CHARAKTERYSTYKA PARAMETRÓW DYNAMICZNYCH GRUNTU SOIL PARAMETERS IN DYNAMICS ANALYSIS

Transkrypt

1 BOGUMIŁ WRANA CHARAKTERYSTYKA PARAMETRÓW DYNAMICZNYCH GRUNTU SOI PARAMETERS IN DYNAMICS ANAYSIS Streszczenie W rtykule przedstwiono zgdnieni doboru prmetrów dynmicznych gruntu, które przyjmowne są w obliczenich komputerowych. Rozwżne są dw główne prmetry: moduł odksztłceni postciowego gruntu G orz prmetr tłumieni D przy obciążenich cyklicznych (hrmonicznie zmiennych). Słow kluczowe: dynmik gruntów, tłumienie, moduł odksztłceni postciowego gruntu w dynmice Abstrct In this pper the prmeters of soil in dynmic nlysis re presented. Considered two min prmeters: soil stiffness G s well s prmeter of dmping D t cyclic lods. Article gives stte of rt of different definitions of these prmeters nd presents min FEM systems, which re used to dynmic clcultion of soil. Keywords: soil dynmic, dmping, soil stiffness in dynmic nlysis Dr hb. inż. Bogumił Wrn, prof. PK, Instytut Mechniki Budowli, Wydził Inżynierii ądowej, Politechnik Krkowsk.

2 Chrkterystyk obciążeń dynmicznych przekzywnych n grunt Czs, w którym poziom nprężeń i odksztłceń w gruncie zmieni się pod wpływem dziłni obciążeni możn nzwć czsem dziłni obciążeni. Chrkterystyk zmienności obciążeni w czsie może być różn od brdzo szybkich zmin po zminy wolne w czsie, szybkość i poziom mplitud tych zmin wywołują różne zminy w gruncie. N rysunku 1 przedstwiono ogólną chrkterystykę obciążeń dynmicznych dziłjących n grunt w zleżności od czsu dziłni i od szybkości zmin (częstotliwości zmin = liczby cykli zmin w jednostce czsu). Rys. 1. Klsyfikcj obciążeń dynmicznych dziłjących n grunt Fig. 1. Clsifiction of dynmic lods cting on soil W większości przypdków przyjmuje się występownie obciążeń cyklicznych (obciążeń hrmonicznych). Jednk tkie obciążeni jk wybuchy czy obciążeni udrowe nie możn zliczyć do obciążeń hrmonicznych i powinny być rozptrywne oddzielnie.. Chrkterystyk związków konstytutywnych przy obciążenich dynmicznych Obciążeni dynmiczne wywołują różny poziom odksztłceń w gruncie od brdzo młych (10-6 do 10-4 ), dl których przyjmuje się liniowe związki konstytutywne, do dużych odksztłceń (10 - do 10-1 ), dl których przyjmowne są związki nieliniowe dużych odksztłceń (por. tb. 1).

3 Poziom mplitud odksztłceń Zjwisk Chrkterystyk związków konstytutywnych Chrkterystyk związków konstytutywnych młe propgcj fli, drgni lepkosprężyste średnie pęknięci, zmienne osidni lepkosprężysto- -plstyczne 197 Tbel duże poślizgi, zgęszczenie, upłynnienie zminy w czsie spękń, uplstycznień i poślizgów 3. Typy obciążeń cyklicznych 3.1. Propgcj fli ciśnieniowej W czsie obciążeń dynmicznych zmieniją się w gruncie nprężeni normlne poziome i pionowe. Stosunek nprężeń poziomych dynmicznych do pionowych w zgdnieniu propgcji fli ciśnieniowej wynosi σdh ν = = 1 ng o C l (1) σdv 1 ν gdzie: n porowtość, G o moduł ścinni, C l ściśliwość wody. Kąt między nprężenimi σ dh, σ dv nprężenimi głównymi σ 1, σ 3 w płskim stnie odksztłceni wynosi (por. rys. ) d tn β = () σ σ dv dh Rys.. Skłdowe nprężeń dziłjących n element gruntu Fig.. Component of stresses cting on soil element 3.. Obciążenie dynmiczne od poruszjących się pojzdów Rozwżny jest problem Boussinesqu poruszjącej się siły wzdłuż grnicy półprzestrzeni sprężystej (por. rys. 3). Poszczególne skłdowe nprężeń wynoszą

4 198 σ dv = po π [ σ + sin θ cos( θ + θ )] o o 1 (3) σ dh = po π [ σ sin θ cos( θ + θ )] o o 1 (3b) gdzie: = θ +. θ o 1 θ d = po sin θo cos π ( θ + θ ) 1 (3c) Rys. 3. Problem Boussinesqu dl obciążeń poruszjących się Fig. 3. Uniform lods on n elstic hlf-spce Kąt między nprężenimi σ dh, σ dv, nprężenimi głównymi σ 1, σ 3 wynosi d tn β = = tn( θ1 + θ ) (4) σdv σdh Ścieżki nprężeń w gruncie dl obciążeni sejsmicznego, rozchodzeni się fli ciśnieniowej i obciążeni komunikcyjnego przedstwiono n rys. 4. Rys. 4. Ścieżki nprężeń dl obciążeni: ) sejsmicznego, b) fli ciśnieniowej, c) komunikcyjnego Fig. 4. Chrcteristic chnges in two sher stress components in three typicl dynmic loding conditions: ) erthquke, b) wve, c) trffic

5 Promień wodzący wynosi odpowiednio 199 π z σd1 σd 3 π z = po e w przypdku fli ciśnieniowej, (5) σd1 σd 3 po = sin θo π w przypdku obciążeni komunikcyjnego. (5b) 4. Tłumienie w modelch liniowych Rozwżn jest zmienność w czsie nprężeń stycznych w postci funkcji hrmonicznej (cyklicznej) iωt ( t) = sin ωt lub ( t) = e (6) gdzie: ω częstość kołow drgń cząstki gruntu, mplitud nprężeń stycznych. Odksztłceni postciowe pojwiją się z przesunięciem o kąt fzowy δ ( t) = sin( ωt δ) lub i(ω δ) ( t) = e (7) Stosunek nprężeń i odksztłceń wynosi ( t) = ( t) e iδ = (cosδ + i sin δ) (8) Przyjęto oznczeni (por. rys. 5) stąd (8) zpiszemy μ = cosδ, μ' = sin δ = μ + i μ orz = μ (9) (10) Wprowdz się mirę utrty energii w czsie jednego cyklu obciążeń dynmicznych o częstości ω jko (por. rys. 5) lub η = μ' = tnδ prmetr zwny współczynnik tłumieni histerezą (11) μ nprezeni scinjce przy zerowych odksztlcenich η = (11b) nprezeni scinjce przy mksymlnych odksztlcenich

6 00 lub η 1 ΔW D = = 4π W (11c) Rys. 5. Tłumienie histerezą Fig. 5. Definition of loss coefficient Ścieżkę nprężeni-odksztłceni w czsie tłumieni histerezą możn zpisć w postci pochylonej elipsy (por. rys. 6) cosδ + sin δ = 0 (1) Rys. 6. Tłumienie w modelu wiskotycznym, rozkłd n część sprężystą i tłumienie Fig. 6. Decomposition of the viscoelstic model into elstic nd viscous components Zjwisko tłumieni histerezą możn opisć z pomocą prostych modeli liniowo lepkosprężystych: Kelvin równoległego połączeni sprężyny o prmetrze G i tłumik o prmetrze G' orz Mxwell połączeni szeregowego tych elementów (por. rys. 7). W modelu Kelvin nprężeni styczne wynoszą d = G + G' (13) dt gdzie przy stłym poziomie nprężeń = o, cłkując obustronnie (13), otrzymujemy klsyczne równnie pełzni: (1 e t / o t = ), gdzie t = G' / G jest czsem retrdcji. Z równni (13) otrzymmy prmetr G tłumieni

7 η = W modelu Mxwell nprężeni styczne wynoszą 01 G' ω tn δ = = tω (14) G d 1 d = + dt G' G dt (15) gdzie przy stłym poziomie odksztłceń = o, cłkując obustronnie (15), otrzymujemy t klsyczne równnie relkscji: = Ge t/ o, gdzie t = G' / G jest czsem relkscji. Z równni (15) otrzymmy prmetr tłumieni G 1 η = tn δ = = (16) G' ω tω Zuwżymy, że w modelu Kelvin przy wzroście częstości ω wzrst wrtość tłumieni η, w modelu Mxwell przy wzroście częstości ω mleje wrtość tłumieni η. Rys. 7. Współczynnik tłumieni η w zleżności od częstości kołowej ω Fig. 7. oss coefficients of two models s functions of frequency ω 5. Tłumienie w modelch nieliniowych Nieliniowe równnie konstytutywne w opisie zchowni się gruntu pod obciążeniem dynmicznym, w którym ścieżk obciążeni i odciążeni nie pokryw się, powstje dyssypcj energii w postci pętli histerezy. Njczęściej są to corz większe pętle (por. rys. 8). Ksztłt pętli histerezy opisywny jest przez trzy równni (por. rys. 8b) ) = f () równnie szkieletu (17) b) = f równnie odciążeni (17b)

8 0 + + c) = f równnie obciążeni (17c) Sieczny moduł ścinni G określny jest n podstwie równni szkieletu przy odksztłcenich postciowych = dg( ) G( ) = G( ) + (18) d Współczynnik tłumieni histerezą jest określony zgodnie z definicją (11c), gdzie W 1 = ( ) f energi sprężyst (19) Δ = W 8 f ( ) d W dyssypcj energii, zgodnie z [1] (19b) 0 Wprowdzjąc górną grnicę nprężeń stycznych mx, możn podć tzw. odksztłcenie referencyjne r jko r = (0) Go ) b) c) mx Rys. 8. Tłumienie w modelch nieliniowych: ) pętle histerezy, b) opis głęzi pętli, c) energi dyssypown Fig. 8. Definition of elstic stored energy nd dissiption of energy Ishihr [1,, 3] zproponowł równnie konstytutywne w postci krzywej hiperbolicznej 1 = r 1 (1) 1 / f Opis zminy modułu ścinni G w zleżności od ktulnych odksztłceń postciowych wynosi

9 03 G = = G o 1 1+ / r () Bdni wskzują, że moduł ścinni zleży też od wskźnik porowtości i nprężeń średnich (,97 e) np. G = 36 ( σ' m ) (3) 1+ e Podobnie możn zpisć zminy współczynnik tłumieni w zleżności od odksztłceń postciowych / r η = ηo (4) 1+ / Mksymlną wrtość modułu ścinni G o określ się n podstwie pomirów prędkości fli poprzecznej V s G = ρ (5) lub o V s Korzystjąc z () i (4), współczynnik tłumieni D zpiszemy jko (por. rys. 9) r 4 1 ln(1 + / r ) D = 1+ 1 (por. rys. 9) (6) π / r / r π D 4 1 G / G o G 4 = 1 + ln π 1 G / Go 1 G / Go Go π (por. rys. 9b) (6b) ) b) Rys. 9. Moduł ścinni i współczynnik tłumieni w postci krzywych hiperbolicznych Fig. 9. Sher modulus rtio nd dmping rtio for hyperbolic model

10 04 Wykonno bdnie odksztłceń postciowych do 0,03% ( ) w kolumnie rezonnsowej orz do 0,01% ( ) w prcie obrotowego ścinni [1]. Wykresy zmin modułu ścinni pokrywją się dl obu prtów w zkresie odksztłceń do (por. rys. 10), ntomist wykresy tłumieni dl obu prtów nie pokrywją się (por. rys. 10b). Wykresy przedstwione n rys. 10 wskzują, że njwiększe nieliniowości wykresu nprężeni odksztłceni występują w zkresie młych odksztłceń, ntomist njwiększe nieliniowości wykresu tłumieni odksztłcenie występują w zkresie średnich odksztłceń. Doświdczeni w nlizch wpływów sejsmicznych wskzują, że njwiększe zminy w gruncie zchodzą w zkresie młych i średnich odksztłceń przy przyspieszenich sejsmicznych do 0, g. Rys. 10. Wyniki bdń lbortoryjnych pisku Toyour [3] w zleżności od wielkości odksztłceń postciowych: ) wykres zminy G/G o, b) wykres zminy tłumieni D Fig. 10. Normlized sher modulus nd dmping versus sher strin for Toyour snd [3] 6. Modele prmetrów G i D przyjmowne w systemch MES Model liniowy Dopsownie krzywej histerezy do wyników z bdń opier się n wrtościch modułu stycznego G o i modułu siecznego G. Model liniowy opisny jest przez wrtości średnie [4, 6] δ ( ) = ( o ) ( ) zmin nprężeń stycznych (7) d( δ( )) δg( ) = G( o ) G( ) = d zmin modułu ścinni (7b) Modele powyższe stosowne są w systemch MES SHAKE i FUSH rozwijnych w University of Cliforni Berkeley w USA orz w systemie DYNEQ rozwijnym przez Sto Kogo Engineering Reserch Institute w Jponi. Model nieliniowy Msing Model nieliniowy Msing poleg n identyfikcji równni krzywej szkieletu = f () zgodnie z równniem (17), nstępnie zstosownie tej krzywej do równni odciążeni (17b) i obciążeni (17c) [5].

11 Rozwżne są tu dw podejści opisu znormlizownych krzywych dl młych i średnich odksztłceń (por. rys. 11) model 1 y gdzie: y = znormlizowne nprężeni styczne, grniczne nprężeni styczne, x = Go znormlizowne odksztłceni postciowe, odksztłceni grniczne, α = x 1 prmetr, ( x 1) + πd x R = ( x 1) πd x prmetr, x Go D = grniczn wrtość x, < 1 1 π x 3 05 R = x αy (8) wrtość współczynnik tłumieni histerezą przy model y )] R = x αx[ln( 1+ x (9) gdzie: c(1 x )ln(1 + x ) R =, x ( x 1) x 1 α =, R x[ln(1 + x )] c wrtość y dl c, x R (1 α[ln(1 + x )] xdx 0 D = 1 współczynnik tłumieni wg modelu Msing R 1 α[ln(1 + x )] x orz ( x 1) x 1 1 D < 1 + π x ln(1 + x ) x x

12 06 ) b) Rys. 11. Model nieliniowy Msing: ) wrtości grniczne, b) porównnie dwóch równń Fig. 11. Nonliner Msing model: ) bounding vlues, b) comprison of two models ) b) Rys. 1. Porównnie modeli obliczeniowych z wynikmi bdń: ) σ = 49 kp, G o = 95 MP, x = 4,6, y = 0,16%, c = 0,87, D = 0,4; b) σ ' o =180 kp, G o = 80 MP, x = 3,7, y = 0,38%, c = 0,58, D = 0,17 Fig. 1. Comprison of numericl models with in-situ results: ) σ = 49 kp, G o = 95 MP, x = 4,6, y = 0,16%, c = 0,87, D = 0,4; b) σ ' o =180 kp, G o = 80 MP, x = 3,7, y = 0,38%, c = 0,58, D = 0,17 Rozwiązywnie zdń dynmiki obszru gruntu w dużych systemch MES Porównno sposób rozwiązywni zdń dynmiki w obszrze gruntu przez nstępujące systemy MES (ptrz tb. ): o ' o '

13 07 ASKA rozwijny w zespole prof. Argyris, FUSH rozwijny przez zespół: J. ysmer, T. Udk, H.B. Seed, C-F. Tsi, QUAD-4 rozwijny przez zespół: I.M. Idriss, J. ysmer, R. Hwng, H.B. Seed, NODA rozwijny przez zespół: Bb, Wtnbe, Sto, DYSAC rozwijny przez zespół: K.K. Murleethrn, K.D. Yogchndrn [7], DIANA-SWANDYNE II rozwijny przez zespół: O.C Zienkiewicz, A.H.C. Chn [9]. N rysunku 13 przedstwiono porównnie modeli tłumieni, gdzie h jest mplitudą przemieszczeń w kolejnych cyklch. System Metod nlizy Porównnie systemów MES Cłkownie równni ruchu Metod cłkowni ASKA modln w czsie modln Tłumienie wiskotyczn e dl kżdej postci tłumienie zespolone Tbel Zleżność od częstości FUSH zespolon odpowiedź w częstościch modln nie QUAD-4 w czsie w czsie wilson ryleigh od dwóch oddzielnie NODA w czsie w czsie newmrk dl kżdego nie elementu DYSAC w czsie w czsie DIANA- SWANDYNE II hilbert_huges_ Tylor α metod w czsie w czsie Newmrk model powierzchni grnicznej rys. 14 model uogólnionej pstycznośc i, rys. 15 W systemie DIANA-SWANDYNE II zstosowno uogólnioną plstyczność zproponowną przez Pstor i Zienkiewicz [8, 9] (por rys. 15). Potencjł plstyczny określony jest równniem α 1 p g = q M g p (30) α pg gdzie p g jest odciętą, w której powyższ funkcj przecin oś p. tk nie nie

14 08 Rys. 13. Modele tłumieni Fig. 13. Dmping models Rys. 14. Model grnicznej powierzchni plstyczności w systemie DYSAC Fig. 14. Bounding surfce in FEM system DYSAC Powierzchni plstyczności opisn jest podobnym równniem α 1 p f = q M f p (31) α pg gdzie n ogół M M. f g Stosunek M / M zleży od stopni zgęszczeni I D. f g

15 ) b) 09 Rys. 15. Powierzchni plstyczności i potencjł plstyczny: ) pisek luźny, b) pisek zgęszczony Fig. 15. Plstic potentil nd yield surfce for ) lost snds, b) dense snds 7. Wnioski i uwgi końcowe W rtykule przedstwiono zgdnienie modelowni prmetrów dynmicznych gruntu. Rozwżno obciążenie dynmiczne cykliczne, hrmonicznie zmienne w czsie. Przedstwiono problemy doboru dwóch głównych prmetrów: modułu odksztłceni postciowego w dynmice G orz modele prmetru tłumieni D w ośrodku gruntowym. Dobór prmetrów G i D zleży od poziomu mplitud odksztłceń i tk: 1. W zkresie młych odksztłceń przyjmowne są liniowe modele konstytutywne wrz ze stłymi prmetrmi G i D określnymi w rmch modeli lepkosprężystych Kelvin lub Mxwell.. W przypdku średnich odksztłceń przyjmowne są nieliniowe modele konstytutywne wrz ze zmiennymi prmetrmi G i D zleżnymi od poziomu ktulnych odksztłceń. Stosowne są tu modele lepkosprężysto-plstyczne. Obecnie do określni prmetrów G i D, njczęściej stosowny jest model nieliniowy Msing (8), (9). itertur [1] Ishihr K., Soil Behviour in Erthquke Geotechnics, Clrendon Press, Oxford, 003. [] Vermeer P.A., A double hrdening model for snd, Geotechnique, 8, 1978, [3] Ttsuok F., Iwski T., Hysteretic dmping of snds under cyclic loding nd its reltion to sher modulus, Soils Foundtions, 18(), 1978, [4] P i z r i n A.M., S h i r n A., Effects of the constitutive reltionship on seismic response of soils, Prt I, Constitutive modeling of cyclic behvior of soils, Soil Dynmics nd Erthquke Engineering, 19, 000, [5] I s h i h r K., T o w h t I., Dynmic response nlysis of level ground bsed on the effective stress method, [in:] P n d e G.N., Z i e n k i e w i c z O.C. ed., Soil mechnics trnsient nd cyclic lodings, Wiley, New York 198,

16 10 [6] Nozomu Yoshid, Stoshi Kobyshi, Iwo Suetomi, Kiny Miur, Equivlent liner method considering frequency dependent chrcteristics of stiffness nd dmping, Soil Dynmics nd Erthquke Engineering,, 00, 05-. [7] Murleethrn K.K., Mish K.D., Yogchndrn C., Arulnndn K., User s mnul for DYSAC (Version 7.0): Dynmic soil nlysis code for -dimensionl problems. Technicl Report, School Of Civil Engineering nd Environmentl Science, University of Oklhom, Normn, OK, [8] Zienkiewicz O.C., Mróz Z., Generlized Plsticity formultion nd ppliction to Geomechnics, Mech. Eng. Mter. Desi C.S., G l l g e r R.H. (eds.), Ch. 33, John Wiley nd Sons, 1985, [9] Z i e n k i e w i c z O.C., C h n A.H.C., P s t o r M., S c h r e f l e r B.A., S h i o m i T., Computtionl Geomechnics with reference to Erthquke Engineering, John Wiley & Sons, 000.