Pzemysław ZULIM 1, taisław RAKOWKI 1 Politechika Waszawska, Istytut Pojazdów (1) doi:1.15199/48.17..3 Modelowaie silika BL a potzeby diagoistyki zęść I: Model polowy teszczeie. W pacy pzedstawioo poces budowy modelu magetyczego dla silika sychoiczego bezszczotkowego. Pzedstawioo pokótce apaat matematyczy i zealizowao koleje etapy modelowaia. Osobo aalizowao ozkład pola od magesów twałych i pądów fazowych. Zapopoowao sposób zamodelowaia iejedoodości szczeliy spowodowaej obecością żłobków stojaa. okoao poówaia wyików otzymaych z modelu aalityczego i modelu ME. Abstact. I the pape the pocess of costuctio of the aalytical magetic model of bushless sychoous moto was peseted. At the begiig a mathematical tools was biefly depicted. Next, all impotat stages i the developmet of - moto model wee aalyzed. epaately was aalyzed the magetic field distibutio of the pemaet magets ad the phase cuets. Effect of a demagetizatio of magets was cosideed. ocept of the elative pemeace fuctio was used to take ito cosideatio a slottig effect. Result fom a aalytical model was compaed with the FEM model esults which showed good ageemet of both models. The pocess of costuctio of the aalytical magetic model of bushless sychoous moto. Pat 1: Field model łowa kluczowe: modelowaie, silik BL, diagostyka, model polowy. Keywods: modelig, BL moto, diagosis, magetic field model. Wstęp okłada aaliza badaego obiektu jest zasadiczym etapem w zadaiu diagozowaia stau techiczego. Jest to istote ie tylko ze względu a dokładiejsze pzestudiowaie zasady działaia obiektu, lecz także pozwala ozwijać badziej zaawasowae metody aalizy sygałów. W celu lepszego zozumieia mechaizmów oddziaływaia błędów mechaiczych a symptomy diagostycze budowae są odpowiedie modele. Iteesujące podejście do modelowaia silików BL stosowae było a pzełomie ostatich 4 lat główie a potzeby pojektowaia tego typu silików. Moża wskazać zaczą liczbę publikacji, w któych autozy staali się opisać zjawiska zachodzące w siliku popzez aalityczy opis zjawisk fizyczych. W pacach [1] [5] autozy stosowali dwuwymiaowy model do aalizy ozkładu pola magetyczego w szczeliie silika BL. Waży wkład staowią pace [6], [7], w któych autozy po az piewszy dokoali całościowego opisu ozkładu pola magetyczego pochodzącego od magesów twałych wiika i pądów fazowych uzwojeń stojaa. Rezultaty tych badań zaleźć moża w iych pacach [8], [9], w któych autozy aalizowali tak zwae subdomeowe modele. Wpowadzały oe zaczące ozwiięcie opisu ozkładu pola w siliku. Uzyskiwao badzo dużą zbieżość wyików pomiędzy modelami aalityczymi i ME. Wiele pac poświęcoych było także zagadieiom uwzględiaia błędów mechaiczych, główie iewspółosiowości. Aalizowao ich wpływ ie tylko a ozkład pola, lecz także a poziom dgań czy pulsowaie mometu. Niemiej autoowi ie udało się zaleźć kompletego modelu opisującego wpływ błędów mechaiczych ie tylko a ozkład pola w szczeliie czy obszaze magesów, lecz także a ozkład pola wokół silika. Nie udało się także zaleźć pacy, któa uwzględiałaby także wpływ uszkodzeń a chwilową watość pądów fazowych, co ma istoty wpływ a całkowity ozkład pola w pzestzei silika. Był to jede z motywów, jakie skłoiły autoa do podjęcia się zadaia opisu wpływu wybaych uszkodzeń mechaiczych a pocesy zachodzące w siliku BL. kupioo uwagę a błędach iewspółosiowości oaz pulsowaiu mometu obciążającego, popzez któe oddziałują a silik uszkodzeia mechaicze (p. łożysk czy pzekładi współpacujących z silikiem) oaz a demagetyzacji. W iiejszej pacy opisao podstawowy waiat modelu aalityczego pozwalający wyzaczyć ozkład pola w pzestzei silika pochodzącego od magesów twałych wiika oaz pądów fazowych. Na tym etapie uwzględioo jedyie błąd demagetyzacji. W kolejej pacy pzedstawioe zostaie aalitycze ozwiązaie opisu błędu iewspółosiowości opate a metodzie petubacyjej. Według tej metody opis ozkładu pola moża pzedstawić w postaci sumy ozwiięć kolejych zędów, pzy czym pzedstawioy w iiejszej pacy opis staowi pukt wyjścia dla dalszych aaliz. Poces modelowaia zealizowao pod kątem silika BG75x75I fimy ukemotoe. Jest to tójfazowy silik o czteech paach bieguów wiika, sześciu żłobkach stojaa, posiadający po dwie cewki a jede biegu magetyczy stojaa. W kolejych ozdziałach opisao pzyjęte założeia upaszczające oaz podstawowe etapy budowy modelu. Apaat matematyczy Wychodząc od ówaia Maxwella (1), dla pzypadku magetostatyki moża zdefiiować ówaie potecjału skalaego () i (3). (1) divb () div M (3) gdzie: B wekto idukcji pola magetyczego, M wekto magetyzacji, φ potecjał skalay. Rówaie (3) zwae ówaiem Laplace a jest szczególym pzypadkiem ówaia Poissoa (). Ze względu a symetię ozpatywaych geometii kozystie jest stosować opis w bieguowym układzie współzędych (-θ). tosując metodę sepaacji zmieych moża wyzaczyć ówaie potecjału spełiające ówaie Laplace'a: (4), A B l Acos Bsi gdzie γ=β, A, B,, to stałe, któych watość musi zostać okeśloa a podstawie wauków bzegowych. PRZEGLĄ ELEKTROTEHNIZNY, IN 33-97, R. 93 NR /17 147
Podział silika a egioy Zadaie modelowaia silika spowadza się do ozwiązaia układu ówań óżiczkowych cząstkowych epezetujących poszczególe egioy silika. Rys. 1. Repezetacja geometii pzekoju silika pzez poste kształty geometycze Powstały oe a skutek uposzczeia chaakteystyczych obszaów pzekoju popzeczego silika, co pokazao a ysuku 1. Każdy z tych obszaów opisay jest za pomocą pzeikalości magetyczej oaz chaakteystyczych watości pomiei. Każdemu z obszaów odpowiadać będzie jedo ówaie óżiczkowe cząstkowe w postaci () lub (3). Zapopooway model jest więc modelem dwuwymiaowym. Jest to uposzczeie, któe zakłada ieskończoą długość poosiową silika. Rozkład wektoa magetyzacji W piewszym etapie twozeia modelu wyzaczoo ozkład wektoa magetyzacji magesów twałych w fukcji kąta w układzie współzędych bieguowych. W pacy ogaiczoo się jedyie do pzypadku magetyzacji pomieiowej magesów, spotykaym we współczesych kostukcjach silików. kupioo się jedyie a wiikach z magesami jawymi umieszczoymi a powiezchi otoa. Na poiższym ysuku (ys. ) pzedstawioo wykes magetyzacji M (składowej adialej) w fukcji kąta. Rys.. Rozkład wektoa magetyzacji M dla 4-bieguowego wiika Na wiiku silika aklejoych jest p-pa magesów twałych. Zakłada się, że wszystkie powiezchie geometycze magesów są stycze lub postopadłe do pomieia wychodzącego ze śodka bieguowego układu współzędych. W takim pzypadku możliwe jest pzedstawieie wektoa magetyzacji w układzie współzędych postokątych, jak to zostało zobioe. Na wykesie M (θ) (Rys. ) zazaczoo efekt demagetyzacji. Rozwiięcie wektoa magetyzacji w szeeg Fouiea pzy uwzględioej symetii poblemu opisuje ówaie (5) gdzie: (5) M A M cos 1 (6) (7) M si M 1 M p1 km p i1 M1 cosi1 i p A 1 M M k p 1 m gdzie: k m współczyik otwacia biegua magetyczego, M amplituda magetyzacji spawych magesów, M amplituda magetyzacji uszkodzoego magesu. Rówaie (5) pzyjmuje iezeowe watości dla =(k- 1)p gdzie k=1,,3... tylko dla pzypadku baku demagetyzacji. W pzypadku wystąpieia demagetyzacji ówaie (5) pzyjmuje iezeowe watości dla wszystkich. W pzypadku wpowadzeia obotu wału po pzekształceiach otzymuje się astępującą zależość a fukcję opisującą ozkład wektoa magetyzacji: (8) M M cosmsi 1 gdzie β kąt obotu wału silika oaz odpowiedio: M M cos M M si Opis ozkładu pola od magesów twałych Na wstępie uwzględioe zostaie tylko źódło w postaci magesów twałych, a pomiięty zostaie wpływ pądów fazowych. Efekt zmieej szeokości szczeliy powietzej ie zostaie uwzględioy. Poblem zalezieia ozkładu potecjału ależy ozpocząć od podzieleia pzekoju silika a poszczególe obszay. Każdy obsza opisay jest jedym ówaiem óżiczkowym cząstkowym, atomiast pzejście pomiędzy dwoma sąsiedimi obszaami opisae jest za pomocą wauków gaiczych (w tym pzypadku wauku bzegowego Neumaa). la dugiego obszau pzyjmuje się ogaiczeia zmieych według (9) oaz wauki bzegowe według (1) i (11). Obsza te to pieścień o wewętzym pomieiu R 1 i pomieiu zewętzym R. Odpowiada o obszaowi dzeia magetyczego otoa. W tym obszaze ie ma żadych źódeł, dlatego peły opis ozkładu potecjału opisuje ówaie Laplace'a. Wauki bzegowe według zależości (9) okeślają ozkład pola magetyczego a bzegach pieścieia. (9) R 1 R, i i 1 i i 1 (1) H Ri, H Ri,, B Ri, B Ri, dla i 1,, 3, 4, 5 B R, B R, M (11) H, (1) H, H, i 3 1 H,, H, (13) Uwzględiając okesowość ozwiązaia z wauku (9), otzymuje się: (14) k1 p, k 1,, 3 148 PRZEGLĄ ELEKTROTEHNIZNY, IN 33-97, R. 93 NR /17
Pełym ozwiązaiem ówaia Laplace'a jest suma szczególych ozwiązań dla poszczególych, co pokazao poiżej: II II II II II, l A B cos (15) 1 II II si la ozóżieia ówań potecjału i pola wpowadzoo góy ideks wskazujący pzyależość ówaia i iewiadomych współczyików do koketego obszau silika. Kozystając z własości pzekształceia szeegu Fouiea, po podstawieiu (15) do (13) oaz pzekształceiu otzymuje się dwa zestawy ówań (dla gaicy = R 1 oaz = R ) wyzaczających iezae współczyiki: (16) 1 1 1 II II II A B H, cosd II 1 II 1 1 II H, si d II 1 II 1 1 II A B H, sid II 1 II 1 1 II H, cos d II 1 II H, d R1, R W obszaze magesów twałych podstawowym ówaiem opisującym ozkład potecjału magetyczego jest ówaie eliptycze iejedoode (). Opisuje oo pzypadek, gdy a ozpatywaej powiezchi (lub ogóliej pzestzei) zajduje się pewe źódło. Wykozystuje się tu kocepcję fikcyjego ładuku magetyczego. W pzypadku adialego amagesowaia magesów dywegecja wektoa magetyzacji upaszcza się do postaci: M 1 (17) M M M divm Rozwiązaie ówaia iejedoodego () moża zaleźć popzez złożeie dwóch postszych ozwiązań, tj. ozwiązaia dla ówaia jedoodego u(,θ) z iejedoodymi waukami bzegowymi (w tym pzypadku Neumaa) oaz ówaia iejedoodego v(,θ) z zeowymi waukami bzegowymi. (18), u l A B cos 1 si (19), () H 1 A M v cos 1, A R 3 1 1 M A B cos 1 1 1 1 M si 1 Rozkład pola (składową adialą) dla obszau magesów po uwzględieiu obotu wału silika opisuje ówaie (). Kozystając z własości pzekształceia Fouiea, moża wyzaczyć zależości a iezae współczyiki i po poówaiu odpowiedich ówań z (16) otzymuje się układ ówań dla gaicy = R : (1) II 1 II 1 A R B R 1 1 M 3 A R B R M 1 II 1 II 1 R R 1 1 M 3 R R M 1 II 1 II 1 B R 1 1 M A R B R 1 II 1 II 1 1 1 M R R 1 II A 3 R R A R R R W podoby sposób moża wyzaczyć zestawy ówaia opisujące ozkład pola w szczeliie powietzej, stojaie oaz pzestzei wokół silika. la każdej z gaic pomiędzy obszaami uzyskuje się zestaw ówań podobych do (1), któe łączie twozą dwa zestawy po dziesięć ówań w każdym, pozwalające wyzaczyć poszukiwae współczyiki ozwiięcia. Rówaia te moża pzedstawić w fomie maciezowej: AXa IM () AXb IM gdzie: pełą postać maciezy A, I, X a, X b moża zaleźć w pacy [11] Należy zauważyć, że powyższe ówaie maciezowe wyzacza tylko -te współczyiki. Pzyjmują oe iezeową watość tylko dla iezeowych watości współczyików ozwiięcia fukcji magetyzacji. Pozostałe współczyiki z zeowym ideksem opisae są za pomocą ówań (3). Należy zauważyć, że zaikają oe w momecie, gdy ie występuje efekt demagetyzacji. (3) II AR 3 AR 3 R 1 R3 AR 3 R 1 5 R3 Opis ozkładu pola od pądów stojaa Modelowaie ozkładu pola pochodzącego od pądu płyącego w uzwojeiach stojaa zapopoowao popzez pzyjęcie kilku uposzczeń. Pomiięto pzestzey ozkład uzwojeń w szczeliie stojaa, a co za tym idzie, pzestzey ozkład pądów. Pzyjęto taktować uzwojeia jako ieskończeie ciekie zajdujące się dokładie a gaicy pomiędzy stojaem a szczelią powietzą. Pzyjęto także, że ozkład gęstości pądów jest stały. Taki PRZEGLĄ ELEKTROTEHNIZNY, IN 33-97, R. 93 NR /17 149
sposób modelowaia uzwojeń stojaa zapopooway został między iymi w pacy [1]. Uwzględieie pola od uzwojeń spowadza się do pzyjęcia astępującego wauku bzegowego: (4) 4, 4,,, H R J H R B R B R 4 5 Różica w poówaiu do wauków bzegowych (1) polega a uwzględieiu ozkładu gęstości pądu J (składowej styczej) a gaicy ośodków. Wpowadzeie tej zmiay powoduje modyfikację układu ówań dla gaicy ośodków = R 4. Ze względu a pzyjętą liiowość modelu pądy uzwojeń fazowych oaz magesy twałe moża potaktować jako osobe źódła pola magetyczego. Po wyzaczeiu watości ozkładu pola od poszczególych źódeł, wykozystując zasadę supepozycji, moża zsumować oba ozkłady pola i otzymać ozkład wyikowy. W celu wyzaczeia ozkładu pola od uzwojeń stojaa ależy wyzaczyć fukcję opisującą ozkład gęstości pądów a gaicy ośodków. Rozwiięcie ozkładu fukcji gęstości pądu dla pojedyczej cewki awiiętej a pojedyczym zębie stojaa pzedstawioo schematyczie a ysuku 3. gdzie i a, i b, i c to chwilowe watości pądów w poszczególych fazach, J i J to współczyiki opisae w pacy [11]. Zając ozkład fukcji gęstości pądu, moża pzejść do wyzaczeia ozkładu pola dla poszczególych chaakteystyczych obszaów. W tym pzypadku pzyjmuje się jako jedye źódło pola pąd od uzwojeń fazowych. Pomija się źódło w postaci magetyzacji magesów twałych, a obsza magesów taktoway jest jak obsza bezźódłowy o pzeikalości magetyczej μ. Uwzględiając wauek bzegowy, ówaie składowej pomieiowej pola a gaicy ośodków = R 4 będzie astępujące: (8) H,4,6.. R4, R4 A R B R cos 1 1 4 4 1 1 4 4 R R si Poowie otzymuje się dwa układy ówań do wyzaczeia poszukiwaych współczyików. Pzedstawioo je poiżej. (9) AX AX a b I I J J gdzie: postać wektoa I zaleźć moża w pacy [11] Rys. 3. Pzebieg fukcji gęstości pądu dla pojedyczego biegua Fukcję tę moża ozwiąć w szeeg siusów według poiższego wzou: (5) J i Js si gdzie: 1 J 4 si si s Z R4 gdzie: α połowa szeokości kątowej żłobka, α Z szeokość kątowa zęba stojaa, i pąd uzwojeia. Po uwzględieiu założeia, że jeda faza stojaa składa się z dwóch cewek pzesuiętych o 18 stopi geometyczych oaz całkowita watość gęstości pądu zależy od liczby uzwojeń W cewki biegua, wyikowy wzó a gęstość pądu pzedstawia się astępująco: (6) 1 1 1 s J iw J si Należy zauważyć, że tylko pazyste wyazy szeegu pzyjmują iezeowe watości w powyższym ówaiu. Pzyjęto, że poszczególe fazy a, b, c pzesuięte są o kąt 1 O geometyczych, co po zsumowaiu daje wyikowy ozkład fukcji gęstości pądu od poszczególych pądów fazowych: (7) J W J sij cos,4,6 Należy zazaczyć, że poszukiwae wektoy współczyików: X a, X b są owymi współczyikami iymi iż te otzymywae z (). Uwzględieie zmieej szeokości szczeliy powietzej Kolejym ważym etapem w twozeiu modelu ozkładu pola magetyczego jest uwzględieie zmieej szeokości szczeliy powietzej powstałej a skutek obecości żłobków w stojaie. W pacy pzyjęto zastosowaie fukcji względej pemeacji do opisu wpływu żłobków a defomację pola w szczeliie powietzej. Podejście to ma tę zaletę, że jest stosukowo łatwo aplikowae, atomiast główa jego wada to ogaiczoa stosowalość tylko do obszau szczeliy powietzej. Aalitycze podstawy fukcji względej pemeacji moża zaleźć w pacy [13]. Tutaj pzytoczoe zostaą jedyie ajważiejsze ówaia, mające bezpośedie zastosowaie. Fukcję względej pemeacji opisuje poiższe ówaie: (3) az, m cosmq m gdzie: λ m () - współczyiki ozwiięcia fukcji względej pemeacji zależe między iymi od szeokości kątowej zęba stojaa, szeokości kątowej żłobka [13] Rówaie pola magetyczego w szczeliie wyzacza się jako iloczy pola bez uwzględieia efektu żłobków i fukcji względej pemeacji w postaci: H (31),, H, R R H,, H, 15 PRZEGLĄ ELEKTROTEHNIZNY, IN 33-97, R. 93 NR /17
gdzie H i H R to odpowiedio składowe adiale pola w szczeliie powietzej od pądów stojaa i magesów otoa. Weyfikacja Wyiki otzymae z modelowaia aalityczego poówae zostały z wyikami otzymaymi dla modelu ME. o aaliz wykozystao otwate opogamowaie femm 4.. Taka metoda weyfikacji stosowaa była w liteatuze poświęcoej tematyce modelowaia aalityczego silików. W te sposób dowodzi się popawości pzepowadzoego pocesu modelowaia. Na ysuku 4 zestawioo poówaie składowej adialej idukcji pola magetyczego w szczelie powietzej dla modelu aalityczego oaz modelu ME. W obu modelach efekt żłobków ie został uwzględioy. Oba wykesy pokywają się ze sobą w dużym stopiu, co świadczy o popawości obliczeń modelu aalityczego. Należy także dodać, że w modelu ME ie uwzględioo ieliiowości pzeikalości magetyczej mateiałów. Na ysuku 5 poówao pzebieg składowej adialej pola w szczeliie dla obu modeli pzy uwzględieiu zmieej szeokości szczeliy powietzej wywołaej obecością żłobków. Rys. 4. Poówaie składowej adialej idukcji magetyczej od pola magesów twałych: Rys. 5. kładowa adiala pola w szczeliie. Pole od pądów jedej fazy; uwzględioa obecość żłobków: Podsumowaie W pacy pzedstawioo matematycze podstawy oaz zapezetowao sposób modelowaia ozkładu pola magetyczego we wętzu silika oaz w pzestzei zewętzej. Pzeaalizowao osobo ozkład pola od magesów twałych wiika, od pądów fazowych stojaa oaz dodatkowo uwzględioo efekt zmieej szeokości szczeliy popzez tzw. fukcję względej pemeacji. la obu źódeł wypowadzoo pełe aalitycze zależości, z któych za pomocą azędzi takich jak Matlab moża wyzaczyć poszukiwae współczyiki i obliczyć poszukiway ozkład pola magetyczego. W zapezetowaym etapie modelowaia uwzględioo jedyie błąd związay z demagetyzacją. Błąd iewspółosiowości ze względu a skomplikoway opis matematyczy uwzględioy zostaie w opisie w kolejej pacy. Otzymae wyiki z modelu, tj. ozkłady pzestzee pól oaz ozkłady pól w szczeliie powietzej dla okeśloego stałego pomieia, poówao z wyikami ME. Wysoka zgodość wyików wskazywać może a popawie pzepowadzoy etap modelowaia. Autozy: pof. d hab. iż. taisław Radkowski, Politechika Waszawska, Istytut Pojazdów, ul. Nabutta 84, -54 Waszawa, E-mail: taislaw.radkowski@sim.pw.edu.pl; mg iż. Pzemysław zulimi, Politechika Waszawska, Istytut Pojazdów, ul. Nabutta 84, -54 Waszawa, E-mail: p.szulim@mechatoika.et.pl LITERATURA [1] N. Boules, Two-dimesioal field aalysis of cylidical machies with pemaet maget excitatio, Idusty Applicatios, IEEE Tasactios o, 5, ss. 167 177, 1984. [] N. Boules, Pedictio of o-load flux desity distibutio i pemaet maget machies, Idusty Applicatios, IEEE Tasactios o, 3, ss. 633 643, 1985. [3] A. AFANAYE i A. NIKOLAE, Mathematical model of the pemaet maget field i the ai gap of electical machie, Pace Istytutu Elektotechiki, 67, ss. 1 33, 14. [4] Y. olokitia, A. lasov, i Y. Opalev, Applicatio of field mathematical models fo desigig of widigs of bushless pemaet maget motos, Pace Istytutu Elektotechiki, 67, ss. 59 66, 14. [5] I. udzikowski,. Gieak, i M. iuys, Obwodowo-polowe modelowaie silika komutatoowego o magesach twałych pacującego pzy zmieym obciążeiu, PRZEGLĄ ELEKTROTEHNIZNY, 6, ss. 161 164, 8. [6] Z. Q. Zhu,. Howe, E. Bolte, i B. Ackema, Istataeous magetic field distibutio i bushless pemaet maget motos. I. Ope-cicuit field, Magetics, IEEE Tasactios o, t. 9, 1, ss. 14 135, 1993. [7] Z. Q. Zhu i. Howe, Istataeous magetic field distibutio i pemaet maget bushless motos.. Magetic field o load, Magetics, IEEE Tasactios o, t. 9, 1, ss. 15 158, 1993. [8] Z. Q. Zhu,. Howe, i.. ha, Impoved aalytical model fo pedictig the magetic field distibutio i bushless pemaet-maget machies, Magetics, IEEE Tasactios o, t. 38, 1, ss. 9 38,. [9] T. Lubi,. Mezai, i A. Rezzoug, Exact Aalytical Method fo Magetic Field omputatio i the Ai Gap of ylidical Electical Machies osideig lottig Effects, IEEE Tasactios o Magetics, t. 46, 4, ss. 19 199, 1. [1] A. Rahideh i T. Koakiaitis, Aalytical Magetic Field alculatio of lotted Bushless Pemaet-Maget Machies With uface Iset Magets, IEEE Tasactios o Magetics, t. 48, 1, ss. 633 649, paź. 1. [11] P. zulim i. Gotaz, Usig The uoudig Magetic Field i iagosis of The BL Moto, Joual of Electical Egieeig, t. 66, 7, ss. 193 198, 15. [1] Z. Q. Zhu i. Howe, Istataeous magetic field distibutio i bushless pemaet maget motos. II. Amatueeactio field, Magetics, IEEE Tasactios o, t. 9, 1, ss. 136 14, 1993. [13] Z. Q. Zhu i. Howe, Istataeous magetic field distibutio i bushless pemaet maget motos.. Effect of stato slottig, Magetics, IEEE Tasactios o, t. 9, 1, ss. 143 151, 1993. PRZEGLĄ ELEKTROTEHNIZNY, IN 33-97, R. 93 NR /17 151