Grafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.

Transkrypt

1 Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska Warszawa, 28 marca 2015

2 Graf składa się z elementów pewnego zbioru zwanych wierzchołkami oraz par wierzchołków zwanych krawędziami. Na rysunku grafu wierzchołki reprezentowane są przez punkty a krawędzie przez linie łączące pary wierzchołków..

3 Jeżeli krawędzie mają nadane orientacje, to znaczy każda prowadzi od jednego wierzchołka do innego (na rysunku grafu krawędzie są wtedy oznaczone strzałkami), to mówimy wtedy o grafie skierowanym. Często rozważa się również grafy ważone czyli takie, w których każda krawędź ma przyporządkowaną pewną wagę.

4 Na rysunku grafu wierzchołki są etykietami odpowiadających im punktów

5 Graf = uniwersalne narzędzie do rozwiązywania problemów z różnych dziedzin nauki i życia codziennego

6 Dwa grafy nazywamy izomorficznymi jeśli istnieje pomiędzy nimi izomorfizm grafów czyli taka odpowiedniość (bijekcja) pomiędzy zbiorami ich wierzchołków, że dwa wierzchołki w jednym z tych grafów są połączone krawędzią wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im wierzchołki w drugim z tych grafów też są połączone krawędzią. Intuicyjnie: Dwa grafy są izomorficzne jeśli dają się narysować w ten sam sposób czyli mają wspólny rysunek

7 Stopniem wierzchołka v w grafie G nazywamy liczbę krawędzi z niego wychodzących (liczbę krawędzi, których jest końcem) i oznaczamy przez deg G (v) Minimalny stopień wierzchołka w grafie G: δ(g)=min{deg G (v) : v V(G)} Maksymalny stopień wierzchołka w grafie G: Δ(G)=max{deg G (v) : v V(G)} Graf k-regularny = graf, w którym każdy wierzchołek ma stopień k

8 Stopnie wierzchołków w grafie G: δ(g)=2, Δ(G)=4. Fakt: Suma stopni wierzchołków w dowolnym grafie jest zawsze liczbą parzystą. (bo jest równa podwojonej liczbie krawędzi)

9 Problem : Zbudować odpowiednią liczbę drzwi pomiędzy komnatami w zamku żródło: internet

10 Problem : Zbudować odpowiednią liczbę drzwi pomiędzy komnatami w zamku

11 Problem : Zbudować odpowiednią liczbę drzwi pomiędzy komnatami w zamku Hmmmmm.

12 Problem : Zbudować odpowiednią liczbę drzwi pomiędzy komnatami w zamku A gdyby było tak?

13 Problem : Zbudować odpowiednią liczbę drzwi pomiędzy komnatami w zamku Zbudujmy graf, którego każdy wierzchołek odpowiada jednej komnacie w zamku

14 Problem : Zbudować odpowiednią liczbę drzwi pomiędzy komnatami w zamku a krawędzie drzwiom między komnatami..

15 Problem : Zbudować odpowiednią liczbę drzwi pomiędzy komnatami w zamku UDAŁO SIĘ!!!! Stopień wierzchołka jest równy liczbie drzwi wychodzących z odpowiadającej mu komnaty

16 Problem : Zbudować odpowiednią liczbę drzwi pomiędzy komnatami w zamku A w tym przypadku nie da się?!

17 Problem : Zbudować odpowiednią liczbę drzwi pomiędzy komnatami w zamku Nie da się! W tym grafie suma stopni wierzchołków wynosiłaby 19. A przecież suma stopni wierzchołków w grafie jest zawsze liczbą parzystą

18 Ścieżką w grafie nazywamy ciąg wierzchołków tego grafu v 0, v 1,, v k taki, że każde dwa kolejne wierzchołki w tym ciągu są połączone krawędzią. Ścieżką zamkniętą nazywamy taką ścieżkę v 0, v 1,, v k, że v 0 = v k.

19 Drogą w grafie nazywamy ścieżkę, na której żaden wierzchołek nie pojawia się więcej niż raz. Każdą drogę o n wierzchołkach da się narysować w sposób pokazany na poniższym rysunku

20 Cyklem w grafie nazywamy ścieżkę zamkniętą, na której żaden wierzchołek, za wyjątkiem początkowego i końcowego, nie pojawia się więcej niż raz. Każdy cykl o n wierzchołkach można narysować w sposób pokazany na poniższym rysunku

21 Graf nazywamy spójnym jeśli istnieje w nim droga pomiędzy dwoma dowolnymi wierzchołkami tego grafu (innymi słowy: daje się narysować w jednym kawałku ) kawałek = składowa spójności grafu Graf spójny ma jedną składową, graf niespójny co najmniej dwie

22

23

24 Graf dwudzielny graf którego zbiór wierzchołków można podzielić na dwie klasy, w taki sposób, że każda krawędź w tym grafi ma jeden koniec w pierwszej klasie, a drugi w drugiej

25 Problem siedmiu mostów królewieckich Czy da się przejść po każdym z siedmiu mostów, których układ pokazany jest na poniższym rysunku, dokładnie raz tak, by wrócić do punktu wyjścia?

26 Leonhard Euler (1736): Nie da się. Dałoby się znaleźć taką drogę w grafie reprezentującym opisaną sytuację wtedy i tylko wtedy gdyby z każdego wierzchołka tego grafu wychodziła parzysta liczba krawędzi. Graf odpowiadający rozmieszczeniu mostów w Królewcu w 1736 roku

27 Cyklem Eulera (albo ścieżką zamkniętą Eulera) w grafie G nazywamy taką ściężkę zamkniętą, która przechodzi przez każdą krawędź grafu G dokładnie raz. Graf, który zawiera cykl Eulera nazywamy eulerowskim. Ścieżką Eulera w grafie G nazywamy taką ścieżkę, która przechodzi przez każdą krawędź grafu G dokładnie raz. Twierdzenie Eulera (1736): Graf spójny G ma cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wierzchołek w grafie G ma parzysty stopień. Wniosek: Graf spójny ma ścieżkę Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wierzchołek w grafie G, za wyjątkiem 0 lub 2 wierzchołków, ma parzysty stopień.

28 Gdzie taka zagadka może znaleźć zastosowanie?? Na przykład przy budowie i eksploatacji sieci drogowej.

29 Zagadka: Dane: Układ uliczek w parku. Szukane: Czy da się przejść po każdej uliczce w parku dokładnie raz i wrócić do bramy? A B C F Brama D E

30 Da się!! Euler wykazał, że zawsze się da jeśli z każdego skrzyżowania (wierzchołka grafu) wychodzi parzysta liczba uliczek (krawędzi grafu)!! B 2 A 4 F 2 2 C Brama 4 D 2 E 4

31 No to spróbujmy: A B C F Brama D E

32 A B C F Brama D E

33 A B C F Brama D E

34 A B C F Brama D E

35 A B C F Brama D E

36 A B C F Brama D E

37 A B C F Brama D E

38 A B C F Brama D E

39 A B C F Brama D E

40 A B C F Brama D E

41 To spróbujmy znaleźć taką drogę w takim parku: A B C F Brama D E

42 To spróbujmy znaleźć taką drogę w takim parku: A B C F 3 3 Brama D E Nie da się!! Bo są skrzyżowania, z których wychodzi nieparzysta liczba uliczek!

43 Problem chińskiego listonosza (Mei Ku Kwan, 1962): Znaleźć najkrótszą drogę, po której powinien przejść listonosz, tak aby przeszedł po każdej ulicy w swoim rejonie i powrócił na pocztę.

44 Sformułowanie grafowe tego problemu : Niech wierzchołki grafu odpowiadają skrzyżowaniom ulic, a krawędzie odcinkom ulic pomiędzy skrzyżowaniami w rejonie listonosza. Każdej krawędzi przypiszmy wagę równą długości odpowiadającego jej odcinka ulicy. W stworzonym w ten sposób grafie znaleźć taką ścieżkę o najmniejszej sumie wag krawędzi, która zaczyna się i kończy w tym samym wierzchołku.

45

46 Zagadka Dane: Na urodziny Adaś zaprosił czwórkę swoich przyjaciół: Basię, Czarka, Dorotkę i Ewę. Basia i Ewa są przyjaciółkami. Czarek i Dorotka też się przyjaźnią. Przyjaciółkami są też Ewa i Dorotka. Szukane: źródło: internet Takie rozsadzenie dzieci przy okrągłym stole, by każde dziecko miało koło siebie przyjaciela.

47 Rozwiązanie zagadki: Stwórzmy graf, którego wierzchołki odpowiadają dzieciom i dwa wierzchołki są połączone krawędzią jeśli odpowiadające im dzieci są przyjaciółmi. Ten graf będzie wyglądał tak:

48 Rozwiązanie zagadki: Na urodziny Adaś zaprosił czwórkę swoich przyjaciół: Basię, Czarka, Dorotkę i Ewę. Basia i Ewa są przyjaciółmi. Czarek i Dorotka też się przyjaźnią. Przyjaciółmi są też Ewa i Dorotka. Poszukujemy takiego cyklu w tym grafie, który przejdzie przez każdy wierzchołek dokładnie raz!! W tym grafie taki cykl istnieje!!

49 Na urodziny Adaś zaprosił czwórkę swoich przyjaciół: Basię, Czarka, Dorotkę i Ewę. Basia i Ewa są przyjaciółmi. Czarek i Dorotka też się przyjaźnią. Przyjaciółmi są też Ewa i Dorotka.

50 Inna wersja tej zagadki: Dane: Na urodziny Adaś zaprosił czwórkę swoich przyjaciół: Basię, Czarka, Dorotkę i Ewę. Basia i Ewa są przyjaciółkami. Czarek i Dorotka też się przyjaźnią. Szukane: Takie rozsadzenie dzieci przy okrągłym stole, by każde dziecko miało koło siebie przyjaciela.

51 Odpowiadający tej sytuacji graf : Na urodziny Adaś zaprosił czwórkę swoich przyjaciół: Basię, Czarka, Dorotkę i Ewę. Basia i Ewa są przyjaciółmi. Czarek i Dorotka też się przyjaźnią.

52 Odpowiadający tej sytuacji graf : Na urodziny Adaś zaprosił czwórkę swoich przyjaciół: Basię, Czarka, Dorotkę i Ewę. Basia i Ewa są przyjaciółmi. Czarek i Dorotka też się przyjaźnią. Nie da się posadzić dzieci wokół okrągłego stołu tak, by każde dziecko miało za sąsiadów przyjaciół. Urodzin nie będzie!!

53 Problem króla Artura i rycerz okrągłego stołu: Jak rozsadzić 165 rycerzy zaproszonych na imieniny króla Artura tak, aby każdy rycerz miał za sąsiadów przyjaciół? żródło: internet

54 Sformułowanie grafowe tego problemu: Niech wierzchołki grafu odpowiadają rycerzom. Dwa wierzchołki łączymy krawędzią jeśli odpowiadają przyjaciołom. Znaleźć taki cykl w tym grafie, który przechodzi przez każdy wierzchołek dokładnie raz. żródło: internet

55 Sformułowanie grafowe tego problemu: Niech wierzchołki grafu odpowiadają rycerzom. Dwa wierzchołki łączymy krawędzią jeśli odpowiadają przyjaciołom. Znaleźć taki cykl w tym grafie, który przechodzi przez każdy wierzchołek dokładnie raz. Cykl, który przechodzi przez każdy wierzchołek grafu dokładnie raz nazywa się cyklem Hamiltona. Graf, który zawiera cykl Hamiltona nazywamy hamiltonowskim. Drogę, która przechodzi przez każdy wierzchołek grafu dokładnie raz nazywamy drogą Hamiltona.

56 Graf Petersena

57 Wiliam Rowan Hamilton ( ) irlandzki fizyk, astronom i matematyk m.in. wprowadził kwaterniony = uogólnienie liczb zespolonych żródło: internet

58 Łamigłówka Hamiltona (Wiliam Rowan Hamilton 1856): Gramy na grafie będącym siatką dwunastościanu foremnego

59 Gracz 1: Wybiera 5 pierwszych wierzchołków w taki sposób, że każde dwa kolejne są połączone krawędzią. Gracz 2: Ma za zadanie wybrać pozostałe wierzchołki w takiej kolejności, by utworzyć cykl (czyli drogę zaczynającą się i kończącą się w tym samym wierzchołku) przechodzący przez każdy wierzchołek tego grafu dokładnie raz. Gracz 2 zawsze może wygrać!!! (jeśli pomyśli trochę)

60 Gracz 1:

61 Gracz 2:

62 Problem komiwojażera: Komiwojażer musi odwiedzić każde z n miast i wrócić do miasta, z którego wyruszył. Chce przebyć jak najkrótszą drogę. Sformułowanie grafowe tego problemu: Niech wierzchołki w grafie odpowiadają miastom. Każde dwa wierzchołki łączymy w tym grafie krawędzią o wadze równej odległości między tymi miastami. Znaleźć w tak stworzonym grafie najkrótszy cykl przechodzący przez każdy wierzchołek tego grafu dokładnie raz.

63

64 Dla 5 miast, wszystkich możliwych dróg komiwojażera jest 4*3*2*1*(1/2) = 4!/2 = 12 Dla 10 miast, wszystkich możliwych dróg komiwojażera jest 9!/2 = Dla 20 miast, wszystkich możliwych dróg komiwojażera jest 19!/2 czyli około Dla miast, wszystkich możliwych dróg komiwojażera jest BARDZO DUŻO jedynka z 77 tysiącami zer

65 żródło: internet Najlepsza dotąd znaleziona trasa komiwojażera dla miast w USA

66 żródło: internet Najlepsza dotąd znaleziona trasa komiwojażera dla wszystkich miast na świecie

67 Dziękuje za uwagę

68 Dziękuje za uwagę