Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje

Transkrypt

1 9: (grafy skierowane)

2 Spis zagadnie«cz ±ciowe Przykªady: gªosowanie wi kszo±ciowe,

3 Digraf (graf skierowany) Digraf to równowa»ny termin z terminem graf skierowany (od ang. directed graph). W grafach skierowanych kraw dzie s reprezentowane przez pary uporz dkowane wierzchoªków (a nie nieuporz dkowane jak w grafach) i nazywane s te» ªukami. Uwaga: digraf jest naturalnym modelem dla dowolnej relacji binarnej na zbiorze jego wierzchoªków (niekoniecznie prosty np. zwrotno± implikuje p tle) Digraf prosty: nie zawiera p tli i ªuków wielokrotnych (Uwaga: (u, v) (v, u) dla u v). Szkielet digrafu to graf nieskierowany powstaªy z zast pienia ka»dego ªuku (u, v) kraw dzi nieskierowan u, v. Szkielet digrafu prostego nie musi by grafem prostym.

4 Macierz s siedztwa i incydencji digrafu Macierz s siedztwa A(D) digrafu D: a ij to liczba ªuków z wierzchoªka i do wierzchoªka j. Uwaga: nie musi by symetryczna (tak jak byªo to dla grafów) Digrafem przeciwnym do digrafu D nazywamy digraf D T, w którym ka»da kraw d¹ zast piona jest kraw dzi przeciwn. Macierz s siedztwa digrafu przeciwnego do D to transponowana macierz s siedztwa grafu D: A(D T ) = A T (D) Macierz incydencji digrafu D: d ij wynosi 1 gdy wierzchoªek i jest wierzchoªkiem ko«cowym kraw dzi j, -1 gdy jest odwrotnie, 0 w pozostaªych przypadkach.

5 Orientowalno± Graf nieskierowany G nazywamy orientowalnym ka»d jego kraw d¹ da si zast pi ªukiem tak,»e otrzymany digraf jest silnie spójny. Twierdzenie: Spójny graf nieskierowany G jest orientowalny ka»da jego kraw d¹ jest zawarta w pewnym cyklu (elementarnym). Wniosek: Spójny graf nieskierowany G jest orientowalny nie ma mostów Znajdowanie orientacji (szkic algorytmu): wykona DFS, ka»d kraw d¹ drzewow skierowa od ojca do syna, a ka»d wsteczn od potomka do przodka (innych nie ma w nieskierowanym).

6 Przechodnio± digrafu Digraf nazywamy przechodnim dla dowolnych wierzchoªków u, v, w istnienie kraw dzi (u, v) i (v, w) implikuje istnienie kraw dzi (u, w). Uwaga: digraf jest przechodni reprezentowana przez niego relacja binarna jest przechodnia domkni cie przechodnie digrafu D to najmniejszy digraf D c przechodni, którego D jest podgrafem. Domkni cie przechodnie mo»na oblicza na wiele sposobów, m.in. jako modykacj (uproszczenie) algorytmu najkrótszych ±cie»ek pomi dzy wszystkimi parami wierzchoªków.

7 Porz dek cz ±ciowy * Porz dek cz ±ciowy P = (V, ) to para skªadaj ca si ze zbioru elementów V i relacji binarnej na zbiorze V, która jest: zwrotna antysymetryczna przechodnia Uwaga: standardowa relacja jest oczywi±cie porz dkiem cz ±ciowym, ale w tym kontek±cie u»ywamy symbolu jako uogólnienia porz dku na dowolne relacje abstrakcyjne speªniaj ce powy»sz denicj. (relacja podzielno±ci na zbiorze liczb naturalnych dodatnich niewi kszych ni» 18)

8 Podstawowe poj cia porz dków cz ±ciowych * Niech P = (V, ) b dzie porz dkiem cz sciowym i u, v, w V elementy u, v nazywamy porównywalnymi u v lub v u (w przeciwnym wypadku nazywamy je nieporównywalnymi) porz dek liniowy to taki, w którym wszystkie elementy s porównywalne. element u jest maksymalny nie ma takiego v u,»e u v element u jest minimalny nie ma takiego v u,»e v u v to nast pnik u v jest elementem minimalnym po±ród wszystkich elementów w u takich,»e u w. (ozn. v u) v to poprzednik u v jest elementem maksymalnym po±ród wszystkich elementów w u takich,»e v u. (ozn. v u) y element najwi kszy to jedyny element maksymalny element najmniejszy to jedyny element minimalny

9 Diagram Hasse'go porz dku cz ±ciowego * Diagram Hassego danego porz dku cz ±ciowego P = (V, ) to rysunek grafu G = (V, ) taki,»e elementy maksymalne s na górze, i dla dowolnej pary wierzchoªków takich,»e u v wierzchoªek u umieszczamy poni»ej v.

10 Ša«cuchy i antyªa«cuchy * Niech P(V, ) b dzie porz dkiem cz ±ciowym. podzbiór W zbioru V nazywamy ªa«cuchem wszystkie pary ró»nych elementów W s porównywalne podzbiór W zbioru V nazywamy antyªa«cuchem wszystkie pary ró»nych elementów z W s nieporównywalne (poni»sze twierdzenia zachodz gdy V jest zbiorem sko«czonym) Twierdzenie Dilworth'a: Minimalna liczba ªa«cuchów niezb dnych do pokrycia caªego zbioru V równa jest maksymalnej liczno±ci antyªa«cucha w P. Dualne twierdzenie Dilworth'a: Minimalna liczba antyªa«cuchów niezb dnych do pokrycia zbioru V równa jest maksymalnej liczno±ci ªa«cucha w P.

11 eulerowskie Digraf jest eulerowski istnieje prosty cykl skierowany zawieraj cy wszystkie kraw dzie Fakty: Digraf jest eulerowski dla ka»dego wierzchoªka v zachodzi indeg(v) = outdeg(v) ka»dy digraf eulerowski jest silnie spójny

12 póª-eulerowskie (ka»dy graf eulerowski jest póª-eulerowski) Fakt: Digraf nie b d cy eulerowskim jest póª-eulerowski dla ka»dego wierzchoªka v poza dwoma u, w, indeg(v) = outdeg(v), u, w maj stopnie nieparzyste oraz indeg(u) = outdeg(u) + 1 i indeg(w) = outdeg(w) 1.

13 hamiltonowskie Nie jest znana prosta charakteryzacja digrafów hamiltonowskich. Znane s pewne warunki konieczne, np: Tw. Silnie spójny digraf o n wierzchoªkach, w którym dla ka»dego wierzchoªka v zachodzi: outdeg(v) > n/2 i indeg(v) > n/2 jest hamiltonowski. fakt: digraf hamiltonowski jest silnie spójny

14 ródªo i uj±cie W dowolnym digrae wierzchoªek v nazywamy: ¹ródªem indeg(v) = 0 uj±ciem outdeg(v) = 0 Fakt: Ka»dy digraf acykliczny ma conajmniej 1 ¹ródªo i 1 uj±cie (dowód prosty przez kontrapozycj )

15 Kondensacja digrafu * Kondensacja digrafu D (ozn. cond(d)) to taki digraf, którego wierzchoªki stanowi skªadowe silnie spójne grafu D a ªuk ze skªadowej C do skªadowej C istnieje istnieje kraw d¹ (v, w) dla pewnych wierzchoªków v C i w C. Fakt: Kondensacja ka»dego grafu jest acykliczna (dowód: wynika z denicji kondensacji)

16 Turniej Turniej to digraf, którego szkielet jest grafem peªnym. Turniej stanowi dobry model np. do reprezentacji wyników rozgrywek parami n zawodników, w których gra ka»dy z ka»dym i wynik ka»dej rozgrywki ko«czy si wygran dokªadnie jednego z dwóch (nie ma remisów). Šuk (i, j) oznacza wówczas,»e i wygraª z j. Fakt: Turniej mo»e mie conajwy»ej 1 ¹ródªo i conajwy»ej 1 uj±cie (dlaczego?) Fakt: Jest 2 n(n 1)/2 ró»nych turniejów etykietowanych o n wierzchoªkach (dlaczego?).

17 a Twierdzenie: ka»dy turniej silnie spójny jest hamiltonowski turniej nie b d cy digrafem hamiltonowskim jest póª-hamiltonowski Wniosek: W ka»dym turnieju da si uporz dkowa zawodników w ci g taki,»e poprzedni pokonaª nast pnego w tym ci gu (odpowiada to ±cie»ce hamiltona)

18 c.d. Turniej nazywamy nierozkªadalnym nie mo»na podzieli jego zbioru wierzchoªków na 2 rozª czne podzbiory V 1 i V 2 takie,»e ka»dy ªuk pomi dzy tymi podzbiorami prowadzi z V 1 do V 2. Twierdzenie: Turniej jest silnie spójny jest nierozkªadalny

19 Rankingi w turniejach Wynik wierzchoªka v w turnieju to jego stopie«wyj±ciowy (interpretacja: z iloma graczami wygraª) Ranking turnieju to ci g nierosn cy wyników turnieju odpowiadaj cy wszystkim wierzchoªkom tego turnieju Twierdzenie: Ci g niemalej cy n liczb naturalnych (w 1,..., w n ) jest rankingiem pewnego turnieju o n wierzchoªkach dla ka»dego 1 i n zachodzi r i=1 w r r(r 1)/2 przy czym dla r == n zachodzi równo±.

20 Charakteryzacja turniejów przechodnich Twierdzenie: Nast puj ce warunki s równowa»ne: turniej jest acykliczny turniej jest przechodni ranking turnieju jest ci giem ±ci±le malej cym (nie ma wyników ex aequo) Wniosek: kondensacja dowolnego turnieju ma ±li±le malej cy ranking

21 Król * Pomi dzy wierzchoªkiem v i w digrafu zachodzi dominacja stopnia k, k N istnieje skierowana z v do w dªugo±ci k. Król turnieju to wierzchoªek v taki,»e ka»dy inny wierzchoªek jest zdominowany stopnia 1 lub 2 przez v tzn. osi galny z v drog o dªugo±ci co najwy»ej 2 (sªabsza wersja zwyci zcy turnieju). Twierdzenie: Ka»dy turniej ma króla (szkic dowodu: przez indukcj po liczbie wierzchoªków, w mniejszym grae (po usuni ciu pewnego wierzchoªka v ) rozpatrzy zbiór skªadaj cy si z króla w mniejszym grae (z zaªo»enia indukcyjnego) i zdominowanych w stopniu 1 przez niego oraz rozpatrzy 2 mo»liwe przypadki skierowania kraw dzi pomi dzy tym zbiorem a usuni tym wierzchoªkiem v w wyj±ciowym (wi kszym) turnieju.

22 Gªosowanie wi kszo±ciowe Zaªó»my»e mamy k gªosuj cych i n obiektów preferencji (np. kandydatów na prezydenta) Turniej n-wierzchoªkowy jest wtedy naturalnym modelem dla preferencji gªosuj cego k (ka»dy ªuk reprezentuje preferencj ), zakªadaj c,»e gªosuj cy ±ci±le preferuje dowolny obiekt preferencji wzgl dem innego. Je»eli turniej taki jest acykliczny, nazywamy preferencje racjonalnymi Gªosowanie wi kszo±ciowe polega na agregacji k turniejów w jeden zagregowany turniej T, tak,»e obiekt v jest preferowany ni» w (tzn jest kraw d¹ (v, w)) v jest preferowany przez wi kszo± gªosuj cych (tzn. w wi kszo±ci turniejów).

23 Condorcet'a Zdawaªoby si,»e opisana powy»ej procedura gªosowania wi kszo±ciowego przez agregacj turniejów racjonalnych (przynajmniej dla nieparzystej liczby gªosuj cych) prowadzi zawsze do racjonalnego wyniku gªosowania (czyli: turnieju daj cego ±ci±le malej cy ranking, acyklicznego). Condorcet'a polega na tym,»e tak nie jest, tzn.»e mimo,»e wszystkie preferencje s racjonalne (czyli: turnieje s acykliczne) zagregowany turniej mo»e zawiera cykle a wi c nie da si utworzy (±ci±le malej cego) rankingu preferencji gªosuj cych. : (A > B > C, B > C > A, C > A > B)

24 Przykªad zastosowania: problem ±cie»ki krytycznej Problem: Zaªó»my,»e jest do wykonania pewne zªo»one zadanie (np. budowa domu) skªadaj ce si z wykonania pewnych pod-zada«(np. wykopanie doªu, wylanie fundamentów, etc.), przy czym pewne zadania mo»na wykona tylko po upªywie pewnego podanego czasu od pewnych innych zada«natomiast poza tym pod-zadania mo»na wykonywa równolegle. Przykªadowy problem: oszacowa minimalny czas niezb dny do wykonania caªego zadania. Reprezentacja problemu: Jako modelu mo»na u»y grafu skierowanego z wagami z jednym ¹ródªem i jednym uj±ciem. Zadanie mo»na reprezentowa przez digraf D, gdzie wierzchoªki reprezentuj pod-zadania a ªuki z wagami reprezentuj relacj precedencji wraz z niezb dnym czasem odczekiwania pomi dzy zadaniami (np. po wylaniu fundamentów nale»y odczeka x dni zanim zacznie si stawia ±ciany, etc.).

25 Problem ±cie»ki krytycznej, c.d. Obserwacja: Zadanie da si wogóle wykona digraf jest acykliczny. Zadanie polega na znalezieniu najdªu»szej drogi (elementarnej) z wierzchoªka pocz tkowego do ko«cowego. Rozwi zanie: (modykacja algorytmu najkrótszych ±cie»ek) Sortujemy topologicznie digraf i nast pnie od wierzchoªka najwcze±niejszego wykonujemy BFS, w ka»dym wierzchoªku obliczaj c maksimum najdªu»szej drogi po wchodz cych do niego kraw dziach.

26 cz ±ciowe Przykªady: gªosowanie wi kszo±ciowe,

27 Przykªadowe wiczenia/zadania dokonaj kondensacji podanego grafu skierowanego oblicz domkni cie przechodnie danego grafu sprawd¹, czy dana relacja jest porz dkiem i je±li tak, to wykonaj diagram Hassego zaznaczaj c elementy maksymalne, minimalne, ªa«cuchy, antyªa«cuchy, etc. znajd¹ ±cie»k krytyczn w podanym grae acyklicznym z wagami sprawd¹ czy dany turniej ma ranking, jest przechodni, silnie spójny, hamiltonowski, etc. dokonaj agregacji Condorcet'a podanych turniejów

28 Dzi kuj za uwag