Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze

Save this PDF as:
Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze"

Transkrypt

1 Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziaªania Programu Operacyjnego Kapitaª Ludzki 1 / 64

2 Wst p Graf, intuicyjnie rozumiany jako obiekt skªadaj cy si z wierzchoªków i ª cz cych je kraw dzi (dokªadniejsza denicja za chwil ): jest prostym kombinatorycznym modelem opisuj cym rozmaite rzeczywiste sytuacje. 2 / 64

3 Modelowanie rzeczywisto±ci Elementy danego zagadnienia modelowanego za pomoc grafu na ogóª w naturalny sposób podzielone s na dwie kategorie: Miejsca na pªaszczy¹nie/w przestrzeni, zjawiska, procesy... = wierzchoªki; Poª czenia, powi zania, zale»no±ci mi dzy obiektami reprezentowanymi przez wierzchoªki... = kraw dzie. 3 / 64

4 Zastosowania teorii grafów Przykªady poª cze«zycznych: sie drogowa, kolejowa, lotnicza... (zagadnienia transportowe, GPS), pomieszczenia, korytarze w budynkach... (m.in. gry komputerowe), sieci energetyczne, sieci komputerowe, itp. 4 / 64

5 Zastosowania teorii grafów Przykªady poª cze«logicznych: obrazowanie hierarchii drzewa (genealogia, rozwój populacji, zawody sportowe), nast pstwo czasowe procesów, relacje (w sensie matematycznym), relacje mi dzy lud¹mi, pracownicy przepªyw zada«, struktura organizacji, przydziaª zasobów, itp. 5 / 64

6 Zastosowania, cele Mo»na ±miaªo zaryzykowa stwierdzenie,»e wspóªcze±nie wªa±ciwie ka»dego dnia stykamy si z urz dzeniami, aplikacjami, które w po±redni lub bezpo±redni sposób korzystaj z poj teorii grafów. Celem tej serii wykªadów jest omówienie szeregu algorytmów grafowych, czyli algorytmów do których wej±ciem s dane reprezentuj ce dany graf G, a które odpowiadaj na pewne pytania natury kombinatorycznej zwi zane z G. 6 / 64

7 Cel wykªadu Aby dobrze rozumie zagadnienia zwi zane z grafami i algorytmy grafowe nale»y sformalizowa poj cie grafu i poj cia z nim zwi zane; opisa pewne kombinatoryczne fakty dotycz ce grafów (tym zajmuje si teoria grafów); ponadto, nale»y przedyskutowa sposób reprezentowania grafów w komputerze. Powy»szymi zagadnieniami zajmiemy si na tym wykªadzie. Ograniczymy si do poj i faktów niezb dnych w wybranych algorytmach grafowych. 7 / 64

8 Graf niezorientowany Denicja Graf niezorientowany (nieskierowany) to para G = (V, E) zbiorów sko«czonych: V nazywany zbiorem wierzchoªków (w zªów) G, E { {u, v} : u, v V, u v} nazywany zbiorem kraw dzi G. 8 / 64

9 Graf niezorientowany Denicja Graf niezorientowany (nieskierowany) to para G = (V, E) zbiorów sko«czonych: V nazywany zbiorem wierzchoªków (w zªów) G, E { {u, v} : u, v V, u v} nazywany zbiorem kraw dzi G. Przykªad Powy»szy diagram przedstawia graf G = (V, E), gdzie V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E = { {1, 2}, {5, 1}, {1, 4}, {4, 5}, {2, 5}, {5, 3}, {6, 5} }. 8 / 64

10 Graf niezorientowany Denicja Graf niezorientowany (nieskierowany) to para G = (V, E) zbiorów sko«czonych: V nazywany zbiorem wierzchoªków (w zªów) G, E { {u, v} : u, v V, u v} nazywany zbiorem kraw dzi G. Przykªad. Czasem wygodnie jest nada kraw dziom etykiety: e e 3 e 5 3 e e 6 2 e 4 e 7 Wówczas G = (V, E), V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E = { e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7 }, gdzie e 1 = {1, 2}, e 2 = {5, 1}, itp. 9 / 64

11 Graf niezorientowany Uwagi. Zwró my uwag,»e formalnie ka»da kraw d¹ to zbiór dwuelementowy, wi c zapis e 1 = {1, 2} jest równowa»ny e 1 = {2, 1}, gdy» w zbiorach kolejno± jest nieistotna ({1, 2} = {2, 1}). Graf G jest w peªni zakodowany przez zestaw danych (V, E). Rysunek grafu jest tylko wizualizacj kombinatorycznego obiektu G. Nie nale»y zatem uto»samia grafu G z jego wizualizacj, gdy» dany graf mo»e mie wiele ró»nych gracznych prezentacji. Za wierzchoªki zazwyczaj przyjmujemy kolejne liczby naturalne, ale denicja tego nie wymaga. Równie dobrze mo»emy wzi litery alfabetu b d¹ dowolne symbole. 10 / 64

12 Graf niezorientowany Przykªad. Poni»sze dwa rysunki v w u x oraz v x w u s ró»nymi wizualizacjami tego samego grafu G = (V, E), gdzie V = {v, w, u, x}, E = { {v, w}, {v, u}, {u, w}, {x, u}}. 11 / 64

13 Graf niezorientowany Kolejny przykªad. Rozwa»my graf G czyli G = (V, E), gdzie V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, E = { {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {4, 5}, {6, 5} }. Jak widzimy, graf nie musi by w jednym kawaªku. Doprecyzujemy t nieformaln obserwacj w dalszej cz ±ci (poj cia spójno±ci, spójnej skªadowej,...). 12 / 64

14 Orientacja kraw dzi W grae niezorientowanym wierzchoªki deniuj ce kraw d¹ e = {v, w} s nierozró»nialne. Cz sto w modelowanym zjawisku zachodzi potrzeba wyró»nienia jednego z wierzchoªków, np. v, jako pocz tku i drugiego jako ko«ca kraw dzi i traktowania kraw dzi jako pary uporz dkowanej (v, w). Prowadzi to do denicji grafu zorientowanego (in. skierowanego). W gracznych prezentacjach zamiast linii rysujemy zazwyczaj strzaªki (zwane ªukami) o zwrocie od wierzchoªka v do w. Uwaga Przypomnijmy,»e {v, w} = {w, v}, ale (v, w) (w, v), o ile v w. 13 / 64

15 Graf zorientowany Denicja Graf zorientowany (skierowany) to para G = (V, E) zbiorów sko«czonych: V nazywany zbiorem wierzchoªków (w zªów) G, E { (u, v) : u, v V } = V V nazywany zbiorem kraw dzi (in. ªuków lub strzaªek) G. 14 / 64

16 Graf zorientowany Denicja Graf zorientowany (skierowany) to para G = (V, E) zbiorów sko«czonych: V nazywany zbiorem wierzchoªków (w zªów) G, E { (u, v) : u, v V } = V V nazywany zbiorem kraw dzi (in. ªuków lub strzaªek) G. Przykªad Powy»szy diagram przedstawia graf G = (V, E), gdzie V = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, E = { (1, 2), (2, 1), (1, 5), (1, 4), (4, 5), (2, 5), (5, 3), (5, 6) }. 14 / 64

17 Graf zorientowany Podobnie jak w przypadku niezorientowanym, mo»na etykietowa ªuki. Zauwa»my,»e denicja grafu zorientowanego dopuszcza sytuacj, gdy pomi dzy par wierzchoªków s dwa (przeciwnie skierowane) ªuki: Ale sytuacja nie jest dopuszczona w przyj tej denicji! W denicji grafu zorientowanego dopuszczamy ªuki postaci (v, v). Nazywamy je p tlami (zaczepionymi w wierzchoªku v). 15 / 64

18 Wierzchoªki i kraw dzie Ustalmy graf niezorientowany G = (V, E) (dla grafu zorientowanego denicje analogiczne). Denicja wierzchoªki u, v V s s siednie, gdy {u, v} E, kraw dzie e 1, e 2 E s s siednie, gdy e 1 e 2 (maj wspólny wierzchoªek), wierzchoªek v V jest incydentny z kraw dzi e E (lub: kraw d¹ e jest incydentna z wierzchoªkiem v), gdy v e. Ponadto dla kraw dzi e = {u, v} E, u i v nazywamy ko«cami e (czyli e jest incydentna z w w jest jednym z ko«ców e), gdy G jest zorientowany, to dla kraw dzi e = (u, v) E (oznaczanej czasem e = u v), u nazywamy pocz tkiem, a v ko«cem e; mówimy wówczas,»e e jest kraw dzi wychodz c z u i wchodz c do v. 16 / 64

19 Wierzchoªki i kraw dzie Denicja Stopniem wierzchoªka v V nazywamy liczb deg G (v) := #{e E : v e} tj. liczb kraw dzi incydentnych z wierzchoªkiem v. Gdy G jest grafem zorientowanym to rozró»nia si stopie«wyj±ciowy wierzchoªka v V : out.deg G (v) = deg + (v) := #{w V : v w E} G oraz stopie«wej±ciowy wierzchoªka v V : in.deg G (v) = deg (v) := #{u V : u v E}. G 17 / 64

20 Denicja Drogi Droga w grae niezorientowanym G = (V, E) ci g wierzchoªków i kraw dzi P = (v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., e k, v k ), v i V, e j E, k 0, taki,»e e j = {v j 1, v j }. Denicja Droga w grae zorientowanym G = (V, E) ci g wierzchoªków i kraw dzi P = (v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., e k, v k ), v i V, e j E, k 0, taki,»e e j = (v j 1, v j ). W obu przypadkach (zorientowanym lub nie) dopuszczamy drogi trywialne postaci P = (v 0 ), v 0 V, liczb k nazywamy dªugo±ci drogi, v 0 pocz tek, v k koniec drogi P (mówimy,»e P jest drog z v 0 do v k ). 18 / 64

21 Uwaga Drogi Zauwa»my,»e w obu przypadkach (zorientowanym i nie), droga P = (v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., e k, v k ) jest jednoznacznie wyznaczona przez ci g swoich wierzchoªków, dlatego cz sto piszemy skrótowo P = (v 0, v 1,..., v k ). Przykªad. Graf niezorientowany Na diagramie zaznaczyli±my drog P = (1, {1, 2}, 2, {2, 5}, 5, {5, 6}, 6) (lub skrótowo P = (1, 2, 5, 6)). 19 / 64

22 Uwaga Drogi Zauwa»my,»e w obu przypadkach (zorientowanym i nie), droga P = (v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., e k, v k ) jest jednoznacznie wyznaczona przez ci g swoich wierzchoªków, dlatego cz sto piszemy skrótowo P = (v 0, v 1,..., v k ). Przykªad. Graf zorientowany P = (1, (1, 2), 2, (2, 1), 1, (1, 5), 5, (5, 3), 3) (lub skrótowo P = (1, 2, 1, 5, 3)). 20 / 64

23 Cykle i drogi proste Denicja Niech P = (v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., e k, v k ) b dzie drog w grae (zorientowanym lub nie). Wówczas je»eli v i v j dla ka»dych 0 i j k, to P nazywamy drog prost, je»eli v 0 = v k i k > 0 to P nazywamy drog zamkni t lub cyklem gdy dodatkowo vi vj oraz ei ej dla ka»dych 1 i j k, to cykl P nazywamy cyklem prostym. Uwaga Cz sto w literaturze u»ywa si nazwy cykl w znaczeniu cykl prosty. 21 / 64

24 Przykªady. Cykle i drogi proste Droga P = (1, 2, 5, 6) jest drog prost Droga P = (1, 2, 5, 1) jest cyklem prostym. 22 / 64

25 Przykªady. Cykle i drogi proste Droga P = (1, 2, 5, 1, 2, 5, 1) (nawini ta dwa razy) jest cyklem, ale nie jest cyklem prostym Droga P = (1, 2, 1, 5, 3) nie jest drog prost. 23 / 64

26 Drogi niezorientowane Niech G = (V, E) b dzie grafem zorientowanym. Denicja Droga niezorientowana w grae G = (V, E) ci g W = (v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., e k, v k ), v i V, e j E, k 0, taki,»e e j = (v j 1, v j ) lub e j = (v j, v j 1 ). Uwaga W grae zorientowanym ka»da droga jest drog niezorientowan, ale nie na odwrót! 24 / 64

27 Drogi niezorientowane Przykªad Droga niezorientowana W = (1, (1, 4), 4, (4, 5), 5, (2, 5), 2). Zauwa»my,»e ci g wierzchoªków nie zawsze wyznacza jednoznacznie drog niezorientowan! Na powy»szym grae mamy dwie ró»ne niezorientowane drogi: (1, (1, 2), 2) oraz (1, (2, 1), 2). 25 / 64

28 Spójno± Denicja Graf niezorientowany G = (V, E) jest spójny, o ile dla ka»dych u, v V istnieje droga P z u do v. Denicja Graf zorientowany G = (V, E) jest sªabo spójny, o ile dla ka»dych u, v V istnieje droga niezorientowana P z u do v. Denicja Graf zorientowany G = (V, E) jest silnie spójny, o ile dla ka»dych u, v V istnieje droga P z u do v. 26 / 64

29 Spójno± Przykªady. Graf spójny: Graf niespójny: / 64

30 Spójno± Przykªady. Graf sªabo spójny ale nie silnie spójny: Graf silnie spójny: Uwaga Graf zorientowany, który jest silnie spójny, jest te» sªabo spójny. 28 / 64

31 Podgraf Denicja Graf H = (V, E ) nazywamy podgrafem grafu G = (V, E), o ile V V oraz E E. Denicja Podgraf H = (V, E ) grafu G = (V, E) nazywamy peªnym, o ile u,v V {u, v} E {u, v} E lub w wersji zorientowanej u,v V (u, v) E (u, v) E. 29 / 64

32 Przykªad. Graf G : Podgraf Podgraf grafu G : Podgraf peªny grafu G : / 64

33 Podgraf Zauwa»my,»e podgraf peªny H = (V, E ) grafu G = (V, E) jest w peªni wyznaczony przez zbiór swoich wierzchoªków V. Dlatego mówimy,»e H jest peªnym podgrafem grafu G indukowanym przez wierzchoªki ze zbioru V. Zatem graf G ma tyle peªnych podgrafów, ile jest podzbiorów zbioru V, czyli 2 V (wliczaj c podgraf pusty i caªy graf G, który te» jest oczywi±cie swoim podgrafem peªnym). Dowolnych podgrafów jest na ogóª sporo wi cej. 31 / 64

34 Skªadowe spójno±ci Ustalmy graf niezorientowany G = (V, E). Denicja Mówimy,»e v V jest osi galny z u V, gdy w G istnieje droga P z u do v. Obserwacja Denicja Jest osi galny jest relacj zwrotn, symetryczn i przechodni, czyli relacj równowa»no±ci w V. Zatem relacja ta rozbija zbiór V na klasy abstrakcji. Spójn skªadow (inaczej skªadow spójno±ci) w grae G nazywamy peªny podgraf grafu G o wierzchoªkach z dowolnej klasy abstrakcji relacji jest osi galny. 32 / 64

35 Skªadowe spójno±ci Innymi sªowy: spójna skªadowa jest maksymalnym spójnym podgrafem peªnym grafu G. Wniosek Graf G jest spójny posiada tylko jedn spójn skªadow. W poni»szym grae mamy 3 spójne skªadowe (zaznaczone ró»nymi kolorami) / 64

36 Silnie spójne skªadowe Ustalmy graf zorientowany G = (V, E). Relacja jest osi galny deniowana jak dla grafu niezorientowanego (v V jest osi galny z u V, gdy w G istnieje droga P z u do v), nie jest symetryczna! Nie mo»e wi c by mowy o klasach abstrakcji. Ale mo»emy zdeniowa poj cie silnej skªadowej spójno±ci nast puj co: Denicja Peªny podgraf H grafu G, który jest maksymalny i silnie spójny nazywamy silnie spójn skªadow grafu G. Czasem rozwa»a si te» poj cie sªabo spójnej skªadowej, deniowanej przy pomocy osi galno±ci przez drogi niezorientowane (lub równowa»nie, jako maksymalny peªny podgraf sªabo spójny). 34 / 64

37 Przykªad. Graf Silnie spójne skªadowe posiada dwie silnie spójne skªadowe: oraz: 3 35 / 64

38 Graf peªny Denicja Graf peªny G = (V, E) to graf niezorientowany taki,»e dla ka»dych u, v V, {u, v} E (gdy V = {1, 2,..., n}, to G oznaczamy K n ). Przykªady. K 1 : 1 K 2 : 1 2 K 3 : K 4 : / 64

39 Denicja Graf dwudzielny Graf niezorientowany G = (V, E) nazywamy dwudzielnym, je»eli istnieje podziaª V na dwa rozª czne niepuste podzbiory V 1, V 2 (tj. V 1 V 2 = V ) taki,»e {u,v} E [(u V 1 v V 2 ) (v V 1 u V 2 )]. Denicja Graf G = (V, E) nazywamy peªnym dwudzielnym, je»eli istnieje podziaª V na dwa rozª czne niepuste podzbiory V 1, V 2 (tj. V 1 V 2 = V ) taki,»e u V1 v V2 {u, v} E. 37 / 64

40 Graf dwudzielny Przykªad. Graf dwudzielny: Podziaª V = V 1 V 2, gdzie V 1 = {1, 3}, V 2 = {2, 4, 5}. Powy»szy graf nie jest grafem peªnym dwudzielnym (przy tym podziale brakuje kraw dzi {1, 5} i {3, 2}). Rozwa»a si równie» grafy dwudzielne w przypadku zorientowanym, my jednak nie b dziemy potrzebowa tego poj cia. 38 / 64

41 Drzewa W tym rozdziale rozwa»amy tylko grafy niezorientowane. Denicja Graf acykliczny = graf nie zawieraj cy cykli prostych. Denicja Drzewo (drzewo wolne) = graf spójny i acykliczny. Denicja Las = graf acykliczny. Nazwa las wzi ªa si z tego,»e spójne skªadowe grafu acyklicznego s drzewami (tak wi c las skªada si z drzew). 39 / 64

42 Drzewa Przykªad. Poni»szy graf nie jest drzewem, gdy» zawiera cykl: Poni»szy graf nie jest drzewem, gdy» jest niespójny (ale jest lasem): / 64

43 Drzewa Przykªad. Drzewo: / 64

44 Charakteryzacja drzew Twierdzenie G = (V, E) graf niezorientowany. Nast puj ce warunki s równowa»ne: G jest drzewem, dla ka»dych u, v V istnieje dokªadnie jedna droga P z u do v, G jest spójny, a po usuni ciu dowolnej kraw dzi nie jest spójny, G jest spójny i E = V 1, G jest acykliczny i E = V 1, G jest acykliczny, lecz po dodaniu do E jakiejkolwiek kraw dzi powstaªy graf posiada cykl. 42 / 64

45 Denicja Drzewa z korzeniem Drzewo z korzeniem = para (T, r), gdzie T = (V, E) jest drzewem, a r V wyró»nionym wierzchoªkiem, zwanym korzeniem. Przykªad. Drzewo z korzeniem (T, 5): Drzewo z korzeniem (T, 1): / 64

46 Drzewa z korzeniem Przyj ªo si rysowa korze«na górze a pozostaªe wierzchoªki poziomami. Drzewo (T, 1) z poprzedniego slajdu zgodnie z t konwencj : Na przykªadzie powy»szego grafu zilustrujemy szereg prostych poj zwi zanych z drzewami z korzeniem, bez ich precyzyjnego deniowania. 44 / 64

47 Drzewa z korzeniem Przodkami (in.poprzednikami) wierzchoªka 6 s wierzchoªki 5 i 1. Potomkami (in. nast pnikami) wierzchoªka 5 s wierzchoªki 3, 4, 6, / 64

48 Drzewa z korzeniem Ojcem (in.bezpo±rednim poprzednikiem) wierzchoªka 6 jest wierzchoªek 5. Synami (in. bezpo±rednimi nast pnikami) wierzchoªka 5 s wierzchoªki 3, 4, / 64

49 Drzewa z korzeniem Bratem wierzchoªka 5 jest wierzchoªek 2. Stopie«wierzchoªka = liczba synów, Li± mi drzewa (T, 1) s wierzchoªki 2, 3, 4, 7 (wszystkie wierzchoªki o stopniu 0). 47 / 64

50 Drzewa z korzeniem Gª boko± (poziom) wierzchoªka v = dªugo± drogi (jedynej! patrz twierdzenie) od r do v (ozn. h(v)), np. h(1) = 0, h(7) = 3, h(5) = 1, 7 48 / 64

51 Drzewa z korzeniem Wysoko± drzewa = h(t ) = h(t, r) := max{h(v) : v V }. Zatem h(t ) = 3 dla powy»szego drzewa (T, 1) / 64

52 Denicja Drzewa Drzewo binarne = drzewo z korzeniem (T, r), w którym ka»dy wierzchoªek ma stopie«2 (wyró»niony lewy i prawy syn). W drzewie binarnym, je»eli dany wierzchoªek ma tylko jednego syna, trzeba ustali, czy jest lewy czy prawy. Denicja Poddrzewo o korzeniu x drzewa (T, r) = peªny podgraf grafu T indukowany przez wierzchoªek x i wszystkich potomków x. Lewe (odp. prawe) poddrzewo drzewa binarnego (T, r) = poddrzewo drzewa T o korzeniu b d cym lewym (odp. prawym) synem korzenia r. 50 / 64

53 Reprezentacja grafu Przez reprezentacj grafu (w komputerze) rozumiemy sposób zakodowania kombinatorycznego obiektu, jakim jest graf w postaci zestawu danych w programie komputerowym. Istnieje kilka ró»nych sposobów reprezentacji grafu, ka»da z nich ma swoje wady i zalety. Ró»ni si m.in.: rozmiarem zajmowanej pami ci, czasem wykonywania zapyta«i operacji modykuj cych, stopniem trudno±ci implementacji. 51 / 64

54 Reprezentacja grafu Wybór odpowiedniego sposobu jest mocno uzale»niony m.in. od: rozwa»anego algorytmu (jakie operacje na grae b dziemy wykonywa najcz ±ciej), rodzaju grafów, które b d analizowane przez algorytm. Nale»y starannie przemy±le wybór struktury, gdy» od niego b dzie zale»aªa zªo»ono± obliczeniowa, pami ciowa algorytmu jak i ªatwo± implementacji. Zakªadamy,»e czytelnik zna elementarne (statyczne i dynamiczne) struktury danych wybranego j zyka programowania. 52 / 64

55 Macierz s siedztwa Ustalmy graf G = (V, E), V = {1, 2,..., n}. Macierz (tablica) s siedztwa: macierz A = A(G) M n n (Z) o wspóªczynnikach: { 0, {i, j} / E, A i,j = 1, {i, j} E, lub w wersji zorientowanej: A i,j = { 0, (i, j) / E, 1, (i, j) E. 53 / 64

56 Macierz s siedztwa Przykªad Ai,j Dla grafu niezorientowanego jest to macierz symetryczna (ka»da kraw d¹ odpowiada dwóm 1-kom w macierzy) z zerami na przek tnej. 54 / 64

57 Macierz s siedztwa Przykªad Ai,j Dla grafu zorientowanego macierz s siedztwa na ogóª nie jest symetryczna (ka»da kraw d¹ odpowiada jednej 1-ce w macierzy). Niekoniecznie zawsze zera na przek tnej. 55 / 64

58 Macierz s siedztwa Zalety: operacja zapytania: czy wierzchoªki i, j V s s siednie (tj. czy istnieje kraw d¹ {i, j} E lub, w wersji zorientowanej, ªuk (i, j) E )? realizowana w czasie staªym (odczyt pozycji (i, j) z tablicy), ªatwo± implementacji. Wady: du»e zu»ycie pami ci: O( V 2 ), trzymamy niepotrzebnie mnóstwo zer (zwªaszcza dla grafów rzadkich, tj. maj cych stosunkowo niewiele kraw dzi w porównaniu do liczby wierzchoªków). 56 / 64

59 Listy s siedztwa Ustalmy graf G = (V, E), V = {1,..., n}. Listy s siedztwa: tablica L[1..n], gdzie L[i] = wska¹nik do (dynamicznej) listy s siadów wierzchoªka i. Przypomnienie: gdy G niezorientowany, j jest s siadem i {i, j} E ; gdy G zorientowany, j jest s siadem i (i, j) E. Dynamiczne listy mo»na zaimplementowa r cznie, przy wykorzystaniu wska¹ników, lub skorzysta z gotowych struktur, np. vector biblioteki STL j zyka C++: 57 / 64

60 Listy s siedztwa Przykªad L[i] Znak powy»ej symbolizuje wska¹nik. Kolejno± s siadów w listach na ogóª nie jest istotna. 58 / 64

61 Listy s siedztwa Przykªad L[i] Znak powy»ej symbolizuje wska¹nik. Kolejno± s siadów w listach na ogóª nie jest istotna. 59 / 64

62 Listy s siedztwa Zalety: wygodna i szybka realizacja zapytania: zwró list wszystkich s siadów wierzchoªka i. mniejsze zu»ycie pami ci (w porównaniu do macierzy s siedztwa) trzymamy tylko istotne informacje. Wady: nieco bardziej kªopotliwa implementacja. 60 / 64

63 Sklejone listy s siedztwa Ustalmy graf G = (V, E), V = {1,..., n}, E = m. Sklejone listy s siedztwa: w peªni statyczna wersja list s siedztwa struktura przechowywana w dwóch tablicach: Tablica sklejonych list s siedztwa (TSLS) skªada si z 2m komórek w wersji nieskierowanej lub m komórek w wersji skierowanej i zawiera ustawione jedna za drug listy s siadów kolejnych wierzchoªków. Tablica podziaªów (TP) skªada si z n + 1 komórek. W jej i-tej komórce zapami tamy, pocz wszy od której komórki w TSLS zapisani s s siedzi wierzchoªka o numerze i. Dodatkowo kªadziemy TP[n + 1] := 2m + 1 (w wersji nieskierowanej) lub TP[n + 1] := m + 1 (w wersji skierowanej). s siedzi wierzchoªka i zapisani s w komókach tablicy TSLS o indeksach mi dzy TP[i] a TP[i + 1] / 64

64 Sklejone listy s siedztwa Przykªad i TP i TSLS / 64

65 Sklejone listy s siedztwa Przykªad i TP i TSLS / 64

66 Inne reprezentacje Uwaga W obu wersjach list s siedztwa (dynamicznej i statycznej sklejonej), warto postortowa wierzchoªki w listach s siadów dla poszczególnych wierzchoªków. Wówczas mo»na istotnie przyspieszy sprawdzanie, czy dane dwa wierzchoªki s s siednie. Istniej jeszcze inne, bardziej specyczne sposoby reprezentowania grafu G = (V, E), V = {1,..., n}, E = {e 1, e 2,..., e m }: Lista (tablica) kraw dzi: [[v1 1, v 2 1], [v 1 2, v 2 2],..., [v 1 m, v 2 m ]], gdzie e i = {v1 i, v 2 i }. Macierz incydencji: B = B(G) M n m (Z), { 0, i / ej, B i,j = 1, i e j. 64 / 64

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 2013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych

Algorytmy i struktury danych Algorytmy i struktury danych Cz ± druga Prowadz cy: dr Andrzej Mróz, Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikoªaja Kopernika 1 / 82 Rekurencja Procedura (funkcja) rekurencyjna wywoªuje sam siebie.

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie

c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie 2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona

Bardziej szczegółowo

10a: Wprowadzenie do grafów

10a: Wprowadzenie do grafów 10a: Wprowadzenie do grafów Spis zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu drogi i cykle, spójno± w tym sªaba i silna drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.

Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i sieci 1 / 58

Teoria grafów i sieci 1 / 58 Teoria grafów i sieci 1 / 58 Literatura 1 B.Korte, J.Vygen, Combinatorial optimization 2 D.Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms 3 M.Sysªo, N.Deo Metody optymalizacji dyskretnej z przykªadami w Turbo

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na. Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da

Bardziej szczegółowo

Podstawowepojęciateorii grafów

Podstawowepojęciateorii grafów 7 Podstawowepojęciateorii grafów Wiele sytuacji z»ycia codziennego mo»e by w wygodny sposób opisanych gracznie za pomoc rysunków skªadaj cych si ze zbioru punktów i linii ª cz cych pewne pary tych punktów.

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje 9: (grafy skierowane) Spis zagadnie«cz ±ciowe Przykªady: gªosowanie wi kszo±ciowe, Digraf (graf skierowany) Digraf to równowa»ny termin z terminem graf skierowany (od ang. directed graph). W grafach skierowanych

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 1: Wprowadzenie i poj cia podstawowe. c Marcin Sydow. Wprowadzenie. Podstawowe poj cia. Operacje na grafach.

Grafy i Zastosowania. 1: Wprowadzenie i poj cia podstawowe. c Marcin Sydow. Wprowadzenie. Podstawowe poj cia. Operacje na grafach. 1: i podstawowe Spis Zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu s siedztwo i incydencja izomorzm grafów stopnie wierzchoªków (w tym wej±ciowy i wyj±ciowy), lemat

Bardziej szczegółowo

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie 8: Kolorowanie Grafów Spis zagadnie«kolorowanie wierzchoªków Kolorowanie map Kolorowanie kraw dzi Wielomian chromatyczny Zastosowania Problem kolorowania grafów ma wiele odmian (np. kolorowanie wierzchoªków,

Bardziej szczegółowo

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 2013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt pn. Wzmocnienie

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2

Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2 Algorytmy grafowe 2 Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Minimalne drzewo spinaj ce Drzewem nazywamy spójny graf nie posiadaj cy cyklu. Liczba wierzchoªków drzewa jest o jeden wi ksza od liczby jego kraw dzi.

Bardziej szczegółowo

Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów

Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów 1 / 112 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka dla programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowadzenie do algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B.

Bardziej szczegółowo

Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw

Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw 3 kwietnia 2014 roku 1 / 106 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za

Bardziej szczegółowo

Drzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009

Drzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie Drzewa Gomory-Hu Jakub Š cki 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie 1 Wprowadzenie Podstawowe poj cia i fakty 2 Istnienie drzew Gomory-Hu 3 Algorytm budowy drzew 4 Problemy otwarte Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach

c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach 12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa

Bardziej szczegółowo

Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska

Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska Andrzej Jastrz bski Akademia ET I Graf Grafem nazywamy par G = (V, E), gdzie V to zbiór wierzchoªków, E zbiór kraw dzi taki,»e E {{u, v} : u, v V u v}. Wierzchoªki v, u V s s siaduj ce je±li s poª czone

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie

c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie 7: Spis zagadnie«twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej Graf Planarny Graf planarny to taki graf,

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad

Bardziej szczegółowo

Najkrótsze drogi w grafach z wagami

Najkrótsze drogi w grafach z wagami Najkrótsze drogi w grafach z wagami Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziaªania

Bardziej szczegółowo

Minimalne drzewa rozpinaj ce

Minimalne drzewa rozpinaj ce y i y i drzewa Spis zagadnie«y i drzewa i lasy cykle fundamentalne i rozci cia fundamentalne wªasno±ci cykli i rozci minimalne drzewa algorytm algorytm Drzewo y i spójnego, nieskierowanego grafu prostego

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Podstawy Grafy i Zastosowania Kod Prüfera 3: Drzewa Drzewa ukorzenione * Drzewa binarne Zastosowania Podsumowanie

c Marcin Sydow Podstawy Grafy i Zastosowania Kod Prüfera 3: Drzewa Drzewa ukorzenione * Drzewa binarne Zastosowania Podsumowanie Grafy i Grafy i 3: Spis zagadnie«grafy i drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci kodowanie Prüfera i zliczanie drzew etykietowanych (tw. Cayleya) drzewa drzewa zliczanie drzew binarnych (tw.

Bardziej szczegółowo

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14 WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Najkrótsze drogi w grafach z wagami

Najkrótsze drogi w grafach z wagami Najkrótsze drogi w grafach z wagami dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu

Bardziej szczegółowo

Wektory w przestrzeni

Wektory w przestrzeni Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G b dzie grafem spójnym. Denicja Je»eli w grae G istnieje zamkni ta droga prosta zawieraj ca wszystkie kraw dzie

Bardziej szczegółowo

Listy i operacje pytania

Listy i operacje pytania Listy i operacje pytania Iwona Polak iwona.polak@us.edu.pl Uniwersytet l ski Instytut Informatyki pa¹dziernika 07 Który atrybut NIE wyst puje jako atrybut elementów listy? klucz elementu (key) wska¹nik

Bardziej szczegółowo

Egzaminy i inne zadania. Semestr II.

Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«ze Wst pu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Ponadto doª czyªem szereg zada«, które pojawiaªy si

Bardziej szczegółowo

Minimalne drzewo rozpinaj ce

Minimalne drzewo rozpinaj ce Minimalne drzewo rozpinaj ce Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziaªania

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 11: Twierdzenia Minimaksowe. c Marcin Sydow. Wst p: Tw. Halla. Dualno± Zbiory niezale»ne. Skojarzenia c.d.

Grafy i Zastosowania. 11: Twierdzenia Minimaksowe. c Marcin Sydow. Wst p: Tw. Halla. Dualno± Zbiory niezale»ne. Skojarzenia c.d. 11: Twierdzenia Minimaksowe Spis zagadnie«wst p: Kojarzenie Maª»e«stw i i twierdzenia minimaksowe i pokrycia (Tw. Gallai) w grafach (tw. Berge'a) w grafach dwudzielnych (tw. Königa, ) Pokrycia macierzy

Bardziej szczegółowo

Geometria Algebraiczna

Geometria Algebraiczna Geometria Algebraiczna Zadania domowe: seria 1 Zadania 1-11 to powtórzenie podstawowych poj z teorii kategorii. Zapewne rozwi zywali Pa«stwo te zadania wcze±niej, dlatego nie b d one omawiane na wiczeniach.

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i sieci 1 / 188

Teoria grafów i sieci 1 / 188 Teoria grafów i sieci / Drzewa z wagami Drzewem z wagami nazywamy drzewo z korzeniem, w którym do ka»dego li±cia przyporz dkowana jest liczba nieujemna, nazywana wag tego li±cia. / Drzewa z wagami Drzewem

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1 J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)

Bardziej szczegółowo

Minimalne drzewo rozpinaj ce

Minimalne drzewo rozpinaj ce Minimalne drzewo rozpinaj ce dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego

Bardziej szczegółowo

W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji

W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW. Graf skierowany dla ka»dej kraw dzi (oznaczanej tutaj jako ªuk) para wierzchoªków incydentnych jest par uporz dkowan {u, v}.

TEORIA GRAFÓW. Graf skierowany dla ka»dej kraw dzi (oznaczanej tutaj jako ªuk) para wierzchoªków incydentnych jest par uporz dkowan {u, v}. Podstawowe denicje: TEORIA GRAFÓW Graf (nieskierowany) G = (V, E) struktura skªadaj ca si ze: zbioru wierzchoªków V = {,,..., v n } oraz zbioru kraw dzi E = {e 1, e 2,..., e m }. Z ka»d kraw dzi e skojarzona

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Grafy i Zastosowania BFS DFS 4: Przeszukiwanie Grafów (BFS, DFS i zastosowania) DFS nieskierowane DFS skierowane Podsumowanie

c Marcin Sydow Grafy i Zastosowania BFS DFS 4: Przeszukiwanie Grafów (BFS, DFS i zastosowania) DFS nieskierowane DFS skierowane Podsumowanie 4: Przeszukiwanie Grafów (, i zastosowania) Spis zagadnie«przeszukiwanie grafów (rola, schemat ogólny, zastosowania) realizacje (kolejka, stos, rekurencja) przeszukiwanie wszerz zastosowania przeszukiwanie

Bardziej szczegółowo

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14 WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki dla informatyków

Podstawy matematyki dla informatyków Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru

Bardziej szczegółowo

Matematyczne podstawy kognitywistyki

Matematyczne podstawy kognitywistyki Matematyczne podstawy kognitywistyki Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Rachunek zbiorów Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne podstawy kognitywistyki Rachunek zbiorów 1

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW I SIECI

TEORIA GRAFÓW I SIECI TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinaj ce. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinaj ce. Cykle i rozci cia fundamentalne. Zastosowania

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinaj ce. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinaj ce. Cykle i rozci cia fundamentalne. Zastosowania Grafy i Grafy i 5: Rozpinaj ce Spis zagadnie«grafy i i lasy cykle fundamentalne i wªasno±ci cykli i rozci przestrzenie cykli i rozci * : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala*

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

Przekroje Dedekinda 1

Przekroje Dedekinda 1 Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi

Bardziej szczegółowo

r = x x2 2 + x2 3.

r = x x2 2 + x2 3. Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia

Bardziej szczegółowo

Egzaminy i inne zadania. Semestr II.

Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«ze Wst pu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Ponadto doª czyªem szereg zada«, które pojawiaªy si

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne

Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )

Bardziej szczegółowo

Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych

Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych 1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera

Bardziej szczegółowo

Podstawy modelowania w j zyku UML

Podstawy modelowania w j zyku UML Podstawy modelowania w j zyku UML dr hab. Bo»ena Wo¹na-Szcze±niak Akademia im. Jan Dªugosza bwozna@gmail.com Wykªad 2 Zwi zki mi dzy klasami Asocjacja (ang. Associations) Uogólnienie, dziedziczenie (ang.

Bardziej szczegółowo

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne 1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów 18 maja 2013 Twierdzenie Halla o maª»e«stwach Problem Wyobra¹my sobie,»e mamy m dziewczyn i pewn liczb chªopców. Ka»da dziewczyna chce wyj± za m», przy czym ka»da z nich godzi si po±lubi tylko pewnych

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Rzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów

Rzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów Rzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów 1 Wst p Przypomnijmy,»e komputer skªada si z procesora, pami ci, systemu wej±cia-wyj±cia oraz po- ª cze«mi dzy nimi. W procesorze mo»emy

Bardziej szczegółowo

Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne.

Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. IIUWr. II rok informatyki. Przygotowaª: Krzysztof Lory± 1 Schemat ogólny. Typowe zadanie rozwi zywane metod zachªann ma charakter optymalizacyjny.

Bardziej szczegółowo

Ukªady równa«liniowych

Ukªady równa«liniowych dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych

Algorytmy i Struktury Danych Lista zada«. Nr 4. 9 kwietnia 2016 IIUWr. II rok informatyki. Algorytmy i Struktury Danych 1. (0pkt) Rozwi» wszystkie zadania dodatkowe. 2. (1pkt) Uªó» algorytm znajduj cy najta«sz drog przej±cia przez

Bardziej szczegółowo

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne 2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Programowanie wspóªbie»ne

Programowanie wspóªbie»ne 1 Zadanie 1: Bar Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 6 monitory cz. 2 Napisz monitor Bar synchronizuj cy prac barmana obsªuguj cego klientów przy kolistym barze z N stoªkami. Ka»dy klient realizuje nast

Bardziej szczegółowo

Granular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY

Granular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY Granular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY PB 2 PB 1 Projekt z wyznaczania reduktów zbioru Liczba osób realizuj cych projekt: 1-2 osoby 1. Wczytanie danych w formatach arf,

Bardziej szczegółowo

i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017

i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017 i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_

Bardziej szczegółowo

MiASI. Modelowanie integracji systemów. Piotr Fulma«ski. 26 stycznia Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska

MiASI. Modelowanie integracji systemów. Piotr Fulma«ski. 26 stycznia Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska MiASI Modelowanie integracji systemów Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 26 stycznia 2010 Spis tre±ci 1 Czym jest integracja systemów informatycznych? 2 Integracja

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci

Bardziej szczegółowo

Lab. 02: Algorytm Schrage

Lab. 02: Algorytm Schrage Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z

Bardziej szczegółowo

MiASI. Modelowanie systemów informatycznych. Piotr Fulma«ski. 18 stycznia Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska

MiASI. Modelowanie systemów informatycznych. Piotr Fulma«ski. 18 stycznia Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska MiASI Modelowanie systemów informatycznych Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 18 stycznia 2010 Spis tre±ci 1 Analiza systemu informatycznego Poziomy analizy 2

Bardziej szczegółowo

Stereometria (geometria przestrzenna)

Stereometria (geometria przestrzenna) Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy

Bardziej szczegółowo

Graf. Definicja marca / 1

Graf. Definicja marca / 1 Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0, XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1

Bardziej szczegółowo

Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019

Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019 Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Zdanie logiczne.

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4

Bardziej szczegółowo

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy

Bardziej szczegółowo

Po co planowanie? Planowanie projektu. Najcz stsz przyczyn niepowodzenia projektów jest brak czasu.

Po co planowanie? Planowanie projektu. Najcz stsz przyczyn niepowodzenia projektów jest brak czasu. Po co planowanie? Najcz stsz przyczyn niepowodzenia projektów jest brak czasu. Po co planowanie? Najcz stsz przyczyn niepowodzenia projektów jest brak czasu. Tygodnie kodowania mog zaoszcz dzi nam godzin

Bardziej szczegółowo

Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2

Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2 Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Szeregowanie zada« Wykªad nr 5. dr Hanna Furma«czyk. 4 kwietnia 2013

Szeregowanie zada« Wykªad nr 5. dr Hanna Furma«czyk. 4 kwietnia 2013 Wykªad nr 5 4 kwietnia 2013 Procesory dedykowane Przypomnienie: zadania s podzielone na operacje (zadanie Z j skªada si z operacji O ij do wykonania na maszynach M i, o dªugo±ciach czasowych p ij ); zadanie

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

1 Kodowanie i dekodowanie

1 Kodowanie i dekodowanie 1 Kodowanie i dekodowanie Teoria informacji zajmuje si sposobami gromadzenia, przechowywania oraz przesyªania informacji. W tym celu, a tak»e dla ochrony danych informacje kodujemy. Rozmowa telefoniczna,

Bardziej szczegółowo

Wska¹niki, tablice dynamiczne wielowymiarowe

Wska¹niki, tablice dynamiczne wielowymiarowe Rozdziaª 11 Wska¹niki, tablice dynamiczne wielowymiarowe 11.1 Wst p Identycznie, jak w przypadku tablic statycznych, tablica dynamiczna mo»e by tablic jedno-, dwu-, trójitd. wymiarow. Tablica dynamiczna

Bardziej szczegółowo

Programowanie i struktury danych 1 / 44

Programowanie i struktury danych 1 / 44 Programowanie i struktury danych 1 / 44 Lista dwukierunkowa Lista dwukierunkowa to liniowa struktura danych skªadaj ca si z ci gu elementów, z których ka»dy pami ta swojego nast pnika i poprzednika. Operacje

Bardziej szczegółowo

Podzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska

Podzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska Kombinatoryka Magdalena Lema«ska Zasady zaliczenia przedmiotu Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to

Bardziej szczegółowo

X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)

X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru

Bardziej szczegółowo