Ruch harmoniczny Adam Szmagli«ski Instytut Fizyki PK Kraków, 29.10.2016
Ruch harmoniczny Drgania to ruchy powtarzaj ce si. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 2 / 32
Ruch harmoniczny Drgania to ruchy powtarzaj ce si. Je±li czas powtarzalno±ci drga«jest staªy, nazywamy go okresem a ruch okresowym. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 2 / 32
Ruch harmoniczny Drgania to ruchy powtarzaj ce si. Je±li czas powtarzalno±ci drga«jest staªy, nazywamy go okresem a ruch okresowym. Okresowo± ruchu mo»na opisa równaniem q (t + T ) = q (t) gdzie q jest parametrem ruchu, t oznacza czas. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 2 / 32
Ruch harmoniczny Drgania to ruchy powtarzaj ce si. Je±li czas powtarzalno±ci drga«jest staªy, nazywamy go okresem a ruch okresowym. Okresowo± ruchu mo»na opisa równaniem q (t + T ) = q (t) gdzie q jest parametrem ruchu, t oznacza czas. Okres T to najmniejszy odst p czasu, po którym ruch si powtarza. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 2 / 32
Ruch harmoniczny Drgania to ruchy powtarzaj ce si. Je±li czas powtarzalno±ci drga«jest staªy, nazywamy go okresem a ruch okresowym. Okresowo± ruchu mo»na opisa równaniem q (t + T ) = q (t) gdzie q jest parametrem ruchu, t oznacza czas. Okres T to najmniejszy odst p czasu, po którym ruch si powtarza. Cz sto± ruchu ν = 1 mierzymy w hercach: 1 T Hz = 1 s 1. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 2 / 32
Je±li ruch jest symetryczny, wygodnie jest przyj punkt odniesienia dla warto±ci parametru ruchu q odpowiadaj cej ±rodkowi symetrii. W ±rodku symetrii: q = 0. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 3 / 32
Je±li ruch jest symetryczny, wygodnie jest przyj punkt odniesienia dla warto±ci parametru ruchu q odpowiadaj cej ±rodkowi symetrii. W ±rodku symetrii: q = 0. Amplituda q 0 to maksymalna warto± okresowo zmiennej wielko±ci q: q 0 q q 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 3 / 32
Je±li ruch jest symetryczny, wygodnie jest przyj punkt odniesienia dla warto±ci parametru ruchu q odpowiadaj cej ±rodkowi symetrii. W ±rodku symetrii: q = 0. Amplituda q 0 to maksymalna warto± okresowo zmiennej wielko±ci q: q 0 q q 0 Drgania harmoniczne to drgania w których parametr ruchu q da si opisa za pomoc funkcji sinus lub cosinus. q (t) = q 0 sin (ωt + ϑ) ω cz sto± koªowa (pulsacja) argument funkcji sinus: Θ = ωt + ϑ nazywamy faz ϑ staªa fazowa Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 3 / 32
Cz sto± koªowa ω jest proporcjonalna do cz sto±ci ν. Pulsacj mierzymy w radianach na sekund, a cz sto± w hercach. ω = 2π = 2πν T Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 4 / 32
Cz sto± koªowa ω jest proporcjonalna do cz sto±ci ν. Pulsacj mierzymy w radianach na sekund, a cz sto± w hercach. ω = 2π = 2πν T Oscylatory to ciaªa wykonuj ce drgania. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 4 / 32
Cz sto± koªowa ω jest proporcjonalna do cz sto±ci ν. Pulsacj mierzymy w radianach na sekund, a cz sto± w hercach. ω = 2π = 2πν T Oscylatory to ciaªa wykonuj ce drgania. Rodzaje oscylatorów i odpowiadaj ce im cz sto±ci: Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 4 / 32
Cz sto± koªowa ω jest proporcjonalna do cz sto±ci ν. Pulsacj mierzymy w radianach na sekund, a cz sto± w hercach. ω = 2π = 2πν T Oscylatory to ciaªa wykonuj ce drgania. Rodzaje oscylatorów i odpowiadaj ce im cz sto±ci: mechaniczne do okoªo 10 5 Hz (cz sto± akustyczna), Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 4 / 32
Cz sto± koªowa ω jest proporcjonalna do cz sto±ci ν. Pulsacj mierzymy w radianach na sekund, a cz sto± w hercach. ω = 2π = 2πν T Oscylatory to ciaªa wykonuj ce drgania. Rodzaje oscylatorów i odpowiadaj ce im cz sto±ci: mechaniczne do okoªo 10 5 Hz (cz sto± akustyczna), elektryczne 10 3 10 12 Hz (cz sto± radiowa), Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 4 / 32
Cz sto± koªowa ω jest proporcjonalna do cz sto±ci ν. Pulsacj mierzymy w radianach na sekund, a cz sto± w hercach. ω = 2π = 2πν T Oscylatory to ciaªa wykonuj ce drgania. Rodzaje oscylatorów i odpowiadaj ce im cz sto±ci: mechaniczne do okoªo 10 5 Hz (cz sto± akustyczna), elektryczne 10 3 10 12 Hz (cz sto± radiowa), atomowe 10 11 10 17 Hz (cz sto± optyczna), Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 4 / 32
Cz sto± koªowa ω jest proporcjonalna do cz sto±ci ν. Pulsacj mierzymy w radianach na sekund, a cz sto± w hercach. ω = 2π = 2πν T Oscylatory to ciaªa wykonuj ce drgania. Rodzaje oscylatorów i odpowiadaj ce im cz sto±ci: mechaniczne do okoªo 10 5 Hz (cz sto± akustyczna), elektryczne 10 3 10 12 Hz (cz sto± radiowa), atomowe 10 11 10 17 Hz (cz sto± optyczna), j drowe od 10 22 Hz. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 4 / 32
Aby ukªad mógª wykonywa drgania, musz by speªnione warunki: Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 5 / 32
Aby ukªad mógª wykonywa drgania, musz by speªnione warunki: 1 istnienie poªo»enia równowagi i przywracaj cej go siªy zwrotnej, Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 5 / 32
Aby ukªad mógª wykonywa drgania, musz by speªnione warunki: 1 istnienie poªo»enia równowagi i przywracaj cej go siªy zwrotnej, 2 bezwªadno± ukªadu, Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 5 / 32
Aby ukªad mógª wykonywa drgania, musz by speªnione warunki: 1 istnienie poªo»enia równowagi i przywracaj cej go siªy zwrotnej, 2 bezwªadno± ukªadu, 3 niewielkie opory ruchu. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 5 / 32
Aby ukªad mógª wykonywa drgania, musz by speªnione warunki: 1 istnienie poªo»enia równowagi i przywracaj cej go siªy zwrotnej, 2 bezwªadno± ukªadu, 3 niewielkie opory ruchu. Poªo»enia równowagi odpowiadaj minimom energii potencjalnej: F = grade P = 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 5 / 32
Aby ukªad mógª wykonywa drgania, musz by speªnione warunki: 1 istnienie poªo»enia równowagi i przywracaj cej go siªy zwrotnej, 2 bezwªadno± ukªadu, 3 niewielkie opory ruchu. Poªo»enia równowagi odpowiadaj minimom energii potencjalnej: F = grade P = 0 Bezwªadno± powoduje,»e po doj±ciu do poªo»enia równowagi ciaªo nie zatrzymuje si, lecz wychyla si w przeciwn stron. Miar bezwªadno±ci w oscylatorach mechanicznych jest masa ciaªa drgaj cego. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 5 / 32
Druga denicja ruchu harmonicznego W ruchu harmonicznym siªa przywracaj ca równowag jest proporcjonalna i przeciwnie skierowana do wychylenia z poªo»enia równowagi: F = k r F siªa zwrotna k = const > 0 wspóªczynnik spr»ysto±ci Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 6 / 32
Równanie ruchu harmonicznego z Drugiej Zasady Dynamiki: F = m d 2 r dt 2 = k r Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 7 / 32
Równanie ruchu harmonicznego z Drugiej Zasady Dynamiki: F = m d 2 r dt 2 = k r w jednym wymiarze: d 2 x dt 2 = dv dt = dv dx dx dt = v dv dx = k m x Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 7 / 32
Równanie ruchu harmonicznego z Drugiej Zasady Dynamiki: F = m d 2 r dt 2 = k r w jednym wymiarze: d 2 x dt 2 = dv dt = dv dx dx dt = v dv dx = k m x separacja zmiennych i caªkowanie: mv dv = kx dx 1 2 mv 2 = 1 2 kx 2 + C Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 7 / 32
Równanie ruchu harmonicznego z Drugiej Zasady Dynamiki: F = m d 2 r dt 2 = k r w jednym wymiarze: d 2 x dt 2 = dv dt = dv dx dx dt = v dv dx = k m x separacja zmiennych i caªkowanie: mv dv = kx dx 1 2 mv 2 = 1 2 kx 2 + C caªkowita energia mechaniczna: E K (x = 0) = E 0 C = E 0 = E K + E PS Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 7 / 32
Równanie ruchu harmonicznego z Drugiej Zasady Dynamiki: F = m d 2 r dt 2 = k r w jednym wymiarze: d 2 x dt 2 = dv dt = dv dx dx dt = v dv dx = k m x separacja zmiennych i caªkowanie: mv dv = kx dx 1 2 mv 2 = 1 2 kx 2 + C caªkowita energia mechaniczna: E K (x = 0) = E 0 C = E 0 = E K + E PS energia potencjalna spr»ysto±ci: E PS = 1 2 kx 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 7 / 32
v = dx dt = 2E 0 k m m x 2 k 2E = 0 x 2 m k Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 8 / 32
v = dx dt = 2E 0 k m m x 2 k 2E = 0 x 2 m k separacja zmiennych i caªkowanie: ( k m dt arcsin dx 2E0 k x 2 = k x 2E 0 ) = k m t + C Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 8 / 32
v = dx dt = 2E 0 k m m x 2 k 2E = 0 x 2 m k separacja zmiennych i caªkowanie: ( k m dt arcsin dx 2E0 k x 2 = x (t) = 2E 0 k x 2E 0 ) = k m t + C ( ) sin k k m t + C = x 0 sin (ωt + ϑ) 2E 0 amplituda: x 0 = E k 0 = 1 kx 2 2 0 k cz sto± koªowa: ω = k = mω 2 m okres: T = 2π ω = 2π m k faza ruchu: ωt + ϑ, staªa fazowa: ϑ Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 8 / 32
Powszechno± ruchu harmonicznego Zale»no± energii potencjalnej od poªo»enia przybli»amy szeregiem pot gowym: E P (x) = (x x 0 ) n = a n (x x 0 ) n x=x 0 n=0 1 n! d n E P dx n dla x 0 = 0: E P (x) = E P (0) + de P dx x + 1 2 x=0 }{{} 0 d 2 E P dx 2 x=0 x 2 + 1 6 n=0 d 3 E P x 3 +... dx 3 x=0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 9 / 32
Powszechno± ruchu harmonicznego Zale»no± energii potencjalnej od poªo»enia przybli»amy szeregiem pot gowym: E P (x) = (x x 0 ) n = a n (x x 0 ) n x=x 0 n=0 1 n! d n E P dx n dla x 0 = 0: E P (x) = E P (0) + de P dx x + 1 2 x=0 }{{} 0 d 2 E P dx 2 x=0 x 2 + 1 6 n=0 d 3 E P x 3 +... dx 3 x=0 Dla maªych wychyle«mo»na pomin wyrazy z wy»szymi pot gami: E P (x) E P (0) + 1 d 2 E P x 2 2 dx 2 x=0 St d energi potencjaln przybli»amy parabol. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 9 / 32
Powszechno± ruchu harmonicznego Zale»no± energii potencjalnej od poªo»enia przybli»amy szeregiem pot gowym: E P (x) = (x x 0 ) n = a n (x x 0 ) n x=x 0 n=0 1 n! d n E P dx n dla x 0 = 0: E P (x) = E P (0) + de P dx x + 1 2 x=0 }{{} 0 d 2 E P dx 2 x=0 x 2 + 1 6 n=0 d 3 E P x 3 +... dx 3 x=0 Dla maªych wychyle«mo»na pomin wyrazy z wy»szymi pot gami: E P (x) E P (0) + 1 d 2 E P x 2 2 dx 2 x=0 St d energi potencjaln przybli»amy parabol. Siªa zwrotna spr»ysto±ci: F = de P dx = d 2 E P x = kx dx 2 x=0 gdzie staªa spr»ysto±ci: k = d 2 E P dx 2 x=0 Dla maªych wychyle«siªa zwrotna proporcjonalna jest do wychylenia. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 9 / 32
Przykªad oscylatora spr»ystego Energi oddziaªywa«mi dzycz steczkowych opisuje si wyra»eniem: E P (r) = Ar n Br m Wspóªczynniki A, B, n > m maj charakter empiryczny, a r jest odlegªo±ci mi dzy cz steczkami. Np. w potencjale Lennarda-Jonesa: n = 12, m = 6. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 10 / 32
Przykªad oscylatora spr»ystego Energi oddziaªywa«mi dzycz steczkowych opisuje si wyra»eniem: E P (r) = Ar n Br m Wspóªczynniki A, B, n > m maj charakter empiryczny, a r jest odlegªo±ci mi dzy cz steczkami. Np. w potencjale Lennarda-Jonesa: n = 12, m = 6. Siªa w poªo»eniu równowagi: F (r 0 ) = E P r = nar n 1 mbr m 1 = 0 r 0 0 0 = n m r=r 0 na mb Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 10 / 32
Przykªad oscylatora spr»ystego Energi oddziaªywa«mi dzycz steczkowych opisuje si wyra»eniem: E P (r) = Ar n Br m Wspóªczynniki A, B, n > m maj charakter empiryczny, a r jest odlegªo±ci mi dzy cz steczkami. Np. w potencjale Lennarda-Jonesa: n = 12, m = 6. Siªa w poªo»eniu równowagi: F (r 0 ) = E P r = nar n 1 mbr m 1 = 0 r 0 0 0 = n m r=r 0 na mb Wspóªczynnik spr»ysto±ci: k = d 2 E P dr 2 = n (n + 1) Ar n 2 m (m + 1) Br m 2 0 0 r=r 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 10 / 32
Przykªad oscylatora spr»ystego Energi oddziaªywa«mi dzycz steczkowych opisuje si wyra»eniem: E P (r) = Ar n Br m Wspóªczynniki A, B, n > m maj charakter empiryczny, a r jest odlegªo±ci mi dzy cz steczkami. Np. w potencjale Lennarda-Jonesa: n = 12, m = 6. Siªa w poªo»eniu równowagi: F (r 0 ) = E P r = nar n 1 mbr m 1 = 0 r 0 0 0 = n m r=r 0 na mb Wspóªczynnik spr»ysto±ci: k = d 2 E P dr 2 = n (n + 1) Ar n 2 m (m + 1) Br m 2 0 0 r=r 0 Siªa spr»ysto±ci: F (r) = k (r r 0 ) = k r Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 10 / 32
Przej±cie do zjawisk makroskopowych Dla N cz steczek le» cych wzdªu» prostej jednorodne odksztaªcenia si sumuj, daj c w wyniku odksztaªcenie makroskopowe: l = N r Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 11 / 32
Przej±cie do zjawisk makroskopowych Dla N cz steczek le» cych wzdªu» prostej jednorodne odksztaªcenia si sumuj, daj c w wyniku odksztaªcenie makroskopowe: l = N r Jest ono zwi zane z makroskopow siª prawem Hooke'a: F = k l Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 11 / 32
Przej±cie do zjawisk makroskopowych Dla N cz steczek le» cych wzdªu» prostej jednorodne odksztaªcenia si sumuj, daj c w wyniku odksztaªcenie makroskopowe: l = N r Jest ono zwi zane z makroskopow siª prawem Hooke'a: F = k l Odksztaªcenie liniowe bezwzgl dne: l = l l 0 wzgl dne: ε = l l 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 11 / 32
Przej±cie do zjawisk makroskopowych Dla N cz steczek le» cych wzdªu» prostej jednorodne odksztaªcenia si sumuj, daj c w wyniku odksztaªcenie makroskopowe: l = N r Jest ono zwi zane z makroskopow siª prawem Hooke'a: F = k l Odksztaªcenie liniowe bezwzgl dne: l = l l 0 Odksztaªcenie obj to±ciowe V = V V 0 wzgl dne: ε = l l 0 γ = V V 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 11 / 32
Napr»enie σ = F S S powierzchnia Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 12 / 32
Napr»enie σ = F S S powierzchnia Prawo Hooke'a dla siª dziaªaj cych prostopadle do powierzchni: liniowe: ε = 1 σ E obj to±ciowe: γ = Kσ E moduª Younga K moduª ±ci±liwo±ci Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 12 / 32
Napr»enie σ = F S S powierzchnia Prawo Hooke'a dla siª dziaªaj cych prostopadle do powierzchni: liniowe: ε = 1 σ E obj to±ciowe: γ = Kσ E moduª Younga K moduª ±ci±liwo±ci Prawo Hooke'a dla siª dziaªaj cych stycznie do powierzchni (±cinanie): α = 1 G σ α k t odchylenia ±cianek prostopadªych do powierzchni G moduª sztywno±ci σ napr»enie ±cinaj ce Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 12 / 32
Wahadªo torsyjne jest to tarcza o momencie bezwªadno±ci I zawieszona na drucie o dªugo±ci l i momencie bezwªadno±ci wzgl dem osi obrotu I P, którego drugi koniec jest nieruchomy. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 13 / 32
Wahadªo torsyjne jest to tarcza o momencie bezwªadno±ci I zawieszona na drucie o dªugo±ci l i momencie bezwªadno±ci wzgl dem osi obrotu I P, którego drugi koniec jest nieruchomy. Przy obrocie o k t ϕ powstaje moment zwrotny: M = τϕ staªa skr cenia: τ = GI P l Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 13 / 32
Wahadªo torsyjne jest to tarcza o momencie bezwªadno±ci I zawieszona na drucie o dªugo±ci l i momencie bezwªadno±ci wzgl dem osi obrotu I P, którego drugi koniec jest nieruchomy. Przy obrocie o k t ϕ powstaje moment zwrotny: M = τϕ staªa skr cenia: τ = GI P l Z Drugiej Zasady Dynamiki I ϕ = τϕ Równanie to wa»ne jest w caªym zakresie stosowalno±ci prawa Hooke'a. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 13 / 32
Wahadªo torsyjne jest to tarcza o momencie bezwªadno±ci I zawieszona na drucie o dªugo±ci l i momencie bezwªadno±ci wzgl dem osi obrotu I P, którego drugi koniec jest nieruchomy. Przy obrocie o k t ϕ powstaje moment zwrotny: M = τϕ staªa skr cenia: τ = GI P l Z Drugiej Zasady Dynamiki I ϕ = τϕ Równanie to wa»ne jest w caªym zakresie stosowalno±ci prawa Hooke'a. Okres waha«t = 2π I τ Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 13 / 32
Ci»arek na wa»kiej spr»ynie Ci»arek o masie m zawieszony na spr»ynie dªugo±ci l i masie m S. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 14 / 32
Ci»arek na wa»kiej spr»ynie Ci»arek o masie m zawieszony na spr»ynie dªugo±ci l i masie m S. element masy spr»yny: dm = ds m l S s odlegªo± od punktu zawieszenia spr»yny s l x przemieszczenie elementu spr»yny Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 14 / 32
Ci»arek na wa»kiej spr»ynie Ci»arek o masie m zawieszony na spr»ynie dªugo±ci l i masie m S. element masy spr»yny: dm = ds m l S s odlegªo± od punktu zawieszenia spr»yny s l x przemieszczenie elementu spr»yny Energia kinetyczna spr»yny: E KS = ( 1 dm s ẋ) 2 = 1 m S ẋ 2 s 2 ds = 1 2 l m 2 l 3 6 S ẋ 2 m S 0 ( ) Energia kinetyczna caªego ukªadu: E K = 1 2 m + 1 m 3 S ẋ 2 Efektywna masa spr»yny jest trzykrotnie mniejsza od jej masy. l Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 14 / 32
Ci»arek na wa»kiej spr»ynie Ci»arek o masie m zawieszony na spr»ynie dªugo±ci l i masie m S. element masy spr»yny: dm = ds m l S s odlegªo± od punktu zawieszenia spr»yny s l x przemieszczenie elementu spr»yny Energia kinetyczna spr»yny: E KS = ( 1 dm s ẋ) 2 = 1 m S ẋ 2 s 2 ds = 1 2 l m 2 l 3 6 S ẋ 2 m S 0 ( ) Energia kinetyczna caªego ukªadu: E K = 1 2 m + 1 m 3 S ẋ 2 Efektywna masa spr»yny jest trzykrotnie mniejsza od jej masy. l Okres drga«ukªadu: m+m T = 2π Sef k Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 14 / 32
Opis drga«w postaci zespolonej Równanie jednowymiarowego ruchu drgaj cego: ẍ + ω 2 x = 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 15 / 32
Opis drga«w postaci zespolonej Równanie jednowymiarowego ruchu drgaj cego: ẍ + ω 2 x = 0 Szukamy rozwi zania w postaci: x = Ae λt ẍ = Aλ 2 e λt Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 15 / 32
Opis drga«w postaci zespolonej Równanie jednowymiarowego ruchu drgaj cego: ẍ + ω 2 x = 0 Szukamy rozwi zania w postaci: x = Ae λt ẍ = Aλ 2 e λt Po podstawieniu do równania ruchu otrzymujemy równanie charakterystyczne: λ 2 + ω 2 = 0 λ = ±iω Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 15 / 32
Opis drga«w postaci zespolonej Równanie jednowymiarowego ruchu drgaj cego: ẍ + ω 2 x = 0 Szukamy rozwi zania w postaci: x = Ae λt ẍ = Aλ 2 e λt Po podstawieniu do równania ruchu otrzymujemy równanie charakterystyczne: λ 2 + ω 2 = 0 λ = ±iω Rozwi zanie zespolone: x = Ae iωt = A [cos (ωt) + i sin (ωt)] Sens zyczny ma tylko cz ± rzeczywista rozwi zania: Re x = A cos (ωt) Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 15 / 32
Opis drga«w postaci zespolonej Równanie jednowymiarowego ruchu drgaj cego: ẍ + ω 2 x = 0 Szukamy rozwi zania w postaci: x = Ae λt ẍ = Aλ 2 e λt Po podstawieniu do równania ruchu otrzymujemy równanie charakterystyczne: λ 2 + ω 2 = 0 λ = ±iω Rozwi zanie zespolone: x = Ae iωt = A [cos (ωt) + i sin (ωt)] Sens zyczny ma tylko cz ± rzeczywista rozwi zania: Re x = A cos (ωt) Fazor (wektor fazowy) to wektor o dªugo±ci równej amplitudzie drga«, nachylony do osi rzeczywistej pod k tem równym fazie. Ruch harmoniczny to wirowanie fazorów. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 15 / 32
Skªadanie drga«harmonicznych Z liniowego zwi zku pomi dzy wychyleniem a siª w ukªadach harmonicznych otrzymujemy zasad superpozycji drga«: wychylenie w danej chwili jest sum wychyle«ka»dego elementu ukªadu, wywoªanych przez ka»dy czynnik osobno. x = n A i sin (ω i t + ϑ i ) i=1 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 16 / 32
Skªadanie drga«harmonicznych Z liniowego zwi zku pomi dzy wychyleniem a siª w ukªadach harmonicznych otrzymujemy zasad superpozycji drga«: wychylenie w danej chwili jest sum wychyle«ka»dego elementu ukªadu, wywoªanych przez ka»dy czynnik osobno. x = n A i sin (ω i t + ϑ i ) i=1 a. Skªadanie dwóch drga«o tym samym kierunku, ró»nych amplitudach, tej samej cz sto±ci, ró»ni cych si w fazie o ϑ. x 1 = A 1 sin (ωt) x 2 = A 2 sin (ωt + ϑ) = A 2 [cos ϑ sin (ωt) + sin ϑ cos (ωt)] Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 16 / 32
x = x 1 + x 2 = (A 1 + A 2 cos ϑ) sin (ωt) + A 2 sin ϑ cos (ωt) = A [cos ϕ sin (ωt) + sin ϕ cos (ωt)] = A sin (ωt + ϕ) Dowoln par liczb rzeczywistych mo»na przedstawi za pomoc A cos ϕ i A sin ϕ. Z transformacji dla wspóªrz dnych biegunowych: A = (A 1 + A 2 cos ϑ) 2 + (A 2 sin ϑ) 2, ϕ = arctg A 2 sin ϑ A 1 +A 2 cos ϑ Wypadkowa amplituda drga«osi ga najwi ksz warto± dla ϑ = 2kπ, a najmniejsz dla ϑ = (2k + 1) π. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 17 / 32
x = x 1 + x 2 = (A 1 + A 2 cos ϑ) sin (ωt) + A 2 sin ϑ cos (ωt) = A [cos ϕ sin (ωt) + sin ϕ cos (ωt)] = A sin (ωt + ϕ) Dowoln par liczb rzeczywistych mo»na przedstawi za pomoc A cos ϕ i A sin ϕ. Z transformacji dla wspóªrz dnych biegunowych: A = (A 1 + A 2 cos ϑ) 2 + (A 2 sin ϑ) 2, ϕ = arctg A 2 sin ϑ A 1 +A 2 cos ϑ Wypadkowa amplituda drga«osi ga najwi ksz warto± dla ϑ = 2kπ, a najmniejsz dla ϑ = (2k + 1) π. Wynik superpozycji mo»na interpretowa geometrycznie jako sum wektorów fazowych: A n = A i i=1 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 17 / 32
b. Skªadanie dwóch drga«o tym samym kierunku, ró»nych amplitudach i fazach, oraz podobnych cz sto±ciach dudnienia. x 1 = A 1 sin (ω 1 t) x 2 = A 2 sin (ω 2 t + ϑ) = A 2 sin{ω 1 t [(ω 1 ω 2 ) t ϑ]} Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 18 / 32
b. Skªadanie dwóch drga«o tym samym kierunku, ró»nych amplitudach i fazach, oraz podobnych cz sto±ciach dudnienia. x 1 = A 1 sin (ω 1 t) x 2 = A 2 sin (ω 2 t + ϑ) = A 2 sin{ω 1 t [(ω 1 ω 2 ) t ϑ]} Podstawiamy w wyprowadzeniu z cz ±ci a. za ϑ wyra»enie: [(ω 1 ω 2 ) t ϑ] otrzymujemy: x = x 1 + x 2 = A sin (ω 1 t + ϕ) gdzie amplituda drga«wypadkowych zale»y od czasu: A = {A 1 + A 2 cos [(ω 1 ω 2 ) t ϑ]} 2 + {A 2 sin [(ω 1 ω 2 ) t ϑ]} 2 = A 2 + 1 A2 + 2A 2 1A 2 cos [(ω 1 ω 2 ) t ϑ] ϕ = arctg A 2 sin [(ω 1 ω 2 ) t ϑ] A 1 + A 2 cos [(ω 1 ω 2 ) t ϑ] Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 18 / 32
Okres zmienno±ci: T = 2π ω 1 ω 2 ν d = 1 T = ν 1 ν 2 Je±li cz sto±ci obu drga«mechanicznych le» w zakresie sªyszalno±ci, a ich ró»nica jest poni»ej 16 Hz, to mo»na usªysze rytmiczne powtarzanie si maksimów amplitudy o cz sto±ci ν d, zwane dudnieniami. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 19 / 32
Okres zmienno±ci: T = 2π ω 1 ω 2 ν d = 1 T = ν 1 ν 2 Je±li cz sto±ci obu drga«mechanicznych le» w zakresie sªyszalno±ci, a ich ró»nica jest poni»ej 16 Hz, to mo»na usªysze rytmiczne powtarzanie si maksimów amplitudy o cz sto±ci ν d, zwane dudnieniami. Przez odpowiedni superpozycj uzyskuje si drgania modulowane o okresowej amplitudzie np. x = [B 1 + B 2 cos (θ 1 t)] sin (θt) cz sto± drga«podstawowych: θ = ω 1 cz sto± drga«moduluj cych θ 1 = ω 1 ω 2 B 1 = A 2 1 + A2 2 B 2 = 2A 1 A 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 19 / 32
Krzywe Lissajous Skªadamy ze sob drgania prostopadªe do siebie wzdªu» osi x i y, ró»ni ce si w fazie: x (t) = x 0 sin (ω x t) y (t) = y 0 sin (ω y t ϑ) Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 20 / 32
Krzywe Lissajous Skªadamy ze sob drgania prostopadªe do siebie wzdªu» osi x i y, ró»ni ce si w fazie: x (t) = x 0 sin (ω x t) y (t) = y 0 sin (ω y t ϑ) Je±li cz sto±ci drga«s sobie równe, torem ruchu jest elipsa lub odcinek (ϑ = kπ), w zale»no±ci od ró»nicy faz drga«skªadowych. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 20 / 32
Krzywe Lissajous Skªadamy ze sob drgania prostopadªe do siebie wzdªu» osi x i y, ró»ni ce si w fazie: x (t) = x 0 sin (ω x t) y (t) = y 0 sin (ω y t ϑ) Je±li cz sto±ci drga«s sobie równe, torem ruchu jest elipsa lub odcinek (ϑ = kπ), w zale»no±ci od ró»nicy faz drga«skªadowych. Je±li skªadane drgania ró»ni si cz sto±ciami, ró»nica faz jest liniow funkcj czasu. Przy wymiernym stosunku cz sto±ci obu drga«(p/q p, q N/{0}) tor staje si krzyw zamkni t. Cykl si powtarza po czasie T = pqt, gdzie pt jest okresem jednych drga«, a qt okresem drugich. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 20 / 32
Drgania tªumione Siªa oporu ruchu w ogólnym przypadku zale»y od pr dko±ci: F o = f (v) v Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 21 / 32
Drgania tªumione Siªa oporu ruchu w ogólnym przypadku zale»y od pr dko±ci: F o = f (v) v Praca oporów ruchu jest zawsze ujemna, a energia ulega nieodwracalnemu rozproszeniu w postaci ciepªa. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 21 / 32
Drgania tªumione Siªa oporu ruchu w ogólnym przypadku zale»y od pr dko±ci: F o = f (v) v Praca oporów ruchu jest zawsze ujemna, a energia ulega nieodwracalnemu rozproszeniu w postaci ciepªa. Rodzaje oporów ruchu: µ wspóªczynnik tarcia F N siªa nacisku b = const Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 21 / 32
Drgania tªumione Siªa oporu ruchu w ogólnym przypadku zale»y od pr dko±ci: F o = f (v) v Praca oporów ruchu jest zawsze ujemna, a energia ulega nieodwracalnemu rozproszeniu w postaci ciepªa. Rodzaje oporów ruchu: 1 tarcie po±lizgowe (kulombowskie, suche) T = µf N, µ wspóªczynnik tarcia F N siªa nacisku b = const Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 21 / 32
Drgania tªumione Siªa oporu ruchu w ogólnym przypadku zale»y od pr dko±ci: F o = f (v) v Praca oporów ruchu jest zawsze ujemna, a energia ulega nieodwracalnemu rozproszeniu w postaci ciepªa. Rodzaje oporów ruchu: 1 tarcie po±lizgowe (kulombowskie, suche) T = µf N, 2 tarcie wewn trzne (wiskotyczne, lepko± ) T = bv, µ wspóªczynnik tarcia F N siªa nacisku b = const Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 21 / 32
Drgania tªumione Siªa oporu ruchu w ogólnym przypadku zale»y od pr dko±ci: F o = f (v) v Praca oporów ruchu jest zawsze ujemna, a energia ulega nieodwracalnemu rozproszeniu w postaci ciepªa. Rodzaje oporów ruchu: 1 tarcie po±lizgowe (kulombowskie, suche) T = µf N, 2 tarcie wewn trzne (wiskotyczne, lepko± ) T = bv, 3 opór hydrodynamiczny T = bv 2, µ wspóªczynnik tarcia F N siªa nacisku b = const Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 21 / 32
Drgania tªumione wiskotycznie Z II Zasady Dynamiki: mẍ = kx bẋ ẍ + 2βẋ + ω 2 x = 0 0 wspóªczynnik tªumienia: β = b 2m cz sto± koªowa odpowiadaj cych drga«nietªumionych, nazywa si cz sto±ci drga«wªasnych: ω 0 = k m Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 22 / 32
Drgania tªumione wiskotycznie Z II Zasady Dynamiki: mẍ = kx bẋ ẍ + 2βẋ + ω 2 x = 0 0 wspóªczynnik tªumienia: β = b 2m cz sto± koªowa odpowiadaj cych drga«nietªumionych, nazywa si cz sto±ci drga«wªasnych: ω 0 = k m Korzystamy z podstawienia: x = Ae λt st d: ẋ = λae λt ẍ = λ 2 Ae λt Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 22 / 32
Drgania tªumione wiskotycznie Z II Zasady Dynamiki: mẍ = kx bẋ ẍ + 2βẋ + ω 2 x = 0 0 wspóªczynnik tªumienia: β = b 2m cz sto± koªowa odpowiadaj cych drga«nietªumionych, nazywa si cz sto±ci drga«wªasnych: ω 0 = k m Korzystamy z podstawienia: x = Ae λt st d: ẋ = λae λt ẍ = λ 2 Ae λt Po podstawieniu rozwi zania i jego pochodnych do równania otrzymujemy równanie charakterystyczne: λ 2 + 2βλ + ω 2 = 0 0 dla β < ω 0 ma dwa pierwiastki: λ = β ± β 2 ω 2 = β ± iω 0 gdzie ω = ω 2 0 β2 jest cz sto±ci koªow ruchu tªumionego. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 22 / 32
Rozwi zaniem jest kombinacja liniowa ze wspóªczynnikami sprz»onymi: x = A 1 e ( β+iω)t + A 2 e ( β iω)t = e βt ( A 1 e iωt + A 2 e iωt) wspóªczynniki te mo»na zast pi przez A 1 = A 0 2 eiϑ oraz A 2 = A 0 ( 2 e iϑ, korzystaj c z cos Θ = 1 2 e iθ + e iθ) otrzymujemy: x (t) = A 0 e βt cos (ωt + ϑ) Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 23 / 32
Rozwi zaniem jest kombinacja liniowa ze wspóªczynnikami sprz»onymi: x = A 1 e ( β+iω)t + A 2 e ( β iω)t = e βt ( A 1 e iωt + A 2 e iωt) wspóªczynniki te mo»na zast pi przez A 1 = A 0 2 eiϑ oraz A 2 = A 0 ( 2 e iϑ, korzystaj c z cos Θ = 1 2 e iθ + e iθ) otrzymujemy: x (t) = A 0 e βt cos (ωt + ϑ) Rozwi zanie mo»na zinterpretowa geometrycznie jako wiruj cy fazor o malej cej dªugo±ci (amplitudzie): A = A 0 e βt Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 23 / 32
Rozwi zaniem jest kombinacja liniowa ze wspóªczynnikami sprz»onymi: x = A 1 e ( β+iω)t + A 2 e ( β iω)t = e βt ( A 1 e iωt + A 2 e iωt) wspóªczynniki te mo»na zast pi przez A 1 = A 0 2 eiϑ oraz A 2 = A 0 ( 2 e iϑ, korzystaj c z cos Θ = 1 2 e iθ + e iθ) otrzymujemy: x (t) = A 0 e βt cos (ωt + ϑ) Rozwi zanie mo»na zinterpretowa geometrycznie jako wiruj cy fazor o malej cej dªugo±ci (amplitudzie): A = A 0 e βt Z postaci czynnika tªumienia e βt uzyskujemy staª wielko± zwan logarytmicznym dekrementem tªumienia, b d cym logarytmem ze stosunku kolejnych amplitud: δ = ln A(t) A(t+T ) = ln A 0e βt A 0 e β(t+t ) = βt Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 23 / 32
Rozwi zaniem jest kombinacja liniowa ze wspóªczynnikami sprz»onymi: x = A 1 e ( β+iω)t + A 2 e ( β iω)t = e βt ( A 1 e iωt + A 2 e iωt) wspóªczynniki te mo»na zast pi przez A 1 = A 0 2 eiϑ oraz A 2 = A 0 ( 2 e iϑ, korzystaj c z cos Θ = 1 2 e iθ + e iθ) otrzymujemy: x (t) = A 0 e βt cos (ωt + ϑ) Rozwi zanie mo»na zinterpretowa geometrycznie jako wiruj cy fazor o malej cej dªugo±ci (amplitudzie): A = A 0 e βt Z postaci czynnika tªumienia e βt uzyskujemy staª wielko± zwan logarytmicznym dekrementem tªumienia, b d cym logarytmem ze stosunku kolejnych amplitud: δ = ln Czas relaksacji τ A(t) A(t+T ) = ln A 0e βt A 0 e β(t+t ) = βt to czas po którym amplituda zmaleje e razy: e = A(t) A(t+τ) = A 0e βt A 0 e β(t+τ) = e βτ τ = 1 β = T δ Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 23 / 32
Oscylator silnie tªumiony Je±li wspóªczynnik tªumienia jest wi kszy od cz sto±ci drga«nietªumionych, oba pierwiastki równania charakterystycznego s rzeczywiste: β > ω 0 λ = β ± β 2 ω 2 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 24 / 32
Oscylator silnie tªumiony Je±li wspóªczynnik tªumienia jest wi kszy od cz sto±ci drga«nietªumionych, oba pierwiastki równania charakterystycznego s rzeczywiste: β > ω 0 λ = β ± β 2 ω 2 0 Rozwi zanie ogólne jest kombinacj wyrazów wykªadniczych: x (t) = e (A βt 1 e β2 ω0 2 t + A 2 e ) β 2 ω0 2 t Do drga«nie dochodzi. Ruch jest aperiodyczny. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 24 / 32
Oscylator silnie tªumiony Je±li wspóªczynnik tªumienia jest wi kszy od cz sto±ci drga«nietªumionych, oba pierwiastki równania charakterystycznego s rzeczywiste: β > ω 0 λ = β ± β 2 ω 2 0 Rozwi zanie ogólne jest kombinacj wyrazów wykªadniczych: x (t) = e (A βt 1 e β2 ω0 2 t + A 2 e ) β 2 ω0 2 t Do drga«nie dochodzi. Ruch jest aperiodyczny. Tªumienie krytyczne zachodzi gdy wspóªczynnik tªumienia jest równy pulsacji drga«nietªumionych: β = ω 0 λ = β Rozwi zanie ogólne jest sum : x (t) = (A 1 + A 2 t) e βt Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 24 / 32
Drgania wymuszone Drgania wymuszone powstaj poprzez dodanie do ukªadu zmiennej siªy zewn trznej, wywoªuj cej drgania o tej samej cz sto±ci co ta siªa. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 25 / 32
Drgania wymuszone Drgania wymuszone powstaj poprzez dodanie do ukªadu zmiennej siªy zewn trznej, wywoªuj cej drgania o tej samej cz sto±ci co ta siªa. Zjawisko to wyst puje w dwóch fazach: Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 25 / 32
Drgania wymuszone Drgania wymuszone powstaj poprzez dodanie do ukªadu zmiennej siªy zewn trznej, wywoªuj cej drgania o tej samej cz sto±ci co ta siªa. Zjawisko to wyst puje w dwóch fazach: 1 stan przej±ciowy (nieustalony) przyrost amplitudy, Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 25 / 32
Drgania wymuszone Drgania wymuszone powstaj poprzez dodanie do ukªadu zmiennej siªy zewn trznej, wywoªuj cej drgania o tej samej cz sto±ci co ta siªa. Zjawisko to wyst puje w dwóch fazach: 1 stan przej±ciowy (nieustalony) przyrost amplitudy, 2 stan ustalony (stacjonarny) o staªej amplitudzie. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 25 / 32
Drgania wymuszone Drgania wymuszone powstaj poprzez dodanie do ukªadu zmiennej siªy zewn trznej, wywoªuj cej drgania o tej samej cz sto±ci co ta siªa. Zjawisko to wyst puje w dwóch fazach: 1 stan przej±ciowy (nieustalony) przyrost amplitudy, 2 stan ustalony (stacjonarny) o staªej amplitudzie. Siªa wywoªuj ca drgania: F = F 0 sin (Ωt) z Drugiej Zasady Dynamiki: mẍ = kx bẋ + F 0 sin (Ωt) ẍ + 2βẋ + ω 2 x = a 0 0 sin (Ωt) Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 25 / 32
Stan ustalony Do±wiadczenie pokazuje,»e drgania w stanie ustalonym maj t sam cz sto±, co wymuszaj ca siªa i s wzgl dem niej spó¹nione w fazie. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 26 / 32
Stan ustalony Do±wiadczenie pokazuje,»e drgania w stanie ustalonym maj t sam cz sto±, co wymuszaj ca siªa i s wzgl dem niej spó¹nione w fazie. Równanie ruchu w postaci zespolonej: ẍ + 2βẋ + ω 2 x = a 0 0e iωt rozwi zanie: x = Ae i(ωt ϑ) równanie charakterystyczne: AΩ 2 + 2iAβΩ + Aω 2 = a 0 0e iϑ Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 26 / 32
Stan ustalony Do±wiadczenie pokazuje,»e drgania w stanie ustalonym maj t sam cz sto±, co wymuszaj ca siªa i s wzgl dem niej spó¹nione w fazie. Równanie ruchu w postaci zespolonej: ẍ + 2βẋ + ω 2 x = a 0 0e iωt rozwi zanie: x = Ae i(ωt ϑ) równanie charakterystyczne: AΩ 2 + 2iAβΩ + Aω 2 = a 0 0e iϑ Obliczaj c moduª z tego równania otrzymujemy amplitud drga«: A (ω 2 0 Ω2) 2 + 4β 2 Ω 2 = a 0 A = F 0 m (ω 2 0 Ω2 ) 2 +4β 2 Ω 2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 26 / 32
Stan ustalony Do±wiadczenie pokazuje,»e drgania w stanie ustalonym maj t sam cz sto±, co wymuszaj ca siªa i s wzgl dem niej spó¹nione w fazie. Równanie ruchu w postaci zespolonej: ẍ + 2βẋ + ω 2 x = a 0 0e iωt rozwi zanie: x = Ae i(ωt ϑ) równanie charakterystyczne: AΩ 2 + 2iAβΩ + Aω 2 = a 0 0e iϑ Obliczaj c moduª z tego równania otrzymujemy amplitud drga«: A (ω 2 0 Ω2) 2 + 4β 2 Ω 2 = a 0 A = F 0 m (ω 2 0 Ω2 ) 2 +4β 2 Ω 2 Opó¹nienie fazowe: Ω 0 ϑ 0 ϑ = arctg 2βΩ Ω ω ω0 2 0 ϑ π Ω2 2 Ω ϑ π Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 26 / 32
Rezonans wychylenia Amplituda drga«wymuszonych zale»y od ich cz sto±ci. Wykres tej zale»no±ci nazywa si krzyw rezonansow. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 27 / 32
Rezonans wychylenia Amplituda drga«wymuszonych zale»y od ich cz sto±ci. Wykres tej zale»no±ci nazywa si krzyw rezonansow. Amplituda przy pewnej cz sto±ci Ω R osi ga maksimum. Zjawisko to nazywamy rezonansem, a Ω R cz sto±ci rezonansow. [ d (ω 2 0 Ω 2) ] 2 + 4β 2 Ω 2 dω st d cz sto± rezonansowa: Ω R = = 2 ( ω 2 0 Ω 2) ( 2Ω) + 8β 2 Ω = 4 ( Ω 2 ω 2 0 + 2β 2) Ω = 0 ω 2 0 2β2 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 27 / 32
Warto± amplitudy w rezonansie: A R = F 0 m [ω 2 0 ( ω 2 0 2β2)] 2 + 4β ( = F0 = F 0 2 ω 2 2β2) 2mβ ω 2 bω 0 0 β2 ω cz sto± drga«tªumionych b wspóªczynnik oporów ruchu Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 28 / 32
Warto± amplitudy w rezonansie: A R = F 0 m [ω 2 0 ( ω 2 0 2β2)] 2 + 4β ( = F0 = F 0 2 ω 2 2β2) 2mβ ω 2 bω 0 0 β2 ω cz sto± drga«tªumionych b wspóªczynnik oporów ruchu Ró»nica faz w rezonansie: 2β ω 2 ϑ R = (ω0 ) 0 2β2 2 arctg ω 2 ( = arctg 2 = Ω R arctg ω 2 2β2) β β 0 0 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 28 / 32
Drgania tªumione kulombowsko Zakªadamy warunki pocz tkowe ruchu: x (0) = A 0 > F C, ẋ (0) = 0, k A 0 amplituda pocz tkowa drga«z II Zasady Dynamiki: mẍ = kx F C sgn (ẋ) Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 29 / 32
Drgania tªumione kulombowsko Zakªadamy warunki pocz tkowe ruchu: x (0) = A 0 > F C, ẋ (0) = 0, k A 0 amplituda pocz tkowa drga«z II Zasady Dynamiki: mẍ = kx F C sgn (ẋ) Ze wzgl du na zale»no± zwrotu staªej siªy tarcia F C od zwrotu pr dko±ci, równanie ruchu musimy rozwi zywa oddzielnie dla ka»dej fazy ruchu z danym zwrotem siªy tarcia. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 29 / 32
Drgania tªumione kulombowsko Zakªadamy warunki pocz tkowe ruchu: x (0) = A 0 > F C, ẋ (0) = 0, k A 0 amplituda pocz tkowa drga«z II Zasady Dynamiki: mẍ = kx F C sgn (ẋ) Ze wzgl du na zale»no± zwrotu staªej siªy tarcia F C od zwrotu pr dko±ci, równanie ruchu musimy rozwi zywa oddzielnie dla ka»dej fazy ruchu z danym zwrotem siªy tarcia. W pierwszej fazie ruchu gdy ẋ 0: ẍ = k m x + F C m = k m ( x F C k ) Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 29 / 32
Drgania tªumione kulombowsko Zakªadamy warunki pocz tkowe ruchu: x (0) = A 0 > F C, ẋ (0) = 0, k A 0 amplituda pocz tkowa drga«z II Zasady Dynamiki: mẍ = kx F C sgn (ẋ) Ze wzgl du na zale»no± zwrotu staªej siªy tarcia F C od zwrotu pr dko±ci, równanie ruchu musimy rozwi zywa oddzielnie dla ka»dej fazy ruchu z danym zwrotem siªy tarcia. W pierwszej fazie ruchu gdy ẋ 0: ẍ = k m x + F C m = k m ( x F C k ) W ka»dej fazie ruchu ciaªo porusza si ruchem analogicznym do harmonicznego nietªumionego. Jednak "poªo»enie równowagi jest rozbite" na dwa punkty poprzez przesuni cie o x 1 = F C, z miejsca dla ruchu k nietªumionego w kierunku do pocz tku danej fazy ruchu. Na przemian zmienia swoje poªo»enie na takie, w którym siªa spr»ysto±ci równowa»y si z siª tarcia. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 29 / 32
Mamy wi c dla pierwszej fazy ruchu: ẍ = ω 2 0 (x x 1) ω 0 = k m cz sto± odpowiadaj cych drga«nietªumionych. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 30 / 32
Mamy wi c dla pierwszej fazy ruchu: ẍ = ω 2 0 (x x 1) ω 0 = k m cz sto± odpowiadaj cych drga«nietªumionych. Poprzez analogi z drganiami nietªumionymi: x x 1 = A sin (ω 0 t + ϑ), ẋ = Aω 0 cos (ω 0 t + ϑ). Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 30 / 32
Mamy wi c dla pierwszej fazy ruchu: ẍ = ω 2 0 (x x 1) ω 0 = k m cz sto± odpowiadaj cych drga«nietªumionych. Poprzez analogi z drganiami nietªumionymi: x x 1 = A sin (ω 0 t + ϑ), ẋ = Aω 0 cos (ω 0 t + ϑ). Z warunków pocz tkowych obliczamy amplitud A i przesuni cie fazowe ϑ: ẋ (0) = 0 0 = Aω 0 cos ϑ ϑ = ± π 2 + 2πn x (0) = A 0 A 0 x 1 = A sin ϑ = A sin ( ± π 2 ) = ±A St d równanie ruchu: x (t) = x 1 + (A 0 x 1 ) cos (ω 0 t) Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 30 / 32
W drugiej fazie ruchu gdy ẋ 0: ẍ = ω 2 (x x 0 2) "Poªo»enie równowagi" tej fazy ruchu: x 2 = x 1 = F C k Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 31 / 32
W drugiej fazie ruchu gdy ẋ 0: ẍ = ω 2 (x x 0 2) "Poªo»enie równowagi" tej fazy ruchu: x 2 = x 1 = F C k Rozwi zanie ma posta : x x 2 = A sin (ω 0 t + ϑ), ẋ = A ω 0 cos (ω 0 t + ϑ). Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 31 / 32
W drugiej fazie ruchu gdy ẋ 0: ẍ = ω 2 (x x 0 2) "Poªo»enie równowagi" tej fazy ruchu: x 2 = x 1 = F C k Rozwi zanie ma posta : x x 2 = A sin (ω 0 t + ϑ), ẋ = A ω 0 cos (ω 0 t + ϑ). Z ( warunków ) brzegowych sklejenia: T ẋ 2 = 0 ϑ = ± ( π ) + 2πn 2 T x 2 = A0 + 2x 1 A 0 + 2x 1 x 2 = A 0 + 3x 1 = A sin (π + ϑ) = A sin ( ± π ) 2 = ±A St d równanie ruchu: x (t) = x 1 + (A 0 3x 1 ) cos (ω 0 t) Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 31 / 32
W drugiej fazie ruchu gdy ẋ 0: ẍ = ω 2 (x x 0 2) "Poªo»enie równowagi" tej fazy ruchu: x 2 = x 1 = F C k Rozwi zanie ma posta : x x 2 = A sin (ω 0 t + ϑ), ẋ = A ω 0 cos (ω 0 t + ϑ). Z ( warunków ) brzegowych sklejenia: T ẋ 2 = 0 ϑ = ± ( π ) + 2πn 2 T x 2 = A0 + 2x 1 A 0 + 2x 1 x 2 = A 0 + 3x 1 = A sin (π + ϑ) = A sin ( ± π ) 2 = ±A St d równanie ruchu: x (t) = x 1 + (A 0 3x 1 ) cos (ω 0 t) Po upªywie jednego okresu amplituda zmniejszyªa si do: x (T ) = A 0 4x 1 Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 31 / 32
Poprzez kolejne iteracje otrzymujemy ogólne rozwi zanie dla poªo»enia w n-tej poªówce okresu drga«(fazie ruchu): x (t) = ( 1) n 1 x 1 + [A 0 (2n 1) x 1 ] cos (ω 0 t) Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 32 / 32
Poprzez kolejne iteracje otrzymujemy ogólne rozwi zanie dla poªo»enia w n-tej poªówce okresu drga«(fazie ruchu): x (t) = ( 1) n 1 x 1 + [A 0 (2n 1) x 1 ] cos (ω 0 t) W pªaszczy¹nie zespolonej wektor fazowy na przemian ma pocz tek w x 1 i x 2, a jego dªugo± zmniejsza si o 2x 1 z ka»d zmian zwrotu pr dko±ci. Przypomina to zwijanie tego wektora fazowego wokóª odcinka o ko«cach x 1 x 2. Ciaªo zatrzymuje si w momencie naªo»enia si wektora fazowego na o± rzeczywist gdy: x 2 x ( n T 2 ) x1. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 32 / 32
Poprzez kolejne iteracje otrzymujemy ogólne rozwi zanie dla poªo»enia w n-tej poªówce okresu drga«(fazie ruchu): x (t) = ( 1) n 1 x 1 + [A 0 (2n 1) x 1 ] cos (ω 0 t) W pªaszczy¹nie zespolonej wektor fazowy na przemian ma pocz tek w x 1 i x 2, a jego dªugo± zmniejsza si o 2x 1 z ka»d zmian zwrotu pr dko±ci. Przypomina to zwijanie tego wektora fazowego wokóª odcinka o ko«cach x 1 x 2. Ciaªo zatrzymuje si w momencie naªo»enia si wektora fazowego na o± rzeczywist gdy: x 2 x ( n T 2 ) x1. Ze wzgl du na ten sam wspóªczynnik proporcjonalno±ci siªy do wychylenia, okres drga«b dzie identyczny z okresem drga«nietªumionych. W przypadku rozpocz cia ruchu z zerow pr dko±ci, czas jego trwania b dzie równy wielokrotno±ci poªówek jego okresu: t C = N [ ] T, gdzie 2 A N = 0 +x 1 2x 1 jest liczb "nawini " wektora fazowego. Adam Szmagli«ski (IF PK) Ruch harmoniczny Kraków, 29.10.2016 32 / 32