Mała elektrodynamika 2008/9 Krzysztof Fiałkowski Plan wykładu

Transkrypt

1 Mała elektodynamka 8/9 Kzysztof Fałkowsk Plan wykładu. Wstęp: zays hsto, mejsce w nauce.. Powtózene matematyczne ćwczena. Powtózene z ozszezenem wybanych zagadneń z wykładu Podstawy fzyk : zakes stosowalnośc elektodynamk klasycznej; ównana Mawella w póżn w mate, elacje na gancy ośodków; elektostatyka: fomalne ozwązana, waunk bzegowe, ozwnęca na szeeg, delektyk, uwag o magnetostatyce; pola zmenne w czase: cechowane, funkcja Geena ównana falowego,

2 enega pęd pola, fale w póżn w mate, dyspesja, falowody. 4. Szczególna teoa względnośc: postulaty tansfomacja Loentza, pzestzeń Mnkowskego, tensoy, elementy mechank elatywstycznej; 5. zaps elatywstyczny elektodynamk: ops Lagange owsk dynamk cząstek pól: wypowadzene ównań uchu ównań Mawella z zasady waacyjnej; zastosowana: potencjały Lenada Wecheta, pomenowane hamowana, elatywstyczny efekt Dopplea, efekt Czeenkowa; spn, tenso eneg pędu. Lteatua: J.D. Jackson lektodynamka klasyczna, L.D. Landau,.M. Lfszc Teoa pola, Kótk kus... t. I, D.J. Gffths Podstawy elektodynamk.

3 l. Uwag wstępne. a elektodynamka w pzyodze w fzyce: całość nfomacj odbeanej zmysłam, wszystke obsewowane makoskopowo sły poza gawtacją, zawea optykę, po uogólnenu kwantowym jest podstawą fzyk atomu, tłumaczy własnośc pzemany mate, opsuje jedyne oddzaływane w pełn opsane loścowo na pozome klasycznym kwantowym, jest pewszą teoą zgodną z STW, jest wzoem jako QD ogólnejszych teo GSW+QCDSM, MSSM, GUT...

4 b plan wykładu kompoms mędzy pzygotowanem do techncznych teoetycznych pzyszłych zastosowań, c metoda pezentacj ównana Mawella bez dośwadczalnego uzasadnena któe było na PF, za to analza uzasadnene teoetyczne d mn-hstoa bez optyk: staożytność: Tales 55 pne. busztynelekton, magnes Magnesa, Chny, śednowecze: św. Augustyn 4 ne. ozóżnene efektów elektycznych magnetycznych, VII X w. deklnacja magnetyczna, 88 Szen-Kun kompas wodny w nawgacj od XII w. Moze Śódzemne,

5 czasy nowożytne: Glbet XVI w. elektostatyka, pole magnetyczne Zem, magnesy twałe, von Guecke 66 maszyna elektostatyczna, Gay 79 pzewodnk zolatoy, Fankln zachowane ładunku fomalne Faaday 84, Cavendsh, Coulomb... ops nowoczesny: Laplace, Posson, Gauss, Ampee, Mawell, Loentz, Weyl.... Powtózene wybanych zagadneń; a pzygotowane ogólne: ównana Mawella w póżn: 4π 4 π ρ, B j, c t c B B, + c t

6 ρ t a stąd + j. cągłośc. Ruch naładowanych cząstek punktowych w polu pzez słę Loentza F q + v B / c. Pola klasyczne oygnalne zdefnowane pzez sły, ładunk pądy, ale mogą stneć też w neskończonej póżn. Sens: pzyblżene ganczne pól kwantowych. Gance stosowalnośc pzyblżena ogólne z waunku na dzałane S >> h; dla pól to oznacza pędy fotonów kwantów pola małe w poównanu z pędam zmanam pędów cząstek, enege małe wobec mas, dużą gęstość fotonów lczbę w objętośc λ. Zatem pewność dobego pzyblżena dopeo po

7 analze kwantowej: np. emsja śwatła, fal adowych tp. na ogół OK, ale X, γ ne; efekt fotoelektyczny neklasyczny zawsze, bo zmana stanu elektonu pzez absopcję pojedynczego fotonu. Uwaga: bak zozumena kwantowana ładunku e q e 9 C, q / q wszelke obsewowane ładunk są całkowtym welokotnoścam e. W elektodynamce klasycznej to na ogół nestotne choć Mllkan..., pzyblżene cągłych gęstośc pzestzennych lub powezchnowych zwykle OK, choć bywa wygodnejsze uwzględnene stuktuy atomo/cząsteczkowej mate. q e p p <,

8 Dokładność spawdzana podstawowych założeń teo: pawo Coulomba sła, potencjał ównoważne m. dla fotonu modyfkacja ε lub e mc/h wykluczona na pozome ε < 6, m< 47 g m e, pędkość śwatła w póżn c nezależna od częstośc, obecne wzozec długośc m sc/ , zasada supepozycj lnowej bak oddzaływań fotonów mędzy sobą opócz efektów kwantowych wyższego zędu wyażanych pzez stale c,h,e,m e... Ośodk matealne: w ównanach nejednoodnych, B D, H, gdze

9 D Q' αβ + 4 π Pα +..., H α Bα π M α α α β P α, Q αβ, M α to składowe śednch momentów. Defncje, dyskusja zależnośc od, B do omówena potem. Tu tylko defncje stałej delektycznej ε pzenkalnośc magnetycznej μ dla jednoodnych, zotopowych: D ε, Bμ H Relacje na gancy ośodków z ównań Mawella w postac całkowej w D n' da 4π ρdv, B n' da Gauss, H dl 4 [ j D π + ] n' da, c c t S' dl B n' da c t S' V

10 Ampee, Faaday. Stąd na lokalne płaskej gancy dla cylnda o wysokośc dążącej do zea postopadłej do nej mamy, Δ 4 Δ ' a a n D D da n D πσ czyl, 4 πσ n D D a także n B B. Natomast dla obwodu płaskego postopadłego do gancy z wysokoścą jw Δ l n t dl C v bo < t B, l t K c l H H n t dl H C Δ 4 Δ π, czyl K c H H n n v π 4,. Uwag: wastwa ganczna - płaszczyzna n postopadle do gancy ośodków t postopadle do p.-ny obwodu.

11 b. lektostatyka. Dla j B, / t. Mawella edukują sę do ϕ oaz 4πρ ϕ 4 πρ. Possona, któe dla ρ staje sę. Laplace a ϕ. Rozwązywane tych ównań jest poblemem z matematyk, ale tadycyjne ozwązanom pzez funkcje Geena nadaje sę ntepetację fzyczną. Ponadto wato omówć je jako wzó dla tudnejszych poblemów zależnych od czasu. Lematy Geena z tw. Gaussa dla Ψ. Φ Ψ + Φ Ψ d Φ da V n, A Φ Ψ: a odejmując wzó z pzestawonym Φ Ψ Ψ Φ. Φ Ψ Ψ Φ d Φ Ψ da V S n n.

12 Podstawając do lematu óżncę dwu ozwązań. Possona Φ Ψ ϕ ϕ [ ϕ ϕ ] d ϕ ϕ ϕ ϕ da n V S mamy. Dla waunków Dchleta ozwązane znane na bzegu, czyl ϕ ϕ na S znkane pawej stony, czyl stałość ϕ ϕ wewnątz V oznacza znkane tej óżncy - jednoznaczność ozwązań. Possona. Dla waunków Neumanna pochodna nomalna ozwązana znana na bzegu, czyl ϕ ϕ n znka na S jednoznaczność z dokładnoścą do stałej. Pzy neco zmodyfkowanej df f. Geena dla 4πδ ', ównana Possona G

13 wstawając za funkcje Φ Ψ odpowedno ozwązane. Possona ϕ jego f. Geena mamy 4π[ ϕ ' δ ' ρ ' G '] d ' V G ' ϕ ' * [ ϕ ' G ' ] da' S n' n' Ogólna postać f. Geena. Possona to G, ' + ' F, ', gdze F. Swoboda F pozwala wybać f. Dchleta G D na S, pzez któą otzymujemy z * ϕ ρ ', ' ' π ϕ GD GD d ' ' 4 n' da V Dla waunków Neumanna ne wolno wząć na S G nn, bo z tw. Gaussa G S. N π n' da ' 4. Można za to wząć stałą -4π/Σ, gdze Σ jest polem powezchn S. Wtedy S

14 ϕ ϕ ρ ' GN, ' d ' + GN da' +< ϕ > 4π n ' V Nestety paktyczne wyznaczene f. Geena spełnającej stosowny waunek na zadanej S bywa tudne, koneczne ozwjane na neskończone szeeg funkcj otogonalnych dobanych do symet S na ćwczena. Oczywśce dla objętośc neoganczonej jedyny waunek to znkane ozwązana w neskończonośc dostajemy zwykły wzó ϕ V ρ ' ' ' d S V to objętość, gdze ρ. Sens fzyczny F: można uważać za potencjał od ładunków nazewnątz S dobanych tak, aby znosł sę na S z potencjałem od zadanych ładunków - podstawa metody obazów. S

15 nega elektostatyczna. nega elektostatyczna dla ładunku punktowego: W F dl q dl qϕ. Oczywste uogólnene na układ w polu zewnętznym. Potencjał od zadanych n- ładunków, to ϕ n j q j enega układu n ładunków to: W q q j n j< j q q j. Zatem cała j j j ρ ρ ' d ' Zatem w wesj cągłej można napsać: W ρ ϕ d d 8π ϕ ϕ ϕ d d w d 8π 8π Pzejśce cągłe neco yzykowne: teaz enega zawsze dodatna, bo zawea d '

16 enegę własną, neskończoną dla ładunku punktowego. Wzó można jednak użyć dla ładunków punktowych, uwzględnając tylko loczyny pól od óżnych ładunków. Dla układu pzewodnków: ogólny wzó na potencjał V pjq można j Q odwócć defnując macez pojemnośc/ndukcj wzajemnych układu to W c V. Wtedy enega j j QV Rozwnęce multpolowe. c VV. j j Potencjał na zewnątz układu ładunków zlokalzowanych lub dla gęstośc szybko malejącej z odległoścą: Φ ρ ' l 4π Ylm θ, ϕ d ' qlm l + l ml ' l +,

17 gdze l qlm Ylm * ϑ ', ϕ' ' ρ ' d '; > '. To są sfeyczne momenty multpolowe: zespolone, spełnają q l-m - m q lm *, węc dla każdego l mamy l+ zeczywstych lczb. Pzykłady: q q/ 4π, q p /4π, q -p -p /8π, gdze q - ładunek, p j j ρd - składowe katezjańske momentu dpolowego. Stąd Φ q p , co można też dostać bezpośedno z ozwnęca Tayloa w zmennych katezjańskch wokół '. Pole z gadentu, np. dla dpola w n p n p, n. * Momenty zależą od wybou początku układu, tylko najnższy nezeowy ne.

18 Pożyteczne wzoy: I d a zaweającą wszystke ładunk, b pustą. I ϕd R < R d ' ρ ' R dω Ω R dωϕ n n ' ; Ω jest kulą: Oznaczając, mn,ma ', R < > otzymamy 4πR I d n < ' ρ ' ' dla a <, > R dla b < R, > >, a stąd: I 4 π p I ne zal. od R, 4πR śedne pole jest ówne polu w śodku kul.

19 Tych wzoów należy używać ostożne: bezpośedne całkowane pola dpola * umeszczonego w śodku kul daje zeo, jeśl użyć symet zapomnając o osoblwośc w necałkowalnej. Popawny wynk otzymamy dodając do * człon 4 π p δ oczywśce poścej pamętać, że wzó * jest doby tylko na odległoścach wększych od ozmaów dpola, węc do całkowana należy użyć pole od ładunków, a do gancy zeowej odległośc mędzy nm pzejść po wycałkowanu. Rozwnęce multpolowe eneg ozkładu ładunków w polu zewnętznym:

20 W ρ ϕ d ; ϕ ϕ + ϕ ϕ + j j j ϕ +... negę można węc zapsać jako W q p Q j ϕ j +...; 6 Q δ ρ d ; j j j j +... W fzyce atomowej makoskopowej zwykle tylko dwa człony ważne, w fzyce jądowej pola b. slne nejednoodne, a momenty dpolowe zwykle znkają, węc tzec człon stotny dla pozomów. Pzykład: oddzaływane dwóch dpol pp n p n p W ; n lektostatyka w mate

21 Pzyblżene funkcj cągłych - śednch po obszaach makoskopowo małych, ale dużych względem stuktuy cząsteczkowej., ϕ - OK zawsze, węc dla śednch. Momenty multpolowe bez pola zewnętznego zwykle po uśednenu zeo - pole ndukuje /lub poządkuje momenty. Df polayzacj ośodka: śedn moment dpolowy na jednostkę objętośc, czyl P N < p >, gdze suma pzebega po óżnych typach cząstek, a N to ch gęstośc. Ogólne do gęstośc swobodnego ładunku ρ należy dodać ewentualne śedne ładunk cząsteczek ρ ρ + N < e >, ale dla zwykłej mate te ładunk są ówne zeu.

22 Zatem pzyczynek od objętośc ΔV do potencjału w jest dany pzez ρ ' ' ' Δϕ, ' ΔV P + ΔV, ' ' skąd po wycałkowanu otzymujemy ρ ' ϕ d '[ + P ' ' ' ' ] ' ρ ' [ ', ' d P '] co odpowada ównanu óżnczkowemu ϕ 4π ρ P, czyl D 4πρ, gdze D + 4π P to ndukcja elektostatyczna wyjątkowo zła nazwa. Poza feoelektykam lnowy zwązek P, ; dla zotopowych P χ D ε df podatnośc/pzenkalnośc elektycznej stałej delektycznej ε + 4πχ. e e

23 Dla ośodków jednoodnych wszystko jak w póżn pzy ρ ρ / ε. Poste modele podatnośc elektycznej: Defnujemy polayzowalność cząsteczkową γ cz pzez wzó na śedn moment dpolowy cząsteczk < p > γ + gdze jest cz cz w dodatkowym polem od cząsteczek, zanedbywalnym dla zadkej mate, a ównym w 4π P dla gęstszych gazów zadkch ceczy otzymujemy 4π P Nγ cz... + P. Zatem ne zanedbując eksta członu mamy χ e Nγ cz 4 πnγ cz, a skoo ε + 4πχ / e, to

24 ε ε + 4π γ N cz jest popocjonalne do gęstośc wzó Claususa-Mossottego, dla częstośc optycznych z podstawenem ε n znany jako wzó Loentza-Loenza. Jak oszacować γ cz? a Najpoścej z wymau /N, czyl V, węc mus być zędu objętośc cząsteczk, czyl - cm. b Pzyblżając uch elektonu w cząsteczce pzez oscylato hamonczny mamy e p e mω. Zatem dopuszczając óżne ładunk masy efektywne oaz óżne częstośc własne mamy γ cz e j. j j m ω Częstośc własne są zędu pomenowana wdzalnego, czyl 5-6 s -, co pzy

25 podstawenu masy elektonu daje też lczbę zędu - cm - OK. Dla gazów w waunkach nomalnych N jest zędu 9 cm -, węc χ e zędu -4, popawka na w zanedbywalna. Dla ceczy, cał stałych N zędu - cm -, węc zędu +/-, popawka ważna, czasem pzyblżene złe. Opócz momentów ndukowanych cz. mogą meć momenty stałe, poządkowane pzez pole. Wtedy ważny uch temczny. Dla ozkładu Boltzmanna H/ kt f H e, H H p z jednoodnym otzymamy χ e pzy < z p cz > p cosθ dωp cosθ ep kt. p cosθ dωep kt

26 Dla wykładnka << OK. opócz b. slnych pól lub nskch tempeatu ozwnęce daje < p > γ cz cz p γnd + kt p kt. W ogólnym pzypadku, gdze p jest zędu -8 ecm. nega pola delektyk Skoo w. Possona D, to we wzoze na 8π enegę W d Dd 8π dla lnowych delektyków zadanych źódeł. Umeszczene w polu del. o obj. V daje

27 Φ + Φ + + Δ d P d D D d P d D D d d D D d D D d D D W π ε ε π π π π Dla zadanego potencjału pzecwny znak: W W W W W d W d W dla d W δ δ δ δ δ δρ ρδ δ δ δ ρδ δ δε δρ ρδ δ + + Φ Φ Φ Φ Φ Φ + Φ

28 Magnetostatyka Indukcja magnetyczna defnowana oygnalne z N μ B, znaczne badzej skomplkowane nż F q. Z pawa zach. ładunku. Mawella bez zależnośc od czasu mamy 4π J B B c J B dl 4π 4πI,, J da c c Możemy wpowadzć potencjał wektoowy A, swoboda cechowana A A B, B C S + ψ A pozwala na wybó spełnający cechowane Coulomba, węc 4π A c J A J ' c d ' + ' - znów. Possona, ozwązane ψ, gdze ψ można dobać do waunków bzegowych w pzestzen,

29 węc B J ' c d ' ' Rozwnęce multpolowe do II zędu daje + ' +... ' A c J d k k ' ' + J ' k ' d' +... c f J gd g J fd Jeśl J J znka poza ' < R, to '. dla dowolnych f, g z dwegencj loczynu. Wybeając f, g mamy f, g k mamy J + J d k k Jd, a dla. Zatem ' Jkd ' ' Jkd ' [ ' k J ' Jk] d ' εjk ' J jd ' [ ' J d '] k, j Oznaczając M c [ J ], m M d mamy m A, nn m m B jak p

30 Dla >> R to dobe pzyblżene dla każdego ozkładu pądów. Dla płaskego obwodu cenkego pzewodnka z pądem m I I d l Sn ; c C c dla układu ładunków J q vδ, m m q c e Mc v q M L; dla q c M e M L, magneton czynnk żyomagn. OK nawet dla uchu el., ale ne spnu. Momenty w polu zewnętznym: F J Bd ; N J B d ; c c dla B B + B ozwnęce k k k F ε jk [ Bk J j d + J j Bk d ] c gdze pewsza całka znka, duga daje

31 v F m B mbbo B, węc WB mb - to OK dla pól zmennych. N m B, jak należało oczekwać. W mate momenty dpolowe jak elstat., df H B 4πM, B μh, ówn. 4π H c J. Pzenkalność magnetyczna μ blska dla da- μ< paa- μ> magnetyków. Feomagnetyk μ>>, nelnowe, ops kwantowy.