Ubezpieczenia majątkowe

Transkrypt

1 Funkcje użyteczności a składki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych 2016/2017

2 Funkcja użyteczności Niech ω wielkość majątku decydenta wyrażona w j.p., u (ω) stopień zadowolenia z posiadanego majątku ω. Definicja. Jeżeli u (ω) jest funkcją rosnącą, ciągłą i wypukłą albo wklęsłą, to u (ω) nazywamy funkcją użyteczności decydenta. Jeżeli u (ω) jest wklęsła (u (ω) < 0), to przyrost majątku o jednostkę powoduje coraz mniejsze zadowolenie, gdy majątek rośnie. W tym przypadku mówimy, że decydent ma awersję do ryzyka (wykupi ubezpieczenie). Jeżeli u (ω) jest wypukła (u (ω) > 0), to przyrost majątku o jednostkę powoduje coraz większe zadowolenie, gdy majątek rośnie. W tym przypadku mówimy, że decydent ma skłonność do ryzyka (nie wykupi ubezpieczenia).

3 Wykres u (ω) przy awersji do ryzyka u(ω) u(ω + 2) u(ω + 1) u(ω + 1) u(ω) 0 ω ω + 1 ω + 2 ω

4 Przykłady funkcji użyteczności 1 u (ω) = e αω, α > 0. 2 u (ω) = 1 ( 1 e αω ), α > 0. α 3 u (ω) = ω α, α (0, 1). Parametr α odzwierciedla stopień awersji decydenta do ryzyka. Funkcje wykładnicze 1-2 stosowane są w ubezpieczeniach przy wyznaczaniu składki. Funkcja 3 stosowana jest w konstrukcji portfela inwestycyjnego. Osoba podejmująca decyzję kieruje się maksymalizacją oczekiwanej swojej użyteczności. Jeżeli jedno przedsięwzięcie daje dochód X, a drugie Y oraz E u (X ) > E u (Y ), to decydent wybierze inwestycję dającą dochód X. Zapisujemy X Y i czytamy decydent preferuje X nad Y. Jeżeli E u (X ) = E u (Y ), to X i Y są równoważne dla decydenta i zapisujemy X Y.

5 Przykład 1 Niech X, Y, Z oznaczają wypłaty w trzech różnych grach: X N ( 3, 2 ), Y (4, 2), P (Z = 2) = 1. Sprawdzić, którą grę preferuje decydent o funkcji użyteczności u (x) = exp ( 2x), jeśli kieruje się maksymalizacją oczekiwanej użyteczności. Rozwiązanie. Korzystając z tego, że u (X ) i u (Y ) mają rozkład lognormalny dostajemy: E (u (X )) = exp ( 2), E (u (Y )) = exp ( 2). Zatem X Y, tzn. decydent jest indyferentny wobec X, Y. E (u (Z)) = exp ( 4) > exp ( 2) = E (u (X )) = E (u (Y )). Zatem decydent preferuje grę Z. Ostatecznie mamy X Y Z.

6 Teoretyczna metoda wyznaczania składki Pytanie do ubezpieczyciela: za jaką minimalną cenę H ubezpieczyciel obejmie ochroną ubezpieczeniową stratę losową X. Przy założeniu, że u (w) jest funkcją użyteczności ubezpieczyciela, odpowiedź na postawione pytanie daje rozwiązanie równania u (w) = E u (w X + H), gdzie w jest aktualną wartością majątku ubezpieczyciela. Liczbę H nazywa się składką sprawiedliwą albo składką zerowej użyteczności. Jeżeli ubezpieczyciel ma awersję do ryzyka, to korzystając z nierówności Jensena, łatwo pokazać, że H E X.

7 Polisa optymalna (tw. Borcha) Jeżeli decydent: 1 posiada majątek w, 2 ma awersję do ryzyka, 3 narażony jest na stratę losową X, 4 gotów jest przeznaczyć kwotę C na zakup ubezpieczenia i 0 < C (1 + θ) E X, oraz rynek ubezpieczeniowy oferuje wszystkie możliwe polisy I (X ), takie że 0 I (X ) X, po cenie (1 + θ) E X, to decydent osiągnie maksymalną oczekiwaną użyteczność nabywając polisę ubezpieczeniową postaci { 0 dla X < d, I d (X ) = X d dla X d, gdzie d jest jednoznacznym rozwiązaniem równania C d (x d) f (x) dx = 0, przy czym C = (1 + θ) E I d (X ).

8 Uwagi o twierdzeniu Borcha Dowód tego twierdzenia można znaleźć np. w monografii W. Ostasiewicz (red.), Metody aktuarialne, Wyd. AE Wrocław, Dowód tego twierdzenia odnośnie ubezpieczeń zdrowotnych, podał po raz pierwszy Arrow w 1963 roku. Borch (1960) i Kahn (1961) wykazali, że polisa optymalna I d (X ) realizuje minimum wariancji D 2 (X I (X )), tzn. dla każdej polisy I (X ). D 2 (X I (X )) D 2 (X I d (X )),

9 Przykład 2 (1) Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X dany jest w tabeli: x P (X = x) Wyznaczyć udział własny d w ubezpieczeniu { 0 dla X < d, I d (X ) = X d dla X d, jeżeli wiadomo, że E (I d (X )) = Rozwiązanie. Udział własny d może należeć do jednego z pięciu przedziałów: d (0, 1), d [1, 2), d [2, 5), d [5, 10), d [10, 20).

10 Przykład 2 (2) Dla d (0, 1), E (I d (X )) = (1 d) (2 d) (5 d) (10 d) (20 d) 0.01 = d = Stąd d = 2.2 / (0, 1). Dla d [1, 2) E (I d (X )) = (2 d) (5 d) (10 d) (20 d) 0.01 = d = Stąd d = 3.4 / [1, 2). Dla d [2, 5) E (I d (X )) = (5 d) (10 d) (20 d) 0.01 Stąd d = 4 [2, 5). = d = 0.37.

11 Przykład 2 (3) Dla d [5, 10) E (I d (X )) = (10 d) (20 d) 0.01 = d = Stąd d = 3.25 / [5, 10). Dla d [10, 20) E (I d (X )) = (20 d) 0.01 = d = Stąd d = 17 / [10, 20). Ostatecznym rozwiązaniem jest d = 4.