym wzrostowi zagrożeń wibroakustycznych jest powszechnie obserwowana miniaturyzacja urządzeń, zwykle związana ze wzrostem gęstości upakowania energii i co za tym idzie zwiększeniem podatności danej konstrukcji na drgania. Cechą szczególną rozpatrywanych zjawisk jest ich znikoma moc w stosunku do mocy pobieranej ze źródła - przykładowo, maszyna elektryczna o mocy rzędu 1 MW emituje moc akustyczną zbliżoną zaledwie do 2 W, przy czym należy pamiętać, że długotrwałe narażenie człowieka na taki hałas, wydawałoby się o nieznacznej mocy, grozi trwałym uszkodzeniem słuchu. Drugim istotnym wyróżnikiem jest bardzo złożony kształt sygnałów drganiowych i akustycznych, zarówno w czasie jak i w przestrzeni. Dlatego też do analizy teoretycznej i pomiarów stosowane są praktycznie bez wyjątku systemy komputerowe o bardzo rozbudowanym wspomaganiu algorytmicznym samego przygotowania obiektu do analizy oraz przetwarzania otrzymanych wyników. Prawidłowe sformułowanie problemu badawczego dla danego urządzenia, jego rozwiązanie i ocena uzyskanych wyników wymaga nie tylko znajomości zjawisk fizycznych w nim zachodzących lecz również zaawansowanej wiedzy z zakresu matematyki 411

dyskretnej, bez której nie jest możliwa poprawna interpretacja otrzymanych danych, będących uporządkowanymi zbiorami liczb (wektorami) o rozmiarach rzędu setek a nawet tysięcy. Celem niniejszego wykładu jest zapoznanie z podstawowymi pojęciami stosowanymi w opisie zjawisk dotyczących drgań mechanicznych struktury o rozłożonej w przestrzeni masie i sprężystości, warunków niezbędnych do powstania znaczącej emisji akustycznej oraz specyficznych wielkości opisujących rozchodzenie się dźwięku. Istotne znaczenie ma tu specjalizowane narzędzie matematyczne, jakim jest dyskretna analiza widmowa modalno-częstotliwościowa, bez którego, zdaniem autora, opis skomplikowanych procesów wytwarzania i rozchodzenia się fal akustycznych nie byłby w ogóle możliwy. Ze względu na narzucone ograniczenia, omawiany materiał jest przedstawiany niezwykle skrótowo, w wielu wypadkach praktycznie bez wyprowadzeń i uzasadnień teoretycznych. Zawarto w nim jedynie podstawowe informacje o fizyce zjawisk wibroakustycznych i matematycznym ich opisie. Wiele zagadnień, dotyczących zwłaszcza współczesnej technologii obliczeniowej, mechanizmu wytwarzania sił generujących odkształcenia struktury oraz sposobów redukcji poziomu drgań i hałasu, zostało jedynie zasygnalizowanych. Tak więc niniejszy wykład ma charakter przede wszystkim informacyjny, wprowadzający w intensywnie rozwijaną obecnie dziedzinę. Osoby zainteresowane praktycznymi działaniami w tej dyscyplinie siłą rzeczy powinny poszerzyć swoją wiedzę korzystając z cytowanych specjalistycznych monografii. 12.1. Podstawy matematyczne analizy widmowej 12.1.1. Przestrzeń Euklidesowa N-wymiarowa W rzeczywistych obliczeniach komputerowych operuje się zbiorami liczb o skończonym wymiarze. Wprowadźmy następujące definicje: DEFINICJA. Wymiarem N przestrzeni V nazywamy liczbę elementów bazy tej przestrzeni. Oznaczamy to za pomocą wyrażenia N=dim { V } DEFINICJA. Przestrzeń liniową o skończonym wymiarze nazywamy przestrzenią wektorową, a jej elementy nazywamy wektorami. 412

DEFINICJA. Współczynniki rozwinięcia {λ} T elementu przestrzeni f względem bazy {e} T nazywamy współrzędnymi wektora. PRZYKŁAD. Sygnał y=f(x) był próbkowany w przedziale (x 1, x N ) z krokiem Δx. W wyniku otrzymano dwa wektory danych x k, y k. Wprowadzając zbiór elementów bazowych (bazę) {e k } T w postaci e 1 ={1, 0, 0,...,0} T, e 2 ={0, 1, 0,...,0} T, e 3 ={0, 0, 1,...,0} T,... e N ={0, 0, 0,...,1} T dyskretny sygnał {y} można zapisać jako następującą kombinację liniową (12.1) Otrzymaliśmy rozszerzenie do dowolnego wymiaru N zapisu geometrycznego wektora euklidesowego, dla którego N=3. Rys. 12.1 Wektor (próbkowana funkcja) w przestrzeni E N DEFINICJA. Normą (energetyczną) elementu {y} w przestrzeni E N nazywamy operator y (12.2) a iloczyn skalarny elementów {y}, {z} określa wzór y z (12.3) Zauważmy w tym miejscu, że dowolną normę określa się z dokładnością do stałego mnożnika - np. pomiar w metrach lub w centymetrach. 413

Aby porównać pomiar tego samego sygnału y(t) dokonany analogowo i dyskretnie przekształćmy wyrażenie określające jego normę funkcyjną L 2 [3] wykorzystując do obliczenia wartości całki kwadraturę prostokątów. (12.4) Otrzymaliśmy równoważność norm L 2 i E N. Pomiar sygnałów pozyskiwanych w praktyce za pomocą normy (12.4) stwarza pewne komplikacje formalne - jednostka w jakiej mierzymy jest różna od jednostki fizycznej sygnału o mnożnik Δx. Dla uniknięcia tej niedogodności powszechnie stosuje się normę średniokwadratową (wartość skuteczną), której kwadrat jest dany zależnością 1 1 (12.5) 12.1.1. Zależności definicyjne liczb zespolonych Liczbą zespoloną (wskazem) z nazywamy wyrażenie (12.6) gdzie j 2 =-1. Składniki a, b są nazywane odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną. Przedstawia się ją najczęściej w postaci skierowanego odcinka w układzie współrzędnych utworzonych przez osie Re, Im będących skrótami od łacińskich słów realis, imaginalis. Rys. 12.2 Płaszczyzna zmiennych zespolonych 414

Liczbę zespoloną różniącą się znakiem części urojonej w stosunku do z nazywamy sprzężoną i oznaczamy z *. Łatwo zauważyć, że kwadrat modułu liczby zespolonej z (kwadrat jej normy) jest równy (12.7) Wyrażenie to implikuje nieco inną niż (12.3) postać iloczynu skalarnego funkcji zespolonych z(x), w(x), (12.8) Kąt fazowy θ lub krótko faza liczby z to Θ (12.9) Liczbę zespoloną z można także przedstawić za pomocą tożsamości Eulera z cosθsinθ θ (12.10) Stąd +j jest też nazywane operatorem obrotu o π/2. Dowolną funkcję kosinusoidalną o okresie T można przedstawić w postaci ekspotencjalnej jako A cos exp 2 exp exp (12.11) gdzie przez θ oznaczono θ 2 2 (12.12) Rys. 12.3 Przedstawienie funkcji A cos(ωt+φ) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej 415

Z tożsamości Eulera wynikają również następujące zależności cos θ 2 sin θ 2 (12.13) 12.1.2. Przekształcenie Fouriera Najczęściej stosowaną postacią przekształcenia Fouriera jest wyznaczanie amplitud kolejnych wyrazów szeregu, którego trygonometryczna postać została przedstawiona w równaniu (12.2) dla dowolnej funkcji okresowej. W obliczeniach komputerowych wykorzystywana jest tzw. postać biegunowa liczby zespolonej, w której funkcje trygonometryczne są zastąpione eksponencjalnymi zmiennej zespolonej (12.13). TWIERDZENIE. Dla całkowalnej, rzeczywistej i okresowej funkcji g(t) prawdziwe jest rozwinięcie [3] exp (12.14) gdzie zespolone współczynniki G k są równe [3][12], exp exp, exp 1 exp Dla rzeczywistych funkcji g(t) współczynniki te spełniają zależność (12.15) (12.16) W wyniku przekształcenia (12.15) sygnału np. f(t)=a sin kωt otrzymuje się dwustronne widmo amplitudowo-fazowe odniesione do funkcji cos (kωt). 416

Rys. 12.4 Widmo amplitudowo fazowe sinusoidalnej rzeczywistej funkcji. Ze względu na symetrię widma funkcji o argumencie rzeczywistym często stosuje się w takim przypadku widma jednostronne o zmienności numeru harmonicznej w przedziale(0, ). Część amplitudowa widma jest podawana wówczas z mnożnikiem dwa. Odległość kolejnych prążków na osi częstotliwości Δf (rozdzielczość częstotliwościowa) jest równa Δ 1 (12.17) Rys. 12.5 Jednostronne widmo amplitudowo fazowe sinusoidalnej rzeczywistej funkcji. Często spotykanym przypadkiem jest sytuacja, gdy sygnał wejściowy jest w postaci nieskończonego ciągu liczb, przeważnie rzeczywistych - nieskończoną rozległość zawsze można otrzymać deklarując, że skrajne wartości są zerami. Liczby te reprezentują sygnał pobrany z częstotliwością próbkowania f s, która określa odległość kolejnych wartości sygnału na osi czasu Δt. Zachodzi wówczas zależność definiująca rozdzielczość czasową 417

Δ 1 (12.18) Otrzymane widmo będzie okresowe o okresie (powtarzalności) w dziedzinie częstotliwości równym właśnie f s. Transformaty fourierowskie są dane zależnościami (12.19) (12.20) dualnymi w stosunku do przedstawionych wcześniej we wzorach (12.14) (12.15) exp2 (12.19) 1 / exp2 (12.20) / Ważnym pojęciem występującym w analizie spektralnej jest moc sygnału, przy czym jako moc sygnału jest rozumiany kwadrat jego wartości skutecznej. Definicja ta wynika z tego, że w fizyce moc jest proporcjonalna do kwadratu wartości skutecznej zmiennej stanu. Współczynnik proporcjonalności zależy oczywiście od charakteru przebiegu - moc elektryczna, mechaniczna, akustyczna itd., tym niemniej, w przypadku gdy operuje się wartościami względnymi współczynnik ten redukuje się. Dla sygnału sinusoidalnego A k sin kθ 2 moc P g jest równa 0.5 A k czyli (A k rms ) 2. 1 2 (12.21) Widmo mocy P gk zawiera wyłącznie część amplitudową - na jego podstawie nie można odtworzyć sygnału f(θ). Z definicji widmo mocy składa się z liczb rzeczywistych, stąd z reguły przedstawia się je w postaci jednostronnej 418

a. b. Rys. 12.6 Dualność przekształcenia Fouriera a. Sygnał ciągły i okresowy w dziedzinie czasu, dyskretny w dziedzinie częstotliwości a. Sygnał dyskretny w dziedzinie czasu, ciągły i okresowy w dziedzinie częstotliwości Rys. 12.7 Dwustronne i jednostronne widmo mocy sinusoidalnego sygnału. 419

Twierdzeniem wiążącym moc przebiegu czasowego i jego widma częstotliwościowego jest twierdzenie Parsevala. TWIERDZENIE. Moc sygnału okresowego o okresie 2π jest równa sumie mocy jego składowych częstotliwościowych. 1 2 Jeżeli jakaś wielkość fizyczna zmienia się w skali liniowej o kilka rzędów wielkości to powszechnym sposobem jej przedstawienia jest skala logarytmiczna Ze względu na własności funkcji y=log x zamieszczone we wzorach (12.37), jest ona wygodnym narzędziem do przedstawiania danej wielkości w jednostkach względnych - odniesionych do wartości referencyjnej x ref. Poziomem (mocy) danej wielkości fizycznej nazywamy logarytm dziesiętny ze stosunku danej wielkości (wyrażonej w sposób proporcjonalny do jej mocy) do ustalonej wartości odniesienia tej samej wielkości (identycznie wyrażonej). Jednostka poziomu nazywa się Bel [B]. Ze względów praktycznych używa się jednostki pochodnej, jaką jest decybel: 1 db = 0,1 B lub inaczej: 10 db = 1 B. PRZYKŁAD. Niech wartość skuteczna pewnego sygnału, np. napięcia U, wynosi 1000 V. Jeżeli jednostką odniesienia jest U ref =1V, to poziom (mocy) napięcia w db. 10log 1000 1 10log10 60 (12.22) ylog 10 (12.23) log log log log loglog log log (12.24) 420

12.1.3. Dyskretna transformata Fouriera Przy przetwarzaniu rzeczywistych sygnałów mamy do czynienia z następującymi cechami ich akwizycji: Zakres analizowanego sygnału T (czasowy lub przestrzenny) jest skończony; Liczba próbek N sygnału jest skończona. Konsekwencją pierwszego uproszczenia jest w pewnym sensie wymuszenie jego periodyczności z okresem T, co wynika z następującego rozumowania. Załóżmy, że ciągły, kosinusoidalny sygnał g(t) o amplitudzie A i okresie T/q (q R) został pomierzony w przedziale (-T/2, T/2) - Rys. 12.8. Częstotliwość próbkowania f s wynosi (12.25) Widmo takiego sygnału jest określone równaniem (12.19), które poprzez kwadraturę prostokątów i uwzględniając jedynie znaczące próbki może być sprowadzone do postaci exp2 / exp2 / (12.26) Rys. 12.8 Sygnał okresowy o skończonym zakresie pomiaru. 421

Otrzymaliśmy (z dokładnością do mnożnika N) zależność (12.15) opisującą transformatę funkcji ciągłej i okresowej w szereg Fouriera. Różnica polega na tym, że wyrażenie G(f) jest ciągłą funkcją. Uzyskana zależność oznacza, że sygnał sinusoidalny ucięty oknem o dowolnej szerokości T jest równoważny widmowo sygnałowi okresowemu otrzymanemu poprzez powielenie zawartości okna. Równoważność ta oznacza identyczne proporcje pomiędzy poszczególnymi składnikami widma Rys. 12.9 Równoważne widmowo sygnały - okresowy i ucięty. Zaniedbując mnożnik N w (12.26), co zostanie później uzasadnione, obliczmy obecnie postać transformaty G(f) dla sygnału w postaci g(t)=acos(2πqt/t). Wykorzystując zespolone definicje funkcji sinus i cosinus oraz oznaczając formalnie częstotliwość jako gdzie k f R, otrzymujemy kolejno (12.27) 1 / 2 exp 2 / (12.28) 2 sin sin (12.29) W wyniku otrzymaliśmy widmo ciągłe określone przez sumę dwóch funkcji typu sinc(x). 422

Rys. 12.10 Przebieg funkcji sinc(x) - łac. sinus cardinalis. Widmo amplitudowe przebiegu (12.29) pokazano na Rys. 12.11 ustalając A=1 oraz q=10.5. Listek główny o szerokości Δf=2/T Listki boczne o szerokości Δf=1/T k f =ft Rys. 12.11 Przykładowy przebieg ciągłego widma amplitudowego dla uciętego sygnału sinusoidalnego. Cechą charakterystyczną widma amplitudowego sygnału o skończonym czasie trwania jest jego kształt uformowany w ciąg tzw. listków. Listek główny jest symetryczny w stosunku do linii wyznaczającej częstotliwość sygnału, a jego szerokość wynosi Δf=2/T, natomiast sąsiadujące z nim listki boczne są dwukrotnie węższe - Δf=1/T. Efekt ten nosi nazwę rozmycia (przecieku) widma a jego znaczenie fizyczne wyjaśnia postać widma mocy danego sygnału, które otrzymujemy, zgodnie z twierdzeniem Parsevala, podnosząc do kwadratu transformatę sygnału G(k f ). 423

Rys. 12.12 Przykładowy przebieg ciągłego widma mocy sygnału o jednostkowej amplitudzie Widzimy, że skończony czas akwizycji harmonicznego sygnału nieuchronnie powoduje pojawienie się w widmie mocy dodatkowej paczki składowych o częstotliwościach otaczających główną składową. Moc sygnału o amplitudzie A wynosi 0.5A 2, natomiast jeśli jest ona obliczana w dziedzinie widmowej to zachodzi Transformata odwrotna określona jest wzorem (12.20), który przekształca się zastępując częstotliwość f przez zmienną bezwymiarową k f = f T. 1 Po uporządkowaniu otrzymuje się 1 / / / / / exp2 / exp2 1 (12.30) (12.31) exp 2 (12.32) W powyższej zależności podkreślmy dwa fakty. Po pierwsze, zmienna k f przyjmuje jedynie wartości z przedziału określonego przeskalowanymi granicami całkowania 424

2, (12.33) 2 Po drugie, transformata prosta (12.26) była proporcjonalna do liczby próbek N, a odwrotna (12.32) jest do tej liczby odwrotnie proporcjonalna. Oznacza to, że liczba N ma tu charakter jedynie skalujący - może być uwzględniona bądź nie w obliczeniach. Należy wyraźnie zaznaczyć, że stwierdzenie to nie dotyczy argumentu funkcji eksponencjalnej. Analiza realnych sygnałów ma z reguły charakter dyskretny - zarówno dane wejściowe jak i wyjściowe procesu są wektorem (uporządkowanym ciągiem liczb). Oznaczmy przez {x n } wektor N danych wejściowych pewnej wielkości pobranych z krokiem Δt w przedziale [0,T]. Zmienna niezależna t oznaczać może czas bądź przestrzeń. Numerację próbek ustala się jako n= 0, 1, 2,... N-1. Dyskretna transformata Fouriera (DTF) polega na redukcji wartości zmiennej k f w (12.31) do liczb całkowitych k= 0, 1, 2,... N-1. Zauważmy przy tym, że przejście od przedziału symetrycznego [ N/2,+N/2] do niesymetrycznego ma wyłącznie charakter porządkowy. Dyskretna transformata Fouriera ma więc postać wynikającą z (12.26) czy (12.28) 1 exp 2 Definiowanie k-tej składowej DTF w oparciu o aproksymację średniokwadratową ma tę zaletę, że wartość maksymalnego składnika widma jest tego samego rzędu co maksimum oryginalnego sygnału oraz nie zależy od liczby próbek. Transformata odwrotna wynika wprost z (12.32), konsekwentnie z zaniedbaniem mnożnika 1/N. exp 2 (12.34) (12.35) Dla próbkowanych sygnałów rzeczywistych mamy do czynienia z okresowością widma częstotliwościowego i związanej z tym jego symetrii określonej przez (12.36) 425

co oznacza dla każdej z N/2-1 par równość amplitud i przeciwne znaki kątów fazowych. Pamiętamy, że zgodnie z (12.34) pierwsza składowa widma (indeksowana liczbą 0) jest wartością średnią badanego przebiegu. Wynika z tego również, że N-punktowa DTF pozwala na wyznaczenie co najwyżej N/2-1 składowych, co jest treścią twierdzenia Shannona. DEFINICJA. Częstotliwością Nyquista-Shannona f Ny nazywamy minimalną częstotliwość próbkowania, przy której sygnał ciągły jest zamieniany na dyskretny bez straty informacji. Częstotliwość próbkowania f s musi być co najmniej dwukrotnie większa od największej częstotliwości składowej sygnału. 2 1 2 2 2 (12.37) Pewnego komentarza wymaga wprowadzona zamiana numeracji składników widma, podyktowana prostotą algorytmizacji obliczeń. Interpretacja widma jest znacznie łatwiejsza po wprowadzeniu dodatnich i ujemnych indeksów jego składowych, jak przedstawiono to wcześniej np. na rysunkach (Rys. 12.11) (Rys. 12.12). Wspomniana symetria widma pozwala na tzw. centrowanie otrzymanej z obliczeń postaci jednostronnej, co pokazano na Rys. 12.13. Rys. 12.13 Porównanie widma jednostronnego i centrowanego dla rzeczywistego sygnału mono-harmonicznego. Dyskretna transformata Fouriera nie zawiera w swojej definicji (12.49) pojęcia częstotliwości w sposób jawny - operuje się jedynie indeksami składników N- wymiarowych wektorów liczbowych. Wynika ono z zakresu akwizycji danych T (skończonego przedziału czasu bądź przestrzeni) oraz liczby danych N. Częstotliwość f k odpowiada- 426

jąca k-tej składowej widma jest ograniczona z góry przez częstotliwość Nyquista f Ny i wynosi 2 (12.38) Zwyczajowo częstotliwością nazywamy wielkość odnoszącą się do czasu, w przypadku kiedy dane źródłowe mają charakter przestrzenny l-tej amplitudzie przestrzennego widma wybranej wielkości fizycznej odpowiada tzw. l-ta liczba falowa κ l gdzie L jest przestrzennym rozmiarem obszaru z którego pobrano dane. Jeżeli dane przestrzenne są dwuwymiarowe, to mówi się o l,m-tej składowej wektora falowego κ l,m.,, (12.39) Podobnie jak dla przebiegów czasowych (częstość kołowa ω k = 2π f k ) w powszechnym użyciu jest wektor lub liczba falowa podawana z mnożnikiem 2π - np. κ l =2π l/l. Dla zilustrowania własności DTF rozpatrzmy obecnie szereg prostych przykładów obliczeń. PRZYKŁAD. Dany jest sygnał y=0.3+cos (2πt/τ)ω postaci N = 8 próbek mierzonych co τ/4. Czas pomiaru T jest więc całkowitą krotnością k r = 2 jego okresu i w wektorze danych wejściowych obserwujemy k r identycznych bloków liczb - Rys. 12.14a. W przypadku sygnału y 1 =0.3+cos (2πt/τ 1 ), τ =1.5τ danego w postaci N=8 próbek mierzonych jak poprzednio co τ/4 czas pomiaru T nie jest całkowitą krotnością jego okresu - k r =1.5, co pokazano na Rys. 12.14b. a. b. Rys. 12.14 Porównanie postaci dyskretnych przebiegów okresowych o czasie akwizycji a. dopasowanym do okresu przebiegu, b. niedopasowanym do okresu przebiegu. 427

Obliczone dyskretne transformaty tych przebiegów wynoszą: 0.30, 0.0, 0.50, 0.0, 0.0, 0.0,0.50, 0.0 0.12, 0.3, 0.35, 0.15,0.12, 0.15, 0.35,0.3 W obydwu przypadkach obserwujemy własność symetrii widma DTF (Y k =Y N-k ), natomiast różnice w obliczeniach są bardzo duże (zostały one uwypuklone dzięki małej liczbie próbek). Widmo {Y} dokładnie odwzorowuje ciągły sygnał wejściowy, zaś widmo {Y 1 } jedynie sygnalizuje gdzie znajdują się dominujące składniki. Występujący tu efekt przecieku widma zostanie omówiony szczegółowo w następnym przykładzie. PRZYKŁAD. Dany jest sygnał y=cos (2π 4t/Τ) dany w postaci 32 próbek pobranych ze stałym krokiem w czasie T. Jego przebieg oraz widmo częstotliwościowe przedstawiono na Rys. 12.15. Dla poprawienia czytelności wykresu zawężono dwukrotnie zakres widma. Rys. 12.15 Przebieg dyskretnego sygnału harmonicznego i obciętego, centrowanego widma amplitudowego w przypadku dopasowania czasu akwizycji do okresu sygnału Przy danej liczbie próbek N i czasu akwizycji T dyskretne częstości wynikające z DTF przebiegają zbiór liczb całkowitych k (-N/2, N/2) podzielonych przez T, przy czym ostatni składnik o częstości Nyquista nie jest brany pod uwagę (przyjęto milcząco, że liczba N jest parzystą). Amplitudy obliczonych składowych leżą na przecięciu całkowitych odciętych osi k f =ft z widmem ciągłym badanego sygnału, którego częstotliwość nie musi być całkowitą wielokrotnością 1/T. Szerokość listków bocznych ciągłej transformaty (12.28) w skali k f =ft jest jednostkowa, a listka głównego podwójna. 428

Stąd w szczególnym przypadku, kiedy czas akwizycji T jest ściśle dopasowany do okresu badanego przebiegu, mamy do czynienia z dokładnym oszacowaniem zarówno częstotliwości sygnału jak i jego amplitudy - wszystkie pozostałe składniki widma DTF mają wartość zerową, jak pokazano to na rysunku powyżej. Dyskretne widmo mocy jest oczywiście również dokładnym odzwierciedleniem rzeczywistości - zawiera wyłącznie składnik o częstotliwości 4/T czyli przeciek mocy jest równy zeru. Załóżmy obecnie, że częstotliwość sygnału uległa niewielkiej zmianie, jest on teraz opisany zależnością y=cos (2π 4.5t/Τ), a czas akwizycji i liczba pobranych próbek nie uległy zmianie. Tworząc analogiczne do Rys. 12.15 wykresy zauważamy, że wszystkie składniki widma mają wartości niezerowe a ich maksymalne wartości są bliskie 1/π zamiast 0.5. Wynika to z przesunięcia ciągłego widma przebiegu w stosunku do niezmiennej siatki widma dyskretnego - wartości parametrów N i T procesu akwizycji pozostały niezmienione. Otrzymaliśmy sytuację przedstawioną na Rys. 12.16, kiedy przeciek mocy w widmie sygnału jest największy - częstotliwość badanego przebiegu leży pośrodku odcinka wyznaczonego przez kolejne dwie częstotliwości DTF. Rys. 12.16 Przebieg dyskretnego sygnału harmonicznego i obciętego, centrowanego widma amplitudowego w przypadku maksymalnego niedopasowania czasu akwizycji do okresu sygnału Widoczna na Rys. 12.16 niewielka asymetria amplitud bocznych listków w stosunku do listka głównego widma, i w konsekwencji widma dyskretnego, wynika z nakładania się wartości dwóch funkcji 429

sinc, z których składa się widmo ciągłe sygnału harmonicznego. Efekt ten maleje w miarę odsuwania się od osi głównego listka danego składnika, tym niemniej jest obecny w całym widmie. 12.1.4. Dwuwymiarowa dyskretna transformata Fouriera. Dany jest dwuwymiarowy, dyskretny zbiór MN danych wejściowych w postaci tablicy y(m,n)gdzie indeksy m,n zmieniają się m=0, 1,...M-1; n=0, 1,...N-1. Zakresy akwizycji wynoszą odpowiednio T M, T N, gdzie dla ustalenia uwagi przyjęto, że T M jest odcinkiem przestrzeni, a T N czasu. Dane są pobierane ze stałym krokiem w przestrzeni Δx=T M /M i czasie Δt=T N /N. Analogicznie jak w przypadku jednowymiarowym definiuje się moc sygnału y(x,t) 2 sk, którą w przypadku dyskretnym oblicza się ze wzoru, 1, (12.40) Pobrany sygnał ma w rzeczywistości zerowe wartości poza prostokątem T M T N, lecz można wykazać postępując analogicznie do omówionego wcześniej przypadku jednowymiarowego, że widmo częstotliwościowe jest identyczne jak w przypadku okresowego powielenia wzdłuż obu osi zawartości tego prostokąta, Rys. 12.17. Rys. 12.17 Pseudo-okresowość dwuwymiarowego sygnału o skończonej liczności Daną tablicę y (m,n) przedstawiamy więc w postaci zespolonego szeregu 430

,, gdzie zespolone amplitudy Y(k,l) są równe Wzory (12.41) (12.42) są złożeniami dwóch jednowymiarowych transformat (12.34) (12.35). PRZYKŁAD. Rozpatrzmy falę biegnącą wzdłuż kierunku 0x o równaniu pokazaną poniżej, 1,, 0.22 4 2 2 2 (12.41) 2 (12.42) Rys. 12.18 Czasoprzestrzenny wykres fali biegnącej Po sprowadzeniu do postaci dyskretnej otrzymuje się, 0.22 4 2 Ustalając rozmiar tablicy na M=8 oraz N=16, uzyskuje się brak efektu rozmycia widma. Wynikowa tablica widma amplitudowego Y(k,l) zamieszczona na Rys. 12.19, pokazuje jednocześnie mechanizm tworzenia centrowanego widma 2DTF 431

a. b. 0.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 N-1 0 1 2 M-1 0 0 0 0 0 0 0 0-0.5N C D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-2 0 0 0 0 0 0 0 0-1 0 0 0 0 0.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B0 0 0 0 0 0 0 0A 0.5N-1-4 -3-2 -1 0 1 2 3 Rys. 12.19 Dwuwymiarowe widmo amplitudowe fali biegnącej a. postać niecentrowana. b. postać centrowana. Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym centrowanie widma polega na takiej zamianie miejscami jego segmentów, aby wartość średnia znalazła się w centralnym punkcie wynikowej tablicy. Według oznaczeń pokazanych na Rys. 12.19 wymieniane segmenty to A C oraz B D. Kolejnym uproszczeniem jest przejście do jednostronnej postaci widma połączone z dwukrotnym powiększeniem jego składowych. Ponieważ pojęcie ujemnej częstotliwości nie ma dobrej interpretacji fizycznej, usuwa się zwykle właśnie tę część tablicy widma. Należy jednak pamiętać, że obliczenie widma mocy poprzez twierdzenie Parsevala jest możliwe wyłącznie na podstawie widma dwustronnego Rys. 12.20 Dwuwymiarowe, jednostronne, centrowane widmo amplitudowe fali biegnącej 432

12.2. Akustyka techniczna 12.2.1. Podstawowe zależności i zjawiska akustyczne Fala akustyczna (dźwiękowa) jest jedną z form przenoszenia energii. Polega ona na cyklicznym przemieszczaniu się cząsteczek sprężystego środowiska wokół położenia równowagi - tzw. drgania mechaniczne. Podstawowy podział to: fale podłużne - kierunek przemieszczeń cząsteczek pokrywa się z kierunkiem przenoszenia energii; fale poprzeczne - kierunek przemieszczeń cząsteczek jest prostopadły do kierunku przenoszenia energii. Wewnątrz ośrodków nie posiadających sprężystości postaci (gazy i ciecze, które przyjmują kształt zawierającego je zbiornika) falaa akustycznaa jest wyłącznie falą podłużną. W ciałach stałych występują zarówno fale podłużne jak i poprzeczne, a także inne, o bardziej złożonym charakterze. Na Rys. 12.21 pokazano ideę odkształcania się fala podłużna fala poprzeczna Kierunek przenoszenia energii Rys. 12.21 Schematycznaa ilustracja fali podłużnej i poprzecznej struktury cząsteczek przykładowegoo środowiska podczas przechodzenia dwu podstawowych typów fal. Falą jednowymiarową (falą 1D, falą płaską) bez dyspersji nazywamy przemieszczanie się wzdłuż pewnego kierunku x ze stałą prędkością c przestrzennego zaburzenia wybranej wielkości fizycznej g(x,t), którego kształt nie zmienia się w czasie. Mówimy wówczas, że prędkość fali (fazowa) nie zależy od częstotliwości pobudzenia. 433

Rys. 12.22 Rozchodzenie się fali bez dyspersji Zaburzenie to g(x,t) spełnia zależność, (12.43) z którego wynika (12.44) Prędkość rozchodzenia się dźwięku c jest parametrem charakterystycznym dla danego ośrodka, w dalszym ciągu będziemy przyjmować, że wartość ta dla danego medium jest stała. Pozwalać to będzie na stosowanie zasady superpozycji, mówiącej, że efekt działania sumy przyczynków w środowisku liniowym jest równy sumie efektów poszczególnych przyczynków oddzielnie. Tab. 12.1 Prędkość dźwięku dla różnych ośrodków Środowisko Prędkość dźwięku [m/s] Powietrze (20 o C) 340 Woda (10 o C) 1450 Beton 3900 Stal 6000 Równanie płaskiej fali nieskończenie rozległej biegnącej wzdłuż dodatniego kierunku 0x w ośrodku bez dyspersji zapisuje się najczęściej jako 434

, sin sin 2 Λ (12.45) ω k =2πf k - pulsacja (częstość kołowa) składowej fali T k =1/f k - okres składowej fali, czyli najmniejszy przedział czasu jaki dzieli w danym punkcie przestrzeni pojawienie się tej samej cechy składowej fali np. minimum, Λ k =c/f k - długość fali, czyli najmniejsza odległość w danej chwili czasowej pomiędzy tymi samymi cechami składowej fali, np. minimami, φ k - kąt fazowy składowej fali, który jest odległością (mierzoną w radianach) w danej chwili i miejscu od najbliższego punktu w przestrzeni bądź w czasie, w którym dana fala ma wartość równą zeru i zmienia wartość z ujemnej na dodatnią. Frontem fali nazywamy miejsce geometryczne punktów w przestrzeni mających ten sam kąt fazowy (zwykle maksimum). W danym punkcie front fali jest prostopadły do kierunku jej rozchodzenia się. Sumowanie fal składowych wykorzystane w (12.45) nazywane jest interferencją fal. Analizując czasoprzestrzenne równanie fali zauważamy, że o charakterze przebiegu względem danego układu odniesienia decyduje częstość fali ω k, długość fali wynika z własności falowych środowiska określonych przez prędkość dźwięku c. Przy występowaniu fali akustycznej w danym środowisku zachodzą następujące, wzajemnie sprzężone zjawiska fizyczne: o ruch cząsteczek powoduje zmianę gęstości środowiska; o zmiana gęstości jest związana ze zmianą ciśnienia; o gradient ciśnienia powoduje ruch cząsteczek środowiska. W dalszym ciągu rozważań będziemy zajmować się przede wszystkim zjawiskami akustycznymi w powietrzu, a w szczególności rozkładem ciśnienia akustycznego wynikającego z rozchodzenia się dźwięku. Ciśnienie atmosferyczne mierzymy w barach - 1 bar = 10 5 N/m 2 = 0.97 atm. Gęstość powietrza w warunkach standardowych (p ST =1 bar, ϑ ST = 25 o C) wynosi ρ ST =1.17 kg/m 3. Zmiana ciśnienia odpowiadająca umiarkowanemu dźwiękowi 435

(rozmowa) jest rzędu 10-7 bara, dlatego przyrost ciśnienia p a związany z przejściem fali dźwiękowej o natężeniu jeszcze akceptowalnym przez organizm człowieka (p a < 0.1 N/m 2 ) może być przedstawiony zlinearyzowaną zależnością (12.46) Dla fali płaskiej, kiedy warstwy powietrza przemieszczają się tylko w jednym kierunku, wyprowadza się [6][13] zależność dla zmiany gęstości wywołanej falą akustyczną oraz równanie ruchu warstwy powietrza (12.47) (12.48) Oznaczając pochodną ciśnienia względem gęstości przez c 2 i podstawiając do równania ruchu otrzymuje się tzw. jednowymiarowe równanie falowe dla przemieszczenia warstwy cząsteczek płynu. Wielkość c jest prędkością fazową fali akustycznej. Różniczkując obustronnie po czasie otrzymuje się równanie falowe dla prędkości warstwy powietrza v x (prędkości cząsteczkowej) 1 (12.49) 1 (12.50) Należy wyraźnie odróżniać prędkość cząsteczkową v x od prędkości rozchodzenia się dźwięku c (frontu fali akustycznej). Prędkość cząsteczkowa jest przy tym o kilka rzędów wielkości mniejsza od prędkości dźwięku. Dopasowując do siebie równania (12.46) i (12.48) poprzez obustronne różniczkowanie względem czasu bądź przestrzeni otrzymuje się, że ciśnienie akustyczne p a również spełnia równanie falowe 436

1 (12.51) Ciśnienie akustyczne p a i prędkość cząsteczkowa v pełnią rolę zmiennych stanu dla pola akustycznego. Chwilowym natężeniem dźwięku I nazywamy iloczyn,,, (12.52) określający powierzchniową gęstość energii fali akustycznej przepływającej w jednostce czasu przez elementarną powierzchnię prostopadłą do wektora v usytuowaną w punkcie o wektorze wodzącym r. Jednostką natężenia dźwięku jest W/m 2.W praktyce, kiedy analizuje się najczęściej procesy ustalone w czasie, stosuje się wartość uśrednioną definiowaną przez 1,, (12.53) Tak więc moc akustyczna W a emitowana przez pojedyncze źródło dźwięku może być obliczona za pomocą zależności (12.54) gdzie S oznacza dowolną, zamkniętą powierzchnię obejmującą źródło dźwięku. Modelem fizycznym dla pojęcia fala płaska jest sytuacja kiedy : o rozmiar źródła o powierzchni pulsującej jednorodnie ξ(t)= ξ m exp(jωt) jest wielokrotnie większy od odległości d od jego powierzchni do punktu, w którym dokonujemy pomiaru, o odległość d jest wielokrotnie większa od długości fali Λ. Rozpatrzmy półprzestrzeń rozciągającą się od powierzchni źródła, które pulsuje z częstością ω i amplitudą przemieszczenia ζ m - Rys. 12.23. Rozpatrujemy przypadek fali rozchodzącej się w polu swobodnym, tzn. bez przeszkód i rozpraszania energii, dla którego ciśnienie p(x,t) oraz prędkość (cząsteczkowa) v(x,t) wynoszą: 437

p a (x,t) = p m exp[jω(t-x/c)], v(x,t) = v m exp[jω (t-x/c)]. Wprowadzając te zależności do równania ruchu (12.48) otrzymuje się: (12.55) Przyjmując, że na granicy źródło - półprzestrzeń zachodzi ciągłość przemieszczeń, to jest cząsteczki powietrza nie odrywają się od powierzchni wymuszającej drgania, otrzymujemy prostą relację określającą amplitudę prędkości cząsteczkowej v m (12.56) która dla fali płaskiej dokładnie jest równa prędkości drgań powierzchni źródła. Typowe wartości tej prędkości dla powierzchni urządzeń średniej mocy są rzędu kilku μm/s. Iloczyn ρ ST c nosi nazwę impedancji akustycznej Z a, która dla powietrza w warunkach standartowych wynosi blisko 400 kg/(m 2 s). źródło v Rys. 12.23 Wytwarzanie płaskiej fali prędkości cząsteczkowej Uśrednione w czasie natężenie dźwięku (moc akustyczna harmonicznej fali dźwiękowej przypadająca na jednostkę powierzchni) jest więc równa 1 2 (12.57) Szczególnym przypadkiem interferencji dwóch fal jest fala stojąca, będąca superpozycją dwóch identycznych fal biegnących w przeciwnych kierunkach 438

, sin sin (12.58) W wyniku otrzymuje się zależność, 2sin2 T 2 (12.59) Λ pokazaną graficznie poniżej. g t=t/ t=3t x Λ Rys. 12.24 Przestrzenny rozkład fali stojącej dla dwóch chwil czasowych Pamiętajmy, że w przypadku płaskiej fali akustycznej w powietrzu lub cieczy funkcja g(x,t) reprezentuje skalarne pole ciśnienia akustycznego bądź prędkość cząsteczkową w kierunku 0x. Rozpatrzmy obecnie przypadek nadajnika kulistego, którego powierzchnia drga jednorodnie z częstością ω i amplitudą ξ m. Jak poprzednio zakładamy rozchodzenie się dźwięku w polu swobodnym. Kolejne fronty falowe będą mieć kształt współśrodkowych sfer oddalonych o długość fali Λ=c/f. Otrzymane pole akustyczne jest jednowymiarowe - jego wartości zależą jedynie od odległości r od środka nadajnika. r 0 Rys. 12.25 Wytwarzanie kulistej fali prędkości cząsteczkowej 439

Równanie falowe we współrzędnych sferycznych jest w postaci 1 rφ 1 Φ (12.60) Przenosząc r na prawą stronę otrzymujemy odpowiednik równania dla fali płaskiej względem funkcji rφ(r). Wielkość oznaczona przez Φ nazywana jest potencjałem akustycznym (potencjałem prędkości), której związki z wprowadzonymi wcześniej wielkościami opisującymi pole akustyczne są następujące Φ Φ (12.61) Ogólna postać rozwiązania potencjału Φ(r) dla fali kulistej rozchodzącej się radialnie wyniesie więc, (12.62) Wykorzystując zależności definicyjne (12.61) można obliczyć rozkłady ciśnienia p a i prędkości v,, 1 Widzimy, że w ogólnym przypadku ciśnienie akustyczne nie jest w fazie z prędkością cząsteczkową, jak miało to miejsce dla fali płaskiej. Obliczając zależność dla impedancji akustycznej Z a będącej jak poprzednio ilorazem p a /v otrzymujemy liczbę zespoloną,, 1 1 1 exp (12.63) (12.64) gdzie k jest liczbą falową ω/c, a kąt fazowy ϕ wyznacza się ze wzoru 1 (12.65) 440

Bezwymiarowy iloczyn kr można przedstawić w postaci 2 Λ (12.66) Widać, że dla odległości r kilkakrotnie większych od długości fali Λ wartość impedancji akustycznej dąży do ρ ST c - część urojona znika, czyli ciśnienie akustyczne i prędkość cząsteczkowa są ze sobą w fazie. Innymi słowy, dla dostatecznie dużych odległości od źródła fala kulista upodabnia się do fali płaskiej. Stałą A wyznacza się z warunku równości prędkości cząsteczkowych na powierzchni źródła o promieniu r 0 1 (12.67) Dla źródła o promieniu pomijalnym w stosunku do długości fali (kr 0 << 1) amplituda ciśnienia wynosi (12.68) Natężenie dźwięku wywołane przez nadajnik kulisty będzie odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od środka nadajnika. Do tej pory rozważane było tzw. swobodne pole akustyczne, w którym występowało pojedyncze źródło dźwięku przy jednoczesnym braku jakichkolwiek przeszkód na drodze emitowanej przez nie fali dźwiękowej. Jest to sytuacja idealna, nie występująca w rzeczywistych warunkach. Fala akustyczna rozchodząca się w środowisku sprężystym po napotkaniu przeszkody podlega następującym zjawiskom fizycznym: odbicie fali (refleksja) - zmiana kierunku rozchodzenia się fali, kąt padania mierzony względem normalnej do przeszkody równa się kątowi odbicia; pochłanianie fali (tłumienie) - każdy ośrodek sprężysty posiada własność tłumienia (rozpraszania energii na ciepło) fal akustycznych w nim się rozchodzących; ugięcie fali (dyfrakcja) - na krawędzi przeszkody fala zmienia kształt swojego frontu i rozchodzi się we wszystkich kierunkach (z różnym natężeniem) wokół tej krawędzi. Ugięcie fali jest tym łatwiejsze im większa jest długość fali. 441

przenikanie fali (transmisja) - dla przegrody o skończonej grubości zachodzi proces wielokrotnego padania i odbicia fali na jej powierzchniach brzegowych. W wyniku zachowania energii i pędu część energii fali padającej z zewnątrz na przegrodę przenika przez nią w postaci fali przechodzącej. Rys. 12.26 Zjawiska towarzyszące emisji fali akustycznej W zależności od odległości od źródła dźwięku pole akustyczne zmienia swoje właściwości. Wyróżnia się następujące podstawowe typy pól: o pole bliskie - w przybliżeniu zawarte w przedziale r < Λ=c/f. Ciśnienie akustyczne nie jest w fazie z prędkością cząsteczkową; o pole dalekie - zachodzi dla r > Λ, o ile nie istnieją przeszkody odbijające lub pochłaniające dźwięk to natężenie dźwięku maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości (-6 db na każde podwojenie odległości). W rzeczywistości zawsze występują dodatkowe obiekty odbijające i pochłaniające dźwięk, jak również zauważa się wpływ innych źródeł dźwięku (tzw. tło akustyczne). Wprowadzono więc pojęcia: o o pole swobodne - obszar, w którym nie zauważa się wpływu fal odbitych; pole dyfuzyjne - obszar, w którym krzyżuje się wiele fal odbitych lub pochodzących z innych źródeł. Poziom dźwięku jest stały w tym obszarze. 442

Rys. 12.27 Klasyfikacja pól akustycznych 12.2.2. Słyszenie dźwięku i parametry akustyczne Ucho ludzkie pozwala na przekształcenie oscylacji ciśnienia akustycznego na impulsy nerwowe w bardzo szerokim przedziale częstotliwości - od 16 Hz do 16 khz oraz przedziale amplitud - od 20 μpa do 20 Pa. Dodatkowo pełni rolę analizatora, który potrafi rozróżnić kształt widma częstotliwościowego danego dźwięku. Podane przedziały liczbowe mają charakter orientacyjny i mogą się znacznie różnić u poszczególnych osób. Ze względu na znaczną skalę amplitudową zakresu słyszenia ciśnienie akustyczne jest mierzone w skali logarytmicznej. Poziomem (mocy) ciśnienia akustycznego L p nazywamy wielkość gdzie wielkością odniesienia jest p a0 =20μPa, będące progiem słyszalności przy 1000 Hz. Przeciętna rozdzielczość ucha ludzkiego (zdolność do zauważenia zmiany) jest rzędu 1.5 db dla f=1000 Hz. W analogiczny sposób zdefiniowano poziom natężenia dźwięku L I w którym za odniesienie przyjęto I 0 =10-12 W/m 2 oraz poziom mocy akustycznej L W z mocą odniesienia W a0 =10-12 10log (12.69) 10log (12.70) 10log (12.71) W. Zauważmy przy tym, że zachodzi 443

(12.72) Stąd dla idealnego kulistego źródła dźwięku w polu swobodnym tożsamościowo zachodzą związki L p L I L W. Rzeczywiste źródła dźwięku nie mają jednak sferycznej charakterystyki emisji i dlatego obliczanie poziomu mocy akustycznej na podstawie szeregu pomiarów bądź obliczeń poziomu ciśnienia akustycznego wymaga nieco uwagi. PRZYKŁAD 1. Dany jest zbiór K pomiarów poziomu ciśnienia akustycznego L pk wykonanych w odległości r od badanego źródła i w punktach równomiernie rozłożonych w przestrzeni. Przyjmując, że mamy do czynienia z polem swobodnym możemy obliczyć natężenie dźwięku I k w każdym punkcie ze wzorów (12.53) (12.55) i (12.69) 10. 10. (12.73) Moc akustyczna przechodząca przez powierzchnię otaczającą każdy punkt jest równa 4 10. (12.74) a moc całkowita W a jest sumą po wszystkich punktach 10. (12.75) Ostatecznie poziom mocy akustycznej L W jest określony zależnością PRZYKŁAD 2. Pomierzono w wybranym punkcie widmo częstotliwościowe poziomu ciśnienia akustycznego L p (k), k=1,2,...k. Poszukiwana jest wartość poziomu całkowitego natężenia dźwięku w tym punkcie. Zgodnie z twierdzeniem Parsevala (12.22) całkowita moc sygnału jest sumą mocy jego składowych w widmie, które są 10log10. 10log (12.76) 444

proporcjonalne do natężenia dźwięku o danej częstotliwości. Natężenie dźwięku k-tej składowej jest równe 10. (12.77) i w konsekwencji poziom wypadkowego natężenia dźwięku wynosi 10log10. (12.78) Wrażliwość słuchu człowieka na bodźce dźwiękowe jest silnie nieliniowa w dziedzinie częstotliwości - dla niskich (do kilkuset Hz) jest stosunkowo mała a największa jest w przedziale około 1 do 3 khz. W celu zniwelowania tej własności wprowadzono krzywe korekcyjne umożliwiające przypisanie tej samej liczby różnym poziomom ciśnienia akustycznego o danych częstotliwościach lecz o subiektywnie odczuwanej tej samej głośności - Rys. 12.28. Logarytmiczną jednostką jednakowej głośności jest fon, którego skala pokrywa się z decybelową mocy dla częstotliwości 1 khz. W najczęstszym użyciu jest krzywa korekcji A, odpowiadająca w przybliżeniu krzywej 40 fonów. Skorygowany poziom ciśnienia L pa nazywany poziomem dźwięku otrzymuje się dodając znormalizowaną poprawkę ΔL A zamieszczoną na Rys. 12.28 do poziomu (mocy) ciśnienia akustycznego bez korekcji L p (12.79) Δ LA [ db ] częstotliwość [ Hz Rys. 12.28 Krzywa korekcji A 445

korekcja A 446 Rys. 12.29 Krzywe jednakowej głośności [Bruel&Kjaer] Wykonując pomiary akustyczne rzeczywistych obiektów mamy do czynienia ze zmianami w czasie zarówno całkowitej emitowanej mocy jak i amplitud jej składowych harmonicznych. Zmiany te mają najczęściej charakter przypadkowy i są wywołane trudnymi do ustalenia przyczynami. Najprostszym sposobem ich eliminacji jest

uśrednienie w czasie. Równoważnym poziomem dźwięku z korekcją A uśrednionym w czasie T nazywamy wyrażenie L Aeq, T równe, 10log 1 10log 1 (12.80) Zależność tę należy rozumieć następująco: w czasie T K jest dokonywanych K pomiarów, z których każdy trwa zwykle około sekundy (T=N/f s, typowe wartości to np. N= 4096, f s =6400 Hz). Obliczone widmo DTF jest modyfikowane według krzywej korekcji A i zapamiętywane jako L pak (n), gdzie n oznacza numer składowej widma. Uśrednione widmo L Aeq, T (n) jest obliczane z dyskretnej aproksymacji całki, która po wprowadzeniu sumowania poziomów jak w (12.78) prowadzi do wzoru, 10 log 1 10. (12.81) Pominięcie w powyższym wzorze ułamka 1/K w argumencie funkcji logarytmicznej daje zależność na poziom energii, również skorygowanego krzywą A, dla pojedynczego zdarzenia akustycznego o czasie trwania T K oznaczanego przez L AE lub SEL (Sound Exposure Level). 12.3. Podstawy teorii drgań ośrodków ciągłych 12.3.1. Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny o końcach A, B mającej sztywność K i pomijalną masę w stosunku do masy M umocowanej w jej końcu A, na który działa zmienna w czasie siła F(t). Zarówno przemieszczenia końców sprężyny u A, u B jak i siła F mają składowe wyłącznie w kierunku 0x pokazanym na Rys. 12.30. 447

B A M F Rys. 12.30 Oscylator harmoniczny Równanie ruchu punktu A oscylatora, wynikające z drugiej zasady dynamiki, jest w postaci x (12.82) Widzimy, że jego rozwiązanie wymaga znajomości przemieszczenia końca u B, którego określenie jest zwyczajowo nazywane warunkiem brzegowym i pełni formalnie rolę wymuszenia podobnie jak siła F. Rozróżniamy więc dwa typy wymuszeń - siłowe lub kinematyczne. (12.83) Przyjmijmy, że u B =0, a siła ma postać funkcji harmonicznej F(t)=Fexp(jωt). Jeżeli przedmiotem poszukiwań jest rozwiązanie stanu ustalonego, to jest takiego kiedy przemieszczenie jest również funkcją harmoniczną u A (t)=u A exp(jωt), to równanie (12.83) przyjmuje szczególnie prosta postać Jego rozwiązanie zapisuje się zwykle jako Iloraz F/K nosi nazwę statycznego przemieszczenia u 0 =u A (ω=0) Zauważamy, że w przypadku, kiedy ω 2 = K/M to amplituda u A dąży do nieskończoności. Efekt ten nazywamy rezonansem mechanicznym a częstość ω = (K/M) częstością rezonansową lub częstością drgań swobodnych (bez wymuszeń). To ostatnie określenie wynika z tego, że przemieszczenie u A1 =u 1 exp(jω 1 t) jest 448 ω (12.84) 1 1 1 ω 1 (12.85)

rozwiązaniem równania (12.83), w którym prawa strona jest definicyjnie równa zeru. Amplituda u 1 może być wówczas dowolną liczbą rzeczywistą, co łatwo sprawdzić bezpośrednim rachunkiem. Mówimy, że postać drgań swobodnych jest określona z dokładnością do stałego mnożnika. Rozwiązanie równania ruchu oscylatora w przypadku czystego wymuszenia kinematycznego (F=0, u B 0) ma identyczną postać jak (12.84), należy jedynie zastąpić u 0 przez u B. Rozwiązywane równanie (12.82) dotyczy układu bezstratnego, w którym możliwe są nieskończenie wielkie drgania w warunkach rezonansu, kiedy siła bezwładności jest równa i przeciwnie skierowana do siły sprężystej. W rzeczywistych układach drgających zawsze występuje dodatkowa siła tarcia, która odpowiada rozpraszaniu energii na ciepło. Najprostszym modelem takiego rozpraszania jest tzw. tarcie wiskotyczne, w którym siła tarcia jest skierowana przeciwnie do przemieszczenia a jej wartość jest proporcjonalna do prędkości. Równanie ruchu przyjmuje wtedy postać (12.86) Zakładając jak poprzednio ustalone drgania harmoniczne u A (t)=u A exp(jωt) i wprowadzając amplitudę przemieszczenia statycznego u 0 otrzymuje się równanie ruchu, tym razem w postaci zespolonej 1 ω 1 (12.87) Dla uproszczenia zapisu wprowadza się pojęcie tłumienia krytycznego C k, powyżej którego w układzie nie są możliwe swobodne oscylacje [11][13] 2 (12.88) Rozwiązując (12.87) otrzymuje się następującą zależność dla wymuszonych siłowo (u B =0) drgań z tłumieniem 449

exp 1 4 (12.89) Kąt fazowy przemieszczenia wynika ze wzoru 2 1 (12.90) Przebiegi charakterystyk amplitudowej (12.89) i fazowej (12.90) w funkcji normalizowanej częstości analizowanego układu pokazano na Rys. 12.31 i Rys. 12.32. u A /u 0 ζ=0.05 ζ=0.2 ζ=0.5 ζ=1.0 ω/ω 1 Rys. 12.31 Charakterystyka wzmocnienia amplitudowego układu o jednym stopniu swobody 450

φ A [deg] ζ=0.05 ζ=0.2 ζ=0.5 ζ=1.0 ω/ω 1 Rys. 12.32 Charakterystyka fazowa kąta opóźnienia przemieszczenia względem siły wymuszającej dla układu o jednym stopniu swobody Przesunięcie maksimum charakterystyki amplitudowej wynikające z tłumienia w stosunku do wartości w modelu bezstratnym wynosi 1 (12.91) Dla większości materiałów konstrukcyjnych względny współczynnik tłumienia ζ jest mniejszy od 0.1 i dlatego też w obliczeniach częstości rezonansowych stosuje się model bezstratny (12.82). Tłumienie dodaje się zwykle na etapie obliczeń drgań wymuszonych. Szczegółowa analiza charakterystyki wzmocnienia amplitudowego w otoczeniu częstości rezonansowej pozwala znalezienie jej własności mających istotne znaczenie przy wyznaczaniu współczynnika tłumienia na drodze eksperymentalnej. Składowe rzeczywista H Re (ω) i urojona H Im (ω) wzmocnienia drgań o amplitudzie u A (ω) wyrażają się wzorami 1 1 4 (12.92) 2 1 4 (12.93) 451

Dla współczynnika tłumienia ζ<0.1 częstość ω ζ, przy której H Re (ω ζ ) jest równy H Im (ω ζ ) wynosi a przy tym zachodzi 1 (12.94) 1 2 1 4 (12.95) Stąd wynika, że dla tej częstości amplituda wzmocnienia H(ω ζ ) jest równa 1 2 (12.96) W praktyce charakterystyka wzmocnienia jest najczęściej podawana w decybelowej skali mocy sygnału L H (ω), co przy dotychczasowych oznaczeniach daje 10log (12.97) Poziom mocy sygnału, przy którym odczytujemy wartość współczynnika tłumienia jest więc równy (w stosunku do maksimum przebiegu) 10log 3 (12.98) 452

H(ω) 1 2 1 2 2 0 H Re (ω) H Im (ω) 1 4 1 ω/ω 1 Rys. 12.33 Charakterystyki wzmocnienia amplitudowego w otoczeniu częstości rezonansowej (ζ=0.01) 12.3.2. Drgania własne układu o dwóch stopniach swobody Rozpatrzmy obecnie właściwości układu posiadającego dwa stopnie swobody reprezentowane przez przemieszczenia dwóch mas zawieszonych sprężyście względem otoczenia - Rys. 12.34. Przyjmuje się, że przemieszczenia u 1, u 2 mają tylko jedną składową w kierunku 0x. Warunki brzegowe dla końców sprężyn K 1, K 3 ustala się na u A =u B =0. Jak poprzednio rozpatrujemy wyłącznie stan ustalony przy wymuszeniu harmonicznym. A K 1 K 2 K 3 M 1 M 2 B u 1 u 2 x Rys. 12.34 Układ o dwóch stopniach swobody 453

Równania harmonicznego ruchu układu (bez tłumienia) są w postaci 0 0 które zapisuje się w zwartej postaci jako (12.99) (12.100) Analizę drgań swobodnych prowadzi się przekształcając (12.100) poprzez lewostronne wymnożenie przez macierz odwrotną M -1 i podstawienie {F}=0 (12.101) gdzie I jest macierzą identycznościową, a elementy diagonalnej macierzy [M] -1 są równe odwrotnościom odpowiadających im elementów macierzy mas [M]. Nietrywialne ({u} 0) rozwiązanie (12.101) występuje, kiedy wyznacznik macierzy tego równania jest równy zeru 0 (12.102) Dla rozpatrywanego elementarnego przypadku o dwu stopniach swobody prowadzi to do równania kwadratowego 0 (12.103) w którym przez λ=ω k 2 oznaczono poszukiwaną k-tą wartość własną. Podstawiając otrzymane wartości ω k 2 wstecz do równania (12.101) otrzymujemy związki pozwalające na wyznaczenie k-tej postaci drgań własnych (k-tego wektora własnego macierzy). PRZYKŁAD. Wyznaczyć częstości i postacie drgań własnych układu pokazanego na Rys. 12.34, gdzie K 1 =K 2 =K 3 =K i M 1 =M 2 =M. Oznaczmy iloraz K/M przez λ 0. Równanie charakterystyczne (12.103) uprości się do postaci którego pierwiastki wynoszą 4 3 0 454

3 Równanie (12.101) zapisuje dla k-tej postaci drgań ψ k się jako 2 1 1 2 1 0 0 1 Podstawiając kolejno λ 1 i λ 2 uzyskuje się zależność wiążącą wartości składowych postaci własnych 0 0 Brakujące równanie do określenia wartości poszczególnych składowych przyjmuje się zwykle podając wymaganie normalizacyjne ψ k =1, które w normie energetycznej oznacza 1 0 Ostatecznie poszukiwane postacie drgań własnych wynoszą 1 2 1 1 1 2 1 1 Pierwsza postać drgań własnych jest jednoczesnym przemieszczaniem się mas M 1 i M 2 wzdłuż osi osi 0x - sprężyna K 2 jest cały czas nienapięta. Mamy tu więc do czynienia z wzajemnie odseparowanymi drganiami dwóch identycznych oscylatorów drgających w przeciw-fazie o częstości własnej λ Druga postać drgań polega jednoczesnym ściskaniu (rozciąganiu) sprężyny K 2 i rozciąganiu (ściskaniu) sprężyn K 1 i K 3. Środek ciężkości całego układu jest w tym przypadku nieruchomy. Schematycznie pokazano to na Rys. 12.35. 455

A K 1 K 2 K 3 M M B A u 1 u 2 K 1 K 2 K 3 M M B u 1 u 2 x Rys. 12.35 Postacie drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody 12.3.3. Drgania układów o wielu stopniach swobody. Analiza modalna Liczba par wartość własna/wektor własny jest równa liczbie stopni swobody N danego układu mas i sprężystości. Każda para spełnia równanie (12.100), które zapiszemy teraz jako (12.104) Mnożąc lewostronnie przez dowolny inny wektor własny {ψ k } T otrzymujemy (12.105) Zamieniając kolejność operacji można także napisać (12.106) Macierze sprężystości i mas są symetryczne, z czego wynika, że lewe strony równań (12.105) (12.106) są sobie równe. Odejmując stronami dwa powyższe równania otrzymamy warunek (12.107) z którego wynika, że przy j k zachodzi 456

oraz po podstawieniu do (12.100) również Dwie ostatnie zależności są nazywane własnościami M-, K-ortogonalności wektorów własnych (postaci drgań swobodnych). Jak wynika z równania (12.104) wektor własny może być wymnożony przez dowolną liczbę, co wykorzystuje się do ich skalowania. Najczęściej stosowane sposoby skalowania to wspomniana już normalizacja ψ k =1 lub taki dobór mnożnika k-tej postaci aby: Przy tej ostatniej jednocześnie zachodzi (12.108) (12.109) 1 (12.110) (12.111) Uzyskana własność ortogonalności jest bardzo istotna - dowolny N-elementowy wektor może być przedstawiony jako kombinacja liniowa postaci ψ k. Rozpatrzmy obecnie statyczne odkształcenie układu o N stopniach swobody pod wpływem dowolnego układu sił {F 0 }={F 1, F 2., F N }. Równanie stanu (12.100) redukuje się do (12.112) Poszukiwany wektor przemieszczeń {u 0 } rozkładamy na składowe względem postaci własnych (tzw. składowe modalne) (12.113) Podstawiając (12.113) do (12.112) i mnożąc lewostronnie przez dowolny wektor własny {ψ j } T otrzymujemy (12.114) 457

Wykorzystując K-ortogonalność postaci własnych (12.111) otrzymuje się N zależności definiujących współczynniki modalne Wartość K j wynika, jak już wyjaśniono, z przyjętego sposobu normalizacji wektorów własnych. W analogiczny sposób można dokonać rozprzęgnięcia układu równań (12.100) opisującego dynamikę badanego systemu przy wymuszeniu harmonicznym {F(t)}={F 0 }exp(jωt). Otrzymuje się kolejno z pominięciem czynnika czasowego 1,2, (12.115) (12.116) (12.117) i ostatecznie wektor współczynników modalnych przemieszczeń przy bezstratnych drganiach wymuszonych jest opisany zależnością 1 1 1 1,2, (12.118) Jeżeli poszczególne składniki wektora wymuszeń {F} są przesunięte w fazie, to współczynniki modalne u 0j są liczbami zespolonymi i muszą być liczone oddzielnie - dla rzeczywistej i urojonej części przestrzennej postaci wymuszenia. Liczba stopni swobody układu rośnie wtedy dwukrotnie. Równanie (12.118) jest nazywane bezstratną modalną funkcją odpowiedzi częstotliwościowej. Uwzględnienie tłumienia dokonuje się zazwyczaj identycznie jak dla układu o jednym stopniu swobody - porównaj wzór (12.89). Przyjmując, że tłumienie ζ j jest znane dla każdej częstości i postaci rezonansowej, można obliczyć amplitudę części rzeczywistej u jr i urojonej u ji składowych modalnych wg. wzorów (12.92) (12.93) 458

1 1 4 (12.119) 2 1 4 (12.120) Pamiętamy, że przez część rzeczywistą przemieszczenia rozumiemy tę jego składową, która jest w fazie z siłą wymuszającą. Określenie wartości modalnego współczynnika tłumienia ζ j nie jest łatwe, wymaga zazwyczaj przeprowadzenia złożonych pomiarów zanikania drgań w badanym układzie. Możemy obecnie przystąpić do sumowania poszczególnych składowych modalnych, oddzielnie dla części rzeczywistej i urojonej (12.121) (12.122) oraz obliczyć widmo amplitudowe i fazowe przemieszczeń układu (12.123) (12.124) PRZYKŁAD. Wyznaczyć funkcje odpowiedzi częstotliwościowej dla układu o dwóch stopniach swobody pokazanego na Rys. 12.34, gdzie K 1 =K 2 =K 3 =K i M 1 =M 2 =M. Wektor siły przypadającej na jednostkę masy wynosi {F M }={1, 0} T /M, a współczynniki tłumienia modalnego są równe ζ 1 = ζ 2 =0.05. W pierwszej kolejności wyznaczamy wektor przemieszczeń statycznych {u 0 } rozwiązując układ równań [K]{u}={F 0 }. Oznaczmy 459

jak poprzednio iloraz K/M przez λ (częstość drgań własnych elementarnego oscylatora) 2 1 W wyniku otrzymuje się 1 2 1 0 2/3 1/3 Postacie i częstości drgań własnych wyznaczono uprzednio, wynoszą one 1 2 1 1 1 2 1 1 3 Obecnie musimy wyznaczyć współrzędne modalne u 0j wykorzystując szczególny przypadek (ω=0) równania (12.119). Sprowadza się to do nowego określenia modalnej sztywności K j poprzez wprowadzenie niewiadomej a j =1/K j. 1 2/3 1/3 Podstawiając zależności liczbowe mamy układ dwóch równań 1 2 1 1 1 0 1 2 1 1 1 2/3 1/3 1 2 1 1 1 0 1 2 1 1 który w postaci jawnej zapisuje się następująco 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 1 3 Jego rozwiązanie jest natychmiastowe i wynosi 460

1 1 1 3 1 Przez ω j oraz M j oznaczono jak poprzednio j-tą częstość drgań własnych i j-tą masę modalną. Uproszczenie dalszych obliczeń otrzymuje się po wprowadzeniu jednostkowych mas modalnych. Jest to równoznaczne z przeskalowaniem wektorów własnych czynnikiem 1/ M j. Uwzględniając powyższe współrzędne modalne wynoszą Zwróćmy uwagę, że przy danych jak podano w treści przykładu mamy co oznacza, że przykładowe wymuszenie w jednakowym stopniu zawiera obydwie postacie drgań własnych. Ponieważ jednocześnie zachodzi ω 1 2 < ω 2 2, to należy spodziewać się większej amplitudy drgań w otoczeniu pierwszej częstości rezonansowej niż drugiej. Na Rys. 12.36 pokazano w skali logarytmicznej widmo amplitudowe składowej u 1 badanego układu odniesione do wychylenia statycznego tego punktu 10 log Charakterystyczną cechą tego wykresu jest wyraźne zmniejszenie poziomu drgań pomiędzy częstościami rezonansowymi. Wynika to ze zmiany znaku na przeciwny składowej {ψ 1 } 1 przemieszczenia po przekroczeniu jej częstości drgań własnych. Dla częstości ω przy której L ψ11 = L ψ21, składowe rzeczywiste przemieszczenia się 461

znoszą, a wypadkowe przemieszczenie wynika tylko ze składowej urojonej, której wartość daleko od częstości rezonansowej jest znikoma. Efekt ten nazywamy dynamicznym tłumieniem drgań. Odmienna sytuacja występuje przy obliczaniu składowej przemieszczenia masy M 2, z punktu widzenia której pobudzenie ma charakter kinematyczny. Ze względu na przeciwne znaki {ψ 2 } 2 i {ψ 1 } 2 modalne składniki w przedziale (0, ω 1 ) będą się odejmować a w (ω 1, ω 2 ) dodawać. Przy przejściu drugiej częstotliwości rezonansowej ω 2 faza wektora {ψ 2 } zmieni się na przeciwną i składowe {ψ 2 } 2 i {ψ 1 } 2 ponownie będą się odejmować. Przedstawiono to na Rys. 12.37 L u [ db ] L u1 L ψ11 L ψ21 ω/ω 1 Rys. 12.36 Widmo amplitudowe poziomu przemieszczeń L u1 współrzędnej u1 i jej składowych modalnych Lψ 11, Lψ 21 dla układu o dwóch stopniach swobody L u [ db ] L u2 L ψ22 L ψ12 ω/ω 1 Rys. 12.37 Widmo amplitudowe poziomu przemieszczeń L u2 współrzędnej u2 i jej składowych modalnych Lψ 12, Lψ 22 dla układu o dwóch stopniach swobody 462

12.3.4. Elementy dynamiki układów ciągłych. Drgania giętne. Metodykę przedstawioną w poprzednim rozdziale można zastosować do układów o bardziej złożonej geometrii. Rozpatrzmy cienkościenną, prostokątną powłokę o wymiarach a, b odpowiednio wzdłuż kierunków 0x, 0y układu współrzędnych usytuowanego jak na rys. 12.38. Zakłada się, że grubość powłoki h jest stała na całym jej obszarze i jest przy tym wielokrotnie mniejsza od pozostałych jej wymiarów geometrycznych. Parametry materiałowe oznaczono następująco: moduł Younga E, gęstość ρ oraz współczynnik Poissona ν. Warunki brzegowe narzucono w postaci tzw. swobodnego podparcia, co oznacza, że przekroje powłoki w miejscu jej podparcia mogą się swobodnie obracać (bez zmiany kształtu). a z x y h b Rys. 12.38 Geometria i warunki brzegowe prostokątnej powłoki swobodnie zamocowanej Zginanie powłoki zachodzi pod wpływem momentów występujących wzdłuż linii zamocowania - Rys. 12.39a, powstają one zazwyczaj w wyniku oddziaływania sił przyłożonych prostopadle do powierzchni powłoki i reakcji w podparciu. Poszczególne przekroje powłoki obracają się o kąt wynikający z ich położenia względem jednego punktu będącego środkiem krzywizny zginania. W wyniku tego 463

odległość pomiędzy punktami położonymi na zewnętrznych powierzchniach powłoki zmienia się. Na powierzchni położonej bliżej środka krzywizny obserwujemy skrócenie tych odległości - materiał ulega ściskaniu, a na powierzchni bardziej oddalonej mamy odwrotną sytuację - punkty tam leżące oddalają się od siebie, czyli materiał jest rozciągany. Schematycznie pokazano to na Rys. 12.39b. Wynika z tego również, że wewnątrz powłoki istnieje warstwa nazywana obojętną, na której nie występują zmiany odległości pomiędzy punktami do niej należącymi. Dla powłok o stałej grubości warstwa ta leży pośrodku jej objętości. Należy pamiętać, że zmiany poszczególnych wymiarów powłoki (odkształcenia) przy drganiach są bardzo małe - nie przekraczają 10-6. Charakterystyczną cechą deformacji zginanych cienkościennych powłok jest zasadnicza różnica pomiędzy składowymi przemieszczeń - przemieszczenia w kierunku prostopadłym do powierzchni powłoki są o kilka rzędów większe od przemieszczeń w kierunkach stycznych. Dlatego też w opisie drgań poszczególnych punktów powłoki można przyjąć, że jej grubość nie ulega zmianie, a do opisu kształtu deformacji jej powierzchni wystarczy składowa normalna przemieszczeń. +M - M warstwa obojętna rozciąganie ściskanie a. b. Rys. 12.39 Ilustracja idealnego zginania (deformacje w wyolbrzymionej rysunkowo skali) a. geometria przekroju poprzecznego b. przestrzenny rozkład odkształceń. Uwzględniając powyższe uproszczenia wykazuje się [14], że równanie drgań nietłumionych powierzchni powłoki jest w postaci: 464

gdzie m, n są liczbami całkowitymi różnymi od zera a D oznacza sztywność powłoki na zginanie,, (12.125) 121 (12.126) Harmonicznego rozwiązania u(x,y,t) spełniającego jednorodne warunki brzegowe poszukujemy w postaci superpozycji fal stojących,,,, cos cos (12.127) Wyznaczenie m,n-tej częstości drgań własnych na podstawie równania (12.125) jest natychmiastowe (12.128) a postacie drgań własnych z dokładnością do mnożnika u km podano zależnością (12.127) i dla kilku najniższych rzędów r km pokazano na Rys. 12.40. Numeracja rzędu wynika z liczby półfal wzdłuż boków powłoki. Na zamieszczonych poniżej rysunkach zaznaczono linie węzłowe poszczególnych postaci drgań czyli zbiory takich punktów powłoki, których przemieszczenia są równe zeru. Położenie tych linii będzie miało kluczowe znaczenie przy ocenie zdolności danego pola sił wymuszających do wzbudzenia drgań rezonansowych. Drugą, ważną cechą przedstawionych postaci drgań własnych jest nieregularność ich powierzchni, widoczna zwłaszcza dla wyższych rzędów. Wynika ona z tego, że do tworzenia tych rysunków wykorzystano narzędzia graficzne, w których liczba danych przypadających na przestrzenny półokres fali była mocno ograniczona. Dane te zostały wytworzone za pomocą dyskretnej 465

metody tzw. elementów skończonych, której omówienie znajduje się w następnym rozdziale. r km =(1,1) r km =(1,2) r km =(1,3) r km =(2,1) r km =(1,4) r km =(2,2) Rys. 12.40 Postacie drgań własnych prostokątnej powłoki o najniższych rzędach (wyznaczone metodą elementu skończonego) Aby było możliwe zastosowanie przedstawionej wcześniej metodyki analizy modalnej do rozwiązania danego w postaci szeregów funkcji ciągłych dwu zmiennych stosuje się rozwinięcie wzoru (12.4) wyznaczającego iloczyn skalarny funkcji ϕ 1 (x,y) i ϕ 2 (x,y) / /,,,,, / / (12.129) Z elementarnych własności funkcji trygonometrycznych wynika, że postacie drgań własnych są wzajemnie ortogonalne: 466

,,, 4 0 (12.130) z czego wynika, że mogą być bazą do rozwinięcia dowolnej funkcji przestrzennej. Taką funkcją, wykorzystywaną w analizie modalnej, jest postać statycznego odkształcenia u 0 (x,y) wywołana przestrzennym rozkładem sił wymuszających F(x,y). Wykorzystując zależność (12.15), podaną dla funkcji jednej zmiennej, jej dwuwymiarowy analog dla m,n-tej amplitudy modalnego widma sił jest w postaci,,,,,, / / 4,, / / (12.131) Stąd amplituda modalnych składników odkształcenia statycznego u 0mn wynosi (12.132) Można więc napisać wynikową zależność dla m,n-tej amplitudy drgań wymuszonych w układzie bezstratnym o częstości ω por. zależność (12.118) 1 1 1,2,, (12.133) Wynikowy czasoprzestrzenny rozkład drgań będzie w postaci,, cos cos (12.134) 467

Uwzględnienie tłumienia dokonuje się analogicznie jak w układzie o jednym stopniu swobody modyfikując postać funkcji H(ω). 12.3.5. Wstęp do metody elementów skończonych. Rzeczywiste urządzenia będące przedmiotem zainteresowań inżynierów niezwykle rzadko mają na tyle proste geometrie, że zjawiska w nich występujące dają się opisać wzorami analitycznymi. Naturalną tendencją obserwowaną od wielu lat przy modelowaniu takich obiektów było arbitralne dzielenie ich struktury na skończoną liczbę prostych części - elementów, dla których można było opracować szybko działający algorytm obliczeń czy wręcz znaleźć jawną zależność matematyczną, a następnie połączyć je w układ wzajemnie uzależnionych niewiadomych rozwiązywalnych metodami algebry liniowej. Istnieje obecnie wiele typów elementów o różnej geometrii, poczynając od punktu przez odcinek, płaski trójkąt lub czworokąt do przestrzennych czworoi sześciościanów. a. b. c. d. Rys. 12.41 Przykładowe elementy skończone wykorzystywane w obliczeniach drgań ośrodków ciągłych a. element prętowy dwuwęzłowy, b. element płaski trójkątny sześciowęzłowy, c. element powłokowy czworokątny czterowęzłowy, d. element bryłowy sześciościenny ośmiowęzłowy. W dalszym ciągu tego rozdziału zostanie przedstawiona jedynie idea zunifikowanego podejścia nazywanego metodą elementów skończonych na przykładzie drgań mechanicznych. Szczegółowy jej opis daleko wykracza poza ramy niniejszego wykładu a rozwinięcie poruszanych tematów można znaleźć w bardzo bogatej bibliografii, przykładowe pozycje to [8] [16] [17]. 468

Istotą metody elementu skończonego, zastosowanej do modelowania sprężystego kontinuum, jest wprowadzenie arbitralnych funkcji ϑ i (x,y,z) interpolujących rozkład przemieszczeń wewnątrz elementu na zbiorze wartości przemieszczeń w wybranych punktach (węzłach) elementu usytuowanych na jego zewnętrznej powierzchni (lub obwodzie - dla elementów płaskich). Funkcje te, nazywane funkcjami kształtu lub bazowymi, są wielomianami o stopniu od 1 do 3. Szczególną ich cechą jest lokalność - przyjmują wartości niezerowe jedynie w tych elementach, które zawierają dany węzeł, co pokazano na Rys. 12.42. Rys. 12.42 Postać funkcji kształtu w płaskich, trójkątnych, trzywęzłowych elementach zawierających węzeł i. Z każdym węzłem związany jest zbiór niewiadomych, którego skład zależy od typu elementu i rodzaju obliczeń do jakich jest on przeznaczony. Przykładowo, elementy bryłowe (ang. solid) w każdym węźle mają trzy niewiadome składowe przemieszczeń, elementy płaskie (ang. plane) w każdym węźle mają dwie niewiadome składowe przemieszczeń (w płaszczyźnie elementu) a elementy powłokowe (ang. shell) w każdym węźle mają trzy niewiadome składowe przemieszczeń i trzy niewiadome składowe obrotów. Te ostatnie są wprowadzane w sposób uproszczony jako pochodne przemieszczeń normalnych względem kierunków stycznych do powierzchni powłoki. Tak więc przemieszczenie dowolnego punktu {u(x,y,z)} e wewnątrz elementu e jest opisane za pomocą kombinacji liniowej wektorów przemieszczeń węzłowych w tym elemencie {u} e,, (12.135) Rozmiar macierzy funkcji kształtu [ϑ] wynika z łącznej ilości stopni swobody w węzłach danego elementu. Na podstawie ogólnych praw mechaniki ośrodków ciągłych, wykorzystujących tensorowy opis energii odkształceń sprężystych, można określić tzw. funkcjonał energetyczny danego elementu 469

będący opisem zmagazynowanej w nim energii w funkcji nieznanych a priori przemieszczeń węzłowych. Powtarzając to postępowanie dla wszystkich elementów i porządkując względem przemieszczeń węzłowych otrzymujemy opis całkowitej energii sprężystej za pomocą nieznanych N amplitud składowych przemieszczeń {u} (stopni swobody w węzłach siatki elementów) Minimalizacja tego funkcjonału względem nieznanych amplitud poszczególnych przemieszczeń prowadzi do układu N równań liniowych o ogólnej postaci gdzie [K] - symetryczna macierz sztywności, {F} - wektor składowych sił węzłowych. Dzięki lokalności funkcji kształtu macierz sztywności jest macierzą rzadką, której większość elementów ma wartość zerową. Umożliwia to efektywne rozwiązywanie nawet bardzo wielkich układów równań np. rzędu 10 6 w akceptowalnym czasie. Po rozwiązaniu układu (12.136) otrzymujemy pole przemieszczeń węzłów siatki, które nie jest jednorodne - zakładamy bowiem, że badany obiekt nie może przemieszczać się jako bryła sztywna, co otrzymaliśmy przez wprowadzenie zerowych warunków brzegowych w miejscu jego podparcia. W wyniku uzyskaliśmy, że poszczególne ściany elementów uległy przemieszczeniu, obrotowi oraz zmieniły swój rozmiar, zachowując przy tym ciągłość siatki. Pokazano to na Rys. 12.43 na prostym przykładzie zginanej belki. F (12.136) Rys. 12.43 Deformacja dwustronnie zamocowanej belki Do analizy drgań układu jest potrzebne jeszcze wyznaczenie wektora sił bezwładności. Macierz mas nie jest już diagonalną jak w rozdziale 12.4.3, kiedy skupione masy podlegały jedynie przemieszczeniom. Przyjmując, że gęstość materiału ρ e w elemencie jest stała, strukturę macierzy mas elementu [M] e określa zależność [16] 470

(12.137) Wyznaczenie całek, zarówno w (12.137) jak i przy obliczaniu macierzy sztywności [K] e, jest wykonywane metodami numerycznymi za pomocą tzw. kwadratur Gaussa. W oparciu o przemieszczenia w węzłach elementu {u} e można określić wektor sił bezwładności związany z danym elementem (12.138) Sumując składniki pochodzące od wszystkich elementów otrzymujemy wypadkowy wektor sił bezwładności, który wstawiony do zależności (12.136) daje równanie drgań ustalonych układu bezstratnego (12.139) Otrzymaliśmy formalnie identyczne równanie jak przy analizie drgań układu o dwóch stopniach swobody (12.100), jednak jego rozwiązanie wymaga zastosowania całkowicie odmiennych metod numerycznych ze względu na rozmiar macierzy, który zazwyczaj znajduje się w przedziale (10 3-10 6 ). Przy wyznaczaniu rozwiązania drgań własnych dla tak wielkich układów wykorzystywane są praktycznie bez wyjątku metody iteracyjne (podprzestrzeni, blokowa Lanczosa)[3][4], w których poszukuje się skończonej i przeważnie niewielkiej liczby najmniejszych wartości własnych oraz związanych z nimi wektorów własnych. Postępowanie takie wynika z następujących przesłanek: teoretyczna liczba wartości własnych jest równa liczbie stopni swobody w danym układzie, tym niemniej z punktu widzenia możliwości powstania wzmocnienia rezonansowego znaczenie mają tylko te wektory własne, których częstotliwość znajduje w zakresie częstotliwości składowych sił wymuszających oraz jednocześnie ich postać jest zbliżona do postaci składowych pola sił; najlepszą emisyjność akustyczną mają fale odkształceń giętnych o największej długości czyli najmniejszej liczbie falowej 471

(rzędzie), drgania własne o zbliżonej postaci mają wtedy przeważnie małą wartość własną. Przy obliczaniu drgań wymuszonych za pomocą syntezy modalnej stosowana jest metodyka omówiona w rozdziale 12.4.3. - równanie stanu (12.139) jest uzupełniane o składnik reprezentujący siły tłumiące drgania (12.140) a składowe modalne wypadkowych przemieszczeń dane są wzorami (12.119) (12.120). Tłumienie materiałowe może być również wprowadzone w bardziej zaawansowany sposób - macierz tłumienia [C] jest obliczana jako: Współczynniki α, β 1 β 2 są określane na drodze pomiarowej i mogą mieć różne wartości dla poszczególnych materiałów wchodzących w skład badanego urządzenia. Formuła (12.141) pozwala na zachowanie własności ortogonalności wektorów własnych. Przy stosowaniu powyższej metody obliczeń należy zadbać, aby odkształcenie statyczne {u 0 } było dostatecznie dobrze odwzorowane przez wybrany zbiór postaci własnych, co w przypadku obiektu o wielkiej liczbie stopni swobody nie jest łatwe. Alternatywną metodą wyznaczenia czasoprzestrzennego rozkładu drgań jest rozwiązanie wprost zespolonego układu równań (12.140) dla wybranych wartości częstości ω. Postępowanie takie daje dokładniejsze wyniki niż synteza modalna, lecz jest okupione znacznie większym nakładem czasu obliczeń. Budowa wirtualnych urządzeń za pomocą metody elementu skończonego praktycznie zawsze wymaga znalezienia kompromisu pomiędzy dokładnością modelu a czasem obliczeń niezbędnym do uzyskania rozwiązania. W trakcie tworzenia modelu jest konieczne pomijanie czy upraszczanie tych jego części, których wpływ na wynikowe drgania jest niewielki. Wynika stąd, że dobrą praktyką jest budowa kilku modeli o coraz większym stopniu skomplikowania, aby było możliwe ustalenie wpływu poszczególnych jego części na oczekiwany wynik obliczeń. Zasadnicze znaczenie ma tu gęstość siatki elementów i rząd wielomianu interpolacyjnego. Można przyjąć, że na długość pojedynczej fali odkształceń powinno przypadać 472 (12.141)

co najmniej kilkanaście stopni swobody siatki. Przykładem takich ograniczeń są dwie postacie drgań własnych powłoki powtórzone za Rys. 12.40 poniżej. Obliczenia były wykonane dla elementów powłokowych mających wielomian interpolujący trzeciego stopnia - cztery węzły na krawędzi elementu. Widać, że dla podstawowej postaci drgań o rzędzie (1,1) uzyskany kształt jest wystarczająco gładki - 24 stopnie swobody wzdłuż krawędzi o długości połowy fali. Natomiast dla rzędu (1,4) - mającym 6 stopni swobody na połowę fali, mamy do czynienia ze znacznym odkształceniem od oczekiwanego sinusoidalnego przebiegu i w konsekwencji z zawyżeniem odpowiadającej mu częstości rezonansowej. r km =(1,1) r km =(1,4) Rys. 12.44 Wpływ gęstości siatki elementu skończonego na dokładność odwzorowania deformacji Przy wizualnej ocenie kształtu postaci należy pamiętać o dodatkowym zniekształceniu wywołanym przez procedury graficzne - deformacja jest przedstawiana wyłącznie w oparciu o przemieszczenia węzłów w narożach elementów. Na zakończenie tego niezwykle skrótowego omówienia możliwości metody elementu skończonego przedstawiono przykłady jej zastosowania do modelowania drgań maszyn elektrycznych. Numeryczne rozmiary modeli zamieszczonych na Rys. 12.45 i Rys. 12.46 są różne - od kilkudziesięciu do kilkuset tysięcy równań, w zależności od środowiska programowego, w którym były zrealizowane. Kolejnym czynnikiem mającym istotny wpływ na technologię budowy modelu jest data jego wykonania - rozwój sprzętu komputerowego i oprogramowania jest tak szybki, że możliwości obliczeniowe skokowo zmieniają się po upływie zaledwie kilku lat. Na Rys. 12.45 pokazano kształt postaci drgań własnych silnika indukcyjnego wysokiego rzędu (o numerze 49 wg. rosnącej listy częstości). Zwraca uwagę bardzo złożony kształt deformacji, 473

w którym uczestniczą wszystkie części składowe maszyny. Podobną cechę ma większość pozostałych postaci drgań. Dlatego też obliczenie ewentualnego wzmocnienia rezonansowego innymi metodami niż numerycznymi jest w praktyce niemożliwe. Rys. 12.45 Przykładowa postać drgań własnych silnika indukcyjnego [1] Na Rys. 12.46 przedstawiono chwilowe postacie drgań wymuszonych silników prądu przemiennego pochodzące od sił magnetycznych o rzędzie r = 2. Do ich obliczenia wykorzystano widmo 2DFT sił magnetycznych działających na wewnętrzną powierzchnię stojana maszyny, którego odpowiedni składnik stanowił zespoloną funkcję wymuszeń do obliczeń drganiowych w postaci {F(ωt-rα)}, gdzie α jest kątem mierzonym wokół osi obrotu wirnika maszyny. 474

a. b. Rys. 12.46 Deformacje kadłubów silników elektrycznych wywołane siłami magnetycznymi 2 rzędu (skala deformacji wyolbrzymiona rysunkowo) a. mocowanie kołnierzowe (za zgodą OTIS United Technologies) b. mocowanie na łapach [15] 12.4. Literatura [1] Badiola C.M., Modelización 3d de vibraciones libres de motores asíncronos por medio del método de elementos finitos, praca magisterska IMSI Politechnika Łódzka/ Escuela Superior de Ingeniería de la Universidad del País Vasco, 2003, [2] Cempel C., Podstawy wibroakustycznej diagnostyki maszyn, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1982 [3] Dryja M. Jankowska J. Jankowski M., Przegląd metod i algorytmów numerycznych, Wydawnictwa Naukowo- Techniczne, Warszawa 1981 [4] Dahlquist G., Björck A., Metody numeryczne, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1983 [5] Engel Z., Ochrona środowiska przed drganiami i hałasem, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1993 [6] Fahy F. C., Sound and Structural Vibration: Radiation, Transmission and Response, Academic Press, 1987 [7] Feynman R.P., Leigton R.B., Sands M., Feynmana wykłady z fizyki, TI, cz. 2, PWN, Warszawa 1974 [8] Kotełko M., Kubiak T., Advanced mechanical engineering, Politechnika Łódzka 2006 475