PRZEGLD STATYSTYCZNY R. LX ZESZYT 4 23 RENATA WRÓBEL-ROTTER ESTYMOWANE MODELE RÓWNOWAGI OGÓLNEJ I AUTOREGRESJA WEKTOROWA. ASPEKTY PRAKTYCZNE. WSTP Aryku jes powicony zagadnieniom prakycznego zasosowania modeli nale- cych do klasy DSGE-VAR (ang. Dynamic Sochasic General Equilibrium Vecor AuoRegression). Celem pracy jes empiryczna ilusracja zmiennoci wnioskowania o paramerze wagowym w zalenoci od przyjmowanych zaoe a priori. W szczególnoci skoncenrowano si na problemie wyboru opymalnego udziau informacji pochodzcych z liniowego rozwizania modelu równowagi ogólnej, bazujcym na kryerium maksymalizacji brzegowej gsoci obserwacji, w zalenoci od specykacji a priori dla parameru wagowego. Modele DSGE-VAR rozwaono w dwóch warianach: w pierwszym przypadku oszacowano cig modeli warunkowych wzgldem usalonych arbiralnie waroci parameru wagowego, naomias w drugim dopuszczono pene wnioskowanie a poseriori o opymalnym udziale informacji wspnej, przy zaoeniu rozkadów: jednosajnego, przesuniego gamma i zmodykowanego bea. Cao rezulaów zosaa przedyskuowana na przykadzie esymowanego modelu równowagi ogólnej zaczerpniego z lieraury. Zagadnienia wpywu specykacji a priori zosay uzupenione o ilusracj wykorzysania w prakyce meod oceny zbienoci acucha Markowa do rozkadu sacjonarnego, w szczególnoci rednich ergodycznych oraz wskaników oparych na porównywaniu wariancji wewnrzi midzyacuchowej. 2. MODEL DSGE-VAR Model DSGE-VAR powsaje po przyjciu rozkadu a priori generowanego na posawie esymowanego modelu równowagi ogólnej dla wekorowej auoregresji bez resrykcji, gdzie udzia informacji a priori jes okrelany przez paramer wagowy. W zapisie macierzowym auoregresja wekorowa rzdu p, (VAR(p)), ma posa: Praca wykonana w ramach bada sauowych Kaedry Ekonomerii i Bada Operacyjnych Uniwersyeu Ekonomicznego w Krakowie. Auorka pragnie zoy podzikowania Profesorowi Jackowi Osiewalskiemu oraz uczesnikom seminarium Kaedry Ekonomerii i Bada Operacyjnych za komenarze i dyskusj podczas prezenacji opracowania.
478 Renaa Wróbel-Roer Y = X + U, () gdzie Y jes macierz (T n) zawierajc T obserwacji z n szeregów czasowych, X oznacza macierz (T ( + np)), U jes macierz (T n) skadników losowych, skadajc si z wierszy u, gdzie: u ma n-wymiarowy rozkad normalny: u ~ N (n) (, u ), o wekorze waroci oczekiwanych równym wekorowi zerowemu, E(u ) =, i macierzy kowariancji E(u u ) = u, o wymiarach (n n); E(u u j ) =, jes macierz (( + np) n) wspóczynników auoregresji wekorowej. Model DSGE-VAR pozwala na równoczesne wnioskowanie a poseriori o paramerach auoregresji wekorowej i u, paramerach modelu równowagi ogólnej i paramerze wagowym. W syuacji kiedy paramer wagowy esymujemy, czny rozkad a poseriori mona zapisa jako: p(,,, Y ) p(, Y,, ) p(, Y ), (2) u naomias w modelach rozparywanych warunkowo wzgldem mamy: u p(,, Y, ) p(, Y,, ) p( Y, ), (3) u gdzie p(, Y ) i p( Y, ) s brzegowymi rozkadami a poseriori dla wspóczynników modelu równowagi ogólnej i dla parameru wagowego, w przypadku jego esymacji. S o rozkady o niesandardowych posaciach funkcji gsoci. Do aproksymacji brzegowych rozkadów a poseriori sosuje si algorym Meropolisa i Hasingsa, (zob. np. Adjemian e al., 28). Wnioskowanie a poseriori dla i u, przebiega warunkowo wzgldem i. Funkcja gsoci cznego rozkadu a poseriori jes proporcjonalna do iloczynu funkcji wiarygodnoci (, u Y ), w modelu auoregresji bez resrykcji, i gsoci rozkadu a priori p(, u, ), specykowanego warunkowo wzgldem paramerów srukuralnych modelu równowagi ogólnej i parameru wagowego. Ma posa rozkadu macierzowego normalnego odwróconego Wishara: u p(, u Y,, ) de( T ( * yy ) [( ) T n] / 2 u ( ) ' * xy ( ) exp{.5r{ * yx u ( ) ' [( Y X)'( Y X) * xx ( ) )]}}, (4) gdzie * ( yy ), * ( xy ) i * xx( ), oznaczaj macierze niecenralnych momenów drugiego rzdu w pomocniczym modelu wekorowej auoregresji, naladujcym liniowe rozwizanie modelu równowagi ogólnej (zob. Wróbel-Roer, 23b). Spenienie warunku: min, gdzie min = (+ np + n)/t, oraz odwracalno macierzy momenów * xx( ), oznaczaj, e orzymany rozkad jes waciwy oraz niezdegenerowany. Jeli = o model poczony sprowadza si do wekorowej auoregresji bez resrykcji,
Esymowane modele równowagi ogólnej i auoregresja wekorowa 479 naomias jeli < < min o orzymany rozkad a priori jes niewaciwy. Meodologia pozwalajca na poczenie wnioskowania na podsawie esymowanych modeli równowagi ogólnej z modelami wekorowej auoregresji zosaa zaproponowana w pracy Del Negro i Schorfheide (24) i naspnie rozwinia przez Del Negro e al. (27). Szczegóowe omówienie srony meodologicznej dla prezenowanych poniej rezulaów empirycznych zawiera np. praca Wróbel-Roer (23b). Przyjcie alernaywnych waroci parameru wagowego w modelach szacowanych warunkowo wzgldem prowadzi do powsania szeregu modeli, okrelajcych róny sopie uchylenia resrykcji ekonomicznych, z kórych za najbardziej prawdopodobny a poseriori przyjmuje si aki, kóry prowadzi do najwyszego poziomu brzegowej gsoci obserwacji. W prakyce usala si arbiralnie niezby liczny zbiór waro- ci, {,..., q }, przyjmujc jako oszacowanie ˆ waro speniajc warunek: ˆ arg p( Y ), (por. np. Chrisiano, 27). Formalny wybór najlepszego modelu dokonuje si poprzez czynniki Bayesa: Bij p( Y M i) / p( Y M j ), kóre, w przypadku jednakowych prawdopodobiesw a priori modeli w zbiorze (i spenienia warunku sumowania si ich do jednoci), redukuj si do ilorazów brzegowych gsoci obserwacji p ( Y M i) w modelach warunkowych wzgldem i i j. Znaczne waroci ˆ i iloraz czynnika Bayesa, dla ˆ wzgldem =, bliski jednoci, wskazuj na adekwano w wiele danych resrykcji wynikajcych z modelu równowagi ogólnej. Analogiczny schema wnioskowania mona przeprowadzi w modelach, w kórych paramer wagowy jes esymowany. 3. ESTYMOWANY MODEL RÓWNOWAGI OGÓLNEJ Do konsrukcji rozkadu a priori dla wekorowej auoregresji wykorzysano prosy model nowo-keynesowski, zaproponowany w arykule Ercega e al. (2), wykorzysywany równie do ilusracji zagadnie esymacyjnych w pracy Rabanala i Rubio-Ramíreza (25) i sucy jako podsawa do budowy bardziej skomplikowanych sysemów, m.in. przez Chrisiano e al. (25). Szczegóowe omówienie podsaw eoreycznych wraz z wyprowadzeniem równa srukuralnych modelu mona znale m.in. w pracach: Wróbel-Roer (2a), (2c), (22b), sposoby doboru rozkadu a priori dla wag i parameru wagowego wraz z omówieniem ich wpywu na funkcje odpowiedzi impulsowych zawieraj prace: Wróbel-Roer (23c), (23d). Ogóln charakerysyk esymowanych modeli równowagi ogólnej mona znale m.in. w pracach Wróbel-Roer (22c), (22d) oraz we wczeniejszych opracowaniach: Wróbel-Roer (27c), (27a), (27b), (28), za sron esymacyjn i numeryczn omawiaj m.in. Wróbel-Roer (2b), (22a), (23a). Model, dla zmiennych zapisanych w formie procenowych odchyle od ich waroci w sanie usalonym, skada si z naspujcych równa srukuralnych:
48 Renaa Wróbel-Roer. Równania Eulera wicego wzros produkcji z realn sop procenow: y E y ( r E E g g ), (5) gdzie: y oznacza produkcj, E jes operaorem waroci oczekiwanej warunkowej wzgldem zbioru informacji w momencie, r nominaln sop procenow, g zakócenie w funkcji uyecznoci, wskanik inacji, elasyczno midzyokresowej subsyucji. 2. Funkcji produkcji i funkcji realnego koszu kracowego produkcji: y ) r a ( n mc w n y, (6) gdzie: n oznacza liczb przepracowanych godzin, a zakócenie echnologiczne, mc realny kosz kracowy, w paca realna, udzia kapiau w produkcji. r 3. Kracowej sopy subsyucji midzy konsumpcj i liczb przepracowanych godzin: mrs y n g, (7) gdzie: jes odwronoci elasycznoci poday pracy wzgldem realnej pacy. 4. Równania inacji cenowej: ( )( )( ) ( ) E ( mc ), (8) ( ( )) gdzie: jes waroci w sanie usalonym elasycznoci subsyucji pomidzy rónymi kaegoriami dóbr, jes zakóceniem w narzucie cenowym, oznacza prawdopodobieswo braku moliwoci opymalizacji ceny w usalonym okresie i czynnik dyskonujcy. 5. Równania inacji pacowej: w w ( w )( w ) r E ( mrs w ), (9) ( ) w gdzie: w jes prawdopodobieswem braku moliwoci opymalizacji pacy w usalonym okresie czasu, w jes elasycznoci subsyucji pomidzy rónymi rodzajami kwalikacji. w
Esymowane modele równowagi ogólnej i auoregresja wekorowa 48 6. Reguy Taylora: r r r ( )( y ), () r r y gdzie i y o odpowiedzi banku cenralnego na odchylenia inacji i produkcji od ich waroci w sanie sabilnym, r paramer wygadzania, zakócenie losowe. 7. Równania czcego wzros pacy realnej z pac nominaln i inacj cenow: w w. () r r w r 8. Procesów sochasycznych opisujcych wzros echnologii i zmiany w preferencjach: a g a g g, (2) a a g a g gdzie: i oznaczaj zakócenia losowe. Równania worz liniowy ukad racjonalnych oczekiwa kszaowany w czasie przez wekor czerech zakóce srukuralnych: * a g r [ ]', o niezalenych, idenycznych rozkadach normalnych, z odchyleniami sandardowymi odpowiednio: a, g, r oraz. Wekor wszyskich paramerów srukuralnych ma naspujc posa: [ r y a g w w]'. Model oszacowano, za zgod auorów, na danych z gospodarki amerykaskiej, przygoowanych na porzeby pracy Rabanala i Rubio-Ramíreza (25), gdzie równie rozwaono jako jeden z przykadów model przyjy w niniejszej aplikacji. Dane empiryczne obejmuj 75 waroci kwaralnych, doyczcych krókoerminowej sopy procenowej obs obs r, realnej pacy w, sopy wzrosu zagregowanej produkcji obs obs y, i inacji cenowej p, i zosay pierwonie zaczerpnie z Bureau of Labor Saisics oraz Federal Reserve Sysem. Równanie obs obs r obs obs obserwacji zosao zapisane ak, aby r r, w w, y y oraz ˆ. Dwanacie pierwszych obserwacji zosao przeznaczonych na warunki poczkowe, niezbdne do zapisania wekorowej auoregresji, co oznacza e wszyskie modele VAR oraz model równowagi ogólnej zosay oszacowane na ym samym zbiorze danych. Paramery rozkadów a priori i waroci paramerów kalibrowanych: =.99, = 6, =.36 i w = 6, zaczerpnio z pracy Rabanala i Rubio-Ramíreza (25). W szczególnoci przyjo: odwrócony rozkad gamma dla parameru : f IG (.67,.9), rozkady normalne dla, i y : f N (;,5), f N (,5;,5) i f N ( y,25;,25), rozkady gamma dla i w : f G (2;,42) i f G ( w 2;,7), gdzie w nawiasach podano waro oczekiwan i odchylenia sandardowe a priori, zgodnie z wymogami pakieu Dynare, w kórym przeprowadzono wszyskie obliczenia, (zob. Adjemian e al., 2). Dla r, a, g,
482 Renaa Wróbel-Roer a, g, r i zaoono rozkady jednosajne na przedziale (,). Logarym brzegowej gsoci obserwacji w modelu równowagi ogólnej szacowanym indywidualnie jes równy 46 i jes o waro nisza, ni poziomy maksymalne uzyskane w modelach hybrydowych, prezenowanych poniej. Prezenowane waroci nie s bezporednio porównywalne z ymi, kóre uzyskano w pracach: Wróbel-Roer (23c), (23d) ze wzgldu na wyszy rzd opónienia wekorowej auoregresji w niniejszej pracy, i w konsekwencji, nieco bardziej ograniczony szereg danych empirycznych. 4. MODELE WARUNKOWE I W PENI ESTYMOWANE Modele warunkowe zosay oszacowane wzgldem waroci, dla kórej wagi: Wi i /( i ), okrelajce udzia informacji a priori z modelu równowagi ogólnej w modelu hybrydowym, zawieraj si w przedziale od 5% do 99%, speniajc warunek > min dla wszyskich z dwunasu rozwaonych rzdów opónie wekorowej auoregresji, p =,, 2. Wzros minimalnego, wynikajcy z warunków isnienia rozkadu a priori, mona inerpreowa jako konieczno zwikszenia sopnia jego informacyjnoci, rekompensujc wiksz elasyczno wekorowej auoregresji, spowodowan wzrosem liczby swobodnych paramerów, przy zwikszaniu rzdu jej opónienia. Modele z pen esymacj parameru wagowego zosay rozwaone przy zaoeniu a priori dla rozkadu jednosajnego, przesuniego gamma i rozkadu bea, uogólnionego na dowolny przedzia na dodaniej póosi, wraz z analiz wraliwoci wnioskowania a poseriori na zmian ich paramerów a priori. Rzd opónienia wekorowej auoregresji jes wybierany w oparciu o kryerium empiryczne maksymalizujce logarym brzegowej gsoci obserwacji. 5. BRZEGOWA GSTO OBSERWACJI W MODELACH WARUNKOWYCH Esymacj hybrydowej wekorowej auoregresji przeprowadzono warunkowo wzgldem zbioru osiemnasu arbiralnie wybranych waroci parameru wagowego, kóre wraz z odpowiadajcymi im wagami rozkadu a priori oraz uzyskanymi warociami logarymu brzegowej gsoci obserwacji a poseriori zawiera abela. Najwyszy poziom logarymu brzegowej gsoci obserwacji zanoowano dla p = 6 przy =,5, co odpowiada wadze informacji a priori pochodzcych z modelu równowagi ogólnej równej,6. Logarym brzegowej gsoci obserwacji ma endencj do poczkowego zwikszania si, by po osigniciu waroci maksymalnej, s opniowo zacz male. Ocena opymalnego udziau informacji wspnej, pochodzcej z modelu równowagi ogólnej, zaley od rzdu opónienia wekorowej auoregresji: dla niszych waroci p oscyluje ona w granicach 3% 4%, dla opónie rzdu czwarego i piego orzymujemy okoo 5%, naomias dla p 6 opymalna waga rozkadu a priori mieci si w granicach 6% 7%. Oznacza o, e w miar zwikszania si rzdu
Esymowane modele równowagi ogólnej i auoregresja wekorowa 483 opónienia wekorowej auoregresji i owarzyszcego szybkiego wzrosu liczby swobodnych paramerów niezbdne jes zwikszenie sopnia informacyjnoci rozkadu a priori, aby zapewni odpowiednie modelowanie obserwacji. Porównanie kszaowania si logarymu brzegowej gsoci obserwacji na przesrzeni rónych opónie wekorowej auoregresji pozwala na wybranie modelu o najwyszym jej poziomie, równym 84,22, kóry w ym przypadku orzymujemy dla p = 6 przy =,5, co odpowiada wadze rozkadu a priori równej 6%. Podobne bd nieco nisze poziomy orzymujemy równie dla modeli: p = i =,67, p = 2 i =,43, p = 4 i p = 5 dla =, p = 7 i = 2,33, co oznacza e mona je w przyblieniu rakowa jako równie dobrze opisujce przyje dane. Widoczna jes endencja, w kórej w miar zwikszania rzdu opónienia wekorowej auoregresji, powyej ósmego, logarym brzegowej gsoci obserwacji wykazuje endencj do przyjmowania niszych waroci, co oznacza e modele wekorowej auoregresji o znacznej liczbie paramerów, pomimo przyjcia dla nich silnie informacyjnego rozkadu a priori generowanego z modelu srukuralnego, wyraajcego si zaoeniem wysokiej waroci dla, s mniej preferowane w wiele danych, ni modele o umiarkowanej parameryzacji, nawe z nieco mniej informacyjnym rozkadem a priori, korespondujcym z niszymi warociami parameru wagowego. Najnisze poziomy brzegowej gsoci obserwacji odnoowano dla modeli o najwyszych rzdach opónie przy niskich warociach parameru wagowego; w ym przypadku wzros sopnia informacyjnoci rozkadu a priori skukuje silniejszym zwikszeniem si oceny brzegowej gsoci obserwacji, w porównaniu z modelami o krószych rzdach opónie. Niezalenie od rzdu opónienia wekorowej auoregresji obserwowane s pewne nieregularnoci w kszaowaniu si logarymu brzegowej gsoci obserwacji, co zosao omówione szczegóowiej, wraz z prezenacj bayesowskiego porównywania modeli, w pracy: Wróbel-Roer (23c). Porównywanie modeli za pomoc czynników Bayesa moe prowadzi do mao inerpreowalnych z ekonomicznego punku widzenia rezulaów, poniewa ich waroci mog si isonie zmienia w odpowiedzi nawe na niewielkie zmiany wagi rozkadu a priori. Orzymane rezulay empiryczne wskazuj, e resrykcje wynikajce z esymowanego modelu równowagi ogólnej s czciowo powierdzane przez obserwacje, jednak równie obecne s korzyci wynikajce z gikoci wekorowej auoregresji bez resrykcji, za sam model srukuralny wykazuje pewien sopie niepoprawnej specykacji.
484 Renaa Wróbel-Roer Logarym brzegowej gsoci obserwacji w modelach warunkowy ch Tabela. W p = p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8 p = 9 p = p = p = 2,8,5 74,8,25,2 57,9 63,8,33,25 68,6 75, 73,8,43,3 75,9 82,8 77,6 59,2 55,6,54,35 83,7 8, 72,5 74,4 59,6 58, 5,,67,4 83,9 76,5 78,2 69, 76,4 74,2 6,8 46,9 3,2,82,45 82,7 69,8 75,5 72,3 76, 77,3 67,8 52,4 5,2 46, 4,5,5 7,4 8, 6,5 8,4 82, 8,7 73, 66, 62,5 54,3 45,2 46,8,22,55 73,2 66,8 7,9 75, 79,4 57,5 75,9 58,5 63,8 6,3 63,3 6,5,5,6 65,9 74,3 76,4 7, 79,2 84,2 72,8 76,8 6,7 7,4 57, 6,9,86,65 69,9 69,2 73,8 67,5 77,6 83, 76,6 77, 72,4 66,8 7,2 62,4 2,33,7 54,4 65,8 76,5 72,9 64, 7,8 8, 63,4 68,9 7,5 75,8 74, 3,75 66,2 67,6 73,8 7,4 6,3 74,9 77,9 7,8 72,4 66,7 44,5 67,2 4,8 57,7 64, 63,3 6, 65, 52,7 6,3 64,9 62,5 66,9 65, 7,8 5,67,85 65,2 59,7 64,3 65,6 58,2 54, 6,7 6, 59,8 59,5 64,8 6,9 9,9 53,7 53,3 43,2 58,4 58, 56,7 55,2 5,2 57,5 55,5 57,7 56, 9,95 55,6 53,8 45,4 5,4 5,8 53,3 53,2 46,7 49,8 39,9 52,4 48,9,99 53,6 52,5 45,4 54, 47,5 46,9 5,8 45, 43,7 33,9 44,5 48, ródo: opracowanie wasne.
Esymowane modele równowagi ogólnej i auoregresja wekorowa 485 6. BRZEGOWA GSTO OBSERWACJI W MODELACH Z ESTYMOWANYM PARAMETREM WAGOWYM Esymacja hybrydowego modelu wekorowej auoregresji dla konkurencyjnych specykacji a priori dla ma na celu ocen kszaowania si logarymu brzegowej gsoci obserwacji, waroci oczekiwanej a poseriori dla wag W modelu srukuralnego w poczonym i parameru wagowego, w dwojaki sposób: w zalenoci od ypu zaoonego rozkadu a priori oraz w zalenoci od sopnia jego rozproszenia, przy urzymaniu ej samej endencji cenralnej. Na porzeby symulacji dla przyjo naspujce rozkady, w kórych p 3 min i p 4 > p 3 okrelaj ich nonik (ang. suppor): jednosajny U(p 3,p 4 ) na przedziale [p 3,p 4 ], dla kórego waro oczekiwana jes równa: U = (p 3 + p 4 )/2 i odchylenie sandardowe U ( p 4 p3) / 2. przesuniy rozkad gamma, f GG ( GG, GG,p 3 ), gdzie GG oznacza jego waro oczekiwan, GG jes odchyleniem sandardowym, p 3 oznacza rzeci paramer rozkadu, okrelajcy jego nonik: [p 3, + ). rozkad bea f BB ( BB, BB,p 3, p 4 ), zmodykowany w aki sposób, aby jego nonik okrela przedzia [p 3,p 4 ]; BB oznacza waro oczekiwan, BB jes odchyleniem sandardowym, p 3 i p 4 oznaczaj rzeci i czwary paramer rozkadu. Paramery rozkadu gamma okrelonego na dodaniej póosi: g G ( G, G ), gdzie G i G oznaczaj odpowiednio: waro oczekiwan i odchylenie sandardowe, s zwizane z paramerami rozkadu przesuniego zalenoci: G = GG p 3, G = GG i p 3 =. Rozkad gamma f G (g,g 2 ), kóry jes okrelany przez paramery g i g 2, gdzie 2g wyraa liczb sopni swobody, jes zwizany z rozkadem g G ( G, G ), zalenociami: G = g g 2, G = g /2 2 2 2 g 2, skd orzymujemy: g G / G i g2 G / G. Analogicznie, w zmodykowanym rozkadzie bea f BB ( BB, BB,p 3, p 4 ) moemy przej z jego posaci okrelonej na przedziale [p 3,p 4 ] na posa okrelon na przedziale [,]: b BB ( B, B ), gdzie B i B oznaczaj odpowiednio waro oczekiwan i odchylenie sandardowe, korzysajc z zalenoci: B = ( BB p 3 )/(p 4 p 3 ) i B = BB / (p 4 p 3 ). Paramery b i b 2 zwykego rozkadu bea: f B (b,b 2 ) orzymujemy korzysajc z formuy na waro oczekiwan i odchylenie sandardowe: B = b /(b + b 2 ) i B = (b b 2 /((b + b 2 + )(b + b 2 ) 2 )) /2, (por. np. Poirier, 995). Znajomo paramerów b i b 2 moe uawi ocen przyjego kszau rozkadu dla parameru wagowego. Waro oczekiwana BB i odchylenie sandardowe BB zmodykowanego rozkadu bea s zwizane z paramerami zwykego rozkadu bea na przedziale od zera do jeden naspujcymi zalenociami: BB p 3 ( p4 p3) b b b 2 oraz BB p b 4 p b 2 3 bb 2 b b2.5. (3)
486 Renaa Wróbel-Roer 7. USTALENIE OPTYMALNEGO RZDU OPÓNIENIA Opymalny rzd opónienia wekorowej auoregresji w modelach z pen esymacj parameru wagowego moe si róni od ego, kóry zosa orzymany w modelach szacowanych warunkowo. Usalenie p prowadzcego do maksymalizacji brzegowej gsoci obserwacji wymaga zapewnienia jak najbardziej porównywalnego rozkadu a priori dla parameru wagowego, sd doln granic p 3, zmieniajc si wraz ze zmian rzdu opónienia auoregresji usalono na poziomie min. W przypadku rozkadu jednosajnego górna granica zosaa arbiralnie usalona na poziomie p 4 = 9, co oznacza e udzia informacji a priori, z modelu równowagi ogólnej w hybrydowym, wynosi maksymalnie 95%. Waro oczekiwana ak okrelonego rozkadu jednosajnego nieco wzrasa w miar zwikszania si liczby swobodnych paramerów poczonej wekorowej auoregresji, od waroci 9,6 dla p = do 9,9 dla p = 2. Moliwa byaby specykacja paramerów a priori ak, aby waro oczekiwana wagi W bya równa np. 5%, co odpowiada =, jednak w przypadku wyszych rzdów opónie, waro a jes bardzo bliska dolnej granicy min, w szczególnoci dla p = 2 jes o pierwsza waro uwzgldniona w modelach warunkowych, (abela ). W przypadku rozkadów przesuniego gamma i zmodykowanego bea waro oczekiwan a priori przyjo na poziomie równym, odchylenia sandardowe a priori zosay usalone arbiralnie na poziomie odpowiednio GG = 4,47 i BB = 4,24, (abela 3), naomias nonik zmodykowanego rozkadu bea zosa przyjy ak, jak w rozkadzie jednosajnym. Przyje rozkady maj wspóln endencj cenraln, rozkad jednosajny i bea s okrelone na ym samym przedziale. Uzyskane poziomy logarymu brzegowej gsoci obserwacji w zalenoci od rzdu opónienia hybrydowej wekorowej auoregresji i rodzaju rozkadu a priori dla, wraz z warociami oczekiwanymi a poseriori parameru wagowego i wag W zawiera abela 2. Najwysze waroci logarymu zmodykowanej redniej harmonicznej w przypadku rozkadu jednosajnego obserwujemy dla p = 8, nieco nisze waroci wyspuj dla p = 6 i p = 7 oraz p = 4. Oznacza o, e przy zaoonym rozkadzie jednosajnym wekorowa auoregresja rzdu ósmego najlepiej opisuje obserwacje. W przypadku rozkadu gamma najwyszy poziom oszacowania brzegowej gsoci obserwacji odnoowano dla p = 5, wysokie waroci wyspuj równie dla p = 2, p = 7 i p = 2. W przypadku zmodykowanego rozkadu bea najwysze oceny a poseriori orzymujemy dla p = 7, a naspnie dla p = 2, p = 6 i p = 4. W kadym z przypadków wyszym rzdom opónie wekorowej auoregresji odpowiadaj wysze udziay informacji a priori pochodzcej z modelu równowagi ogólnej, wahajce si w granicach od 3% do 69% w przypadku rozkadu jednosajnego, w przypadku rozkadu gamma od 26% do 74% i dla rozkadu bea od 33% do 73%. Wybór opymalnego rzdu opónienia wekorowej auoregresji zaley od ego, jaki przyjo yp rozkadu a priori dla parameru wagowego. Zwykle w prakyce preferuje si modele prossze, sd naleaoby wzi pod uwag opónienie rzdu drugiego, czy e czwarego, jednak wydaje si, e model dla p = 7 znajduje si w grupie o najwyszych oszaco-
Esymowane modele równowagi ogólnej i auoregresja wekorowa 487 waniach brzegowych gsoci obserwacji dla wszyskich rozparzonych ypów rozkadu a priori dla, co powoduje e zosanie przyjy do ilusracji dalszych wyników empirycznych. Modele o wysokich warociach ocen brzegowej gsoci obserwacji, w przypadku esymacji parameru wagowego, zawieraj wekorow auoregresj rzdu szósego, sd w pewnej mierze powierdzaj rezulay uzyskane na podsawie esymacji modeli warunkowych. Logarym brzegowej gsoci obserwacji w zalenoci od rzdu opónienia w modelach esymowanych Tab ela 2. Rzd Rozkad jednosajny Rozkad gamma Rozkad bea opónienia p(y) E(Y) W p(y) E(Y) W p(y) E(Y) W p = 2,65,5,3 29,58,34,26 63,34,5,33 p = 2 66,6,58,37 74,5,,5 77,,79,44 p = 3 58,5,7,4 67,24,2,55 984,5,33,25 p = 4 72,54,6,5 72,37,4,58 75,8,23,55 p = 5 5,84,7,52 76,26,76,64 74,99,44,59 p = 6 73,74,3,57 73,98,55,6 75,92,47,6 p = 7 73,52,77,64 74,56,94,66 78,66,74,63 p = 8 77,57,98,66 67,88,97,66 32,98,48,6 p = 9 58,69 2,9,69 46,37,76,64 74, 2,36,7 p = 62,27 2,26,69 68,43 2,83,74 4,87,88,65 p = 39,92,79,64 63,8 2,65,73 4,85,86,65 p = 2 54,58 2,7,67 74,78 2,85,74 74,45 2,68,73 ródo: opracowanie wasne. 8. ROZPROSZENIE ROZKADU A PRIORI DLA PARAMETRU WAGOWEGO Ocena kszaowania si brzegowej gsoci obserwacji w zalenoci od rozproszenia rozkadu a priori dla parameru wagowego zosaa przeprowadzona dla dwudziesu arbiralnie wybranych waroci oczekiwanych a priori E() oraz odpowiednio dobranych odchyle sandardowych, kórych waroci zawiera abela 3. Rozkady jednosajne i bea s okrelone na ograniczonym przedziale [p 3,p 4 ], naomias nonik rozkadu gamma [p 3, + ) jes przedziaem z góry nieograniczonym, co powoduje rudnoci w zapewnieniu porównywalnoci ich rozproszenia, sd paramery a priori przyjo ak, aby endencja cenralna ych rozkadów i rozkadu jednosajnego pokrywaa si. Oznacza o, przyjcie równoci waroci oczekiwanych a priori: U = GG = BB, przy zaoeniu p 3 = min =,53 dla p = 7, celem zapewnienia isnienia
488 Renaa Wróbel-Roer rozkadu a priori z modelu srukuralnego. Dla U = GG = BB, przyjo zakres od do 2 z krokiem, co oznacza e orzymujemy 2 rónych przypadków, odpowiadajcych wagom informacji a priori z modelu srukuralnego wahajcym si od 5% do 95%. Dla rozkadu jednosajnego, po wykorzysaniu formuy na waro oczekiwan U i przyjciu p 3 =,53 dla p = 7, implikuj one waroci górnej granicy p 4 od,53 do 39,47, z krokiem 2, oznaczajce zmian odchylenia sandardowego a priori U od,27 do,24. Specykacja odchylenia sandardowego G uogólnionego rozkadu gamma f GG ( GG, G,p 3 ), wykorzysuje zwyky rozkad gamma f G (g,g 2 ), w kórym usalono paramer g 2 = 2, oznaczajcy e rozwaamy rozkady 2 o 2g sopniach swobody, oraz formu na odchylenie sandardowe: G = g /2 g 2. Waro parameru g usalono po wykorzysaniu zalenoci g = G /g 2 i G = GG p 3, dla p 3 =,47. Orzymujemy w en sposób cig przesuniych rozkadów gamma, o waroci oczekiwanej GG wahajcej si w granicach od do 2 i sopniowo zwikszajcym si odchyleniu sandardowym G od okoo,4 do 6,32. Waroci paramerów rozkadu: f BB ( BB, BB,p 3, p 4 ) uzyskano po ransformacji, symerycznego wokó wskanika endencji cenralnej, rozkadu bea: f B (b,b 2 ), w kórym b = b 2 =.5, na przedziay okrelone przez granice p 3 =,53 i p 4, przy czym p 4 przyjo ak, jak w przypadku rozkadu jednosajnego, w zakresie od,53 do 39,53. Wykresy funkcji gsoci przyjych rozkadów przedsawia rys.. Sposoby doboru rozkadów a priori dla wraz z dyskusj ich wpywu na rozkad a priori dla wag W, oraz prezenacj uzyskanych brzegowych rozkadów a poseriori dla W, zawiera praca Wróbel-Roer (23c). Paramery rozkadów a priori do esymacji parameru wagowego Tab e la 3. E() Dolna granica Górna granica Odchylenia sandardowe a priori p 3 p 4 U GG BB,53,47,27,4,2 2,53 3,47,85 2,,66 3,53 5,47,43 2,45, 4,53 7,47 2, 2,83,55 5,53 9,47 2,58 3,6 2, 6,53,47 3,6 3,46 2,45 7,53 3,47 3,74 3,74 2,89 8,53 5,47 4,3 4, 3,34 9,53 7,47 4,89 4,24 3,79,53 9,47 5,47 4,47 4,24,53 2,47 6,4 4,69 4,68
Esymowane modele równowagi ogólnej i auoregresja wekorowa 489 E() Dolna granica Górna granica Odchylenia sandardowe a priori p 3 p 4 U GG BB 2,53 23,47 6,62 4,9 5,3 3,53 25,47 7,2 5, 5,58 4,53 27,47 7,78 5,29 6,2 5,53 29,47 8,35 5,48 6,47 6,53 3,47 8,93 5,66 6,92 7,53 33,47 9,5 5,83 7,37 8,53 35,47,9 6, 7,8 9,53 37,47,66 6,6 8,26 2,53 39,47,24 6,32 8,7 ródo: opracowanie wasne. U(p 3,p 4 ) f GG ( GG, GG,p 3 ) f BB ( BB, BB,p 3,p 4 ),2.2,2.2,2.2,.,.,. 2 3 4 2 3 4 2 3 4 Rysunek. Rozkady a priori przyje do esymacji parameru wagowego ródo: opracowanie wasne. Najwysz waro logarymu brzegowej gsoci obserwacji dla jednosajnego rozkadu a priori dla, równ 79,6, orzymujemy dla przedziau od,53 do 23,47, implikujcego E() = 2. W grupie rozkadów bea najwysz waro p(y) równ 82,, zarejesrowano dla rozkadu okrelonego na przedziale od,53 do 5,47, dla kórego E() = 3, naomias w przypadku rozkadu gamma maksymalna waro logarymu brzegowej gsoci obserwacji wynosi 8 i zosaa uzyskana dla E() = 2. Czynnik Bayesa B ij modelu z rozkadem bea, o najwyszej waroci p(y), obliczony wzgldem najlepszego modelu z rozkadem gamma jes równy,6, naomias wzgldem modelu z jednosajnym rozkadem a priori dla, maksymalizujcego logarym brzegowej gsoci obserwacji, jes on równy 2. Oznacza o, e model ze zmody- kowanym rozkadem bea dla okoo dwunasokronie lepiej opisuje obserwacje ni model z rozkadem gamma i jednosajnym. Modele o najwyszych warociach
49 Renaa Wróbel-Roer logarymu brzegowej gsoci obserwacji w przypadku rozkadu gamma i jednosajnego prowadz do czynnika Bayesa równego,4, co oznacza e przy zaoeniu jednakowych prawdopodobieswa a priori, ich prawdopodobieswa a poseriori mona uzna za jednakowe. Najwysz ocen brzegowej gsoci obserwacji uzyska model ze zmodykowanym rozkadem bea, kóry z jednej srony ma ograniczy nonik, okrelony przez usalony przedzia [p 3,p 4 ], za z drugiej srony jego ksza umoliwia wiksze zrónicowanie informacji a priori ni w przypadku rozkadu jednosajnego. Porównanie ocen brzegowej gsoci obserwacji dla danej waroci oczekiwanej a priori E() prowadzi do wniosku, e dla rozkadu bea, w 3 przypadkach, jes ona wysza ni po zaoeniu rozkadu gamma i jednosajnego. W 9 przypadkach rozkad gamma prowadzi do wyszej waroci logarymu brzegowej gsoci obserwacji ni rozkad jednosajny. Szczegóy uzyskanych oblicze dla p = 7 zawiera abela 4, Hpd d i Hpd g oznaczaj odpowiednio doln i górn granic 9% przedziau o najwikszej gsoci a poseriori (ang. highes poserior densiy); rezulay orzymane dla innych rzdów opónie nie róni si jakociowo. 9. OCENA STABILNOCI NUMERYCZNEJ Schema esymacji w modelach DSGE-VAR, rozparywanych warunkowo wzgldem parameru wagowego, zosa przedsawiony w pracy Schorfheide (2), a naspnie dososowany do porzeb penej esymacji w pakiecie Dynare, (zob. Adjemian e al., 2). Meody Mone Carlo opare na acuchach Markowa, w szczególnoci algorym Meropolisa i Hasingsa, s sosowane do przybliania niesandardowej gsoci prawdopodobieswa p(, Y ), wyspujcej w równaniu (2), niezbdnej do uzyskania charakerysyk cznego rozkadu a poseriori (2). Ocena jakoci numerycznej aproksymacji rozkadu a poseriori dla i jes kluczowa dla poprawnoci rezulaów uzyskanych z poczonej wekorowej auoregresji i jes cile zalena od danej aplikacji empirycznej. Techniki werykacji funkcjonowania algorymów numerycznych zosay przedsawione na przykadzie wekorowej auoregresji, w kórej odnoowano najwysz waro logarymu brzegowej gsoci obserwacji: modelu ze zmodykowanym rozkadem bea, w kórym E() = 3 i p = 7, (abela 4). Sosowane echniki werykacji maj na celu odpowiedzenie na ogólne pyanie, czy uzyskan próbk losow mona rakowa jako pochodzc z brzegowego rozkadu a poseriori p(, Y ). W przypadku modeli esymowanych warunkowo wzgldem oceny sabilnoci numerycznej dokonuje si analogicznie, dla brzegowego rozkadu a poseriori p ( Y, ), wyspujcego we wzorze (3). Ocen zbienoci numerycznej w modelu DSGE-VAR mona rakowa jako konynuacj pracy Wróbel-Roer (22a), w kórej omówiono zasosowanie meod werykacji funkcjonowania algorymu Meropolisa i Hasingsa w modelu DSGE. Oceny funkcjonowania procedury numerycznej aproksymacji charakerysyk rozkadu a poseriori w modelu DSGE-VAR najczciej dokonuje si nieformalnie,
Esymowane modele równowagi ogólnej i auoregresja wekorowa 49 Wyniki esymacji parameru wagowego Tabe la 4. Rozkad jednosajny Rozkad gamma Rozkad bea E() E(Y) Hpd d Hpd g W p(y) E(Y) Hpd d Hpd g W p(y) E(Y) Hpd d Hpd g W p(y),5,94,36,54 66,86,85,88,46 4,24,4,45,55 8 2,4,22,58,59 74,54,4 2,3,6 8,54,2,83,6 78 3,68,4 2,8,63 78,2,88,5,55 37,7,4 2,25,63 82 4,47,7,89,6 72,2,87,34,53 46,72,2 2,24,63 8 5,53,7,97,6 78,64,6 2,2,62 68,26,3,56,56 57 6,47,8,87,6 72,83,68,99,45 973 2,87,62 4,2,74 68 7,4,5,79,59 67,75,9 2,3,64 76,5,8,9,6 68 8,26,96,53,56 5,9,28 2,53,66 77,8,2 2,38,64 79 9,46,2,89,59 7,69,9 2,7,63 62,37,,67,58 53,74,62,85,43 967,99,33 2,64,67 78,75,7 2,32,64 79,3,95,68,57 48 2,,24 2,7,67 73,77,9 2,3,64 77 2,63,3 2,2,62 8 2,8,36 2,75,67 75,6, 2,7,6 62 3,4,4,72,58 5,94,32 2,58,66 66,73,6 2,3,63 7 4,72,4 2,27,63 76 2,23,44 3,,69 74,44,7,83,59 53 5,36,,7,58 6 2,9,4 2,86,69 59,88,22 2,48,65 75 6,64,56,7,39 943 2,,23 2,77,67 55,83,23 2,4,65 79 7,27,96,59,56 56 2,39,53 3,25,7 69,75,2 2,3,64 76 8,59, 2,8,6 73 2,3,46 2,77,68 6,45,6,84,59 6 9,3,98,65,57 52,78,3 2,25,64 49,79,22 2,36,64 79 2,46,6,86,59 57 2,79,66 3,89,74 68,46,6,86,59 49 ródo: opracowanie wasne.
492 Renaa Wróbel-Roer poprzez moniorowanie sabilizowania si acucha Markowa i jego zbienoci do rozkadu sacjonarnego, ocen wpywu zmiany punków sarowych na wyniki kocowe, okrelenie uamka akcepacji nowych sanów acucha oraz analiz wraliwoci zwizan ze zmian paramerów gsoci próbnej w algorymie Meropolisa i Hasingsa. Najprosszym i najpowszechniej sosowanym nieformalnym kryerium moniorowania zbienoci jes obserwacja przebiegu rednich ergodycznych paramerów srukuralnych, kóre wraz ze wzrosem liczby ieracji powinny si sabilizowa na usalonym poziomie, niezalenym od punków sarowych; s one równie uyecznym narzdziem usalania minimalnej liczby cykli wspnych, po kórych wszyskie naspne sany acucha rakujemy jako uzyskane z rozkadu sacjonarnego. Oceny zbienoci mona równie dokona poprzez rozwaenie jednowymiarowych saysyk, zw. czynników poencjalnej redukcji skali, bazujcych na ilorazach momenów cenralnych rzdu s, okrelonych przez ich ilorazy obliczone dla realizacji z wszyskich acuchów Markowa oraz waroci redniej z szeregów indywidualnych, (por. np. Brooks i Gelman, 998). Uogólnieniem jes wielowymiarowy czynnik poencjalnej redukcji skali (ang. mulivariae poenial scale reducion facor, MPSRF). Moliwe jes ake rozwaenie saysyki oparej na esymaorach przedziaowych szacowanych paramerów, R przedzia, okrelanej przez iloraz dugoci przedziaów ufnoci, o kocach okrelonych przez kwanyle rzdu (/2)% i ( /2)%), kóre zosay obliczone na podsawie wszyskich mn ieracji oraz redniej dugoci m przedzia- ów uzyskanych dla kadego z wygenerowanych acuchów, (zob. Adjemian e al., 2). Szczegóowe omówienie formu mona znale m.in. w pracy Wróbel-Roer (22a). Modele rozparywane w pracy oszacowano wykonujc w kadym 5 ys. symulacji w algorymie Meropolisa i Hasingsa. Cao symulacji bya podzielona na pi równolegych acuchów Markowa, kórych punky sarowe zosay uzyskane po losowaniu z rozkadu normalnego, skupionego wokó numerycznie wyznaczonej modalnej i macierzy kowariancji rozkadu a poseriori. Ich oszacowanie w ych modelach bywa rudne numerycznie, mog zawodzi meody bazujce na algorymach opymalizacyjnych ypu Newona, naomias zadowalajce wyniki zwykle orzymuje si po wykorzysaniu echniki polegajcej na losowym przeszukiwaniu przesrzeni paramerów za pomoc algorymu Meropolisa i Hasingsa, (www.dynare.org/dynarewiki/monecarloopimizaion). Liczb wspnych realizacji acucha Markowa zwykle usala si arbiralnie jako uamek wszyskich cykli, bd e podaje si ich liczb, w aki sposób aby zapewni osignicie zbienoci bazujce na przyjych kryeriach jej oceny. Minimalna liczba cykli wspnych wydaje si, w ym przypadku, nie przekracza waroci okoo ys., co oznacza udzia 2%. Arbiralnie usala si równie liczb równolegych acuchów Markowa, kóra ma za zadanie zmniejszenie wysokiej auokorelacji wyspujcej przy sosowaniu meod MCMC oraz równoczenie sprawdzenie wraliwoci na punky sarowe. rednie ergodyczne uzyskane na podsawie indywidualnych acuchów Markowa (linie cige) i rednia ze wszyskich wygenerowanych waroci (linie ze znaczni-
Esymowane modele równowagi ogólnej i auoregresja wekorowa 493 kami), obliczone po odrzuceniu cykli wspnych, przedsawiono na rys. 2. Podsaw oceny zbienoci jes rednia obliczona na podsawie wszyskich wygenerowanych waroci, kóra wskazuje na znaczny sopie zbienoci acucha Markowa do rozkadu a poseriori. Waroci rednich obliczone z pominiciem i po uwzgldnieniu cykli wspnych s dla wikszoci paramerów zblione; w przypadku paramerów i widoczna jes niewielka niesabilno numeryczna pojedynczych acuchów, przy czym dla jes o raczej wraliwo na zmian poczkowych sanów acucha: indywidualne rajekorie s sabilne, jednak na innych poziomach. W przypadku pozosaych paramerów, w ym kluczowego w modelu DSGE-VAR parameru wagowego, mona uzna, e rednie ergodyczne, obliczone na podsawie wszyskich wygenerowanych waroci, s sabilne po odrzuceniu dosaecznie duej liczby ieracji wspnych, przy czym najprecyzyjniej przebiegaj one dla paramerów r, i..,.5,5 a g.3,3.2,2,.5 x -3 r.5,5..5,5mln.5 mln,5mln.5 mln,5mln.5 mln,5mln.5 m r 3.5.9,9,5.5,5 2.8,8.7,7.5,5,5mln.5 mln,5mln.5 mln,5mln.5 mln,5mln.5 m y a g.4,4.4,4,9.4,4.9.2,2.2,2.8,8.2,2.7,7,5mln.5 mln,5mln.5 mln,5mln.5 mln,5mln.5 m,5,5 x -3 MPSRF 4 2 2,5 2 2,5,5mln,5mln 2 3 4 5 5 Rysunek 2. Kszaowanie si redniej ergodycznej paramerów ródo: opracowanie wasne.
494 Renaa Wróbel-Roer,,,4,5,5,5,5,2,5 mln,5 mln,5 mln,5 mln,5 mln,5 mln,5.5,.,5.5 g (przedzial),5,5.5 mln,5 mln,5 mln,4,2,2,,,5,5 mln,5 mln,5 mln 3,4,2 2,5,2, 2,5 mln,5 mln,5 mln,5 mln,5 mln,5 mln,2,4,2,,,2,,5,5 mln,5 mln,5 mln,5 mln,5 mln,5 mln,5,4,2,2,,5 mln,5 mln,5 mln,4,2,,5,5 mln,5 mln,5 mln,4,,4,,2,5,2,5,5 mln,5 mln,5 mln,5 mln,5 mln,5 mln,5,2,,2,,5 mln,5 mln,5 mln,5 mln,5 mln,5 mln Rysunek 3. Kszaowanie si czynników poencjalnej redukcji skali ródo: opracowanie wasne. Kszaowanie si zbienoci opare na porównywaniu wariancji wewnrz i midzyacuchowej przedsawia rys. 3, gdzie linia przerywana oznacza momeny cenralne obliczone na podsawie wszyskich wygenerowanych waroci, naomias ciga redni z momenów wewnrzacuchowych; pokrywanie si linii na rys. 3 wskazuje na osignicie zbienoci i waroci czynnika poencjalnej redukcji skali bliskie jednoci. Rozparzono czynniki poencjalnej redukcji skali opare na momenach cenralnych rzdu drugiego (m 2 ) i rzeciego (m 3 ), oraz waroci R przedzia oznaczajce ilorazy dugoci empirycznych, 8%, przedziaów ufnoci. Najszybciej sabilizuj si saysyki wielowymiarowe, MPSRF, kóre wskazuj na zbieno ju po okoo ys.
Esymowane modele równowagi ogólnej i auoregresja wekorowa 495 ieracji, podobnie jak indywidualne rednie ergodyczne. Saysyki jednowymiarowe, reprezenujce ocen zbienoci dla odchylenia sandardowego szoku cenowego, wykazuj pewne cechy braku zbienoci: saysyki wewnrz i midzyacuchowe nie sabilizuj si w miar wzrosu liczby ieracji, ich waroci nie pokrywaj si, hisogram aproksymujcy brzegowy rozkad a poseriori wykazuje cechy nieregularnoci i wielomodalnoci, co powierdza wnioski pynce z analizy rednich ergodycznych. Mniejsze problemy ze sabilnoci numeryczn, ocenian kszaowaniem si R s, wyspuj w przypadku paramerów:, y,, w i, naomias w pozosaych przypadkach, pomimo pewnych ukuacji numerycznych, saysyki jednowymiarowe mona uzna za zbiene. Analogiczne kszaowanie si zbienoci byo widoczne po znacznym zwikszeniu liczby ieracji, co oznacza e poprawa srony numerycznej mogaby eoreycznie naspi po ponownym skierowaniu uwagi na konsrukcj modelu równowagi ogólnej bd e zmian specykacji a priori, w szczególnoci: zamias przyjego a priori rozkadu jednosajnego dla mona zaoy odwrócony gamma. Modykacje specykacji a priori w analizowanym modelu nie doprowadziy do znaczcej poprawy sabilnoci, sd wyniki empiryczne prezenujemy dla akich rozkadów, jakie zosay zaoone dla pierwonej posaci modelu. Poprawno numeryczna moe by równie powierdzona przez porównanie logarymu brzegowej gsoci obserwacji za pomoc zmodykowanej redniej harmonicznej i aproksymacji Laplace a, (por. np. Geweke, 999), Tierney i Kadane, 986). Aproksymacja Laplace a sosowana jes bezporednio do rozkadu a poseriori, kórego paramery wyznaczono za pomoc wspnych meod numerycznych, prowadzc zwykle do niszej waroci brzegowej gsoci obserwacji, co oznacza e algorym Meropolisa i Hasingsa znajduje wyszej pooone maksimum rozkadu a poseriori. Zaleno aka jes obserwowana w przypadku wszyskich modeli rozwaanych w pracy. Ocena jakoci punków sarowych niezbdnych do zapoczkowania acucha Markowa, kóre zosay uzyskane po zasosowaniu procedur znajdujcych wspnie maksimum rozkadu a poseriori jes zwykle dokonywana gracznie, co zosao, w konekcie modelu DSGE, omówione m.in. w pracy Wróbel-Roer (22a).. PODSUMOWANIE Model DSGE-VAR powsaje po przyjciu rozkadu a priori pochodzcego z esymowanego modelu równowagi ogólnej do esymacji wekorowej auoregresji, przy czym kluczow rol w konsrukcji odgrywa paramer wagowy, usalajcy opymalne proporcje obydwu podej. Wnioskowanie w modelu poczonym i oszacowanie brzegowej gsoci obserwacji moe by zalene od sposobu rakowania a priori parameru wagowego: w modelach szacowanych warunkowo, jego ocena a poseriori jes wraliwa na zmian zbioru waroci a priori, naomias w modelach z pen esymacj, obserwujemy wiksz sabilno i mniejsz zaleno od ypu rozkadu a priori. Model o najwyszych warociach logarymu brzegowej gsoci obserwacji
496 Renaa Wróbel-Roer uzyskano dla zmodykowanego rozkadu bea, modele z rozkadami gamma i jednosajnymi równie dobrze opisyway rozparywane obserwacje. W drugiej czci pracy omówiono i zilusrowano echniki oceny funkcjonowania meod Mone Carlo oparych na acuchach Markowa, sosowanych do aproksymacji charakerysyk rozkadu a poseriori. Meody e wskazuj na ogóln sabilno numeryczn, przy zaoeniu przeprowadzenia dosaecznie duej liczby ieracji MCMC i odrzuceniu cykli wspnych. Techniki werykacji zbienoci bazuj gównie na ocenie kszaowania si rednich ergodycznych i wybranych funkcji momenów cenralnych generowanego acucha, kórych sabilno w miar wzrosu liczby ieracji i zmian usawie generaora jes zazwyczaj dosaecznym warunkiem uznania zbienoci. Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie LITERATURA [] Adjemian A., DarracqPariès M., Moyen S., (28), Towards a Moneary Policy Evaluaion Framework, European Cenral Bank Working Paper No. 942, Frankfur am Main, Germany. [2] Adjemian S., Basani H., Juillard M., Mihoubi F., Perendia G., Rao M., Villemo S., (2), Dynare: Reference Manual, Version 4, Dynare Working Papers No., Paris. [3] Brooks S. P., Gelman A., (998), General Mehods for Monioring Convergence of Ieraive Simulaions, Journal of Compuaional and Graphical Saisics, 7, 434 455. [4] Chrisiano L. J., (27), Commen, Journal of Business & Economic Saisics, American Saisical Assosiaion, 25 (2), 43 5. [5] Chrisiano L. J., Eichenbaum M., Evans C., (25), Nominal Rigidiies and he Dynamic Effecs of a Shock o Moneary Policy, Journal of Poliical Economy, Universiy of Chicago Press, 3 (), 45. [6] Del Negro M., Schorfheide F., (24), Priors from General Equilibrium Models for VARs, Inernaional Economic Review, 45 (2), 643 673. [7] Del Negro M., Schorfheide F., Smes F., Wouers R., (27), On he of New-Keynesian Models, Journal of Business & Economic Saisics, American Saisical Associaion, 25 (2), 23 43. [8] Erceg C. J., Henderson D. W., Levin A. T., (2), Opimal Moneary Policy wih Saggered Wage and Price Conracs, Journal of Moneary Economics, Elsevier, 46 (2), 28 33. [9] Geweke J., (999), Using Simulaion Mehods for Bayesian Economeric Models: Inference, Developmen and Communicaion, Economeric Reviews, Taylor and Francis Journals, 8 (), 73. [] Poirier D. J., (995), Inermediae Saisics and Economerics: A Comparaive Approach, MIT Press, Hong Kong. [] Rabanal P., Rubio-Ramírez J. F., (25), Comparing New Keynesian Models of he Business Cycle: A Bayesian Approach, Journal of Moneary Economics, Elsevier, 52 (6), 5 66. [2] Schorfheide F., (2), Loss Funcion Based Evaluaion of DSGE Models, Journal of Applied Economerics, John Wiley and Sons, Ld., 5 (6), 645 67. [3] Tierney L., Kadane J. B., (986), Accurae Approximaions for Poserior Momens and Marginal Densiies, Journal of he American Saisical Associaion, American Saisical Associaion, 8 (393), 82 86.
Esymowane modele równowagi ogólnej i auoregresja wekorowa 497 [4] Wróbel-Roer R., (27a), Dynamic Sochasic General Equilibrium Models: Srucure and Esimaion, w: Welfe W., Wdowiski P., (red.), Modelling Economies in Transiion 26, ód, Wydawnicwo Green, 9 26. [5] Wróbel-Roer R., (27b), Dynamiczne Sochasyczne Modele Równowagi Ogólnej: zarys meodologii bada empirycznych, Folia Oeconomica Cracoviensia, 48, 69 93. [6] Wróbel-Roer R., (27c), Dynamiczny Sochasyczny Model Równowagi Ogólnej: przykad dla gospodarki polskiej, Przegld Saysyczny, 54 (3), 25 48 [7] Wróbel-Roer R., (28), Bayesian esimaion of a Dynamic General Equilibrium model, w: Welfe A., (red.), Meody Ilociowe w Naukach Ekonomicznych, Ósme Warszay Dokorskie z zakresu Ekonomerii i Saysyki, Szkoa Gówna Handlowa w Warszawie Ocyna Wydawnicza, 279 294. [8] Wróbel-Roer R., (2a), Empiryczne modele równowagi ogólnej: gospodarswa domowe i producen nalny, Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Krakowie, seria Ekonomia, 869, 9 28. [9] Wróbel-Roer R., (2b), Obszary sabilnoci rozwizania empirycznych modeli równowagi ogólnej: zasosowanie meod analizy wraliwoci, Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Krakowie, seria Meody analizy danych, 873, 2 35. [2] Wróbel-Roer R., (2c), Sekor producenów porednich w empirycznym modelu równowagi ogólnej, Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Krakowie, seria Ekonomia, 872, 73 93. [2] Wróbel-Roer R., (22a), Empiryczne modele równowagi ogólnej: zagadnienia numeryczne esymacji bayerowskiej, Zeszyy Naukowe Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie, seria Meody analizy danych, 878, 43 62. [22] Wróbel-Roer R., (22b), Srukura empirycznego modelu równowagi ogólnej dla niejednorodnych gospodarsw domowych, Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Krakowie, seria Ekonomia, 879, 7 26. [23] Wróbel-Roer R., (22c), Wybrane zagadnienia wspóczesnego modelowania srukuralnego, cz I: esymowane modele równowagi ogólnej w zarysie, Folia Oeconomica Cracoviensia, 53, 59 83. [24] Wróbel-Roer R., (22d), Wybrane zagadnienia wspóczesnego modelowania srukuralnego, cz II: wnioskowanie w esymowanych modelach równowagi ogólnej, Folia Oeconomica Cracoviensia, 53, 85 2. [25] Wróbel-Roer R., (23a), Empiryczne modele równowagi ogólnej: zasosowanie meody dekompozycji funkcji do oceny zalenoci midzy posaci srukuraln i zredukowan, Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Krakowie, seria Meody Analizy Danych, (w druku). [26] Wróbel-Roer R., (23b), Esymowane modele równowagi ogólnej i auoregresja wekorowa. Aspeky eoreyczne, Przegld Saysyczny, 6 (3), 359 38. [27] Wróbel-Roer R., (23c), Esymowane modele równowagi ogólnej i wekorowa auoregresja: model hybrydowy, Bank i Kredy, 44 (5), 533 57. [28] Wróbel-Roer R., (23d), Hybrydowy model wekorowej auoregresji analiza empiryczna funkcji odpowiedzi na zakócenia srukuralne, manuskryp niepublikowany.
498 Renaa Wróbel-Roer ESTYMOWANE MODELE RÓWNOWAGI OGÓLNEJ I AUTOREGRESJA WEKTOROWA. ASPEKTY PRAKTYCZNE Sreszczenie Model DSGE-VAR skada si z dwóch modeli wekorowej auoregresji: pierwszy z nich jes aproksymacj liniowego rozwizania esymowanego modelu równowagi ogólnej i suy konsrukcji rozkadu a priori dla drugiego, szacowanego dla danych obserwowanych. Opracowanie jes powicone szczegóowemu omówieniu aspeków prakycznych, zawizanych z modelami DSGE-VAR. Gówny nacisk zosa pooony na zagadnienia specykacji a priori dla parameru wagowego: rozparzono szereg modeli warunkowych oraz modele z esymowanym paramerem wagowym, po przyjciu alernaywnych rozkadów a priori: jednosajnego, przesuniego gamma i zmodykowanego rozkadu bea. Oszacowanie szeregu modeli warunkowych pozwala na ujawnienie znacznej zmiennoci logarymu brzegowej gsoci obserwacji implikujcych wraliwo czynników Bayesa, isonie zmieniajcych si w odpowiedzi na niewielkie zmiany specykacji rozkadu a priori dla parameru wagowego. Esymacja modelu penego pozwala na opymalne usalenie rzdu opónienia wekorowej auoregresji oraz sprawdzenie wraliwo- ci wnioskowania a poseriori o paramerze wagowym w zalenoci od ypu i rozproszenia rozkadu a priori. W drugiej czci opracowania omówiono sposoby oceny sabilnoci numerycznej w modelach DSGE-VAR. Sowa kluczowe: DSGE-VAR, dynamiczny sochasyczny model równowagi ogólnej, wnioskowanie bayesowskie, brzegowa gso obserwacji, specykacja rozkadu a priori, zbieno MCMC AN ESTIMATED GENERAL EQUILIBRIUM MODEL AND VECTOR AUTOREGRESSION. PRACTICAL ISSUES Absrac The DSGE-VAR model consiss of wo models of vecor auoregressions: he rs one approximaes he linearised soluion of he dynamic sochasic general equilibrium model and is used as a ool for consrucion of a prior disribuion for he second one, esimaed wih he observed daa. The main purpose of he paper is o presen pracical aspecs of DSGE-VAR esimaion, vericaion and comparison, based on he marginal daa densiy. I can be obained afer considering condiional models or by esimaion of fully specied models, afer assuming uniform, generalised gamma and modied bea disribuions. The condiional models lead o serious variabiliy of he Bayes facors ha has lile economic inerpreaion. Poserior inference for he weighing parameer from fully esimaed models is less sensiive o is prior specicaion. In he second par of he paper auhor discusses convergence diagnosics used for checking sabiliy of MCMC algorihms. Keywords: DSGE-VAR, dynamic sochasic general equilibrium model, Bayesian inference, marginal daa densiy, prior specicaion, convergence diagnosics of MCMC