Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania
|
|
- Grażyna Żurawska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 2013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych Poddziaªanie.1.1 Programu Operacyjnego Kapitaª Ludzki
2 Spis tre±ci 2
3 1 Wst p Przeszukiwanie grafu Przeszukiwanie (przegl danie) grafu = systematyczne przechodzenie wzdªu» jego kraw dzi w celu odwiedzenia wszystkich wierzchoªków. Sªu»y m.in. do zbierania informacji o strukturze grafu. Algorytmy grafowe cz sto zaczyna si od przeszukania wej±ciowego grafu. Wiele bardziej zaawansowanych algorytmów grafowych jest modykacj podstawowych algorytmów przeszukiwania. Dwie metody przeszukiwania grafu: w gª b (ang. depth-rst search, DFS), wszerz (ang. breadth-rst search, BFS). W obu metodach b dziemy iterowa po s siadach danego wierzchoªka. Dlatego najwygodniejsz reprezentacj grafu s listy s siedztwa. Oznaczenia: Adj = tablica list s siedztwa; dla u V, Adj[u] = lista s siadów u w grae G. Uwaga. Iteracj po s siadach danego wierzchoªka mo»na ªatwo zrealizowa równie» na macierzy s siedztwa. Jest to jednak bardziej kosztowne w sensie zªo»ono±ci obliczeniowej. 2 DFS 2.1 Przeszukiwanie grafu w gª b Ustalmy graf niezorientowany G = (V, E). Z ustalonego wierzchoªka ¹ródªowego w si gamy coraz gª biej w graf, je»eli jest to tylko mo»liwe. badamy wszystkie niezbadane dot d kraw dzie ostatnio odwiedzonego wierzchoªka v, gdy wszystkie kraw dzie v s zbadane, wracamy do wierzchoªka, z którego v zostaª odwiedzony, proces kontynuujemy dopóki wszystkie wierzchoªki osi galne z wierzchoªka ¹ródªowego w nie zostan odwiedzone. Je»eli po powy»szym procesie pozostanie jakikolwiek nie odwiedzony wierzchoªek u, kontynuujemy przeszukiwanie traktuj c go jako nowy wierzchoªek ¹ródªowy. Caªy proces powtarzamy, a» wszystkie wierzchoªki w grae zostan odwiedzone. Nale»y zatem zapami tywa stany, w jakich znajduj si w danej chwili wierzchoªki. Do zapisania aktualnego stanu wierzchoªka u»ywamy jednego z trzech kolorów: biaªy wszystkie wierzchoªki na pocz tku; wierzchoªek odwiedzany po raz pierwszy kolorujemy na szaro; wierzchoªek przetworzony (= lista jego s siadów jest caªkowicie zbadana) kolorujemy na czarno.
4 Uwaga. Tak naprawd w najprostszej implementacji wystarcz dwa stany: nieodwiedzony i odwiedzony. Jednak dokªadniejsze rozró»nienie stanów pozwala lepiej zrozumie ide DFS oraz jest wykorzystywane w niektórych zastosowaniach. DFS-Visit(G, u) 2 kolor(u) := szary; 3 for ka»dy v Adj[u] do if kolor(v) = biaªy then DFS-Visit(G, v); 5 kolor(u) := czarny; end; Przebieg algorytmu dla u =
5
6 Zauwa»my,»e po wywoªaniu DFS-Visit dla wierzchoªka u wierzchoªki, które nie s osi galne z u pozostan nieodwiedzone (biaªe). Aby zatem przejrze caªy graf, nale»y wywoªywa DFS- Visit dopóki b d biaªe wierzchoªki. Peªen przebieg algorytmu DFS jest realizowany przez poni»sz procedur :
7 7 DFS(G) 2 for ka»dy u V(G) do 3 kolor(u) := biaªy; for ka»dy u V(G) do 5 if kolor(u) = biaªy then DFS-Visit(G, u); 7 end; Zªo»ono± czasowa: O( V + E ): odwiedzamy ka»dy wierzchoªek i (dwukrotnie!) ka»d kraw d¹. przechowywanie kolorów, przechowywanie wierz- Zªo»ono± pami ciowa: O( V ): choªków na stosie rekurencji. 3 Zastosowania DFS 3.1 Badanie spójno±ci Podstawowe zastosowania: Sprawdzanie spójno±ci grafu. Wyznaczanie skªadowych spójno±ci grafu. Zauwa»my,»e w procedurze DFS wywoªujemy DFS-Visit dokªadnie tyle razy, ile jest skªadowych spójno±ci w grae G. W szczególno±ci, gdy graf jest spójny, DFS-Visit zostanie wywoªana dokªadnie raz przez procedur DFS. Nietrudno uzupeªni procedur DFS o kod zliczaj cy skªadowe spójno±ci, jak równie» przypisuj cy wierzchoªkom numer skªadowej. 3.2 DFS - inne zastosowania Inne zastosowania: Wyznaczanie silnie spójnych skªadowych (w wersji dla grafu skierowanego). Sortowanie topologiczne grafu zorientowanego (bez zorientowanych cykli). Generowanie labiryntów. Znajdowanie drogi w labiryncie. Zainteresowanych odsyªamy do literatury (patrz te» dodatkowe materiaªy do wykªadu i zaj laboratoryjnych). BFS.1 Przeszukiwanie grafu wszerz Z ustalonego wierzchoªka ¹ródªowego s przegl damy kolejne wierzchoªki z niego osi galne. wierzchoªki w odlegªo±ci (=najmniejszej liczbie kraw dzi) k od ¹ródªa s odwiedzane przed wierzchoªkami w odlegªo±ci k + 1,
8 granica mi dzy wierzchoªkami odwiedzonymi i nieodwiedzonymi jest przekraczana jednocze±nie na caªej jej szeroko±ci. Je»eli po powy»szym procesie pozostanie jakikolwiek nie odwiedzony wierzchoªek u, kontynuujemy przeszukiwanie traktuj c go jako nowy wierzchoªek ¹ródªowy. Caªy proces powtarzamy, a» wszystkie wierzchoªki w grae zostan odwiedzone. Ka»dy wierzchoªek posiada jeden z 3 kolorów: biaªy, szary lub czarny (podobnie jak w DFS). Na pocz tku wszystkie wierzchoªki s biaªe. Wierzchoªki szare s przechowywane w kolejce FIFO. Po jej opuszczeniu kolorujemy je na czarno. 8.2 Kolejka FIFO Kolejka FIFO Q jest dynamiczn struktur danych w formie ci gu, do której mo»na doª czy skªadnik tylko w jednym ko«cu (na ko«cu kolejki - tail), a usun tylko w drugim ko«cu (na pocz tku kolejki - head). Mamy zatem dwie podstawowe operacje: Enqueue(Q, v) = dodanie elementu v na ko«cu kolejki, Dequeue(Q) = usuni cie elementu z pocz tku kolejki. Dodatkowo wykorzystamy operacj Head(Q) = zwrócenie elementu z pocz tku kolejki (bez usuwania go). Uwaga. Kolejk implementujemy przy u»yciu struktur wska¹nikowych. Mo»na te» zasymulowa jej dziaªanie na zwykªej (statycznej) tablicy, albo wykorzysta gotowe struktury biblioteczne (np. queue biblioteki STL w C++)..3 Algorytm BFS-Visit(G, s) 2 kolor(s) := szary; 3 Q := {s}; while Q <> do begin 5 u := Head(Q); for ka»dy v Adj[u] do 7 if kolor(v) = biaªy then begin 8 kolor(v) := szary; 9 Enqueue(Q, v) 10 end; 11 Dequeue(Q); 12 kolor(u) := czarny 13 end 1 end Przebieg algorytmu dla s = 1 5 Q:
9 5 Q: Q: Q: Q: Q: Q: 5 5 Q: Q: Q: 3 5 Q: 3 5 Q:
10 5 Q: Zauwa»my,»e po wywoªaniu BFS-Visit dla wierzchoªka u wierzchoªki, które nie s osi galne z u pozostan nieodwiedzone (biaªe). Aby zatem przejrze caªy graf, nale»y wywoªywa BFS- Visit dopóki b d biaªe wierzchoªki. Peªen przebieg algorytmu BFS jest realizowany przez poni»sz procedur : BFS(G) 2 for ka»dy u V(G) do 3 kolor(u) := biaªy; for ka»dy u V(G) do 5 if kolor(u) = biaªy then BFS-Visit(G, u); 7 end; Zªo»ono± czasowa: O( V + E ) (analogicznie jak dla DFS). Zªo»ono± pami ciowa: O( V ) (przechowywanie kolorów, kolejka). 5 Zastosowania BFS 5.1 Najkrótsza droga Zastosowanie: znajdowanie najkrótszej drogi pomi dzy wierzchoªkami s i v. Modykacja procedury BFS-Visit: przechowywanie wektora poprzedników π. Tj. poprzednikiem wierzchoªka v na najkrótszej drodze z s do v jest wierzchoªek π[v]; poprzednikiem wierzchoªka π[v] jest wierzchoªek π[π[v]]... Przygotowanie: for ka»dy u V(G) do begin kolor(u) := biaªy; π[u] := end; Zmodykowany BFS BFS-Visit(G, s) 2 kolor(s) := szary; 3 Q := {s}; while Q <> do begin 5 u := Head(Q); for ka»dy v Adj[u] do 7 if kolor(v) = biaªy then begin 8 kolor(v) := szary; 9 π[v] := u; 10 Enqueue(Q, v) 11 end; 12 Dequeue(Q); 13 kolor(u) := czarny 1 end 15 end
11 Przebieg algorytmu dla s = Q: Q: Q: Q: Q: Q: Q: Q: 5 3
12 1 5 5 Q: Q: Q: Q: Q: 5.3 Odczytanie dróg Po wykonaniu BFS-Visit(G, s) w wektorze π zakodowane s najkrótsze drogi z wierzchoªka ¹ródªowego s do wszystkich wierzchoªków w osi galnych z s. W naszym przykªadzie s = 1: Np. najkrótsza droga z s = 1 do to: π[] π[π[]], czyli 5 1. A najkrótsza droga z s = 1 do 3 to: 3 π[3] π[π[3]], czyli Odczytanie i wypisanie drogi z s do v od ko«ca mo»e by zrealizowane przez poni»szy pseudokod:
13 13 PrintPathRev(s, v) 2 if s = v then wypisz(v) 3 else if π[v] = then wypisz('nie ma drogi') else begin 5 while v <> s do begin wypisz(v); 7 v := π[v] 8 end; 9 wypisz(s) 10 end 11 end; Jednak bardziej naturalnym byªoby wypisanie drogi z s do v od pocz tku. Do tego mo»e posªu»y poni»sza elegancka procedura rekurencyjna: PrintPath(s, v) 2 if s = v then wypisz(v) 3 else if π[v] = then wypisz('nie ma drogi') else begin 5 PrintPath(s, π[v]); wypisz(v) 7 end 8 end; 5. Podsumowanie Je»eli interesuje nas najkrótsza droga pomi dzy dwoma ustalonymi wierzchoªkami s i t, to: uruchamiamy BFS-Visit dla wierzchoªka s, odczytujemy drog z s do t z wektora π. Wektor π b dzie zawieraª, jako skutek uboczny, najkrótsze drogi z s do wszystkich wierzchoªków osi galnych z s (nie tylko t!). Wyliczania tej nadmiarowej informacji nie da si tu unikn. Zauwa»my,»e tu przez najkrótsz drog rozumieli±my drog o najmniejszej liczbie kraw dzi. Mo»na rozwa»a grafy, w których kraw dzie maj dªugo± (lub inny koszt) i poszukiwa najkrótszych dróg wzgl dem tego parametru. Tym zagadnieniem zajmiemy si na nast pnym wykªadzie.
Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania
Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany
Bardziej szczegółowoNajkrótsze drogi w grafach z wagami
Najkrótsze drogi w grafach z wagami dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu
Bardziej szczegółowoGrafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska
Andrzej Jastrz bski Akademia ET I Graf Grafem nazywamy par G = (V, E), gdzie V to zbiór wierzchoªków, E zbiór kraw dzi taki,»e E {{u, v} : u, v V u v}. Wierzchoªki v, u V s s siaduj ce je±li s poª czone
Bardziej szczegółowoNajkrótsze drogi w grafach z wagami
Najkrótsze drogi w grafach z wagami Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziaªania
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Grafy i Zastosowania BFS DFS 4: Przeszukiwanie Grafów (BFS, DFS i zastosowania) DFS nieskierowane DFS skierowane Podsumowanie
4: Przeszukiwanie Grafów (, i zastosowania) Spis zagadnie«przeszukiwanie grafów (rola, schemat ogólny, zastosowania) realizacje (kolejka, stos, rekurencja) przeszukiwanie wszerz zastosowania przeszukiwanie
Bardziej szczegółowoZadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz
Bardziej szczegółowoAlgorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2
Algorytmy grafowe 2 Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Minimalne drzewo spinaj ce Drzewem nazywamy spójny graf nie posiadaj cy cyklu. Liczba wierzchoªków drzewa jest o jeden wi ksza od liczby jego kraw dzi.
Bardziej szczegółowoMinimalne drzewa rozpinaj ce
y i y i drzewa Spis zagadnie«y i drzewa i lasy cykle fundamentalne i rozci cia fundamentalne wªasno±ci cykli i rozci minimalne drzewa algorytm algorytm Drzewo y i spójnego, nieskierowanego grafu prostego
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Bardziej szczegółowoTeoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126
Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2
Bardziej szczegółowoTemat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe.
Temat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe. Oznaczenia G = V, E - graf bez wag, gdzie V - zbiór wierzchołków, E- zbiór krawdzi V = n - liczba wierzchołków grafu G E = m
Bardziej szczegółowoElementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze
Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 2013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt
Bardziej szczegółowo12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach
12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach Spis zagadnie«problem najkrótszych ±cie»ek z jednym ¹ródªem Rozwi zanie sznurkowe kraw dzi Wariant 1: Wariant 2: nieujemne kraw dzie (Dijkstra) Wariant 3:
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie
2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona
Bardziej szczegółowoMinimalne drzewo rozpinaj ce
Minimalne drzewo rozpinaj ce dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego
Bardziej szczegółowoProgramowanie i struktury danych 1 / 44
Programowanie i struktury danych 1 / 44 Lista dwukierunkowa Lista dwukierunkowa to liniowa struktura danych skªadaj ca si z ci gu elementów, z których ka»dy pami ta swojego nast pnika i poprzednika. Operacje
Bardziej szczegółowoMinimalne drzewo rozpinaj ce
Minimalne drzewo rozpinaj ce Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziaªania
Bardziej szczegółowoElementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze
Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych
Bardziej szczegółowoAlgorytmy grafowe. Wykład 2 Przeszukiwanie grafów. Tomasz Tyksiński CDV
Algorytmy grafowe Wykład 2 Przeszukiwanie grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów 3. Spójność grafu,
Bardziej szczegółowoLab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych
Algorytmy i struktury danych Cz ± druga Prowadz cy: dr Andrzej Mróz, Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikoªaja Kopernika 1 / 82 Rekurencja Procedura (funkcja) rekurencyjna wywoªuje sam siebie.
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach
12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW. Graf skierowany dla ka»dej kraw dzi (oznaczanej tutaj jako ªuk) para wierzchoªków incydentnych jest par uporz dkowan {u, v}.
Podstawowe denicje: TEORIA GRAFÓW Graf (nieskierowany) G = (V, E) struktura skªadaj ca si ze: zbioru wierzchoªków V = {,,..., v n } oraz zbioru kraw dzi E = {e 1, e 2,..., e m }. Z ka»d kraw dzi e skojarzona
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy
Bardziej szczegółowoMosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw
Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw 3 kwietnia 2014 roku 1 / 106 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za
Bardziej szczegółowoGrafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:
Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem
Bardziej szczegółowoPorównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek międz. grafu. Daniel Golubiewski. 22 listopada Instytut Informatyki
Porównanie algorytmów wyszukiwania najkrótszych ścieżek między wierzchołkami grafu. Instytut Informatyki 22 listopada 2015 Algorytm DFS w głąb Algorytm przejścia/przeszukiwania w głąb (ang. Depth First
Bardziej szczegółowoListy i operacje pytania
Listy i operacje pytania Iwona Polak iwona.polak@us.edu.pl Uniwersytet l ski Instytut Informatyki pa¹dziernika 07 Który atrybut NIE wyst puje jako atrybut elementów listy? klucz elementu (key) wska¹nik
Bardziej szczegółowoEgzaminy i inne zadania. Semestr II.
Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«ze Wst pu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Ponadto doª czyªem szereg zada«, które pojawiaªy si
Bardziej szczegółowoWstęp do Programowania potok funkcyjny
Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline 1 Podstawowe pojęcia Definition Graf = wierzchołki + krawędzie. Krawędzie muszą mieć różne końce. Między dwoma wierzchołkami może
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie
8: Kolorowanie Grafów Spis zagadnie«kolorowanie wierzchoªków Kolorowanie map Kolorowanie kraw dzi Wielomian chromatyczny Zastosowania Problem kolorowania grafów ma wiele odmian (np. kolorowanie wierzchoªków,
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje
9: (grafy skierowane) Spis zagadnie«cz ±ciowe Przykªady: gªosowanie wi kszo±ciowe, Digraf (graf skierowany) Digraf to równowa»ny termin z terminem graf skierowany (od ang. directed graph). W grafach skierowanych
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinaj ce. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinaj ce. Cykle i rozci cia fundamentalne. Zastosowania
Grafy i Grafy i 5: Rozpinaj ce Spis zagadnie«grafy i i lasy cykle fundamentalne i wªasno±ci cykli i rozci przestrzenie cykli i rozci * : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala*
Bardziej szczegółowo10a: Wprowadzenie do grafów
10a: Wprowadzenie do grafów Spis zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu drogi i cykle, spójno± w tym sªaba i silna drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G b dzie grafem spójnym. Denicja Je»eli w grae G istnieje zamkni ta droga prosta zawieraj ca wszystkie kraw dzie
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 6: Najkrótsze ±cie»ki. c Marcin Sydow. Najkrótsze cie»ki. Warianty. Relaksacja DAG. Algorytm Dijkstry.
6: ±cie»ki Spis zagadnie«problem najkrótszych ±cie»ek z jednym ¹ródªem Rozwi zanie sznurkowe kraw dzi Wariant 1: Wariant 2: nieujemne kraw dzie (Dijkstra) Wariant 3: dowolny graf () ±cie»ki dla wszystkich
Bardziej szczegółowoOgólne wiadomości o grafach
Ogólne wiadomości o grafach Algorytmy i struktury danych Wykład 5. Rok akademicki: / Pojęcie grafu Graf zbiór wierzchołków połączonych za pomocą krawędzi. Podstawowe rodzaje grafów: grafy nieskierowane,
Bardziej szczegółowo1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza
165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 20
Bardziej szczegółowoProgramowanie wspóªbie»ne
1 Zadanie 1: Bar Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 6 monitory cz. 2 Napisz monitor Bar synchronizuj cy prac barmana obsªuguj cego klientów przy kolistym barze z N stoªkami. Ka»dy klient realizuje nast
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Zastosowania stosów i kolejek. Piotr Chrząstowski-Wachtel
Wstęp do programowania Zastosowania stosów i kolejek Piotr Chrząstowski-Wachtel FIFO - LIFO Kolejki i stosy służą do przechowywania wartości zbiorów dynamicznych, czyli takich, które powstają przez dodawanie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych
Lista zada«. Nr 4. 9 kwietnia 2016 IIUWr. II rok informatyki. Algorytmy i Struktury Danych 1. (0pkt) Rozwi» wszystkie zadania dodatkowe. 2. (1pkt) Uªó» algorytm znajduj cy najta«sz drog przej±cia przez
Bardziej szczegółowotylko poprawne odpowiedzi, ale nie wszystkie 2 pkt poprawne i niepoprawne odpowiedzi lub brak zaznaczenia 0 pkt
Wydziaª Matematyki i Informatyki UJ 14 wrze±nia 2017 TEST NA STUDIA DOKTORANCKIE Z INFORMATYKI Przed Pa«stwem test wielokrotnego wyboru. Po zapoznaniu si z pytaniami prosz zaznaczy w tabeli, na zaª czonej
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Grafowe. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD. Wykład 1,2,3. Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie
Algorytmy Grafowe dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. UJD Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie b.wozna@ujd.edu.pl Wykład 1,2,3 B. Woźna-Szcześniak (UJD) Algorytmy
Bardziej szczegółowoWstęp do Programowania potok funkcyjny
Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline 1 BFS DFS Algorytm Dijkstry Algorytm Floyda-Warshalla Podstawowe pojęcia Definition Graf = wierzchołki + krawędzie. Krawędzie muszą
Bardziej szczegółowoTeoria grafów i sieci 1 / 58
Teoria grafów i sieci 1 / 58 Literatura 1 B.Korte, J.Vygen, Combinatorial optimization 2 D.Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms 3 M.Sysªo, N.Deo Metody optymalizacji dyskretnej z przykªadami w Turbo
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie
7: Spis zagadnie«twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej Graf Planarny Graf planarny to taki graf,
Bardziej szczegółowoWykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów
Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów 1 / 112 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka dla programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowadzenie do algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B.
Bardziej szczegółowoprowadzący dr ADRIAN HORZYK /~horzyk e-mail: horzyk@agh tel.: 012-617 Konsultacje paw. D-13/325
PODSTAWY INFORMATYKI WYKŁAD 8. prowadzący dr ADRIAN HORZYK http://home home.agh.edu.pl/~ /~horzyk e-mail: horzyk@agh agh.edu.pl tel.: 012-617 617-4319 Konsultacje paw. D-13/325 DRZEWA Drzewa to rodzaj
Bardziej szczegółowoBiedronka. Wej±cie. Wyj±cie. Przykªady. VI OIG Zawody dru»ynowe, Finaª. 19 V 2012 Dost pna pami : 64 MB.
Biedronka Pªot ma D cm dªugo±ci i zbudowany jest z desek zako«czonych trójk tami równoramiennymi, poª czonych ze sob w jedn caªo±. Dªugo± ramienia ka»dego z trójk tów stanowi P % dªugo±ci podstawy. Po
Bardziej szczegółowoProgramowanie i struktury danych
Programowanie i struktury danych Wykªad 3 1 / 37 tekstowe binarne Wyró»niamy dwa rodzaje plików: pliki binarne pliki tekstowe 2 / 37 binarne tekstowe binarne Plik binarny to ci g bajtów zapami tanych w
Bardziej szczegółowoWyszukiwanie. Algorytmy i Struktury Danych. (c) Marcin Sydow. Dziel i rz d¹. Wyszukiwanie. Statystyki pozycyjne. Podsumowanie
Zawarto± tego wykªadu: reguªa dziel i rz d¹ wyszukiwanie algorytm wyszukiwania binarnego statystyki 2. najmniejsza warto± w ci gu (algorytm turniejowy - idea) algorytm (wyszukiwanie k-tej statystyki j)
Bardziej szczegółowo. Podstawy Programowania 2. Algorytmy dfs i bfs. Arkadiusz Chrobot. 2 czerwca 2019
Podstawy Programowania Algorytmy dfs i bfs Arkadiusz Chrobot Zakład Informatyki czerwca 09 / 70 Plan Wstęp Algorytm BFS Podsumowanie / 70 Wstęp Wstęp Istnieje wiele algorytmów związanych z grafami, które
Bardziej szczegółowoDrzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009
Wprowadzenie Drzewa Gomory-Hu Jakub Š cki 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie 1 Wprowadzenie Podstawowe poj cia i fakty 2 Istnienie drzew Gomory-Hu 3 Algorytm budowy drzew 4 Problemy otwarte Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoAlgorytm DFS Wprowadzenie teoretyczne. Algorytm DFS Wprowadzenie teoretyczne. Algorytm DFS Animacja. Algorytm DFS Animacja. Notatki. Notatki.
Podstawy Programowania Algorytmy dfs i bfs Arkadiusz Chrobot Zakład Informatyki czerwca 09 / 70 Plan Wstęp Podsumowanie / 70 Wstęp Istnieje wiele algorytmów związanych z grafami, które w skrócie nazywane
Bardziej szczegółowoTeoria grafów i sieci 1 / 188
Teoria grafów i sieci / Drzewa z wagami Drzewem z wagami nazywamy drzewo z korzeniem, w którym do ka»dego li±cia przyporz dkowana jest liczba nieujemna, nazywana wag tego li±cia. / Drzewa z wagami Drzewem
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 1: Wprowadzenie i poj cia podstawowe. c Marcin Sydow. Wprowadzenie. Podstawowe poj cia. Operacje na grafach.
1: i podstawowe Spis Zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu s siedztwo i incydencja izomorzm grafów stopnie wierzchoªków (w tym wej±ciowy i wyj±ciowy), lemat
Bardziej szczegółowoEgzaminy i inne zadania. Semestr II.
Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«ze Wst pu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Ponadto doª czyªem szereg zada«, które pojawiaªy si
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych
Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych. (c) Marcin Sydow. Wst p. Linked Lists. Abstrakcyjne Struktury Danych. Podsumowanie. Stos, Kolejka
Zawarto± wykªadu: Typy operacji na ci gach Listy dowi zaniowe (ang. linked lists): lista jednokierunkowa lista dwukierunkowa Stos Kolejka przykªad rozszerzenia: kolejka dwustronna Ci gi Ci gi elementów
Bardziej szczegółowoStereometria (geometria przestrzenna)
Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy
Bardziej szczegółowoPrzykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoWykład 10 Grafy, algorytmy grafowe
. Typy złożoności obliczeniowej Wykład Grafy, algorytmy grafowe Typ złożoności oznaczenie n Jedna operacja trwa µs 5 logarytmiczna lgn. s. s.7 s liniowa n. s.5 s. s Logarytmicznoliniowa nlgn. s.8 s.4 s
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Sztucznej Inteligencji
Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład Informatyka Studia InŜynierskie Przeszukiwanie przestrzeni stanów Przestrzeń stanów jest to czwórka uporządkowana [N,, S, GD], gdzie: N jest zbiorem wierzchołków
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Sztucznej Inteligencji
Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład Informatyka Studia InŜynierskie Przeszukiwanie przestrzeni stanów Przestrzeń stanów jest to czwórka uporządkowana [N,[, S, GD], gdzie: N jest zbiorem wierzchołków
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Podstawy Grafy i Zastosowania Kod Prüfera 3: Drzewa Drzewa ukorzenione * Drzewa binarne Zastosowania Podsumowanie
Grafy i Grafy i 3: Spis zagadnie«grafy i drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci kodowanie Prüfera i zliczanie drzew etykietowanych (tw. Cayleya) drzewa drzewa zliczanie drzew binarnych (tw.
Bardziej szczegółowoNotatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne.
Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. IIUWr. II rok informatyki. Przygotowaª: Krzysztof Lory± 1 Schemat ogólny. Typowe zadanie rozwi zywane metod zachªann ma charakter optymalizacyjny.
Bardziej szczegółowoZnajdowanie wyjścia z labiryntu
Znajdowanie wyjścia z labiryntu Zadanie to wraz z problemem pakowania najcenniejszego plecaka należy do problemów optymalizacji, które dotyczą znajdowania najlepszego rozwiązania wśród wielu możliwych
Bardziej szczegółowoTemat: Liniowe uporzdkowane struktury danych: stos, kolejka. Specyfikacja, przykładowe implementacje i zastosowania. Struktura słownika.
Temat: Liniowe uporzdkowane struktury danych: stos, kolejka. Specyfikacja, przykładowe implementacje i zastosowania. Struktura słownika. 1. Pojcie struktury danych Nieformalnie Struktura danych (ang. data
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie problemów metodą przeszukiwania
Rozwiązywanie problemów metodą przeszukiwania Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Reprezentacja problemu w przestrzeni stanów Jedną z ważniejszych metod sztucznej
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoBash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego
Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad
Bardziej szczegółowoA. Auxiliary Question of the Universe
Nieformalny wst p Dodatkow trudno±ci w dzisiejszym konkursie byªo to,»e zadania byªy sformuªowane w j zyku angielskim, a do tego autorami zada«nie byli native speakers. W takich wypadkach nie warto si
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoUczenie Wielowarstwowych Sieci Neuronów o
Plan uczenie neuronu o ci gªej funkcji aktywacji uczenie jednowarstwowej sieci neuronów o ci gªej funkcji aktywacji uczenie sieci wielowarstwowej - metoda propagacji wstecznej neuronu o ci gªej funkcji
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoProgramowanie obiektowe
Programowanie obiektowe Sieci powiązań Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2015 P. Daniluk (Wydział Fizyki) PO w. IX Jesień 2015 1 / 21 Sieci powiązań Można (bardzo zgrubnie) wyróżnić dwa rodzaje powiązań
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych
Algorytmy i struktury danych Cz ± pierwsza Prowadz cy: dr Andrzej Mróz, Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikoªaja Kopernika 1 / 65 Opis przedmiotu Zagadnienia, którymi si zajmiemy: metody
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania
Wstęp do programowania Stosy, kolejki, drzewa Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. VII Jesień 2013 1 / 25 Listy Lista jest uporządkowanym zbiorem elementów. W Pythonie
Bardziej szczegółowoProgramowanie wspóªbie»ne
1 Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 5 monitory cz. 1 Zadanie 1: Stolik dwuosobowy raz jeszcze W systemie dziaªa N par procesów. Procesy z pary s nierozró»nialne. Ka»dy proces cyklicznie wykonuje wªasnesprawy,
Bardziej szczegółowoa) 7 b) 19 c) 21 d) 34
Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoPodziaª pracy. Cz ± II. 1 Tablica sortuj ca. Rozwi zanie
Cz ± II Podziaª pracy 1 Tablica sortuj ca Kolejka priorytetowa to struktura danych udost pniaj ca operacje wstawienia warto±ci i pobrania warto±ci minimalnej. Z kolejki liczb caªkowitych, za po±rednictwem
Bardziej szczegółowo1 Klasy. 1.1 Denicja klasy. 1.2 Skªadniki klasy.
1 Klasy. Klasa to inaczej mówi c typ który podobnie jak struktura skªada si z ró»nych typów danych. Tworz c klas programista tworzy nowy typ danych, który mo»e by modelem rzeczywistego obiektu. 1.1 Denicja
Bardziej szczegółowoOmówienie zada«potyczki Algorytmiczne 2015
Omówienie zada« Biznes Najszybsze rozwi zanie: Jarosªaw Kwiecie«(0:24) Na pocz tku mamy kapitaª P (megabajtalarów) i dochody 0 (megabajtalary/rok). W dowolnym momencie mo»emy kupi maszyn typu i, co kosztuje
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoANALIZA ALGORYTMÓW. Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania:
ANALIZA ALGORYTMÓW Analiza algorytmów polega między innymi na odpowiedzi na pytania: 1) Czy problem może być rozwiązany na komputerze w dostępnym czasie i pamięci? 2) Który ze znanych algorytmów należy
Bardziej szczegółowoAlgorytmy tekstowe. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI
Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Wyszukiwanie wzorca Wyszukiwaniem wzorca nazywamy sprawdzenie, czy w podanym tekscie T znajduje si podci g P. Szukamy sªowa kot: Ala ma kota, kot ma ale. Algorytm naiwny
Bardziej szczegółowoMiASI. Modelowanie systemów informatycznych. Piotr Fulma«ski. 18 stycznia Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska
MiASI Modelowanie systemów informatycznych Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 18 stycznia 2010 Spis tre±ci 1 Analiza systemu informatycznego Poziomy analizy 2
Bardziej szczegółowo1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,
XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 1: Przeszukiwanie grafów cz. 1 strategie ślepe
Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny, Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl METODY HEURYSTYCZNE ĆWICZENIE 1: Przeszukiwanie grafów cz. 1 strategie ślepe opracował:
Bardziej szczegółowoUogólnione drzewa Humana
czyli ang. lopsided trees Seminarium Algorytmika 2009/2010 Plan prezentacji Sformuªowanie 1 Sformuªowanie problemów Wyj±ciowy problem Problem uogólniony 2 3 Modykacje problemu Zastosowania Plan prezentacji
Bardziej szczegółowoProgramowanie obiektowe
Programowanie obiektowe Sieci powiązań Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2014 P. Daniluk (Wydział Fizyki) PO w. IX Jesień 2014 1 / 24 Sieci powiązań Można (bardzo zgrubnie) wyróżnić dwa rodzaje powiązań
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Sztucznej Inteligencji
Wprowadzenie do Sztucznej Inteligencji Wykład Studia Inżynierskie Przeszukiwanie przestrzeni stanów Przestrzeń stanów jest to czwórka uporządkowana [N,[, S, GD], gdzie: N jest zbiorem wierzchołków w odpowiadających
Bardziej szczegółowo