11. Stan graniczny w mechanice gruntów Tomasz Strzelecki

Transkrypt

1 . Stn grniczny w mechnice gruntów Tomsz Strzelecki. Modele mtemtyczne stnu grnicznego. Modele mtemtyczne opisujące stny równowgi grnicznej gruntów i skł zostły szczegółowo omówione w wielu publikcjch, że wymienię prcę pod redkcją Kisiel [Kisiel i inni, 98], [Szczepńskiego, 974], [Swczuk, Izbickiego, 984], [Swickiego A., 994], [Coussy ego, 995], [Łydżby, 00], [Lysik, 968, 969],[Dembickiego, 964, 964b, 964c, 965, 966, 97, 98, 98b], [Gryczmńskiego, 983, 995]. W niniejszej monogrfii ogrniczymy się do njczęściej stosownych w prktyce inżynierskiej, uwzględnijących wpływ płynu ( cieczy lub gzu) wypełnijącego pory ośrodk gruntowego i jego filtrcji przez strukturę utworzoną przez zirn lub spękne skły n wystąpienie stnu grnicznego. W modelch tych nie uzyskujemy oceny wrtości odksztłceń ośrodk w stnie grnicznym. Pojęcie stnu grnicznego odnosić będziemy njczęściej do wyidelizownego mteriłu, dl którego pomne są efekty lepkie rzeczywistego mteriłu tworzącego grunt lub skłę. Zkłdmy, że modelowny przez ns ośrodek może więc płynąć plstycznie w sposób nieogrniczony. W większości zgdnień związnych z powstniem w gruncie lub skle grnicznego stnu równowgi uwzględnienie rzeczywistej zleżności nprężenie - odksztłcenie przed wystąpieniem stnu grnicznego jest pod względem mtemtycznym skomplikowne. Z tego względu wprowdzono często zstępczy model wytrzymłościowy gruntu, lub skły określny jko model cił sztywno-plstycznego. W modelu tym cłkowicie pom się odksztłceni lepko-sprężyste ośrodk. Przy wprowdzeniu tkiego modelu grunt w przypdku ścinni przy nprężenich mniejszych od pewnej grnicznej wrtości τ zchowuje się jk ciło sztywne, nie wykzując żdnych odksztłceń. Po osiągnięciu wrtości grnicznej τ gr nstępuje ciągły wzrost odksztłceni przy stłym nprężeniu. Z chwilą zdjęci obciążeni, cłkowite odksztłcenie, jkiego doznł grunt od chwili odciążeni pozostje w nim jko odksztłcenie trwłe. W reologii gruntów istnieje szereg modeli uwzględnijących odksztłceni lepko-sprężyste ośrodk gruntowego lub skły orz efekty wzmocnieni lub osłbieni. Możemy wyliczyć kilk z nich: ) model mteriłu sprężysto plstycznego, b) modele lepko-sprężysto-plstyczne, c) modele cił nieliniowo sprężystego (dl procesów, w których nie występuje odciążenie), d) modele cił sprężysto- plstycznego ze wzmocnieniem lub osłbieniem, e) modele cił sprężysto lepko plstycznego, f) modele cił lepko sprężystego lepko plstycznego.. Model Coulomb Mohr. Dl określeni grnicznego oporu stosowny był w początkowym okresie mechniki gruntów wrunek wytrzymłościowy [Coulomb, 773] wyrżone wg [Kisiel i innych, 969, 98] i [Szczepńskiego, 974] liniową zleżnością w postci: τ tg gr = n φ + c, (.) gr gdzie:

2 τ gr - grniczny opór ścinni, n - nprężenie normlne pnujące w płszczyźnie ścięci (ujemne przy ściskniu), φ - kąt trci wewnętrznego, c - kohezj (spójność). Kąt trci i spójność są stłymi mteriłowymi. Ich grficzną prezentcję będącą interpretcją równni przedstwiono n rys.. Przyjmując złożenie, że związek Coulomb wynik przede wszystkim z procesu trci, doświdczeni wykzują, że prwo trci jest nieliniowe [Jeger, Cook, 969] proponuje dl młych wielkości nprężeń normlnych do powierzchni poślizgu przyjmowć liniowe prwo Coulomb, ntomist dl dużych wrtości tych nprężeń prwo nieliniowe w postci: m c gr n τ = µ +, (.) gdzie m zwier się w przedzile / 3 µ. Rys.. Wizulizcj prw Coulomb. Rozwój bdń teoretycznych i doświdczlnych prowdzonych przez [Hvorslev, 937]]doprowdził do innej postci prw Coulomb uwzględnijącego ciśnienie porowe w przestrzenich pomiędzy cząstkmi lub zirnmi gruntu, nzywnego z Kisielem [Kisiel, 98] prwem Coulomb Hvorslev : tg = + +, (.3) n gr τ φ gdzie ozncz nprężenie w cieczy wynikjące z oddziływni cieczy n szkielet ośrodk gruntowego. ef n n Oznczjąc przez = + nprężenie efektywne normlne n powierzchni poślizgu równnie Coulomb Hvorsllev możemy zpisć w postci: tg = +. (.4) ef gr τ n φ Wpływ ciśnieni porowego n odksztłclność skł był temtem wielu publikcji, między innymi przez [Bishop, 959, 96], [Bishop i inni, 960], [Hnsen, Gibson, 949], [Skempton, 96], [Jeger, 969]. Przykłdowo bdni [Jeger, 969] przeprowdzone

3 n wpienich, dotyczące wpływu wody n deformcję próbek i n mksymlne ciśnienie przenoszone przez nie w stnie jednoosiowego ściskni dobrze obrzuje rys... Rys.. Wpływ nprężeni w cieczy wypełnijącej pory n proces nprężenie odksztłcenie próbek wpiennych wg Jeger (wg [Kisiel i innych 969]). W przypdku gruntów wzrost nprężeni w cieczy może doprowdzić do wzrostu objętości gruntu, nwet do upłynnieni gruntu. Przeciętne wrtości kątów trci wewnętrznego φ dl różnych gruntów zleżą od ich zgęszczeni, ntomist wrtości kohezji c zleżą od wilgotności gruntu i od stopnie prekonsolidcji gruntu. Wpływ zgęszczeni gruntu n wielkość oporów trci wewnętrznego przedstwił Kisiel w prcy, [Kisiel i inni, 969 ] co pokzuje rys..3. Rys..3 Zleżność oporu trci wewnętrznego od przemieszczeni w przypdku gruntu mło zgęszczonego (kółk zczernione) i gruntu zgęszczonego (kółk niezczernione) (wg. [Kisiel i innych, 98]). Zleżność kohezji od wilgotności gruntu jest wg [Bjerrum, Simons 960] (podjemy z [Wiłunem, Strzewskim, 97] ) liniow, co przedstwiono n rys..4

4 Rys..4 Zleżność spójności od wilgotności gruntów spoistych wg [Wiłun, Strzewskiego, 97]. Jk widć, wpływ fzy ciekłej lub gzowej n proces ścinni w gruntch objwi się w dwóch niezleżnych płszczyznch: bezpośredniego oddziływni cieczy n proces odksztłcenie nprężenie poprzez dziłnie ciśnieni w porch ośrodk i sił unoszeni filtrcji orz m istotny wpływ n prmetry wytrzymłościowe w gruncie... Wrunek Mohr Wrunek ten wynik bezpośrednio z nlizy grnicznych kół Mohr. Otóż zkłd się, że stn grniczny ośrodk rozdrobnionego lub zniszczenie porowtych mteriłów sklnych określ równnie obwiedni kół Mohr i jest zleżne od wielkości mksymlnego i minimlnego nprężeni głównego. Może być, zgodnie z prcą Kisiel i innych [Kisiel i inni, 969], określone zleżnością: p F q F p q = lub (, ) = 0, (.5) gdzie p orz q = ( + 3 ) = ( 3 ) (.6) lub po uwzględnieniu nprężeni w cieczy : p orz q = ( + 3 ) = ( 3 ), (.7) przy czym > > 3. F q Wrunek ten w przypdku liniowej funkcji zgodnie z prwem Coulomb Mohr m nstępującą postć: q p c sinφ cosφ = 0 (.8)

5 lub c ( 3 ) + ( + 3 ) sinφ cosφ = 0 (.9) lub przy złożeniu dziłni nprężeń efektywnych : c [ 3 + ( + 3 ) + ]sin φ cos φ = 0. (.0) Przechodząc do konstrukcji liniowej obwiedni kół Mohr rys..5 widzimy, że równnie prostej stnowiącej liniowe obwiednie kół Mohr wyrż się związkiem (.8)..3 Inne wrunki stnu grnicznego. Rys..5 Wrunek Coulomb Mohr. Liniowy wrunek Coulomb zrówno dl przypdku ośrodków nwodnionych, jk również ośrodków suchych nie jest jedyną propozycję wrunku stnu grnicznego w mechnice, chociż w mechnice gruntów i skł jest njczęściej stosowny do rozwiązni konkretnych zgdnień inżynierskich. Przechodząc do szczególnych przypdków nieliniowego wrunku Mohr, możn wyrzić równnie opisujące obwiednię kół w sposób nstępujący: ef b n = τ, (.) n gdzie, - określ wytrzymłość n rozciągnie hydrosttyczne, ntomist wielkość n b ef / jest wrtością nprężeń ścinjących, gdy = 0. Szczególnym przypdkiem jest prboliczny wrunek stnu grnicznego, który wg prc [Jeger, Cook, 969], i [Prte, 969], dobrze odwzorowuje wyniki doświdczeń dl gruntów i skł pod dziłniem dużych nprężeń. Interesując propozycję wrunku stnu grnicznego wprowdził Strognov, który opublikowł szereg prc doświdczlnych i teoretycznych [Strognov, 958, 96, 965, 967] w zkresie stnów grnicznych gruntów. Strognov [Strognov, 967] uwż, że zchownie się gruntu w stnie plstycznym opisuje ukłd niezmienniczych związków fizycznych:

6 τ = 0 = λγ, γ G pl tg Ψ 0 G tg γ, pl Ψ + γ = χγ, d 0 (.) gdzie τ = 3 okt τ = ( ) + ( 33 ) + ( 33 ) + 6( ), (.3) ok τ nprężenie styczne do powierzchni oktedrycznej w ukłdzie głównych osi nprężeń orz 3 okt γ = γ = ( + ν ) ( + ν ) 3 = ( γ γ ) ( γ γ 33 ) ( γ 33 γ) ( γ γ 3 γ 3), (.4) ok γ odksztłcenie oktedryczne w ukłdzie głównych osi odksztłceń (zkłd się przy tym, że ukłd głównych osi odksztłceń pokryw się z ukłdem głównych i osi nprężeń), i γ i skłdowe nprężeni i odksztłceni w dowolnym ukłdzie krtezjńskim, γ nprężenie i odksztłcenie średnie, 0 0 d γ 0 odksztłcenie wywołne ściśliwością szkieletu, χ ν λ G pl tg Ψ współczynnik dyltcji, współczynnik Poissonn, współczynnik doświdczlny Strgnow, początkowy moduł plstyczności, współczynnik trci wewnętrznego n płszczyźnie oktedrycznej. G pl W przypdku cił sztywno plstycznego / 0 wrunek Strognov przechodzi w wrunek Huber-Schleicher [Kisiel i inni, 98]. Z bdń Strognov. wynik, że piski spełniją z dużą dokłdnością wrunek Huber-Schleicher wyrżony związkiem: p tg n τ = + ψ. (.5) 0 Różnic pomiędzy powyższym wrunkiem stnu grnicznego wrunkiem Coulomb Mohr. poleg n tym, że wrunek ten jest niezmienniczy, więc nie zleży od stnu nprężeni. Inczej m się sprw z wrunkiem Coulomb i - Mohr. Porównując obydw wrunki, możemy znleźć zleżność pomiędzy kątem ψ ϕ dl różnych przypdków stnu nprężeni: dl przypdku osiowego ściskni: tg ψ = sinϕ ; (.6) 3 sinϕ

7 dl prostego ścinni: tg ψ = sinϕ ; (.7) dl przypdku osiowego rozciągni tg ψ = sinϕ. (.8) 3 + sinϕ Powyższe formuły pozwlją określić zleżność kąt trci wewnętrznego od stnu nprężeni ( ψ nie zleży od stnu nprężeni) co zobrzowno n rys..6 Rys..6 Związek pomiędzy ψ i kątem trci wewnętrznego wg. Strognow (f kąt trci wewnętrznegoϕ, rctgpsi - rctg(ψ )). Do innych znnych w literturze wrunków nleży wymienić: wrunek Mises - Schleicher, wrunek Treski uogólniony później przez Drucker; są one opisne szczegółowo w prcch [Izbickiego, 976], [Kisiel i inni, 98], [Mroz, Drescher, 97], [Swczuk, Izbickiego, 984]. Do propozycji często cytownych w literturze, choć nieznjdujących do dzisij szerszego zstosowni w prktyce inżynierskiej, zliczyć możn wrunek Mises Schleicher, który uwzględnijąc definicje niezmienników stnu nprężeni możn zpisć w postci: n I I k + α = 0, (.9) 3 ' gdzie I i I są niezmiennikmi n stnu nprężeni, α i k są stłymi mteriłowymi. przy czym. Grficznie powierzchni grniczn k jest prboloidą obrotową n-tego stopni o wierzchołku w punkcie = = 3 =. W prcy [Kisiel i innych, 98] Izbicki pokzł, że istnieje α przejście k grniczne, dl przypdku płskiego stnu odksztłceni c, przy powiązniu stłych α i z kątem trci wewnętrznego ϕ i spójnością :

8 k c =, sinϕ = ( α ) ( 3α ) 3 (.0) n n orz dl =, do wrunku Coulomb. Podobnie dl = uzyskuje się wrunek prboliczny. W niniejszej monogrfii nie będziemy zjmowć się szczegółowo złożonymi wrunkmi plstyczności odsyłjąc zinteresownych do bogtej litertury w tym zkresie, ogrniczjąc się w większości zgdnień do liniowego wrunku Coulomb Mohr i wpływu fzy ciekłej lub gzowej n proces uplstycznieni lub utrty wytrzymłości gruntów lub skł..4 Sformułownie zgdnieni stnu grnicznego..4. Sttyk stnu grnicznego. Po rz pierwszy zgdnieniem sformułowni równń stnu grnicznego zjął się [Kötter, 888] dl przypdku zgdnieni płskiego ośrodk sypkiego. Obejmuje ono: równni równowgi w przypdku płskiego stnu odksztłceni: x + x+ ρ = 0, x + x+ ρ = 0, (.) gdzie ρ i ρ są skłdowymi sił msowych wrunek stnu grnicznego Coulomb który dl przypdku brku spójności m postć: tg =. (.) gr n τ ϕ Brk spójności nie m istotnego wpływu n ogólność przeprowdzonych poniżej przeksztłceń, gdyż w kżdym momencie możemy uogólnić rozwżni wprowdzjąc pojęcie wstępnego sprężeni ośrodk wyrżonego wzorem: p c ctg n = ϕ, (.3) więc wrunek Coulomb możn wyrzić wzorem: p tg = +. (.4) gr n n τ ϕ W ogólnym przypdku wrunek Błąd! Nie możn odnleźć źródł odwołni. może mieć postć zleżności: g gr n τ =. (.5) Wprowdzjąc wielkości bezwymirowe nprężeń:

9 p gr n n ) τ ) ) p τ = ; = ; =. (.6) Wrunek stnu grnicznego możn przedstwić w postci: ) g τ = ), (.7) gdzie w przypdku wrunku grnicznego Coulomb mmy: g) ) tg = ϕ (.8) lub z uwzględnieniem kohezji: g ) p tg = ) + ) ϕ. (.9) Zgodnie z prcą [Kisiel i innych, 98] położenie linii, wzdłuż których nstępuje poślizg (linii poślizgu) jest określone zleżnościmi kątowymi względem nprężeń głównych i zleży od wielkości kąt trci wewnętrznego. s Wprowdźmy s kąt ψ pomiędzy kierunkiem nprężeni głównego linimi poślizgu i. Zgodnie z oznczenimi rys możemy kąt ψ wyrzić przy pomocy kąt trci wewnętrznego ϕ wzorem: Rys Oznczenie kierunków linii poślizgu w stnie grnicznym (wg. [Kisiel i inni, 98]). π ϕ ψ =. (.30) 4 W przypdku gruntu idelnie spoistego, kąt trci wewnętrznego równ się zero i ψ = π /. Jk widć kąt trci wewnętrznego, ztem i kąt pomiędzy linimi poślizgu ψ zleży od g funkcji ( ) w dowolnym punkcie obszru i możn go obliczyć ze wzoru: tg ( ϕ ) dg ) g d ) = ) = '( ). (.3)

10 N podstwie wzoru Błąd! Nie możn odnleźć źródł odwołni. i korzystjąc z zleżności trygonometrycznych dl liniowego prw Coulomb możn zpisć: g ' sin ϕ = g ; cosϕ = g. (.3) + ' + ' N podstwie wzorów (.6) możemy zpisć: ( + ) ( ) ) sin ϕ =, ) τ = ( ) cos ϕ. (.33) A nstępnie związki pomiędzy nprężenimi głównymi i orz nprężenimi, i, i τ możemy dl przypdku płskiego stnu nprężeni zpisć je w postci: ( ) ( ) ( ) ( ) = = (.34) Podstwijąc związki (.33) dostjemy: sin 4, ) = ( + ) ϕ ( ) + ) cos τ = ϕ ( ) + 4. (.35) Równni stnu grnicznego sprowdzją się do ukłdu równń : x + x+ γ 0 = 0 x + x+ γ 0 = 0 (.36) 4 g + sinϕ ( ) + 4 = ( ) + 4 cos ϕ i gdzie γ 0 γ 0 oznczją skłdowe ciężru objętościowego szkieletu z uwzględnieniem wyporu wody Korzystjąc z zleżności geometrycznych i dl linii poślizgu możn wyrzić bezwymirowe nprężeni, w zleżności od nprężeni orz kąt β nchyleni x nprężeni do osi w postci:

11 g) ) = + ϕ + β cosϕ g) ) = + ϕ β cosϕ g) ( ) = sin β cosϕ ( ) tg [ cos ] ( ) tg [ cos ] (.37) Uwzględnijąc związki (.35) w zleżnościch (.37) możn je zpisć w postci: ) g) g g ( ) = + '( ) + cos β + ' ( ) ) g ) g g ( ) ) ) = + '( ) cos β + ' ( ) g) g ) = + ' sin β (.38) g ) '' = 0 Biorąc pod uwgę, że dl liniowego równni stnu grnicznego równni równowgi nzywne równnimi Kötter możn przedstwić zgodnie z prcą Kisiel [Kisiel 98] w postci: ) ) ( x + sinϕ cos β ) + xsin ϕ sin β + ) ) p β x βx γ + ϕ β β + ϕ = ) ) sin x ϕ sin β + x( sinϕ cos β ) + ) ) p β x βx γ + + ϕ β + β + ϕ = 0 sin sin cos cos 0 0 sin cos sin cos 0 Równni Kötter możn przedstwić w innej postci stosując podstwieni: (.39) η = χ β; ξ = χ + β (.40) orz p ctg ) ) + χ = ϕ ln ; = cos ϕ (.4) wyprowdzone przez Sokołowskiego [wg Kisiel 98] w przypdku liniowego wrunku stnu grnicznego (.9) w postci:

12 ( + ) ( + ) ( ) ( β ψ ) ( ) ( ) ( ) ( β ψ ) η tg cos 0 cos 0 sin x η ϕ γ β ψ γ β ψ + ( β ψ ) x= g = cos ξ tg cos 0 sin 0 cos x ξ ϕ γ β ψ γ β ψ + ( β ψ ) x= g = cos + F F (.4) rf W przypdku, gdy pole sił objętościowych jest polem potencjlnym wynikjącym z dziłnie siły grwitcji i sił unoszeni filtrcji cieczy przez pory ośrodk ukłd równń stnu grnicznego m postć nstępującą: cos f x 0 sin f x ϕ 0 cos tg γ + β + ψ γ + ( β + ψ ) η x η ( β ψ ) x g + = ) cos ( ) ( β ψ ) cos f x 0 sin f x ϕ 0 cos tg γ + β ψ + γ + ( β ψ ) ξ x ξ ( β ψ ) x g + = ) cos + gdzie ( ) ( β ψ ) (.43) p = jest nprężeniem w cieczy wypełnijącej pory, p ozncz ciśnienie porowe. Powyższy ukłd równń równowgi obszru w przypdku sttyki stnu grnicznego uzupełni równnie przepływu filtrcyjnego, które wg. prcy [Stilger Szydło, 005] dl przypdku przepływu ustlonego sprowdz się do postci: = 0 (.44) Moim zdniem postć równni przepływu jest nieco brdziej złożon i jest sprzężon z ukłdem równń(.44). Uwzględnijąc wyniki poprzednich rozwżń z zkresu modelu Biot-Drcy ego równnie przepływu filtrcyjnego powinno mieć postć: C H g P ) f R R ( ) + & = (.45) ii gdzie C,R,H to stłe modelu Biot-Drcy ego, P współczynnik prw płynięci plstycznego. IV Kinemtyk stnu grnicznego. Rozwżmy podobnie jk w przypdku sttyki stnu grnicznego model sztywno plstyczny cił suchego. Kinemtyk stnu grnicznego określ związek fizyczny wiążący tensor i i nprężeni z tensorem prędkości odksztłceni ε& : gdzie: G & = λ (.46) ε &

13 v v i j & ε = x+ x (.47) j i & λ vozncz dodtnią stłą ozncz skłdowe prędkości przemieszczeni G to potencjł plstyczności opisny równniem: G c = + + sinψ cosψ (.48) G F Jeżeli ψ = ϕ wówczs ( ) = ( ) i równnie (.48) odpowid stowrzyszonemu z wrunkiem plstyczności prwu płynięci. Gdy ψ < ϕ równnie (.48) jest niestowrzyszonym prwem płynięci plstycznego, ψ jest ktem dyltncji, określjącym zminy objętościowe ośrodk. Korzystjąc z prc [Stilger Szydło, 005] i [Izbickiego i Mroz, 976] przedstwimy w skrócie metodę rozwiązni zgdnień płynięci plstycznego cił sztywno plstycznego metodą chrkterystyk. Metod t zlicz się do metod ścisłych rozwiązywni zdń nośności grnicznej. Szczegółowy opis metody z przykłdmi obliczeń konkretnych zgdnień znjdzie czytelnik w prcy [Kisiel i inni, 98]. W ogólnym przestrzennym qusi-sttycznym zgdnieniu nośności grnicznej, by rozwiązć problem nośności grnicznej dysponujemy:. Równnimi równowgi + = (.49) j i, γ 0 0 gdzie. Wrunkiem grnicznym Mohr p F q = (.50) p orz q = ( + 3 ) = ( 3 ) (.5) przy czym > > 3. f q m nstępującą postć: Wrunek ten w przypdku liniowej funkcji q p c sinϕ cosϕ = 0 (.5) lub c ( 3 ) + ( + 3 ) sinϕ cosϕ = 0 (.53) 3. Stowrzyszonym lub niestowrzyszonym prwem płynięci G ( ) & ε = λ (.54)

14 gdzie: v v i j & ε = x+ x (.55) j i W przypdku stowrzyszonego prw płynięci ( ) ( ) G F =. Podsumujmy, dysponujemy: trzem równnimi równowgi, równniem stnu grnicznego, sześciom równnimi płynięci plstycznego, sześciom równnimi określjącymi związki geometryczne. W sumie mmy do dyspozycji 6 równń. Podliczmy niewidome: sześć niezleżnych skłdowych stnu nprężeni, sześć niezleżnych skłdowych prędkości stnu odksztłceni, trzy skłdowe prędkości przemieszczeni, stł λ. Z podsumowni jsno wynik, że zgdnienie jest sttycznie wyznczlne, gdyż ilość równń (6) jest identyczn z ilością niewidomych. Możemy łtwo zredukowć liczbę niewidomych i równń poprzez podstwienie związków geometrycznych (.55) do prw płynięci (.54). Powyższy ukłd równń opisuje proces równowgi kinetycznej stnu grnicznego bez uwzględnieni ciśnieni porowego cieczy i sił oporu filtrcyjnego. W przypdku uwzględnieni nprężeni w cieczy powyższy ukłd równń m dodtkową niewidomą, musi, więc być uzupełniony o dodtkowe równnie. Poprzednie rozwżni prowdzą do wniosku, że równniem tym jest równnie przepływu cieczy przez ośrodek porowty. W ogólnym przypdku zgdnienie nośności grnicznej w przypdku procesu qusi - sttycznego (z pominięciem sił bezwłdności), le z uwzględnieniem sił msowych filtrcji cieczy przez ośrodek porowty sprowdz się do nstępującego ukłdu równń:. Równnimi równowgi gdzie ( δ ) γ 0 +, + = 0 ; (.56) j i. Wrunkiem grnicznym Mohr p F q =, (.57) p orz q = ( + 3 ) = ( 3 ), (.58) przy czym > > 3. f q m nstępującą postć: Wrunek ten w przypdku liniowej funkcji q p c sinϕ cosϕ = 0 (.59) lub

15 c [ 3 + ( + 3 ) + ]sin ϕ cos ϕ = 0 ; (.60) 3. Stowrzyszonym lub niestowrzyszonym prwem płynięci: gdzie: G & = λ, (.6) ε & v v i j & ε = x+ x ; (.6) j i 4. Równniem przepływu cieczy przez ośrodek porowty w przypdku przepływu lminrnego: C H f + R& = R& ε, (.63) gdzie R,H stłe Biot, & ε = & ε i Ukłdy równń ((.56) do(.63)) orz opisują przypdki zgdnieni trójwymirowego którego rozwiąznie nstręcz istotne trudności rozwiązni. W literturze znne są ntomist liczne rozwiązni dotyczące płskiego stnu odksztłceni i zgdnień osiowo symetrycznych Twierdzeni nośności grnicznej. Twierdzeni dotyczące nośności grnicznej i ich dowody zostły przedstwione przez Izbickiego w prcy [Kisiel i inni, 98]. D przeprowdzeni dowodów zostły przyjęte dw złożeni: ) Powierzchni grniczn (plstyczności) jest wypukł b) Wektor prędkości odksztłceń plstycznych jest normlny do tej powierzchni Obydw złożeni możn przedstwić dl przypdku głdkiej powierzchni plstyczności rys i powierzchni osobliwej złożoną z kilku powierzchni nlitycznych przecinjących Się wzdłuż krwędzi i nroży rys.4.39b

16 Rys Powierzchnie plstyczności ) głdk i b) osobliw ( wg Kisiel i inni []). Zgodnie z prcą [] wrunek wypukłości i normlności możn przedstwić w przypdku głdkiej powierzchni plstyczności w postci: ( ) f 0 (.64) lub w przypdku, gdy powierzchni plstyczności jest powierzchnią osobliwą: k f α k & λα 0, & λ > 0, & λ > 0 K, & λ > 0 (.65) α = Mjąc n uwdze powyższe złożeni, możn wykzć słuszność nstępujących twierdzeń: TWIERDZENIE I. s i Kżde pole sttyczne dopuszczlne, spełnijące wrunki równowgi wewnętrznej i nienruszjące wrunku plstyczności w obszrze cił, dostrcz dolnej oceny obciążeni grnicznego. orz TWIERDZENIE II. Kżde pole kinemtycznie dopuszczlne, spełnijące wrunki podprci n brzegu i wrunek dodtniej mocy obciążeń brzegowych wyzncz kinemtyczny mnożnik obciążeni będący górną oceną obciążeni grnicznego. W prowdzjąc współczynnik powyższych twierdzeń sformułowć nierówność: g υ określjący ocenę stnu grnicznego możn n podstwie

17 k g s υ υ υ (.66) k s gdzie υ określ ocenę kinemtyczną stnu grnicznego, υ ocenę sttyczną stnu grnicznego..5 Model mtemtyczny dwufzowego ośrodk porowtego sprężysto-lepkoplstycznego. Teori ośrodk dwufzowego, którego pory wypełnione są cieczą bzuje n równnich zproponownych przez Biot w ltch 40 i 50- tych [5,6,6 ]. Stworzon przez Biot teori konsolidcji zkłdł model ciągłego porowtego szkieletu sprężystego, którego pory wypełnione są ściśliwą lepką cieczą newtonowską przepływjącą ruchem lminrnym przez pory tego ośrodk. Liniowy model Biot zkłdł stł wrtość prmetrów, w tym współczynnik porowtości. Model ten był punktem zinteresowni wielu bdczy w odniesieniu do procesów izotermicznych przy wykorzystniu metod klsycznej mechniki - prce Derskiego [9], Szefer [5], Kisiel [ ], Strzeleckiego [4] orz z wykorzystniem metody symptotycznej homogenizcji przez Auriult [,,3 ], Łydźb [3 ], Bensoussn i inni [7]. Dl procesów dibtycznych równni procesu termo konsolidcji zproponowł Coussy [8], Strzelecki [4]. Model Biot był modyfikowny poprzez uwzględnienie innych cech szkieletu sprężystego jk wpływ n proces konsolidcji potencjłu pol elektrycznego w przypdku gruntów spoistych - prc Strzeleckiego [4], lub uwzględnienie włsności lepkich szkieletu - prce Brtlewskiej [4] zkłdjącej dl szkieletu ośrodk dwufzowego model Kelvin Voight. Coussy [8] zproponowł w rmch podejści fenomenologicznego jeszcze inny sposób modelowni. Proponowł potrktownie ośrodk porowtego jko otwrty ukłd termodynmiczny, w którym zmiennymi kinemtycznymi są dl ośrodki w pełni nsyconego tensor odksztłceni szkieletu i porowtość. Żdn z cytownych prc nie zjmowł się problemmi teorii procesów sprężysto lepko - plstycznych z uwzględnieniem filtrcji płynu ściśliwego przez dwufzowy porowty ośrodek..5. Złożeni wyjściowe do modelu mtemtycznego ośrodk sprężysto - lepko - plstycznego. Proponowny przez ns model spełni podstwowe złożeni: ) szkielet ośrodk jest mteriłem izotropowym, ciągłym, sprężysto lepko plstycznym, b) w zkresie odksztłceń sprężystych porowtość ośrodk uwż się z wielkość stłą, c) cły ośrodek jest wypełniony cieczą, d) ciecz jest ciągłą, ściśliwą cieczą newtonowsk, e) przepływ cieczy przez pory i mikroszczeliny ośrodk jest lminrny ( mł liczb Reynolds), f) w zkresie sprężystości odksztłceni ośrodk są młe.5. Równni zchowni msy szkieletu i cieczy w zkresie sprężystości. Niech Ω jest przestrzenią określjącą element VER wypełniony ośrodkiem dwufzowym i ogrniczonym powierzchnią S. Wektor n r jest jednostkowym wektorem normlnym do l powierzchni S skierownym n zewnątrz elementu Ω. Jeżeli przez v r s i v r ozncz się rr rl r s odpowiednio wektory prędkości cieczy i szkieletu to v = v v określ reltywną prędkość przepływu filtrcyjnego płynu przez ośrodek porowty. Jeżeli przez ρ i ρ oznczją kolejno gęstość włściwą szkieletu i płynu, to możemy wprowdzić gęstości objętościowe szkieletu ρ = ( f ) ρs i cieczy ρ = f ρl. Przez ρ oznczć będziemy gęstość objętościową ośrodk dwufzowego równą co do wrtości sumie ρ + ρ. Wrtość ρ oznczć będzie gęstość cieczy przepływjącej przez powierzchnię S: ρ = fs ρl. s l

18 Równnie ciągłości obu fz ośrodk m postć: s r ρ ρvi nids + ρvi nids + dω = 0 t (.67) S S Uwzględnijąc w powyższym równniu twierdzenie Guss - Ostrogrdzkiego możemy powyższe równnie zpisć w postci związku loklnego: S D ρ + ρε& = r [ ρν i ], i (.68) Dt s D s gdzie = + vi jest pochodną mterilną. Dt t xi Równnie ciągłości przepływu płynu przez szkielet ośrodk gruntowego wyrż się wzorem: s r ρ ρvi nids + ρvi nids + dω = 0 (.69) t S S po uwzględnieniu twierdzeni Guss Ostrogrdzkiego możemy powyższe równnie zpisć w postci związku loklnego: s D ρ r + ρ( & θ & ε ) = vi [ ρ], i (.70) Dt Wielkości & θ i & ε oznczją prędkość zmin dyltcji cieczy i szkieletu gruntowego..5.3 Równni zchowni pędu Równni ruchu fzy stłej ośrodk mją postć: r s l n ds + bv dω + ρ ρ X dω = ρ v + ρ v dω Ω Ω j i i ( & & i i ) (.7) S Ω Ω Ω gdzie b ozncz współczynnik oporów lepkich filtrcji, ρ + ρ = ρ > 0, ρ < 0. Związek loklny określjący równnie ruchu lminrnego szkieletu gruntowego dl przypdku zgdnień qusi - sttycznych sprowdz się do postci: r, + X ( ρ ρ) = bν (.7) j i i Równni ruchu fzy płynnej w przypdku ruchu lminrnego wyrżją się wzorem: r s l n ds bv dω + X ρdω = ρ v + ρ v dω i i i ( & & i i ) (.73) S Ω Ω Ω gdzie ρ + ρ = ρ > 0. Związek loklny określjący równnie ruchu lminrnego płynu dl przypdku zgdnień qusi - sttycznych sprowdz się do postci: r + X ρ = bν (.74), i i i.5.4 Równni konstytutywne w zkresie porosprężystości ośrodk dwufzowego. Związki konstytutywne cił Biot dl procesów izotermicznych mją postć: e e e Q = Nε + Mε δ + δ R e = Qε + RQ (.75) gdzie N jest modułem odksztłceni postciowego szkieletu, A - modułem odksztłceni objętościowego szkieletu, Q - współczynnikiem wpływu odksztłceni objętościowego cieczy

19 n nprężenie w szkielecie lub odwrotnie współczynnikiem wpływu odksztłceni objętościowego szkieletu n nprężenie w cieczy, R - modułem odksztłceni objętościowego cieczy wypełnijącej pory cił Biot. Prmetr M wyrż się poprzez: Q M = A R.5.5 Równni konstytutywne cił sprężysto - lepko - plstycznego. Ażeby zbudowć model sprężysto - lepko - plstyczny ośrodk dwufzowego nleży: określić związki konstytutywne w zkresie sprężystości, co dl ośrodk w pełni nsyconego cieczą newtonowsk reprezentowć będą zleżności (.75), zdefiniowć wrunek lepko plstyczności, będący funkcją sklrną stnu nprężeni f ( ), zdefiniowć prwo płynięci, to znczy określić związek miedzy prędkością odksztłceń plstycznych p ε&, stnem nprężeni i lepkością. Njczęściej stosowne w mechnice gruntów wrunki plstyczności to uogólniony wrunek Mises-Schleicher reprezentowny w przestrzeni nprężeń głównych jko stożek kołowy z osią pokrywjącą się z prostą = = 3 orz wrunek Coulomb. W niniejszej prcy przyjmiemy do budowy modelu związek Mises- Schleicher w postci: m α f = ( J ) + J kt ; α > 0, kt > 0, 3 (.76) gdzie J i J są niezmiennikmi stnu nprężeni, α i k są stłymi mteriłowymi. Kinemtyczne prwo płynięci lepko plstycznego przyjmuje znn postć: & f λ : f 0, f& 0 ν p & ε = 0: f 0, f& 0 (.77) przy czym zgodnie z złożeniem Perzyny [Perzyn.] współczynnik λ & wyrż się wzorem: gdzie średni wrtość funkcji g f ( ) g f & λ = (.78) ν ( ) bs f ( ) f = orz ν określ lepkość szkieletu ośrodk dwufzowego. Dl cił sprężysto lepko plstycznego odksztłceni cłkowite ośrodk spełniją równnie: e ν p f & ε = & ε + & ε = c & kl kl + & λ (.79) Wyznczjąc związki odwrotne dostniemy prędkość zminy nprężeni dl izotropowego cił lepko plstycznego z uwzględnieniem ciśnień porowych cieczy: f f Q & = N & ε & λ + M ε & λ δ + & δ (.80) kk R

20 .5 Zbiorczy ukłd równń procesu odksztłceń sprężysto lepko plstycznych cił dwufzowego. Oznczjąc przez u i przemieszczeni w zkresie sprężystości u ci przemieszczeni cłkowite sprężysto lepko plstyczne orz v ci prędkości przemieszczeń sprężysto lepko plstycznych zbiorczy ukłd równń determinujący proces odksztłceń w czsie ośrodk, którego pory wypełni ściśliw ciecz newtonowsk m postć:. 3 równni w zkresie sprężystości: N ui + ( M + N ) u j, H ji γδi3 =, i (.8) R. równnie przepływu filtrcyjnego cieczy:, & H j j C = R 3. 3 równni w zkresie lepko plstyczności: & ε R (.8) vci &, j = γ (.83) t k gdzie C = γ n, k ozncz współczynnik Drcy'ego, γ ciężr włściwy cieczy, n w w porowtość ośrodk, γ to ciężr włściwy szkieletu, H=Q+R. Przyjęcie do obliczeń kryterium Mises Schleicher wymg określeni stłych dl tego kryterium. Wiążąc α i k dl m= z kątem trci wewnętrznego ϕ i spójnością c T otrzymujemy: c T kt =, sinϕ = ( α ) ( 3α ) 3 (.84) Powyższy ukłd 7 równń jest sprzężony przez tensor nprężeń sprężystych orz funkcję nprężeń porowych..5.6 Rozwiąznie prostego zgdnieni brzegowego odksztłceń sprężysto lepko plstycznych. Poniżej przedstwimy proces odksztłceń skrpy obciążonej przyłożonym w chwili t=0 ciężrem równomiernie rozłożonym o wielkości 3.5 kn / m. Zkłdmy, że grunt dl którego dokonmy testowego modelowni odksztłceń sprężysto lepko plstycznych poddny zostł dziłniu ciężru włsnego i przyłożonego obciążeni. Geometrię rozptrywnego zgdnieni przyjęto jk n rys..7.

21 Rys..7 Schemt geometrii i obciążeni skrpy Prmetry fizyczne i mechniczne testowego gruntu zmieszczono w tbeli. i.. Tbel. Prmetry mechniczne gruntu N A R H ϕ kn / m 5.5*0 5 kn / m.*0 6 kn / m 6 5*0 Tbel. Pozostłe prmetry efektywne modelu k n γ γ m / s - 3 N / m *0 c T / /.5* *0 kn m stopnie kn m 6 ν w N 3 m P*s / Proces deformcji wykzł w poszczególnych procesch symulcji komputerowej silny wpływ wzjemnej relcji współczynnik filtrcji i lepkości szkieletu ośrodk. W zkresie odksztłceń sprężystych proces po stosunkowo krótkim czsie stbilizowł się i dl różnych wrtości lepkości uzyskiwliśmy identyczny ksztłt ośrodk po deformcji. N rys. przedstwiono obrz zdeformownego ośrodk i pole wektorowe przemieszczeń sprężystych. ) b) Rys..8 Odksztłceni sprężyste: ) ksztłt zdeformownego ośrodk w zkresie odksztłceń sprężystych, b) pole wektorowe przemieszczeń sprężystych Inczej wygląd ksztłt odksztłceń lepko plstycznych. Proces odksztłceń lepko plstycznych zleżny jest od stosunku przyjętej do obliczeń lepkości szkieletu do 7 współczynnik filtrcji płynu przez ośrodek porowty. Przyjmując do obliczeń k = 0 m / s wykonno obliczeni dl lepkości kinetycznej szkieletu

22 ν = ,5*0,0,5*0,0,5*0,0,5*0 [ P * s] 6. Dl wielkości lepkości od 0 P * s 7 do 5*0 ośrodek uleg po stosunkowo krótkim czsie dużym odksztłceniom plstycznym. Różnice dl poszczególnych wrtości lepkości njlepiej obrzuje wykres prędkości odksztłceń lepko plstycznych dl wybrnych 4 punktów n brzegu obszru. Poniżej n rys. 3 przedstwiono wykres prędkości przemieszczeń dl przyjętych wrtości lepkości szkieletu. ) b) c) d) Rys..9 Wykresy prędkości przemieszczeń dl czterech wybrnych punktów brzegu 6 6 )dl lepkości szkieletu ν = 0 P * s,b) dl lepkości szkieletu ν = 5*0 P * s, c) dl 7 7 lepkości szkieletu ν = 0 P * s, d) dl lepkości szkieletu ν = 5*0 P * s Uzyskne wyniki zkresu prędkości przemieszczeń i przemieszczeń dl wybrnych czterech punktów wrz z podniem czsu występowni mksymlnej prędkości odksztłceń i czsu po którym ustje przyrost przemieszczeń przedstwiono w tbeli.3. Tbel.3 Wybrne wyniki obliczeń dl czterech wybrnych punktów obszru Lepkość Szkieletu ν Przedził prędkości odksztłceń Przedził mksymlnych przemieszczeń Moment mx. prędkości odksztłceni Czs zkończeni odksztłceń P*s m / s m s s 6 0 [-4.0,3.0] [-40,5] *0 [-0.9,0.6] [-45,5] [-0.4,0.3] [-,7] *0 8*0,6*0 [-4.5,3.6] *0,3.*0 [-.5,.5] *0 8*0, 4*0 [-0.58,0.6] 0 560

23 *0,3* *0 4.5*0, 5*0 [-0.34,-0.3] [-0.7,0.0] Powyżej przedstwione dl 8 wrtości lepkości szkieletu przedstwiono poniżej wykres zmienności zkresu prędkości przemieszczeń lepko plstycznych dl 4 wybrnych punktów n brzegu obszru. Zmin prędkości przemieszczeń w funkcji lepkości szkieletu Wrtośći prędkości ln(lepkość) Rys..0 Wykresy mksymlnych prędkości przemieszczeń lepko plstycznych dl ln ν wybrnych czterech punktów obszru w funkcji N rys. 5 przedstwiono wykres zkresu przemieszczeń lepko plstycznych w funkcji lepkości kinetycznej szkieletu ośrodk porowtego. 50 Mksymlne przemieszczeni w funkcji lepkości szkieletu Mx. Przemieszczeni ln(lepkość)

24 Rys.. Wykresy mksymlnych przemieszczeń lepko plstycznych dl wybrnych ln ν czterech punktów obszru w funkcji Przedstwione wykresy pokzują, że dl dowolnej wielkości lepkości szkieletu zrówno prędkości mksymlne przemieszczeń jk i sme przemieszczeni są zwsze ogrniczone, poniewż istnieje w rozwiąznich ich wrtość ektremln. Różnic poleg n tym, że przy wzroście wielkości współczynnik lepkości prędkości odksztłceń i przemieszczeni dążą do wielkości uzyskiwnych w obliczenich w zkresie sprężystości. Zkres przyjętych wrtości 7 lepkości odpowid przypdkowi gdy współczynnik filtrcji jest rzędu 0 m / s. Dl wrtości większych współczynnik filtrcji przedstwione powyżej zleżności też występują, chociż zkres rzędu wielkości lepkości szkieletu jest inny. Interesującym zjwiskiem obserwownym w procesie odksztłceń sprężysto lepko plstycznych jest podobieństwo wykresów modułu plstyczności Mises Scheicher i ciśnień porowych w ośrodku dwufzowym dl wszystkich wrtości lepkości szkieletu. Poniżej n rys.. przedstwiono dl porównni wykres ciśnień porowych i potencjłu Mises 8 Schleicher dl lepkości szkieletu ν = 0 P * s. ) b) c) d) e) f) Rys.. Wykresy ciśnień porowych i potencjłu Mises Schleicher dl trzech momentów czsowych ) i b) dl czsu t=0.0 s, dl c) i d) dl czsu t=0s, dl e) i f) dl czsu 000s. 8 Mksymlne odksztłcenie dl lepkości ν = 0 P * s przedstwiono n rys..3.

25 ) b) Rys..3 Obrz odksztłconego ośrodk dwufzowego po zkończeniu procesu 8 deformcji dl ν = 0 P * s : )zdeformown sitk elementów skończonych, b) pole wektorowe przemieszczeń lepko plstycznych. Dl lepszego zobrzowni przemieszczeń sprężystych i lepko plstycznych przedstwiono n rys..4 wykres przemieszczeń cłkowitych po zkończeniu procesu konsolidcji (odksztłceni sprężyste) i po zkończeniu procesu odksztłceń lepko plstycznych. ) b) Rys..4 Wykres przemieszczeń cłkowitych po zkończenie procesu konsolidcji i po zkończeniu odksztłceń lepko plstycznych. Jk widć n rys. 8 w procesie płynięci lepko plstycznego powstją chrkterystycznego dl tego typu przemieszczeń linie poślizgu. Uzyskne wyniki i ksztłt ośrodk odksztłconego odpowidją rzeczywistemu ksztłtowi osuwisk. Przedstwiony model sprężysto lepko plstyczny porowtego ośrodk dwufzowego, którego pory są wypełnione ściśliwą lepką cieczą może znleźć zstosownie w mechnice gruntów i skł, gdyż dobrze odwzorowuje wpływ ciśnieni porowego n proces odksztłceń lepko plstycznych. Wykonne testowe obliczeni pozwlją wysnuć nstępujące wnioski: Proces odksztłceń ośrodk m dl przyjętego zkresu prmetrów ośrodk zwsze ogrniczony zkres. Inczej mówiąc przemieszczeni ośrodk są ogrniczone, prędkości przemieszczeń po określonym czsie dążą do zer. Potencjł plstyczności jest w istotny sposób zleżny od wielkości ciśnień porowych, ich prędkość zminy jest zleżn od współczynnik filtrcji. wielkość mksymlnych przemieszczeń lepko plstycznych zleży od relcji wpółczynnik lepkości szkieletu i lepkości cieczy przepływjącej przez pory ośrodk. Precyzyjne określenie prmetrów porowtego ośrodk sprężysto lepko plstycznego wymg oprcowni technologii określni prmetrów wytrzymłościowych gruntu zproponownego modelu. Przedstwiony przez ns model opier się n jednkże n jednym kryterium wytrzymłościowym Mises Schleicher i złożeniu Perzyny w odniesieniu do cił lepko plstycznego. Jednkże już t pierwsz prób pokzuje istotny wpływ fzy płynnej ośrodk porowtego n proces odksztłceń plstycznych.

26 .7 Litertur AURIAULT J.L., SANCHEZ - PALENCIA E. (977) Etude de comportement mcroscopique d'un milieu poreux sture deformble, Journl de Mecnique,6(4), , AURIAULT J.L., STRZELECKI T., BAUER J. HE.S, (990) Porous deformble medi by very compressible Fluid, Eur. J. Mech. /Solid, 9,4, s AURIAULT J.L., (99) Dynmic behviour of porous medi, Trnsport Processes in Porous Medi, Kluver Acdemic Publishers, 47-59, BARTLEWSKA - URBAN M., STRZELECKI T. (008) One-dimensionl consolidtion of the porous medium with the rheologicl Kelvin- Voigt skeleton, Studi Geotechnic et Mechnic. vol. 30, nr /, s. 5-, BIOT M.A. (94) Generl theory of three-dimensionl consolidtion, J. Appl. Phys. No s. 55, BIOT M.A. (956) Generl Solutions of the Equtions of Elsticity nd Consolidtion of Porous Mteril, J. Appl. Mech., 3. BIOT M.A. WILLIS D.G. (957) The Elstic Coefficients of the Theory of Consolidtions, J. Appl. Mech., 4, BENSOUSSAN A., LIONS J.L., PAPANICOLAU G.: (978) Asymptotic nlysis for periodic structures, North Hollnd Publishing Compny, Amsterdm. BISHOP A.W. (959) The principle if effective stress, Norw. Geot. Inst., publ. 3, BISHOP A.W. AlLPAN J., BL8GHT G., DONALD V. (960) Fctors, controlling the strength of prtly sturted soils., Colordo Conf., str. 503 BISHOP A.W. (96) The mesurement of pore pressure in the trixil test. Pore pressure Conf., London, Butherworths, str BJERRUM L., SIMONS N.E. (960) Comprison of sher strenght chrcteristics of normlly consolidted clys, Colordo Cond., COULOMB I.C.A. (773) Essi sur ppliction des regles de mximis et minimis quelques problemes de sttique reltive l rchitecture, Memoires de Mthemtique et de Physique de l Acdemie Royl des Sciences, vol. 7 Pris, COULSON J. M., RICHARDSON J. F., BACKHURST J. R., HARKKER J. H. (99) Chemicl Engineering. : Prticle Technology nd Seprtion Processes, Pergmon Press. COUSSY O. (995) Mechnics of Porous Continu, John Wiley & Sons, COUSSY O. (0) Mechnics nd physics of porous solids, John Wiley & Sons DERSKI W., (964) A method of solving of the system of equtions of consolidtion theory, Bull. Acd. Polon. de Sci., Ser. techn. No.0 HANSEN J.B., GIBSON R.E. (949)

27 Undrined sher strength of nisotropiclly consolidted clys, Geotechnique, V, Nr 3 str HVORSLEV M. (937) Űber die Festigkeitseigenschfen gestőrtet bindiger Bőden. Ingenieursvidenskbelige Skrifter, A.45, Kobennhvn ISTOMINA W.S. (957) Filtrcjonnj ustojczivost gruntov., Moskw IZBICKI R.J., MRÓZ Z. (976) Metody nośności grnicznej w mechnice gruntów i skł, Wrszw PWN, JAEGER J.C., COOK N.G.W. (969) Fundmentls of Rock Mechnics, London: Methuen. KISIEL I., DMITRUK S., LYSIK B. (969) Zrys reologii gruntów. Nosność i stteczność gruntów. Wydwnictwo Arkdy. Wrszw. KISIEL I., DERSKI W., IZBICKI R.J., MRÓZ Z. (98) Mechnik skł i gruntów., Seri Mechnik Techniczn, tom VII, PWN, Wrszw KŐTTER F. (888) Űber ds Problem des Erddruckbestmmung., Dtsch. Phys.. Ges., Berlin H.7str. -0 Równni stnu grnicznego w ośrodkch rozdrobnionych, Zesz. Nuk. Polit. Wrocłw nr 05, Mtemtyk II, Wrocłw LYSIK B. (968) Mtemtyczn teori sprężystości, (rozdził w prcy zbiorowej Metody geometryczne w fizyce i technice ), WNT, LYSIK B. (969) Solution of limit stte equtions of grnulr medi, Zstosowni Mtemtyki, ŁYDŻBA D. (00) Zstosownie metody symptotycznej homogenizcji w mechnice gruntów i skł, (Rozprw hbilitcyjn), Oficyn Wydwnicz Politechniki Wrocłwskiej. MRÓZ Z., DRESCHER A. (97) Podstwy teorii plstyczności ośrodków rozdrobnionych, Wrocłw, Ossolineum, SAWCZUK A., IZBICKI R.I. (984) Podstwy Mechniki Ośrodków Plstycznych, Wydwnictwo Politechniki Wrocłwskiej, Wrocłw SAWICKI A. (994) Mechnik Kontinuum, Wydwnictwo IBW PAN, Gdńsk SKEMPTON A.W. (96) Effective stress in soils, concrete nd rocks., Pore Pressure Conf., London, Butterworths, str 7-8 SOKOŁOWSKI W.W. (958) Sttyk ośrodków sypkich. PWN, Wrszw, (tłum. z rosyjskiego) STILGER-SZYDŁO E. (005) Posdowienie budowli infrstruktury trnsportu lądowego, DWE, Wrocłw, STROGONOV A.S. (958) Plne plstik deformtion of sols, Brussels Conf., STROGONOV A.S. (96) Plstyczne zgdnieni mechniki gruntów (j. Ros.), Mt. V ICOSOMEF, Moskw STROGONOV A.S. (965) Płskie zgdnienie plstycznych deformcji gruntów, (j. Ros.) Inż. J. An ZSRR, Nr 5, STROGONOV A.S. (967) Niektóre problemy plstyczności gruntów, Ossolineum, Wrocłw Wrszw - Krków, STRZELECKI T. (red.), AURIAULT J.L., BAUER J., KOSTECKI S., PUŁA W. (996) Mechnik ośrodków niejednorodnych, Teori homogenizcji. Wydwnictwo DWE Wrocłw, STRZELECKI T., KOSTECKI S., ŻAK S. (008)

28 Modelownie przepływów przez ośrodki porowte, Dolnośląskie Wydwnictwo Edukcyjne. SZEFER G., (980) Non liner problems of consolidtion theory. Mt. III konferencji Frncusko Polskiej, -4 kwietni 980 WIŁUN Z. STARZEWSKI K. (97) Soil Mechnics i Foundtion Engineering. Vol. I nd II London, Intertext Books, 97 WIŁUN Z. (000) Zrys Geotechniki, WKiŁ, Wrszw 000 Progrmy komputerowe Flex PDE 6, (009), Ver. 6, PDE Solutions Inc.