Hipotezy wytężenia materiału. σ zast σ 0 lub

Transkrypt

1 Hiptez wtężenia materiału Hiptez wtężenia kreślają stan fizczn (stan naprężenia lub dkształcenia), dpwiadając siągnięciu w danm punkcie ciała granic niebezpiecznej [, 5]. Najczęściej granicę niebezpieczną k kreśla się jak granicę sprężstści, granicę plastcznści i wtrzmałść draźną w dniesieniu d naprężeń, graniczne dkształcenie prz zarswaniu betnu lub dkształcenie plastczne dla stali. Granicę niebezpieczną kreśla się na gół za pmcą badań labratrjnch, np. jednsiwe rzciąganie próbki stalwej, jednsiwe rzciąganie próbki stalwej, jednsiwe ściskanie próbki betnwej, trójsiwe ściskanie próbki gruntu itp. Pwszechnie przjmuje się, że pdstawwm badaniem labratrjnm jest próba jednsiweg rzciągania, dnszna d naprężenia 0. W przpadku złżnch 0 = stanów naprężeń, jakie mgą pwstać w punkcie materialnm dkształcalneg ciała C, pjawia się prblem wprwadzenia skalarneg naprężenia zastępczeg. Takie naprężenie zast, w gólnści zależne d sześciu składwch tensra naprężeń będzie użwane jak miara wtężenia materiału. Temu prblemwi pświęcn wiele badań teretcznch i dświadczalnch, Przjęt w nich, że zast kreśla się jak funkcję: zast 0 lub F( ij ) F (), (5.43) gdzie jest macierzą jednklumnwą pisaną we wierszu, pdbnie jak ntacja Vigta (5.) (różnica plega na uprządkwaniu naprężeń stcznch): = {,, z, τ, τ z, τ z } = {,, 3,0,0,0}. (5.44) W dalszm ciągu mawiania prblemów wtężenia będziem przjmwali algebraiczne uprządkwanie naprężeń głównch według ich wartści: 3. (5.45) Pszczególne hiptez mają bądź interpretację fizkalną, bądź jednie pstać matematczną. Hiptez są dnszne na gół d niezmienników stanu naprężenia lub dkształcenia. Pdstawwa klasfikacja hiptez bejmuje trz grup, pr. [5]: A. Hiptez naprężeniwe; B. Hiptez dkształceniwe; C. Hiptez energetczne. Dalej wmieniam tlk wbrane hiptez i uwagę skupim na dwóch hiptezach najczęściej stswanch.

2 A. Hiptez naprężeniwe A. Hipteza Galileusza maksmalnch naprężeń przjmuje, że siągnięciu granic niebezpiecznej decduje maksmalne naprężenie główne: = k. (5.46) Naprężenie zredukwane jest kreślne wzrem: 0= ma (,, 3) dla > 0., (5.47) Najczęściej stan niebezpieczn dnsim d jednsiweg rzciągania, kreślając w ten spsób naprężenie zastępcze: zast 0 = k. (5.48) Dalej będziem hiptez ilustrwali na przkładzie płaskieg stanu naprężeń (PN). W tm stanie w płaszczźnie (, ) naprężenia,, τ mgą przjmwać różne wartści, natmiast naprężenia z indeksami z z załżenia zerują się (bszerniej PSN jest dskutwan w Rzdz. 7): τ = τ = 0. (5.49) z = z z W płaszczźnie (, ) naprężenia główne, bliczane wzrami znanmi z WM bliczam jak naprężenia dwuwmiarwe. Wbec kniecznści rzpatrwania w hiptezach wtężenia stanów trójwmiarwch będziem naprężenia główne z WM pisali jak dnszące naprężenia nieuprządkwane:, = ( + ) ± ( ) + 4τ (5.50) W dniesieniu d hiptez Galileusza dla PN stsujem wzór = ( + ) + ( ) + 4τ dla + > 0. (5.50 PSN) Hipteza Galileusza pwstała w rku 63 i ma znaczenie histrczne. Daje na cen stanu niebezpieczneg w wielu przpadkach znacznie dbiegające d dświadczeń labratrjnch nad wtężeniem materiałów. Isttną wadą tej hiptez jest mżliwść jej stswania jednie d ddatniej wartści maksmalneg naprężenia główneg. A. Hipteza Clebscha-Rankina W płwie XIX wieku pjawił się prpzcje Clebscha i Rankina jak ugólnienie hiptez Galileusza na ujemne wartści naprężeń głównch. W hiptezie C-R przjmuje się, że siągnięciu stanu niebezpieczneg decduje bądź największe, bądź też algebraicznie najmniejsze naprężenie główne: = k = κ k, gdzie κ = k /. jest stałą materiałwą. (5.5) r, 3 r c kr

3 W dróżnieniu d hiptez Galileusza hipteza CR jest hiptezą dwuparametrwą. Tak jak hipteza G, również hipteza CR nie zstała dstatecznie ptwierdzna dświadczeniami na mdelach materialnch. A. Hipteza Tresci-Guesta największch naprężeń stcznch: 3 = τma = k, (5.5) a więc naprężenie zredukwane wnsi: =. (5.53) 3 O wtężeniu materiału ciała dkształcalneg decduje maksmalna, bezwzględna wartść pdwjnch maksmalnch naprężeń stcznch: (,, ). = ma 3 3 (5.54) Warunki stanu niebezpieczneg mżna też napisać dla nieuprządkwanch naprężeń głównch,, 3 stanu bezpieczneg: k, 3 k, 3 k. (5.55) W przpadku stanu PN naprężenia główne mżna przjąć jak trójkę liczb nieuprządkwanch {,,, 0 } skąd warunki stanu niebezpieczneg dla hiptez Tresci-Guesta (TG) kreślają linie prste, pr. Rs.5.4a: =, =, =, =, =, =. (5.56P) k k k k k k Na Rs. 5.4a pkazan krzwe graniczne na płaszczźnie naprężeń głównch (, ). Określa na bszar naprężeń bezpiecznch dla płaskieg stanu naprężenia. Rs. 5.4: a) Krzwa graniczna dla płaskieg stanu naprężenia, b) Krzwa graniczna dla belki, w dniesieniu d naprężenia nrmalneg i stczneg τ W zastswaniu d belek mżem przjąć uprszczne znaczenia τ τ i na pdstawie warunku (5.56P) dchdzim d pstaci:, 0, = + 4τ (5.56B) 3

4 E. Hiptez dkształceniwe B. Hipteza Saint-Venanta największeg wdłużenia jest też kreślana wzrem w przestrzeni naprężeń. Niżej graniczam się tlk d pdania jednej wersji hiptez SV. E ε = ( + ), ν ( + ) = k. (5.57) ma ν 3 3 B. Zmdfikwana hipteza SV (hipteza Saint-Venanta - Grashfa) granicza zarówn największe wdłużenia jak też skrócenia i ma pstać: E = ε ma ν( + 3) kr, E min 3 ν ( + ) = kc ε. (5.58) Ta hipteza jest dwuparametrwa i wmaga danch dświadczalnch dla naprężeń zastępczch k r i k c na rzciąganie i ściskanie. Granica niebezpieczna jest siągana jeśli jeden z warunków (5.58) jest spełnin. C. Hiptez energetczne C. Hipteza Beltramieg całkwitej energii sprężstej krzsta ze wzru (5.3.), któr mżna dnieść d przestrzeni naprężeń głównch Φ = [ ν( )]. (5.59) E Jeśli ten wzór napiszem dla stanu jednsiweg rzciągania, tj. dla t trzmujem: =, =3 = 0 Φ = = EΦgr = k. (5.60) E Wracając d wzru (5.58) trzmujem hiptezę Beltramieg w pstaci: lub 3 = + + ν ( + + ), (5.6.) 3 3 z = + + ν ( + + ) + ( + ν)( τ + τ + τ z 4 z z z ).(5.6.) Hipteza nie znalazła ptwierdzenia dświadczalneg tteż nie jest stswana w bliczeniach inżnierskich C. Hipteza Hubera-Misesa-Henck eg (HMH) energii dkształcenia pstaciweg ma pstać c daje +ν Φ f =, 3E

5 = = [( - ) + ( -3) + (3 -) ], (5.6) lub w dniesieniu d gólnej pstaci tensra naprężeń: z = [( ) + ( z ) + ( z ) + 6( τ + τ z + τ W przpadku płaskieg stanu naprężenia (PN)trzmujem ) ]. (5.6.) a dla belek: 3τ = + = + +, (5.63PSN) + = 3τ. (5.63B) Na Rs. 5.4 b pkazan krzwe graniczne (5.63P) i (5.63B) dla hiptez HMH. C3. Hipteza Burzńskieg (Bu). Ta hipteza pwstała w wniku prac W. Burzńskieg (98) nad ugólnieniami hiptez HMH. Z kilku wersji hiptez prztaczam tlk tzw. przpadek parabliczn, pr. [5], s. 3: ( )( ) ( ) ( ) = χ z χ z 4χ HMH, (5.64) χ gdzie: χ = k c / k r, HMH wzór (5.63), dpwiadając hiptezie HMH. Hipteza HMH (Hubera (904) Misesa (93) Henck eg (94)) jest pwszechnie stswana jak krterium siągnięcia granic plastcznści materiału i wrócim d niej prz mawianiu terii plastcznści. Hiptez HMH i TG Hiptez Hubera-Misesa-Hencke eg (w skrócie HMH) i Tresci-Guesta (TG) znajdują dść dbre ptwierdzenie dświadczalne. Odnsi się t d HMH w dniesieniu d stpów metali (stal, aluminium) i betnu w stanach ściskania, raz hiptez TG w zakresie rzciągania betnu. Olbrzmia wartść praktczna hiptez HMH i TG plega na tm, że dla złżnch stanów naprężeń hiptez pzwalają cenić, cz bliczne naprężenie zastępcze nie przekracza wartści granicznej k. Tak więc bezpieczne stan naprężeń są kreślane przez nierównść k, (5.65) gdzie k jest przjmwane jak granica sprężstści spręż lub plastcznści plast. Na Rs. 5.4 a,b pkazujem krzwe graniczne dla płaskieg stanu naprężenia na płaszczźnie naprężeń głównch wektrze wdzącm = {, }. Jeśli kniec teg wektra nie siągnie krzwej granicznej t jesteśm w bezpiecznm stanie naprężenia (zakres sprężst). Krzwe HMH stsuje się dla stpów metali (w tm stal knstrukcjna i stp aluminiwe), gdż lepiej przlega d wników badań dświadczalnch niż hipteza TG. Natmiast hipteza TG jest stswana d pisu stanu niebezpieczneg betnu i materiałów kruchch. Na Rs. 5.5 pkazan krzwą graniczną dla płaskieg stanu naprężenia. W bszarze 5

6 naprężeń ściskającch stsuje się hiptezę HMH, a prz pjawieniu się naprężeń rzciągającch przjmuje się hiptezę TG. Rs Krzwa graniczna dla płaskieg stanu naprężenia w materiale kruchm. 6