Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze
|
|
- Małgorzata Włodarczyk
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziaªania Programu Operacyjnego Kapitaª Ludzki 1 / 64
2 Wst p Graf, intuicyjnie rozumiany jako obiekt skªadaj cy si z wierzchoªków i ª cz cych je kraw dzi (dokªadniejsza denicja za chwil ): jest prostym kombinatorycznym modelem opisuj cym rozmaite rzeczywiste sytuacje. 2 / 64
3 Modelowanie rzeczywisto±ci Elementy danego zagadnienia modelowanego za pomoc grafu na ogóª w naturalny sposób podzielone s na dwie kategorie: Miejsca na pªaszczy¹nie/w przestrzeni, zjawiska, procesy... = wierzchoªki; Poª czenia, powi zania, zale»no±ci mi dzy obiektami reprezentowanymi przez wierzchoªki... = kraw dzie. 3 / 64
4 Zastosowania teorii grafów Przykªady poª cze«zycznych: sie drogowa, kolejowa, lotnicza... (zagadnienia transportowe, GPS), pomieszczenia, korytarze w budynkach... (m.in. gry komputerowe), sieci energetyczne, sieci komputerowe, itp. 4 / 64
5 Zastosowania teorii grafów Przykªady poª cze«logicznych: obrazowanie hierarchii drzewa (genealogia, rozwój populacji, zawody sportowe), nast pstwo czasowe procesów, relacje (w sensie matematycznym), relacje mi dzy lud¹mi, pracownicy przepªyw zada«, struktura organizacji, przydziaª zasobów, itp. 5 / 64
6 Zastosowania, cele Mo»na ±miaªo zaryzykowa stwierdzenie,»e wspóªcze±nie wªa±ciwie ka»dego dnia stykamy si z urz dzeniami, aplikacjami, które w po±redni lub bezpo±redni sposób korzystaj z poj teorii grafów. Celem tej serii wykªadów jest omówienie szeregu algorytmów grafowych, czyli algorytmów do których wej±ciem s dane reprezentuj ce dany graf G, a które odpowiadaj na pewne pytania natury kombinatorycznej zwi zane z G. 6 / 64
7 Cel wykªadu Aby dobrze rozumie zagadnienia zwi zane z grafami i algorytmy grafowe nale»y sformalizowa poj cie grafu i poj cia z nim zwi zane; opisa pewne kombinatoryczne fakty dotycz ce grafów (tym zajmuje si teoria grafów); ponadto, nale»y przedyskutowa sposób reprezentowania grafów w komputerze. Powy»szymi zagadnieniami zajmiemy si na tym wykªadzie. Ograniczymy si do poj i faktów niezb dnych w wybranych algorytmach grafowych. 7 / 64
8 Graf niezorientowany Denicja Graf niezorientowany (nieskierowany) to para G = (V, E) zbiorów sko«czonych: V nazywany zbiorem wierzchoªków (w zªów) G, E { {u, v} : u, v V, u v} nazywany zbiorem kraw dzi G. 8 / 64
9 Graf niezorientowany Denicja Graf niezorientowany (nieskierowany) to para G = (V, E) zbiorów sko«czonych: V nazywany zbiorem wierzchoªków (w zªów) G, E { {u, v} : u, v V, u v} nazywany zbiorem kraw dzi G. Przykªad Powy»szy diagram przedstawia graf G = (V, E), gdzie V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E = { {1, 2}, {5, 1}, {1, 4}, {4, 5}, {2, 5}, {5, 3}, {6, 5} }. 8 / 64
10 Graf niezorientowany Denicja Graf niezorientowany (nieskierowany) to para G = (V, E) zbiorów sko«czonych: V nazywany zbiorem wierzchoªków (w zªów) G, E { {u, v} : u, v V, u v} nazywany zbiorem kraw dzi G. Przykªad. Czasem wygodnie jest nada kraw dziom etykiety: e e 3 e 5 3 e e 6 2 e 4 e 7 Wówczas G = (V, E), V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E = { e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7 }, gdzie e 1 = {1, 2}, e 2 = {5, 1}, itp. 9 / 64
11 Graf niezorientowany Uwagi. Zwró my uwag,»e formalnie ka»da kraw d¹ to zbiór dwuelementowy, wi c zapis e 1 = {1, 2} jest równowa»ny e 1 = {2, 1}, gdy» w zbiorach kolejno± jest nieistotna ({1, 2} = {2, 1}). Graf G jest w peªni zakodowany przez zestaw danych (V, E). Rysunek grafu jest tylko wizualizacj kombinatorycznego obiektu G. Nie nale»y zatem uto»samia grafu G z jego wizualizacj, gdy» dany graf mo»e mie wiele ró»nych gracznych prezentacji. Za wierzchoªki zazwyczaj przyjmujemy kolejne liczby naturalne, ale denicja tego nie wymaga. Równie dobrze mo»emy wzi litery alfabetu b d¹ dowolne symbole. 10 / 64
12 Graf niezorientowany Przykªad. Poni»sze dwa rysunki v w u x oraz v x w u s ró»nymi wizualizacjami tego samego grafu G = (V, E), gdzie V = {v, w, u, x}, E = { {v, w}, {v, u}, {u, w}, {x, u}}. 11 / 64
13 Graf niezorientowany Kolejny przykªad. Rozwa»my graf G czyli G = (V, E), gdzie V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, E = { {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {4, 5}, {6, 5} }. Jak widzimy, graf nie musi by w jednym kawaªku. Doprecyzujemy t nieformaln obserwacj w dalszej cz ±ci (poj cia spójno±ci, spójnej skªadowej,...). 12 / 64
14 Orientacja kraw dzi W grae niezorientowanym wierzchoªki deniuj ce kraw d¹ e = {v, w} s nierozró»nialne. Cz sto w modelowanym zjawisku zachodzi potrzeba wyró»nienia jednego z wierzchoªków, np. v, jako pocz tku i drugiego jako ko«ca kraw dzi i traktowania kraw dzi jako pary uporz dkowanej (v, w). Prowadzi to do denicji grafu zorientowanego (in. skierowanego). W gracznych prezentacjach zamiast linii rysujemy zazwyczaj strzaªki (zwane ªukami) o zwrocie od wierzchoªka v do w. Uwaga Przypomnijmy,»e {v, w} = {w, v}, ale (v, w) (w, v), o ile v w. 13 / 64
15 Graf zorientowany Denicja Graf zorientowany (skierowany) to para G = (V, E) zbiorów sko«czonych: V nazywany zbiorem wierzchoªków (w zªów) G, E { (u, v) : u, v V } = V V nazywany zbiorem kraw dzi (in. ªuków lub strzaªek) G. 14 / 64
16 Graf zorientowany Denicja Graf zorientowany (skierowany) to para G = (V, E) zbiorów sko«czonych: V nazywany zbiorem wierzchoªków (w zªów) G, E { (u, v) : u, v V } = V V nazywany zbiorem kraw dzi (in. ªuków lub strzaªek) G. Przykªad Powy»szy diagram przedstawia graf G = (V, E), gdzie V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E = { (1, 2), (2, 1), (1, 5), (1, 4), (4, 5), (2, 5), (5, 3), (5, 6) }. 14 / 64
17 Graf zorientowany Podobnie jak w przypadku niezorientowanym, mo»na etykietowa ªuki. Zauwa»my,»e denicja grafu zorientowanego dopuszcza sytuacj, gdy pomi dzy par wierzchoªków s dwa (przeciwnie skierowane) ªuki: Ale sytuacja nie jest dopuszczona w przyj tej denicji! W denicji grafu zorientowanego dopuszczamy ªuki postaci (v, v). Nazywamy je p tlami (zaczepionymi w wierzchoªku v). 15 / 64
18 Wierzchoªki i kraw dzie Ustalmy graf niezorientowany G = (V, E) (dla grafu zorientowanego denicje analogiczne). Denicja wierzchoªki u, v V s s siednie, gdy {u, v} E, kraw dzie e 1, e 2 E s s siednie, gdy e 1 e 2 (maj wspólny wierzchoªek), wierzchoªek v V jest incydentny z kraw dzi e E (lub: kraw d¹ e jest incydentna z wierzchoªkiem v), gdy v e. Ponadto dla kraw dzi e = {u, v} E, u i v nazywamy ko«cami e (czyli e jest incydentna z w w jest jednym z ko«ców e), gdy G jest zorientowany, to dla kraw dzi e = (u, v) E (oznaczanej czasem e = u v), u nazywamy pocz tkiem, a v ko«cem e; mówimy wówczas,»e e jest kraw dzi wychodz c z u i wchodz c do v. 16 / 64
19 Wierzchoªki i kraw dzie Denicja Stopniem wierzchoªka v V nazywamy liczb deg G (v) := #{e E : v e} tj. liczb kraw dzi incydentnych z wierzchoªkiem v. Gdy G jest grafem zorientowanym to rozró»nia si stopie«wyj±ciowy wierzchoªka v V : out.deg G (v) = deg + (v) := #{w V : v w E} G oraz stopie«wej±ciowy wierzchoªka v V : in.deg G (v) = deg (v) := #{u V : u v E}. G 17 / 64
20 Denicja Drogi Droga w grae niezorientowanym G = (V, E) ci g wierzchoªków i kraw dzi P = (v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., e k, v k ), v i V, e j E, k 0, taki,»e e j = {v j 1, v j }. Denicja Droga w grae zorientowanym G = (V, E) ci g wierzchoªków i kraw dzi P = (v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., e k, v k ), v i V, e j E, k 0, taki,»e e j = (v j 1, v j ). W obu przypadkach (zorientowanym lub nie) dopuszczamy drogi trywialne postaci P = (v 0 ), v 0 V, liczb k nazywamy dªugo±ci drogi, v 0 pocz tek, v k koniec drogi P (mówimy,»e P jest drog z v 0 do v k ). 18 / 64
21 Uwaga Drogi Zauwa»my,»e w obu przypadkach (zorientowanym i nie), droga P = (v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., e k, v k ) jest jednoznacznie wyznaczona przez ci g swoich wierzchoªków, dlatego cz sto piszemy skrótowo P = (v 0, v 1,..., v k ). Przykªad. Graf niezorientowany Na diagramie zaznaczyli±my drog P = (1, {1, 2}, 2, {2, 5}, 5, {5, 6}, 6) (lub skrótowo P = (1, 2, 5, 6)). 19 / 64
22 Uwaga Drogi Zauwa»my,»e w obu przypadkach (zorientowanym i nie), droga P = (v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., e k, v k ) jest jednoznacznie wyznaczona przez ci g swoich wierzchoªków, dlatego cz sto piszemy skrótowo P = (v 0, v 1,..., v k ). Przykªad. Graf zorientowany P = (1, (1, 2), 2, (2, 1), 1, (1, 5), 5, (5, 3), 3) (lub skrótowo P = (1, 2, 1, 5, 3)). 20 / 64
23 Cykle i drogi proste Denicja Niech P = (v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., e k, v k ) b dzie drog w grae (zorientowanym lub nie). Wówczas je»eli v i v j dla ka»dych 0 i j k, to P nazywamy drog prost, je»eli v 0 = v k i k > 0 to P nazywamy drog zamkni t lub cyklem gdy dodatkowo vi vj oraz ei ej dla ka»dych 1 i j k, to cykl P nazywamy cyklem prostym. Uwaga Cz sto w literaturze u»ywa si nazwy cykl w znaczeniu cykl prosty. 21 / 64
24 Przykªady. Cykle i drogi proste Droga P = (1, 2, 5, 6) jest drog prost Droga P = (1, 2, 5, 1) jest cyklem prostym. 22 / 64
25 Przykªady. Cykle i drogi proste Droga P = (1, 2, 5, 1, 2, 5, 1) (nawini ta dwa razy) jest cyklem, ale nie jest cyklem prostym Droga P = (1, 2, 1, 5, 3) nie jest drog prost. 23 / 64
26 Drogi niezorientowane Niech G = (V, E) b dzie grafem zorientowanym. Denicja Droga niezorientowana w grae G = (V, E) ci g W = (v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., e k, v k ), v i V, e j E, k 0, taki,»e e j = (v j 1, v j ) lub e j = (v j, v j 1 ). Uwaga W grae zorientowanym ka»da droga jest drog niezorientowan, ale nie na odwrót! 24 / 64
27 Drogi niezorientowane Przykªad Droga niezorientowana W = (1, (1, 4), 4, (4, 5), 5, (2, 5), 2). Zauwa»my,»e ci g wierzchoªków nie zawsze wyznacza jednoznacznie drog niezorientowan! Na powy»szym grae mamy dwie ró»ne niezorientowane drogi: (1, (1, 2), 2) oraz (1, (2, 1), 2). 25 / 64
28 Spójno± Denicja Graf niezorientowany G = (V, E) jest spójny, o ile dla ka»dych u, v V istnieje droga P z u do v. Denicja Graf zorientowany G = (V, E) jest sªabo spójny, o ile dla ka»dych u, v V istnieje droga niezorientowana P z u do v. Denicja Graf zorientowany G = (V, E) jest silnie spójny, o ile dla ka»dych u, v V istnieje droga P z u do v. 26 / 64
29 Spójno± Przykªady. Graf spójny: Graf niespójny: / 64
30 Spójno± Przykªady. Graf sªabo spójny ale nie silnie spójny: Graf silnie spójny: Uwaga Graf zorientowany, który jest silnie spójny, jest te» sªabo spójny. 28 / 64
31 Podgraf Denicja Graf H = (V, E ) nazywamy podgrafem grafu G = (V, E), o ile V V oraz E E. Denicja Podgraf H = (V, E ) grafu G = (V, E) nazywamy peªnym, o ile u,v V {u, v} E {u, v} E lub w wersji zorientowanej u,v V (u, v) E (u, v) E. 29 / 64
32 Przykªad. Graf G : Podgraf Podgraf grafu G : Podgraf peªny grafu G : / 64
33 Podgraf Zauwa»my,»e podgraf peªny H = (V, E ) grafu G = (V, E) jest w peªni wyznaczony przez zbiór swoich wierzchoªków V. Dlatego mówimy,»e H jest peªnym podgrafem grafu G indukowanym przez wierzchoªki ze zbioru V. Zatem graf G ma tyle peªnych podgrafów, ile jest podzbiorów zbioru V, czyli 2 V (wliczaj c podgraf pusty i caªy graf G, który te» jest oczywi±cie swoim podgrafem peªnym). Dowolnych podgrafów jest na ogóª sporo wi cej. 31 / 64
34 Skªadowe spójno±ci Ustalmy graf niezorientowany G = (V, E). Denicja Mówimy,»e v V jest osi galny z u V, gdy w G istnieje droga P z u do v. Obserwacja Denicja Jest osi galny jest relacj zwrotn, symetryczn i przechodni, czyli relacj równowa»no±ci w V. Zatem relacja ta rozbija zbiór V na klasy abstrakcji. Spójn skªadow (inaczej skªadow spójno±ci) w grae G nazywamy peªny podgraf grafu G o wierzchoªkach z dowolnej klasy abstrakcji relacji jest osi galny. 32 / 64
35 Skªadowe spójno±ci Innymi sªowy: spójna skªadowa jest maksymalnym spójnym podgrafem peªnym grafu G. Wniosek Graf G jest spójny posiada tylko jedn spójn skªadow. W poni»szym grae mamy 3 spójne skªadowe (zaznaczone ró»nymi kolorami) / 64
36 Silnie spójne skªadowe Ustalmy graf zorientowany G = (V, E). Relacja jest osi galny deniowana jak dla grafu niezorientowanego (v V jest osi galny z u V, gdy w G istnieje droga P z u do v), nie jest symetryczna! Nie mo»e wi c by mowy o klasach abstrakcji. Ale mo»emy zdeniowa poj cie silnej skªadowej spójno±ci nast puj co: Denicja Peªny podgraf H grafu G, który jest maksymalny i silnie spójny nazywamy silnie spójn skªadow grafu G. Czasem rozwa»a si te» poj cie sªabo spójnej skªadowej, deniowanej przy pomocy osi galno±ci przez drogi niezorientowane (lub równowa»nie, jako maksymalny peªny podgraf sªabo spójny). 34 / 64
37 Przykªad. Graf Silnie spójne skªadowe posiada dwie silnie spójne skªadowe: oraz: 3 35 / 64
38 Graf peªny Denicja Graf peªny G = (V, E) to graf niezorientowany taki,»e dla ka»dych u, v V, {u, v} E (gdy V = {1, 2,..., n}, to G oznaczamy K n ). Przykªady. K 1 : 1 K 2 : 1 2 K 3 : K 4 : / 64
39 Denicja Graf dwudzielny Graf niezorientowany G = (V, E) nazywamy dwudzielnym, je»eli istnieje podziaª V na dwa rozª czne niepuste podzbiory V 1, V 2 (tj. V 1 V 2 = V ) taki,»e {u,v} E [(u V 1 v V 2 ) (v V 1 u V 2 )]. Denicja Graf G = (V, E) nazywamy peªnym dwudzielnym, je»eli istnieje podziaª V na dwa rozª czne niepuste podzbiory V 1, V 2 (tj. V 1 V 2 = V ) taki,»e u V1 v V2 {u, v} E. 37 / 64
40 Graf dwudzielny Przykªad. Graf dwudzielny: Podziaª V = V 1 V 2, gdzie V 1 = {1, 3}, V 2 = {2, 4, 5}. Powy»szy graf nie jest grafem peªnym dwudzielnym (przy tym podziale brakuje kraw dzi {1, 5} i {3, 2}). Rozwa»a si równie» grafy dwudzielne w przypadku zorientowanym, my jednak nie b dziemy potrzebowa tego poj cia. 38 / 64
41 Drzewa W tym rozdziale rozwa»amy tylko grafy niezorientowane. Denicja Graf acykliczny = graf nie zawieraj cy cykli prostych. Denicja Drzewo (drzewo wolne) = graf spójny i acykliczny. Denicja Las = graf acykliczny. Nazwa las wzi ªa si z tego,»e spójne skªadowe grafu acyklicznego s drzewami (tak wi c las skªada si z drzew). 39 / 64
42 Drzewa Przykªad. Poni»szy graf nie jest drzewem, gdy» zawiera cykl: Poni»szy graf nie jest drzewem, gdy» jest niespójny (ale jest lasem): / 64
43 Drzewa Przykªad. Drzewo: / 64
44 Charakteryzacja drzew Twierdzenie G = (V, E) graf niezorientowany. Nast puj ce warunki s równowa»ne: G jest drzewem, dla ka»dych u, v V istnieje dokªadnie jedna droga P z u do v, G jest spójny, a po usuni ciu dowolnej kraw dzi nie jest spójny, G jest spójny i E = V 1, G jest acykliczny i E = V 1, G jest acykliczny, lecz po dodaniu do E jakiejkolwiek kraw dzi powstaªy graf posiada cykl. 42 / 64
45 Denicja Drzewa z korzeniem Drzewo z korzeniem = para (T, r), gdzie T = (V, E) jest drzewem, a r V wyró»nionym wierzchoªkiem, zwanym korzeniem. Przykªad. Drzewo z korzeniem (T, 5): Drzewo z korzeniem (T, 1): / 64
46 Drzewa z korzeniem Przyj ªo si rysowa korze«na górze a pozostaªe wierzchoªki poziomami. Drzewo (T, 1) z poprzedniego slajdu zgodnie z t konwencj : Na przykªadzie powy»szego grafu zilustrujemy szereg prostych poj zwi zanych z drzewami z korzeniem, bez ich precyzyjnego deniowania. 44 / 64
47 Drzewa z korzeniem Przodkami (in.poprzednikami) wierzchoªka 6 s wierzchoªki 5 i 1. Potomkami (in. nast pnikami) wierzchoªka 5 s wierzchoªki 3, 4, 6, / 64
48 Drzewa z korzeniem Ojcem (in.bezpo±rednim poprzednikiem) wierzchoªka 6 jest wierzchoªek 5. Synami (in. bezpo±rednimi nast pnikami) wierzchoªka 5 s wierzchoªki 3, 4, / 64
49 Drzewa z korzeniem Bratem wierzchoªka 5 jest wierzchoªek 2. Stopie«wierzchoªka = liczba synów, Li± mi drzewa (T, 1) s wierzchoªki 2, 3, 4, 7 (wszystkie wierzchoªki o stopniu 0). 47 / 64
50 Drzewa z korzeniem Gª boko± (poziom) wierzchoªka v = dªugo± drogi (jedynej! patrz twierdzenie) od r do v (ozn. h(v)), np. h(1) = 0, h(7) = 3, h(5) = 1, 7 48 / 64
51 Drzewa z korzeniem Wysoko± drzewa = h(t ) = h(t, r) := max{h(v) : v V }. Zatem h(t ) = 3 dla powy»szego drzewa (T, 1) / 64
52 Denicja Drzewa Drzewo binarne = drzewo z korzeniem (T, r), w którym ka»dy wierzchoªek ma stopie«2 (wyró»niony lewy i prawy syn). W drzewie binarnym, je»eli dany wierzchoªek ma tylko jednego syna, trzeba ustali, czy jest lewy czy prawy. Denicja Poddrzewo o korzeniu x drzewa (T, r) = peªny podgraf grafu T indukowany przez wierzchoªek x i wszystkich potomków x. Lewe (odp. prawe) poddrzewo drzewa binarnego (T, r) = poddrzewo drzewa T o korzeniu b d cym lewym (odp. prawym) synem korzenia r. 50 / 64
53 Reprezentacja grafu Przez reprezentacj grafu (w komputerze) rozumiemy sposób zakodowania kombinatorycznego obiektu, jakim jest graf w postaci zestawu danych w programie komputerowym. Istnieje kilka ró»nych sposobów reprezentacji grafu, ka»da z nich ma swoje wady i zalety. Ró»ni si m.in.: rozmiarem zajmowanej pami ci, czasem wykonywania zapyta«i operacji modykuj cych, stopniem trudno±ci implementacji. 51 / 64
54 Reprezentacja grafu Wybór odpowiedniego sposobu jest mocno uzale»niony m.in. od: rozwa»anego algorytmu (jakie operacje na grae b dziemy wykonywa najcz ±ciej), rodzaju grafów, które b d analizowane przez algorytm. Nale»y starannie przemy±le wybór struktury, gdy» od niego b dzie zale»aªa zªo»ono± obliczeniowa, pami ciowa algorytmu jak i ªatwo± implementacji. Zakªadamy,»e czytelnik zna elementarne (statyczne i dynamiczne) struktury danych wybranego j zyka programowania. 52 / 64
55 Macierz s siedztwa Ustalmy graf G = (V, E), V = {1, 2,..., n}. Macierz (tablica) s siedztwa: macierz A = A(G) M n n (Z) o wspóªczynnikach: { 0, {i, j} / E, A i,j = 1, {i, j} E, lub w wersji zorientowanej: A i,j = { 0, (i, j) / E, 1, (i, j) E. 53 / 64
56 Macierz s siedztwa Przykªad Ai,j Dla grafu niezorientowanego jest to macierz symetryczna (ka»da kraw d¹ odpowiada dwóm 1-kom w macierzy) z zerami na przek tnej. 54 / 64
57 Macierz s siedztwa Przykªad Ai,j Dla grafu zorientowanego macierz s siedztwa na ogóª nie jest symetryczna (ka»da kraw d¹ odpowiada jednej 1-ce w macierzy). Niekoniecznie zawsze zera na przek tnej. 55 / 64
58 Macierz s siedztwa Zalety: operacja zapytania: czy wierzchoªki i, j V s s siednie (tj. czy istnieje kraw d¹ {i, j} E lub, w wersji zorientowanej, ªuk (i, j) E )? realizowana w czasie staªym (odczyt pozycji (i, j) z tablicy), ªatwo± implementacji. Wady: du»e zu»ycie pami ci: O( V 2 ), trzymamy niepotrzebnie mnóstwo zer (zwªaszcza dla grafów rzadkich, tj. maj cych stosunkowo niewiele kraw dzi w porównaniu do liczby wierzchoªków). 56 / 64
59 Listy s siedztwa Ustalmy graf G = (V, E), V = {1,..., n}. Listy s siedztwa: tablica L[1..n], gdzie L[i] = wska¹nik do (dynamicznej) listy s siadów wierzchoªka i. Przypomnienie: gdy G niezorientowany, j jest s siadem i {i, j} E ; gdy G zorientowany, j jest s siadem i (i, j) E. Dynamiczne listy mo»na zaimplementowa r cznie, przy wykorzystaniu wska¹ników, lub skorzysta z gotowych struktur, np. vector biblioteki STL j zyka C++: 57 / 64
60 Listy s siedztwa Przykªad L[i] Znak powy»ej symbolizuje wska¹nik. Kolejno± s siadów w listach na ogóª nie jest istotna. 58 / 64
61 Listy s siedztwa Przykªad L[i] Znak powy»ej symbolizuje wska¹nik. Kolejno± s siadów w listach na ogóª nie jest istotna. 59 / 64
62 Listy s siedztwa Zalety: wygodna i szybka realizacja zapytania: zwró list wszystkich s siadów wierzchoªka i. mniejsze zu»ycie pami ci (w porównaniu do macierzy s siedztwa) trzymamy tylko istotne informacje. Wady: nieco bardziej kªopotliwa implementacja. 60 / 64
63 Sklejone listy s siedztwa Ustalmy graf G = (V, E), V = {1,..., n}, E = m. Sklejone listy s siedztwa: w peªni statyczna wersja list s siedztwa struktura przechowywana w dwóch tablicach: Tablica sklejonych list s siedztwa (TSLS) skªada si z 2m komórek w wersji nieskierowanej lub m komórek w wersji skierowanej i zawiera ustawione jedna za drug listy s siadów kolejnych wierzchoªków. Tablica podziaªów (TP) skªada si z n + 1 komórek. W jej i-tej komórce zapami tamy, pocz wszy od której komórki w TSLS zapisani s s siedzi wierzchoªka o numerze i. Dodatkowo kªadziemy TP[n + 1] := 2m + 1 (w wersji nieskierowanej) lub TP[n + 1] := m + 1 (w wersji skierowanej). s siedzi wierzchoªka i zapisani s w komókach tablicy TSLS o indeksach mi dzy TP[i] a TP[i + 1] / 64
64 Sklejone listy s siedztwa Przykªad i TP i TSLS / 64
65 Sklejone listy s siedztwa Przykªad i TP i TSLS / 64
66 Inne reprezentacje Uwaga W obu wersjach list s siedztwa (dynamicznej i statycznej sklejonej), warto postortowa wierzchoªki w listach s siadów dla poszczególnych wierzchoªków. Wówczas mo»na istotnie przyspieszy sprawdzanie, czy dane dwa wierzchoªki s s siednie. Istniej jeszcze inne, bardziej specyczne sposoby reprezentowania grafu G = (V, E), V = {1,..., n}, E = {e 1, e 2,..., e m }: Lista (tablica) kraw dzi: [[v1 1, v 2 1], [v 1 2, v 2 2],..., [v 1 m, v 2 m ]], gdzie e i = {v1 i, v 2 i }. Macierz incydencji: B = B(G) M n m (Z), { 0, i / ej, B i,j = 1, i e j. 64 / 64
Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze
Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 2013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych
Algorytmy i struktury danych Cz ± druga Prowadz cy: dr Andrzej Mróz, Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikoªaja Kopernika 1 / 82 Rekurencja Procedura (funkcja) rekurencyjna wywoªuje sam siebie.
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie
2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona
Bardziej szczegółowo10a: Wprowadzenie do grafów
10a: Wprowadzenie do grafów Spis zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu drogi i cykle, spójno± w tym sªaba i silna drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoZadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz
Bardziej szczegółowoTeoria grafów i sieci 1 / 58
Teoria grafów i sieci 1 / 58 Literatura 1 B.Korte, J.Vygen, Combinatorial optimization 2 D.Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms 3 M.Sysªo, N.Deo Metody optymalizacji dyskretnej z przykªadami w Turbo
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Bardziej szczegółowoPodstawowepojęciateorii grafów
7 Podstawowepojęciateorii grafów Wiele sytuacji z»ycia codziennego mo»e by w wygodny sposób opisanych gracznie za pomoc rysunków skªadaj cych si ze zbioru punktów i linii ª cz cych pewne pary tych punktów.
Bardziej szczegółowoTeoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126
Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje
9: (grafy skierowane) Spis zagadnie«cz ±ciowe Przykªady: gªosowanie wi kszo±ciowe, Digraf (graf skierowany) Digraf to równowa»ny termin z terminem graf skierowany (od ang. directed graph). W grafach skierowanych
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 1: Wprowadzenie i poj cia podstawowe. c Marcin Sydow. Wprowadzenie. Podstawowe poj cia. Operacje na grafach.
1: i podstawowe Spis Zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu s siedztwo i incydencja izomorzm grafów stopnie wierzchoªków (w tym wej±ciowy i wyj±ciowy), lemat
Bardziej szczegółowoPodstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania
Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie
8: Kolorowanie Grafów Spis zagadnie«kolorowanie wierzchoªków Kolorowanie map Kolorowanie kraw dzi Wielomian chromatyczny Zastosowania Problem kolorowania grafów ma wiele odmian (np. kolorowanie wierzchoªków,
Bardziej szczegółowoPodstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania
Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 2013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt pn. Wzmocnienie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2
Algorytmy grafowe 2 Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Minimalne drzewo spinaj ce Drzewem nazywamy spójny graf nie posiadaj cy cyklu. Liczba wierzchoªków drzewa jest o jeden wi ksza od liczby jego kraw dzi.
Bardziej szczegółowoWykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów
Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów 1 / 112 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka dla programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowadzenie do algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B.
Bardziej szczegółowoMosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw
Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw 3 kwietnia 2014 roku 1 / 106 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za
Bardziej szczegółowoDrzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009
Wprowadzenie Drzewa Gomory-Hu Jakub Š cki 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie 1 Wprowadzenie Podstawowe poj cia i fakty 2 Istnienie drzew Gomory-Hu 3 Algorytm budowy drzew 4 Problemy otwarte Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach
12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa
Bardziej szczegółowoGrafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska
Andrzej Jastrz bski Akademia ET I Graf Grafem nazywamy par G = (V, E), gdzie V to zbiór wierzchoªków, E zbiór kraw dzi taki,»e E {{u, v} : u, v V u v}. Wierzchoªki v, u V s s siaduj ce je±li s poª czone
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie
7: Spis zagadnie«twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej Graf Planarny Graf planarny to taki graf,
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoNajkrótsze drogi w grafach z wagami
Najkrótsze drogi w grafach z wagami Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziaªania
Bardziej szczegółowoMinimalne drzewa rozpinaj ce
y i y i drzewa Spis zagadnie«y i drzewa i lasy cykle fundamentalne i rozci cia fundamentalne wªasno±ci cykli i rozci minimalne drzewa algorytm algorytm Drzewo y i spójnego, nieskierowanego grafu prostego
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Podstawy Grafy i Zastosowania Kod Prüfera 3: Drzewa Drzewa ukorzenione * Drzewa binarne Zastosowania Podsumowanie
Grafy i Grafy i 3: Spis zagadnie«grafy i drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci kodowanie Prüfera i zliczanie drzew etykietowanych (tw. Cayleya) drzewa drzewa zliczanie drzew binarnych (tw.
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoNajkrótsze drogi w grafach z wagami
Najkrótsze drogi w grafach z wagami dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G b dzie grafem spójnym. Denicja Je»eli w grae G istnieje zamkni ta droga prosta zawieraj ca wszystkie kraw dzie
Bardziej szczegółowoListy i operacje pytania
Listy i operacje pytania Iwona Polak iwona.polak@us.edu.pl Uniwersytet l ski Instytut Informatyki pa¹dziernika 07 Który atrybut NIE wyst puje jako atrybut elementów listy? klucz elementu (key) wska¹nik
Bardziej szczegółowoEgzaminy i inne zadania. Semestr II.
Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«ze Wst pu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Ponadto doª czyªem szereg zada«, które pojawiaªy si
Bardziej szczegółowoMinimalne drzewo rozpinaj ce
Minimalne drzewo rozpinaj ce Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziaªania
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 11: Twierdzenia Minimaksowe. c Marcin Sydow. Wst p: Tw. Halla. Dualno± Zbiory niezale»ne. Skojarzenia c.d.
11: Twierdzenia Minimaksowe Spis zagadnie«wst p: Kojarzenie Maª»e«stw i i twierdzenia minimaksowe i pokrycia (Tw. Gallai) w grafach (tw. Berge'a) w grafach dwudzielnych (tw. Königa, ) Pokrycia macierzy
Bardziej szczegółowoGeometria Algebraiczna
Geometria Algebraiczna Zadania domowe: seria 1 Zadania 1-11 to powtórzenie podstawowych poj z teorii kategorii. Zapewne rozwi zywali Pa«stwo te zadania wcze±niej, dlatego nie b d one omawiane na wiczeniach.
Bardziej szczegółowoTeoria grafów i sieci 1 / 188
Teoria grafów i sieci / Drzewa z wagami Drzewem z wagami nazywamy drzewo z korzeniem, w którym do ka»dego li±cia przyporz dkowana jest liczba nieujemna, nazywana wag tego li±cia. / Drzewa z wagami Drzewem
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoMinimalne drzewo rozpinaj ce
Minimalne drzewo rozpinaj ce dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego
Bardziej szczegółowoW poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW. Graf skierowany dla ka»dej kraw dzi (oznaczanej tutaj jako ªuk) para wierzchoªków incydentnych jest par uporz dkowan {u, v}.
Podstawowe denicje: TEORIA GRAFÓW Graf (nieskierowany) G = (V, E) struktura skªadaj ca si ze: zbioru wierzchoªków V = {,,..., v n } oraz zbioru kraw dzi E = {e 1, e 2,..., e m }. Z ka»d kraw dzi e skojarzona
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Grafy i Zastosowania BFS DFS 4: Przeszukiwanie Grafów (BFS, DFS i zastosowania) DFS nieskierowane DFS skierowane Podsumowanie
4: Przeszukiwanie Grafów (, i zastosowania) Spis zagadnie«przeszukiwanie grafów (rola, schemat ogólny, zastosowania) realizacje (kolejka, stos, rekurencja) przeszukiwanie wszerz zastosowania przeszukiwanie
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowoMatematyczne podstawy kognitywistyki
Matematyczne podstawy kognitywistyki Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Rachunek zbiorów Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne podstawy kognitywistyki Rachunek zbiorów 1
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinaj ce. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinaj ce. Cykle i rozci cia fundamentalne. Zastosowania
Grafy i Grafy i 5: Rozpinaj ce Spis zagadnie«grafy i i lasy cykle fundamentalne i wªasno±ci cykli i rozci przestrzenie cykli i rozci * : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala*
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowoLekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz
Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia
Bardziej szczegółowoEgzaminy i inne zadania. Semestr II.
Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«ze Wst pu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Ponadto doª czyªem szereg zada«, które pojawiaªy si
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMatematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
Bardziej szczegółowoMaszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne
Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )
Bardziej szczegółowoMetoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych
1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera
Bardziej szczegółowoPodstawy modelowania w j zyku UML
Podstawy modelowania w j zyku UML dr hab. Bo»ena Wo¹na-Szcze±niak Akademia im. Jan Dªugosza bwozna@gmail.com Wykªad 2 Zwi zki mi dzy klasami Asocjacja (ang. Associations) Uogólnienie, dziedziczenie (ang.
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
18 maja 2013 Twierdzenie Halla o maª»e«stwach Problem Wyobra¹my sobie,»e mamy m dziewczyn i pewn liczb chªopców. Ka»da dziewczyna chce wyj± za m», przy czym ka»da z nich godzi si po±lubi tylko pewnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoRzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów
Rzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów 1 Wst p Przypomnijmy,»e komputer skªada si z procesora, pami ci, systemu wej±cia-wyj±cia oraz po- ª cze«mi dzy nimi. W procesorze mo»emy
Bardziej szczegółowoNotatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne.
Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. IIUWr. II rok informatyki. Przygotowaª: Krzysztof Lory± 1 Schemat ogólny. Typowe zadanie rozwi zywane metod zachªann ma charakter optymalizacyjny.
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych
Lista zada«. Nr 4. 9 kwietnia 2016 IIUWr. II rok informatyki. Algorytmy i Struktury Danych 1. (0pkt) Rozwi» wszystkie zadania dodatkowe. 2. (1pkt) Uªó» algorytm znajduj cy najta«sz drog przej±cia przez
Bardziej szczegółowo2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne
2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoProgramowanie wspóªbie»ne
1 Zadanie 1: Bar Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 6 monitory cz. 2 Napisz monitor Bar synchronizuj cy prac barmana obsªuguj cego klientów przy kolistym barze z N stoªkami. Ka»dy klient realizuje nast
Bardziej szczegółowoGranular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY
Granular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY PB 2 PB 1 Projekt z wyznaczania reduktów zbioru Liczba osób realizuj cych projekt: 1-2 osoby 1. Wczytanie danych w formatach arf,
Bardziej szczegółowoi, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Bardziej szczegółowoMiASI. Modelowanie integracji systemów. Piotr Fulma«ski. 26 stycznia Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska
MiASI Modelowanie integracji systemów Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 26 stycznia 2010 Spis tre±ci 1 Czym jest integracja systemów informatycznych? 2 Integracja
Bardziej szczegółowoReprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Bardziej szczegółowoLab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
Bardziej szczegółowoMiASI. Modelowanie systemów informatycznych. Piotr Fulma«ski. 18 stycznia Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska
MiASI Modelowanie systemów informatycznych Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 18 stycznia 2010 Spis tre±ci 1 Analiza systemu informatycznego Poziomy analizy 2
Bardziej szczegółowoStereometria (geometria przestrzenna)
Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy
Bardziej szczegółowoGraf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Bardziej szczegółowoAlgorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV
Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów
Bardziej szczegółowo1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,
XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1
Bardziej szczegółowoRachunek zda«. Relacje. 2018/2019
Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Zdanie logiczne.
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowoPo co planowanie? Planowanie projektu. Najcz stsz przyczyn niepowodzenia projektów jest brak czasu.
Po co planowanie? Najcz stsz przyczyn niepowodzenia projektów jest brak czasu. Po co planowanie? Najcz stsz przyczyn niepowodzenia projektów jest brak czasu. Tygodnie kodowania mog zaoszcz dzi nam godzin
Bardziej szczegółowoZadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoSzeregowanie zada« Wykªad nr 5. dr Hanna Furma«czyk. 4 kwietnia 2013
Wykªad nr 5 4 kwietnia 2013 Procesory dedykowane Przypomnienie: zadania s podzielone na operacje (zadanie Z j skªada si z operacji O ij do wykonania na maszynach M i, o dªugo±ciach czasowych p ij ); zadanie
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowo1 Kodowanie i dekodowanie
1 Kodowanie i dekodowanie Teoria informacji zajmuje si sposobami gromadzenia, przechowywania oraz przesyªania informacji. W tym celu, a tak»e dla ochrony danych informacje kodujemy. Rozmowa telefoniczna,
Bardziej szczegółowoWska¹niki, tablice dynamiczne wielowymiarowe
Rozdziaª 11 Wska¹niki, tablice dynamiczne wielowymiarowe 11.1 Wst p Identycznie, jak w przypadku tablic statycznych, tablica dynamiczna mo»e by tablic jedno-, dwu-, trójitd. wymiarow. Tablica dynamiczna
Bardziej szczegółowoProgramowanie i struktury danych 1 / 44
Programowanie i struktury danych 1 / 44 Lista dwukierunkowa Lista dwukierunkowa to liniowa struktura danych skªadaj ca si z ci gu elementów, z których ka»dy pami ta swojego nast pnika i poprzednika. Operacje
Bardziej szczegółowoPodzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska
Kombinatoryka Magdalena Lema«ska Zasady zaliczenia przedmiotu Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to
Bardziej szczegółowoX WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
Bardziej szczegółowo