MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

Transkrypt

1 ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

2 Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych par {u, v}, gdzie u, v V i u v. Zbiór E nazywamy zbiorem krawędzi grafu G.

3 Graf nieskierowany

4 Graf nieskierowany PRZYKŁAD (GRAF I) Zilustrować graf G = (V, E), gdzie V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} oraz E = {{1, 2}, {1, 5}, {2, 5}, {3, 6}, {6, 7}}.

5 Graf nieskierowany PRZYKŁAD (GRAF I) Zilustrować graf G = (V, E), gdzie V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} oraz E = {{1, 2}, {1, 5}, {2, 5}, {3, 6}, {6, 7}}. PRZYKŁAD (GRAF II) Podać zbiory E i V poniższego grafu:

6 Graf nieskierowany Jeżeli {u, v} jest krawędzią grafu nieskierowanego G, to mówimy, że {u, v} jest incydentna z wierzchołkami u i v.

7 Graf nieskierowany Jeżeli {u, v} jest krawędzią grafu nieskierowanego G, to mówimy, że {u, v} jest incydentna z wierzchołkami u i v. Stopniem wierzchołka w grafie nieskierowanym nazywamy liczbę incydentnych z nim krawędzi.

8 Graf nieskierowany Jeżeli {u, v} jest krawędzią grafu nieskierowanego G, to mówimy, że {u, v} jest incydentna z wierzchołkami u i v. Stopniem wierzchołka w grafie nieskierowanym nazywamy liczbę incydentnych z nim krawędzi. ĆWICZENIE Podać stopień wierzchołka u = 6 grafu nr I.

9 Graf skierowany Grafem skierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E - zbiór krawędzi grafu G - jest zbiorem uporządkowanych par {u, v} oznaczanych (u, v), gdzie u, v V.

10 Graf skierowany PRZYKŁAD (GRAF III) Zilustrować graficznie graf G = (V, E), gdzie V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} oraz E = {(1, 2), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (4, 1), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}.

11 Graf skierowany PRZYKŁAD (GRAF III) Zilustrować graficznie graf G = (V, E), gdzie V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} oraz E = {(1, 2), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (4, 1), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}. PRZYKŁAD (GRAF IV) Podać zbiory E i V poniższego grafu: a b c d e

12 Graf skierowany Stopniem wierzchołka w grafie skierowanym nazywamy sumę liczby krawędzi wchodzących do wierzchołka i wychodzących z tego wierzchołka.

13 Graf skierowany Stopniem wierzchołka w grafie skierowanym nazywamy sumę liczby krawędzi wchodzących do wierzchołka i wychodzących z tego wierzchołka. PRZYKŁAD Podać stopień wierzchołka u = 2 w grafie III.

14 Ścieżką (drogą) długości k z wierzchołka u do v w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków < v 0, v 1,..., v k > takich, że u = v 0, v = v k,i (v i 1, v i ) E dla i = 1,..., k. Ścieżkę nazywamy prostą, gdy jej wszystkie wierzchołki są różne.

15 Ścieżką (drogą) długości k z wierzchołka u do v w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków < v 0, v 1,..., v k > takich, że u = v 0, v = v k,i (v i 1, v i ) E dla i = 1,..., k. Ścieżkę nazywamy prostą, gdy jej wszystkie wierzchołki są różne. PRZYKŁAD Podać przykłady dróg

16 Ścieżką (drogą) długości k z wierzchołka u do v w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków < v 0, v 1,..., v k > takich, że u = v 0, v = v k,i (v i 1, v i ) E dla i = 1,..., k. Ścieżkę nazywamy prostą, gdy jej wszystkie wierzchołki są różne. PRZYKŁAD Podać przykłady dróg 1 z wierzchołka u = 2 do wierzchołka v = 1 w grafie I;

17 Ścieżką (drogą) długości k z wierzchołka u do v w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków < v 0, v 1,..., v k > takich, że u = v 0, v = v k,i (v i 1, v i ) E dla i = 1,..., k. Ścieżkę nazywamy prostą, gdy jej wszystkie wierzchołki są różne. PRZYKŁAD Podać przykłady dróg 1 z wierzchołka u = 2 do wierzchołka v = 1 w grafie I; 2 z wierzchołka u = 1 do wierzchołka v = 3 w grafie I;

18 Ścieżką (drogą) długości k z wierzchołka u do v w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków < v 0, v 1,..., v k > takich, że u = v 0, v = v k,i (v i 1, v i ) E dla i = 1,..., k. Ścieżkę nazywamy prostą, gdy jej wszystkie wierzchołki są różne. PRZYKŁAD Podać przykłady dróg 1 z wierzchołka u = 2 do wierzchołka v = 1 w grafie I; 2 z wierzchołka u = 1 do wierzchołka v = 3 w grafie I; 3 z wierzchołka u = 1 do wierzchołka v = 4 w grafie III;

19 Ścieżką (drogą) długości k z wierzchołka u do v w grafie G nazywamy ciąg wierzchołków < v 0, v 1,..., v k > takich, że u = v 0, v = v k,i (v i 1, v i ) E dla i = 1,..., k. Ścieżkę nazywamy prostą, gdy jej wszystkie wierzchołki są różne. PRZYKŁAD Podać przykłady dróg 1 z wierzchołka u = 2 do wierzchołka v = 1 w grafie I; 2 z wierzchołka u = 1 do wierzchołka v = 3 w grafie I; 3 z wierzchołka u = 1 do wierzchołka v = 4 w grafie III; 4 z wierzchołka u = 3 do wierzchołka v = 6 w grafie III.

20 Mówimy, że v jest osiągalny z u, gdy istnieje ścieżka z u do v.

21 Mówimy, że v jest osiągalny z u, gdy istnieje ścieżka z u do v. PRZYKŁAD Rozważmy graf III. Stwierdzić czy

22 Mówimy, że v jest osiągalny z u, gdy istnieje ścieżka z u do v. PRZYKŁAD Rozważmy graf III. Stwierdzić czy 1 wierzchołek u = 5 jest osiągalny z wierzchołka v = 4;

23 Mówimy, że v jest osiągalny z u, gdy istnieje ścieżka z u do v. PRZYKŁAD Rozważmy graf III. Stwierdzić czy 1 wierzchołek u = 5 jest osiągalny z wierzchołka v = 4; 2 wierzchołek u = 3 jest osiągalny z wierzchołka v = 1;

24 Mówimy, że v jest osiągalny z u, gdy istnieje ścieżka z u do v. PRZYKŁAD Rozważmy graf III. Stwierdzić czy 1 wierzchołek u = 5 jest osiągalny z wierzchołka v = 4; 2 wierzchołek u = 3 jest osiągalny z wierzchołka v = 1; 3 wierzchołek u = 2 jest osiągalny z wierzchołka v = 5.

25 Cykle Mówimy, że w grafie skierowanym ścieżka < v 0, v 1,..., v k > tworzy cykl, jeśli v 0 = v k Cykl nazywamy prostym, gdy v 1,..., v k są różne.

26 Cykle Mówimy, że w grafie skierowanym ścieżka < v 0, v 1,..., v k > tworzy cykl, jeśli v 0 = v k Cykl nazywamy prostym, gdy v 1,..., v k są różne. Pętlą nazywamy cykl o długosci 1.

27 Cykle Mówimy, że ścieżka < v 0, v 1,..., v k > tworzy cykl w grafie nieskierownym, gdy v 0 = v k, v 1,..., v k są różne i k > 2.

28 Cykle Mówimy, że ścieżka < v 0, v 1,..., v k > tworzy cykl w grafie nieskierownym, gdy v 0 = v k, v 1,..., v k są różne i k > 2. Graf nie zawierający cykli nazywamy acyklicznym.

29 Cykle Mówimy, że ścieżka < v 0, v 1,..., v k > tworzy cykl w grafie nieskierownym, gdy v 0 = v k, v 1,..., v k są różne i k > 2. Graf nie zawierający cykli nazywamy acyklicznym. Acykliczny graf nieskierowany nazywamy lasem.

30 PRZYKŁAD Podać przykład

31 PRZYKŁAD Podać przykład 1 sciezki prostej w grafie III;

32 PRZYKŁAD Podać przykład 1 sciezki prostej w grafie III; 2 cyklu w grafie III;

33 PRZYKŁAD Podać przykład 1 sciezki prostej w grafie III; 2 cyklu w grafie III; 3 cyklu prostego w grafie III;

34 PRZYKŁAD Podać przykład 1 sciezki prostej w grafie III; 2 cyklu w grafie III; 3 cyklu prostego w grafie III; 4 sciezki prostej w grafie I;

35 PRZYKŁAD Podać przykład 1 sciezki prostej w grafie III; 2 cyklu w grafie III; 3 cyklu prostego w grafie III; 4 sciezki prostej w grafie I; 5 sciezki prostej w grafie II.

36 PRZYKŁAD Podać przykład 1 sciezki prostej w grafie III; 2 cyklu w grafie III; 3 cyklu prostego w grafie III; 4 sciezki prostej w grafie I; 5 sciezki prostej w grafie II. 6 grafu zawierajcego petle.

37 Macierz sąsiedztwa Niech dany będzie graf G = (V, E) o wierzchołkach ponumerowanych od 1 do k, gdzie k = V. Macierzą sąsiedztwa grafu G nazywamy macierz A = [a ij ] k k zdefiniowana następująco a ij := { 1, gdy (i, j) E 0, gdy (i, j) / E.

38 Macierz sąsiedztwa Niech dany będzie graf G = (V, E) o wierzchołkach ponumerowanych od 1 do k, gdzie k = V. Macierzą sąsiedztwa grafu G nazywamy macierz A = [a ij ] k k zdefiniowana następująco a ij := { 1, gdy (i, j) E 0, gdy (i, j) / E. PRZYKŁAD Wyznaczyć macierz sąsiedztwa dla grafów I i III.

39 PRZYKŁAD Narysować graf nieskierowany, którego macierz sąsiedztwa jest następująca

40 PRZYKŁAD Narysować graf nieskierowany, którego macierz sąsiedztwa jest następująca PRZYKŁAD Narysować graf skierowany, którego macierz sąsiedztwa jest następująca

41 Podgraf Mówimy,że graf G = (V, E ) jest podgrafem grafu G = (V, E), jeśli V V oraz E E.

42 Podgraf Mówimy,że graf G = (V, E ) jest podgrafem grafu G = (V, E), jeśli V V oraz E E.

43 Grafy specjalne Grafem pełnym nazywamy graf nieskierowany, w którym każda para wierzchołków połączona jest krawędzią.

44 Grafy specjalne Grafem pełnym nazywamy graf nieskierowany, w którym każda para wierzchołków połączona jest krawędzią. Grafem dwudzielnym nazywamy taki graf nieskierowany G = (V, E), w którym V = V 1 V 2, przy czym zbiory V 1, V 2 są rozłączne oraz (u, v) E u V 1, v V 2 lub u V 2, v V 1.

45 Graf spójny, składowa grafu Graf jest spójny, jeśli każda para różnych wierzchołków jest połączona drogą w tym grafie.

46 Graf spójny, składowa grafu Graf jest spójny, jeśli każda para różnych wierzchołków jest połączona drogą w tym grafie. Spójny podgraf grafu G, który nie jest zawarty w żadnym większym spójnym podgrafie tego grafu, nazywamy składową grafu G.

47 Graf spójny, składowa grafu Graf jest spójny, jeśli każda para różnych wierzchołków jest połączona drogą w tym grafie. Spójny podgraf grafu G, który nie jest zawarty w żadnym większym spójnym podgrafie tego grafu, nazywamy składową grafu G. Spójny, acykliczny graf nieskierowany nazywamy drzewem (wolnym).

48 Lemat o podawaniu rąk LEMAT Niech G = (V, E) będzie grafem nieskierowanym. Oznaczmy przez D i (G), i = 1,..., V 1 ilość wierzchołków stopnia i w grafie G. Wówczas: suma stopni wierzchołków grafie jest dwa razy większa od liczby krawędzi - to znaczy: oraz deg(v) = 2 E v V D 1 (G) + 2D 2 (G) + 3D 3 (G) ( V 1)D V 1 = 2 E

49 Problem mostów królewieckich Przez Królewiec przepływa rzeka Pregoła, w któ rej rozwidleniach znajdują się 2 wyspy. Fragmenty lądu łączy układ 7 mostów, jak na rysunku:

50 Problem mostów królewieckich Problem: Czy można przejść przez każdy most dokładnie 1 raz i wrócić do punktu wyjścia? W 1736 roku szwajcarski matematyk, Leonard Euler rozwiązał powyższy dylemat.

51 Problem mostów królewieckich Problem: Czy można przejść przez każdy most dokładnie 1 raz i wrócić do punktu wyjścia? W 1736 roku szwajcarski matematyk, Leonard Euler rozwiązał powyższy dylemat. Sytuację opisał za pomocą multigrafu, zastępując obszary lądu wierzchołkami, a mosty - łączącymi je krawędziami:

52 Cykl Eulera, droga Eulera Cykl Eulera - droga zamknięta przechodząca przez każdą krawędź grafu dokładnie raz.

53 Cykl Eulera, droga Eulera Cykl Eulera - droga zamknięta przechodząca przez każdą krawędź grafu dokładnie raz. Droga Eulera - droga przechodząca przez każdą krawędź grafu dokładnie raz.

54 Rozwiązanie problemu STWIERDZENIE Graf, który posiada cykl Eulera musi mieć wszystkie wierzchołki stopnia parzystego.

55 Rozwiązanie problemu STWIERDZENIE Graf, który posiada cykl Eulera musi mieć wszystkie wierzchołki stopnia parzystego. WNIOSEK Graf, który posiada drogę Eulera ma albo dokładnie 2 wierzchołki stopnia nieparzystego, albo nie ma w ogóle takich wierzchołków.

56 Twierdzenie Eulera TWIERDZENIE Graf spójny, w którym każdy wierzchołek ma stopień parzysty, posiada cykl Eulera.

57 Twierdzenie Eulera TWIERDZENIE Graf spójny, w którym każdy wierzchołek ma stopień parzysty, posiada cykl Eulera. WNIOSEK Graf spójny, mający dokładnie 2 wierzchołki stopnia nieparzystego, posiada drogę Eulera.

58 Ross K.A., Wright C.R., Matematyka dyskretna, PWN, Warszawa, Cormen T.H., Leiserson C.E., Rivest R.L. Wprowadzenie do algorytmów, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1990 (str , )