Podstawowepojęciateorii grafów

Save this PDF as:
Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Podstawowepojęciateorii grafów"

Transkrypt

1 7 Podstawowepojęciateorii grafów Wiele sytuacji z»ycia codziennego mo»e by w wygodny sposób opisanych gracznie za pomoc rysunków skªadaj cych si ze zbioru punktów i linii ª cz cych pewne pary tych punktów. Ogólnie mówi c, dowoln relacj dwuelementow R zadan na pewnym zbiorze V mo»emy przedstawi gracznie rysuj c punkty odpowiadaj ce elementom zbioru V oraz ª cz c punkty x i y ªukiem (lini gdy rozpatrywana relacja jest symetryczna) je»eli xry. Taki sposób przedstawienia prowadzi cz sto do poj i bada«wªasno±ci, których wyra»enie w j zyku teorii relacji byªoby co najmniej uci»liwe. e 3 v 3 e 2 v 1 e 1 v 2 e 5 e 4 v 4 e 7 e 8 e 6 v 5 Rysunek 7.1: Przykªad grafu G = (V, E), gdzie V = {v 1,v 2,v 3,v 4,v 5 }, E = {e 1,e 2, e 3,e 4,e 5,e 6, e 7,e 8 }; kraw d¹ e 3 jest p tl a kraw dzie e 7 i e 8 s wielokrotne (ª - cz t sam par wierzchoªków) Grafy nieskierowane i skierowane Denicja 7.1 (Graf). Grafem nieskierowanym G nazywamy uporz dkowan trójk G = (V (G),E(G),ψ G ) skªadaj c si z niepustego zbioru V = V (G) wierzchoªków, ze zbioru E = E(G) kraw dzi (rozª cznego z V ) oraz z funkcji incydencji ψ G, która przypisuje ka»dej kraw dzi z E nieuporz dkowan par wierzchoªków (nie koniecznie ró»nych) z V. Je»eli zaªo»ymy,»e

2 2 7. Podstawowe poj cia teorii grafów funkcja incydencji ψ G przypisuje ka»dej kraw dzi z E uporz dkowan par wierzchoªków, to powy»sza trójka deniuje graf skierowany (kraw dzie nazywamy wówczas ªukami). Je»eli e jest kraw dzi grafu G (co zapisujemy e E(G)), natomiast u oraz v s wierzchoªkami (czyli u,v V (G)) takimi,»e ψ G (e) = uv, to mówimy,»e wierzchoªki u oraz v s ko«cami kraw dzi e (w przypadku ªuku s jego pocz tkiem i ko«cem). Mówimy,»e ko«ce kraw dzi s z ni incydentne (zwi zane) i na odwrót. Wierzchoªki, które s incydentne z t sam kraw dzi nazywamy przylegªymi. Równie» o dwóch kraw dziach incydentnych z tym samym wierzchoªkiem mówimy,»e s przylegªe. Kraw d¹ e o identycznych ko«cach (ψ G (e) = vv) nazywamy p tl (patrz Rysunek 7.1). Denicja 7.2 (Graf prosty). Graf nieskierowany jest grafem prostym je»eli nie ma p tli oraz kraw dzi wielokrotnych (tj. kraw dzi ª cz cych t sam par wierzchoªków). e 7 v 3 e 2 e4 v 1 e 1 v 2 e 5 v 4 e 3 e 6 Rysunek 7.2: Przykªad grafu prostego G = (V,E), gdzie V = {v 1,v 2,v 3,v 4,v 5 }, E = {e 1,e 2, e 3,e 4,e 5,e 6, e 7 }, e 1 = v 1 v 2, e 2 =, e 3 = v 2 v 5, e 4 = v 3 v 4, e 5 = v 2 v 4, e 6 = v 4 v 6 i e 7 = v 1 v 4. Przykªad grafu prostego przedstawiono na Rysunku 7.2. Zauwa»my,»e w grae prostym kraw d¹ jest jednoznacznie wyznaczona przez jej ko«ce i dlatego, w przypadku grafów prostych funkcja incydencji ψ G nie wnosi»adnej dodatkowej informacji i mo»na j pomin. Graf prosty skªadaj cy si z jednego wierzchoªka nazywa b dziemy grafem trywialnym. W naszych rozwa»aniach ograniczymy si tylko do grafów sko«czonych, tzn. takich, dla których oba zbiory, wierzchoªków i kraw dzi, s sko«czone. Liczb wierzchoªków grafu G, t.j. V (G), oznacza b dziemy ν(g) (albo krócej, gdy nie b dzie to prowadzi do nieporozumie«, ν czy ν G ), natomiast liczb kraw dzi E(G), oznacza b dziemy ε(g) (albo krócej ε lub ε G ). Denicja 7.3 (Grafy identyczne). Dwa grafy G i H s identyczne, co zapisujemy G = H, wtedy i tylko wtedy, gdy V (G) = V (H), E(G) = E(H), ψ G = ψ H. Dwa grafy identyczne mo»emy oczywi±cie przedstawi za pomoc tego samego rysunku. Denicja 7.4 (Stopie«wierzchoªka). Stopniem d(v) = d G (v) wierzchoªka v w grae G nazywamy liczb kraw dzi grafu G incydentnych z v, przy czym ka»d p tl liczymy v 5

3 7.2. Reprezentacje komputerowe grafów 3 podwójnie. Przez δ(g) oraz (G) rozumie b dziemy odpowiednio minimalny i maksymalny stopie«wierzchoªków grafu G. Przykªad 7.1. Wyznacz stopnie wierzchoªków grafu przedstawionego na Rysunku 7.2. Denicja 7.5 (Dopeªnienie grafu). Dopeªnieniem G c prostego grafu G nazywamy graf prosty o zbiorze wierzchoªków V (G) przy czym dwa wierzchoªki s przylegªe w G c wtedy i tylko wtedy, gdy nie s one przylegªe w G. Przykªad grafu i jego dopeªnienia przedstawiono na Rysunku 7.3. v 1 v 4 v 1 G v 4 G c Rysunek 7.3: Graf G i jego dopeªnienie G c. Denicja 7.6 (Macierz incydencji). Dany jest graf G = (V, E), przy czym V = {v 1,v 2,...,v ν } jest zbiorem wierzchoªków natomiast E = {e 1,e 2,...,e ε } zbiorem kraw dzie grafu, to macierz M(G) = (m ij ), 1 i ν, 1 j ε gdzie liczba m ij {0, 1, 2} oznacza ile razy v i oraz e j s incydentne (2 wyst puje w przypadku p tli), jest macierz incydencji grafu G. Inn macierz zwi zan z grafem G jest macierz przylegªo±ci. Denicja 7.7 (Macierz przylegªo±ci). Dany jest graf G = (V, E), przy czym V = {v 1,v 2,...,v ν } jest zbiorem wierzchoªków, to ν ν macierz A(G) = (a ij ), gdzie a ij jest liczb kraw dzi ª cz cych wierzchoªki v i oraz v j nazywa si macierz przylegªo±ci grafu G. W przypadku grafu skierowanego a ij jest liczb ªuków z wierzchoªka v i do v j. Przykªad 7.2. Wyznacz macierze incydencji i przylegªo±ci dla grafu przedstawionego na Rysunku 7.2. Twierdzenie 7.1. Dla dowolnego grafu G = (V, E) suma stopni jego wierzchoªków równa jest podwojonej liczbie kraw dzi, to jest d G (v) = 2 E. v V 7.2. Reprezentacje komputerowe grafów Mo»liwo± zastosowania komputerów przy rozwi zywaniu zagadnie«teorii grafów jest istotn cz ±ci zastosowa«teorii grafów. Wi kszo± problemów praktycznych, w których stosowana jest teoria grafów dotyczy du»ych grafów, to znaczy takich, które wykluczaj

4 4 7. Podstawowe poj cia teorii grafów mo»liwo± oblicze«r cznych. W programach teorii grafów wykorzystuje si bardziej zdolno± komputera do podejmowania decyzji ni» jego zdolno± wykonywania operacji arytmetycznych. Jednym z pierwszych problemów, które musimy rozwi za tworz c algorytm, jest sposób zapisu grafu w komputerze, czyli komputerowa reprezentacja grafu. Istnieje wiele sposobów zapisywania i przechowywania informacji o grae w komputerze omówimy tu pi najcz ±ciej stosowanych postaci (ka»da z nich ma swoje zalety i wady; wybór zale»y tu od grafu, rozpatrywanego zagadnienia, stosowanego j zyka, mo»liwo±ci sprz towych i od tego, czy graf jest modykowany w trakcie oblicze«, czy nie). 1. Macierz przylegªo±ci. Najbardziej popularn form, w której graf nieskierowany lub skierowany jest podawany do komputera jest jego macierz przylegªo±ci. 2. Macierz incydencji. Do przechowywania i przeksztaªcania grafu u»ywa si czasami tak»e macierzy incydencji M(G). 3. Lista kraw dzi. Innym, cz sto stosowanym sposobem reprezentacji grafu jest wypisanie wszystkich jego kraw dzi jako par wierzchoªków. Tak na przykªad, graf z Rysunku 7.2 byªby przedstawiony jako lista nast puj cych nieuporz dkowanych par: (v 1,v 2 ), (v 1,v 4 ), (v 2,v 3 ), (v 2,v 4 ), (v 2,v 5 ), (v 3,v 4 ), (v 4,v 5 ). Dla grafu skierowanego, byªy by to uporz dkowane pary wierzchoªków odpowiadaj ce ªukom. 4. Dwie tablice liniowe. Nieznaczn modykacj listy kraw dzi jest przedstawienie grafu za pomoc dwóch tablic liniowych, powiedzmy F = (f 1,f 2,...,f e ), H = (h 1,h 2,...,h e ). Ka»dy element w tych tablicach jest etykiet wierzchoªka. Kraw d¹ i-ta, e i, jest t, która prowadzi od wierzchoªka f i, do wierzchoªka h i, je»eli G jest grafem skierowanym. (Je»eli G jest grafem nieskierowanym, to nale»y tylko przyj,»e e i, wyst puje mi dzy f i i h i ). Na przykªad, graf nieskierowany z Rysunku 7.2. byªby przedstawiony za pomoc dwóch nast puj cych tablic: F = (v 1,v 2,v 2,v 3,v 2,v 4, v 1 ), H = (v 2,v 3,v 5,v 4,v 4,v 5,v 4 ). 5. Lista nast pników. Inn efektywn metod stosowan cz sto dla grafów, w których stosunek ε/ν nie jest du»y, jest u»ycie ν list (lub tablic). Przedstawiamy ka»dy wierzchoªek v za pomoc pewnej listy (tablicy), której pierwszym elementem jest v; a pozostaªymi elementami s wierzchoªki b d ce bezpo±rednimi nast pnikami wierzchoªka v, tzn. wierzchoªki, do których istnieje ªuk z wierzchoªka k (w grae nieskierowanym s to po prostu wierzchoªki przylegªe do k). Graf skierowany o pi ciu wierzchoªkach z Rysunku 7.2. wygl daªby w tym przedstawieniu nast puj co: v 1 : v 2, v 4 v 2 : v 1, v 3, v 4, v 5 v 3 : v 2, v 4 v 4 : v 1, v 2, v 3, v 5 v 5 : v 2, v 4

5 7.3. Izomorzm. Grafy oznaczone i nieoznaczone Izomorzm. Grafy oznaczone i nieoznaczone Denicja 7.8 (Izomorzm grafów). Dwa grafy G = (V (G),E(G), ψ G ) oraz H = (V (H),E(H),ψ H ) nazywamy izomorcznymi i oznaczamy G = H je»eli istniej bijekcje ϕ : V (G) V (H) oraz θ : E(G) E(H) takie,»e ψ G (e) = uv wtedy i tylko wtedy, gdy ψ H (θ(e)) = ϕ(u)ϕ(v). Inaczej mówi c bijekcje te zachowuj incydencj. Powtórzmy raz jeszcze, je»eli G = H, to G i H maj identyczn struktur mo»na je przedstawi za pomoc tego samego rysunku grafu nieoznaczonego. Dla grafów prostych izomorzm mo»e by zdeniowany jako bijekcja mi dzy zbiorami wierzchoªków zachowuj ca przylegªo±. (Przypomnijmy,»e w grae prostym kraw d¹ jest jednoznacznie okre±lona przez jej ko«ce.) Bardziej formalnie: Denicja 7.9 (Izomorzm grafów prostych). Dwa grafy proste G = (V (G), E(G)) i H = (V (H), E(H)) nazywamy izomorcznymi i oznaczamy G = H je»eli istnieje bijekcja ϕ : V (G) V (H) taka,»e uv E(G) wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ(u)ϕ(v) E(H). Šatwo sprawdzi,»e izomorzm jest relacj równowa»no±ci w zbiorze wszystkich grafów tzn. jest to relacja zwrotna, symetryczna i przechodnia. Grafy nieoznaczone s wi c po prostu klasami równowa»no±ci tej relacji. Zwró my uwag,»e grafy G oraz G c z Rysunku 7.3 s izomorczne (przykªad izomor- zmu: ϕ(v 1 ) = v 2, ϕ(v 2 ) = v 4, ϕ(v 3 ) = v 1 i ϕ(v 4 ) = v 3 ). Graf który jest izomorczny ze swoim dopeªnieniem (G = G c ) nazywa si grafem samodopeªniaj cym si. Denicja 7.10 (Automorzm). Automorzmem grafu nazywamy izomorzm grafu na siebie. Nietrudno zauwa»y,»e automorzm grafu prostego jest permutacj zbioru wierzchoªków zachowuj c przylegªo± oraz,»e zbiór takich permutacji tworzy grup automorzmów ze wzgl du na operacj zªo»enia. Przykªad 7.3. Udowodnij,»e izomorzm zachowuje stopie«wierzchoªka Podgrafy Zdeniujemy teraz pewne specjalne typy grafów. Denicja 7.11 (Graf peªny i pusty). Graf prosty, w którym ka»da para wierzchoªków jest poª czona kraw dzi nazywamy grafem peªnym. Z dokªadno±ci do izomorzmu istnieje dokªadnie jeden graf peªny na n wierzchoªkach, oznaczany K n. Grafem pustym nazywa b dziemy graf, który nie posiada kraw dzi. Zwró my uwag,»e graf pusty jest dopeªnieniem grafu peªnego, wi c graf pusty na n wierzchoªkach mo»emy oznacza K c n. Grafy peªne K 1 do K 5 pokazano na Rysunku 7.4. Denicja 7.12 (Podgraf). Graf H jest podgrafem grafu G co oznaczamy, H G, je»eli V (H) V (G), E(H) E(G) oraz ψ H jest obci ciem ψ G do E(H). Je»eli H G, ale H G, to H nazywamy podgrafem wªa±ciwym grafu G i zapisujemy H G.

6 6 7. Podstawowe poj cia teorii grafów K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 Rysunek 7.4: Grafy peªne K 1,..., K 5. Je»eli H jest podgrafem G to mówimy,»e G jest nadgrafem grafu H. Denicja 7.13 (Podgraf rozpi ty). Podgrafem rozpi tym grafu G nazywamy taki podgraf H G dla którego V (H) = V (G). Je»eli z grafu G usuniemy wszystkie p tle i dla ka»dej pary przylegªych wierzchoªków pozostawimy dokªadnie jedn kraw d¹ to otrzymany w ten sposób rozpi ty podgraf nazywamy podlegªym grafem prostym grafu G. Denicja 7.14 (Podgrafem indukowany). Dany jest graf G = (V,E). Je»eli V jest niepustym podzbiorem zbioru wierzchoªków V ( V V i V ) to podgraf grafu G, którego zbiorem wierzchoªków jest V oraz, którego zbiór kraw dzi skªada si ze wszystkich kraw dzi grafu G o obu ko«cach w V nazywamy podgrafem indukowanym przez V i oznaczamy przez G[ V ]. Podgraf G[V V ] indukowany przez V V oznacza b dziemy tak»e przez G V dla podkre±lenia,»e uzyskuje si go z grafu G poprzez usuni cie wierzchoªków V i wszystkich kraw dzi incydentnych do nich. Je»eli V = {v}, to piszemy krótko G v. v 5 v 5 v 1 v 4 v 1 v 4 v 1 v 4 v 1 v 4 G G 1 G 2 Rysunek 7.5: Grafy G 1, G 2 i G 3 s podgrafami grafu G; G 1 jest podgrafem rozpi tym G; G 2 jest podgrafem indukowanym G (G 2 = G [{v 1,v 2,v 3,v 4 }]). Denicja 7.15 (Podgrafem indukowany kraw dziowo). Je»eli Ê jest niepustym podzbiorem kraw dzi grafu G = (V,E) (t.j. Ê E i Ê ) to podgraf grafu G, którego zbiór wierzchoªków stanowi ko«ce kraw dzi z Ê a zbiorem kraw dzi jest Ê nazywamy podgrafem indukowanym kraw dziowo przez Ê i oznaczamy przez G[Ê]. Analogicznie jak dla wierzchoªków, rozpi ty podgraf grafu G o zbiorze kraw dzi E Ê (czyli podgraf grafu G otrzymany poprzez wyrzucenie kraw dzi z Ê) zapisywa b dziemy G 3

7 7.5. Przeliczanie grafów prostych 7 G Ê a gdy Ê = {e} u»ywa b dziemy oznaczenia G e. Zauwa»y tutaj nale»y,»e podgrafy indukowane G[E Ê] oraz G Ê mog si ró»ni zbiory wierzchoªków nie musz by takie same. Na Rysunku 7.5 przedstawiono ró»ne rodzaje podgrafów Przeliczanie grafów prostych Przykªad 7.4. (a) Poka»,»e je»eli graf G jest grafem prostym na zbiorze wierzchoªków {1,..., ν} o ε kraw dziach, to ε(g) ( ν 2). (b) Ile mo»na utworzy grafów prostych na zbiorze wierzchoªków {1,..., ν}, które maj dokªadnie ε kraw dzi? (c) Ile jest wszystkich grafów prostych na zbiorze wierzchoªków {1,..., ν}? Przykªad 7.5. Narysuj wszystkie nieizomorczne grafy proste o 5 wierzchoªkach i 5 kraw dziach. Denicja 7.16 (Graf dwudzielny). Grafem dwudzielnym nazywamy graf, którego zbiór wierzchoªków mo»e by podzielony na dwa niepuste podzbiory X oraz Y, takie,»e ka»da kraw d¹ ma jeden koniec w X a drugi w Y. Podziaª (X, Y ) nazywa b dziemy dwupodzia- ªem zbioru wierzchoªków. Inaczej mówi c:»adne dwa wierzchoªki nale» ce do tego samego zbioru dwupodziaªu nie s poª czone kraw dzi w grae dwudzielnym. W analogiczny sposób deniujemy graf k-dzielny. Peªny graf dwudzielny jest grafem prostym dwudzielnym z dwupodziaªem (X,Y ), w którym ka»dy wierzchoªek z X poª czony jest z ka»dym wierzchoªkiem z Y. Je»eli X = m, Y = n, to taki graf oznacza b dziemy K m,n. Przykªad 7.6. Ile wierzchoªków i ile kraw dzi ma graf peªny dwudzielny K n,m? Denicja 7.17 (k-kostka). Graf, którego wierzchoªki odpowiadaj k-elementowym ci gom zero-jedynkowym przy czym dwa wierzchoªki s przylegªe wtedy gdy odpowiadaj ce im ci gi ró»ni si dokªadnie na jednym miejscu nazywamy k-kostk i oznaczamy Q k. Przykªad 7.7. Poka»,»e k-kostka jest grafem dwudzielnym. Denicja 7.18 (Graf regularny). Graf G nazywamy k-regularnym je»eli ka»dy jego wierzchoªek ma stopie«k. Graf jest regularny, gdy jest k-regularny dla pewnego k. Grafy peªne s regularne: K n jest (n 1)-regularny, natomiast K n,n jest n-regularny. Graf pusty K c n jest 0-regularny. Przykªad 7.8. Poka»,»e k-kostka Q k jest grafem regularnym (k-regularnym). Wyznacz liczb wierzchoªków i kraw dzi k-kostki.

8 8 7. Podstawowe poj cia teorii grafów 7.6. Ci gi stopni Przykªad 7.9. Poka»,»e w±ród sze±ciu osób zawsze znajdziemy trójk, która zna si nawzajem lub trójk nieznanych sobie osób (przy zaªo»eniu,»e relacja zna jest symetryczna). Denicja 7.19 (Ci g graczny). Ci gi nieujemnych liczb caªkowitych, które s ci gami stopni wierzchoªków grafów prostych nazywa b dziemy gracznymi. Przykªad Niech d = (d 1,d 2,...,d n ) b dzie nierosn cym ci giem nieujemnych liczb caªkowitych, a d = (d 2 1,d 3 1,...,d d1 +1 1,d d1 +2,...,d n ). (a) Poka»,»e d jest graczny wtedy i tylko wtedy gdy d jest graczny. (b) Na podstawie (a) opisz algorytm konstruowania grafu prostego z ci giem stopni d je»eli taki graf istnieje. (c) Korzystaj c z (a) i (b) zbuduj graf z ci giem stopni (6, 5, 5, 4, 4, 3, 2, 2, 1). Przykªad Poka»,»e je»eli ci g d 1 d 2 d n jest graczny, to suma n i=1 d i jest parzysta oraz k d i k(k 1) + i=1 n j=k+1 min(k,d j ) dla 1 k n Szlaki, spacery, ±cie»ki, cykle, lasy Denicja 7.20 (Spacer, szlak, ±cie»ka). Spacerem w grae G nazywamy niezerowy ci g W = v 0 e 1 v 1 e 2,...,e k v k którego elementami s na przemian wierzchoªki i kraw dzie, taki,»e dla 1 i k wierzchoªki v i 1 i v i s ko«cami kraw dzi e i. Mówimy,»e W jest spacerem od v 0 do v k lub (v 0,v k )-spacerem. Wierzchoªek v 0 nazywamy wierzchoªkiem pocz tkowym a v k wierzchoªkiem ko«cowym; v 1,...,v k 1 s wierzchoªkami wewn trznymi (v 0,v k )-spaceru. Liczb kraw dzi k nazywamy dªugo±ci spaceru W. Je»eli w spacerze W kraw dzie e 1, e 2,..., e k s ró»ne to W nazywa b dziemy szlakiem. Je»eli dodatkowo wszystkie wierzchoªki W s ró»ne to W nazywa b dziemy ±cie»k. Podci g ci gu W zaczynaj cy si od v i a ko«cz cy na v j jest (v i,v j )-segmentem spaceru W. Je»eli W jest (v 0,v k )-spacerem, W jest (v k,v l )-spacerem, to dodaj c te ci gi otrzyma mo»emy (v 0, v l )-spacer WW. Przez W 1 oznacza b dziemy (v k,v 0 )-spacer b d cy odwróceniem spaceru W. W grae prostym (kraw dzie s jednoznacznie wyznaczone przez swoje ko«ce) spacer jest okre±lony ci giem samych wierzchoªków przy czym kolejne dwa wierzchoªki musz by przylegªe. Cz sto b dziemy stosowa ci g wierzchoªków równie» w dowolnym grae. Szlak, dla którego v 0 = v k, nazywamy domkni tym szlakiem. Domkni t ±cie»k nazywa natomiast b dziemy cyklem. Twierdzenie 7.2. Graf jest dwudzielny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera»adnego cyklu nieparzystego.

c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie

c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie 2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i sieci 1 / 58

Teoria grafów i sieci 1 / 58 Teoria grafów i sieci 1 / 58 Literatura 1 B.Korte, J.Vygen, Combinatorial optimization 2 D.Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms 3 M.Sysªo, N.Deo Metody optymalizacji dyskretnej z przykªadami w Turbo

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na. Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 1: Wprowadzenie i poj cia podstawowe. c Marcin Sydow. Wprowadzenie. Podstawowe poj cia. Operacje na grafach.

Grafy i Zastosowania. 1: Wprowadzenie i poj cia podstawowe. c Marcin Sydow. Wprowadzenie. Podstawowe poj cia. Operacje na grafach. 1: i podstawowe Spis Zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu s siedztwo i incydencja izomorzm grafów stopnie wierzchoªków (w tym wej±ciowy i wyj±ciowy), lemat

Bardziej szczegółowo

Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów

Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów 1 / 112 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka dla programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowadzenie do algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B.

Bardziej szczegółowo

Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.

Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

10a: Wprowadzenie do grafów

10a: Wprowadzenie do grafów 10a: Wprowadzenie do grafów Spis zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu drogi i cykle, spójno± w tym sªaba i silna drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie 8: Kolorowanie Grafów Spis zagadnie«kolorowanie wierzchoªków Kolorowanie map Kolorowanie kraw dzi Wielomian chromatyczny Zastosowania Problem kolorowania grafów ma wiele odmian (np. kolorowanie wierzchoªków,

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych

Bardziej szczegółowo

Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw

Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw 3 kwietnia 2014 roku 1 / 106 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 11: Twierdzenia Minimaksowe. c Marcin Sydow. Wst p: Tw. Halla. Dualno± Zbiory niezale»ne. Skojarzenia c.d.

Grafy i Zastosowania. 11: Twierdzenia Minimaksowe. c Marcin Sydow. Wst p: Tw. Halla. Dualno± Zbiory niezale»ne. Skojarzenia c.d. 11: Twierdzenia Minimaksowe Spis zagadnie«wst p: Kojarzenie Maª»e«stw i i twierdzenia minimaksowe i pokrycia (Tw. Gallai) w grafach (tw. Berge'a) w grafach dwudzielnych (tw. Königa, ) Pokrycia macierzy

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie

c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie 7: Spis zagadnie«twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej Graf Planarny Graf planarny to taki graf,

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze

Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 2013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt

Bardziej szczegółowo

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1 J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych

Algorytmy i struktury danych Algorytmy i struktury danych Cz ± druga Prowadz cy: dr Andrzej Mróz, Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikoªaja Kopernika 1 / 82 Rekurencja Procedura (funkcja) rekurencyjna wywoªuje sam siebie.

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2

Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2 Algorytmy grafowe 2 Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Minimalne drzewo spinaj ce Drzewem nazywamy spójny graf nie posiadaj cy cyklu. Liczba wierzchoªków drzewa jest o jeden wi ksza od liczby jego kraw dzi.

Bardziej szczegółowo

Geometria Algebraiczna

Geometria Algebraiczna Geometria Algebraiczna Zadania domowe: seria 1 Zadania 1-11 to powtórzenie podstawowych poj z teorii kategorii. Zapewne rozwi zywali Pa«stwo te zadania wcze±niej, dlatego nie b d one omawiane na wiczeniach.

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje 9: (grafy skierowane) Spis zagadnie«cz ±ciowe Przykªady: gªosowanie wi kszo±ciowe, Digraf (graf skierowany) Digraf to równowa»ny termin z terminem graf skierowany (od ang. directed graph). W grafach skierowanych

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i sieci 1 / 188

Teoria grafów i sieci 1 / 188 Teoria grafów i sieci / Drzewa z wagami Drzewem z wagami nazywamy drzewo z korzeniem, w którym do ka»dego li±cia przyporz dkowana jest liczba nieujemna, nazywana wag tego li±cia. / Drzewa z wagami Drzewem

Bardziej szczegółowo

Minimalne drzewa rozpinaj ce

Minimalne drzewa rozpinaj ce y i y i drzewa Spis zagadnie«y i drzewa i lasy cykle fundamentalne i rozci cia fundamentalne wªasno±ci cykli i rozci minimalne drzewa algorytm algorytm Drzewo y i spójnego, nieskierowanego grafu prostego

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki dla informatyków

Podstawy matematyki dla informatyków Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru

Bardziej szczegółowo

Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2

Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2 Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach

c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach 12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa

Bardziej szczegółowo

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14 WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................

Bardziej szczegółowo

Wektory w przestrzeni

Wektory w przestrzeni Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem

Bardziej szczegółowo

Drzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009

Drzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie Drzewa Gomory-Hu Jakub Š cki 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie 1 Wprowadzenie Podstawowe poj cia i fakty 2 Istnienie drzew Gomory-Hu 3 Algorytm budowy drzew 4 Problemy otwarte Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska

Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska Andrzej Jastrz bski Akademia ET I Graf Grafem nazywamy par G = (V, E), gdzie V to zbiór wierzchoªków, E zbiór kraw dzi taki,»e E {{u, v} : u, v V u v}. Wierzchoªki v, u V s s siaduj ce je±li s poª czone

Bardziej szczegółowo

*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów

*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów *** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów

Bardziej szczegółowo

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno± ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Logika dla matematyków i informatyków Wykªad 1

Logika dla matematyków i informatyków Wykªad 1 Logika dla matematyków i informatyków Wykªad 1 Stanisªaw Goldstein Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ 16 lutego 2016 Wszech±wiat matematyczny skªada si wyª cznie ze zbiorów. Liczby naturalne s zdeniowane

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi

Bardziej szczegółowo

Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne.

Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. IIUWr. II rok informatyki. Przygotowaª: Krzysztof Lory± 1 Schemat ogólny. Typowe zadanie rozwi zywane metod zachªann ma charakter optymalizacyjny.

Bardziej szczegółowo

Indeksowane rodziny zbiorów

Indeksowane rodziny zbiorów Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T

Bardziej szczegółowo

Egzaminy i inne zadania. Semestr II.

Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«ze Wst pu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Ponadto doª czyªem szereg zada«, które pojawiaªy si

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych

Algorytmy i Struktury Danych Lista zada«. Nr 4. 9 kwietnia 2016 IIUWr. II rok informatyki. Algorytmy i Struktury Danych 1. (0pkt) Rozwi» wszystkie zadania dodatkowe. 2. (1pkt) Uªó» algorytm znajduj cy najta«sz drog przej±cia przez

Bardziej szczegółowo

O pewnym zadaniu olimpijskim

O pewnym zadaniu olimpijskim O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy

Bardziej szczegółowo

Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019

Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019 Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Zdanie logiczne.

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinaj ce. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinaj ce. Cykle i rozci cia fundamentalne. Zastosowania

Grafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinaj ce. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinaj ce. Cykle i rozci cia fundamentalne. Zastosowania Grafy i Grafy i 5: Rozpinaj ce Spis zagadnie«grafy i i lasy cykle fundamentalne i wªasno±ci cykli i rozci przestrzenie cykli i rozci * : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala*

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G b dzie grafem spójnym. Denicja Je»eli w grae G istnieje zamkni ta droga prosta zawieraj ca wszystkie kraw dzie

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 2 Podstawowe zasady i prawa przeliczania

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)

2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v) Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne

Bardziej szczegółowo

Szeregowanie zada« Wykªad nr 6. dr Hanna Furma«czyk. 11 kwietnia 2013

Szeregowanie zada« Wykªad nr 6. dr Hanna Furma«czyk. 11 kwietnia 2013 Wykªad nr 6 11 kwietnia 2013 System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. Dowód Redukcja PP O3 C max : bierzemy

Bardziej szczegółowo

Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.

Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy

Bardziej szczegółowo

Przekroje Dedekinda 1

Przekroje Dedekinda 1 Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2

Bardziej szczegółowo

Maªgorzata Murat. Modele matematyczne.

Maªgorzata Murat. Modele matematyczne. WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN 1993 http://moodle.cs.pollub.pl/ m.murat@pollub.pl Model matematyczny poj cia

Bardziej szczegółowo

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0, XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny

Wojewódzki Konkurs Matematyczny Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY 16 listopada 2012 Czas 90 minut Instrukcja dla Ucznia 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych. 2. Obok

Bardziej szczegółowo

Freyd, Abelian Categories

Freyd, Abelian Categories Algebra 2, zadania na wiczenia, seria II Króti wst p do ategorii i funtorów. W tej serii jest du»o zada«ale s (z reguªy) ªatwe lub bardzo ªatwe. Najpierw denicje, tóre zapewne Pa«stwo znaj lub pozna ªatwo

Bardziej szczegółowo

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010 WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Podstawy Grafy i Zastosowania Kod Prüfera 3: Drzewa Drzewa ukorzenione * Drzewa binarne Zastosowania Podsumowanie

c Marcin Sydow Podstawy Grafy i Zastosowania Kod Prüfera 3: Drzewa Drzewa ukorzenione * Drzewa binarne Zastosowania Podsumowanie Grafy i Grafy i 3: Spis zagadnie«grafy i drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci kodowanie Prüfera i zliczanie drzew etykietowanych (tw. Cayleya) drzewa drzewa zliczanie drzew binarnych (tw.

Bardziej szczegółowo

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych

Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych 1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera

Bardziej szczegółowo

Ekstremalnie fajne równania

Ekstremalnie fajne równania Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14 WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................

Bardziej szczegółowo

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne 1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych

Bardziej szczegółowo

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:

Bardziej szczegółowo

Podzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska

Podzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska Kombinatoryka Magdalena Lema«ska Zasady zaliczenia przedmiotu Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne

Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )

Bardziej szczegółowo

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne 2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa

Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Model obiektu w JavaScript

Model obiektu w JavaScript 16 marca 2009 E4X Paradygmat klasowy Klasa Deniuje wszystkie wªa±ciwo±ci charakterystyczne dla wybranego zbioru obiektów. Klasa jest poj ciem abstrakcyjnym odnosz cym si do zbioru, a nie do pojedynczego

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów 18 maja 2013 Twierdzenie Halla o maª»e«stwach Problem Wyobra¹my sobie,»e mamy m dziewczyn i pewn liczb chªopców. Ka»da dziewczyna chce wyj± za m», przy czym ka»da z nich godzi si po±lubi tylko pewnych

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0 1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0

Bardziej szczegółowo

W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji

W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

Graf. Definicja marca / 1

Graf. Definicja marca / 1 Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW. Graf skierowany dla ka»dej kraw dzi (oznaczanej tutaj jako ªuk) para wierzchoªków incydentnych jest par uporz dkowan {u, v}.

TEORIA GRAFÓW. Graf skierowany dla ka»dej kraw dzi (oznaczanej tutaj jako ªuk) para wierzchoªków incydentnych jest par uporz dkowan {u, v}. Podstawowe denicje: TEORIA GRAFÓW Graf (nieskierowany) G = (V, E) struktura skªadaj ca si ze: zbioru wierzchoªków V = {,,..., v n } oraz zbioru kraw dzi E = {e 1, e 2,..., e m }. Z ka»d kraw dzi e skojarzona

Bardziej szczegółowo

Matematyczne podstawy kognitywistyki

Matematyczne podstawy kognitywistyki Matematyczne podstawy kognitywistyki Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Rachunek zbiorów Jerzy Pogonowski (MEG) Matematyczne podstawy kognitywistyki Rachunek zbiorów 1

Bardziej szczegółowo

i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017

i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017 i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_

Bardziej szczegółowo

X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)

X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my

Bardziej szczegółowo