Szeregowanie zada« Wykªad nr 6. dr Hanna Furma«czyk. 11 kwietnia 2013

Transkrypt

1 Wykªad nr 6 11 kwietnia 2013

2 System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny.

3 System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. Dowód Redukcja PP O3 C max : bierzemy n zada«o czasach (0, a i, 0) i = 1,..., n oraz oraz trzy zadania z czasami (S/2, 1, S/2), (S/2 + 1, 0, 0), (0, 0, S/2 + 1). Pytamy o istnienie uszeregowania z C max S + 1.

4 System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. Dowód Redukcja PP O3 C max : bierzemy n zada«o czasach (0, a i, 0) i = 1,..., n oraz oraz trzy zadania z czasami (S/2, 1, S/2), (S/2 + 1, 0, 0), (0, 0, S/2 + 1). Pytamy o istnienie uszeregowania z C max S + 1. S/2 S/2 +1 a 1 1 a n M 3 S/2 +1 S/2 0 S+1 S/2 +1 S/2 a 1 1 a n S/2 S/2 +1 M 3 0 S+1

5 Minimalizacja C j Twierdzenie Problem O2 C j jest NPtrudny.

6 O2 C max Algorytm Gonzalez-Sahni, O(n)

7 O2 C max Algorytm Gonzalez-Sahni, O(n) Podziel zadania na zbiory N 1 = {Z j : p 1j < p 2j }, N 2 = {Z j : p 1j p 2j }.

8 O2 C max Algorytm Gonzalez-Sahni, O(n) Podziel zadania na zbiory N 1 = {Z j : p 1j < p 2j }, N 2 = {Z j : p 1j p 2j }. Wybierz 2 zadania, takie,»e: p 1r max Zj N 2 p 2j ; p 2l max Zj N 1 p 1j.

9 O2 C max Algorytm Gonzalez-Sahni, O(n) Podziel zadania na zbiory N 1 = {Z j : p 1j < p 2j }, N 2 = {Z j : p 1j p 2j }. Wybierz 2 zadania, takie,»e: p 1r max Zj N 2 p 2j ; p 2l max Zj N 1 p 1j. p 1 := i p 1i ; p 2 := i p 2i ; N 1 := N 1\{, }; N 2 := N 2\{, }; Dla N 1 {} i N 2 {} utwórz harmonogramy (permutacyjne i noidle) z zadaniem z {, } umieszczonym z brzegu.

10 O2 C max Algorytm Gonzalez-Sahni, O(n) Podziel zadania na zbiory N 1 = {Z j : p 1j < p 2j }, N 2 = {Z j : p 1j p 2j }. Wybierz 2 zadania, takie,»e: p 1r max Zj N 2 p 2j ; p 2l max Zj N 1 p 1j. p 1 := i p 1i ; p 2 := i p 2i ; N 1 := N 1\{, }; N 2 := N 2\{, }; Dla N 1 {} i N 2 {} utwórz harmonogramy (permutacyjne i noidle) z zadaniem z {, } umieszczonym z brzegu. 0 0

11 Je»eli p 1 p 1l p 2 p 2r (p 1 p 1l < p 2 p 2r ), to dosu«operacje z N 1 {} na w prawo (z N 2 {} na w lewo) 0

12 Je»eli p 1 p 1l p 2 p 2r (p 1 p 1l < p 2 p 2r ), to dosu«operacje z N 1 {} na w prawo (z N 2 {} na w lewo) 0 Zmie«kolejno± wykonywania operacji na procesorze tak, aby operacja O 2r byªa wykonywana jako pierwsza - mo»emy otrzyma jedn z dwóch sytuacji (p 1r p 1 p 2r ; p 1r > p 1 p 2r )

13 Je»eli p 1 p 1l p 2 p 2r (p 1 p 1l < p 2 p 2r ), to dosu«operacje z N 1 {} na w prawo (z N 2 {} na w lewo) 0 Zmie«kolejno± wykonywania operacji na procesorze tak, aby operacja O 2r byªa wykonywana jako pierwsza - mo»emy otrzyma jedn z dwóch sytuacji (p 1r p 1 p 2r ; p 1r > p 1 p 2r ) 0 0

14 Je»eli p 1 p 1l p 2 p 2r (p 1 p 1l < p 2 p 2r ), to dosu«operacje z N 1 {} na w prawo (z N 2 {} na w lewo) 0 Zmie«kolejno± wykonywania operacji na procesorze tak, aby operacja O 2r byªa wykonywana jako pierwsza - mo»emy otrzyma jedn z dwóch sytuacji (p 1r p 1 p 2r ; p 1r > p 1 p 2r ) 0 0 Przykªad - slajdy s. 102 [Giaro]

15 O ZUET C max Algorytm wielomianowy 1 Budujemy graf dwudzielny G(V 1, V 2, E) = G(Z, M, E): wierzchoªki jednej partycji to zadania, a drugiej to procesory; ka»dej niepustej operacji O ij odpowiada kraw d¹ {Z j, M i }.

16 O ZUET C max Algorytm wielomianowy 1 Budujemy graf dwudzielny G(V 1, V 2, E) = G(Z, M, E): wierzchoªki jednej partycji to zadania, a drugiej to procesory; ka»dej niepustej operacji O ij odpowiada kraw d¹ {Z j, M i }. 2 Kolorujemy kraw dzie (G) kolorami - kolory to jednostki czasu przydzielone operacjom (poprawny harmonogram poprawne pokolorowanie)

17 O ZUET C max Algorytm wielomianowy 1 Budujemy graf dwudzielny G(V 1, V 2, E) = G(Z, M, E): wierzchoªki jednej partycji to zadania, a drugiej to procesory; ka»dej niepustej operacji O ij odpowiada kraw d¹ {Z j, M i }. 2 Kolorujemy kraw dzie (G) kolorami - kolory to jednostki czasu przydzielone operacjom (poprawny harmonogram poprawne pokolorowanie) 3 C max = (G) = max{max i n j=1 p ij, max j m i=1 p ij}

18 O pmtn C max Algorytm Gonzalez Sahni - pseudowielomianowy, wzgl. l. kraw dzi Slajdy dodatkowe.

19 System ogólny - ang. job shop J2 C max ; O(n log n) Algorytm oparty na alg. Johnsona. J i - zbiór zada«skªadaj cych si tylko z jednej operacji do wykonania na M i J hi - zbiór zada«skªadaj cych si z dwóch operacji, z których pierwsza ma by wykonana na M h, a druga na M i (hi = 12, 21)

20 System ogólny - ang. job shop J2 C max ; O(n log n) Algorytm oparty na alg. Johnsona. J i - zbiór zada«skªadaj cych si tylko z jednej operacji do wykonania na M i J hi - zbiór zada«skªadaj cych si z dwóch operacji, z których pierwsza ma by wykonana na M h, a druga na M i (hi = 12, 21) Uporz dkuj zbiory J hi zgodnie z alg. Johnsona, a zbiory J i - dowolnie.

21 System ogólny - ang. job shop J2 C max ; O(n log n) Algorytm oparty na alg. Johnsona. J i - zbiór zada«skªadaj cych si tylko z jednej operacji do wykonania na M i J hi - zbiór zada«skªadaj cych si z dwóch operacji, z których pierwsza ma by wykonana na M h, a druga na M i (hi = 12, 21) Uporz dkuj zbiory J hi zgodnie z alg. Johnsona, a zbiory J i - dowolnie. Przydziel do procesora zadania w kolejno±ci J 12,J1,J 2 1, a do procesora w kolejno±ci J 21, J 2, J 12.

22 System ogólny - ang. job shop J2 C max ; O(n log n) Algorytm oparty na alg. Johnsona. J i - zbiór zada«skªadaj cych si tylko z jednej operacji do wykonania na M i J hi - zbiór zada«skªadaj cych si z dwóch operacji, z których pierwsza ma by wykonana na M h, a druga na M i (hi = 12, 21) Przykªad Uporz dkuj zbiory J hi zgodnie z alg. Johnsona, a zbiory J i - dowolnie. Przydziel do procesora zadania w kolejno±ci J 12,J1,J 2 1, a do procesora w kolejno±ci J 21, J 2, J 12.