POLIECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGEYKI INSYU MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGEYCZNYCH IDENYFIKACJA PARAMERÓW RANSMIANCJI Laboraorium auomayki (A ) Opracował: Sprawdził: Zawierdził: dr inż. Grzegorz Wiciak dr inż. Jerzy Widenka dr hab. inż. Janusz Koowicz
ema ćwiczenia: Idenyfikacja ransmiancji elemenów auomayki. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jes wyznaczenie paramerów ransmiancji meodą charakerysyk skokowych. Przedmio badań:. Opis meody. 4. ermoelemen Ni-NiCr o zakresie pomiarowym o C, umieszczony w mealowej rurce zanurzony we wrzącej wodzie. 4. Oscylacyjny układ mechaniczny. Meoda polega na wymuszeniu skokowej zmiany na wejściu elemenu i rejesracji przebiegu czasowego sygnału wyjściowego aż do osiągnięcia sanu usalonego (rysunek poniżej). x y x Badany elemen y Na wyjściu elemenu można uzyskać dwa różne jakościowo przebiegi: -monooniczny -oscylacyjny.. Monooniczny przebieg sygnału wyjściowego. W ogólnym przypadku monooniczny przebieg charakerysyki skokowej odpowiada ransmiancja: y k x ( Ls + )... ( s + )( s + ) M s e M... gdzie: k współczynnik wzmocnienia
3 s e opóźnienie Meoda a pozwala wyznaczyć główną sałą czasową mianownika jeżeli pozosałe sałe czasowe są isonie mniejsze od niej, a po wyznaczeniu M można oszacować opóźnienie. Dla skokowej zmiany sygnału wejściowego : x ( ) x ( ) odpowiedź elemenu opisuje równanie: o M M y( ) Ae Ae +... kx ( ) Sałe A, A mogą być ujemne lub dodanie. y B kx Jeżeli po pewnym przedziale czasu o przebiegu decyduje główna sała czasowa np. M, o z równania charakerysyki skokowej wynika że w ym przedziale przebieg opisuje równanie: Z ego równania wynika: y( ) A e kx ln y( ) kx o M kx ln A M Warość w licziku logarymu nauralnego oznaczonona rysunku lierą B. kx y( ) Sąd wynika że na wykresie półlogarymicznym ln, punky pomiarowe powinny w pewnym przedziale worzyć prosą. kx
4 Z nachylenia prosej można wyznaczyć warość sałej czasowej M, o znaczy: D C M kx y( ) ln kx C D Warość współczynnika wzmocnienia k można określić dzieląc warość charakerysyki skokowej w sanie usalonym przez warość skoku na wejściu: y( ) k x kx x Uproszczona meoda wyznaczenia sałej czasowej. Jeżeli charakerysyka skokowa jes zbliżona do charakerysyki elemenu inercyjnego I-go rzędu (brak opóźnienia i małe przegięcie w począku układu) o sałą czasową można wyznaczyć w prosy sposób. y(s) k Charakerysykę skokową elemenu inercyjnego I-rzędu o ransmiancji dla skokowej zmiany na wejściu x( ) x ( ) x(s) s + ma posać: Dla y( ) k( e y () orzymuje się: ) x,63 kx Sała czasowa określa przedział czasu po kórym charakerysyka skokowa osiąga warość 63% sanu usalonego. y,63kx kx
5.3 Przebieg oscylacyjny. W ym przypadku zakładamy ransmiancję elemenu oscylacyjnego: y( s) x( S) s kω + ξω s + ω gdzie: k- współczynnik wzmocnienia ξ- liczba łumienia ω częsość drgań niełumionych Dla wymuszenia skokowego x ( ) x ( ) charakerysyka skokowa ma posać: ξ e y( ) kx ( cos( ω ϕ)) ξ gdzie: ω ϕ g ω ξ - częsość drgań łumionych ξ arc - przesunięcie fazowe ξ y A A kx Paramery ransmiancji wyznaczamy na podsawie warości A, A,, kx. A, A są warościami różnicy A( ) y( ) kx drgań ( ). kx -Współczynnik wzmocnienia: k x dla czasów i różniących się okresem y( ) x - Warość liczby łumienia ξ wyznaczamy z ilorazu Korzysając z wzoru charakerysyki skokowej, orzymuje się: A A
6 A A e cos( ω ϕ) ξω ξω ( ) e ξω e cos( ω ϕ) Zależność między ω i ω oraz równanie posaci: πξ A ξ e A ω ( ) π sprowadzić powyższy wzór do Sąd można wyznaczyć liczbę łumienia ξ. -Dla znanych warości ξ i.4 Przebieg pomiarów: π ω można obliczyć ω. a) Pomiar charakerysyki skokowej ermoelemenu. Sanowisko pomiarowe składa się z ermomeru, rejesraora emperaury z nasawialnym posuwem aśmy, naczynia z wodą wrzącą sojącego na kuchence elekrycznej, Na począku ermomer wraz z osłoną posiadała emperaurę usaloną równą emperaurze ooczenia. Włączamy napęd aśmy rejesraora. ermomer wkładamy do wrzącej wody. Rejesraor rejesruje wskazania ermomeru (jego charakerysykę czasową dla wymuszenia skokowego). Rys... Sanowisko do pomiaru charakerysyki czasowej ermomeru
b) Idenyfikacja ransmiancji układu mechanicznego. 7 y b c m c Q Rys.. Sanowisko do pomiaru charakerysyki skokowej układu mechanicznego. Równanie ruchu układu ma posać: d y dy Q( ) b d d m cy gdzie: m całkowia masa układu b współczynnik arcia płynnego c sała sprężyny Q ciężar obciążnika Zakładając że y ( ) y + y ( ) oraz Q ( ) Q + Q ( ) (warości nadkreślone odnoszą się do sanu usalonego) i uwzględniając że Q c y orzymuje się równanie dla przyrosów: d y d m d y Q( ) b d c y Sąd wynika ransmiancja: y(s) Q(s) s kω + ξω s + ω gdzie: k, c b ξ, mc ω c m Ponieważ wygodniej jes wymuszać wsępne przesunięcie y ( ) zamias skokowej zmiany obciążenia ( Q ), uwzględniając o przy ransformacji równania ruchu dla przyrosów, orzymuje się: m [ s y ( s ) s y ( )] b [ s y ( s ) y ( )] c Korzysając z podanych wcześniej wzorów, orzymuje się: y ( s )
8 y (s ) y ( ) s s + ξω + ξω s + ω Przebieg czasowy y ( ) gdzie: y ( ) opisuje równanie: y ( ) e ξω ξ cos( ω ϕ ) ω ω ξ ϕ arcg -Ponieważ w przebiegu czasowym y ( ) nie wysępuje współczynnik wzmocnienia ransmiancji k, można z niego wyznaczyć ylko warości ξ i ω zgodnie ze sposobem opisanym wyżej dla charakerysyki skokowej. -Współczynnik wzmocnienia k wyznaczamy obciążając układ różnymi ciężarami Q i mierząc odpowiadające im przesunięcia y. Dla każdej pary Q oraz y wyznaczamy k y k, a nasępnie warość średnią. Q Dodaek eoreyczny: Wyprowadzenie wzoru na ransmiancję ermomeru. Przyjęo założenia: - Przyjmujemy nasępujące (przybliżone) równanie różniczkowe opisujące dynamikę zmian emperaury ermomeru po włożeniu go do wody: ξ ξ ϑw ϑ dϑ mc R d (.) Gdzie: ϑw ϑw + ϑw ϑ ϑ + ϑ ϑ w ϑ czas ϑ w emperaura wody (emperaura mierzona sygnał wejściowy) ϑ emperaura ermomeru (emperaura wskazywana sygnał wyjściowy) R opór cieplny przepływu ciepła od wody do ermomeru m masa ermomeru biorąca udział w procesie nagrzewania c ciepło właściwe ermomeru emperaura jes mierzona ermoparą Ni-NiCr. Zimne końce ermopary sykają się z powierzem ooczenia, dlaego zakładamy, że mają emperaurę ooczenia. ermopara wskazuje nadwyżkę emperaury ponad emperaurę ooczenia. W emperaurze ooczenia wskazania ej ermopary są równe zero.
9 Równanie (.) napisano przyjmując nasępujące założenia: w chwili począkowej przed włożeniem ermomeru do wody emperaura ermomeru jes usalona i równa emperaurze ooczenia ermomer nie odprowadza ciepła do ooczenia, dlaego dopływ ciepła do ermomeru jes równy akumulacji ciepła w ermomerze. ϑw ϑ Wyrażenie jes równe srumieniowi ciepła dopływającego od wody do R dϑ ermomeru, a wyrażenie mc przedsawia akumulację ciepła w ermomerze. d d Wsawiając w miejsce pochodnej operaor Laplace a s orzymamy nasępujące równanie d operaorowe: ϑw ϑ mc s ϑ (.) R Po wykonaniu nasępujących przekszałceń Rmc s ϑ ϑ ϑ w wprowadzamy sałą czasową ermomeru R m c (.3) ( s + ) ϑ ϑ orzymamy wzór na ransmiancję ermomeru w G( s) ϑ ϑ w s + (.4) x(s) ϑ w (s) s + y(s) ϑ w (s) Rys. ermomer jako elemen auomayki Elemen auomayki o ransmiancji opisanej wzorem (.4) jes nazywany elemenem inercyjnym pierwszego rzędu.
Wyprowadzenie wzoru na charakerysykę czasową ermomeru. Po włożeniu ermomeru do wrzącej wody emperaura zewnęrzna zimnego końca ermopary zmienia się skokowo od emperaury ooczenia do emperaury o C. ę zmianę emperaury zewnęrznej, sanowiącej sygnał wejściowy oznaczany zwykle przez x() można zapisać za pomocą funkcji skokowej jednoskowej: x ( ) ϑ ( ) ϑ ( ) w w x ϑ w ϑw s Wskazanie ermomeru, czyli sygnał wyjściowy y() obliczamy z równań: y ϑ ϑw (.5) s + y ϑ ϑw s + s y( ) ϑ ( ) ϑw ( ) e (.6) Wykres charakerysyki czasowej ermomeru dla przedsawiono na rys. 3. Właściwości charakerysyki czasowej elemenu inercyjnego pierwszego rzędu (ermomeru). Dla czasu począkowa warość sygnału wyjściowego jes równa zero. Dla czasu () () ( ) y ϑ ϑw e ϑw [ ] (.7) usalona warość sygnału wyjściowego jes równa ( ) ( ) ( ) y ϑ ϑw e ϑw [ ] ϑw (.8) Dla czasu równego sałej czasowej warości sygnału w sanie usalonym. warość sygnału wyjściowego jes równa 63,% [ e ],63 ϑ ( ) ( ) ( ) y ϑ ϑw e ϑw w (.9) Dla czasu równego 3 warość sygnału wyjściowego jes równa 95% warości sygnału w sanie usalonym, a dla czasu 5 warość sygnału wyjściowego jes równa 99% warości sygnału w sanie usalonym. 3 (3 ) (3 ) ( 3 ) y ϑ ϑw e ϑw [ e ],95 ϑw (.)
Pochodna sygnału wyjściowego względem czasu jes równa. d d ( ) ( ) y ϑw e e ϑw d d (.) Dla czasu warość pochodnej sygnału wyjściowego jes równa d y( ) d e ϑw ϑw g( α) (.) Pochodna sygnału wyjściowego równa angensowi kąa nachylenia sycznej do charakerysyki czasowej, dlaego syczna pozwala wyznaczyć sałą czasową ermomeru. Odcinek pod syczną od punku syczności do punku przecięcia sycznej z asympoą odpowiadającą sanowi usalonemu jes równy sałej czasowej (rys. 3). ę samą właściwość ma syczna wykreślona w dowolnym innym punkcie charakerysyki, ale dokładność wyznaczenia sałej czasowej zmniejsza się wraz ze zmniejszeniem się kąa nachylenia sycznej. ϑ w ( ) Przebieg czasowy emperaury mierzonej ϑ w czas ϑ ( ) Przebieg emperaury wskazywanej przez ermomer,63 ϑ ϑ czas Rys. 3. Charakerysyka czasowa ermomeru
Wyprowadzenie wzoru na charakerysykę czasową ermomeru dla wymuszenia liniowego. Włączamy piec elekryczny i mierzymy emperaurę wewnąrz ego pieca. Jeżeli sray ciepła do ooczenia są małe, o emperaura wewnąrz pieca zwiększa się według funkcji liniowej x( ) a ( ) (.) gdzie współczynnik a wyraża szybkość zmiany emperaury w czasie. Funkcji czasowej x() odpowiada funkcja operaorowa x(s) równa: x(s) a s (.3) Funkcja wyjściowa (wskazania ermomeru) w posaci operaorowej y(s) jes równa iloczynowi ransmiancji ermomeru i funkcji wymuszenia w posaci operaorowej y(s) a (.4) s + s Funkcji operaorowej (.4) odpowiada funkcja czasowa (.5), a jej wykres przedsawiono na rys. 4. e y( ) a (.5) Właściwości charakerysyki czasowej elemenu inercyjnego pierwszego rzędu (ermomeru). dla wymuszenia liniowego. Dla czasu począkowa warość sygnału wyjściowego jes równa zero. y() a e a [ ( ) ] (.6) Dla czasu równego 3 składowa wykładnicza jes mniejsza od,5, i może być pominięa wobec liczby od kórej jes odejmowana, dlaego przebieg sygnału wyjściowego opisuje w przybliżeniu funkcja (.7). Wskazania ermomeru są opóźnione w czasie o sałą czasową. 3 [ y( )] a 3 e a [ ] (.7) Różnica między emperaurą rzeczywisą i wskazaniami ermomeru dla czasu jes równa 3
3 [ ] a y x( ) y( ) a a (.8) Wzór (.8) wyraża błąd dynamiczny pomiaru emperaury zwiększającej się liniowo w czasie (błąd prędkościowy). Błąd dynamiczny zależy od szybkości zmiany emperaury oraz sałej czasowej ermomeru. Dla a, Dla a o C s o C s, s, błąd dynamiczny jes równy y, C, s, błąd dynamiczny jes równy y C o o x() y() x() y y() 3 czas Rys. 4 Charakerysyka czasowa ermomeru dla liniowej zmiany emperaury mierzonej
4 3. Wyniki pomiarów oraz ich analiza 3. Wyniki pomiarów charakerysyki czasowej ermomeru. Prędkość posuwu papieru w rejesraorze: 3 mm/s emperaura począkowa: ϑ p o C emperaura końcowa: ϑ k o C Przyros emperaury: ϑ 8 o C Przyros emperaury wyrażony w mm wykresu ϑ mm 47 mm wykresu Przyros emperaury równy 63,% przyrosu usalonego wyrażony w mm wykresu,63 ϑ mm,63 47 93 mm wykresu Sała czasowa wyznaczona meodą sycznej sycznej s Sała czasowa wyznaczona meodą 63,% przyrosu emperauryj,63% s 3. Ocena poprawności wyznaczenia sałej czasowej ermomeru. Wyznaczoną sałą czasową wsawiamy do równania (.6), kóre w przypadku wyrażania emperaury w mm wykresu przyjmie posać (3.): ϑ( ) ϑmm e (3.) Obliczamy przyrosy emperaury ermomeru w mm wykresu w wybranych chwilach czasu. Wyniki obliczeń zesawiono w abelach ab. i ab.. Obliczone punky charakerysyki nanosimy na wykres orzymany z pomiarów i oceniamy, czy punky charakerysyki aproksymującej leżą blisko charakerysyki zmierzonej. abela nr. mm wykresu 5 5 5 3 35 4 45 5 55 [sek],67 3,33 5 6,67 8,33,67 3,33 5 6,67 8,33 Θ y mm wykresu 9,4 4,76 46, 46,8 46,96 46,99 47, 47, 47, 47, 47, abela nr. 48 sek % 49 mm 63,% 94 mm mm wykresu 5 3 45 6 75 9 5 35 5 65 [sek] 5 5 5 3 35 4 45 5 55 Θ y mm 4,54 7,65 39,45 5,9 59,68 68,3 76, 83, 89,43 95,3,6 wykresu
5 4. Wnioski:. Wyznaczenie charakerysyki czasowej ermomeru bez osłony przez zanurzenie go we wrzącej wodzie.. Z charakerysyki czasowej nr wyznaczono meodą 63,% przyrosu sygnału sałą czasową sek. 3. Dla sek. obliczono z równania () przebieg oczekiwany emperaury (abela nr ) i naniesiono odpowiednie punky na wykres charakerysyki. 4. Obliczone punky leżą blisko charakerysyki zmierzonej, wobec ego przyjmujemy, że sała czasowa dobrze odzwierciedla wyniki pomiaru. 5. Wykonano również pomiar charakerysyki czasowej ego samego ermomeru podczas sygnięcia w powierzu. 6. Sała czasowa ego ermomeru jes równa 48 sek. i jes znacznie większa od sałej czasowej charakerysyki zmierzonej przez zanurzenie ermomeru w wodzie. 7. Charakerysyka ermomeru zmierzona podczas sygnięcia w powierzu znacznie różni się od eoreycznej charakerysyki elemenu inercyjnego ego rzędu. Prawdopodobnie jes o spowodowane zmianą oporu wnikania ciepła w konwekcyjnej wymianie ciepła. 8. Zmierzyliśmy również charakerysykę czasową ermomeru w osłonie z rurki salowej nałożonej na ermoparę, w kórej zawsze dokonuje się pomiaru w warunkach przemysłowych.