W. Otto Zadania z Metod Aktuarialnych w Ubezpieczeniach Majątkowych 2014

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 Zadanie Znajdź dystrybuantę F W sumy W = X + X dwóch niezależnych zmiennych losowych X, X, tórych dystrybuanty dane są odpowiednio wzorami: dla x < dla x < F (x) = { 8 + x dla x <, F (x) = { 7 + x dla x < dla x dla x Sorzystaj przy tym ze wzoru F W (w) = F (w x)df (x) Uwaga Możesz się wzorować na przyładzie ze str 4 podręcznia, gdzie to samo zadanie jest rozwiązane z użyciem wzoru z odwróconymi rolami dystrybuant F i F, o postaci F W (w) = F (w x)df (x) Zadanie Wyznacz funcję generującą momenty, następnie funcję generującą umulanty, a na jej podstawie wartość oczeiwaną, wariancję, oraz współczynni sośności następujących rozładów: a) Poissona o funcji prawdopodobieństwa oreślonej na zbiorze {,,,, n} wzorem: Pr(N = ) = λ! exp ( λ) b) Dwumianowego o funcji prawdopodobieństwa oreślonej na zbiorze {,,,, n} wzorem: Pr(N = ) = ( n ) q ( q) n Wsazówa: możesz wyznaczyć najpierw funcję generującą momenty dla przypadu n =, a potem sorzystać z fatu, że zmienna o rozładzie dwumianowym z parametrami (n, q) ma rozład tai, ja suma n niezależnych zmiennych losowych o rozładzie dwumianowym z parametrami (, q) c) Ujemnego dwumianowego o funcji prawdopodobieństwa oreślonej na r + zbiorze {,,,, n} wzorem: Pr(N = ) = ( ) ( q) r q d) Gamma o gęstości oreślonej dla x > wzorem: f(x) = βα Γ(α) xα exp( βx) e) Normalnego o gęstości danej dla x R wzorem: f(x) = πσ exp ((x μ) σ ) Zadanie 3 Korzystając z wyniu uzysanego w zadaniu e), wyznacz wartość oczeiwaną i wariancję zmiennej losowej Y o rozładzie lognormalnym (μ, σ ) Wsazówa: Zadanie można rozwiązać orzystając z fatu, że jeśli zmienna losowa X ma rozład normalny z parametrami (μ, σ ), to Y = exp (X) ma rozład lognormalny z parametrami (μ, σ ) Wobec tego moment zwyły rzędu zmiennej losowej Y to po prostu wartość funcji generującej momenty zmiennej losowej X w puncie Zadanie 4 Zmienna losowa X jest sumą trzech niezależnych zmiennych losowych o rozładach złożonych Poisson z parametrami odpowiednio (λ, F ), (λ, F ), oraz (λ 3, F 3 ) Wartości parametrów częstotliwości to λ, λ, λ 3, oraz dystrybuanty F, F, F 3, dane są wzorami: i λ i F i (x) dla x < F i (x) dla x [, ) 4/ / 7/ 3 / 9/ Oblicz Pr (X = 3) Podaj wyni w postaci ae b F i (x) dla x

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 Wsazówa Zastosuj twierdzenie o dodawaniu dla lasy złożonych rozładów Poissona Bez tego zagrzebiesz się w żmudnych rachunach, a nawet jeśli starczy Ci cierpliwości aby doprowadzić je do ońca, prawdopodobieństwo popełnienia błędu gdzieś po drodze będzie bardzo duże Zadanie 5 Portfel ryzy słada się z dwóch niezależnych subportfeli Niech N, N oznaczają odpowiednio liczbę szód, zaś W,W wartość szód, odpowiednio z subportfela pierwszego i drugiego Pojedyncze ryzyo w ażdym z subportfeli może wygenerować co najwyżej jedną szodę Zmienne N, N mają rozłady dwumianowe, zaś zmienne W,W rozłady złożone dwumianowe, o dystrybuantach wartości pojedynczej szody oznaczonych przez F, F, odpowiednio W tabeli poniżej zawarte są informacje o parametrach Nr subportfela liczba ryzy p-stwo zajścia szody z pojedynczego ryzya oczeiwana wart szody -gi moment zwyły rozł wart szody i n i q i m,i m,i 5 8 8 8 3 8 8 Aprosymujemy łączną liczbę i łączną wartość szód z obu subportfeli na dwa sposoby: Pierwszy sposób polega na tym, że sumę zmiennych ( N N ) aprosymujemy za pomocą zmiennej N o rozładzie dwumianowym z parametrami n, q, zaś sumę zmiennych ( W W ) za pomocą zmiennej W o rozładzie złożonym dwumianowym z parametrami n, q, F, gdzie: n q n q n n n, q n nq F x nqf x F x n q n q Drugi sposób polega na tym, że sumę zmiennych N ) aprosymujemy za x R ( N pomocą zmiennej N ~ o rozładzie Poissona z parametrem, zaś sumę zmiennych ( W W ) za pomocą zmiennej W ~ o rozładzie złożonym Poissona z parametrami, F, gdzie nq nq, zaś dystrybuantę F wyznaczamy ta samo ja powyżej Pytania: a) znajdź wzór na różnicę var( N) var( N N) jao funcję parametrów zadania ( n, q, n, q) Sprowadź go do możliwie prostej postaci, ta aby było oczywiste, że różnica ta jest zawsze nieujemna (a na ogół dodatnia) ~ b) znajdź wzór na różnicę var( N) var( N) jao funcję parametrów zadania ( n, q, n, q) Sprowadź go do możliwie prostej postaci, ta aby było oczywiste, że różnica ta jest zawsze nieujemna (a na ogół dodatnia) c) znajdź wzór na różnicę var( W ) var( W W ) jao funcję parametrów zadania n, q, m, m, n, q, m, ) Sprowadź go do możliwie prostej postaci, ta (,,, m, aby było oczywiste, że różnica ta jest zawsze nieujemna (a na ogół dodatnia) ~ d) znajdź wzór na różnicę var( W) var( W ) jao funcję parametrów zadania n, q, m, m, n, q, m, ) Sprowadź go do możliwie prostej postaci, ta (,,, m, aby było oczywiste, że różnica ta jest zawsze nieujemna (a na ogół dodatnia)

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 e) Korzystając z informacji zawartej w tabeli znajdź odpowiedzi do pytania a), b), c) i d) w postaci liczbowej Wyznacz wartość różnicy w puntach a) i b) w procentach wariancji ( N N ), zaś w puntach c) i d) w procentach wariancji ( W W ) Wsazówa: podstawiając parametry liczbowe do odpowiedzi w puntach a) b) c) i d) otrzymasz wielorotność liczby /, a w części przypadów nawet wielorotność liczby / Zadanie 6 Niech X oraz X będą niezależnymi zmiennymi losowymi o złożonych rozładach dwumianowych z parametrami odpowiednio (n, q, F ) oraz (n, q, F ) a więc z tym samym pierwszym parametrem i dowolnymi pozostałymi parametrami Rozład sumy W = X + X tych zmiennych daje się przedstawić taże w postaci rozładu złożonego dwumianowego o parametrach (n, q, F ), z dystrybuantą F daną wzorem o postaci: F (x) = af (x) + bf (x) + ( a b)f F (x), gdzie F F oznacza dystrybuantę rozładu sumy dwóch zmiennych losowych o dystrybuantach F oraz F Parametry q oraz a i b rozładu zmiennej W są funcjami parametrów q oraz q rozładów zmiennych X oraz X Podaj te funcje Zadanie 7 Łączna wartość szód W Y YN w pewnym portfelu ryzy ma rozład złożony dwumianowy o parametrach n, q, F Przyjmujemy n Rozład wartości pojedynczej szody jest dwupuntowy: PrY, PrY,, Jeśli q 36, to jaie musi być, aby rozład zmiennej W był taże rozładem dwumianowym? Wsazówa: posłuż się funcją generującą momenty Zadanie 8 Załóżmy, że zmienne N M, M,, powiązane ze zmienną K zależnością: K M, M 3 M N, spełniają założenia rozładu złożonego Zmienna M ma rozład dwumianowy: Pr( M ) Q, Pr( M ) P, Q (,), P Q Przyjmujemy następującą interpretację zmiennych zadania: N to liczba roszczeń zgłoszonych z pewnego ryzya M to zmienna, tóra przyjmuje wartość o ile roszczenie j-te zostało uznane j przez ubezpieczyciela, zaś, jeśli zostało oddalone Wobec tego z ogólnej liczby N roszczeń zgłoszonych z tego ryzya K to liczba roszczeń uznanych, zaś ( N K) to liczba roszczeń oddalonych a) Wyaż, że jeśli zmienna N ma rozład Poissona (), to zmienne K oraz ( N K) mają taże rozłady Poissona z odpowiednio zmodyfiowanymi parametrami b) Wyaż, że jeśli N ma rozład dwumianowy ( n, q), to zmienne K oraz ( N K) mają taże rozłady dwumianowe z odpowiednio zmodyfiowanymi parametrami c) Wyaż, że jeśli N ma rozład ujemny dwumianowy ( r, q), to zmienne K i ( N K) mają też rozłady ujemne dwumianowe z odpowiednio zmodyfiowanymi parametrami d) Wyaż, że przy założeniu a) zmienne K oraz ( N K) są niezależne e) Wyaż, że przy założeniu b) zmienne K oraz ( N K) są zależne 3

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 Wsazówi: w puntach a), b) i c) posłuż się funcjami generującymi momenty, w tym taże wzorem wiążącym FGM zmiennej o rozładzie złożonym z FGM zmiennej liczącej sładnii i FGM pojedynczego sładnia w puncie d) możesz się posłużyć wyniami z puntu a) Jeśli bowiem znasz rozłady zmiennych K oraz (N K), to możesz sprawdzić czy dla ażdego n =,,3, zachodzi równość: Pr( K ) ( N K n ) Pr( K ) Pr( N K n ), gdzie lewą stronę znajdziesz posługując się wzorem: Pr ( K ) ( N K n ) Pr( K N n) Pr( N n ) 3 do puntu e) możesz podejść na różne sposoby Jeśli jedna udało Ci się wyznaczyć w puncie b) rozłady zmiennych K oraz (N K), wtedy chyba najłatwiejszym sposobem będzie porównanie zaresu możliwych wartości, jaie przyjmuje zmienna N, oraz jaie przyjmowałaby suma zmiennych K oraz (N K) o ile byłyby to zmienne niezależne Zadanie 9 Przyjmujemy oznaczenia i założenia taie same, ja w zadaniu 8 Znajdź rozład warunowy zmiennej K pod waruniem że N K = m w przypadu, gdy: a) Zmienna N ma rozład ujemny dwumianowy z parametrami (r, q) b) Zmienna N ma rozład dwumianowy z parametrami (n, q) Uwaga: W ramach zadania 8 wyazano, że w przypadu gdy zmienna N ma rozład Poissona (λ), zmienne K oraz N K są niezależne Soro ta, to rozład warunowy zmiennej K pod waruniem że N K = m, nie zależy od m, a więc jest równy rozładowi bezwarunowemu zmiennej K, czyli rozładowi Poissona (λq) W przypadu gdy zmienna N ma rozład dwumianowy wyazaliśmy, że zmienne K oraz N K są zależne, wobec czego zadanie przestaje być banalne Podobnie będzie w przypadu rozładu ujemnego dwumianowego zmiennej N W obu tych przypadach otrzymamy rozłady, tórych parametry zależeć będą od liczby m Zadanie Dla rozładu liczby szód N {,,,3, } spełniona jest zależność reurencyjna: Pr(N = n) = (a + b n ) Pr(N = n ), n =,,3, Niech p (a, b) wyraża prawdopodobieństwo iż nie zajdzie żadna szoda jao funcję parametrów rozładu a i b a) Znajdź postać funcji p (a, b) dla przypadu gdy a (,) oraz b > a (rozład ujemny dwumianowy) b) Poaż, że funcja p (a, b) ma taą samą postać gdy a < oraz ( b/a) jest liczbą naturalną więszą od jedyni (rozład dwumianowy) c) Znajdź postać funcji p (, b) dla przypadu gdy b > (rozład Poissona) i poaż, że jest ona równa granicy funcji p (a, b) wyprowadzonej dla poprzednich przypadów, gdy przy ustalonej wartości parametru b > parametr a dąży do zera d) Znajdź podobnie uniwersalny wzór na wartość oczeiwaną i wariancję zmiennej N 4

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 Zadanie Rozważmy rozład prawdopodobieństwa zmiennej losowej N oreślony na liczbach naturalnych z zerem o prawdopodobieństwach danych wzorem: Pr N p, p PrN,,,3, e! Doładniej, rozważmy rodzinę taich rozładów oreśloną przez onretną ustaloną wartość oraz dowolne wartości parametru p, Wyznacz zbiór taich wartości parametru p (dla danej, dodatniej wartości parametru ), dla tórych wariancja zmiennej N jest więsza od jej wartości oczeiwanej (jest to tzw rozład z Poissonowsim ogonem) Zadanie Liczba szód N z pewnego ryzya ma rozład Poissona z wart oczeiwaną równą rocznie Wartości szód Y i są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozładzie ciągłym, niezależnymi taże od liczby szód W związu z istniejącym systemem zniże ubezpieczony przyjmuje następującą strategię zgłaszania szód w ciągu rou: nie zgłasza szód, dopói wartość tórejś z nich nie przeroczy liczby x jeśli wartość tórejś szody przeroczy liczbę x, to jest ona zgłaszana, a następne (ewentualne) szody zgłaszane są już bez względu na ich wartość Przyjmujemy założenie, iż decyzje o niezgłaszaniu szód są nieodwołalne, a więc jeśli szoda n-ta nie została zgłoszona, to nie można tego zmienić po zajściu n - szej szody Oznaczmy dla uproszczenia przez F prawdopodobieństwo, iż wartość szody nie przeroczy liczby x, zaś przez K liczbę szód tóre zaszły, ale tórych ubezpieczony nie zgłosił ubezpieczycielowi Wyznacz wartość oczeiwaną zmiennej K Wsazówa: Wyznacz najpierw Pr( K N n) dla,,, n Sprawdź, czy uzysany wzór jest poprawny dla n,,, Policz teraz ( K N n) Uzysany szereg powinien się ładnie zwinąć Sprawdź, czy uzysany wzór jest poprawny dla n,,, Wreszcie sorzystaj ze wzoru na iterowaną wartość oczeiwaną ( K) ( K N) - tutaj znowu uzysasz szereg, tóry ładnie się zwija Ostatecznie otrzymasz wzór będący prostą funcją parametrów F i Zadanie 3 Poaż, że momenty zwyłe zmiennej losowej Y taiej że PrY spełniają nierówność: m m m Uwaga: Jeśli uchylimy założenie iż PrY, wtedy nierówność ta jest nadal prawdziwa dla nieparzystych, o ile odpowiednie momenty istnieją Wsazówa: rozważ wartość oczeiwaną wielomianu postaci V U ( V U), gdzie V,U to dwie niezależne zmienne losowe o rozładzie taim ja Y Zadanie 4 Poaż, że rozład złożony Poissona ma zawsze urtozę nie mniejszą od wadratu sośności Wsazówa: wyorzystaj nierówność z zadania 3 5

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 Zadanie 5 Łączna wartość szód X ma rozład złożony ujemny dwumianowy Liczba szód ma wartość oczeiwaną równą / i wariancję równą /3 Rozład wartości pojedynczej szody: ma na przedziale (, 5) gęstość daną wzorem f(x) = 5 3x, oraz w puncie 5 masę prawdopodobieństwa równą 5 Oblicz wartość oczeiwaną i wariancję zmiennej X Zadanie 6 Niech X oznacza ryzyo związane z bezpośrednimi sutami finansowymi pewnego wypadu ubezpieczeniowego, o ile do niego dojdzie Niech Z oznacza z olei ryzyo związane z jego pośrednimi onsewencjami Jednym słowem, wiemy że PrZ X Mamy ponadto następujące dane: Pr 5 X, PrZ X 5, X X Z, X X Z 4 Z Z 4 X, Z X Z c cov Wyznacz bezwarunową owariancję X, Z cov jao funcję zadanego parametru c Wsazówa Sorzystaj ze wzoru: cov(x, Z) = E(XZ) E(X)E(Z) Zadanie 7 Przy ustalonej wartości parametru ryzya rozład liczby szód N z polisy omuniacyjnej wystawionej danemu ierowcy jest rozładem Poissona () Populacja ierowców jest niejednorodna, co przejawia się w zróżnicowanych wartościach parametru ryzya charateryzujących poszczególnych ierowców O tej populacji wiemy tyle, że parametr ryzya losowo wyciągniętego ierowcy ma wartość oczeiwaną i wariancję równą odpowiednio oraz, gdzie oba te parametry są dodatnie Wyaż, że bezwarunowy rozład liczby szód (a więc wyni dwuetapowego doświadczenia, gdzie najpierw losujemy ierowcę, a następnie wylosowany ierowca jeździ i ewentualnie zgłasza szody) nie jest rozładem Poissona Wsazówa: poaż, że bezwarunowy rozład liczby szód N ma wariancję więszą od wartości oczeiwanej, i dlatego nie może być rozładem Poissona Zadanie 8 Przy ustalonej wartości q parametru ryzya Q rozład liczby szód N z polisy wystawionej danemu osobniowi jest rozładem dwumianowym (, q ) Jest to więc tai rodzaj ubezpieczenia, w tórym może z jednej polisy zajść co najwyżej jedna szoda Populacja osobniów jest niejednorodna, co przejawia się w różnych wartościach parametru ryzya Q charateryzujących poszczególnych osobniów O tej populacji wiemy tyle, że parametr ryzya losowo wyciągniętego osobnia ma wartość oczeiwaną i wariancję równą odpowiednio oraz, gdzie oba te parametry są dodatnie Wyaż, że bezwarunowy rozład liczby szód (a więc wyni dwuetapowego doświadczenia, gdzie najpierw losujemy osobnia, a następnie wylosowany osobni zgłasza szodę lub jej nie zgłasza) jest nadal rozładem dwumianowym Wsazówa: jeśli to, co należy wyazać, wydaje Ci się w świetle poprzedniego zadania dziwne, zastanów się nad pewnym przyładem Porównaj mianowicie sytuację w tórej o populacji sładającej się ze osobniów przyjmujemy dwa srajne założenia: Q Q 6

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 o iż wszyscy mają prawdopodobieństwo zajścia szody równe / o iż osobniów ma p-stwo zajścia szody równe, zaś 9-ciu równe zero Jai rozład ma w obu sytuacjach liczba szód dla jednego, losowo wybranego osobnia? Zadanie 9 Przyjmujemy te same ogólne założenia co w zadaniu 8 Załadamy jedna iż o populacji wiemy nieco więcej, a mianowicie iż, Niech N oznacza zmienną losową wyrażającą liczbę szód wygenerowaną przez (losowo wybranego z populacji) ubezpieczonego w ciągu trzech olejnych lat ubezpieczenia Załadamy przy tym, że liczby szód wygenerowane przez niego w olejnych latach są (warunowo, przy danym poziomie q parametru ryzya Q) niezależne, za ażdym razem o rozładzie dwumianowym (, q ) Oblicz prawdopodobieństwo przyjęcia wartości srajnych: PrN PrN 3 (Uwaga: pytanie jest nieprzypadowe - dane wystarczają, aby wyznaczyć ww sumę prawdopodobieństw, natomiast nie wystarczają do wyznaczenia ażdego z nich z osobna) Zadanie Pojedyncze ryzyo z pewnej populacji generuje co najwyżej jedną szodę w ciągu rou Ryzyo charateryzujące się wartością q parametru ryzya Q, generuje szodę w ażdym z olejnych lat niezależnie, zawsze z prawdopodobieństwem q Dla losowo wybranego ryzya z tej populacji jego q jest realizacją zmiennej losowej Q Oznaczmy przez N oraz N odpowiednio liczbę szód wygenerowaną w olejnych dwóch latach przez pojedyncze, losowo wybrane z tej populacji ryzyo Na podstawie obserwacji wieliej liczby ryzy z tej populacji, ustalono, iż: Pr(N + N = ) = 3, Pr(N + N = ) = 4 5, Pr(N + N = ) = 5 Znajdź wartość oczeiwaną i wariancję rozładu parametru ryzya Q w tej populacji Zadanie Kierowca, tórego charateryzuje wartość q parametru ryzya Q, zgłasza szody (jedną lub więcej) w ciągu rou z prawdopodobieństwem q, zaś nie zgłasza szód z prawdopodobieństwem p = q, przy czym zdarzenia te w olejnych latach są zdarzeniami niezależnymi Jeśli ierowcę z tej populacji przypadowo wylosujemy, to charateryzującą go wartość parametru q tratujemy jao realizację zmiennej losowej Q Populacja jest niejednorodna, w związu z czym var(q) > Załadamy, że populacja jest zamnięta (starzy ierowcy nie zniają, nowi się nie pojawiają) Kierowcy migrują pomiędzy lasami bardzo prostego, 3-lasowego systemu bonus-malus W systemie tym ażdy ierowca, tóry w danym rou zgłosił jedną lub więcej szód, ląduje w rou następnym w lasie pierwszej (z najwyższą sładą) Jeśli jedna nie zgłosił żadnej szody, wtedy: Ląduje w lasie drugiej, o ile w danym rou był w lasie pierwszej; Ląduje w lasie trzeciej, o ile w danym rou był w lasie drugiej lub trzeciej Na podstawie obserwacji ustaliliśmy, że fracja ierowców z tej populacji przebywających w lasie pierwszej wynosi %, w lasie drugiej 8%, zaś w lasie trzeciej 7% Oczywiście pominęliśmy przy tym obserwacje z pierwszych paru lat funcjonowania systemu bonus-malus, iedy przynależność do lasy zależała jeszcze od lasy startowej Q Q 7

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 Załóżmy, że nasze oceny %, 8% oraz 7% nie są obarczone błędem statystycznym Wyznacz var(q) Zadanie Rozład zmiennej losowej Y dany jest na półosi dodatniej dystrybuantą: F Y (x) = exp ( βx), z wartością dodatnią parametru β Ciągły rozład zmiennej Y aprosymujemy rozładem dysretnym zmiennej Y o funcji prawdopodobieństwa postaci: Pr(Y = ) = p, Pr(Y = jh) = ( p )[ exp( βh)][exp( βh)] j, j =,,3,, gdzie h > jest interwałem dysretyzacji a) Wyznacz taą wartość parametru p, dla tórej wartość oczeiwana zmiennej aprosymującej Y i zmiennej aprosymowanej Y są równe; b) Wyznacz wariancję zmiennej Y i porównaj ją z wariancją zmiennej Y Poaż, że jeśli przy ustalonej wartości parametru β szeroość interwału dysretyzacji h dąży do zera, wtedy wariancja zmiennej Y zbiega do wariancji zmiennej Y Zadanie 3 Rozład prawdopodobieństwa zmiennej X dany jest w tabeli: x 5 Pr(X=x) 8 3 3 3 Wyznacz d, jeśli wiadomo, że EI d X 37 Wyjaśnienie: I d (x) (x d) + max{, x d} Zadanie 4 Zmienna losowa X przyjmuje wartości nieujemne tzn PrX Dla dwóch puntów d i d taich, że d d znamy wartości dystrybuanty F X d i oraz wartości oczeiwane nadwyżi zmiennej X ponad odpowiednie d i Nasze dane zawarte są w tabeli: i E X d d F i X d i 5 45 7 65 9 E X X 5, 7 Oblicz warunową wartość oczeiwaną Zadanie 5 Znajdź PrS 4, gdzie S ma złożony rozład Poissona o parametrze częstotliwości i gdzie rozład wartości pojedynczej szody dany jest funcją prawdopodobieństwa f(x) : x 3 4 f(x) 5 Zadanie 6 Pewien podmiot posiada wyjściowy mająte o wartości w, i narażony jest na stratę X Strata X jest zmienną losową o rozładzie dwupuntowym: Pr( X ) q, Pr( X ) q Podmiot ten postępuje racjonalnie, a w swoich decyzjach ieruje się masymalizacją oczeiwanej użyteczności, przy czym jego funcja użyteczności jest postaci: u( x) exp( x) Ryne ubezpieczeniowy oferuje ontraty ubezpieczeniowe wypłacające X za szodę w wysoości X dla dowolnych,, w zamian za sładę w wysoości ( ) E( X ) i 8

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 Wyznacz optymalny poziom parametru dla tego podmiotu przy założeniu, że 5%, zaś q % Zadanie 7 Decydent z awersją do ryzya narażony jest na szodę X W tabeli podane są możliwe wartości x szody X, prawdopodobieństwa ich wystąpienia oraz wysoości odszodowań wyniające z trzech zaoferowanych decydentowi ontratów ubezpieczeniowych: szoda x 3 Pr X x 8 8 8 4 I x I x I x 3 4 4 4 3 /3 4/3 Który ontrat wybierze decydent, jeśli wszystie ontraty oferowane są po cenach równych odpowiadającym im sładom netto E(I (j) (X)) Zadanie 8 Dla pewnego ryzya liczba szód ma rozład Poissona z wart oczeiwaną i rozład wartości pojedynczej szody dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f x x 4 Wyznacz sładę netto za porycie ażdej szody z tego ryzya do wysoości 5 ponad pierwsze, czyli gdy za szodę w wysoości x odszodowanie wynosi I(x) = min{5; max{, x }} Zadanie 9 Wartość szody ma rozład wyładniczy ze średnią O ile procent wzrośnie słada netto za nadwyżę szody do wysoości d d ponad d, jeśli dolny i górny limit są niezmienne i wynoszą d ln, d 4ln, natomiast ceny, w jaich wyrażona jest szoda, wzrosły dwurotnie (o %)? Zadanie 3 Łączna wartość szód w pewnym portfelu ryzy złożony rozład Poissona, gdzie N jest tai, że: Y Pr E, E Y, Y, 4, Y S Y YN ma E i rozład wartości pojedynczej szody Y E Niech teraz zmienna S R oznacza łączną wartość nadwyże ażdej ze szód ponad wartość, porywaną przez reaseuratora: S Y Y, R N zaś zmienna SU S SR oznacza wartość szód pozostałą na udziale własnym ubezpieczyciela, a więc: S U min Y, min Y N, cov S, a) wyznacz wartość S R U b) oszacuj (z góry i z dołu) iloraz var S vars vars R U 9

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 Zadanie 3 Pewne ryzyo generuje szody w liczbie danej rozładem Poissona z wartością oczeiwaną 6 t za ores o długości t lat Jeśli szoda wystąpi, to jej wartość jest zawsze jeden Niech S R oznacza łączną wartość szód za ro, a S Q łączną wartość szód za wartał z tego ryzya Zarówno w ubezpieczeniu rocznym, ja i w wartalnym wprowadzono limit odpowiedzialności 3 Oblicz stosune słade E min S,3 E min S,3 netto Q R Zadanie 3 Liczba szód N z pewnego ryzya ma złożony rozład Poissona z oczeiwaną liczbą szód równą, i rozładem wartości pojedynczej szody oreślonym na przedziale,, o wartości oczeiwanej równej, Ubezpieczyciel wystawia na to ryzyo polisę z sumą ubezpieczenia, z poryciem ażdej olejnej szody proporcjonalnym do niesonsumowanej do tej pory części sumy ubezpieczenia, a więc: za (ewentualną) szodę Y wypłaca odszodowanie w pełnej wysoości Y za (ewentualną) szodę Y wypłaca odszodowanie w wysoości Y Y za (ewentualną) szodę Y 3 wypłaca odszodowanie w wysoości Y Y Y Y Y Y Y 3, co równe jest 3 za (ewentualną) szodę Y 4 wypłaca odszodowanie w wysoości Y Y Y Y Y Y 3Y4, to znaczy Y Y Y3 Y4, itd Wyznacz wartość oczeiwaną sumy wypłat z tej polisy Zadanie 33 Łączna wartość szód z pewnego ryzya za ores od zera do t wynosi: X t Y Y N t równe jest zero), Y N (lub zero jeśli t gdzie N t jest procesem Poissona z częstotliwością rocznie, zaś wartości olejnych szód mają ten sam rozład i są niezależne (nawzajem i od procesu N t ) Wiemy, że rozład wartości pojedynczej szody jest oreślony na odcinu (, ) i ma wartość oczeiwaną równą Ubezpieczyciel proponuje roczne ubezpieczenie o sumie ubezpieczenia równej z odnowieniami pełnej sumy ubezpieczenia po ażdej szodzie Doładniej, jeśli przyjmiemy T i oznaczymy przez T,,,, Y T Y odpowiednio momenty zajścia i wartości olejnych szód, to ubezpieczony płaci sładę: w wyjściowej wocie c na początu rou (w momencie T ) w wocie c Y T po zajściu -tej szody Załadamy, iż ubezpieczony po ażdej ewentualnej szodzie doonuje odnowienia pełnej sumy ubezpieczenia Oznaczmy wniesioną przez niego w ciągu rou łączną wotę sładi przez P Oblicz E P Zadanie 34 Niech T oznacza moment zajścia szody, zaś T + X moment jej liwidacji Załadamy, że moment zajścia szody T jest zmienną losową o rozładzie jednostajnym na odcinu (, t ), zaś ores czasu X, jai upływa od zajścia do liwidacji szody, jest zmienną losową o rozładzie wyładniczym z wartością oczeiwaną równą Załadamy, że zmienne losowe T oraz X są niezależne Warunową wartość oczeiwaną E(X X + T > t ) interpretujemy jao oczeiwany całowity czas liwidacji taiej szody, tóra w momencie czasu t wciąż oczeuje na liwidację

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 Wyznacz granicę lim t E(X X + T > t ) Zadanie 35 Modelujemy przebiegający w czasie proces ściągania należności regresowych przez ubezpieczyciela Niech T oznacza zmienną losową o rozładzie: ciągłym na przedziale, z pewną (być może niezerową) masą prawdopodobieństwa w puncie, reprezentującą czas ściągnięcia należności regresowej (liczony od momentu powstania prawa do regresu) Niech f T, F T oraz h T oznaczają odpowiednio funcję gęstości, dystrybuantę oraz funcję hazardu zmiennej T Dystrybuancie oraz funcji hazardu nadajemy następującą interpretację: t FT t ft sds to wsaźni ściągalności do czasu t (oczywiście F T ) F T t PrT t ft t ht t F t lim to wsaźni ściągalności ostatecznej, dla t to natężenie procesu ściągania (intensywność T ściągania należności, tórych do momentu t jeszcze nie ściągnięto) Załóżmy, że natężenie procesu ściągania dane jest funcją hazardu oreśloną na półosi dodatniej następująco: ln h T t ( t) Oblicz wartość wsaźnia ściągalności ostatecznej

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 Odpowiedzi/podpowiedzi Zadanie Wyorzystując wzór F W (w) = F (w x)df (x) musimy w pierwszym rzędzie rozszyfrować całowanie po przyroście dystrybuanty F : F (w x)df (x) = df ()F (w) + df ()F (w ) + F (w x)f (x) dx, gdzie df () = 8, df () =, oraz gęstość f (x) = na przedziale (,) Po podstawieniu tych wartości otrzymujemy: F (w x)df (x) = 8F (w) + F (w ) + F (w x) dx Następny ro to ustalenie, tóry z trzech wzorów na wartość dystrybuanty F wybrać Zależy to oczywiście od wartości argumentu funcji F Dlatego należy obliczenia przeprowadzić osobno dla czterech przypadów, a mianowicie dla w <, w [, ), w [, ), oraz w W pierwszym przypadu natychmiast otrzymujemy F W (w) =, w ostatnim zaś F W (w) = W pozostałych dwóch przypadach rachuni są mniej trywialne: Dla w [, ) otrzymujemy: F W (w) = w = 8{7 + w} + {7 + (w )} + {7 + (w x)} dx, zaś dla w [, ): F W (w) = w = 8 + {7 + (w )} + { {7 + (w x)} dx + dx} w Ostateczny wyni to: F W (w) = 56 + 3w + w dla w [, ), oraz: F W (w) = 89 + 7w w dla w [, ) Zadanie Poniżej podane są odpowiedzi - funcje generujące momenty, wartości oczeiwane, wariancje, wsaźnii sośności i dodatowo wsaźnii urtozy dla zadanych rozładów a) M(t) = exp[λ(e t )], C(t) = λ(e t ), E(N) = λ, var(n) = λ, γ N = / λ, N = /λ b) M(t) = (p + qe t ) n, C(t) = nln (p + qe t ), E(N) = nq, var(n) = nqp, γ N = q nq( q), N = 6q( q) nq( q) c) M(t) = ( q qe t)r, C(t) = r{ln( q) ln( qe t )}, (oba wzory poprawne dla t < ln (/q), w p p +) E(N) = rq rq, var(n) = q ( q), d) M(t) = ( β β t )α, γ N = +q rq, N = +4q+q rq C(t) = α{ln(β) ln(β t)} (oba wzory poprawne dla t < β, w p p +) E(X) = α, var(x) = α β β, γ X =, α X = 6 α e) M(t) = exp(μt + σ t /), C(t) = μt + σ t /, E(X) = μ, var(x) = σ, γ X =, X = Zadanie 3 Wynii: E(Y) = M X () = exp (μ + σ /), E(Y ) = M X () = exp (μ + σ ), var(y) = E(Y ) [E(Y)] = exp(μ + σ ) [exp(σ ) ]

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 Zadanie 4 Na mocy twierdzenia o dodawaniu dla złożonych rozładów Poissona zmienna losowa X ma (podobnie ja jej sładnii) rozład złożony Poissona z parametrami: λ = λ + λ + λ 3, oraz z dystrybuantą równą (dla dowolnej rzeczywistej liczby x): F(x) = [λ F (x) + λ F (x) + λ 3 F 3 (x)]/λ Z założeń liczbowych wynia, że λ =, zaś rozład wartości szody, oprawdopodobieństwach: Pr(Y = ) = 6, Pr(Y = ) = 4 Wobec tego: Pr(X = 3) = Pr(N = 3) [Pr(Y = )] 3 + Pr(N = ) Pr(Y = ) Pr (Y = ), Co po podstawieniu wartości liczbowych daje wyni równy 48exp ( ) Zadanie 5 Wynii: a) var(n ) var(n + N ) = n n n +n (q q ) b) var(n ) var(n ) = (n q +n q ) n +n c) var(w ) var(w + W ) = n n (m n +n, q m, q ) d) var(w ) var(w ) = (n q m, +n q m, ) n +n e) Liczbowo: a),3 b),45 c) 4,8 d) 64,8 Procentowo (w przybliżeniu): a) % b),5% c),6% d),8% Spostrzeżenie: sładnii wariancji łącznej wartości szód we wszystich trzech wersjach (doładnej i dwóch przybliżonych) zależne od momentów drugiego rzędu rozłady wartości pojedynczej szody m, i są identyczne, a różnice dotyczą sładniów zależnych od momentów pierwszego rzędu m, i Zadanie 6 Na począte rozwiązujemy zadanie dla przypadu, iedy n = Łatwo się wtedy zauważyć, że albo nie dojdzie do szody z żadnego z ryzy, albo przynajmniej z jednego z nich dojdzie do szody Ten drugi przypade ma trzy warianty: albo dojdzie do szody tylo z pierwszego ryzya, albo tylo z drugiego, albo z obu równocześnie Jasne jest więc, że nasze rozwiązanie przyjmuje postać: q = p p, a = q p, b = q p p p p p Teraz doonujemy spostrzeżenia, że jest to równocześnie rozwiązanie dla przypadu gdy n > Wynia to z fatu, iż suma X + X to w istocie suma n sładniów, tórą można potratować jao sumę n niezależnych zmiennych losowych, ażda z nich o rozładzie złożonym dwumianowym z parametrami (, q, F ) Zadanie 7 Jeśliby W miała mieć rozład dwumianowy, to liczba prób musiałaby wynosić n, ponieważ możliwe wartości tej zmiennej to liczby ze zboru,,,,n Trzeba więc rozwiązać zagadę, czy funcja {64 + 36αe t + 36( α)e t } da się przedstawić w postaci (P + Qe t ), a jeśli ta, to ile wynieść musi wartość parametru α Aby tę zagadę rozwiązać, podnosimy ostatnie wyrażenie do wadratu: (P + Qe t ) = P + PQe t + Q e t, i odgadujemy olejno: P = 8, wobec czego Q =, a więc Q = 4, i w ońcu PQ = 3 Oazuje się, że ta równanie: 36α = 3 ja i równanie: 36( α) = 4 rozwiązuje ta sama liczbaα = 8/9 3

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 Zadanie 8 Odpowiedzi w puntach a), b) i c) opieramy na analizie funcji generujących momenty a) Odtwarzamy najpierw FGM zmiennej K: z M ( z) exp ( P Qe ), tórą przeształcamy do postaci: K z M K ( z) exp Q( e ), a to jest FGM rozładu Poissona ( Q) Następnie zauważamy, że: N K ( M) ( M N ), w związu z czym rozumując analogicznie otrzymujemy wyni, iż zmienna ( N K) ma też rozład Poissona, ale z parametrem ( P) b) Postępujemy analogicznie, tym razem otrzymując: K M ( z) p q( P Qe ) z n z n, co przeształcamy do postaci: M K ( z) ( qq) qqe ), co oznacza że zmienna K ma rozład dwumianowy z parametrami ( n, qq) Wychodząc od analogicznego (co poprzednio) spostrzeżenia dochodzimy do wniosu, że ( N K) ma rozład dwumianowy z parametrami ( n, qp) c) Tym razem otrzymujemy: q M K (z) = ( q(p+qe z)r, co przeształcamy do postaci: M K (z) = ( qq qp qq ez) qp dwumianowy z parametrami (r, r, co oznacza że zmienna K ma rozład ujemny qq ) qp Rozumując podobnie ja poprzednio dochodzimy do wniosu, że zmienna ( N K) ma rozład ujemny dwumianowy z parametrami (r, qp ) qq d) Niezależność oznaczałaby, że dla ażdego j, {,,,3, } zachodzi: Pr K, N K j PrK PrN K j Lewa strona tej równości daje się przedstawić jao: Pr K, N K j Pr K N j Pr N j, co przy naszych założeniach przyjmuje postać: j j j PrK, N K j Q P exp( ) ( j)! Uzysany wyni można bez trudu przeształcić do postaci: j ( Q) ( P) PrK, N K j exp( Q) exp( P),! j! gdzie rozpoznajemy iloczyn uzysanego w puncie a) prawdopodobieństwa iż zajdzie zdarzenie K = oraz prawdopodobieństwa iż N K = j e) Aby poazać, że w przypadu b) niezależność zmiennych K oraz ( N K) zachodzić nie może, wystarczy zauważyć, że gdyby były to zmienne niezależne, wtedy zachodziłaby równość: n n PrK n, N K n ( qq) ( qp), a to jest liczba więsza od zera Tymczasem wiadomo, że zdarzenie taie zajdzie z prawdopodobieństwem zero, ponieważ zmienna N ma rozład dwumianowy o parametrach ( n, Q), a więc nigdy nie przyjmuje wartości więszych od n Ergo, założenie o niezależności musi być fałszywe 4

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 Zadanie 9 Rozpoczynamy od spostrzeżenia, że: Pr(K = N K = m) = Pr(K = N = + m) Pr (N=+m) Pr (N K=m) a) W tym przypadu mamy: + m Pr(K = N K = m) = ( ) Q P m Γ(r++m) Γ(r)(+m)! pr q +m, Γ(r+m) Γ(r)m! ( p p+qp )r ( qp p+qp )m co po serii przeształceń prowadzi do wyniu: Pr(K = N K = m) = Γ(r+m+) (p + Γ(r+m)! qp)r+m (qq) Otrzymujemy więc wniose, że rozład warunowy liczby roszczeń uznanych pod waruniem, że liczba roszczeń oddalonych wyniosła m, jest rozładem ujemnym dwumianowym z parametrami (r + m, qq) b) Tym razem mamy: + m Pr(K = N K = m) = ( ) Q P m co po serii przeształceń prowadzi do wyniu: n m Pr(K = N K = m) = ( ) ( p p+qq ) ( qq p+qq )n m Teraz otrzymujemy rozład dwumianowy z parametrami (n m, ( n +m )q+m p n m ( n m )(qp)m ( qp) n m, Spostrzeżenie Warunowa wartość oczeiwana E(K N K = m) wynosi: qq (n m), gdy liczba roszczeń ma rozład dwumianowy (n, q) p+qq qq qq qq ) p+qq (r + m), gdy liczba roszczeń ma rozład ujemny dwumianowy (r, q) Alternatywna interpretacja zadania: Jeśli N to szody z pewnego portfela ryzy, do tórych dochodzi w ciągu rou, z czego (N K) to szody tóre zostały zgłoszone przed ońcem rou, to uzysane wynii o rozładach warunowych zmiennej losowej K pod waruniem, że (N K) = m, pozwalają budować prognozę liczby szód zaistniałych ale jeszcze nie zgłoszonych z tego portfela (tzw Incurred But Not Repoted IBNR) Zadanie Wiadomo (podrozdział 44 podręcznia), że zależność reurencyjna: Pr(N = ) = (a + b ) Pr(N = ), =,,3,, generuje prawdopodobieństwa: rozładu Poissona (λ) gdy (a, b) = (, λ), rozładu dwumianowego (n, q) gdy (a, b) = ( q ),, (n+)q p p rozładu ujemnego dwumianowego (n, q) gdy (a, b) = (q, (r )q), zdegenerowanego do puntu N = gdy b = a Łatwo ustalić, że wzór p (a, b) = ( a) a+b a wyraża wprost prawdopodobieństwo zera szód dla rozładów dwumianowego i ujemnego dwumianowego Jeśli teraz dla dowolnego dodatniego b przejdziemy do granicy przy a dążącym do zera, otrzymamy: lim a ( a) a+b a = ( ) (lim a ( a) a) b = (e ) b = e b, co jest prawdopodobieństwem zera szód w rozładzie Poissona z parametrem λ = b Uniwersalne (dla tych trzech rozładów) wzory na wartość oczeiwaną i wariancję są postaci: E(N) = a+b a, var(n) = a+b ( a) 5

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 Zadanie Warune ten jest postaci: p > e λ Można do tego wyniu dojść porównując bezpośrednio policzoną wariancję z wartością oczeiwaną: E(N) = λ p e λ, var(n) = λ p e λ ( + λ + λ p e λ) Zadanie Oznaczając przez N liczbę szód zaszłych, otrzymujemy olejno: K N, K N F F, K N F( F) F F F 3 3 K N 3 F( F) F ( F) 3F F F F 3 4 3 4 K N 4 F ( F) F ( F) 3F ( F) 4F F F F F, Dostrzegamy, że wzór ogólny jest postaci: K N n F K K N ( ) exp( ) F n! F n n F ( F) ( K) exp( ) F n n! n n! a to sprowadza się do prostej formuły: F E( K) exp( ( F)) F n n F F F, co łatwo przeształcić: N W rezultacie: F exp( ) exp( ) exp( F), F Zadanie 3 Jeśli dwie zmienne losowe U oraz V mają tai sam rozład ja zmienna Y, a ponadto są niezależne, to zachodzi: V U V U) V U V U V U m m m ( V, ( V U) Równocześnie jedna zawsze zachodzi, U, oraz W rezultacie mamy: m m m Zauważ, że jeśli uogólnimy nasze rozumowanie na zmienne oreślone na całej osi, wtedy jest ono nadal poprawne, o ile ograniczymy się do przypadu gdy jest liczbą nieparzystą, i oczywiście przyjmiemy iż odpowiednie momenty istnieją Zadanie 4 Dla rozładu złożonego Poissona o oczeiwanej licznie szód λ i rozładzie wartości szody z momentami rzędu równymi m sośność i urtoza dane są wzorami: γ = λm 3 (λm ) 3/, = λm 4 (λm ) Dzieląc urtozę przez wadrat sośności otrzymujemy: = m 4m γ (m 3 ) Zadanie 5 Wartość oczeiwana i wariancja w rozładzie złożonym ujemnym dwumianowym dane są wzorami: E(X) = E(N)m, var(x) = E(N) (m + q p m ) Parametry rozładu liczby szód uzysujemy ze wzorów: E(N) = rq/p, var(n) = rq/p Momenty zwyłe z rozładu wartości pojedynczej szody liczymy z definicji: 5 m = ( x 3 4 x ) dx + 5 5, m 8 = ( 4 x 3 x3 ) dx + 5 8 Rezultat liczbowy to oczeiwana wartość szód równa 5/4 i wariancja równa 75/3 6

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 Zadanie 6 Rachuni są dość elementarne: cov X,Z XZ X Z XZ X Z PrX Z X Z c 6 6 c 4 4 4 Zadanie 7 Wartość oczeiwana i wariancja z rozładu bezwarunowego zmiennej N wynoszą odpowiednio: N (N ), var ( N ) var( N ) var var N Ze względu na przyjęte założenie iż więc N nie może mieć rozładu Poissona mamy wniose, że var N N Zadanie 8 Z treści zadania wynia, że ostatecznie w wyniu dwuetapowego doświadczenia zmienna N przyjmie albo wartość zero, albo jeden Tę ostatnią przyjmie z prawdopodobieństwem: Pr N ( N) ( N Q) Q Q Wynia więc stąd że otrzymaliśmy rozład dwumianowy z parametrami, ) ( Q Zadanie 9 Zaczynamy od wyorzystania twierdzenia o prawdopodobieństwie całowitym: Pr(N = ) + Pr(N = 3) = [Pr(N = Q = q) + Pr(N = 3 Q = q)]df Q (q) = = [( q) 3 + q 3 ]df Q (q) = E( 3Q + 3Q Q 3 ) + E(Q 3 ) = = 3μ Q + 3(σ Q + μ Q ) = 58 Zadanie Wiemy, że Pr(N + N = ) = E[Pr(N + N = Q)] = E(Q ) = 5 Wiemy taże, że Pr(N + N = ) = E[Pr(N + N = Q)] = E[Q( Q)] = [EQ E(Q )] = 4 5 Wynia stąd że E(Q) = 5, zaś var(q) = 5 ( 5 ) = 75 Zadanie W przyjętym w zadaniu systemie bonus-malus pozycja ierowcy na przestrzeni las zależy od tego, czy zgłaszał szody w ostatnich dwóch latach Kierowca, tórego charateryzuje wartość q parametru ryzya Q, przebywa: w lasie z p-stwem q (w poprzednim rou zgłosił szody) w lasie z p-stwem pq (w poprzednim rou nie zgłaszał szód, ale ro wcześniej zgłaszał) w lasie 3 z p-stwem p (w żadnym z poprzednich lat nie zgłaszał szód) Wobec tego losowo wybrany z tej populacji ierowca będzie przebywał (po upływie pierwszych dwóch lat): w lasie z p-stwem E(Q), w lasie z p-stwem E[Q( Q)],, a 7

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 w lasie 3 z p-stwem E[( Q) ] Przyrównując powyższe wartości oczeiwane do danych o fracji ierowców przebywających w poszczególnych lasach otrzymujemy równania, z tórych otrzymujemy: E(Q) =, oraz E(Q ) =, z czego wniosujemy, że var(q) = = 8 Zadanie a) Wartość oczeiwana zmiennej losowej Y wynosi /β Rozład zmiennej losowej Y jest rozładem tóry powstaje w wyniu doświadczenia, w tórym: z prawdopodobieństwem równym p losujemy liczbę zero, z prawdopodobieństwem równym ( p ) losujemy liczbę z rozładu geometrycznego powięszoną o jedynę Założenie, iż obie zmienne mają taą samą wartość oczeiwaną, prowadzi więc do równania: ( p ) ( + q p ) = β, gdzie q = exp ( βh), oraz p = q Rozwiązaniem tego równania jest liczba p = exp ( βh) β b) Dość żmudne rachuni prowadzą do wniosu że wariancja zmiennej Y wynosi exp(βh) /β, co jest liczbą więszą od wariancji zmiennej Y równej /β Różnica ta jedna znia w miarę ja h zbiega do zera (od góry, oczywiście) Zadanie 3 d 4 5 6 5 Zadanie 4 E X X, 7 Zadanie 5 Pr S 4 9 e Zadanie 6 Funcja, tórą należy zmasymalizować dobierając odpowiednią wartość parametru α [,] na postać: f(α) = qu[w + α αq( + θ)] + ( q)u[w αq( + θ)], gdzie pierwszy sładni jest iloczynem p-stwa zajścia szody i użyteczności po tymże zajściu, zaś drugi sładni jest iloczynem p-stwa iż do szody nie dojdzie i użyteczności w tym przypadu Po podstawieniu wartości liczbowych q = /5 oraz θ = /4 zadanie oazuje się mieć rozwiązanie wewnątrz przedziału [,], równe: α opt = ln (4/3) 73 Zadanie 7 Wybór pomiędzy alternatywą I () oraz I (3) przesądza twierdzenie o optymalnym ontracie ubezpieczeniowym ponieważ w obu przypadach E IX 4, zaś ontrat I () jest ontratem na nadwyżę szody ponad stałą 6, zaś ontrat I (3) jest ontratem proporcjonalnym W rezultacie decydent z tych dwóch ontratów wybierze I () Równocześnie jedna ontratem jeszcze lepszym będzie ontrat I (), ponieważ ontraty sprzedawane są po cenie równej sładce netto, a przy taiej cenie decydent z awersją do ryzya słonny będzie wyupić ubezpieczenie od ażdego ryzya Kontrat I () pozostawia na udziale ubezpieczonego ryzyo, tóre z p-swem 8 8

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 przyjmuje wartość zero, zaś z p-stwem generuje stratę o wartości 6 Różnica miedzy ontratami I () a I () stanowi porycie właśnie tego, pozostałego ryzya; doupując więc do ontratu I () ontrat (I () I () ) decydent dodatowo podwyższa swoją oczeiwaną użyteczność Zadanie 8 Słada netto wynosi: 45 F x dx F x dx 5 W policzeniu powyższych całe pomaga znajomość paru podstawowych własności występującego w zadaniu rozładu Pareto Jest to rozład ciągły oreślony na półosi dodatniej, z dwoma dodatnimi parametrami: parametrem sali v oraz parametrem ształtu α Jego gęstość i dystrybuanta wyrażają się na półosi nieujemnej wzorami: f(x) = αvα (v+x) α+, F(x) = ( v v+x )α Jeśli parametr ształtu α >, wtedy istnieje sończona wartość oczeiwana zmiennej o tym rozładzie (nazwijmy ją Y), i wyznaczamy ją łatwo zauważając, że: E(Y) = ( v v+x )α dx = v (α )vα α (v+x) α dx = v α, gdzie po drodze wyorzystaliśmy fat, że funcja podcałowa (α )vα (v+x) α jest gęstością rozładu Pareto o parametrze ształtu zreduowanym o jeden Wartość oczeiwaną nadwyżi zmiennej Y ponad stałą d liczymy orzystając z prostego podstawienia y = v + x: E[(Y d) + ] = = ( v v + d ) α ( v d v+x )α dx = ( v v+d+y )α dy = α v + d ( v + d + y ) dy = ( v α v + d ) v + d ( α ) = ( v α v + d ) E(Y) i zauważając po drodze że ostatnia z całe to wartość oczeiwana z rozładu Pareto o parametrze sali zwięszonym o d Zadanie 9 Słada netto wzrośnie o 4 % 656% Zadanie 3 Wyznaczenie owariancji oazuje się zadziwiająco proste: cov(s R, S U ) = [var(s) var(s R) var(s U )] = λ [E(Y ) E(Y d ) E(Y d )] = = λd E(Y d) = Po drodze wyorzystaliśmy fat, że wariancja sumy dwóch zmiennych równa się sumie ich wariancji powięszonej o podwojoną owariancję Drugi wyorzystany fat dotyczy deompozycji drugiego momentu zwyłego zmiennej Y na sładnii (podrozdział 65 podręcznia): E(Y ) = E(Y d ) + E(Y d ) + d E(Y d) Wyorzystując te same zależności między momentami co wyżej, dostajemy: var(s R ) + var(s U ) var(s) = d E(Y d) E(Y ) 9

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 Możemy jedna taże oszacować E(Y ) od dołu, wyorzystując informacje o zachowaniu się tej zmiennej w przedziale do i powyżej Mamy bowiem: E(Y) = E(Y Y ) Pr(Y ) + E(Y Y > ) Pr(Y > ), z czego wynia że: E(Y Y > ) = + /4 = 45, oraz: E(Y Y ) = ( 45 4)/6 = /3 Najmniejsza możliwa wartość drugiego momentu zwyłego wystąpi wtedy, gdy w ażdym z przedziałów (do dwudziestu i powyżej dwudziestu) cała masa prawdopodobieństwa supi się w przedziałowej wartości oczeiwanej Stąd mamy: E(Y ) ( 3 ) 6 + 45 4 = 5/3, a stąd dostajemy ostatecznie: var(s R )+var(s U ) var(s) 3 5 = 3 5 Zadanie 3 W obu przypadach liczymy sładę netto ze wzoru: t 3 exp t 3 t t, podstawiając odpowiednio za t jedynę i jedna czwartą W rezultacie otrzymujemy: E min S,3 E min,3 68 Q S R Zadanie 3 Oznaczmy sumę wypłat z polisy przez X Teraz doonamy spostrzeżenia, iż łatwo wyrazić dopełnienie tej zmiennej do jedyni: jeśli nie było szód, wtedy X, jeśli była jedna szoda, to X Y, jeśli były dwie szody, to X Y Y, jeśli było szód, to X Y Y Y Wartość oczeiwana wynosi wobec tego: E X e E Y Y! Na mocy niezależności zmiennych Y, Y, Y3, wartość oczeiwana ich iloczynów równa się iloczynowi wartości oczeiwanych, wobec czego mamy: E X e e,! wobec czego dostajemy E X e Zadanie 33 Z warunów zadania mamy: E P c EY T Na mocy założenia o niezależności Y od T otrzymujemy: E P c E T Z uwagi na to, że zmienna T ma rozład Gamma o parametrach,, dostajemy: t t t E T t t e dt t e dt!!

W Otto Zadania z Metod Atuarialnych w Ubezpieczeniach Majątowych 4 t t t e e dt tdt W rezultacie otrzymujemy: E c P Intuicyjna interpretacja tego rezultatu wynia ze spostrzeżenia, iż bez względu na to, ile szód zaszło na odcinu czasu,, ich średni czas wystąpienia to połowa tego odcina W onsewencji stawa c salulowana zgodnie z zasadą netto (ta aby oczeiwana c słada zrównała się z oczeiwanymi odszodowaniami) wynosi Zadanie 34 Zgodnie z założeniami funcja gęstości rozładu łącznego zmiennych T oraz X jest postaci: e f T,X (t, x) = { x/ gdy t (, t t ), x > w p p Wobec tego warunowa wartość oczeiwana równa jest ilorazowi całe: t x t e x/ dxdt t t E(X X + T > t ) = t t e x/ dxdt t t Po przeprowadzeniu stosownych rachunów otrzymujemy: t E(X X + T > t ) = 4 exp(t ) Wobec czego lim t E(X X + T > t ) = 4 Zadanie 35 Z definicji funcji hazardu wynia, że: h T (t) = t ln [ F T(t)], wobec czego: h T (t)dt = ln[ F T ()] ln[ F T ()] Drugi sładni prawej strony równy jest jedna zeru, ponieważ F T () = (czas oczeiwania jest zawsze dodatni) Wobec tego mamy: exp[ h T (t)dt] = F T () Po policzeniu całi i podstawieniu uzysanego wyniu do powyższego wzoru otrzymujemy F T () = /, a więc prawdopodobieństwo ostatecznego ściągnięcia należności regresowej wynosi ½