MODELOWANIE MASZYN SYNCHRONICZNYCH Z MAGNESAMI TRWAŁYMI Z EKSCENTRYCZNOSCIĄ WIRNIKA

Transkrypt

1 77 Toaz Węgiel Politechika Kakowka, Kaków MODELOWANIE MASZYN SYNCHRONICZNYCH Z MAGNESAMI TRWAŁYMI Z EKSCENTRYCZNOSCIĄ WIRNIKA MODELING PERMANENT MAGNET SYNCHRONOUS MACHINES WITH ROTOR ECCENTRICITY Abtact: I the pape the odelig of ychoou achie with peaet aget (PM) located o the uface of the oto i peeted. Thee aalyze ae baed o the co-eegy fuctio ad ditibutio of agetic field deity i the achie ai-gap fo cae of oto ecceticity. Thi appoach allow the calculatio of ifluece ad effect of oto ecceticity ad othe wod effect uually eglected i cooly ued aalytical odel. The pape cotai a coputatio fo achie with oto ecceticity ad how the copaio eult of calculatio fo aalytical odel ad FEM. Thi coputatio cofi a good ageeet of the FEM aalyi with the iplified calculatio. The peeted odel educe the eceity of uig the FEM aalyi ad decibed the PM achie by a vey pecie way. Thi appoach i peeted by a exaple of 3phae PM ychoou achie. Peeted ethodical apect of odelig PM achie ca be ueful fo diagotic pupoe.. Wtęp Poble odelowaia azy ychoiczych z ageai twałyi jet z jedej toy zagadieie dość poty, lecz gdy ię pagie uwzględić zczegóły kotukcyje oaz pojawiaie ię pewych ieyetii obwodu agetyczego okazuje ię, że zagadieie to ie ależy do ajłatwiejzych i częto wyaga toowaia odeli polowych [4]. W pacy podjęto póbę pzedtawieia etodyki budowy tzw. obwodowych odeli dla tej klay azy, ze zczególy zwóceie uwagi a ich użyteczość w celach diagotyczych. Jako obiekt wybao 3-fazową azyę z powiezchiowyi ageai twałyi a wiiku. W odóżieiu od klayczych odeli, podjęto zadaie uwzględieia opócz żłobkowaia ówież ożliwość aalizy wpływu ekcetyczości wiika. W ty celu użyto foalizu Lagage a bazującego a chaakteytykach uzwojeń oaz fukcji koeegii eleetów całego yteu elektoechaiczego jaki jet oawiaa azya.. Aaliza ozkładu pola agetyczego pochodzącego od ageów twałych Aalizie poddao pzykładową azyę z ageai twałyi, któej pzekój pzedtawioo a yuku. Dla tego odelu azyy ozważaia powadzoo pzy atępujących założeiach: Ry.. Pzekój pzykładowej azyy z ageai twałyi - ie uwzględia ię padków apięć agetyczych w żelazie, - agey ą ocowae powiezchiowo do wiika, - chaakteytyka odageowaia ageów jet liiowa ( B B H ). Zhu ad Howe [] wypowadzili aalityczy dwuwyiaowy odel -D ozkładu pola ag ( x ) (uwzględiający kłaetyczego BPM dowe adiale, jak i tagecjale ozkładu) dla gładkiej, cylidyczej, yetyczej azyy z ageai twałyi. Na podtawie wcześiejzych pac [], [3], [5] udowodioo także, że badzo poty aalityczy odel -D, oże być użyty do wyzaczaia ozkładu pola w pukcie o wpółzędych (x,) w zczeliie powietzej dla azy z age-

2 78 ai twałyi o dowolych, ealych kztałtach zczeliy powietzej BPM ( x,, ) x x ( x,, ) BPM (x, ) () ( x,,, ) BPM ( x,, ) dx, gdzie l g ( x, ) jet fukcją zatępczych długości } x,, ( x,, )dx x gdzie: BPM ( x,, ) - kładowa adiala idukcji wywołaa pzez age twały, Λ odwotość uy wyokości ageu i koygowaej wyokości zczeliy powietzej ad agee w waukach yetii zczeliy [5]: Fukcja peeacji jedotkowej jet zgodie z defiicją, fukcją odwotości długości liii ił pola agetyczego, co oża zapiać atępująco: ( x, ) l g ( x, ) l ( x ), ( ) liii ił pola agetyczego dla powietza, atoiat l ( x ) jet fukcją zatępczych długości liii ił pola agetyczego w ageie. Żłobki po toie tojaa dodatkowo odyfikują długości liii ił pola agetyczego. W związku z ty, ależy w odpowiedich iejcach a obwodzie zczeliy powietzej, dodać watości koygujące BPM (x, ) - kładowa adiala ozkładu idukcji w zczeliie powietzej dla odelu yetyczej azyy z gładką, cylidyczą zczelią powietzą (a podtawie [], [5]). Dla odelu azyy z gładką cylidyczą zczelią, kładowa adiala ozkładu idukcji BPM ( x,, ) BPM (x, ), wytwazaa pzez agey twałe, dla puktów leżących a powiezchi odpowiadającej wpółzędej poieiowej dla tau bezpądowego (pzy założeiu liczby pa bieguów p > ) zgodie z [] a potać BPM ( x, ) B PM ( ) e j ( x ) () Q gdzie: B PM ( ) dla zczelia powietza B PM ( ) PM B ( ) dla obza ageu B PM ( ) p 4 B i( ) ( ) ( ) B PM ( ) ( ) p 4 B i( ) ( ) ( Wielkości wpoiaych koekt oża okeślić używając zależości aalityczych z etody odwzoowań kofoeych do odelowaia pola agetyczego ad żłobkie, podobie jak pzy wypowadzeiu wpółczyika Catea. Należy dodać, że wielkości tych koekt zależą od iejc a powiezchiach odpowiadający wpółzędej poieiowej, dla któych ozpatuje ię ozkład pola agetyczego [3]. Zatępcza długość liii ił pola agetyczego δc oże być zate wyzaczoa lokalie dla dowolego położeia wiika φ c ( x,, ) ( x, ) ( x,, ) ) ( ) Ry.. Model do wyzaczaia fukcji peeacji jedotkowej (3) ( x,, ) i( xlot ) dla zlobkow ( x, ) ax b dla zebow (4) gdzie: b - zeokość otwacia żłobka, xlot - lokala ziea ad żłobkie, x lot (, b ),

3 79 b ax ( x,, ) ( x, ) x, ( x,, ) (5) v( ) - wpółczyik wyliczay dla koketej watości wpółzędej adialej zgodie z [3] popzez ozwiązaie atępującego ówaia ieliiowego: ( ) l b (6) v( ) ( x, ) b (8) Fukcja peeacji jedotkowej (8) zawiea haoicze, któych ząd ależy do zbioów M, N. Zbioy te ogą w ogóly pzypadku zawieać wzytkie liczby całkowite, co jet zależe od topia ukztałtowaia i ieyetii zczeliy powietzej [5], [6], [7]. 3. Model azyy z ageai twałyi ( x, ) v( ) v( ) b ( x, ) v( ) v( ) b ( x, ) ( x, ) acta b b ( ) e jx e j c ( x,, ) M N, v( ) Zapopoowae podejście do odelowaia fukcji peeacji uożliwia ówież uwzględieie ekcetyczości wiika. Foaliz Lagage a jet jedy z wygodiejzych azędzi do opiu pzetwoików elektoechaiczych. Dla azy z ageai twałyi wyzaczeie pecyzyjie fukcji koeegii ie jet zagadieie łatwy ze względu a obecość ageów twałych oaz wytępowaie żłobków pzez co geoetia obwodu agetyczego obi ię toukowo koplikowaa. Poieważ żelaze dzeie tojaa i wiika ają badzo duże pzewodości agetycze, dlatego oża założyć, że koewacja eegii pola agetyczego zachodzi główie w objętości zczeliy i ageów twałych, a zależość opiująca koeegię agetyczą zawiea kładowe zależe i iezależe od pądów uzwojeń i oże być pzedtawioa dla 3-fazowej azyy w atępującej potaci Ec (, i, i, i3 ) Ec, (, i, i, i3 ) Ec ( ) (9) Składowa koeegii agetyczej zależa od pzepływu uzwojeń wygląda atępująco Ec, (, i, i, i3 ) L ab ( ) ia ib PM a ( ) ia a b a () Ry. 3. Upozczoy pzekój azyy z ekcetyczością wiika ( x, ) de [( d e ) co x d e co e ] [( d e ) i x d e i e ] (7) Zaodelowaie ekcetyczości jet ożliwe podobie jak dla azy idukcyjych [6], [7] wg zależości (7), poieważ względa pzeikalość agetycza ageów jet poówywala z powietze (.3.8 ), co jet właściwy założeie dla ageów z zie zadkich gdzie ψpma jet tuieie kojazoy uzwojeia a, wytwazay pzez agey twałe, Lab ( ) epezetuje idukcyjości uzwojeń, atoiat duga kładowa koeegii (iezależa od pądów uzwojeń) a dwie kładowe zależie od obzau goadzeia eegii (zczelia powietza, age) w potaci (lc długość oiowa azyy) l Ec ( ) c ( BPM ( x,, ) d ) dx () Eco ( ) Eco ( ) gdzie po ozdzieleiu tef goadzeia ię eegii, fukcje koeegii iezależe od pądów pzyjują foę

4 8 Eco ( ) Eco ( ) lc ( BPM ( x,, ) d ) dx () lc { Q W W [ lc ( BPM ( x,, ) d ) dx (3) Rówaia Lagage a azyy z ageai twałyi oża zate zapiać w tadatowej potaci aciezowej (4) Q P M, ( )e j N j ( ), ( ),3 ( ) e 3 d d [ L( )][i ] [ PM ( )] [u ] [ R][i ] dt dt Lab ( ) N 3 N (6) ] j,4 ( ) e 4 4 N e j ( xa xb ) jxa e gdzie W } w k w, a Q i Q zależą od zawato- ści zbioów P, M, N i ą zdefiiowae atępująco Te Te T Tcog,, P M ( ) P Q w pzeciwy pzypadku (7) [i ]T ( [ L( )])[i ] [i ]T ( [ PM ( )]) Q M ( ) M Q w pzeciwy pzypadku (8) Ec ( ) (5) Geealie ujując idukcyjość wzajea Lab a potać potójego zeegu Fouiea gdzie: L [ L( )] i [i ] i i3 L L( ) L( ) L L3( ) L ( ) L3 ( ) L ( ) L3 ( ) L3 ( ) L33 ( ) u [u ] u u3 PM ( ) [ PM ( )] PM ( ) PM 3 ( ) R [ R] R R Zależości opiujące idukcyjości uzwojeń a i b pzy założeiu wytępowaia jedyie kładowej adialej pola agetyczego, zapezetowao w pacy [] zakładając, że pekta Fouiea zawieają haoicze pzepływu ależące do zbiou P P { ax 5 p, 3 p, p, p,3 p,5 p ax }, dla uzwojeia o całkowitej liczbie żłobków a biegu i fazę lub P P { ax 5 p, 4 p, 3 p, p, p, p, p,3 p,4 p,5 p ax } gdy liczba żłobków a biegu i fazę jet ułakowa, a uzwojeia ą chaakteyzowae pzez woje wpółczyiki uzwojeń k w oaz liczby zwojów w Lab ( ) L,, e j ( xa xb ) e jxa e j (9) gdzie: xa (a ), xb (b ), 3p 3p a, b 3 Idukcyjość właą uzwojeń a i b oblicza ię podtawiając xa = xb. Składową tuieia kojazoego uzwojeia a wytwazaą pzez agey twałe ψpma, oża wyazić zgodie z [5] w atępujący poób: PMa ( ) D B ( ) W [ lc { ( ), ( ) Q M, D PM e j N,3 ( ) e j( 3) N 3 N,4 ( ) e j4 ]e j (xa ) e jxa } () 4 N gdzie paaety D i D w () zależą od zawatości zbioów P, Q, M, N i ą okeśloe atępująco, pzy czy zgodie z [5] zbió Q P,, Q M ( ) P D w pzeciwy pzypadku () D M ( ) M D w pzeciwy pzypadku () Ogólie ujując, tuień kojazoy uzwojeia a wytwazay pzez agey twałe ψpma, oże być pzedtawioy ówież w potaci potójego zeegu Fouiea

5 8 ozkładu uzykaego a dodze obliczeń aalityczych. j ( ) xa j ( ) PM a ( ) PM e,, e (3) Zależość opiująca oet elektoechaiczy (5) zawiea kładową eluktacyją oetu Te, główy oet elektoagetyczy T geeoway pzez iteakcje poiędzy tuieie ageów a tuieie uzwojeń oaz oet w taie bezpądowy azyway oete zaczepowy Tcog, wytwazay pzez tagecjale iły a ściakach żłobków lub bzegach bieguów. 4. Poówaie obliczeń aalityczych z ezultatai obliczeń polowych Jako ilutację użyteczości i popawości pzedtawioych odeli wykoao tetowe obliczeia ozkładu pola w zczeliie powietzej azyy z ageai twałyi pzy użyciu pzedtawioych zależości aalityczych oaz etody eleetów kończoych. W obliczeiach kozytao z daych kotukcyjych azyy SGPM o paaetach zaioowych: PN =.5 kw, UN = 3 V, IN = 7.67 A, p = 3. Mazya ta poiadała atępujące wyiay geoetycze oaz paaety ageów: = 5, = 63, = 66, = o (.38 ad), B =.6 T, Hc = 7 ka/. Aalizy etodą eleetów kończoych (pakiet do obliczeń polowych MagNet) oaz obliczeia aalitycze powadzoe były w taie bezpądowy dla pzypadku yetii oaz ekcetyczości tatyczej i dyaiczej. Pozio ekcetyczości wyoił 66% co ozaczało w touku do yetii, gdzie zczelia powietza ad ageai iała wyia 3, że iiala zczelia powietza wyoiła. W piewzej kolejości wyzaczoo ozkłady fukcji peeacji jedotkowej dla pzypadku yetii oaz ekcetyczości tatyczej i dyaiczej pzy założeiu, że iteeują a iejca ozkładu idukcji agetyczej a powiezchi tojaa. Jak widać z yuków 4, 5 i 6, wpółczyiki ozkładu fukcji jedotkowej peeacji układają ię w chaakteytyczy poób dla ekcetyczości zaówo tatyczej jak i dyaiczej w touku do pzypadku yetii [6], [7]. Rozkłady idukcji a powiezchi tojaa pzedtawiają yuki 7 i 8, a któych liia ciągła dotyczy ozkładu uzykaego a dodze obliczeń polowych FEM, liia pzeywaa - Peeacja - full yety Ry. 4. Aplitudy haoiczych ozkładu fukcji peeacji jedotkowej - yetia Peeace - tatic ecceticity Ry. 5. Aplitudy haoiczych ozkładu fukcji peeacji jedotkowej ekcetyczość tatycza Peeace - dyaic ecceticity Ry. 6. Aplitudy haoiczych ozkładu fukcji peeacji jedotkowej ekcetyczość dyaicza

6 8 pozio ieścił ię w gaicach błędu wyików uzykiwaych etodai polowyi w pakiecie MagNet (podobie jak w pacy [8]). B [T] Liteatua y [deg] 3 3 Ry. 7. Rozkład pola od ageów a powiezchi tojaa azyy yetyczej B [T] y [deg] 3 3 Ry. 8. Rozkład pola od ageów a powiezchi tojaa w azyie z ekcetyczością (pzypadki duale: ekcetyczość tatycza gdy x, ekcetyczość dyaicza gdy ) 5. Poduowaie Paca pezetuje etodykę odelowaia azy ychoiczych z ageai twałyi dla pzypadków ekcetyczości wiika. Zapezetowae ezultaty ozkładu pola potwiedzają dobą zgodość obliczeń aalityczych z wyikai uzykayi etodą eleetów kończoych (FEM). Pezetowaa etodyka odelowaia pozwala a częściowe ogaiczeie koieczości toowaia odeli polowych. Uzykae ezultaty ozkładów idukcji pozwalają a pecyzyje zaodelowaie ówań apięciowych oaz kładowej główej T i eluktacyjej Te oetu elektoechaiczego. Pozotała kładowa oetu epezetująca oety zaczepowe Tcog oczywiście daje ię wyliczać z pezetowaego odelu, lecz dla aalizowaej azyy była badzo ała a jej [] Sobczyk T.J., Dozdowki P.: Iductace of electical achie widig with a ouifo aigap, Achiv fu Elektotechik 76 (993), -6 pp. 58 [] Zhu Z.Q., Howe D., Ekkehad B., Ackea B.: Itataeou agetic field ditibutio i buhle peaet aget oto, pat I: Opecicuit field, IEEE Ta. Mag., vol. 9, pp. 4 34, Ja. 993 [3] Zhu Z.Q., Howe D.: Itataeou agetic field ditibutio i buhle peaet aget oto, pat III: Effect of Stato Slottig, IEEE Ta. Mag., vol. 9, pp. 43 5, Ja. 993 [4] Giea J.F., Wig M.: Peaet Maget Moto Techology, Macel Deke, Ic., New Yok 997 [5] Węgiel T.: Model ateatyczy azyy ychoiczej z ageai twałyi dla zatoowań diagotyczych, Pzegląd Elektotechiczy, ISSN 33-97, R. 84 /8,. 7- [6] Sobczyk T.J., Weieb K., Węgiel T., Sułowicz M.: Theoetical tudy of effect due to oto ecceticitie i iductio oto, IEEE Iteatioal Sypoiu o Diagotic fo Electical Machie, Powe Electoic ad Dive (SDEMPED 99), Gijo, (Spai), , pp [7] Węgiel T., Weieb K., Sułowicz M.: Wpływ haoiczych żłobkowych pzewodości a kztałt wida pądu tojaa w azyie idukcyjej z ekcetyczy wiikie, Pace Naukowe Itytutu Mazy, Napędów i Poiaów Elektyczych Politechiki Wocławkiej N, Seia: Studia i Mateiały N, SME Modelowaie azy elektyczych, Wocław, [8] Dabek T., Mata A., Skwaczyńki J.: Syulacja azyy ychoiczej z ageai twałyi, Pzegląd Elektotechiczy, ISSN 33-97, R.84 NR /8, Auto D iż. Toaz Węgiel, e-ail: pewegiel@cyfoet.pl Politechika Kakowka, Wydział Iżyieii Elektyczej i Koputeowej, Itytut Elektoechaiczych Pzeia Eegii, ul. Wazawka 4, 3-55 Kaków