4.1. Podstawowe wielkości akustyczne

Transkrypt

1 4.1. Podstawowe wielkości akustyczne Fala akustyczna (dźwiękowa) jest jedną z form przenoszenia energii. Polega ona na cyklicznym przemieszczaniu się cząsteczek sprężystego środowiska wokół położenia równowagi tzw. drgania mechaniczne. Podstawowy podział to: fale podłużne - kierunek przemieszczeń cząsteczek pokrywa się z kierunkiem przenoszenia energii; fale poprzeczne - kierunek przemieszczeń cząsteczek jest prostopadły do kierunku przenoszenia energii. Wewnątrz ośrodków nie posiadających sprężystości postaci (gazy i ciecze, które przyjmują kształt zawierającego je zbiornika) fala akustyczna jest wyłącznie falą podłużną. W ciałach stałych występują zarówno fale podłużne jak i poprzeczne, a także inne, o bardziej złożonym charakterze. Na rys.1.20 pokazano ideę odkształcania się struktury cząsteczek przykładowego środowiska podczas przechodzenia dwu podstawowych typów fal. fala podłużna fala poprzeczna Kierunek przenoszenia energii Rys.4.1. Schematyczna ilustracja fali podłużnej i poprzecznej Falą jednowymiarową (falą 1D, falą płaską) bez dyspersji nazywamy przemieszczanie się wzdłuż pewnego kierunku x ze stałą prędkością c przestrzennego zaburzenia wybranej wielkości fizycznej g(x,t), którego kształt nie zmienia się w czasie. Mówimy wówczas, że prędkość fali (fazowa) nie zależy od częstotliwości pobudzenia. Zaburzenie to g(x,t) spełnia zależność Rys.4.2. Rozchodzenie się fali bez dyspersji

2 z którego wynika ( ) (4.1) Prędkość rozchodzenia się dźwięku c jest parametrem charakterystycznym dla danego ośrodka, w dalszym ciągu będziemy przyjmować, że wartość ta dla danego medium jest stała. Pozwalać to będzie na stosowanie zasady superpozycji, mówiącej, że efekt działania sumy przyczynków w środowisku liniowym jest równy sumie efektów poszczególnych przyczynków oddzielnie. Tabela 4.1. Prędkość dźwięku dla różnych ośrodków Środowisko Prędkość dźwięku [m/s] Powietrze (20 o C) 340 Woda (10 o C) 1450 Beton 3900 Stal 6000 (4.2) Równanie płaskiej fali nieskończenie rozległej biegnącej wzdłuż dodatniego kierunku 0x w ośrodku bez dyspersji zapisuje się najczęściej jako [ ] [ ] (4.3) k =2 f k pulsacja (częstość kołowa) składowej fali T k =1/f k okres składowej fali, czyli najmniejszy przedział czasu jaki dzieli w danym punkcie przestrzeni pojawienie się tej samej cechy składowej fali np. minimum, k =c/f k długość fali, czyli najmniejsza odległość w danej chwili czasowej pomiędzy tymi samymi cechami składowej fali, np. minimami, k - kąt fazowy składowej fali, który jest odległością (mierzoną w radianach) w danej chwili i miejscu od najbliższego punktu w przestrzeni bądź w czasie, w którym dana fala ma wartość równą zeru i zmienia wartość z ujemnej na dodatnią. Frontem fali nazywamy miejsce geometryczne punktów w przestrzeni mających ten sam kąt fazowy (zwykle maksimum). W danym punkcie front fali jest prostopadły do kierunku jej rozchodzenia się. Sumowanie fal składowych wykorzystane w (4.3) nazywane jest interferencją fal. Analizując czasoprzestrzenne równanie fali zauważamy, że o charakterze przebiegu względem danego układu odniesienia decyduje częstość fali k, długość fali wynika z własności falowych środowiska określonych przez prędkość dźwięku c. Przy występowaniu fali akustycznej w danym środowisku zachodzą następujące, wzajemnie sprzężone zjawiska fizyczne: o ruch cząsteczek powoduje zmianę gęstości środowiska; o zmiana gęstości jest związana ze zmianą ciśnienia; o gradient ciśnienia powoduje ruch cząsteczek środowiska. W dalszym ciągu rozważań będziemy zajmować się przede wszystkim zjawiskami akustycznymi w powietrzu, a w szczególności rozkładem ciśnienia akustycznego

3 wynikającego z rozchodzenia się dźwięku. Ciśnienie atmosferyczne mierzymy w barach 1 bar = 10 5 N/m 2 = 0.97 atm. Gęstość powietrza w warunkach standardowych (p ST =1 bar, ST = 25 o C) wynosi ST =1.17 kg/m 3. Zmiana ciśnienia odpowiadająca umiarkowanemu dźwiękowi (rozmowa) jest rzędu 10-7 bara, dlatego przyrost ciśnienia p a związany z przejściem fali dźwiękowej o natężeniu jeszcze akceptowalnym przez organizm człowieka (p a < 0.1 N/m 2 ) może być przedstawiony zlinearyzowaną zależnością Dla fali płaskiej, kiedy warstwy powietrza przemieszczają się tylko w jednym kierunku, wyprowadza się [6][13] zależność dla zmiany gęstości wywołanej falą akustyczną oraz równanie ruchu warstwy powietrza (4.4) (4.5) (4.6) Oznaczając pochodną ciśnienia względem gęstości przez c 2 i podstawiając do równania ruchu otrzymuje się tzw. jednowymiarowe równanie falowe dla przemieszczenia warstwy cząsteczek płynu. Wielkość c jest prędkością fazową fali akustycznej. (4.7) Różniczkując obustronnie po czasie otrzymuje się równanie falowe dla prędkości warstwy powietrza v x (prędkości cząsteczkowej) (4.8) Należy wyraźnie odróżniać prędkość cząsteczkową v x od prędkości rozchodzenia się dźwięku c (frontu fali akustycznej). Prędkość cząsteczkowa jest przy tym o kilka rzędów wielkości mniejsza od prędkości dźwięku. Dopasowując do siebie równania (1.46) i (1.48) poprzez obustronne różniczkowanie względem czasu bądź przestrzeni otrzymuje się, że ciśnienie akustyczne p a również spełnia równanie falowe (4.9) Ciśnienie akustyczne p a i prędkość cząsteczkowa v pełnią rolę zmiennych stanu dla pola akustycznego. Chwilowym natężeniem dźwięku I nazywamy iloczyn (4.10) określający powierzchniową gęstość energii fali akustycznej przepływającej w jednostce czasu przez elementarną powierzchnię prostopadłą do wektora v usytuowaną w punkcie o wektorze wodzącym r. Jednostką natężenia dźwięku jest W/m 2.W praktyce, kiedy analizuje się najczęściej procesy ustalone w czasie, stosuje się wartość uśrednioną definiowaną przez

4 (4.11) Tak więc moc akustyczna W a emitowana przez pojedyncze źródło dźwięku może być obliczona za pomocą zależności (4.12) gdzie S oznacza dowolną, zamkniętą powierzchnię obejmującą źródło dźwięku. Modelem fizycznym dla pojęcia fala płaska jest sytuacja kiedy : o rozmiar źródła o powierzchni pulsującej jednorodnie ξ(t)= ξ m exp(jwt) jest wielokrotnie większy od odległości d od jego powierzchni do punktu, w którym dokonujemy pomiaru, o odległość d jest wielokrotnie większa od długości fali. Rozpatrzmy półprzestrzeń rozciągającą się od powierzchni źródła, które pulsuje z częstością i amplitudą przemieszczenia m rys.4.3. Rozpatrujemy przypadek fali rozchodzącej się w polu swobodnym, tzn. bez przeszkód i rozpraszania energii, dla którego ciśnienie p(x,t) oraz prędkość (cząsteczkowa) v(x,t) wynoszą: p a (x,t) = p m exp[j (t-x/c)], v(x,t) = v m exp[j (t-x/c)]. Wprowadzając te zależności do równania ruchu (4.6) otrzymuje się (4.13) Przyjmując, że na granicy źródło półprzestrzeń zachodzi ciągłość przemieszczeń, to jest cząsteczki powietrza nie odrywają się od powierzchni wymuszającej drgania, otrzymujemy prostą relację określającą amplitudę prędkości cząsteczkowej v m (4.14) która dla fali płaskiej dokładnie jest równa prędkości drgań powierzchni źródła. Typowe wartości tej prędkości dla powierzchni urządzeń średniej mocy są rzędu kilku m/s. Iloczyn ST c nosi nazwę impedancji akustycznej Z a, która dla powietrza w warunkach standartowych wynosi blisko 400 kg/(m 2 s). źródło v Rys.4.3. Wytwarzanie płaskiej fali prędkości cząsteczkowej

5 Uśrednione w czasie natężenie dźwięku (moc akustyczna harmonicznej fali dźwiękowej przypadająca na jednostkę powierzchni) jest więc równa Szczególnym przypadkiem interferencji dwóch fal jest fala stojąca, będąca superpozycją dwóch identycznych fal biegnących w przeciwnych kierunkach W wyniku otrzymuje się zależność pokazaną graficznie poniżej. (4.15) [ ] [ ] (4.16) (4.17) g t=t/4 t=3t/4 x Rys.4.4. Przestrzenny rozkład fali stojącej dla dwóch chwil czasowych Pamiętajmy, że w przypadku płaskiej fali akustycznej w powietrzu lub cieczy funkcja g(x,t) reprezentuje skalarne pole ciśnienia akustycznego bądź prędkość cząsteczkową w kierunku 0x. Rozpatrzmy obecnie przypadek nadajnika kulistego, którego powierzchnia drga jednorodnie z częstością i amplitudą m. Jak poprzednio zakładamy rozchodzenie się dźwięku w polu swobodnym. Kolejne fronty falowe będą mieć kształt współ-środkowych sfer oddalonych o długość fali =c/f. Otrzymane pole akustyczne jest jednowymiarowe jego wartości zależą jedynie od odległości r od środka nadajnika.

6 r 0 Rys.4.5. Wytwarzanie kulistej fali prędkości cząsteczkowej Równanie falowe we współrzędnych sferycznych jest w postaci (4.18) Przenosząc r na prawą stronę otrzymujemy odpowiednik równania dla fali płaskiej względem funkcji r (r). Wielkość oznaczona przez nazywana jest potencjałem akustycznym (potencjałem prędkości), której związki z wprowadzonymi wcześniej wielkościami opisującymi pole akustyczne są następujące (4.19) Ogólna postać rozwiązania potencjału (r) dla fali kulistej rozchodzącej się radialnie wyniesie więc [ ] (4.20) Wykorzystując zależności definicyjne (4.19) można obliczyć rozkłady ciśnienia p a i prędkości v [ ] [ ] (4.21) Widzimy, że w ogólnym przypadku ciśnienie akustyczne nie jest w fazie z prędkością cząsteczkową, jak miało to miejsce dla fali płaskiej. Obliczając zależność dla impedancji akustycznej Z a będącej jak poprzednio ilorazem p a /v otrzymujemy liczbę zespoloną

7 gdzie k jest liczbą falową /c, a kąt fazowy wyznacza się ze wzoru (4.22) (4.23) Bezwymiarowy iloczyn kr można przedstawić w postaci (4.24) Widać, że dla odległości r kilkakrotnie większych od długości fali wartość impedancji akustycznej dąży do ST c część urojona znika, czyli ciśnienie akustyczne i prędkość cząsteczkowa są ze sobą w fazie. Innymi słowy, dla dostatecznie dużych odległości od źródła fala kulista upodabnia się do fali płaskiej. Stałą A wyznacza się z warunku równości prędkości cząsteczkowych na powierzchni źródła o promieniu r 0 (4.25) Dla źródła o promieniu pomijalnym w stosunku do długości fali (kr 0 << 1) amplituda ciśnienia wynosi (4.26) Natężenie dźwięku wywołane przez nadajnik kulisty będzie odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od środka nadajnika. Do tej pory rozważane było tzw. swobodne pole akustyczne, w którym występowało pojedyncze źródło dźwięku przy jednoczesnym braku jakichkolwiek przeszkód na drodze emitowanej przez nie fali dźwiękowej. Jest to sytuacja idealna, nie występująca w rzeczywistych warunkach. Fala akustyczna rozchodząca się w środowisku sprężystym po napotkaniu przeszkody podlega następującym zjawiskom fizycznym: odbicie fali (refleksja) zmiana kierunku rozchodzenia się fali, kąt padania mierzony względem normalnej do przeszkody równa się kątowi odbicia; pochłanianie fali (tłumienie) każdy ośrodek sprężysty posiada własność tłumienia (rozpraszania energii na ciepło) fal akustycznych w nim się rozchodzących; ugięcie fali (dyfrakcja) na krawędzi przeszkody fala zmienia kształt swojego frontu i rozchodzi się we wszystkich kierunkach ( z różnym natężeniem) wokół tej krawędzi. Ugięcie fali jest tym łatwiejsze im większa jest długość fali. przenikanie fali (transmisja) dla przegrody o skończonej grubości zachodzi proces wielokrotnego padania i odbicia fali na jej powierzchniach brzegowych. W wyniku zachowania energii i pędu część energii fali padającej z zewnątrz na przegrodę przenika przez nią w postaci fali przechodzącej.

8 Rys.4.6. Zjawiska towarzyszące emisji fali akustycznej W zależności od odległości od źródła dźwięku pole akustyczne zmienia swoje właściwości. Wyróżnia się następujące podstawowe typy pól: o pole bliskie w przybliżeniu zawarte w przedziale r < =c/f. Ciśnienie akustyczne nie jest w fazie z prędkością cząsteczkową. o pole dalekie zachodzi dla r >, o ile nie istnieją przeszkody odbijające lub pochłaniające dźwięk to natężenie dźwięku maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości ( -6 db na każde podwojenie odległości). W rzeczywistości zawsze występują dodatkowe obiekty odbijające i pochłaniające dźwięk, jak również zauważa się wpływ innych źródeł dźwięku (tzw. tło akustyczne). Wprowadzono więc pojęcia: o o pole swobodne obszar, w którym nie zauważa się wpływu fal odbitych; pole dyfuzyjne obszar, w którym krzyżuje się wiele fal odbitych lub pochodzących z innych źródeł. Poziom dźwięku jest stały w tym obszarze. Rys.4.7. Klasyfikacja pól akustycznych

9 4.2. Słyszenie dźwięku i parametry akustyczne Ucho ludzkie pozwala na przekształcenie oscylacji ciśnienia akustycznego na impulsy nerwowe w bardzo szerokim przedziale częstotliwości od 16 Hz do 16 khz oraz przedziale amplitud od 20 Pa do 20 Pa. Dodatkowo pełni rolę analizatora, który potrafi rozróżnić kształt widma częstotliwościowego danego dźwięku. Podane przedziały liczbowe mają charakter orientacyjny i mogą się znacznie różnić u poszczególnych osób. Ze względu na znaczną skalę amplitudową zakresu słyszenia ciśnienie akustyczne jest mierzone w skali logarytmicznej. Poziomem (mocy) ciśnienia akustycznego L p nazywamy wielkość (4.27) gdzie wielkością odniesienia jest p a0 =20 Pa, będące progiem słyszalności przy 1000 Hz. Przeciętna rozdzielczość ucha ludzkiego (zdolność do zauważenia zmiany) jest rzędu 1.5 db dla f=1000 Hz. W analogiczny sposób zdefiniowano poziom natężenia dźwięku L I (4.28) w którym za odniesienie przyjęto I 0 =10-12 W/m 2 oraz poziom mocy akustycznej L W z mocą odniesienia W a0 =10-12 W. Zauważmy przy tym, że zachodzi (4.29) (4.30) Stąd dla idealnego kulistego źródła dźwięku w polu swobodnym tożsamościowo zachodzą związki L p L I L W. Rzeczywiste źródła dźwięku nie mają jednak sferycznej charakterystyki emisji i dlatego obliczanie poziomu mocy akustycznej na podstawie szeregu pomiarów bądź obliczeń poziomu ciśnienia akustycznego wymaga nieco uwagi. PRZYKŁAD 1. Dany jest zbiór K pomiarów poziomu ciśnienia akustycznego L pk wykonanych w odległości r od badanego źródła i w punktach równomiernie rozłożonych w przestrzeni. Przyjmując, że mamy do czynienia z polem swobodnym możemy obliczyć natężenie dźwięku I k w każdym punkcie ze wzorów (4.13)(4.15) i (4.27) Moc akustyczna przechodząca przez powierzchnię otaczającą każdy punkt jest równa a moc całkowita W a jest sumą po wszystkich punktach Ostatecznie poziom mocy akustycznej L W jest określony zależnością

10 LA [ db ] Paweł Witczak (4.31) PRZYKŁAD 2. Pomierzono w wybranym punkcie widmo częstotliwościowe poziomu ciśnienia akustycznego L p (k), k=1,2,...k. Poszukiwana jest wartość poziomu całkowitego natężenia dźwięku w tym punkcie. Zgodnie z twierdzeniem Parsevala (1.22) całkowita moc sygnału jest sumą mocy jego składowych w widmie, które są proporcjonalne do natężenia dźwięku o danej częstotliwości. Natężenie dźwięku k-tej składowej jest równe i w konsekwencji poziom wypadkowego natężenia dźwięku wynosi (4.32) Wrażliwość słuchu człowieka na bodźce dźwiękowe jest silnie nieliniowa w dziedzinie częstotliwości dla niskich (do kilkuset Hz) jest stosunkowo mała a największa jest w przedziale około 1 do 3 khz. W celu zniwelowania tej właściwości wprowadzono krzywe korekcyjne umożliwiające przypisanie tej samej liczby różnym poziomom ciśnienia akustycznego o danych częstotliwościach lecz o subiektywnie odczuwanej tej samej głośności rys.4.9. Logarytmiczną jednostką jednakowej głośności jest fon, którego skala pokrywa się z decybelową mocy dla częstotliwości 1 khz. W najczęstszym użyciu jest krzywa korekcji A, odpowiadająca w przybliżeniu krzywej 40 fonów. Skorygowany poziom ciśnienia L pa nazywany poziomem dźwięku otrzymuje się dodając znormalizowaną poprawkę L A zamieszczoną na rys.4.8. do poziomu (mocy) ciśnienia akustycznego bez korekcji L p (4.33) częstotliwość [ Hz ] Rys.4.8. Krzywa korekcji A

11 korekcja A Rys.4.9. Krzywe jednakowej głośności [Bruel&Kjaer] Wykonując pomiary akustyczne rzeczywistych obiektów mamy do czynienia ze zmianami w czasie zarówno całkowitej emitowanej mocy jak i amplitud jej składowych harmonicznych. Zmiany te mają najczęściej charakter przypadkowy i są wywołane trudnymi do ustalenia przyczynami. Najprostszym sposobem ich eliminacji jest uśrednienie w czasie. Równoważnym poziomem dźwięku z korekcją A uśrednionym w czasie T nazywamy wyrażenie L Aeq, T równe [ ( ) ] [ ( ) ] (4.34) Zależność tę należy rozumieć następująco: w czasie T K jest dokonywanych K pomiarów,

12 z których każdy trwa zwykle około sekundy (T=N/f s, typowe wartości to np. N= 4096, f s =6400 Hz). Obliczone widmo DTF jest modyfikowane według krzywej korekcji A i zapamiętywane jako L pak (n), gdzie n oznacza numer składowej widma. Uśrednione widmo L Aeq, T (n) jest obliczane z dyskretnej aproksymacji całki, która po wprowadzeniu sumowania poziomów jak w (4.32) prowadzi do wzoru [ ] (4.35) Pominięcie w powyższym wzorze ułamka 1/K w argumencie funkcji logarytmicznej daje zależność na poziom energii, również skorygowanego krzywą A, dla pojedynczego zdarzenia akustycznego o czasie trwania T K oznaczanego przez L AE lub SEL (Sound Exposure Level).