Grafy. 3. G = (V, E ) jest podgrafem G = (V, G), je±li V V i E E. 4. G = (V, G) jest sum grafów G = (V, E ), G = (V, E ), je±li V = V V, E = E E.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Grafy. 3. G = (V, E ) jest podgrafem G = (V, G), je±li V V i E E. 4. G = (V, G) jest sum grafów G = (V, E ), G = (V, E ), je±li V = V V, E = E E."

Transkrypt

1 Grafy 1. Denicja. Graf jest par G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchoªków, a E zbiorem kraw dzi. Kraw dzie s nieuporz dkowanymi parami wierzchoªków lub parami uporz dkowanymi (mówimy wtedy o grafach skierowanych). Dalej rozwa»amy tylko grafy sko«czone, dla których zbiory V, E s sko«czone. Grafy sko«czone bez kraw dzi wielokrotnych i p tli nazywamy grafami prostymi.. Dwa grafy G = (V, E) i G = (V, E ) nazywamy grafami izomorcznymi, je±li istnieje bijekcja f : V V taka, uv E f(u)f(v) E. Uto»samiaj c grafy izomorczne otrzymujemy grafy nieoznakowane. 3. G = (V, E ) jest podgrafem G = (V, G), je±li V V i E E. 4. G = (V, G) jest sum grafów G = (V, E ), G = (V, E ), je±li V = V V, E = E E. 5. Graf który nie jest sum grafów o niepustych zbiorach wierzchoªków nazywamy grafem spójnym. 6. Grafem peªnym K n nazywamy graf o n wierzchoªkach poª czonych ka»dy z ka»dym. 7. Grafem dwudzielnym nazywamy graf, którego wierzchoªki mo»na podzieli na dwa zbiory takie,»e»adne dwa wierzchoªki w danym zbiorze nie s poª czone. 8. Grafem peªnym dwudzielnym K nm nazywamy graf, którego zbiór wierzchoªków jest sum zbioru n-elementowego i m-elementowego, a kraw dzie ª cz ka»dy wierzchoªek pierwszego zbioru z ka»dym wierzchoªkiem drugiego zbioru. 1

2 9. Kostk nazywamy graf którego zbiorem wierzchoªków jest zbiór {0, 1} n, a kraw dzie ª cz wierzchoªki ró»ni ce si jedn wspóªrz dn. 10. Stopniem wierzchoªka nazywamy liczb wierzchoªków poª czonych z danym wierzchoªkiem. 11. Grafy, w których ka»dy wierzchoªek ma ten sam stopie«nazywamy grafami regularnymi. Przykªadem s grafy K n, K nn, kostki i grafy plato«skie (grafy bryª plato«skich). 1. Ci g kraw dzi v 1 v, v v 3,..., v k v k 1 taki,»e wierzchoªki v 1, v,..., v k s ró»ne nazywamy drog. Ci g kraw dzi v 1 v, v v 3,..., v k 1 v k, v k v 1 nazywamy cyklem. Piszemy te» v 1 v v k. 13. Graf G jest spójny dowolne dwa wierzchoªki grafu G mo»na poª czy drog. 14. Twierdzenie. Graf G jest grafem dwudzielnym dowolny cykl w gra- e G ma dªugo± parzyst. Dowód. Zaªó»my,»e graf jest grafem dwudzielnym. Wierzchoªki mo»na podzieli na dwa zbiory o których mowa w denicji. Obchodz c cykl przechodzimy odwiedzamy na przemian pierwszy i drugi zbiór. Dlatego ka»dy cykl ma dªugo± parzyst. Odwrotnie. Zaªó»my,»e ka»dy cykl ma dªugo± parzyst. Wystarczy rozwa»y dowoln skªadow spójn. Ustalamy jaki± wierzchoªek. Je±li do jakiego± innego wierzchoªka prowadz dwie ró»ne drogi, to ich dªugo±ci maj t sam parzysto± (drogi mog si przecina lub miejscami pokrywa, odpowiednie odcinki na dwóch drogach maj dªugo±ci tej samej parzysto±ci). Wierzchoªki dzielimy na dwa zbiory: wierzchoªki do których mo»na doj± w parzystej liczbie kroków i wierzchoªki do których dochodzimy w nieparzystej liczbie kroków. Poniewa» nie ma kraw dzi ª cz cych wierzchoªki nale» ce do tego samego zbioru (mieliby±my sprzeczno± ), wi c graf jest dwudzielny. 15. Lemat o podawaniu r k. Suma stopni poszczególnych wierzchoªków równa jest podwojonej liczbie kraw dzi. Dowód. Ka»da kraw d¹ ma dwa ko«ce i jest dwukrotnie liczona.

3 16. Macierz s siedztwa. Peªn informacj o grae mo»na umie±ci w macierzy A takiej,»e a ij = 0, je±li wierzchoªki i, j s niepoª czone i A ij = 1 w przeciwnym wypadku. 17. Twierdzenie. Niech G b dzie grafem prostym maj cym n wierzchoªków, k skªadowych spójnych i m kraw dzi. Wtedy n k m (n k)(n k + 1)/. Dowód. Zaªó»my,»e rozpatrywany graf skªada si z k skªadowych spójnych, przy czym i-ta skªadowa zawiera n i > 0 wierzchoªków i m i kraw dzi. Zachodz nierówno±ci n 1 1 m 1 n 1(n 1 1), n 1 m n (n 1), n k 1 m k n k(n k 1). Dodaj c stronami otrzymujemy n k m n 1(n 1 1) + n (n 1) + + n k(n k 1). Prawa strona osi ga najwi ksz warto± dla n 1 = n = = n k 1 = 1 i n k = n k + 1. Wtedy po prawej stronie nierówno±ci mamy (n k)(n k + 1)/. 18. Wniosek. Graf maj cy wi cej ni» (n )(n 1)/ kraw dzi jest spójny. 19. Najkrótsza droga od wybranego wierzchoªka. Rozwa»amy graf, którego kraw dzie maj przypisane nieujemne wagi. Najkrótsze drogi mo»na znale¹ stosuj c nast puj cy algorytm: Tworzymy list wierzchoªków. Na pocz tku na li±cie mamy tylko pocz tkowy wierzchoªek z wag 0. 3

4 Usuwamy z listy wierzchoªek o najmniejszej wadze. S siednie wierzchoªki oznaczamy wagami, uzyskanymi przez dodanie dªugo±ci kraw dzi do wagi usuni tego wierzchoªka. Je±li dany wierzchoªek ma ju» jaka± wag, pozostawiamy mniejsz liczb. Nowo oznaczone wierzchoªki dopisujemy do listy. Powtarzamy tak dªugo, a» zostaniemy z pust list. Grafy eulerowskie 1. Denicja. Graf nazywamy grafem eulerowskim, je±li istnieje ±cie»ka (ci g ró»nych kraw dzi v 1 v, v v 3,..., v k v 1 ) przechodz ca dokªadnie jeden raz przez ka»d kraw d¹ grafu. Tak ±cie»k nazywamy cyklem eulerowskim.. Denicja. Graf nazywamy grafem póªeulerowskim, je±li istnieje ±cie»ka (ci g ró»nych kraw dzi v 1 v, v v 3,..., v k 1 v k, v k v 1 ) przechodz ca dokªadnie jeden raz przez ka»d kraw d¹ grafu. 3. Lemat. Je±li w grae stopie«ka»dego wierzchoªka jest nie mniejszy ni», to w grae znajdziemy cykl. Dowód. Wychodzimy z dowolnego wierzchoªka i poruszamy si wzdªu» kraw dzi. Za ka»dym razem wychodzimy z wierzchoªka inn kraw dzi ni» ta, któr weszli±my. Poniewa» liczba wierzchoªków jest sko«czona, po pewnej liczbie kroków tramy na wcze±niej odwiedzony wierzchoªek i ko«czmy w drówk. Odrzucaj c pocz tkowe kraw dzie otrzymujemy cykl. 4. Twierdzenie.(Euler) Graf spójny jest grafem eulerowskim ka»dy wierzchoªek grafu ma parzysty stopie«. Dowód. Obchodz c graf eulerowski wzdªu» cyklu eulerowskiego, do ka»dego wierzchoªka wchodzimy tyle samo razy ile wychodzimy. Dlatego w grae eulerowskim ka»dy wierzchoªek ma parzysty stopie«. Odwrotnie. Zaªó»my,»e twierdzenie jest faªszywe. Spo±ród grafów dla których twierdzenie jest faªszywe we¹my graf o najmniejsze liczbie kraw dzi. Z lematu wynika,»e w grae istnieje cykl. Po usuni ciu cyklu otrzymujemy graf b d cy sum grafów eulerowskich (by mo»e pust ). 4

5 Idziemy wzdªu» cyklu. Je±li natramy na dowolny ze wspomnianych grafów eulerowskich, obchodzimy go i idziemy dalej wzdªu» cyklu. W ten sposób otrzymujemy cykl eulerowski w rozwa»anym grae i mamy sprzeczno±. 5. Wniosek. Graf spójny jest grafem póªeulerowskim dokªadnie wierzchoªki maj nieparzysty stopie«. 6. Algorytm Fleury'ego. Cykl eulerowski w grae eulerowskim mo»na znale¹ wychodz c z dowolnego wierzchoªka i poruszaj c si dalej zgodnie z dwiema zasadami: usuwamy przebyt kraw d¹ i wierzchoªek izolowany (nie poª czony z reszt grafu), je±li taki si pojawi przez most przechodzimy tylko wtedy, gdy nie ma innej mo»liwo±ci (most jest kraw dzi, po usuni ciu której graf staje si niespójny) Dowód poprawno±ci algorytmu. Poka»emy,»e w ka»dym kroku algorytmu mamy przed sob co najwy»ej jeden most. Zatem, je±li b dziemy mieli kilka kraw dzi do wyboru, b dziemy mogli wybra kraw d¹ nie b d c mostem. Zaªó»my,»e mamy przed sob wi cej ni» jeden most. Po usuni ciu mostów graf rozpadnie si na kilka skªadowych spójnych. W ka»dym kroku algorytmu mamy co najwy»ej dwa wierzchoªki stopnia nieparzystego: wierzchoªek z którego wyruszyli±my i wierzchoªek do którego wªa±nie dotarli±my. Dlatego pewna skªadowa nie b dzie zawieraªa wierzchoªka pocz tkowego. Stopnie wierzchoªków w skªadowej nie zawieraj cej wierzchoªka pocz tkowego s parzyste, z wyj tkiem stopnia wierzchoªka do którego prowadziª usuni ty most. Mamy sprzeczno± : suma stopni wierzchoªków w skªadowej spójnej musi by liczb parzyst. Dlatego mamy przed sob co najwy»ej jeden most. Grafy hamiltonowskie 1. Denicja. Graf nazywamy grafem hamiltonowskim, je±li w grae istnieje cykl, do którego nale» wszystkie wierzchoªki grafu (taki cykl nazywamy hamiltonowskim) lub graf jest pojedynczym wierzchoªkiem. 5

6 . Twierdzenie. (Ore 1960). Je±li w grae prostym (n 3) suma stopni dowolnych dwóch niepoª czonych wierzchoªków jest nie mniejsza od liczby wierzchoªków grafu, to graf jest hamiltonowski. Dowód nie wprost. Zaªó»my,»e twierdzenie jest faªszywe. Rozwa»my grafy o minimalnej liczbie wierzchoªków dla których twierdzenie jest faªszywe. Spo±ród takich grafów wybieramy graf o najwi kszej liczbie kraw dzi. We¹my dwa niepoª czone wierzchoªki u 1, u n. Po dodaniu kraw dzi u 1 u n otrzymamy cykl hamiltonowski. Usuwaj c kraw d¹ u 1 u n pozostanie nam droga u 1 u u 3 u n. Niech A b dzie zbiorem wierzchoªków poª czonych z wierzchoªkiem u 1, a B zbiorem wierzchoªków poª czonych z wierzchoªkiem u n. Utwórzmy zbiór C zamieniaj c ka»dy element B elementem o indeksie o jeden wi kszym. A C {u, u 3,..., u n }, C = B, A + C = B + C n. Z zasady szuadkowej wynika,»e pewien element u j nale»y do cz ±ci wspólnej A i C (u j A, u j 1 B). Droga u 1 u u j 1 u n u n 1 u j u 1 jest cyklem hamiltonowskim i mamy sprzeczno±. 3. Wniosek. (Dirac 195). Je±li w grae prostym (n 3) stopie«ka»- dego wierzchoªka jest nie mniejszy ni» n/, to graf jest hamiltonowski. 4. Twierdzenie. Je±li graf prosty ma n wierzchoªków, m kraw dzi i nie zawiera cykli dªugo±ci 3 (trójk tów), to 4m n. Dowód. Niech A ij b dzie macierz s siedztwa, a d i stopniem i-tego wierzchoªka. Je±li wierzchoªki i, j s poª czone kraw dzi, to d i + d j n. 6

7 Je±li wierzchoªki i, j nie s poª czone kraw dzi, to A ij = 0. Dlatego dla dowolnych j, j zachodzi nierówno± A ij (d i + d j ) na ij. Sumuj c stronami wzgl dem i, j otrzymujemy n n d i n d i = nm. i=1 i=1 Wykorzystuj c nierówno± Schwarza otrzymujemy St d 4m n. n n n n (m) = ( d i ) ( 1)( d i ) = n d i n m. i=1 i=1 i=1 i=1 Równo± zachodzi dla parzystego n i grafu K n/,n/. 5. Twierdzenie Turana o klikach. Je±li graf prosty ma n wierzchoªków, m kraw dzi i nie zawiera p-kliki (podgrafu K p ), to 4m n ( ) p. p 1 Uwaga. Twierdzenie jest uogólnieniem twierdzenia o trójk tach. Je±li (p 1) n, to mo»emy skonstruowa graf nie zawieraj cy p-kliki dla którego zachodzi równo± w twierdzeniu. Wierzchoªki grafu dzielimy na równoliczne rozª czne podzbiory zbioru V 1, V,..., V p 1 i przyjmujemy,»e uv jest kraw dzi wierzchoªki u, v nale» do ró»nych podzbiorów. Dowód twierdzenia (indukcja wzgl dem n). Dla p = twierdzenie jest oczywiste. Podobnie dla n = 1,. Zaªó»my,»e twierdzenie jest prawdziwe dla grafów o liczbie wierzchoªków mniejszej od n. Rozpatrujemy graf G o n wierzchoªkach nie zawieraj cy p-kliki. Dodajemy do grafu G mo»liwie du»o kraw dzi zwa»aj c, aby uzupeªniony graf nie zawieraª p-kliki. Taki uzupeªniony graf zawiera (p 1)-klik. Niech A b dzie zbiorem wierzchoªków (p 1)-kliki, a B zbiorem pozostaªych wierzchoªków. 7

8 Wierzchoªki A s poª czone (p 1)(p )/ kraw dziami. Liczba kraw dzi ª cz cych dowolny wierzchoªek ze zbioru B z wierzchoªkami ze zbioru A nie mo»e by wi ksza od p (inaczej mieliby±my p- klik ). Zatem liczba kraw dzi ª cz cych wierzchoªki ze zbioru A z wierzchoªkami ze zbioru B nie przekracza liczby (n p + 1)(p ). W podgrae o wierzchoªkach B nie ma p-kliki i z zaªo»enia indukcyjnego wynika,»e liczba kraw dzi ª cz cych wierzchoªki B nie przekracza (1/)(n p + 1) (p )/(p 1). Dodaj c wymienione liczby otrzymujemy ograniczenie (n /)(p )/(p 1). Drzewa 1. Denicja. Lasem nazywamy graf prosty nie zawieraj cy cykli.. Denicja. Drzewem nazywamy las spójny, czyli spójny graf prosty nie zawieraj cy cykli. 3. Twierdzenie. Niech T b dzie drzewem maj cym n wierzchoªków. Nast puj ce zdania s równowa»ne T jest drzewem. T nie zawiera cykli i ma n 1 kraw dzi. T jest spójny i ma n 1 kraw dzi. T jest spójny i ka»da kraw d¹ jest mostem. Ka»de wierzchoªki ª czy dokªadnie jedna droga. T nie zawiera cykli, a dodanie jednej kraw dzi tworzy dokªadnie jeden cykl. Dowód pomijam. 4. Las maj cy k skªadowych spójnych ma n k kraw dzi. 5. Denicja. Drzewem rozpinaj cym grafu spójnego nazywamy drzewo b d ce podgrafem danego grafu, zawieraj ce wszystkie wierzchoªki danego grafu. 8

9 6. Denicja. Rozwa»amy graf spójny, w którym kraw dziom przypisano liczby (wagi). Wag grafu nazywamy sum wag wszystkich kraw dzi. Minimalnym drzewem rozpinaj cym nazywamy drzewo rozpinaj ce o minimalnej wadze. 7. Algorytm. Dany jest graf spójny z wagami. Minimalne drzewo rozpinaj ce mo»emy znale¹ stosuj c nast puj cy algorytm: Wybieramy kraw d¹ o najmniejszej wadze, niech to b dzie kraw d¹ e 1. Zaªó»my,»e wybrali±my ju» kraw dzie e 1, e,..., e k 1. Kraw dzi e k b dzie kraw d¹ o najmniejszej wadze wybrana z pozostaªych kraw dzi nie tworz cych cyklu z kraw dziami e 1, e,..., e k 1. Po uzyskaniu drzewa ko«czymy. Dowód poprawno±ci algorytmu. Poka»emy,»e tak otrzymane drzewo T ma minimaln wag. We¹my dowolne drzewo rozpinaj ce S. Zaªó»my,»e kraw dzie e 1, e,..., e k 1 nale» do S, ale e k ju» nie nale»y. Dodaj c do drzewa S kraw d¹ e k otrzymujemy cykl. Istnieje kraw d¹ e nale» ca do S, ró»na od e 1, e,..., e k, której usuni cie przerwie powstaªy cykl. W ten sposób otrzymamy nowe drzewo S 1. Poniewa» waga e k jest niewi ksza wag od wagi e (tak zostaªa wybrana kraw d¹ e k ), wi c waga S 1 jest niewi ksza od wagi S. Powtarzaj c odpowiedni liczb razy opisane przeksztaªcenie otrzymamy ci g drzew S, S 1, S,..., S l z których ostatnie pokrywa si z drzewem T. Ci g wag tak otrzymanych drzew jest ci giem niemalej cym. 8. Zadanie komiwoja»era polega na znalezieniu najkrótszego cyklu Hamiltona w danym grae z wagami. Algorytm znajduj cy minimalne drzewo rozpinaj ce mo»e si przyda przy okre±leniu dolnego ograniczenia na dªugo± minimalnego cyklu Hamiltona (o ile taki istnieje). Zaªó»my,»e mamy najkrótszy cykl Hamiltona. Usu«my dowolny wierzchoªek wraz z przylegªymi kraw dziami. Cykl zostanie przerwany i zostanie nam drzewo rozpinaj ce pozostaªego grafu, które ma wag nie 9

10 mniejsz od minimalnego drzewa rozpinaj cego. Dolne ograniczenie otrzymamy dodaj c do wagi minimalnego drzewa rozpinaj cego sum dªugo±ci dwóch najkrótszych usuni tych kraw dzi. 9. Sieci elektryczne. Rozwa»aj c sie elektryczn cz sto pisze si ukªad równa«wynikaj cy z dwóch praw Kirchoa. Wybieraj c jako niewiadome pr dy, mamy pewien nadmiar równa«(du»o lepiej wybra potencjaªy, wtedy nie ma»adnych problemów, wystarczy usun dowolne równanie). Jak wybra równania? Wypisujemy równania mówi ce,»e suma pr dów wypªywaj cych z dowolnego w zªa jest równa 0. Jedno równanie usuwamy, tak otrzymujemy n 1 równa«. Problemem s oczka. Rysujemy dowolne drzewo rozpinaj ce. Zaªó»my,»e mamy k kraw dzi i tyle samo niewiadomych. Doª czaj c dowoln z pozostaªych k n + 1 kraw dzi, otrzymujemy cykl, któremu odpowiada równanie. W sumie otrzymujemy k równa«. 10. Twierdzenie Cayleya. Liczba drzew o n wierzchoªkach wynosi n n 1. Dowód przez podwójne zliczanie. Niech Q n oznacza liczb drzew o n wierzchoªkach, a Q k n liczb drzew o n wierzchoªkach, w których wierzchoªek nr 1 ma wag k. Liczb par: (drzewo, wierzchoªek W ), gdzie wierzchoªek nr 1 ma stopie«k + 1, a W jest dowolnym wierzchoªkiem ró»nym od wierzchoªka nr 1 wynosi (n 1)Q k+1 n. Liczba par: (drzewo, wierzchoªek W ), gdzie wierzchoªek nr ma stopie«k, a wierzchoªek W jest dowolnym wierzchoªkiem nie poª czonym kraw dzi z wierzchoªkiem nr 1 wynosi (n k 1)Q k n. Ka»dej parze pierwszego rodzaju odpowiada k par drugiego rodzaju. Wystarczy odklei fragment drzewa zawieraj cy wierzchoªek W od wierzchoªka nr 1 i przyklei do jednego z k pozostaªych s siadów wierzchoªka nr 1. St d k(n 1)Q k+1 n wynik = (n k 1)Q k n, a poniewa» Q n 1 n Q k n = ( ) n (n 1) n k 1, k 1 = 1, otrzymujemy w szczególno±ci Q n = 1 n Q1 n+1 = n n (mo»emy na koniec zapomnie o wierzchoªku nr 1). 10

11 Grafy planarne 1. Denicja. Graf planarny (pªaski) to graf, który mo»na narysowa na pªaszczy¹nie bez przeci.. Twierdzenie. (Euler) Je±li w grae planarnym n jest liczb wierzchoªków, e liczb kraw dzi, a f liczb ±cian (powierzchni na zewn trz grafu uznajemy za ±cian ), to zachodzi równo± n e + f =. Dowód. Indukcja. Ka»dy graf mo»emy uzyska wychodz c z pojedynczego wierzchoªka (n = 1, e = 0, f = 1) i dodaj c kolejne kraw dzie. Dodawana kraw d¹ mo»e by dodana wraz z nowym wierzchoªkiem (n i e zwi kszaj si o 1, f pozostaje bez zmian) lub mo»e ª czy dwa wcze±niej doª czone wierzchoªki (e i f zwi kszaj si o 1, n nie zmienia si ). 3. Wniosek. Grafy K 5 i K 33 nie s planarne. Zaªó»my,»e graf K 5 jest planarny. Mamy n = 5, e = 10, f = n+e = 7. Ale ka»da ±ciana ma co najmniej 3 kraw dzie i dlatego 3f e, a w rozwa»anym grae 3 7 = 1 > 10 = 0 i mamy sprzeczno±. Zaªó»my,»e graf K 33 jest planarny. Wtedy e = 9, n = 6, f = +9 6 = 5. W grae K 33 nie ma trójk tów i dlatego 4f e, a rozwa»anym grae 4 5 = 0 > 9 = 18 i mamy sprzeczno±. 4. Twierdzenie. Rozwa»amy graf prosty planarny. W grae znajdziemy wierzchoªek stopnia nie wi kszego ni» 5. Graf ma co najwy»ej 3n 6 kraw dzi. Dowód. Ka»da ±ciana ma co najmniej 3 kraw dzie. Niech f 3, f 4, f 5,... oznaczaj liczb ±cian o 3, 4, 5,... kraw dziach. Mamy f = f 3 + f 4 + f 5 + e = 3f 3 + 4f 4 + 5f

12 St d e 3f i dalej 3n 6 = 3e 3f e. Zaªó»my,»e stopie«ka»dego wierzchoªka jest nie mniejszy ni» 6. Wtedy n = n 6 + n 7 + n 8 + gdzie n 5, n 7, n 8,... oznaczaj liczb wierzchoªków stopnia 6, 7, 8,... oraz e = 6n 6 + 7n 7 + 8n 8 + St d 1 = 6( n + e f) = (e 6n) + (e 3f) 0 i mamy sprzeczno±. 5. O powierzchni homeomorcznej ze sfer z doczepionymi g r czkami mówimy,»e ma genus g. Sfera ma genus 0, torus ma genus 1. Je±li graf mo»na narysowa bez przeci na powierzchni genusu g, a nie mo»na na powierzchni genusu g 1, to mówimy,»e graf ma genus g. K 5 i K 33 maj genus 1. K n ma genus (n 3)(n 4)/1 (Ringel, Youngs 1968). Uogólnienie twierdzenia Eulera. n m + f = g. 6. Twierdzenie. (Kuratowski) Graf jest planarny nie zawiera podgrafu homeomorcznego z K 5 lub K 33 (tzn. takiego grafu, który ró»ni si od wymienionych tym,»e mo»e mie dodatkowe w zªy na kraw dziach). Graf Petersona: pi ciok t i poª czona z nim 5 kraw dziami le» ca wewn trz gwiazda 5-ramienna (przeci nie liczymy). Wykre±laj c z grafu Petersona poziome kraw dzi pozostanie nam graf K Twierdzenie. Gaf jest planarny nie zawiera podgrafu ±ci galnego do grafu K 5 lub K 33. 1

13 ci ganie grafu polega na kolejnym ±ci ganiu kraw dzi. Natomiast ±ci ganie kraw dzi polega na uto»samianiu wierzchoªków, które ª czy dana kraw d¹ i pomijaniu ewentualnych p tli. Graf Petersona jest ±ci galny do grafu K Denicja. Graf dualny do danego grafu planarnego tworzymy umieszczaj c na ka»dej ±cianie punkt i ª cz c punkty le» ce na s siednich ±cianach kraw dziami przecinaj cymi dziel ce kraw dzie (je±li na dziel cych kraw dziach le» wierzchoªki to uzyskujemy kraw dzie wielokrotne). 9. Alternatywny dowód twierdzenia Eulera. Dla danego grafu planarnego maj cego n wierzchoªków, e kraw dzi i f ±cian tworzymy graf dualny. Drzewo rozpinaj ce grafu dualnego ma f 1 kraw dzi. Kraw dzie te przecinaj pewne kraw dzie wyj±ciowego grafu. Pozostaªe kraw dzie wyj±ciowego grafu tworz drzewo rozpinaj ce o n 1 kraw dziach. Suma przeci tych i nieprzeci tych kraw dzi daje wszystkie kraw dzie (f 1) + (n 1) = e czyli n e + f =. Kolorowanie grafów 1. Pytamy ile kolorów potrzeba do pomalowania wierzchoªków grafu prostego, tak aby s siednie wierzchoªki miaªy ró»ne kolory. Najmniejsz taka liczb nazywamy liczb chromatyczn grafu.. Twierdzenie. Je±li w grae prostym stopnie wierzchoªków nie przekraczaj d, to wystarczy d + 1 kolorów. Dowód. Indukcja wzgl dem liczby wierzchoªków. Usuwamy dowolny wierzchoªek. Malujemy reszt za pomoc d + 1 kolorów. Usuni ty wierzchoªek malujemy kolorem ró»nym od kolorów jego d s siadów. 3. Twierdzenie. (Brooks). Liczb d + 1 mo»na zmniejszy do d. 4. Kolorowanie grafów planarnych. Problem kolorowania map mo»na zamieni na opisany problem kolorowania wierzchoªków przechodz c do grafu dualnego. 13

14 5. Twierdzenie. Do pokolorowania grafu planarnego wystarczy 6 kolorów. Dowód. Indukcja wzgl dem liczby wierzchoªków. Usuwamy wierzcho- ªek stopnia 5 lub mniejszego. Kolorujemy reszt grafu, a potem kolorujemy usuni ty wierzchoªek kolorem ró»nym od kolorów 5 s siadów, 6. Twierdzenie. Do pokolorowania grafu planarnego wystarczy 5 kolorów. Dowód. Indukcja wzgl dem liczby wierzchoªków. Je±li wszystkie wierzchoªki maj stopie«mniejszy od 5, to malujemy bez trudno±ci. W przeciwnym wypadku rozwa»amy wierzchoªek v stopnia 5 poª czony z wierzchoªkami v 1, v, v 3, v 4, v 5. Dla pewnych i, j wierzchoªki v i, v j nie s poª czone. Inaczej nasz graf zawieraªby graf K 5 i nie byªby planarny. ci gamy kraw dzie v i v, v j v. Tak otrzymany graf malujemy pi cioma kolorami. Nast pnie rozsuwamy ±ci gni te kraw dzie nadaj c wierzchoªkom v i, v j kolor wierzchoªka v, a wierzchoªek v malujemy pozostaªym pi tym kolorem (teraz dwóch z pi ciu s siadów v ma ten sam kolor). 7. Twierdzenie. (Appel, Haken + komputer). Do pokolorowania grafu planarnego wystarcz 4 kolory. Lemat Spernera i twierdzenie o punkcie staªym Zaªó»my,»e mamy trójk t podzielony na trójk ty. Zakªadamy przy tym,»e na kraw dziach trójk tów, na które zostaª podzielony du»y trójk t, nie le» wierzchoªki innych trójk tów. Taki podziaª nazwiemy triangulacj. Oznaczmy wierzchoªki du»ego trójk ta liczbami 1,,3. Wierzchoªki na kraw dzi o ko«cach 1, oznaczmy w dowolny sposób liczbami 1,. Podobnie uczy«my z wierzchoªkami na kraw dziach,3 i 3,1. Wierzchoªki poªo»one wewn trz du»ego trójk ta oznaczmy w dowolny sposób liczbami 1,,3. Lemat Spernera mówi,»e zawsze w±ród trójk tów triangulacji znajdziemy trójk t o wierzchoªkach 1,,3. Dowód. Utwórzmy graf dualny. Z grafu dualnego zostawmy tylko kraw dzie przecinaj ce kraw dzie ª cz ce wierzchoªki z numerami 1,. Nazwijmy 14

15 otrzymany graf grafem cz ±ciowo dualnym. Wierzchoªki grafu cz ±ciowo dualnego le» ce w trójk tach o wierzchoªkach 1,,3 maj stopie«1. Wierzchoªki grafu dualnego le» ce w pozostaªych trójk tach maj stopie«lub 0. Kraw d¹ 1, du»ego trójk ta przecina nieparzysta liczba kraw dzi grafu cz ±ciowo dualnego. Zatem wierzchoªek na zewn trz ma stopie«nieparzysty. Wynika st d,»e wierzchoªków stopnia 1 wewn trz du»ego trójk ta jest te» liczba nieparzysta (lemat o podawaniu r k). Oznacza to,»e trójk tów z numerami 1,,3 jest nieparzysta liczba, a wi c co najmniej jeden. Twierdzenie Brouwera o punkcie staªym. Funkcja ci gªa przeksztaªcaj ca trójk t w trójk t ma punkt staªy. Dowód. Rozwa»amy trójk t le» cy w R 3 okre±lony relacjami x 1 + x + x 3 = 1, x 1 0, x 0, x 3 0. Niech f b dzie funkcj ci gª przeksztaªcaj c trójk t w siebie. Oznaczmy przez T n triangulacj uzyskan przez podziaª trójk ta na n przystaj cych trójk cików. Zaªó»my,»e funkcja f nie ma punktu staªego. Deniujemy funkcj λ. Je±li f(x) 1 < x 1, to λ(x) = 1. Je±li f(x) 1 x 1, f(x) < x to λ(x) =. Je±li f(x) 1 x 1, f(x) x, f(x) 3 < x 3 to λ(x) = 3. Gdyby f(x) 1 x 1, f(x) x, f(x) 3 x 3, to mieliby±my f(x) 1 + f(x) + f(x) 3 = x 1 + x + x 3 = 1, sk d f(x) 1 = x 1, f(x) = x, f(x) = x 3 (»adna nierówno± nie mo»e by ostra) i mieliby±my sprzeczno±. Funkcj λ wykorzystujemy do numeracji wierzchoªków. Z lematu Spernera wynika,»e w triangulacji T n znajdziemy trójk t o wierzchoªkach a n, b n, c n takich,»e λ(a n ) = 1, λ(b n ) =, λ(c n ) = 3. Z ci gu a 1, a, a 3,... wybieramy podci g zbie»ny a i1, a i, a i3,.... Zaªó»my,»e a ik g (g le»y w trójk cie). Wtedy tak»e b ik g, c ik g i dalej f(a k ) 1 < (a k ) 1 f(g) 1 g 1, f(b k ) < (b k ) f(g) g, f(c k ) 3 < (c k ) 3 f(g) 3 g 3. Wynika st d,»e f(g) = g, a zatem f ma punkt staªy. Lemat i twierdzenie mo»na uogólni na dowolny wymiar. 15

16 Twierdzenie Halla 1. Twierdzenie Halla. Zaªó»my,»e mamy n sko«czonych zbiorów. Z ka»dego zbioru mo»emy wybra inny element dowolne k zbiorów, k n, zawiera w sumie co najmniej k elementów. Dowód. Implikacja ( ) jest oczywista. Implikacj ( ) dowodzimy indukcyjnie. Dla n = 1 twierdzenie jest oczywiste. Zaªó»my,»e twierdzenie jest prawdziwe dla ka»dego k < n. Rozwa»amy zbiory A 1, A, A 3,..., A n. Rozpatrujemy dwa przypadki. Przypadek pierwszy. Dowolne k zbiorów, k < n, zawiera w sumie co najmniej k + 1 elementów. Wybieramy dowolny element c n ze zbioru A n i rozpatrujemy zbiory B 1 = A 1 \ {c n }, B = A \ {c n },..., B n 1 = A n 1 \ {c n }. Dowolne k zbiorów z rodziny B 1, B,..., B n 1 zawiera w sumie k elementów. Z zaªo»enia indukcyjnego wynika,»e z ka»dego ze zbiorów B 1, B,..., B n 1 mo»emy wybra inny element. Przypadek drugi. Pewne k zbiorów, k < n, zawiera w sumie dokªadnie k elementów. Niech to b d zbiory A 1, A,..., A k (po ewentualnym przenumerowaniu). Oznaczmy ich sum liter C i zdeniujmy zbiory B k+1 = A k+1 \C, B k+ = A k+ \C,..., B n = A n \C. Dowolne j zbiorów z rodziny B k+1, B k+,..., B n zawiera w sumie co najmniej j elementów. W przeciwnym wypadku pewne j zbiorów z rodziny B k+1, B k+,..., B n zawieraªoby w sumie mniej ni» j elementów. Niech to b d zbiory B k+1, B k+,..., B k+j (znów po ewentualnym przenumerowaniu). Jednak suma zbiorów A 1,..., A k, B k+1,..., B k+j równa jest sumie zbiorów A 1, A,..., A k+j, zawiera co najmniej k + j i mamy sprzeczno±. Z zaªo»enia indukcyjnego wynika,»e z ka»dego ze zbiorów A 1,..., A k mo»emy wybra inny element oraz z ka»dego ze zbiorów B k+1,..., B n mo»emy wybra inny element.. Denicja. Prostok tem ªaci«skim nazywamy prostok tn tablic wypeªnion w ten sposób,»e w»adnym wierszu ani kolumnie nie ma powtarzaj cej si liczby. 16

17 Przykªad: Twierdzenie. Ka»dy prostok t ªaci«ski mo»na uzupeªni do kwadratu ªaci«skiego. Dowód. Poka»emy, jak mo»na do prostok ta ªaci«skiego n k (n > k) dopisa wiersz, tak aby dalej mie prostok t ªaci«ski. Zakªadamy,»e prostok t wypeªniony jest liczbami 1,,..., n. Rozwa»my zbiory A 1, A,..., A n zªo»one z elementów nie wyst puj cych odpowiednio w kolumnach 1,,..., n. Dowolna liczba j (1 j n) wyst puje dokªadnie raz w ka»dym wierszu, a wi c wyst puje w k kolumnach, czyli pojawia si w n k zbiorach. Poka»emy,»e dowolne r podzbiorów zawiera w sumie co najmniej r elementów. Wypiszmy wszystkie elementy z r podzbiorów. Mamy r(n k), by mo»e powtarzaj cych si elementów. aden element nie powtarza si wi cej ni» n k razy. Dlatego mamy co najmniej r ró»nych elementów. Z twierdzenia Halla wynika teraz,»e ze zbiorów A 1, A,..., A n mo»emy wybra n ró»nych elementów. Mo»emy z nich utworzy kolejny wiersz tablicy. 4. Denicja. Turniejem nazywamy skierowany graf peªny. Mo»emy my±le,»e mamy rozgrywki, w których ka»dy gra z ka»dym i nie ma remisów. Kierunek kraw dzi mówi nam, kto wygraª. 5. Twierdzenie. W ka»dym turnieju mo»emy znale¹ taki ci g zawodników,»e pierwszy zawodnik wygraª z drugim, drugi z trzecim,..., a przedostatni z ostatnim. Dowód indukcyjny. Dla jednego i dwóch zawodników twierdzenie jest oczywiste. Zaªó»my,»e twierdzenie jest prawdziwe dla liczb nie wi kszych od n. Poka»emy,»e jest prawdziwe dla n + 1. Popatrzmy na 17

18 rozgrywki mi dzy n pierwszymi zawodnikami. Mo»emy wybra ci g p 1 p p 3 p n (a b oznacza,»e zawodnik a wygraª z zawodnikiem b). Oznaczmy p n+1 liter q. Rozpatrujemy trzy przypadki q wygraª ze wszystkimi. Wtedy q p 1 p p n. q przegraª ze wszystkimi. Wtedy p 1 p p n q. W przeciwnym wypadku niech p i b dzie ostatnim zawodnikiem, z którym q przegraª. Wtedy p 1 p i q p i+1 p n. 6. Pewne uogólnienie twierdzenia Halla. Rozpatrujemy zbiory sko«- czone A 1, A,... A n. Chcemy wybra b 1 elementów ze zbioru A 1, b elementów ze zbioru A,..., b n elementóww ze zbioru A n, przy czym chcemy, aby wszystkie wybrane elementy byªy ró»ne. Jest to mo»liwe dowolne k zbiorów A i1, A i,..., A ik zawiera w sumie co najmniej b i1 + b i + + b ik elementów. Dowód. Zbiór A 1 zast pujemy b 1 krotn kopi zbioru A 1. Podobnie post pujemy z pozostaªymi zbiorami. Na koniec stosujemy twierdzenie Halla. 7. Twierdzenie. Liczby b 1, b,... b n s wynikami pewnego turnieju b 1 + b + + b n = ( ) n oraz dla dowolnego zbioru r zawodników j 1, j,... j r zachodzi nierówno± ( ) r b j1 + b j + + b jr (b i oznacza liczb wygranych zawodnika i). Dowód. ( ) Wszystkich rozgrywek mamy n(n 1)/, st d pierwsza równo±. W podzbiorze r zawodników mamy r(r 1)/ rozgrywek 18

19 mi dzy zawodnikami w podzbiorze. Zawodnicy z rozpatrywanego podzbioru mog dodatkowo wygra z pewnymi zawodnikami z poza podzbioru. St d nierówno±. ( ). Zastosujemy uogólnienie twierdzenia Halla. Kraw dzie wychodz ce z wierzchoªka i tworz zbiór A i (i = 1,,..., n). Ze zbioru A i b dziemy chcieli wybra b i elementów. B d to wygrane i-tego zawodnika. Rozpatrzmy zawodników (wierzchoªki) i 1, i,..., i k. Niech j 1, j,..., j r b d pozostaªymi zawodnikami. Mamy równo± b i1 + b i + + b ik + b j1 + b j + + b jr = Z zaªo»enia b j1 + b j + + b jr b i1 + b i + + b ik ( ) r. St d ( ) n ( ) r = ( ) n ( ) n. ( ) n k. Z wierzchoªków i 1, i,..., i k wychodzi w sumie ( ) ( ) n n k kraw dzi. Zatem nierówno±ci z zaªo»enia twierdzenia Halla s speªnione i odpowiedni wybór jest mo»liwy. Trwaªe pary Mamy dwie równoliczne grupy: grup chªopców i grup dziewczyn. Ka»dy chªopiec tworzy list dziewczyn na której umieszcza wszystkie dziewczyny od najatrakcyjniejszej (w jego opinii) do najmniej atrakcyjnej. Równie» ka»da dziewczyna posiada odpowiedni list chªopców. Zadanie polega na poª czeniu w pary chªopców i dziewczyn. Oczekujemy,»e nie b dzie nietrwaªych par, tzn. nie znajdziemy chªopca i dziewczyny, którzy wol siebie nawzajem bardziej od przydzielonych partnerów. Zadanie mo»na rozwi za stosuj c nast puj cy algorytm. Pierwszy chªopiec skªada wizyt pierwszej dziewczynie na swojej li±cie. Je±li dziewczyna jest wolna, to chªopiec z ni zostaje. 19

20 W przeciwnym wypadku dziewczyna decyduje, kto zostaje: wcze±niejszy kandydat czy nowy. Odrzucony chªopiec idzie do kolejnej dziewczyny na li±cie. W ko«cu który± z kolei chªopiec traa na woln dziewczyn. Wtedy przychodzi nast pny chªopiec i tak do ko«ca. Opisany algorytm mo»na zastosowa do przeprowadzenia sprawiedliwej rekrutacji do szkóª. Kandydaci tworz listy preferencji, na których umieszczaj szkoªy. Szkoªy w okre±lony sposób oceniaj kandydatów. Aby zastosowa algorytm, nale»y ka»d szkoª zast pi pewn liczb kopii równ liczbie miejsc w szkole. Jerzy Cisªo Podr czniki 1. V. Bryant: Aspekty kombinatoryki. R. J. Wilson: Wprowadzenie do teorii grafów 3. M. Aigner, G.M. Ziegler Dowody z Ksi gi 0

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na. Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie

c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie 2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie 8: Kolorowanie Grafów Spis zagadnie«kolorowanie wierzchoªków Kolorowanie map Kolorowanie kraw dzi Wielomian chromatyczny Zastosowania Problem kolorowania grafów ma wiele odmian (np. kolorowanie wierzchoªków,

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie

c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie 7: Spis zagadnie«twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej Graf Planarny Graf planarny to taki graf,

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.

Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz

Bardziej szczegółowo

Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw

Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw 3 kwietnia 2014 roku 1 / 106 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne 1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych

Bardziej szczegółowo

10a: Wprowadzenie do grafów

10a: Wprowadzenie do grafów 10a: Wprowadzenie do grafów Spis zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu drogi i cykle, spójno± w tym sªaba i silna drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0, XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i sieci 1 / 58

Teoria grafów i sieci 1 / 58 Teoria grafów i sieci 1 / 58 Literatura 1 B.Korte, J.Vygen, Combinatorial optimization 2 D.Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms 3 M.Sysªo, N.Deo Metody optymalizacji dyskretnej z przykªadami w Turbo

Bardziej szczegółowo

Drzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009

Drzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie Drzewa Gomory-Hu Jakub Š cki 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie 1 Wprowadzenie Podstawowe poj cia i fakty 2 Istnienie drzew Gomory-Hu 3 Algorytm budowy drzew 4 Problemy otwarte Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Podstawowepojęciateorii grafów

Podstawowepojęciateorii grafów 7 Podstawowepojęciateorii grafów Wiele sytuacji z»ycia codziennego mo»e by w wygodny sposób opisanych gracznie za pomoc rysunków skªadaj cych si ze zbioru punktów i linii ª cz cych pewne pary tych punktów.

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G b dzie grafem spójnym. Denicja Je»eli w grae G istnieje zamkni ta droga prosta zawieraj ca wszystkie kraw dzie

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów 18 maja 2013 Twierdzenie Halla o maª»e«stwach Problem Wyobra¹my sobie,»e mamy m dziewczyn i pewn liczb chªopców. Ka»da dziewczyna chce wyj± za m», przy czym ka»da z nich godzi si po±lubi tylko pewnych

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 1: Wprowadzenie i poj cia podstawowe. c Marcin Sydow. Wprowadzenie. Podstawowe poj cia. Operacje na grafach.

Grafy i Zastosowania. 1: Wprowadzenie i poj cia podstawowe. c Marcin Sydow. Wprowadzenie. Podstawowe poj cia. Operacje na grafach. 1: i podstawowe Spis Zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu s siedztwo i incydencja izomorzm grafów stopnie wierzchoªków (w tym wej±ciowy i wyj±ciowy), lemat

Bardziej szczegółowo

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14 WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................

Bardziej szczegółowo

O pewnym zadaniu olimpijskim

O pewnym zadaniu olimpijskim O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Stereometria (geometria przestrzenna)

Stereometria (geometria przestrzenna) Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy

Bardziej szczegółowo

Minimalne drzewa rozpinaj ce

Minimalne drzewa rozpinaj ce y i y i drzewa Spis zagadnie«y i drzewa i lasy cykle fundamentalne i rozci cia fundamentalne wªasno±ci cykli i rozci minimalne drzewa algorytm algorytm Drzewo y i spójnego, nieskierowanego grafu prostego

Bardziej szczegółowo

Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów

Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów 1 / 112 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka dla programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowadzenie do algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B.

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i sieci 1 / 188

Teoria grafów i sieci 1 / 188 Teoria grafów i sieci / Drzewa z wagami Drzewem z wagami nazywamy drzewo z korzeniem, w którym do ka»dego li±cia przyporz dkowana jest liczba nieujemna, nazywana wag tego li±cia. / Drzewa z wagami Drzewem

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki dla informatyków

Podstawy matematyki dla informatyków Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru

Bardziej szczegółowo

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno± ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)

X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje 9: (grafy skierowane) Spis zagadnie«cz ±ciowe Przykªady: gªosowanie wi kszo±ciowe, Digraf (graf skierowany) Digraf to równowa»ny termin z terminem graf skierowany (od ang. directed graph). W grafach skierowanych

Bardziej szczegółowo

Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska

Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska Andrzej Jastrz bski Akademia ET I Graf Grafem nazywamy par G = (V, E), gdzie V to zbiór wierzchoªków, E zbiór kraw dzi taki,»e E {{u, v} : u, v V u v}. Wierzchoªki v, u V s s siaduj ce je±li s poª czone

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach

c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach 12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinaj ce. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinaj ce. Cykle i rozci cia fundamentalne. Zastosowania

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinaj ce. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinaj ce. Cykle i rozci cia fundamentalne. Zastosowania Grafy i Grafy i 5: Rozpinaj ce Spis zagadnie«grafy i i lasy cykle fundamentalne i wªasno±ci cykli i rozci przestrzenie cykli i rozci * : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala*

Bardziej szczegółowo

Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne.

Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. IIUWr. II rok informatyki. Przygotowaª: Krzysztof Lory± 1 Schemat ogólny. Typowe zadanie rozwi zywane metod zachªann ma charakter optymalizacyjny.

Bardziej szczegółowo

Przekroje Dedekinda 1

Przekroje Dedekinda 1 Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2

Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2 Algorytmy grafowe 2 Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Minimalne drzewo spinaj ce Drzewem nazywamy spójny graf nie posiadaj cy cyklu. Liczba wierzchoªków drzewa jest o jeden wi ksza od liczby jego kraw dzi.

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej.

Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej. Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej. Paulina Michta V Liceum Ogólnoksztaªc ce im. Augusta Witkowskiego w Krakowie Opiekun: dr Jacek Dymel 2 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1 J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)

Bardziej szczegółowo

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0 1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych

Algorytmy i Struktury Danych Lista zada«. Nr 4. 9 kwietnia 2016 IIUWr. II rok informatyki. Algorytmy i Struktury Danych 1. (0pkt) Rozwi» wszystkie zadania dodatkowe. 2. (1pkt) Uªó» algorytm znajduj cy najta«sz drog przej±cia przez

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 11: Twierdzenia Minimaksowe. c Marcin Sydow. Wst p: Tw. Halla. Dualno± Zbiory niezale»ne. Skojarzenia c.d.

Grafy i Zastosowania. 11: Twierdzenia Minimaksowe. c Marcin Sydow. Wst p: Tw. Halla. Dualno± Zbiory niezale»ne. Skojarzenia c.d. 11: Twierdzenia Minimaksowe Spis zagadnie«wst p: Kojarzenie Maª»e«stw i i twierdzenia minimaksowe i pokrycia (Tw. Gallai) w grafach (tw. Berge'a) w grafach dwudzielnych (tw. Königa, ) Pokrycia macierzy

Bardziej szczegółowo

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14 WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

Materiaªy do Repetytorium z matematyki

Materiaªy do Repetytorium z matematyki Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych

Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych 1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych

Bardziej szczegółowo

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 2 Podstawowe zasady i prawa przeliczania

Bardziej szczegółowo

Biedronka. Wej±cie. Wyj±cie. Przykªady. VI OIG Zawody dru»ynowe, Finaª. 19 V 2012 Dost pna pami : 64 MB.

Biedronka. Wej±cie. Wyj±cie. Przykªady. VI OIG Zawody dru»ynowe, Finaª. 19 V 2012 Dost pna pami : 64 MB. Biedronka Pªot ma D cm dªugo±ci i zbudowany jest z desek zako«czonych trójk tami równoramiennymi, poª czonych ze sob w jedn caªo±. Dªugo± ramienia ka»dego z trójk tów stanowi P % dªugo±ci podstawy. Po

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW. Graf skierowany dla ka»dej kraw dzi (oznaczanej tutaj jako ªuk) para wierzchoªków incydentnych jest par uporz dkowan {u, v}.

TEORIA GRAFÓW. Graf skierowany dla ka»dej kraw dzi (oznaczanej tutaj jako ªuk) para wierzchoªków incydentnych jest par uporz dkowan {u, v}. Podstawowe denicje: TEORIA GRAFÓW Graf (nieskierowany) G = (V, E) struktura skªadaj ca si ze: zbioru wierzchoªków V = {,,..., v n } oraz zbioru kraw dzi E = {e 1, e 2,..., e m }. Z ka»d kraw dzi e skojarzona

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 2013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

Interpolacja funkcjami sklejanymi

Interpolacja funkcjami sklejanymi Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak

Bardziej szczegółowo

Wektory w przestrzeni

Wektory w przestrzeni Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem

Bardziej szczegółowo

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a

Bardziej szczegółowo

Geometria. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Geometria. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne Geometria Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Dane s równania postych, w których zawarte s boki trójk ta ABC : 3x 4y + 36 = 0 x y = 0 4x + 3y + 23 = 0 1. Obliczy wspóªrz dne wierzchoªków

Bardziej szczegółowo

Ekstremalnie fajne równania

Ekstremalnie fajne równania Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów

Bardziej szczegółowo

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza 165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych

Algorytmy i struktury danych Algorytmy i struktury danych Cz ± druga Prowadz cy: dr Andrzej Mróz, Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikoªaja Kopernika 1 / 82 Rekurencja Procedura (funkcja) rekurencyjna wywoªuje sam siebie.

Bardziej szczegółowo

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

XIII KONKURS MATEMATYCZNY XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania

Bardziej szczegółowo

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany

Bardziej szczegółowo

r = x x2 2 + x2 3.

r = x x2 2 + x2 3. Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Niezmienniki i póªniezmienniki. Weronika Koªodziejczykyg V Liceum Ogólnoksztaªc ce w Krakowie Opiekun pracy: dr Jacek Dymel

Niezmienniki i póªniezmienniki. Weronika Koªodziejczykyg V Liceum Ogólnoksztaªc ce w Krakowie Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Niezmienniki i póªniezmienniki Weronika Koªodziejczykyg V Liceum Ogólnoksztaªc ce w Krakowie Opiekun pracy: dr Jacek Dymel 2 3 Problemy 1 Wprowadzenie Niniejsza praca jest zbiorem problemów zwi zanych

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych

Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomian: W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 wspóªczynniki wielomianu: a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n ; wyraz wolny: a 0

Bardziej szczegółowo

Egzaminy i inne zadania. Semestr II.

Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«ze Wst pu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Ponadto doª czyªem szereg zada«, które pojawiaªy si

Bardziej szczegółowo

Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2

Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2 Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile

Bardziej szczegółowo

12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach

12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach 12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach Spis zagadnie«problem najkrótszych ±cie»ek z jednym ¹ródªem Rozwi zanie sznurkowe kraw dzi Wariant 1: Wariant 2: nieujemne kraw dzie (Dijkstra) Wariant 3:

Bardziej szczegółowo

Ukªady równa«liniowych

Ukªady równa«liniowych dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast

Bardziej szczegółowo

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania

Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 2013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt pn. Wzmocnienie

Bardziej szczegółowo

Problemy optymalizacyjne - zastosowania

Problemy optymalizacyjne - zastosowania Problemy optymalizacyjne - zastosowania www.qed.pl/ai/nai2003 PLAN WYKŁADU Zło ono obliczeniowa - przypomnienie Problemy NP-zupełne klika jest NP-trudna inne problemy NP-trudne Inne zadania optymalizacyjne

Bardziej szczegółowo

Liczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera

Liczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera Liczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera Wojciech Rytter Podziaªy liczb s bardzo skomplikowanymi obiektami kombinatorycznymi, przedstawimy dwa algorytmy liczenia takich oblektów. Pierwszy prosty algorytm

Bardziej szczegółowo

Strategia czy intuicja?

Strategia czy intuicja? Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),

Bardziej szczegółowo

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,

Bardziej szczegółowo

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny

Wojewódzki Konkurs Matematyczny Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY 16 listopada 2012 Czas 90 minut Instrukcja dla Ucznia 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych. 2. Obok

Bardziej szczegółowo

Zestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym.

Zestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym. ZESTAWY A Zestaw 1 Organizacja plików: Wszystkie pliki oddawane do sprawdzenia nale»y zapisa we wspólnym folderze o nazwie b d cej numerem indeksu, umieszczonym na pulpicie. Oddajemy tylko ¹ródªa programów

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Podzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska

Podzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska Kombinatoryka Magdalena Lema«ska Zasady zaliczenia przedmiotu Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to

Bardziej szczegółowo

Co i czym mo»na skonstruowa

Co i czym mo»na skonstruowa Co i czym mo»na skonstruowa Jarosªaw Kosiorek 5 maja 016 Co mo»na skonstruowa? Maj c dany odcinek dªugo±ci 1 mo»na skonstruowa : 1. odcinek dªugo±ci równej dowolnej liczbie wymiernej dodatniej;. odcinek

Bardziej szczegółowo

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna 1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy

Bardziej szczegółowo