Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinaj ce. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinaj ce. Cykle i rozci cia fundamentalne. Zastosowania

Transkrypt

1 Grafy i Grafy i 5: Rozpinaj ce

2 Spis zagadnie«grafy i i lasy cykle fundamentalne i wªasno±ci cykli i rozci przestrzenie cykli i rozci * : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala* algorytm Prima* : aproksymacja dla problemu komiwoja»era* : aproksymacja dla problemu Steinera*

3 Drzewo Grafy i drzewo spójnego, nieskierowanego grafu prostego G = (V, E) to taki podgraf T tego grafu, który jest drzewem i zawiera wszystkie wierzchoªki danego grafu. Graf niespójny nie posiada go. Je±li graf G jest niespójny, to graf b d cy sum drzew rozpinaj cych jego skªadowych spójnych (po jednym na skªadow ) nazywamy lasem rozpinaj cym. Drzewo grafu spójnego mo»na otrzyma kolejno usuwaj c kraw dzie grafu tak aby uzyska drzewo. Dla danego grafu spójnego mo»e istnie wiele drzew rozpinaj cych. Ka»de drzewo danego grafu ma tyle samo kraw dzi (i wierzchoªków)

4 Zliczanie drzew rozpinaj cych grafu spójnego Grafy i Tw. (udowodnione przez G.Kirchoa w 1847) Liczba ró»nych drzew rozpinaj cych spójnego grafu etykietowanego wynosi tyle co dopeªnienie algebraiczne dowolnego elementu macierzy M(G) = D(G) A(G), gdzie D(G) jest diagonaln macierz zawieraj na przek tnej stopnie odpowiednich wierzchoªków, natomiast A(G) jest macierz s siedztwa grafu G. Powy»sze twierdzenie ilustruje techniki tzw. algebraicznej teorii grafów, gdzie wyniki dla grafów uzyskuje si badaj c macierze s siedztwa i inne algebraiczne struktury reprezentuj ce grafy.

5 Liczba cyklomatyczna i rz d rozci cia Grafy i liczba cyklomatyczna: γ(g), (lub rz d cykliczno±ci) grafu G to liczba kraw dzi dopeªnienia dowolnego lasu go grafu G. rz d rozci cia: ξ(g), grafu G to liczba kraw dzi w dowolnym lesie rozpinaj cym G. Zauwa»my,»e: γ(g) + ξ(g) = E(G) (liczba kraw dzi grafu G )

6 Cykle a rozci cia Grafy i Twierdzenie: Je±li L jest lasem rozpinaj cym grafu G, to: 1 ka»dy cykl w G ma wspóln kraw d¹ z dopeªnieniem L 2 ka»de rozci cie grafu G ma wspóln kraw d¹ z L Dowód: 1 je±li cykl nie ma kraw dzi wspólnych z dopeªnieniem L, to znaczy jest w nim zawarty, co przeczyªoby acykliczno±ci L 2 rozci cie powoduje rozpad L na dwie skªadowe A i B. Poniewa» L jest lasem rozpinaj cym, wi c musi zawiera kraw d¹ ª cz c pewien wierzchoªek z A z pewnym wierzchoªkiem z B. Jest to szukana kraw d¹

7 Cykle fundamentalne Grafy i Niech L oznacza pewien las rozpinaj cy grafu G, Zauwa»my,»e dodanie jakiejkolwiek kraw dzi z G nie nale» cej do L utworzy dokªadnie jeden cykl. Taki cykl nazywamy cyklem fundamentalnym grafu G zwi zanym z lasem rozpinaj cym L. Zbiór cykli fundamentalnych zwi zanych z lasem L to zbiór wszystkich takich cykli.

8 Rozci cia fundamentalne Grafy i Niech L oznacza pewien las rozpinaj cy grafu G, Gdy z lasu L usuniemy dowoln kraw d¹, to (w odpowiadaj cej jej skªadowej spójnej) powstaj dwa rozª czne zbiory wierzchoªków V 1, V 2. Zbiór wszystkich kraw dzi G takich,»e jeden koniec jest w V 1 a drugi w V 2 tworzy rozci cie, które nazywamy rozci ciem fundamentalnym zwi zanym z lasem L. Zbiór wszystkich takich rozci nazywamy zbiorem rozci fundamentalnych zwi zanych z lasem L. Uwaga: zbiór rozci fundamentalnych niekonieczniecznie zawiera wszystkie rozci cia (np. je±li rozci cie jest cz ±ci go)

9 Wªasno±ci cykli i rozci Grafy i Poni»ej zakªadamy dla uproszczenia,»e graf jest spójny (wyniki mog by zastosowane do ka»dej skªadowej spójnej) Fakty: zbiór kraw dzi jest rozspajaj cy przecina si z ka»dym drzewem rozpinaj cym (ale niekoniecznie minimalny, bo mo»na by wzi caªe E) zbiór kraw dzi C grafu G zawiera cykl dopeªnienie ka»dego go w G przecina si z C cykl i rozci cie maj zawsze parzyst liczb wspólnych kraw dzi (0 te» jest parzysta)

10 Dalsze wªasno±ci cykli i rozci Grafy i Twierdzenie: T jest drzewem rozpinaj cym, C jest cyklem fundamentalnym otrzymanym z T przez dodanie kraw dzi e. Wtedy C skªada si z e i tych kraw dzi T, które wyznaczaj fundamentalne rozci cia zawieraj ce e Twierdzenie: Rozci cie fundamentalne wyznaczone przez odj cie kraw dzi e z go T skªada si z e i dokªadnie tych kraw dzi w dopeªnieniu T, których cykle fundamentalne zawieraj e.

11 Przestrze«kraw dzi Grafy i W e (G) - zbiór wszystkich podzbiorów E(G) operacja sumy prostej na elementach W e (G): E 1 E 2 = (E 1 \ E 2 ) (E 2 \ E 1 ) (ró»nica symetryczna) Fakt: W e (G) z operacj jest przestrzeni liniow nad ciaªem Z 2. Baz stanowi tu zbiór E(G) wszystkich kraw dzi grafu G.

12 Podprzestrze«cykli W C (G) Grafy i Elementy to zbiór pusty, i zbiory kraw dzi wszystkich cykli G i sum cykli kraw dziowo rozª cznych. (elementy W C (G) mo»na nazywa cyklami uogólnionymi) Twierdzenie: W C (G) jest podprzestrzeni liniow przestrzeni W E (G) (w szczególno±ci, jest zamnki ta na sum ). Fakt: graf jest eulerowski jego zbiór kraw dzi jest cyklem uogólnionym

13 Podprzestrze«rozci W S (G) Grafy i Elementy to: zbiór pusty, zbiory kraw dzi wszystkich rozci i sum kraw dziowo rozª cznych rozci. W S (G) stanowi podprzestrze«liniow przestrzeni W E (G). (w szczególno±ci, jest zamnki ta na sum )

14 Baza przestrzeni liniowej (przypomnienie) Grafy i Baza przestrzeni liniowej to taki podzbiór elementów przestrzeni liniowej,»e: generuje caª przestrze«jest liniowo niezale»ny Uwaga: ka»dy element przestrzeni liniowej jest w dokªadnie jeden sposób wyra»alny jako kombinacja liniowa elementów bazy. Uwaga 2: wymiar przestrzeni liniowej to liczba elementów bazy (ka»da baza ma tyle samo elementów).

15 Bazy podprzestrzeni W C (G) i W S (G) Grafy i Twierdzenie: Zbiór cykli fundamentalnych dowolnego go stanowi baz podprzestrzeni cykli W C (G). Twierdzenie: Zbiór rozci fundamentalnych dowolnego go stanowi baz przestrzeni W S (G) Wniosek: Wymiar przestrzeni W C (G) wynosi γ(g), a wymiar przestrzeni W S (G) wynosi ξ(g).

16 Zale»no±ci mi dzy przestrzeniami cykli i rozci Grafy i Tw: Ka»dy element przestrzeni cykli W C (G) ma parzyst liczb kraw dzi wspólnych z ka»dym elementem przestrzeni rozci W S (G) i odwrotnie. Wniosek: Przestrzenie W C (G) i W S (G) s ortogonalnymi podprzestrzeniami przestrzeni kraw dzi W E (G). (tzn. iloczyn skalarny dowolnych par z odpowiednich zbiorów daje zero, poniewa» jest to parzysta liczba jedynek)

17 Zliczanie cykli i rozci Grafy i Wnioski: w grae G istnieje dokªadnie 2 γ(g) ró»nych cykli uogólnionych. w grae G istnieje dokªadnie 2 ξ(g) ró»nych podgrafów, z których ka»dy jest rozci ciem lub sum rozci kraw dziowo rozª cznych. y

18 Wªasno±ci macierzy incydencji Grafy i G : nieskierowany graf prosty, wszystkie operacje s nad ciaªem Z 2. Niech D oznacza pewien zbiór kraw dzi grafu G. Przez I D oznaczamy zbiór kolumn macierzy incydencji odpowiadaj cych zbiorowi kraw dzi D. Fakty: D stanowi cykl uogólniony suma kolumn w I D wynosi 0 D reprezentuje graf acykliczny kolumny w I D s niezale»ne liniowo D reprezentuje podgraw spójny kolumny w I D rozpinaj caª przestrze«kolumn macierzy incydencji D reprezentuje drzewo kolumny w I D stanowi baz przestrzeni kolumn caªej macierzy incydencji

19 Przykªadowe zastosowanie: sieci elektryczne Grafy i Dana jest sie : topologia + opory + przyªo»one napi cie wyznaczy : nat»enia pr du prawo Ohma: U = I R (U - napi cie, I - nat»enie, R - oporno± ) Dwa prawa Kirchoa: 1 dla w zªów sieci: suma nat»e«w w ¹le wynosi 0 2 dla oczek sieci: suma napi w oczku sieci wynosi 0

20 Ukªad równa«dla sieci elektrycznej Grafy i Mo»na wi c potencjalnie uªo»y a» n + o równa«(gdzie o to liczba w zªów a o to liczba ró»nych oczek sieci). Problemem jest to,»e istnieje potencjalnie bardzo du»o cykli w grae (jak ju» wiemy jest to dokªadnie 2 γ(g) ) Wi kszo± równa«jest redundantna, gdy» potrzebujemy dokªadnie tyle równa«ile jest kraw dzi w grae.

21 Zastosowanie cykli fundamentalnych Grafy i Ile wi c dokªadnie równa«potrzebujemy? 1 n-1 dla pierwszego prawa (n-te równanie jest redundantne) 2 γ(g) dla drugiego prawa (zauwa»my,»e faktycznie (n 1) = ξ(g) a wi c otrzymamy dokªadnie tyle ile trzeba (γ(g) + ξ(g) = E(G) ). Które równania dla oczek wybra? Rozwi zanie: wybra równania odpowiadaj ce dowolnemu zbiorowi cykli fundamentalnych tej sieci

22 Problem: drzewo (MST) Grafy i Dany jest nieskierowany graf G z wagami na kraw dziach (liczby wymierne). Znale¹ drzewo o minimalnym ª cznym koszcie kraw dzi (tzw minimalne drzewo ) Problem ten ma rozliczne zastosowania. Jest on rozwi zywalny w czasie wielomianowym. Algorytmy znajdowania MST oparte s na wªasno±ciach cykli i rozci (Kruskal) lub na modykacji algorytmu BFS (Prim).

23 Agorytm Prima (przypomnienie) Grafy i Zaczyna od wierzchoªka startowego s i stopniowo powi ksza drzewo. Niech S oznacza zbiór wierzchoªków rosn cego. Poczatkowo S = {s}. Zauwa»my,»e zbiór kraw dzi o dokªadnie jednym ko«cu w S stanowi zbiór rozspajaj cy. W ka»dym kroku dodawany jest wierzchoªek b d cy drugim ko«cem najl»ejszej kraw dzi z tego zbioru rozspajaj cego. U»ywana jest kolejka priorytetowa, aby efektywnie znale¹ taki wierzchoªek (priorytetem jest waga najl»ejszej kraw dzi ª cz cej ten wierzchoªek ze zbiorem S). Po wybraniu, wszystkie kraw dzie wychodz ce z nowo-dodanego wierzchoªka poddawane s relaksacji.

24 Algorytm Prima Grafy i w(u, v) oznacza wag kraw dzi (u, v), w atrybucie dist przechowywana jest najkrótsza aktualnie znana odlegªo± wierzchoªka do zbioru S, a pq oznacza kolejk priorytetow. U»ywamy list s siedztwa. Wynikowe drzewo reprezentowane jest w atrybutach parent. MSTPrim(V,w,s){ PriorityQueue pq s.dist = 0 s.parent = null pq.insert(s) for each u in V\{s}: u.dist = INFINITY } while(!pq.isempty()): u = pq.deletemin() u.dist = 0 for each v in u.adjlist: if (w(u,v) < v.dist): v.dist = w(u,v) v.parent = u if (pq.contains(v)): pq.decreasekey(v) else pq.insert(v)

25 Analiza algorytmu Prima Grafy i rozmiar danych: n= V, m= E dominuj ca operacja: przypisanie (w inicjalizacji) i porównanie priorytetów (w tym ukryte w kolejce) i odlegªo±ci inicjalizacja: O(n) p tla: (n delmin()) + (m decreasekey()) Je±li kolejka zaimplementowana jako kopiec binarny: p tla: O(nlog(n)) + O(mlog(n)) = O((n+m)log(n)) Je±li u»ywamy kopca Fibonacciego (amortyzowany koszt staªy operacji decreasekey()): O(nlog(n) + m)

26 Algorytm Kruskala (przypomnienie) Grafy i 1 pocz tkowo T = 2 rozpatruj kraw dzie w kolejno±ci niemalej cych wag i dodawaj do T te, które nie tworz cyklu z poprzednio dodanymi, pozostaªe odrzucaj, do momentu, gdy T nie tworzy go Gªówny problem to efektywne sprawdzanie, czy rozpatrywana kraw d¹ nie tworzy cyklu z dotychczasowo dodanymi. Pomysª polega na u»ywaniu pomocniczej struktury danych typu union-nd. Poniewa» w ka»dej iteracji T stanowi las, ka»da nowa kraw d¹ (u, v), która utworzyªaby cykl ma t wªasno±,»e oba jej ko«ce u i v nale» do tego samego w lesie T.

27 Algorytm Kruskala Grafy i kruskalmst(v,e,w){ T = 0 UnionFind uf foreach edge (u,v) in non-decreasing order of weight: if (uf.find(u)!= uf.find(v)): T = T + (u,v) uf.union(uf.find(u),uf.find(v)) return T } Istnieje bardzo szybka (drzewowa) implementacja struktury union-nd, która zapewnia staªy czas operacji union i prawie 1 staªy amortyzowany czas operacji find. Analiza zªo»ono±ci czasowej tej implementacji nie jest jednak matematycznie ªatwa. Przy takiej implementacji zªo»ono± jest O(mlog(m)) (i jest zdominowana przez pocz tkowe posortowanie kraw dzi po wagach) 1 jest to pewna funkcja, która bardzo wolno ro±nie

28 Przykªad: problem Komiwoja»era (TSP) Grafy i Dany jest peªny graf G = (V, E) z nieujemnymi wagami w : E Q + na kraw dziach. Znale¹ cykl Hamiltona H w G o minimalnym ª cznym koszcie kraw dzi w(e(h)). Problem ten jest NP-trudny. Ma on wiele zastosowa«praktycznych.

29 MST jako przybli»enie dla metrycznego TSP Grafy i Mo»na w czasie wielomianowym znale¹ przybli»one o wspóªczynnik co najwy»ej 2 rozwi zanie dla TSP je±li funkcja wag w speªnia nierówno± trójk ta. Algorytm: znale¹ dowolne drzewo i zast pi ka»d kraw d¹ par kraw dzi przerciwnych znale¹ cykl Eulera w takim grae pomin (stosuj c skróty) w tym cyklu wszystkie wierzchoªki, które wyst powaªyby wielokrotnie (jest to tzw algorytmu aproksymacyjnego ze wspóªczynnikiem aproksymacji 2. Istnieje te» wielomianowy algorytm aproksymacyjny dla tego problemu z lepszym wspóªczynnikiem aproksymacji 3/2 (istniej jeszcze lepsze).

30 Przykªad: drzewo Steinera Grafy i Dany jest graf nieskierowany G = (V, E) z nieujemnymi wagami na kraw dziach wraz z wyró»nionym podzbiorem wierzchoªków wymaganych. Nale»y znale¹ poddrzewo G zawieraj ce wszystkie wierzchoªki wymagane (i by mo»e inne), które ma minimalny ª czny koszt kraw dzi.

31 Algorytm aproksymacyjny dla Steinera Grafy i Problem jest NP-trudny, ale istnieje dla niego wielomianowy algorytm aproksymacyjny znajduj cy rozwi zanie nie dro»sze ni» 2 razy od optymalnego. Stwórz na podstawie G graf peªny G, gdzie koszty uzupeªnionych kraw dzi to dªugo±ci najkrótszych ±cie»ek pomi dzy ich ko«cami w oryginalnym grae G. Nast pnie: 1 znajd¹ w G drzewo. 2 znajd¹ w G cykl Eulera (podobnie jak w TSP). 3 usu«z otrzymanego cyklu pewne kraw dzie, tak aby uzyska drzewo Steinera.

32 Grafy i i lasy cykle fundamentalne i wªasno±ci cykli i rozci przestrzenie cykli i rozci * : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala* algorytm Prima* : aproksymacja dla problemu komiwoja»era* : aproksymacja dla problemu Steinera*

33 Przykªadowe wiczenia i zadania Grafy i podaj warto±ci γ(g), ξ(g) dla podanego grafu G wyznacz zbiór cykli i rozci fundamentalnych danego grafu maj c dan sie elektryczn z podanym napi ciem i oporno±ciami, oblicz nat»enia pr dów na wszystkich poª czeniach (kraw dziach) sieci wyznacz drzewo danego grafu u»ywaj c algorytmu Prima/Kruskala oblicz ile jest cykli i rozci uogólnionych w danym grae oblicz ile jest drzew rozpinaj cych w danym grae etykietowanym podaj rozwi zanie przybli»one metrycznego problemu komiwoja»era w podanym grae podaj rozwi zanie przybli»one problemu Steinera w podanym grae

34 Grafy i Dzi kuj za uwag