ODZYSKIWANIE ENERGII I DYNAMIKA WAHADŁOWEGO ELIMINATORA DRGAŃ Z PÓŁAKTYWNYM ZAWIESZENIEM

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 017 nr 64, ISSN X ODZYSKIWANIE ENERGII I DYNAMIKA WAHADŁOWEGO ELIMINATORA DRGAŃ Z PÓŁAKTYWNYM ZAWIESZENIEM Andrzej Mitura 1a, Krzysztof Kęcik 1b 1 Katedra Mechaniki Stosowanej, Politechnika Lubelska a a.mitura@pollub.pl, b k.kecik@pollub.pl Streszczenie W pracy przedstawiono wyniki badań numerycznych układu autoparametrycznego z dodatkowym systemem do odzyskiwania energii elektrycznej. W układzie można zaobserwować występowanie dwóch efektów: możliwość redukcji drgań układu podstawowego (oscylatora za pomocą nieliniowego eliminatora oraz odzyskiwanie energii elektrycznej z ruchu wahadła za pomocą tzw. harvestera. Skuteczność obu efektów zależy od parametrów układu. Zaproponowano zastosowanie materiałów inteligentnych w zawieszeniu oscylatora: tłumika magnetoreologicznego oraz sprężyny wykonanej ze stopu z pamięcią kształtu (SMA. W pracy przedstawiono wpływ parametrów półaktywnego zawieszenia na dynamikę układu i poziom odzyskiwanej energii. Wyniki badań oraz zaproponowane wskaźniki jakości pozwoliły za znalezienie obszarów, w których możliwy jest kompromis pomiędzy redukcją drgań obiektu głównego a odzyskiwaniem energii. Słowa kluczowe: Redukcja drgań, odzyskiwanie energii, sprężyna SMA, tłumik magnetoreologiczny ENERGY HARVESTING AND DYNAMICS OF A PENDULUM VIBRATION ABSORBER WITH A SEMI-ACTIVE SUSPENSION Summary This paper presents numerical study of an autoparametric system with the system to energy harvesting. In this system the coexistence of two effects is possible: the vibrations reduction of the oscillator by the non-linear absorber and the energy recovery from the pendulum motion of the harvester. The effectiveness of both effects depends on the system parameters. Application of smart materials: the magnetorheological damper and the shape memory spring is proposed. This paper shows the influence of semi-active suspension parameters on the system dynamics and the energy recovery. The obtained results and the proposed quality indicators allow determination of the compromise zones between the vibration reduction and the energy recovery. Keywords: Vibration reduction, energy harvesting, SMA spring, magnetorheological damper 1. WSTĘP Jednym z ważnych zagadnień rozpatrywanych zarówno w ramach mechaniki teoretycznej, jak i stosowanej jest redukcja drgań układów mechanicznych. Jedną z metod zmniejszenia poziomu drgań rzeczywistego obiektu jest dołączenie do niego dodatkowego podukładu, tzw. dynamicznego eliminatora. Spośród opisywanych w literaturze propozycji konstrukcji dynamicznych eliminatorów na uwagę zasługuje rozwiązanie wykorzystujące wahadło fizyczne [, ]. Pomimo prostej budowy powstały układ charakteryzuje się interesującymi właściwościami dynamicznymi. Na przykład dla ruchu względnego wahadła można znaleźć kilka rozwiązań [7]. Pomimo zadania warunku początkowego może ono wracać do dolnego lub górnego położenia równowagi, wykonywać oscylacje, 61

2 ODZYSKIWANIE ENERGII I DYNAMIKA WAHADŁOWEGO ELIMINATORA DRGAŃ (... kołysanie wokół wspomnianych położeń, obracać się lub wykonywać ruch chaotyczny. Poprzednie badania auto- redukcji drgań rów skupiały się na analizie efektywności za pomocą wahadłowego eliminatora drgań [8]. W ostatnich latach pojawiły się nowe wymagania sta- one czyn- wiane układom mechanicznym. Uwzględniają niki ekologiczne, między innymi potrzebę zmniejszenia energochłonności lub możliwość odzyskiwania energii z działających systemów. W związku z tym pojawiła się koncepcja, aby podjąć próby odzyskiwania energii z ruchu wahadła. W trakcie prac wstępnych wytypowano dwa rozwiązania konstrukcyjne. W pierwszym wariancie planowano odzy- połączoną skiwać energię elektryczną poprzez prądnicę z wahadłem bezpośrednio w jego osi obrotu [4]. Efek- ze zwiększe- tywność tego rozwiązania wiązała się ściśle niem tłumienia dla wahadła. Niestety wzrost tego para- drgań za metru znacznie ogranicza możliwość redukcji pomocą eliminatora. W kolejnej propozycji zastosowano układ do odzyskiwania energii umiejscowiony bezpo- z ruchomym średnio na wahadle [11]. Dodatkowy system magnesem powoduje powstanie kolejnego stopnia swo- body co może wpływać na proces dynamicznej eliminacji drgań. Co prawda po zastosowaniu odp nego zawieszenia ruchomego magnesu możliwość oddziaływania dodatkowego wahadła, jednakże powoduje to zmniejszenie efektywnobardzo ważnym ści odzyskiwania energii. Dlatego aspektem jest znalezienie rozwiązań dających kompromis pomiędzy możliwością odzyskiwania energii a redukcją drgań układu podstawowego. Takie próby były podejmowane i opisane w artykułach [5, 11, 1]. W pracy przedstawiono system, w którym zastosowano nowe elementy o sterowalnych właściwościach: sprężynę wykonaną ze stopu z efektem pamięci kształtu (sprężyna SMA oraz tłumik magnetoreologiczny (tłumik MR. Na podstawie analizy modelu uwzględniającego zmianę sztywności lub tłumienia zawieszenia obiektu podstawo- obszarami wego została wykazana możliwość sterowania parametrów o najbardziej korzystnych wskaźnikach jakości ze względu na redukcję drgań i/ lub odzyskiwa- nie energii.. MODEL UKŁADU powiednio sztywograniczana jest systemu na ruch Badany układ (rys. 1 składa się z trzech głównych podukładów: nieliniowego pojedynczego oscylatora z półaktywnym zawieszeniem (I, wahadła fizycznego (II oraz układu do odzyskiwania energii (III. Ruch oscylatora o masie M opisano za pomocą współrzędnej x. W jego zawieszeniu znajduje się tłumik MR wraz ze sprężyną wykonaną ze stopu z pamięcią kształtu. Są to elementy o sterowalnych właściwościach, tzn. możliwa jest zmiana poziomu tłumienia lub sztywności poprzez ustawienie parametrów zasilania. Zmiana sztywności sprężyny SMA jest możliwa poprzez nagrzewanie oporowe, tj. przepływ przez nią prądu elektrycznego o odpo- temperatury powo- wiednio dobranej wartości. Zmiana duje przemiany pomiędzy fazami nisko (martenzyt i wysoko-temperaturowymi (austenit w materiale sprę- wartość sztywno- żyny, przez co może być modyfikowana ści elementu. W przypadku tłumika MR prąd płynący przez jego obwód elektryczny wytwarza pole magnetycz- cieczy magneto- ne, które umożliwia zmianę właściwości reologicznej, tłumienia elementu. Oscylator jest wymuszany kinematycznie poprzez stalo- k. Kolejną istotną wą, liniową sprężynę o sztywności częścią badanego układu jest wahadło w kształcie rury, które zamocowane na obiekcie podstawowym może obra- względny wahadła cać się względem punktu 0. Ruch opisano za pomocą współrzędnej ϕ. Wewnątrz eliminatrzy magnesy, których tora (wahadła umiejscowiono bieguny są odpowiednio zorientowane: SN-NS-SN. Dwa skrajne magnesy są przymocowane do rury, natomiast pomiędzy nimi może poruszać się magnes ruchomy. Ruch magnesu opisano współrzędną r.. Na zewnątrz rury nawpięta do obwodu elek- winięta jest cewka indukcyjna trycznego (rys., w którym znajduje się również rezy- energii. Ruch stor służący do odbierania odzyskanej magnesu w cewce powoduje indukcję prądu i. Rys. 1. Model wahadłowego eliminatora drgań wraz z harvesterem Rys.. Obwód elektryczny harvesteraa Rys.. Część mechaniczna modelu układu 6

3 Andrzej Mitura, Krzysztof Kęcik Analizowany układ podzielono na dwie części: elektryczną (rys. oraz mechaniczną (rys.. Na podstawie pracy [11] układ opisano za pomocą równań różniczkowych: ( M + m + mm && x + + ( ms + mm( R + r (&& ϕ sin ϕ + & ϕ cosϕ mm&& r cosϕ + mmr& & ϕ sin ϕ = Q sin( ωt ( I0 + mm ( R + r && ϕ + c1 & ϕ + mm && ϕr( R + + (&& x + g ( ms + m ( R + r sinϕ = 0 kx + cx& + d tanh(10 x& + m mm&& r mm cosϕ + k r + k r + αi = 0 L Cewki (&& x + g m & ϕ ( R + r m r + + (1 ( ( i& + R i α r& = 0 (4 Całałkowity gdzie: k=ksma+k, RCałkowity=RCewki+RRezystora, Q=kx0. W tabeli 1 przedstawiono wartości podstawowych parametrów układu. Tabela 1. Przyjęte parametry modelu Parametr Symbol Wartość Masa oscylatora M 0.4kg Masa wahadła m 0.45kg Masa magnesu ruchomego mm 0.09kg Moment bezwładności wahadła I kgm Środek ciężkości wahadła s 0.18m Sztywność sprężyny k 1000N/m Amplituda wymuszenia x0 0.05m Położenie środka cewki R 0.17m Indukcyjność cewki Lcewki 1.46H Całkowita rezystancja RCałkowita 100Ω Oba układy, mechaniczny i elektryczny, są sprzężone, tj. siła elektrodynamiczna (FME jest równa sile elektromotorycznej (EEM, których wartości mogą zostać określone z zależności: F ME ( r i = E ( r r&. = α = α (5 Na podstawie badań opisanych w pracy [6] stwierdzono, że wartość parametru tzw. współczynnik sprzęgnięcia α(r zależy od odległości pomiędzy środkiem ruchomego magnesu a środkiem cewki (w modelu jest to współrzędna r. Relację α(r przybliżono za pomocą aproksymacji wielomianem: α ( r + α r 5 = α r α r 9 1 α r α r 7 1 EM + α r 5 α r (6 gdzie współczynniki wielomianu przyjmują wartości: α1=8.1594e+0vs/m, α=1.5686e+07vs/m 4, α=1.748e +10Vs/m 6, α4=5.4551e+1vs/m 8, α5=1.84e+15vs/m 10, α6=1.5719e+17vs/m 1, α7=7.8157e+18vs/m 14. W kolejnym etapie tworzenia modelu matematycznego wymagane było opisanie oddziaływań pomiędzy magnesami stałymi a ruchomym. Na podstawie literatury zawieszenie magnetyczne zastąpiono nieliniową sprężyną. Podczas symulacji numerycznych siła działająca na ruchomy magnes liczona była z zależności [10]: F Magnesy = k r + k (7 r gdzie: k = 50 N /, k = N /. m m Ostatnim etapem procesu modelowania matematycznego było przyjęcie modeli sprężyny SMA oraz tłumika MR. Siłę w sprężynie SMA przybliżono liniową zależnością: F SMA = βk 0 x. (8 Założono, że w analizowanym zakresie temperatur oraz odkształceń elementu SMA nie zostaną zaobserwowane efekty nieliniowe. Natomiast możliwość zmian stosunku faz martenzyt/austenit wpływać będzie tylko na sztywność sprężyny SMA [1]. W przyjętym opisie parametr k0 definiuje sztywność sprężyny przy 100% udziale fazy martenzytu. Na podstawie przeprowadzonych badań eksperymentalnych sprężyny wykonanej ze stopu Nitinolu, przyjęto, że k0=500n/m. Przebieg przemiany fazowej zależy od temperatury. W przypadku nagrzewania oporowego temperaturę elementu można powiązać z parametrami prądu płynącego przez element. W modelu wpływ temperatury określono za pomocą parametru β, którego wartość może zmieniać się od 1 do 4. Dla β=1 zależność opisuje strukturę z 100% udziałem fazy martenzytu (w niskiej temperaturze, np. pokojowej, natomiast dla β=4 z 100% udziałem fazy austenitu (dla posiadanej sprężyny w temperaturze powyżej 60 C. Na rys. 4 przedstawiono przykładowe charakterystyki sprężyny SMA po zakończeniu nagrzewania oporowego prądem elektrycznym o różnych nastawach. Rys. 4. Charakterystyki sprężyny SMA Tłumik MR opisano za pomocą zmodyfikowanego modelu Binghama, gdzie siła tłumienia jest sumą dwóch członów: tłumienia wiskotycznego oraz tarcia suchego. W modelu numerycznym wyraz związany z tarciem suchym przybliżono funkcją tangensa hiperbolicznego [9]: F MR ( x& = cx& + d tanh 10 (9 gdzie: c=10ns/m, d=cγ. Zmiana parametrów zasilania tłumika MR uwzględniona jest w modelu poprzez parametr γ. W sytuacji kiedy γ=0 tłumik MR nie jest zasila- 6

4 ODZYSKIWANIE ENERGII I DYNAMIKA WAHADŁOWEGO ELIMINATORA DRGAŃ (... ny. Wówczas otrzymana charakterystyka jest zbliżona do liniowej. Po zasileniu elementu przepływający przez niego prąd za pośrednictwem wytwarzanego pola magnetycznego powoduje zwiększenie siły tłumienia. W pracy założono, że wartość parametru γ może przyjmować maksymalną wartość równą. Przykładowe charakterystyki tłumika MR przedstawiono na rys. 5. Rys. 5. Charakterystyki tłumika MR. BADANIA NUMERYCZNE Na podstawie równań różniczkowych (1-4 opracowano model numeryczny testowanego układu w oprogramowaniu MATLAB 016b. Do obliczeń wykorzystywano metodę numeryczną ode15i, która jest przeznaczona do równań różniczkowych zwyczajnych zapisanych w sposób niejawny [1]. Symulacje przeprowadzano dla dwóch zestawów warunków początkowych: bez aktywacji eliminatora (brak ruchu wahadła [ x ', x& ', ϕ ', & ϕ', r', r& ', i' ] = [0,0,0,0,0,0,0], (10 z aktywacją eliminatora π [ x, x&, ϕ, & ϕ, r, r&, i] = [0,0,,0,0,0,0]. (11 W celu odróżnienia odpowiedzi otrzymywanych dla poszczególnych przypadków obliczeń (układu z lub bez aktywacji eliminatora wprowadzono w zapisie równań (10, 1 i 1 dodatkowe oznaczenie za pomocą tzw. prima (. W sytuacji, kiedy wahadło nie jest wychylone z dolnego położenia równowagi (10, nie może zostać zainicjowany proces redukcji drgań z jego udziałem. W pracy wyniki uzyskane podczas symulacji z brakiem możliwości aktywowania eliminatora wykorzystywane są jako referencyjne. Po zmianie warunków początkowych na zestaw opisany równaniem (11 istnieje możliwość zmniejszenia poziomu drgań układu podstawowego poprzez przekazanie części energii na ruch eliminatora. W trakcie przeprowadzonych analiz porównywano wyniki otrzymywane z symulacji układu dla tych samych parametrów, ale różnych warunków początkowych (10, 11. Autorzy zaproponowali wskaźniki jakości, które zastosowano do opisu efektywności redukcji drgań układu podstawowego J1 oraz poziomu odzyskiwanej energii J: ( x ( x', ( i' ( i. J 1 = (1 J = (1 W zaproponowanych wskaźnikach stosunki wartości skutecznych odpowiedzi układu z i bez aktywacji eliminatora są odpowiednio dobrane. W sytuacji, kiedy poszczególne wskaźniki przyjmują wartość równą jedności, odpowiedzi układu dla obu zestawów warunków początkowych są identyczne. Natomiast przy wartościach wskaźników jakości mniejszych od jedności bardziej korzystne właściwości ma układ z aktywowanym eliminatorem. Dlatego optymalnym rozwiązaniem byłoby znalezienie takich parametrów układu, gdy oba wskaźniki mają wartości wyraźnie mniejsze od jedności. Na rycinach 6-9 przedstawiono zmianę wartości wskaźników jakości w funkcji częstotliwości wymuszenia ω oraz zmiany właściwości sprężyny SMA (parametr β lub tłumika magnetoreologicznego (parametr γ. Przedstawione charakterystyki są w postaci map, gdzie obszary parametrów o najbardziej korzystnych wartościach wskaźników są koloru czarnego. Analizując wyniki, otrzymane przy zmianie sztywności sprężyny SMA (rys. 6 i 7, można zaobserwować obszary, gdzie przyjęte kryteria wykazują zgodność oraz są w konflikcie. Na przykład dla częstości ω=40rad/s i parametru β=1 na obu charakterystykach występuje kolor czarny. Oznacza to, że rozwiązanie z aktywowanym eliminatorem wykazuje wyższy poziom redukcji drgań oraz odzyskiwania energii od odpowiedzi referencyjnych (układu bez aktywacji eliminatora. Natomiast przy ω=5rad/s i β=1.5 zabarwienie kolorowych map jest skrajnie różne. Zatem wartość współczynnika J1 przyjmuje wartość korzystną (kolor czarny, rys. 6, podczas gdy wskaźnik J wręcz przeciwnie niekorzystną (kolor zbliżony do białego, rys. 7. Zmiana parametru β powoduje wzrost sztywności zawieszenia układu podstawowego. Usztywnienie zawieszenia skutkuje "odchylaniem" się obszarów na otrzymanych charakterystykach. Najlepiej to widać na rys. 7, gdzie najjaśniejsze obszary wraz ze wzrostem β jednocześnie ulegają odchyleniu w stronę niższych lub wyższych częstości oraz ulegają zwężeniu. 64

5 Andrzej Mitura, Krzysztof Kęcik Rys. 6. Zmiana wskaźnika J1(β,ω, γ=0 Rys. 7. Zmiana wskaźnika J1(β,ω, γ=0 Rys. 8. Zmiana wskaźnika J1(γ,ω, β=1 czarnym, korzystnych wartościach współczynników jakości. Natomiast przy ω=8rad/s i γ= zabarwienie kolorowych map jest skrajnie różne. Zatem to rozwiązanie umożliwia lepszą redukcję drgań przy jednoczesnym mniejszym odzyskiwaniu energii niż system bez aktywowanego eliminatora. Większa wartość parametru γ powoduje wzrost tłumienia w zawieszenia układu podstawowego. Zastosowanie tłumika MR nie powoduje wyraźnych odchyleń obszarów w stronę niższych lub wyższych częstości wymuszenia. Jednakże wraz ze wzrostem tłumienia obszary parametrów, gdzie występuje konflikt kryteriów, rozszerzają się. Natomiast szerokość obszaru, gdzie na obu charakterystykach dominował kolor czarny dla coraz większych wartości γ ulega zwężeniu. Przy około γ=0.5 pożądany obszar zanika. Przedstawioną powyżej analizę wpływu zmiany sztywności i tłumienia zawieszenia oscylatora na wartości przyjętych wskaźników jakości poparto przykładowymi przebiegami czasowymi odpowiedzi układu. Na rysunkach 10-1 przedstawiono krótkie fragmenty otrzymanych wyników numerycznych dla wartości parametrów, gdzie obydwa wskaźniki jakości posiadają wartości mniejsze od jedności. Linią ciągłą zaznaczono odpowiedzi referencyjne układu, czyli takiego, gdzie eliminator, wahadło nie było aktywowane. Taki stan uwidacznia się na rys. 11, gdzie kąt wychylenia wahadła dla każdej chwili czasu jest równy zero. Natomiast linia przerywana pokazuje przebieg czasowy z aktywnym eliminatorem. Porównując obie serie, można zaobserwować, że na rysunkach 10 i 1 przebieg linii przerywanej jest bardziej korzystny, tj. charakteryzuje się mniejszymi drganiami x(t oraz umożliwia odzyskiwanie większej ilości energii elektrycznej i(t. Podkreślenia wymaga fakt, iż w trakcie tej symulacji numerycznej wahadło wykonuje ruch nieregularny. Ruch chaotyczny eliminatora składa się z przypadkowych sekwencji zarówno krótkotrwałych rotacji w prawo lub lewo jak i oscylacji (rys. 11. Rys. 9. Zmiana wskaźnika J(γ,ω, β=1 Analizując wyniki otrzymane przy zmianie tłumienia za pomocą tłumika magnetoreologicznego MR (rys. 8 i 9, także można zaobserwować obszary, gdzie przyjęte kryteria wykazują zgodność lub są sprzeczne. Na przykład w pobliżu punktu o częstości ω=40rad/s i parametru γ=0 na obu charakterystykach dominuje obszar o kolorze Rys. 10. Fragment przebiegu czasowego x(t przy ω=40rad/s, β=1, γ=0. Linia ciągła - warunek początkowy (9, linia przerywana- 65

6 ODZYSKIWANIE ENERGII I DYNAMIKA WAHADŁOWEGO ELIMINATORA DRGAŃ (... Rys. 11. Fragment przebiegu czasowego φ(t przy ω=40rad/s, β=1, γ=0. Linia ciągła - warunek początkowy (9, linia przerywana- Rys. 14. Fragment przebiegu czasowego φ(t przy ω=8rad/s, β=1, γ=. Linia ciągła - warunek początkowy (9, linia przerywana- Rys. 1. Fragment przebiegu czasowego i(t przy ω=40rad/s, β=1, γ=0. Linia ciągła - warunek początkowy (9, linia przerywana- Na rycinach 1-15 przedstawiono przebiegi czasowe dla parametrów układu, gdy wskaźniki jakości przyjmowały wartości mówiące o sprzeczności kryteriów oceny jakości analizowanych efektów. Przy zastosowaniu zwiększonego tłumienia γ= otrzymane wyniki obliczeń numerycznych dla układu z aktywowanym eliminatorem drgań posiadają mniejszy poziom niż dla odpowiedzi referencyjnych. Można to zaobserwować, porównując serie oznaczone linią przerywaną z liniami ciągłymi (system bez aktywacji eliminatora na rysunkach 1 i 15. Mniejsze drgania sygnałów x(t, i(t w stosunku do odpowiedzi referencyjnych powodują zmniejszenie zarówno niepożądanych drgań obiektu głównego jak i możliwości odzyskiwania energii elektrycznej. Powstały konflikt kryteriów wystąpił w sytuacji, gdy wahadło wykonywało ruch regularny (rys. 14. Rys. 15. Fragment przebiegu czasowego i(t przy ω=8rad/s, β=1, γ=. Linia ciągła - warunek początkowy (9, linia przerywana- 4. PODSUMOWANIE W pracy przeprowadzono badania numeryczne modelu układu autoparametrycznego z wahadłem oraz systemem cewka-ruchomy magnes. Otrzymane wyniki wykazały możliwość współistnienia dwóch efektów: redukcji drgań układu podstawowego i możliwości odzyskiwania energii elektrycznej. Dzięki zastosowaniu zaproponowanych wskaźników możliwe jest wyznaczenie obszarów parametrów, gdzie występuje kompromis lub sprzeczność założonych kryteriów jakości. Zastosowanie nowoczesnych materiałów (sprężyny SMA i tłumika MR pozwala na sterowanie kształtem i położeniem pożądanych rozwiązań. Pełne zrozumienie mechanizmów rządzących procesem sterowania wymaga dalszych badań. Autorzy planują kontynuować ten temat w kolejnych badaniach numerycznych oraz eksperymentalnych. Najbardziej korzystne wartości wskaźników jakości zostały otrzymane, gdy wahadło wykonywało ruch chaotyczny. Uzyskana wówczas poprawa właściwości w stosunku do rozwiązania referencyjnego była prawie dwukrotna, tj. wartości współczynników J1 i J zbliżały się nawet do wartości 0.5. Praca została sfinansowana w ramach projektu badawczego DEC-01/11/D/ST8/011 przez Narodowe Centrum Nauki. Rys. 1. Fragment przebiegu czasowego x(t przy ω=8rad/s, β=1, γ=. Linia ciągła - warunek początkowy (9, linia przerywana- 66

7 1. Andrzej Mitura, Krzysztof Kęcik Literatura 1. An S.M., Ryu J., Cho M., Cho K.J.: Engineering design framework for a shape memory alloy coil spring actuator using a static two- state model. Smart Materials and Structures 01, Vol. 1, p Berlioz A., Dufour R., Sinha S.C.: Bifurcation in a nonlinear autoparametric system using experimental and numerical investigations. Nonlinear Dynamics 000, Vol., p Gus'kov A.M., Panovko G.Y., Van Bin C.: Analysis of the dynamics of a pendulum vibration absorber. Journal of Machinery Manufacture and Reliability 008, Vol. 7, p Kecik K., Borowiec M.: An autoparametric energy harvester. European Physical Journal 01, Vol., p Kecik K., Brzeski P., Perlikowskii P.: Non-linear dynamics and optimization of a harvester absorber sys- system. Interna- tem. International Journal of Structural Stability and Dynamics 017, Vol. 17, p Kecik K., Mitura A., Lenci S., Warminski J.: Energy harvesting from a magnetic levitation tional Journal of Nonlinear Mechanics 017, Vol. 94, p Kecik K., Mitura A., Sado J., Warminski J.: Magnetorheological damping and semi-active control of an autoparametric vibration absorber. Meccanica 014, Vol. 49, p Kecik K., Mitura A., Warminski J., Efficiency analysis of an autoparametric pendulum vibration absorber. Eksploatacja i Niezawodność - Maintenance and Reliability 01, Vol. 15, p Kwok N.M., Ha Q.P., Nguyen T.H., Samali J.L.B.: A novel hysteretic model for magnetorheological fluid damp- Physical 006, Vol. ers and parameter identification using particle swarm optimization. Sensors and Actuators: 1, p Mann B.P., Sims N.D.: Energy harvesting from the nonlinear oscillations of magnetic levitation. Journal of Sound and Vibration 009, Vol. 19, p Mitura A., Kecik K., Warminski J., Jarzyna W., Lenci S.: A numerical study of an autoparametric system with electromagnetic energy harvester. In: Proceedings of the ECCOMAS Thematic Conference on Multibody Dy- absorber. Nu- namics 015, p Mitura A., Kecik K.: Influences of system parameters on energy harvesting from autoparametric merical research. Vibration in Physical Systems 016, Vol. 7, p /ref/ode15i.html Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa.0 Polska. 67