12. STAN GRANICZNY W MECHANICE OŚRODKÓW POROWATYCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "12. STAN GRANICZNY W MECHANICE OŚRODKÓW POROWATYCH"

Transkrypt

1 1. STAN GRANICZNY W MECHANICE OŚRODKÓW POROWATYCH Tomasz Strzelecki 1.1 Modele matematyczne stanu granicznego. W większości zagadnień związanych z powstaniem w ośrodkach porowatych, w tym w gruncie lub skale, granicznego stanu równowagi, uwzględnienie rzeczywistej zależności naprężenie - odkształcenie przed wystąpieniem stanu granicznego jest pod względem matematycznym skomplikowane. W mechanice gruntów stan graniczny występuje w gruncie, gdy następuje przekroczenie wytrzymałości gruntu na ścinanie. Inaczej jest w przypadku mechaniki skał lub innych porowatych ośrodków stosowanych np. w budownictwie np. w przypadku betonów, cegieł itp. W niniejszym rozdziale zostaną omówione bardziej szczegółowo modele stosowane w mechanice gruntów. Najprostszym modelem w mechanice gruntów jest zastępczy model wytrzymałościowy gruntu, określany, jako model ciała sztywno-plastycznego. W modelu tym całkowicie pomija się odkształcenia lepko-sprężyste ośrodka. Przy wprowadzeniu takiego modelu ośrodek porowaty w przypadku ścinania przy naprężeniach stycznych mniejszych od pewnej granicznej wartości τ gr zachowuje się jak ciało sztywne, nie wykazując żadnych odkształceń. Po osiągnięciu wartości granicznej τ gr następuje nieograniczony wzrost odkształcenia przy stałym naprężeniu. Z chwilą zdjęcia obciążenia, całkowite odkształcenie, jakiego doznał grunt od chwili odciążenia pozostaje w nim, jako odkształcenie trwałe. W reologii gruntów istnieje szereg modeli uwzględniających odkształcenia lepko-sprężyste, lepko-sprężysto-plastyczne ośrodka gruntowego lub skały oraz efekty wzmocnienia lub osłabienia. Możemy wyliczyć kilka z nich: a) model materiału sprężysto plastycznego, b) modele lepko-sprężysto-plastyczne, c) modele ciała nieliniowo sprężystego (dla procesów, w których nie występuje odciążenie), d) modele ciała sprężysto- plastycznego ze wzmocnieniem lub osłabieniem, e) modele ciała sprężysto lepko plastycznego, f) modele ciała lepko sprężystego lepko plastycznego Model Coulomba dla ośrodków gruntowych. Dla określenia granicznego oporu stosowany był w początkowym okresie mechaniki gruntów warunek wytrzymałościowy [Coulomb a, 1773] wyrażone wg [Kisiela i innych, 1969, 198 i Szczepańskiego, 1974] liniową zależnością w postaci: τ tg gr = σ n φ + c, (1.1) gdzie: 1

2 τ gr - graniczny opór ścinania, σ n - naprężenie normalne panujące w płaszczyźnie ścięcia (ujemne przy ściskaniu), φ - kąt tarcia wewnętrznego, c - kohezja lub spójność. Kąt tarcia i spójność są stałymi materiałowymi. Ich graficzną prezentację będącą interpretacją równania (1.) przedstawiono na rys Przyjmując założenie, że związek Coulomb a wynika przede wszystkim z procesu tarcia, a doświadczenia wykazują, że prawo tarcia jest nieliniowe [Jaeger, Cook, 1969], proponuję dla małych wielkości naprężeń normalnych do powierzchni poślizgu przyjmować liniowe prawo Coulomb a, natomiast dla dużych wartości tych naprężeń prawo nieliniowe w postaci: m c gr n τ = µσ +, (1.3) gdzie m zawiera się w przedziale / 3 m 1. Rys. 1.1 Wizualizacja prawa Coulomba. Rozwój badań teoretycznych i doświadczalnych prowadzonych przez [Hvorsleva, 1937] doprowadził do innej postaci prawa Coulomba uwzględniającego ciśnienie porowe w przestrzeniach pomiędzy cząstkami lub ziarnami gruntu, nazywanego za Kisielem [Kisiel, 198] prawem Coulomba Hvorslev a w postaci: ( ) τ gr = σ n + σ tgφ + c, (1.4) gdzie σ oznacza naprężenie w cieczy wynikające z oddziaływania cieczy na szkielet ośrodka gruntowego, określone przez Biota i omówione w poprzednich rozdziałach.

3 Oznaczając przez ef n n σ σ σ = + naprężenie efektywne normalne na powierzchni poślizgu równanie Coulomb a Hvorsllev a możemy zapisać w postaci: τ = σ φ +. (1.5) ef tg c gr n Wpływ ciśnienia porowego na odkształcalność gruntów była tematem wielu publikacji, między innymi przez Bishopa [Bishop, 1959, 1961], [Bishop i inni, 1960], Hansena i Gibsona [Hansen, Gibson, 1949], Skemptona [Skempton, 1961], czy Jaegera [Jaeger, 1969]. Przykładowo badania Jaegera [Jaeger, 1969] przeprowadzone na wapieniach, dotyczące wpływu wody na deformację próbek i na maksymalne ciśnienie przenoszone przez nie w stanie jednoosiowego ściskania dobrze obrazuje rys. 1.. Rys. 1. Wpływ naprężenia w cieczy wypełniającej pory na proces naprężenie-odkształcenie próbek wapiennych wg Jaegera (wg [Kisiela i innych 1969]). W przypadku gruntów, wzrost naprężenia w cieczy σ może doprowadzić do wzrostu objętości gruntu, a nawet do jego upłynnienia. Przeciętne wartości kątów tarcia wewnętrznego φ dla różnych gruntów zależą od stopnia ich zagęszczenia, natomiast wartości kohezji c zależą ponadto od wilgotności gruntu i od stopnia prekonsolidacji gruntu. Zależność kohezji od wilgotności gruntu jest wg. Bjerruma, Simonsa [Bjerrum i inni, 1960] (podajemy za Wiłunem i Starzewskim [Wiłun i inni, 197] ) liniowa, co przedstawiono na rys

4 Rys. 1.3 Aproksymacja spójności w zależności od wilgotności gruntów spoistych wg. Wiłuna i Starzewskiego [Wiłun i inni, 197]. Jak widać, wpływ fazy ciekłej lub gazowej na proces ścinania w gruntach objawia się w dwóch niezależnych płaszczyznach: bezpośredniego oddziaływania płynu na proces odkształcenie naprężenie poprzez działanie ciśnienia porowego i sił unoszenia filtracji oraz ma istotny wpływ na parametry wytrzymałościowe w gruncie Warunek wytrzymałościowy Coulomba-Mohra Warunek ten wynika bezpośrednio z analizy granicznych kół Mohra. Otóż zakłada się, że stan graniczny ośrodka rozdrobnionego lub zniszczenie porowatych materiałów skalnych określa równanie obwiedni kół Mohra i jest zależne od wielkości maksymalnego i minimalnego naprężenia głównego. Może być, zgodnie z pracą Kisiela [Kisiel i inni, 1969], określone zależnością: gdzie: więc po uwzględnieniu naprężenia w cieczy σ : gdzie σ1 > σ > σ3. p F q F p q = ( ) lub (, ) = 0, (1.6) p 1 oraz q 1 = ( σ 1 + σ 3 ) = ( σ 1 σ 3 ) (1.7) p 1 oraz q 1 = ( σ 1 + σ 3 ) σ = ( σ 1 σ 3 ), (1.8) F q Warunek ten w przypadku założenia o liniowości funkcji ( ) ma zgodnie z prawem Coulomba- Mohra następującą postać: 4

5 którą, można zapisać inaczej: q p c sin φ cos φ = 0, (1.9) 1 1 c ( σ 1 σ 3 ) + ( σ 1 + σ 3 ) sin φ cosφ = 0 (1.10) Uwzględniając naprężenia efektywne w gruncie równanie (1.10) ma następującą postać : 1 ( ) 1 c σ 1 σ [ 3 + ( σ 1 + σ 3 ) + σ ]sin φ cos φ = 0. (1.11) Przechodząc do konstrukcji liniowej obwiedni kół Mohra (rys. 1.5) widzimy, że równanie prostej stanowiącej liniowe obwiednie kół Mohra wyraża się związkiem (1.9). Rys. 1.4 Wizualizacja warunku Coulomba Mohra Inne znane z literatury warunki stanu granicznego Warunek Coulomba, zarówno dla przypadku ośrodków nawodnionych, jak również ośrodków określanych jako suche, nie jest jedyną propozycją warunku stanu granicznego, chociaż, trzeba to zaznaczyć, że w mechanice gruntów i skał jest najczęściej stosowany do rozwiązania konkretnych zagadnień inżynierskich. Przechodząc do szczególnych przypadków nieliniowego warunku Mohra, można wyrazić równanie opisujące obwiednię kół w sposób następujący: σ ef a b n = τ, (1.1) 5

6 n n gdzie 1, a - określa wytrzymałość na rozciąganie hydrostatyczne, natomiast wielkość / ef jest wartością naprężeń ścinających, gdy σ = 0. Szczególnym przypadkiem jest paraboliczny warunek stanu granicznego, który wg prac Jaegera i Cooka [Jaeger i inni, 1969], i Parate a [Parate, 1969], dobrze odwzorowuje wyniki doświadczeń dla gruntów i skał pod działaniem dużych naprężeń. Interesująca propozycję warunku stanu granicznego wprowadził Stroganov, który opublikował szereg prac doświadczalnych i teoretycznych [Stroganov, 1958, 1961, 1965, 1967] w zakresie stanów granicznych gruntów. Stroganov [Stroganov, 1967] uważa, że zachowanie się gruntu w stanie plastycznym opisuje układ niezmienniczych związków fizycznych: gdzie: τ = σ 0 0 G pl tg Ψ σ 0 G tg γ, pl Ψ + γ σ 0 σ = λγ, γ 0 0 = χγ, d a (1.13) 3 1 okt τ = τ = ( σ11 σ ) + ( σ σ33 ) + ( σ33 σ11) + 6( σ1 + σ3 + σ31), (1.14) ok natomiast τ określa naprężenie styczne do powierzchni oktaedrycznej w układzie głównych osi naprężeń oraz: γ γ okt = = 1 γ γ + γ γ + γ γ + γ + γ + γ ( + ν ) ( + ν ) ( 11 ) ( 33 ) ( ) ( ) (1.15), ok γ - odkształcenie oktaedryczne w układzie głównych osi odkształceń (zakłada się przy tym, że układ głównych osi odkształceń pokrywa się z układem głównych osi naprężeń), σ σ ij i i γ - składowe naprężenia i odkształcenia w dowolnym układzie ortokartezjańskim, i 0 0 γ - naprężenie i odkształcenie średnie, d γ 0 - odkształcenie objętościowe zależne od ściśliwości szkieletu, χ - współczynnik dylatacji Stroganowa, 6

7 ν λ G p tg Ψ - współczynnik Poissonna, - współczynnik doświadczalny Straganowa, - początkowy moduł plastyczności, - współczynnik tarcia wewnętrznego na płaszczyźnie oktaedrycznej. W przypadku ciała sztywno plastycznego 0 G pl / σ warunek Stroganova ma identyczną postać jak warunek Hubera-Schleichera [Kisiel i inni, 198]. Z badań Stroganova wynika ponadto, że ośrodki sypkie np. piaski spełniają z dużą dokładnością warunek Hubera-Schleichera wyrażony związkiem: p tg = +. (1.16) ( ) n τ σ0 ψ Różnica pomiędzy powyższym warunkiem stanu granicznego a warunkiem Coulomb a Mohra. polega na tym, że warunek ten jest niezmienniczy, więc nie zależy od stanu naprężenia. Inaczej ma się sprawa z warunkiem Coulomb a i - Mohra. Porównując obydwa warunki, możemy znaleźć zależność pomiędzy kątem ψ ϕ dla różnych przypadków stanu naprężenia: o dla przypadku osiowego ściskania: tg ψ = sinϕ 3 1 sinϕ ; (1.17) o dla prostego ścinania: tg ψ = sin ϕ ; (1.18) o dla przypadku osiowego rozciągania: tg ψ = sinϕ 3 1+ sinϕ. (1.19) Powyższe formuły pozwalają określić zależność kąta tarcia wewnętrznego od stanu naprężenia (ψ nie zależy od stanu naprężenia) co zobrazowano na rys

8 Rys. 1.5 Związek pomiędzy ψ i kątem tarcia wewnętrznego wg. Stroganowa (f kąt tarcia wewnętrznegoϕ, arctgpsi - arctg(ψ )) [wg. Strzeleckiego i inni, 008]. Do innych znanych w literaturze warunków należy wymienić: warunek Misesa - Schleichera, warunek Treski uogólniony później przez Druckera; są one opisane szczegółowo w pracach [Izbickiego, 1976], [Kisiela i inni, 198], [Mroza, Drescher a, 197], [Sawczuka, Izbickiego, 1984]. Do propozycji często cytowanych w literaturze, choć nieznajdujących do dzisiaj szerszego zastosowania w praktyce inżynierskiej, zaliczyć można warunek Hubera Schleichera, który uwzględniając definicje niezmienników stanu naprężenia można zapisać w postaci: n I 1 I k α =, (1.0) ( ) 1 gdzie I 1 i I są dwoma niezmiennikami stanu naprężenia, a α i k są stałymi materiałowymi, przy n czym 1. Graficznie powierzchnia k graniczna jest paraboloidą obrotową n-tego stopnia o wierzchołku w punkcie σ 1 = σ = σ 3 =. W pracy Kisiela, Izbickiego i Mroza [Kisiel i inni, 198] pokazano, że α istnieje k przejście graniczne, dla przypadku płaskiego stanu c odkształcenia, przy powiązaniu stałych α i z kątem tarcia wewnętrznego ϕ i spójnością : k c =, sinϕ = ( 1 1α ) ( 1 3α ) n n oraz dla = 1, do warunku Coulomba wg. Mroza [Kisiel i inni, 198]. Podobnie dla się warunek paraboliczny. 3 (1.1) = uzyskuje 8

9 1. Sformułowanie zagadnienia stanu granicznego 1..1 Statyka stanu granicznego Po raz pierwszy zagadnieniem sformułowania równań stanu granicznego zajął się [Kötter, 1888] dla przypadku zagadnienia płaskiego ośrodka sypkiego. Obejmuje ono: o równania równowagi w przypadku płaskiego stanu odkształcenia: σ11x σ1 + x = 0, 1 σ1x σ + x+ ρ1 = 0, 1 (1.) gdzie ρ1 są składową sił masowych, o warunek stanu granicznego Coulomba, który dla przypadku braku spójności ma postać: tg =. (1.3) gr n τ σ ϕ Brak spójności nie ma istotnego wpływu na ogólność przeprowadzonych poniżej przekształceń, gdyż w każdym momencie możemy uogólnić rozważania wprowadzając pojęcie wstępnego sprężenia ośrodka wyrażonego wzorem: p n cctg ϕ =, (1.4) więc, warunek Coulomba można wyrazić wzorem: p tg = +. (1.5) ( ) gr n n τ σ ϕ W ogólnym przypadku warunek 1.4 może mieć postać funkcji: τ g ( σ ) gr n =. (1.6) Wprowadzając wielkości bezwymiarowe naprężeń: p gr τ n σ p n τ = ; σ = ; =. (1.7) a a a σ σ σ Warunek stanu granicznego można przedstawić w postaci: 9

10 g τ = ( σ ), (1.8) gdzie w przypadku warunku granicznego Coulomba mamy: g tg σ = σ ϕ ( ) (1.9) lub w przypadku, gdy uwzględniamy spójność: g σ = σ + p tg ϕ ( ) ( ). (1.30) Zgodnie z pracą Kisiela [Kisiel i inni, 198] położenie linii, wzdłuż których następuje poślizg (linii poślizgu) jest określone zależnościami kątowymi względem naprężeń głównych i zależy ono od wielkości kąta tarcia wewnętrznego. Wprowadźmy kąt ψ pomiędzy kierunkiem naprężenia głównego σ 1 a liniami poślizgu 1 s i s kąta tarcia wewnętrznego ϕ wzorem:. Zgodnie z oznaczeniami rys. 1.6 możemy kąt ψ wyrazić przy pomocy Rys Oznaczenie kierunków linii poślizgu w stanie granicznym (wg. [Kisiel i inni, 198]). π ϕ ψ =. (1.31) 4 W przypadku gruntu idealnie spoistego (kąt tarcia wewnętrznego równa się zero) ψ = π /. Jak widać kąt tarcia wewnętrznego, a zatem i kąt pomiędzy liniami poślizgu ψ zależy od g funkcji ( σ) w dowolnym punkcie obszaru i można go obliczyć ze wzoru: dg tg ( σ ) ( ϕ) = = σ g '( σ ) d. (1.3) 10

11 Na podstawie wzoru 1.31 i korzystając z zależności trygonometrycznych dla liniowego prawa Coulomba można zapisać: g sin ϕ = ' 1 g ; cosϕ = g. 1 + ' 1 + ' (1.33) Na podstawie wzorów (1.7) mamy: ( + ) ( ) σ 1 σ σ 1 σ sinϕ a σ σ =, a σ τ = ( σ σ ) 1 cos ϕ. (1.34) A następnie uwzględniając związki pomiędzy naprężeniami głównymi σ 1 i σ oraz naprężeniami σ 11, σ i σ 1, σ i τ możemy dla przypadku płaskiego stanu naprężenia zapisać je w postaci: σ 1 1 ( σ σ ) ( σ σ ) σ σ 1 1 ( σ σ ) ( σ σ ) σ 1 = = (1.35) Podstawiając związki (1.34) dostajemy: sin , a σ σ = ( σ + σ ) ϕ ( σ σ ) + σ 1 a cos σ τ = ϕ ( σ11 σ ) + 4 σ1. (1.36) Równania stanu granicznego sprowadzają się ostatecznie do układu równań : σ11 x σ1 + x+ γ 01 = 0 1 σ1 x σ + x + γ 0 = 0 1 4σ g σ + σ sinϕ σ σ σ σ σ σ cos ϕ σ σ a = a a 1 11 ( ) ( ) i (1.37) gdzie γ01 γ 0 oznaczają składowe ciężaru objętościowego szkieletu z uwzględnieniem wyporu wody. 11

12 Korzystając z zależności geometrycznych dla linii poślizgu można wyrazić bezwymiarowe naprężenia σ11, σ i σ1 w zależności od naprężenia σ oraz kąta β nachylenia naprężenia σ 1 x do osi 1 w postaci: σ σ σ σ 11 a a g = σ + ϕ + β cosϕ g = σ + ϕ β cosϕ g σ1 ( σ ) = sin β a σ cosϕ ( σ ) tg [ cos ] ( σ ) tg [ cos ] Uwzględniając związki (1.36) w zależnościach (1.38) można je zapisać w postaci: σ11 g g σ ( σ ) g = + '( σ ) + cos β 1 + ' ( σ ) a σ σ g g σ ( σ ) g = + '( σ ) cos β 1 + ' ( σ ) a σ σ g 1 g = ( σ ) 1 + ' ( σ ) sin β a σ g '' σ = 0 Biorąc pod uwagę, że dla liniowego równania stanu granicznego ( ) (1.38) (1.39), równania równowagi nazywane równaniami Köttera można przedstawić zgodnie z pracą Kisiela [Kisiel 198] w postaci: σ ( x σ 1+ sinϕ cos β ) + sin x ϕ sin β + 1 p β β γ ( + ) x x + = σ σ sin x ϕ sin β + ( x 1 sinϕ cos β ) + 1 p β β γ + ( σ + ) ϕ x β + x β + ϕ = 01 σ sinϕ sin β cos β cos ϕ 0 a 1 σ 0 sin cos sin cos 0 a 1 σ (1.40) Równania Köttera można przedstawić w innej postaci stosując podstawienia: η = χ β ; ξ = χ + β (1.41) oraz 1

13 1 ln σ p ctg σ + χ = ϕ ; σ = σ a σ cos ϕ a (1.4) wyprowadzone przez Sokołowskiego [wg Kisiela 198] w przypadku liniowego warunku stanu granicznego (1.10) w postaci: 1 1 ( + ) ( + ) ( σ ) ( β ψ ) ( ) ( ) ( σ ) ( β ψ ) η tg cos 0 cos 01 sin x η ϕ γ β ψ γ β ψ + ( β ψ ) x= g = cos ξ tg cos 01 sin 0 cos x ξ ϕ γ β ψ γ β ψ + ( β ψ ) x= g = cos + 1 F F (1.43) F W przypadku, gdy pole sił objętościowych jest polem potencjalnym wynikającym z działania siły grawitacji i sił unoszenia filtracji cieczy przez pory ośrodka, układ równań stanu granicznego ma postać następującą: 1 σ 1 σ cosϕ γ 01 + f x sin ( β + ψ ) γ 0 + f x cos( β + ψ ) η tg η 1 + x ( β ψ ) x= g 1 ( σ ) cos( β ψ ) (1.44) 1 σ 1 σ cosϕ γ 01 + f x sin ( β ψ ) + γ 0 + f x cos( β ψ ) ξ tg ξ x ( β ψ ) x= g cos + 1 ( σ ) ( β ψ ) Układ równań równowagi obszaru w przypadku statyki stanu granicznego uzupełnia równanie przepływu filtracyjnego, które wg. pracy [Stilger Szydło, 005] dla przypadku przepływu ustalonego sprowadza się do postaci: σ = 0 (1.45) Postać równania przepływu jest nieco bardziej złożona i jest sprzężona z układem równań (1.43). Uwzględniając wyniki poprzednich rozważań z zakresu modelu Biota-Darcy ego równanie przepływu filtracyjnego powinno mieć postać: C H g 1 ( σ ) f σ + Rɺ σ = R ɺ λ (1.46) ii σ gdzie C,R,H to stałe modelu Biota-Darcy ego, λ ɺ współczynnik prawa płynięcia plastycznego. 1.. Kinematyka stanu granicznego. Podobnie jak w przypadku statyki stanu granicznego, przyjmijmy do rozważań model sztywno plastyczny ciała suchego. Kinematyka stanu granicznego określa związek fizyczny wiążący tensor naprężenia σ z tensorem prędkości odkształcenia εɺ i : 13

14 ɺ ij ε = ɺ λ G ( σ ) σ ij ij (1.47) gdzie w układzie Lagrange a tensor prędkości odkształcenia wyraża się: λ ɺ - oznacza dodatnią stałą v - oznacza składowe prędkości przemieszczenia v v 1 i j ɺ ij ε = x+ x j (1.48) i G ( σ ) ij - to potencjał plastyczności opisany równaniem: Jeżeli ψ G c σ = σ1 σ + σ1 + σ sinψ cosψ (1.49) ij ( ) ( ) ( ) G F = ϕ ij ij wówczas ( σ ) ( σ ) = i równanie (1.49) odpowiada stowarzyszonemu z warunkiem plastyczności prawu płynięcia. Gdy ψ < ϕ - równanie (1.49) jest niestowarzyszonym prawem płynięcia plastycznego, a ψ jest kątem dylatancji, określającym zmiany objętościowe ośrodka. Korzystając z prac Stilger-Szydło [Stilger Szydło, 005] i Izbickiego oraz Mroza [Izbicki i Mróz, 1976] przedstawimy w skrócie metodę rozwiązania zagadnień płynięcia plastycznego ciała sztywno plastycznego metodą charakterystyk. Metoda ta zalicza się do metod ścisłych rozwiązywania zadań nośności granicznej. Szczegółowy opis metody z przykładami obliczeń konkretnych zagadnień znajdzie czytelnik w pracy [Kisiel i inni, 198]. W ogólnym przestrzennym quasi-statycznym zagadnieniu nośności granicznej, aby rozwiązać problem nośności granicznej dysponujemy: o równaniami równowagi σ + = (1.50) ij j i, γ0 0 o warunkiem granicznym Coulomba-Mohra p F q ( ) = (1.51) gdzie: p 1 oraz q 1 = ( σ 1 + σ 3 ) = ( σ 1 σ 3 ) (1.5) 14

15 przy czym σ1 > σ > σ3. lub inaczej: Warunek ten w przypadku liniowej funkcji F( q ) ma następującą postać: q p c sin ϕ cosϕ = 0 (1.53) 1 1 c ( σ 1 σ 3 ) + ( σ 1 + σ 3 ) sin ϕ cosϕ = 0 (1.54) o stowarzyszonym lub niestowarzyszonym prawem płynięcia ɺ ij ε = ɺ λ G ( σ ) σ ij ij (1.55) gdzie εɺ ij określają składowe prędkości tensora odkształcenia: v v 1 i j ɺ ij ε = x+ x j (1.56) i ij ij W przypadku stowarzyszonego prawa płynięcia ( σ ) ( σ ) G F =. Podsumujmy, dysponujemy: trzema równaniami równowagi, równaniem stanu granicznego, sześcioma równaniami płynięcia plastycznego, sześcioma równaniami określającymi związki geometryczne. W sumie mamy do dyspozycji 16 równań. Podliczmy niewiadome: sześć niezależnych składowych stanu naprężenia, sześć niezależnych składowych prędkości stanu odkształcenia, trzy składowe prędkości przemieszczenia, stała λ ɺ. 15

16 Z podsumowania jasno wynika, że zagadnienie jest statycznie wyznaczalne, gdyż ilość równań (16) jest identyczna z ilością niewiadomych. Możemy łatwo zredukować liczbę niewiadomych i równań poprzez podstawienie związków geometrycznych (1.56) do prawa płynięcia (1.55). Powyższy układ równań opisuje proces równowagi kinetycznej stanu granicznego z pominięciem ciśnienia porowego cieczy i sił oporu filtracyjnego. W przypadku uwzględnienia naprężenia w cieczy σ powyższy układ równań ma dodatkową niewiadomą, musi więc być uzupełniony o dodatkowe równanie. Poprzednie rozważania prowadzą do wniosku, że równaniem tym jest równanie przepływu cieczy przez ośrodek porowaty. W ogólnym przypadku zagadnienie nośności granicznej w przypadku procesu quasi - statycznego (z pominięciem sił bezwładności), ale z uwzględnieniem sił masowych filtracji cieczy przez ośrodek porowaty, sprowadza się do następującego układu równań: o równowagi: ( σ σδ ) γ 0 +, + = 0 ; (1.57) ij ij j i o warunku granicznego Mohra: p F q ( ) =, (1.58) gdzie: przy czym σ1 > σ > σ3. lub p 1 oraz q 1 = ( σ 1 + σ 3 ) σ = ( σ 1 σ 3 ), (1.59) F q Warunek ten w przypadku liniowej funkcji ( ) ma następującą postać: q p c sin ϕ cosϕ = 0 (1.60) 1 ( ) 1 c σ 1 σ [ 3 + ( σ 1 + σ 3 ) + σ ]sin ϕ cos ϕ = 0 ; (1.61) o stowarzyszonym lub niestowarzyszonym prawem płynięcia: G ɺ ij ε = ɺ λ σ ( σ ) ij ij, (1.6) gdzie prędkość odkształceń: 16

17 v v 1 i j ɺ ij ε = x+ x j i ; (1.63) o równaniem przepływu cieczy przez ośrodek porowaty w przypadku przepływu laminarnego: C H 1 f σ + Rσɺ = R ɺ ε, (1.64) gdzie R, H - stałe Biota, a ɺ ε = ɺ ε. Układy równań (1.57) do (1.64) oraz opisują przypadki zagadnienia trójwymiarowego, którego rozwiązanie nastręcza istotne trudności rozwiązania. W literaturze znane są natomiast liczne rozwiązania dotyczące płaskiego stanu odkształcenia i zagadnień osiowo symetrycznych Twierdzenia o nośności granicznej Twierdzenia dotyczące nośności granicznej i ich dowody zostały przedstawione przez Izbickiego w pracy [Kisiela i inni, 198]. Do przeprowadzenia dowodów zostały przyjęte dwa założenia: a) powierzchnia graniczna (plastyczności) jest wypukła, b) wektor prędkości odkształceń plastycznych jest normalny do tej powierzchni. Obydwa założenia można przedstawić dla przypadku gładkiej powierzchni plastyczności rys.4.39a) i powierzchni osobliwej złożonej z kilku powierzchni analitycznych przecinających się wzdłuż krawędzi i naroży rys.4.39b). Rys. 1.7 Powierzchnie plastyczności a) gładka i b) osobliwa ( wg Kisiel i inni,198). 17

18 Zgodnie z pracą Kisiela [Kisiel i inni, 198], warunek wypukłości i normalności można przedstawić w przypadku gładkiej powierzchni plastyczności w postaci: ij ij ( σ σ ) f σ ij ( ) σ ij 0 (1.65) lub w przypadku, gdy powierzchnia plastyczności jest powierzchnią osobliwą: ( ) f ij ( σ ) k ij ij α ɺ α ɺ ɺ ɺ k 1 ij α = 1 σ σ σ λ 0, λ > 0, λ > 0, λ > 0 (1.66) Mając na uwadze powyższe założenia, można wykazać słuszność następujących twierdzeń: TWIERDZENIE I. Każde pole statycznie dopuszczalne σ, spełniające warunki równowagi wewnętrznej i nienaruszające warunku plastyczności w obszarze ciała, dostarcza dolnej oceny obciążenia granicznego. oraz TWIERDZENIE II. Każde pole kinematycznie dopuszczalne, spełniające warunki podparcia na brzegu i warunek dodatniej mocy obciążeń brzegowych, wyznacza kinematyczny mnożnik obciążenia, będący górną oceną obciążenia granicznego. g Wprowadzając współczynnik υ określający ocenę stanu granicznego można na podstawie powyższych twierdzeń sformułować nierówność: (1.67) k g υ υ υ s gdzie υ określa ocenę kinematyczną stanu granicznego, a υ ocenę statyczną stanu granicznego. 18

19 1.3 Model matematyczny dwufazowego ośrodka porowatego sprężysto-lepko- plastycznego. Teoria ośrodka dwufazowego, którego pory wypełnione są cieczą bazuje na równaniach zaproponowanych przez Biota w latach 40 i 50- tych [Biot, 1941, 1956, 1957]. Stworzona przez Biota teoria konsolidacji zakładała model ciągłego porowatego szkieletu sprężystego, którego pory wypełnione są ściśliwą lepką cieczą newtonowską, przepływającą ruchem laminarnym przez pory tego ośrodka. Liniowy model Biota zakładał stałą wartość parametrów, w tym współczynnika porowatości. Model ten był punktem zainteresowania wielu badaczy w odniesieniu do procesów izotermicznych przy wykorzystaniu metod klasycznej mechaniki - prace Derskiego [Derski, 1961], Szefera [Szefer, 1980], Kisiela [Kisiel i inni 198 ], Strzeleckiego [Strzelecki i inni, 1996] oraz z wykorzystaniem metody asymptotycznej homogenizacji przez Auriault [Auriault i inni 1977,1990], [Auriault, 1991], Łydżbę [Łydżba 00]. Dla procesów adiabatycznych równania procesu termo-konsolidacji zaproponował Coussy [Coussy, 1995,011], Strzelecki [Strzelecki i inni 1996, 008]. Model Biota był modyfikowany poprzez uwzględnienie innych cech szkieletu sprężystego, jak wpływ na proces konsolidacji potencjału pola elektrycznego w przypadku gruntów spoistych - praca Strzeleckiego [Strzelecki, 1979, 198], [Strzelecki i inni 1980,1996] lub uwzględnienie własności lepkich szkieletu - prace Bartlewskiej [Bartlewska-Urban i inni, 008, 014] zakładającej dla szkieletu ośrodka dwufazowego model Kelvina Voighta. Coussy [Coussy, 1995] zaproponował w ramach podejścia fenomenologicznego jeszcze inny sposób modelowania. Proponował potraktowanie ośrodka porowatego, jako otwarty układ termodynamiczny, w którym zmiennymi kinematycznymi są, dla ośrodka w pełni nasyconego, tensor odkształcenia szkieletu i porowatość. W przypadku procesów nieizotermicznych powstało szereg propozycji modelu termo-porosprężystości określanej w Polsce jako termo-konsolidacja. Swoje propozycje modelu Biota w warunkach zmiennej temperatury przedstawili Coussy [Coussy, 1995 ], Strzelecki [Strzelecki i inni, 008 ] Uciechowska-Grakowicz [Uciechowska Grakowicz, 0013,016 ]. Również swój autorski model dla procesu termo-filtracji przedstawił Strzelecki [Strzelecki, 016]. W większości tych prac proces przepływu przez ośrodek porowaty ciepła rozpatrywany był jak przepływ przez uśredniony ośrodek złożony z dwóch faz ośrodka porowatego. Jedynie Pani Uciechowska-Grakowicz zaproponowała inny model termo-konsolidacji gdy obie fazy przewodzą niezależnie ciepło, ale z uwzględnieniem wzajemnej wymiany ciepła, aż do wyrównania się temperatury obu faz ośrodka. Procesem wystąpienia w obszarze ośrodka gruntowego obszarów uplastycznienia, poprzez badanie potencjału plastyczności Misesa-Schleichera lub potencjału Coulomba-Mohra zajmowała się Bartlewska w pracy [Bartlewska i inni,008,016], dotyczących badań odkształceń zbiornika Żelazny Most w warunkach zmiennej temperatury otoczenia i odkształceń nawierzchni autostrady na skutek zmian temperatury. Żadna z cytowanych prac nie zajmowała się problemami teorii procesów sprężysto lepko - plastycznych z uwzględnieniem filtracji płynu ściśliwego przez dwufazowy porowaty ośrodek Założenia wyjściowe do modelu matematycznego ośrodka sprężysto - lepko plastycznego Proponowany przez nas model spełnia podstawowe założenia: a) szkielet ośrodka jest materiałem izotropowym, ciągłym, sprężysto-lepko plastycznym, 19

20 b) w zakresie odkształceń sprężystych porowatość ośrodka uważa się za wielkość stałą (założenie Biota), c) ośrodek jest wypełniony płynem, d) płyn wypełniający pory ośrodka porowatego jest ciągłym, ściśliwym płynem newtonowskim, e) przepływ cieczy przez pory i mikroszczeliny ośrodka jest laminarny (mała liczba Reynoldsa) Równania zachowania masy szkieletu i cieczy. Niech Ω jest przestrzenią określającą element VER wypełniony ośrodkiem dwufazowym i ograniczonym powierzchnią S. Wektor n jest jednostkowym wektorem normalnym do powierzchni l S skierowanym na zewnątrz elementu Ω. Jeżeli przez v s i v oznacza się odpowiednio wektory r l s prędkości cieczy i szkieletu to v = v v określa relatywną prędkość przepływu filtracyjnego płynu przez ośrodek porowaty. Jeżeli przez ρ i ρ oznaczają kolejno gęstość właściwą szkieletu i płynu, to możemy wprowadzić gęstości objętościowe szkieletu ρ ( f ) s l = ρ i cieczy ρ = f ρl. Przez ρ 1 1 s oznaczać będziemy gęstość objętościową ośrodka dwufazowego równą co do wartości sumie ρ1 + ρ. Wartość ρ oznaczać będzie gęstość cieczy przepływającej przez powierzchnię S: ρ = fsρl. Równanie ciągłości obu faz ośrodka porowatego ma postać: S s r ρ ρvi nids + ρvi nids + dω = 0 t (1.68) S Uwzględniając w powyższym równaniu twierdzenie Gaussa - Ostrogradskiego możemy powyższe równanie zapisać w postaci związku lokalnego: Ω S D ρ + ρε = r [ ρν i ], i Dt ɺ (1.69) gdzie s D s = + vi Dt t x i jest pochodną materialną. Równanie ciągłości przepływu płynu przez szkielet ośrodka gruntowego wyraża się wzorem: S s r ρ ρvi nids + ρvi nids + dω = 0 t (1.70) S po uwzględnieniu twierdzenia Gaussa Ostrogradskiego możemy powyższe równanie zapisać w postaci związku lokalnego: Ω s D ρ + ρ r ( ɺ θ ɺ ε ) = vi [ ρ ], i (1.71) Dt 0

21 Wielkości ɺ θ iɺ ε oznaczają prędkość zmian dylatacji cieczy i szkieletu gruntowego Równania zachowania pędu Równania ruchu fazy stałej ośrodka mają postać: r s l σ ijn jds + bvi dω + ( ρ ρ ) X idω = ( ρ11vɺ i + ρ1vɺ i ) dω (1.7) S Ω Ω Ω gdzie b oznacza współczynnik oporów lepkich filtracji, a ρ11 + ρ1 = ρ1 > 0, ρ 1 < 0. Związek lokalny określający równanie ruchu laminarnego szkieletu gruntowego dla przypadku zagadnień quasi - statycznych sprowadza się do postaci: r σij, j + Xi( ρ ρ) = bν i (1.73) Równania ruchu fazy płynnej w przypadku ruchu laminarnego wyrażają się wzorem: r s l σ ni ds bvi dω + X iρdω = ( ρ1vɺ i + ρvɺ i ) dω (1.74) S Ω Ω Ω gdzie ρ1 + ρ = ρ > 0. Związek lokalny określający równanie ruchu laminarnego płynu dla przypadku zagadnień quasi - statycznych sprowadza się do postaci: σ + X ρ = bν (1.75) r, i i i Równania konstytutywne w zakresie porosprężystości ośrodka dwufazowego. Związki konstytutywne ciała Biota dla procesów izotermicznych mają postać: e e e Q σ = Nε + M ε δ ij ij ij + σδ ij R e σ = Qε + Rθ (1.76) gdzie N jest modułem odkształcenia postaciowego szkieletu, A - modułem odkształcenia objętościowego szkieletu, Q - współczynnikiem wpływu odkształcenia objętościowego cieczy na naprężenie w szkielecie lub odwrotnie współczynnikiem wpływu odkształcenia objętościowego szkieletu na naprężenie w cieczy, R - modułem odkształcenia objętościowego cieczy wypełniającej pory ciała Biota. Parametr M wyraża się poprzez Q M = A. R 1

22 1.3.5 Równania konstytutywne ciała sprężysto - lepko - plastycznego. Ażeby zbudować model sprężysto - lepko - plastyczny ośrodka dwufazowego należy: określić związki konstytutywne w zakresie sprężystości, co dla ośrodka w pełni nasyconego płynem newtonowskim reprezentować będą zależności (1.76), zdefiniować warunek lepko plastyczności, będący funkcją skalarną stanu naprężenia f ( σ ij ), zdefiniować prawo płynięcia, to znaczy określić związek między prędkością odkształceń plastycznych p εɺ ij, a stanem naprężenia i lepkością. Najczęściej stosowane w mechanice gruntów warunki plastyczności to uogólniony warunek Hubera-Misesa nazywany również warunkiem Hubera-Schleichera lub Misesa-Schleichera, reprezentowany w przestrzeni naprężeń głównych jako stożek kołowy z osią pokrywającą się z prostą σ = σ = σ oraz warunek Coulomba reprezentowany przez ostrosłup o nieregularnej podstawie 1 3 sześciokątnej rys Rys. 1.8 Typowe warunki stanu granicznego dla gruntów a) warunek Hubera-Schleichera, b) warunek Coulomba-Mohra. Do budowy modelu lepko-plastyczności można przyjąć potencjał Hubera-Schleichera w postaci: ( ) 1 α f = J + J1 kt ; α > 0, kt > 0, (1.77) 3 gdzie α i k są stałymi materiałowymi, a J 1 i J są niezmiennikami stanu naprężenia:

23 J J = σ + σ + σ ( ) ( ) ( ) = τ ijτ ij = σ11 σ + σ11 σ 33 + σ σ 33 + σ1 + σ13 + σ 3 (1.78) W przypadku zagadnienia płaskiego, wzory na niezmienniki stanu naprężenia mają postać: J J = σ + σ 1 11 ( ) = τ ijτ ij = σ11 σ + σ1 (1.79) Kinematyczne prawo płynięcia lepko plastycznego przyjmuje znana postać: ɺ ε ν p ij ɺ f λ : f 0, fɺ 0 = σ ij 0: f 0, fɺ 0 (1.80) przy czym zgodnie z założeniem Perzyny [Perzyna 1966], współczynnik λ ɺ wyraża się wzorem: ( ) g f σ ij ɺ λ = (1.81) η = gdzie średnia wartość funkcji g f ( σ ij ) ośrodka dwufazowego. ( ) ( σ ij ) + ( σ ij ) f abs f oraz η określa lepkość szkieletu Dla ciała sprężysto lepko plastycznego odkształcenia całkowite ośrodka spełniają równanie: e p f ɺ εij = ɺ εij + ɺ εij = D ɺ ijklσ kl + ɺ λ (1.8) σ ij gdzie D ijkl oznacza tensor modułów podatności sprężystej. Powyższe związki można przedstawić w postaci związków do nich odwrotnych. Dla ciała sprężysto-plastycznego związki te można przedstawić w postaci: p ( ɺ ) σɺ = C ε ε (1.83) ij ijkl kl kl Co pozwala zapisać powyższe równanie w postaci: f ɺ = C ɺ ɺ (1.84) σ ij ijkl ε kl λ σ kl 3

24 gdzie sprężystej: C ijkl jest tensorem modułów sztywności sprężystej odwrotnym do tensora modułów podatności C ijkl ( D ) 1 ijkl = (1.85) Uwzględniając związki konstytutywne dla ciała Biota możemy równanie (1.84) na prędkość zmiany naprężenia dla izotropowego ciała lepko plastycznego z uwzględnieniem ciśnień porowych cieczy zapisać w postaci: gdzie: σ f f Q ij N ε λ ij M ε λ ɺ = ɺ ɺ + ɺ ɺ δ ij + ɺ ij σ ij σ kk R σδ (1.86) J J = = τ ij σ ij ' 1 δij ij σ ij f 1 1 = αδij + σ 3 1 ' ( J ) τ, ij (1.87) a λ ɺ obliczamy wzorem (1.81). Powyższe równania wraz ze związkami konstytucyjnymi dla ciała Biota (1.76) oraz równaniami zachowania pędu, równaniu przepływu filtracyjnego tworzą razem model ciała porowatego sprężysto-lepko-plastycznego, który schematycznie można przedstawić graficznie rys W dolnej części modelu zobrazowany jest model poro-sprężystości Biota, powyżej którego mamy model Perzyny składający się z elementu definiującego stan uplastycznienia i lepkość ośrodka porowatego. Model ten określę mianem modelu Perzyny Biota. Istotną cechą tego modelu jest równoległe współdziałanie dwóch lepkości: lepkości przepływającego przez szkielet ośrodka porowatego płynu oraz lepkość szkieletu. 4

25 Rys.1.8 Schemat modelu reologicznego Perzyny-Biota Zbiorczy układ równań procesu odkształceń sprężysto-lepko-plastycznego ciała Perzyny-Biota. Oznaczając przez u i - przemieszczenia w zakresie sprężystości u ci - przemieszczenia całkowite v - prędkości przemieszczeń sprężysto-lepko-plastycznych, oraz σ sprężysto lepko plastyczne oraz ci - naprężenie hydrostatyczne płynu, mamy w przypadku płaskiego stanu odkształcenia niewiadome: niewiadome przemieszczeń sprężystych u1 iu, u iv niewiadome przemieszczeń lepko-plastycznych c1 c niewiadome prędkości przemieszczeń lepko-plastycznych c1 c 1 niewiadoma naprężania hydrostatycznego σ. v i v Wyjaśnienia wymaga wprowadzenie prędkości lepko-plastycznych jako dodatkowej niewiadomej. Otóż wynika to z faktu, że do obliczeń numerycznych wykorzystamy program FlexPDE, który wykonuje obliczenia dowolnego układu równań z zastrzeżeniem, że poszczególne pochodne mogą być co najwyżej drugiego rzędu. Otóż równania zachowania pędu dla stanu lepko-plastycznego zawierają pochodne przemieszczeń lepko-plastycznych trzeciego rzędu. Z tego względu prędkości przemieszczeń lepko plastycznych musimy potraktować, jako dodatkowe niewiadome. Mamy, więc do wyznaczenia 7 niewiadomych. Zbiorczy układ równań determinujący proces odkształceń w czasie ośrodka dla zagadnienia D, którego pory wypełnia ściśliwy płyn newtonowski ma postać: 1. równania zachowania pędu w zakresie sprężystości: 5

26 e e σ 11 σ 1 H + = σ, x x R 1 e e σ 1 σ H + γ = σ, x x R 1 1 (1.88) przy czymγ to ciężar objętościowy szkieletu, H=Q+R,. 1 równanie przepływu filtracyjnego cieczy: σɺ Hɺ ε C σ = R R j, j (1.89) k gdzie C =, k oznacza współczynnik Darcy'ego, γ w - ciężar właściwy płynu, o γ f f - porowatość, w o 3. równania zachowania pędu dla lepko-plastyczności: ɺ σ σɺ σɺ ɺ σ vɺ + = γ x x x x t c11 p11 c1 p1 c1 1 1 ɺ σ σɺ ɺ σ ɺ σ vɺ + = γ x x x x t c1 p1 c p c 1 1 (1.90) W powyższych równaniach występują prędkości naprężeń całkowitych sprężysto-lepkoplastycznych wyrażonych związkami konstytutywnymi (1.86) oraz prędkości naprężeń lepkoplastycznych wyrażające się związkami: σ pij f f = ɺ λ N + A σ ij σ kk gdzie λ ɺ wyraża się wzorem (1.81), który ma postać: = funkcji g f ( σ ij ) dwufazowego. ɺ (1.91) ( ) ( σ ij ) + ( σ ij ) f abs f oraz ɺ λ = ( ) g f σ ij η, gdzie średnia wartość η określa lepkość szkieletu ośrodka Przyjęcie do obliczeń kryterium Hubera-Schleichera wymaga określenia stałych dla tego c otrzymujemy: kryterium. Wiążąc α i k dla m=1 z kątem tarcia wewnętrznego ϕ i spójnością T c T kt =, sinϕ = 1 1 ( 1α 1) ( 3α 1) 6 3 (1.9)

27 4. równania wiążące prędkość c u u i u u j wzorami: v z przemieszczeniami ( + ) + ( + ) 1 c1 c v ( u ) ( u ) = v = t c1 c c1 c t (1.93) Powyższy układ 7 równań jest sprzężony przez tensor naprężeń sprężystych oraz funkcję naprężeń porowych σ. 1.4 Rozwiązanie zagadnienia brzegowego D odkształceń sprężysto-lepko plastycznych dla płaskiego stanu odkształcenia. Poniżej przedstawimy proces odkształceń skarpy obciążonej przyłożonym w chwili t=0 ciężarem równomiernie rozłożonym o wielkości q. Zakładamy, że grunt dla którego dokonamy testowego modelowania odkształceń sprężysto lepko plastycznych poddany został działaniu ciężaru własnego i przyłożonego obciążenia. Geometrię rozpatrywanego zagadnienia przyjęto jak na rys Rys. 1.7 Schemat do obliczeń numerycznych geometrii i obciążenia skarpy Parametry fizyczne i mechaniczne testowego gruntu zamieszczono w tabeli 1.1 i 1.. Tabela 1.1 Parametry mechaniczne gruntu N A R H ϕ kn / m 5.5 *10 5 kn / m. *10 6 kn / m 6 5*10 Tabela 1. Pozostałe parametry efektywne modelu c T kn / m stopnie kn / m * *10 k n γ m / s - 3 N / m *10 4 γ w ν 3 N / m Pa*s Obliczenia wykonano dla kilku różnych wartości przyłożonego obciążenia, aby wyznaczyć jego wpływ na przebieg procesu płynięcia lepko plastycznego modelu Perzyny-Biota. Scenariusz obciążenia skarpy był następujący: 7

28 w chwili t=0s do skarpy zostało przyłożone obciążenie hydrostatyczne Q (np. obciążenie w postaci zbiornika wodnego) po czasie 6 t 10 s 11,57 doby = = obciążenie zostało zdjęte i nastąpiło odprężenie skarpy. Przedstawiony scenariusz obciążenia i odciążenia skarpy ma wykazać, w jakim stopniu odkształcenia lepko-plastyczne wpływają na kształt odkształconego obszaru po zdjęciu obciążenia. Proces obliczeń będziemy analizować wykonując obliczenia z wykorzystaniem profesjonalnego programu FlexPDE do obliczeń numerycznych metodą elementów skończonych. Ponieważ wyniki graficzne w programie FlexPDE są w mojej ocenie słabej jakości, mogą być wyeksportowane w wielu formatach, co ułatwia postprocessing z wykorzystaniem innych programów graficznych. W tym przypadku wyniki wyeksportowano do formatów txt oraz vtk i wygenerowano wykresy przy pomocy programów ParaView oraz MS Excel. Program ParaView jest programem Open Source, korzystającym z bibliotek VTK (Visualization Toolkit), służącym do tworzenia wizualizacji i analizy danych, wykorzystywanym często w publikacjach naukowych Obciążenie Q = 0 kn / m. Powyższy przypadek jest punktem odniesienia dla pozostałych przypadków gdy Q > 0. Jedyną aktywną siłą jest grawitacja w odniesieniu do obydwu faz ośrodka porowatego. Dla szkieletu ośrodka mamy ciężar własny wprowadzony do układu równań poprzez ciężar objętościowy ośrodka z uwzględnieniem wyporu. Grawitacja w odniesieniu do płynu, w tym przypadku wody, uwzględniona jest w równaniu przepływu filtracyjnego Darcy-Biota Siatka elementów skończonych Początkową siatkę elementów skończonych wygenerowaną przez system FlexPDE przedstawiono na rys.1.8. W czasie obliczeń system pozwala na modyfikację siatki, tak aby spełnione były narzucone warunki dokładności obliczeń numerycznych. 8

29 Rys. 1.8 Wygenerowana przez FlexPDE v.6.50 siatka elementów skończonych. Proces odkształceń sprężysto-lepko-plastycznych obserwowano w czasie dla kilkudziesięciu kroków czasowych. Poniżej przedstawimy wyniki obliczeń dla kilku kroków czasowych, a mianowicie dla: momentu traktowanego jak początkowy dla t=0.0s po czasie t=10s po czasie t=3000s po zakończeniu obliczeń dla t= 9 10 s Dla podanych czasów przedstawimy ewolucję poszczególnych wielkości fizycznych Wyniki obliczeń numerycznych Potencjał plastyczności Hubera-Schleichera Rozpoczniemy od wykresów potencjału plastyczności Hubera-Schleichera, rys. 1.9: 9

30 a) b) c) d) Rys. 1.9 Wykresy potencjału Hubera-Schleichera a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 6 s. Jak widać z wykresów, tylko w początkowym czasie ewolucji występuje zmiana znaku potencjału plastyczności, co uwidacznia wykres 1.9a. W późniejszym okresie potencjał plastyczności wykazuje wszędzie wartość ujemną, co oczywiście oznacza, że jeżeli występują odkształcenia ośrodka to są to tylko odkształcenia sprężyste. Wykresy dla czasów 3000s i 10 6 s są praktycznie identyczne, co oznacza, że proces zmian potencjału po czasie t=3000s już się ustabilizował. Ciśnienie porowe p Poniżej przedstawione zostaną wykresy ciśnienia porowego p przenoszonego przez ciecz wypełniającą pory ośrodka (w rozważanym przypadku cieczą jest woda). 30

31 a) b) c) d) Rys Wykresy ciśnienia porowego wody dla poszczególnych czasów a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 9 s. Ewolucja ciśnienia porowego wynika z procesu konsolidacji ośrodka porowatego. Należy przy tym podkreślić, że nieustalony proces zmian ciśnienia wynika z założenia, że ciężar własny zaczął działać w momencie t=0, co oczywiście jest założeniem sztucznym i w rzeczywistości nieprawdziwym. Przyjęcie tego założenia pozwala jednakże obserwować zmiany dotyczące parametrów mechanicznych ośrodka, gdy mamy do czynienia z budowlami ziemnymi, oczywiście z uwzględnieniem określonego harmonogramu ich konstruowania. Rozważany przypadek ma dać odpowiedź, jakie odkształcenia finalne uzyskamy, jako punkt odniesienia do zadań z obciążonym, a następnie odciążonym ośrodkiem. Pole wektorowe przemieszczeń W dalszej kolejności rozważmy pole wektorowe przemieszczeń w zakresie funkcjonowania prawa sprężystości Hoocka na tle wykresu funkcji potencjału plastyczności na rys

32 a) b) c) d) Rys.1.11 Pole wektorowe przemieszczeń sprężystych po czasie a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 9 s. Pole wektorowe w zakresie sprężystości nie ulega istotnym zmianom w przewidzianym przez nas przedziałach czasowych. Rozważmy następnie przemieszczenia sprężysto-lepko-plastyczne ośrodka dla rozważanego przypadku przedstawione poniżej na rys

33 a) b) c) d) Rys. 1.1 Pole wektorowe całkowitych przemieszczeń sprężysto-lepko-plastycznych dla czasów a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 9 s. Jak widać na rys i 1.1 istnieje widoczna różnica w rozkładzie przemieszczeń sprężystolepko-plastycznych i przemieszczeń sprężystych. Wykresy przemieszczeń W celu uwidocznienia różnicy wynikającej ze zmiany znaku potencjału plastyczności w określonym przedziale czasowym i w części rozważanego obszaru, przedstawimy poniżej wykresy składowych pionowych wektorów przemieszczeń lepko-plastycznych. Zakres wielkości pionowych przemieszczeń lepko-plastycznych jest niewielki i wynosi max. 1.7cm. Jak widać składowa pionowa przemieszczeń ma maksima: w części obszaru pod górną powierzchnią skarpy, oraz w części pod dolną powierzchnią skarpy. 33

34 a) b) c) d) Rys Ewolucja pionowych składowych przemieszczeń lepko-plastycznych dla czasów a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 9 s. Dla lepszego zobrazowania przemieszczeń w zakresie sprężystości, sporządzono wykresy wielkości długości wektorów przemieszczeń określonych wzorem: u = u + u w 1 (1.94) Poniżej na rys przedstawiono wykresy długości wektorów przemieszczeń w zakresie poro-sprężystości Biota. 34

35 a) b) c) d) Rys Wykresy całkowitej długości wektorów przemieszczeń sprężystych a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 9 s. Biorąc pod uwagę fakt pojawienia się dodatniej wartości potencjału plastyczności przedstawimy teraz na rys wykresy całkowitej długości wektorów prędkości dla przemieszczeń lepkoplastycznych. a) b) c) d) Rys.1.15 Wykresy całkowitej długości wektorów przemieszczeń plastycznych a) t=0.0s b) t=10s c) 6 t=3000s d) t= 1 0 s e) t=10 9 s. 35

36 Sumarycznie długości wektorów przemieszczeń sprężysto-lepko-plastycznych przedstawiono na rys a) b) c) d) Rys Wykresy długości wektorów przemieszczeń sprężysto-lepko-plastycznych a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 9 s. Dylatacja szkieletu ośrodka porowatego Proces konsolidacji sprężysto-lepko-plastycznej powoduje zagęszczenie lub rozluźnienie ośrodka porowatego. Dobrze obrazują to wykresy dylatacji szkieletu ośrodka. Poniżej na rys przedstawiono wykresy dylatacji w zakresie modelu poro-sprężystości Biota. 36

37 a) b) c) d) Rys Ewolucja dylatacji w zakresie modelu Biota a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 9 s. Powyższe wykresy zmian dylatacji szkieletu ośrodka porowatego pokazują, że w początkowej fazie odkształceń sprężystych w większości obszaru dylatacja ma znak dodatni czyli następuje rozluźnienie ośrodka. Jest ono wynikiem wzrostu ciśnienia porowego powstałego na skutek braku możliwości natychmiastowego odpływu cieczy z por ośrodka dwufazowego. Z czasem ciśnienie porowe ulega zmniejszeniu i szkielet ośrodka porowatego wykazuje dylatację ujemną czyli zagęszczenie. Widać na przedstawionych rysunkach, że proces ustabilizowania się dylatacji w zakresie sprężystości kończy się po czasie około 3000s.W strefie w pobliżu granicy nieobciążonej skarpy dylatacja jest niewielka 6 rzędu 1, 5 * 1 0 i wskazuje na nieznaczne rozluźnienie ośrodka. Wytłumaczyć to można wektorami osiadań powierzchni gruntu. Poniżej na rys zaprezentujemy dylatację w zakresie lepkoplastyczności. 37

38 a) b) c) d) Rys Wykresy ewolucji dylatacji w zakresie modelu lepko-plastycznego a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 9 s. Wykresy dylatacji w zakresie lepko plastyczności pokazują, że w obszarze, w którym występuje czasowo zmiana znaku potencjału plastyczności, dylatacja odkształceń objętościowych lepkoplastycznych wskazuje na rozluźnienie w tym obszarze szkieletu ośrodka porowatego, co zgodne jest ze stwierdzeniami w pracy Kisiela [Kisiel inni,198] str Stan naprężenia Istotnym elementem obliczeń było określenie stanu naprężenia w zakresie sprężystości badanego obszaru. Poniżej przedstawimy na rys wykresy naprężeń σ

39 a) b) c) d) Rys Wykresy naprężeń σ dla czasów a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t=10 9 s. 11 Jak widać z wykresów początkowo obserwujemy w przeważającym obszarze naprężenia rozciągające (kolor czerwony). Z czasem obszar napręzeń rozciągających ogranicza się do niewielkiej strefy przy powierzchni terenu, co daje się uzasadnić ewolucją ciśnienia porowego cieczy (wody). Następnie przedstawimy na rys. 1.0 wykresy naprężeńσ. 39

40 a) b) c) d) 6 Rys. 1.0 Wykresy naprężeń σ a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t= 1 0 s e) t=10 9 s. yy Pozostały naprężenia ścinające τ 1, które przedstawiono na rys

41 a) b) c) d) 6 Rys. 1.1 Wykresy naprężeń τ 1 a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t= 1 0 s e) t=10 9 s. Wykresy naprężeń τ 1 są w zasadzie bardzo do siebie podobne. Widać na wykresach, że maksymalna wartość naprężeń stycznych występuje w okolicy dolnej krawędzi skarpy. Wykresy osiadań Wykresy osiadań powierzchni terenu przedstawiono na dla górnej i dolnej skarpy w różnych momentach czasowych na wykresach 1. do

42 a) b) Rys. 1. Osiadania terenu po czasie t=1s: a) górna część skarpy, b) dolna część skarpy. 4

43 a) b) Rys. 1. Osiadania terenu po czasie t=100s: a) górna część skarpy, b) dolna część skarpy. 43

44 a) b) Rys. 1.3 Osiadania terenu po czasie t=3000s: a) górna część skarpy, b) dolna część skarpy. Porównując uzyskane wyniki obliczeń osiadań powierzchni terenu widać, że początkowe 3 osiadania dolnej części skarpy rzędu m już po 100s zmniejszają się do rzędu 10 m, czyli powierzchnia terenu nieznacznie się podnosi. Początkowe osiadania wynikają z działania ciężaru własnego gruntu. Kolejne osiadania są wynikiem działania wyporu gruntu pod działaniem ciężaru 44

45 skarpy. Górna część skarpy ulega osiadaniom rzędu 1,74 do 1,95cm i wielkość tą uzyskujemy już po czasie t=1s, można traktować je jako osiadania natychmiastowe. Poniżej przedstawiono wielkości osiadań w czasie w wybranych kilku punktach obszaru. Ich przebieg obrazują wykresy 1.4. a) b) 45

46 c) d) 46

47 e) Rys.1.4 Przebieg osiadań w czasie dla przedziału: a)t=0-0.1s, b) t=0-1s, c) t=0-10s, d) t=0-3000s, 9 e) t=0-10 s Przedstawione powyżej wykresy ewolucji osiadań powierzchni terenu kończą się praktycznie po 3000s. Początkowe osiadania o charakterze osiadań sprężystych trwają około 10s. Później uaktywniają się odkształcenia lepko-plastyczne. Przedstawione wyniki obliczeń modelu Perzyny-Biota pokazują, że skarpa pod działaniem tylko ciężaru własnego podlega odkształceniom trwałym wynikającym z odkształceń lepko-plastycznych, chociaż, jak wynika to z przeprowadzonych obliczeń, wielkość tych odkształceń jest niewielka Obciążenie Q = 0 kn / m. Założono, że w chwili t=0s do powierzchni górnej skarpy przyłożono obciążenie hydrostatyczne o wielkości Q. Praktyczne powyższe doświadczenie numeryczne można wytłumaczyć w następujący sposób: górna powierzchnia skarpy jest nieprzepuszczalna, nad którą spiętrzono m słupa wody. Po 6 czasie 1 0 s (około 11,5 doby) obciążenie z wodą zdjęto i obserwowano dalsze zachowanie badanego obszaru. Symulujemy więc obciążenie i odciążenie ośrodka porowatego o identycznych parametrach fizycznych i mechanicznych. Ponadto jedyną aktywną siłą jest siła ciężkości ośrodka w odniesieniu do obydwu faz. Dla szkieletu ośrodka mamy ciężar własny wprowadzony do układu równań poprzez ciężar właściwy ośrodka z uwzględnieniem wyporu. 47

48 Siatka elementów skończonych Początkowa siatka elementów skończonych wygenerowana przez system FlexPDE v.6.50 przedstawiono na rys.1.5. W czasie obliczeń system pozwala na modyfikację siatki tak, aby spełnione były narzucone warunki na dokładność obliczeń numerycznych. Rys. 1.5 Wygenerowana przez system siatka elementów skończonych. Proces odkształceń sprężysto-lepko-plastycznych obserwowano w czasie dla kilkudziesięciu kroków czasowych. Poniżej przedstawimy wyniki obliczeń dla kilku kroków czasowych, jak w poprzednim podrozdziale. Dla podanych czasów przedstawimy ewolucję poszczególnych wielkości fizycznych Wyniki obliczeń numerycznych Potencjał plastyczności Hubera-Schleichera Rozpoczniemy od wykresów potencjału plastyczności Hubera-Schleichera rys

49 a) b) c) d) e) Rys. 1.6 Wykresy potencjału plastyczności Hubera-Schleichera a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s 6 d) t= 1 0 s e) t= 10 9 s. Jak widać z wykresów, zmiana znaku potencjału plastyczności występuje w długim okresie czasu, co uwidaczniają wykresy 1.6a) do 1.6d), po zdjęciu obciążenia górnej powierzchni skarpy potencjał plastyczności jest w całym obszarze ujemny, co świadczy o braku odkształceń lepko-plastycznych. Porównując powyższe wykresy potencjału plastyczności z wykresami dla skarpy nieobciążonej widać 49

50 znacząca różnicę w kształcie uzyskanych wykresów. Proces zmian potencjału plastyczności dla ośrodka 6 obciążonego, w tym zmiana znaku potencjału trwa prawie 10 s, podczas gdy w przypadku skarpy nieobciążonej zmiany występują dla czasu krótszego od 3000s. Ciśnienie porowe p Poniżej na rys. 1.7 przedstawione zostaną wykresy ciśnienia porowego p przenoszonego przez wodę wypełniającą pory ośrodka. a) b) c) d) e) Rys. 1.7 Wykresy ciśnienia porowego wody dla poszczególnych czasów a) t=0.0s b) t=10s 6 9 c) t=3000s d) t= 1 0 s e) t= 1 0 s. 50

51 Ewolucja ciśnienia porowego wynika z procesu konsolidacji ośrodka porowatego. Wykresy ciśnienia porowego dla przypadku skarpy obciążonej różnią się w sposób istotny od wykresów dla skarpy nieobciążonej. Po zdjęciu obciążenia wykresy ciśnień różnią się od wykresów po czasie t=3000s skarpy nieobciążonej pokazane na rys Pole wektorowe przemieszczeń W dalszej kolejności rozważmy pole wektorowe przemieszczeń w zakresie funkcjonowania prawa Hoocke a na tle wykresów potencjału plastyczności rys a) b) c) d) e) 6 Rys.1.8 Pole wektorowe przemieszczeń sprężystych a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t= 1 0 s 9 e) t= 1 0 s. 51

52 Pole wektorowe w zakresie sprężystości, w przeciwieństwie do przypadku skarpy nieobciążonej, ulega istotnym zmianom w procesie konsolidacji gruntu. Po zdjęciu obciążenia wektory przemieszczeń sprężystych zanikają, co oznacza, że skarpa zgodnie z prawem Hoocke a powraca w zakresie przemieszczeń sprężystych do swojego początkowego stanu. Rozważmy następnie przemieszczenia sprężysto-lepko-plastyczne ośrodka dla rozważanego przypadku przedstawione poniżej na rys a) b) c) d) e) Rys. 1.9 Pole wektorowe całkowitych przemieszczeń sprężysto-lepko-plastycznych a) t=0.0s b) 6 9 t=10s c) t=3000s d) t= 1 0 s e) t= 1 0 s. 5

53 Przedstawione powyżej wykresy pozwalają wysnuć następujące wnioski: w początkowej fazie obciążania skarpy widoczne są praktycznie tylko przemieszczenia sprężyste, układ wektorów całkowitych przemieszczeń różni się od wektorów przemieszczeń sprężystych, po zdjęciu obciążenia, wektory przemieszczeń sprężysto-lepko-plastycznych ulegają zmniejszeniu o wartości przemieszczeń sprężystych pozostają jednakże jako przemieszczenia nieodwracalne lepko-plastyczne. Wykresy przemieszczeń W celu uwidocznienia różnicy wynikającej ze zmiany znaku potencjału plastyczności w określonym przedziale czasowym i w części rozważanego obszaru przedstawimy poniżej wykresy składowych pionowych wektorów przemieszczeń sprężysto-lepko-plastycznych rys

54 a) b) c) d) e) Rys Ewolucja pionowych składowych przemieszczeń lepko-plastycznych a) t=0.0s b) 6 9 t=10s c) t=3000s d) t= 1 0 s e) t= 1 0 s. Jak widać składowa pionowa przemieszczeń zmienia znak. Wpływ wystąpienia przemieszczeń lepko-plastycznych wpływa w sposób istotny na kształt pola wektorowego przedstawionego na rys Dla lepszego zobrazowania przemieszczeń w zakresie sprężystości sporządzono wykresy wielkości długości wektorów przemieszczeń określonych wzorem u = u + u (1.95). w 1 54

55 Poniżej na rys przedstawiono wykresy długości wektorów przemieszczeń w zakresie porosprężystości Biota. a) b) c) d) e) Rys Wykresy całkowitej długości wektorów przemieszczeń sprężystych a) t=0.0s b) t=10s c) 6 9 t=3000s d) t= 1 0 s e) t= 1 0 s. Powyższe wykresy pokazują charakter przemieszczeń sprężystych dla ciała Biota. 55

56 Biorąc pod uwagę fakt pojawienia się dodatniej wartości potencjału prędkości przedstawimy teraz na rys. 1.3 wykresy całkowitej długości wektorów prędkości dla przemieszczeń sprężysto-lepkoplastycznych. a) b) c) d) e) Rys.1.3 Wykresy całkowitej długości wektorów przemieszczeń sprężysto-lepko-plastycznych 6 9 a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t= 1 0 s e) t= 1 0 s. Jak widać uzyskane wykresy różnią się znacznie od wykresów w przypadku skarpy nieobciążonej. Kształt wykresów sugeruje powstanie zbliżonych do koła krzywych poślizgu. 56

57 Dylatacja szkieletu ośrodka porowatego Proces konsolidacji sprężysto lepko-plastycznego ośrodka powoduje zagęszczenie lub rozluźnienie ośrodka porowatego. Obrazują to wykresy dylatacji szkieletu ośrodka. Poniżej na rys przedstawiono wykresy dylatacji w zakresie modelu poro-sprężystości Biota. a) b) c) d) e) 6 Rys Ewolucja dylatacji w zakresie modelu Biota a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t= 1 0 s 9 e) t= 1 0 s. Powyższe wykresy zmian dylatacji szkieletu ośrodka porowatego pokazują, że w początkowej fazie odkształceń sprężystych w większości obszaru dylatacja ma znak dodatni czyli następuje 57

58 rozluźnienie ośrodka. Jest ono wynikiem wzrostu ciśnienia porowego powstałego na skutek braku możliwości natychmiastowego odpływu płynu z por ośrodka dwufazowego. Z czasem ciśnienie porowe ulega zmniejszeniu i szkielet ośrodka porowatego wykazuje dylatację ujemną czyli zagęszczenie. Widać na przedstawionych rysunkach, że proces ustabilizowania się dylatacji w zakresie sprężystości kończy się po czasie około 3000s.W strefie w pobliżu granicy nieobciążonej skarpy dylatacja jest niewielka rzędu 1,5x10-6 i wskazuje na nieznaczne rozluźnienie ośrodka. Wytłumaczyć można to wektorami osiadań powierzchni gruntu. Poniżej na rys zaprezentujemy dylatację w zakresie lepkoplastyczności. a) b) 58

59 c) d) e) Rys Wykresy ewolucji dylatacji w zakresie modelu lepko-plastycznego a) t=0.0s b) t=10s 6 9 c) t=3000s d) t= 1 0 s e) t= 1 0 s. Wykresy dylatacji w zakresie lepko-plastyczności pokazują, że w obszarze, w którym występuje czasowo zmiana znaku potencjału plastyczności, dylatacja odkształceń objętościowych lepkoplastycznych wskazuje na rozluźnienie w tym obszarze szkieletu ośrodka porowatego, co zgodne jest ze stwierdzeniem w pracy Kisiela i inni (198) str Stan naprężenia Istotnym elementem obliczeń było określenie stanu naprężenia w zakresie sprężystości badanego obszaru. Poniżej przedstawimy na rys wykresy naprężeńσ

60 a) b) c) d) e) Rys Wykres naprężeń σ 11 w zakresie modelu sprężystego a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s 6 9 d) t= 1 0 s e) t= 1 0 s. Jak widać z wykresów, początkowo obserwujemy w części pod górną granicą skarpy naprężenia rozciągające (kolor niebieski), a pod dolną ściskające (kolor czerwony). Z czasem obszar naprężeń rozciągających zanika i praktycznie w całym obszarze mamy naprężenia ściskające, co daje się uzasadnić ewolucją ciśnienia porowego cieczy (wody). Po zdjęciu obciążenia wykres naprężeń 60

61 poziomych σ 11 jest identyczny jak w przypadku naprężeń poziomych bez obciążenia rys Następnie przedstawimy na rys wykresy naprężeń σ. a) b) c) d) e) 6 9 Rys Wykresy naprężeń σ a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t= 1 0 s e) t= 1 0 s. Pozostały naprężenia ścinające τ 1, które przedstawiono na rys

62 a) b) c) d) e) 6 9 Rys Wykresy naprężeń τ 1 a) t=0.0s b) t=10s c) t=3000s d) t= 1 0 s e) t= 1 0 s. Wykresy naprężeń τ 1 różnią się od analogicznych wykresów dla skarpy nieobciążonej. Dopiero po zdjęciu obciążenia wykres naprężeńτ 1 jest identyczny jak w przypadku obliczeń dla skarpy nieobciążonej. Wykresy osiadań 6

63 Wykresy osiadań powierzchni terenu przedstawiono dla górnej i dolnej skarpy w różnych momentach czasowych na wykresach 1.38 do a) b) Rys Wykres osiadań powierzchni skarpy po czasie t=1s: a) powierzchni górnej b) powierzchni dolnej. 63

64 a) b) Rys Wykres osiadań powierzchni skarpy po czasie t=4000s: a) powierzchni górnej b) powierzchni dolnej. 64

65 a) b) 9 Rys Wykres osiadań powierzchni skarpy po czasie t= 1 0 s: a) powierzchni górnej b) powierzchni dolnej. Aby przedstawić ewolucję osiadań wybranych punktów powierzchni terenu, przedstawiono poniżej wykresy osiadań w zakresie sprężystości w wybranych przedziałach czasowych na rys do

66 Rys Ewolucja osiadań sprężystych powierzchni terenu dla przedziału czasu od t=0s do t=100s. Rys. 1.4 Ewolucja osiadań sprężystych powierzchni terenu dla przedziału czasu od t=0s do t=4000s. 66

67 Rys Ewolucja osiadań sprężystych powierzchni terenu dla przedziału czasu od t=0s do t=10 6. Rys Ewolucja osiadań sprężysto-lepko-plastycznych powierzchni terenu dla przedziału czasu 9 od t=0s do t= 1 0 s. 67

68 Podczas obciążenia skarpy maksymalne osiadanie w zakresie sprężystości modelu po stronie górnej powierzchni skarpy wyniosło -0,75m czyli 75 cm. Po stronie dolnej powierzchni nastąpiło wybrzuszenie terenu w wielkości maksymalnie 10cm. Po zdjęciu obciążenia osiadania sprężyste zmniejszają się praktycznie do zera. Wykresy osiadań w zakresie sprężysto-lepko-plastyczności w wybranych przedziałach czasowych na rys do Rys Ewolucja osiadań sprężysto-lepko-plastycznych powierzchni terenu dla przedziału czasu od t=0s do t=100s. 68

69 Rys Ewolucja osiadań sprężysto-lepko-plastycznych powierzchni terenu dla przedziału czasu od t=0s do t=4000s. Rys Ewolucja osiadań sprężysto-lepko-plastycznych powierzchni terenu dla przedziału czasu 6 od t=0s do t= 1 0 s. 69

70 Rys Ewolucja osiadań sprężysto lepko plastycznych powierzchni terenu dla przedziału czasu 9 od t=0s do t= 1 0 s. Uwzględniając osiadania lepko-plastyczne, całkowite wartości osiadań w czasie trwania obciążenia wyniosły -9m. Charakterystyczną cechą proponowanego modelu Biota-Perzyny jest fakt, że po czasie około 3000s, następuje proces stabilizacji przemieszczeń lepko plastycznych. W przypadku klasycznego modelu Coulomba-Mohra, po przekroczeniu granicy sprężystości, nie ma możliwości zatrzymania procesu odkształceń plastycznych i dążą one do nieskończoności. Jak widać model sprężysto-lepko-plastyczny lepiej odwzorowuje proces utraty stateczności skarpy. Po zdjęciu obciążenia skarpa zostaje trwale odkształcona, ale osiadania zmniejszają się o wielkość osiadań sprężystych. Aby lepiej uwidocznić efekt odkształceń gruntu pod działaniem obciążenia, a następnie po jego zdjęciu, poniżej przedstawiono na rys, 1.49 obraz odkształceń skarpy w strefie modelu sprężystego, a na rys obraz odkształceń skarpy dla modelu sprężysto-lepko-plastycznego. Obraz przemieszczeń obrazują przemieszczenia węzłów siatki elementów skończonych. 70

71 a) b) c) d) Rys Przemieszczenia węzłów siaki elementów skończonych dla modelu sprężystego 6 9 a) t=0.0s b) t=3000s c) t= 1 0 s d) t= 1 0 s. a) b) c) d) Rys Przemieszczenia węzłów siaki elementów skończonych dla modelu sprężysto-lepkoplastycznego a) t=0.0s b) t=3000s c) t= 1 0 s d) t= 1 0 s

72 1.5 Podsumowanie uzyskanych wyników obliczeń Wielkość współczynnika lepkości szkieletu jest bardzo istotnym parametrem wpływającym na proces odkształceń lepko-plastycznych ośrodka porowatego. Dla przedstawionych powyżej obliczeń, 8 przyjęto wartość tego współczynnika w tab. 1. równą 10 Pa * s. Poniżej w tabeli 1.3 przedstawiono dla kilku wartości lepkości szkieletu ośrodka porowatego wyniki obliczeń dla czterech wybranych punktów obszaru pokazujące uzyskany przedział prędkości odkształcenia, przedział uzyskanych maksymalnych przemieszczeń, moment maksymalnej prędkości odkształcenia oraz czas zakończenia procesu odkształceń lepko-plastycznych. Tabela 1.3 Wybrane wyniki obliczeń dla czterech wybranych punktów obszaru Moment Lepkość Szkieletu ν Przedział prędkości odkształceń Przedział maksymalnych przemieszczeń max. prędkości odkształcenia Czas zakończenia odkształceń Pa*s m / s m s s [-4.0,3.0] [-40,15] *10 [-0.9,0.6] [-45,5] [-0.4,0.3] [-1,17] *10 8*10,6*10 [-4.5,3.6] * *10 4.*10,3.*10 [-.5,1.5] *10, 4*10 [-0.58,0.6] *10,3*10 [-0.34,-0.13] *10,5*10 [-0.17,0.0] Poniżej przedstawiono (dla 8 wartości lepkości szkieletu) wykres zmienności zakresu prędkości przemieszczeń lepko plastycznych dla 4 wybranych punktów na brzegu obszaru. 7

73 Zmiana prędkości przemieszczeń w funkcji lepkości szkieletu Wartośći prędkości ln(lepkość) Rys Wykresy maksymalnych prędkości przemieszczeń lepko plastycznych dla wybranych czterech punktów obszaru w funkcji ln ( ν ) (skali logarytmicznej) Poniżej na rys. 1.5 przedstawiono wykres zakresu przemieszczeń lepko-plastycznych w funkcji lepkości kinetycznej szkieletu ośrodka porowatego. 150 Maksymalne przemieszczenia w funkcji lepkości szkieletu Max. Przemieszczenia ln(lepkość) Rys. 1.5 Wykresy maksymalnych przemieszczeń lepko-plastycznych dla wybranych czterech punktów obszaru w funkcji ln ( ν ) 73

74 Przedstawione wykresy pokazują, że dla dowolnej wielkości lepkości szkieletu zarówno prędkości maksymalne przemieszczeń jak i same przemieszczenia są zawsze ograniczone, ponieważ istnieje w rozwiązaniach ich wartość ektremalna. Różnica polega na tym, że przy wzroście wielkości współczynnika lepkości, prędkości odkształceń i przemieszczenia dążą do wielkości uzyskiwanych w obliczeniach w zakresie sprężystości. Zakres przyjętych wartości lepkości odpowiada przypadkowi, gdy 7 współczynnik filtracji jest rzędu 10 m / s. Dla wartości większych współczynnika filtracji przedstawione powyżej zależności też występują, chociaż zakres rzędu wielkości lepkości szkieletu jest inny. Interesującym zjawiskiem obserwowanym w procesie odkształceń sprężysto-lepko-plastycznych jest podobieństwo wykresów modułu plastyczności Misesa-Schleichera i ciśnień porowych w ośrodku dwufazowym dla wszystkich wartości lepkości szkieletu. Poniżej na rys.1.53 przedstawiono dla porównania wykres ciśnień porowych i potencjału Misesa-Schleichera dla lepkości szkieletu 8 ν = 10 Pa * s. a) b) c) d) e) f) Rys Wykresy ciśnień porowych i potencjału Misesa-Schleichera dla trzech momentów czasowych a) i b) dla czasu t=0.0 s, dla c) i d) dla czasu t=10s, dla e) i f) dla czasu 000s. 74

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 1 9. 9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI 9.1. Pierwsze kroki Do tej pory zajmowaliśmy się w analizie ciał i konstrukcji tylko analizą sprężystą. Nie zastanawialiśmy się, co

Bardziej szczegółowo

17. 17. Modele materiałów

17. 17. Modele materiałów 7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 1 6. 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 6.1. Wstęp Aby rozwiązać jakiekolwiek zadanie mechaniki ośrodka ciągłego musimy dysponować 15 niezależnymi równaniami, gdyż tyle mamy niewiadomych: trzy składowe

Bardziej szczegółowo

Zakres wiadomości na II sprawdzian z mechaniki gruntów:

Zakres wiadomości na II sprawdzian z mechaniki gruntów: Zakres wiadomości na II sprawdzian z mechaniki gruntów: Wytrzymałość gruntów: równanie Coulomba, parametry wytrzymałościowe, zależność parametrów wytrzymałościowych od wiodących cech geotechnicznych gruntów

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest

Bardziej szczegółowo

Defi f nicja n aprę r żeń

Defi f nicja n aprę r żeń Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie

Bardziej szczegółowo

Analiza stateczności zbocza

Analiza stateczności zbocza Przewodnik Inżyniera Nr 25 Aktualizacja: 06/2017 Analiza stateczności zbocza Program: MES Plik powiązany: Demo_manual_25.gmk Celem niniejszego przewodnika jest analiza stateczności zbocza (wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 1 13. 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 13.1. TORIA PLASTYCZNOŚCI Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania obciążeń powstają

Bardziej szczegółowo

Załącznik D (EC 7) Przykład analitycznej metody obliczania oporu podłoża

Załącznik D (EC 7) Przykład analitycznej metody obliczania oporu podłoża Załącznik D (EC 7) Przykład analitycznej metody obliczania oporu podłoża D.1 e używane w załączniku D (1) Następujące symbole występują w Załączniku D: A' = B' L efektywne obliczeniowe pole powierzchni

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia Wytrzymałość materiałów dział mechaniki obejmujący badania teoretyczne i doświadczalne procesów odkształceń i niszczenia ciał pod wpływem różnego rodzaju oddziaływań (obciążeń) Podstawowe pojęcia wytrzymałości

Bardziej szczegółowo

Definicje i przykłady

Definicje i przykłady Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest

Bardziej szczegółowo

Nasyp przyrost osiadania w czasie (konsolidacja)

Nasyp przyrost osiadania w czasie (konsolidacja) Nasyp przyrost osiadania w czasie (konsolidacja) Poradnik Inżyniera Nr 37 Aktualizacja: 10/2017 Program: Plik powiązany: MES Konsolidacja Demo_manual_37.gmk Wprowadzenie Niniejszy przykład ilustruje zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński

Dr inż. Janusz Dębiński Wytrzymałość materiałów ćwiczenia projektowe 5. Projekt numer 5 przykład 5.. Temat projektu Na rysunku 5.a przedstawiono belkę swobodnie podpartą wykorzystywaną w projekcie numer 5 z wytrzymałości materiałów.

Bardziej szczegółowo

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany

Bardziej szczegółowo

STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH

STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i

Bardziej szczegółowo

PLASTYCZNOŚĆ W UJĘCIU KOMPUTEROWYM

PLASTYCZNOŚĆ W UJĘCIU KOMPUTEROWYM Budownictwo, studia I stopnia, semestr VII przedmiot fakultatywny rok akademicki 2013/2014 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Jerzy Pamin Tematyka zajęć 1 Sprężystość

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki

Bardziej szczegółowo

Wyboczenie ściskanego pręta

Wyboczenie ściskanego pręta Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia

Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia Wytrzymałość materiałów i konstrukcji 1 Wykład 1 Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia Płaski stan naprężenia Dr inż. Piotr Marek Wytrzymałość Konstrukcji (Wytrzymałość materiałów, Mechanika konstrukcji)

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu. 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów.

Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu. 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów. Wytrzymałość Konstrukcji I - MEiL część II egzaminu 1. Omówić wykresy rozciągania typowych materiałów. Podać charakterystyczne punkty wykresów. 2. Omówić pojęcia sił wewnętrznych i zewnętrznych konstrukcji.

Bardziej szczegółowo

Egzamin z MGIF, I termin, 2006 Imię i nazwisko

Egzamin z MGIF, I termin, 2006 Imię i nazwisko 1. Na podstawie poniższego wykresu uziarnienia proszę określić rodzaj gruntu, zawartość głównych frakcji oraz jego wskaźnik różnoziarnistości (U). Odpowiedzi zestawić w tabeli: Rodzaj gruntu Zawartość

Bardziej szczegółowo

Osiadanie kołowego fundamentu zbiornika

Osiadanie kołowego fundamentu zbiornika Przewodnik Inżyniera Nr 22 Aktualizacja: 01/2017 Osiadanie kołowego fundamentu zbiornika Program: MES Plik powiązany: Demo_manual_22.gmk Celem przedmiotowego przewodnika jest przedstawienie analizy osiadania

Bardziej szczegółowo

Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów

Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2008 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe równania hydrodynamiki 2 3 Równanie Bernoulliego 4 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe

Bardziej szczegółowo

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 1 8. 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8.1. Wprowadzenie Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości: 1) geometryczne:

Bardziej szczegółowo

Nauka o Materiałach. Wykład VIII. Odkształcenie materiałów właściwości sprężyste. Jerzy Lis

Nauka o Materiałach. Wykład VIII. Odkształcenie materiałów właściwości sprężyste. Jerzy Lis Nauka o Materiałach Wykład VIII Odkształcenie materiałów właściwości sprężyste Jerzy Lis Nauka o Materiałach Treść wykładu: 1. Właściwości materiałów -wprowadzenie 2. Klasyfikacja reologiczna odkształcenia

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość gruntów organicznych ściśliwych i podmokłych.

Wytrzymałość gruntów organicznych ściśliwych i podmokłych. Piotr Jermołowicz Inżynieria Środowiska Wytrzymałość gruntów organicznych ściśliwych i podmokłych. Każda zmiana naprężenia w ośrodku gruntowym wywołuje zmianę jego porowatości. W przypadku mało ściśliwych

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2 Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr Wykład nr 27 Przepływy w kanałach otwartych I

J. Szantyr Wykład nr 27 Przepływy w kanałach otwartych I J. Szantyr Wykład nr 7 Przepływy w kanałach otwartych Przepływy w kanałach otwartych najczęściej wymuszane są działaniem siły grawitacji. Jako wstępny uproszczony przypadek przeanalizujemy spływ warstwy

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)

[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES wykład 4 Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia) Obszar zdyskretyzowany trójkątami U = [ u v u v u v ] T stopnie swobody elementu P = [ P ]

Bardziej szczegółowo

Fizyczne właściwości materiałów rolniczych

Fizyczne właściwości materiałów rolniczych Fizyczne właściwości materiałów rolniczych Właściwości mechaniczne TRiL 1 rok Stefan Cenkowski (UoM Canada) Marek Markowski Katedra Inżynierii Systemów WNT UWM Podstawowe koncepcje reologii Reologia nauka

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ ĆWICZENIE 12 WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ Cel ćwiczenia: Wyznaczanie modułu sztywności drutu metodą sprężystych drgań obrotowych. Zagadnienia: sprężystość, naprężenie ścinające, prawo

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH

RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH Część 5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH 5. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH 5.. ZWIĄZKI MIĘDZY ODKSZTAŁCENIAMI I GŁÓWNYMI NAPRĘŻENIAMI W każdym materiale konstrukcyjnym

Bardziej szczegółowo

[ ] ρ m. Wykłady z Hydrauliki - dr inż. Paweł Zawadzki, KIWIS WYKŁAD WPROWADZENIE 1.1. Definicje wstępne

[ ] ρ m. Wykłady z Hydrauliki - dr inż. Paweł Zawadzki, KIWIS WYKŁAD WPROWADZENIE 1.1. Definicje wstępne WYKŁAD 1 1. WPROWADZENIE 1.1. Definicje wstępne Płyn - ciało o module sprężystości postaciowej równym zero; do płynów zaliczamy ciecze i gazy (brak sztywności) Ciecz - płyn o małym współczynniku ściśliwości,

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.

Bardziej szczegółowo

STAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży

STAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży STAN NAPRĘŻENIA dr hab. inż. Tadeusz Chyży 1 SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE Rozważmy ciało o objętości V 0 ograniczone powierzchnią S 0, poddane działaniu sił będących w równowadze. Rozróżniamy tutaj

Bardziej szczegółowo

1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH

1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH 1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH Ośrodki materialne charakteryzują dwa rodzaje różniących się zasadniczo od siebie wielkości fizycznych: globalne (ekstensywne) przypisane obszarowi przestrzeni fizycznej,

Bardziej szczegółowo

4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości

4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości 4. lementy liniowej Teorii Sprężystości 4.1. Podstawowe założenia i hipotezy liniowej TS. 4.2. Stan naprężenia w punkcie 4.3. Równania równowagi stanu naprężenia 4.4. Stan odkształcenia w punkcie 4.5.

Bardziej szczegółowo

Wyłączenie redukcji parametrów wytrzymałościowych ma zastosowanie w następujących sytuacjach:

Wyłączenie redukcji parametrów wytrzymałościowych ma zastosowanie w następujących sytuacjach: Przewodnik Inżyniera Nr 35 Aktualizacja: 01/2017 Obszary bez redukcji Program: MES Plik powiązany: Demo_manual_35.gmk Wprowadzenie Ocena stateczności konstrukcji z wykorzystaniem metody elementów skończonych

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor.

Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor. Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor. Dany jest stan naprężenia w układzie x 1,x 2,x 3 T 11 12 13 [ ] 21 23 31 32 33 Znaleźć wektor naprężenia w płaszczyźnie o normalnej

Bardziej szczegółowo

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli

Bardziej szczegółowo

Wewnętrzny stan bryły

Wewnętrzny stan bryły Stany graniczne Wewnętrzny stan bryły Bryła (konstrukcja) jest w równowadze, jeżeli oddziaływania zewnętrzne i reakcje się równoważą. P α q P P Jednak drugim warunkiem równowagi jest przeniesienie przez

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)

Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Jerzy Wyrwał Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Uwaga. Załączone materiały są pomyślane jako pomoc do zrozumienia informacji podawanych na wykładzie. Zatem ich

Bardziej szczegółowo

METODA SIŁ KRATOWNICA

METODA SIŁ KRATOWNICA Część. METDA SIŁ - RATWNICA.. METDA SIŁ RATWNICA Sposób rozwiązywania kratownic statycznie niewyznaczalnych metodą sił omówimy rozwiązują przykład liczbowy. Zadanie Dla kratownicy przedstawionej na rys..

Bardziej szczegółowo

2. Pręt skręcany o przekroju kołowym

2. Pręt skręcany o przekroju kołowym 2. Pręt skręcany o przekroju kołowym Przebieg wykładu : 1. Sformułowanie zagadnienia 2. Warunki równowagi kąt skręcenia 3. Warunek geometryczny kąt odkształcenia postaciowego 4. Związek fizyczny Prawo

Bardziej szczegółowo

Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości

Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości dr inż. Jerzy Wiejacha ZAKŁAD APARATURY PRZEMYSŁOWEJ POLITECHNIKA WARSZAWSKA, WYDZ. BMiP, PŁOCK

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Zadanie 4: Zadanie 5:

Zadanie 2. Zadanie 4: Zadanie 5: Zadanie 2 W stanie naturalnym grunt o objętości V = 0.25 m 3 waży W = 4800 N. Po wysuszeniu jego ciężar spada do wartości W s = 4000 N. Wiedząc, że ciężar właściwy gruntu wynosi γ s = 27.1 kn/m 3 określić:

Bardziej szczegółowo

Aerodynamika I Efekty lepkie w przepływach ściśliwych.

Aerodynamika I Efekty lepkie w przepływach ściśliwych. Aerodynamika I Efekty lepkie w przepływach ściśliwych. przepłw wokół profilu RAE-2822 (M = 0.85, Re = 6.5 10 6, α = 2 ) Efekty lepkie w przepływach ściśliwych Równania ruchu lepkiego płynu ściśliwego Całkowe

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

BIOMECHANIKA KRĘGOSŁUPA. Stateczność kręgosłupa

BIOMECHANIKA KRĘGOSŁUPA. Stateczność kręgosłupa BIOMECHANIKA KRĘGOSŁUPA Stateczność kręgosłupa Wstęp Pojęcie stateczności Małe zakłócenie kątowe Q Q k 1 2 2 spadek energii potencjalnej przyrost energii w sprężynie V Q k 1 2 2 Q Stabilna równowaga występuje

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznych

MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznych MES w zagadnieniach sprężysto-plastycznych Jerzy Pamin e-mail: JPamin@L5.pk.edu.pl Podziękowania: P. Mika, A. Winnicki, A. Wosatko ADINA R&D, Inc.http://www.adina.com ANSYS, Inc. http://www.ansys.com TNO

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ

Bardziej szczegółowo

Laboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów

Laboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów FORMOWANIE SIĘ PROFILU PRĘDKOŚCI W NIEŚCIŚLIWYM, LEPKIM PRZEPŁYWIE PRZEZ PRZEWÓD ZAMKNIĘTY Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia będzie analiza formowanie się profilu prędkości w trakcie przepływu płynu przez

Bardziej szczegółowo

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów studia niestacjonarne I-go stopnia, semestr zimowy

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów studia niestacjonarne I-go stopnia, semestr zimowy Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów studia niestacjonarne I-go stopnia, semestr zimowy 1. Położenie osi obojętnej przekroju rozciąganego mimośrodowo zależy od: a) punktu przyłożenia

Bardziej szczegółowo

Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych

Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych Wykorzystanie technik komputerowych w projektowaniu elementów z tworzyw sztucznych Tematyka wykładu Techniki komputerowe, Problemy występujące przy konstruowaniu

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Prowadzący: dr Krzysztof Polko PLAN WYKŁADÓW 1. Podstawy kinematyki 2. Ruch postępowy i obrotowy bryły 3. Ruch płaski bryły 4. Ruch złożony i ruch względny 5. Ruch kulisty i ruch ogólny bryły

Bardziej szczegółowo

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),

Bardziej szczegółowo

FIZYKA klasa 1 Liceum Ogólnokształcącego (4 letniego)

FIZYKA klasa 1 Liceum Ogólnokształcącego (4 letniego) 2019-09-01 FIZYKA klasa 1 Liceum Ogólnokształcącego (4 letniego) Treści z podstawy programowej przedmiotu POZIOM ROZSZERZONY (PR) SZKOŁY BENEDYKTA Podstawa programowa FIZYKA KLASA 1 LO (4-letnie po szkole

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych

Przykład 4.2. Sprawdzenie naprężeń normalnych Przykład 4.. Sprawdzenie naprężeń normalnych Sprawdzić warunki nośności przekroju ze względu na naprężenia normalne jeśli naprężenia dopuszczalne są równe: k c = 0 MPa k r = 80 MPa 0, kn 0 kn m 0,5 kn/m

Bardziej szczegółowo

Wykład 8: Lepko-sprężyste odkształcenia ciał

Wykład 8: Lepko-sprężyste odkształcenia ciał Wykład 8: Lepko-sprężyste odkształcenia ciał Leszek CHODOR dr inż. bud, inż.arch. leszek@chodor.pl Literatura: [1] Piechnik St., Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych,, PWN, Warszaw-Kraków,

Bardziej szczegółowo

Kolokwium z mechaniki gruntów

Kolokwium z mechaniki gruntów Zestaw 1 Zadanie 1. (6 pkt.) Narysować wykres i obliczyć wypadkowe parcia czynnego wywieranego na idealnie gładką i sztywną ściankę. 30 kpa γ=17,5 kn/m 3 Zadanie 2. (6 pkt.) Obliczyć ile wynosi obciążenie

Bardziej szczegółowo

STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA

STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: Wprowadzenie STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA Opracowała: mgr inż. Magdalena Bartkowiak-Jowsa Skręcanie pręta występuje w przypadku

Bardziej szczegółowo

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY.. Działanie sił zewnętrznych Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. 1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań

Bardziej szczegółowo

Analiza osiadania terenu

Analiza osiadania terenu Przewodnik Inżyniera Nr 21 Aktualizacja: 01/2017 Analiza osiadania terenu Program: Plik powiązany: MES Demo_manual_21.gmk Celem przedmiotowego przewodnika jest przedstawienie analizy osiadania terenu pod

Bardziej szczegółowo

Zasady zachowania, równanie Naviera-Stokesa. Mariusz Adamski

Zasady zachowania, równanie Naviera-Stokesa. Mariusz Adamski Zasady zachowania, równanie Naviera-Stokesa Mariusz Adamski 1. Zasady zachowania. Znaczna część fizyki, a w szczególności fizyki klasycznej, opiera się na sformułowaniach wypływających z zasad zachowania.

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 2 1/11

WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 2 1/11 WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 1/11 DEFORMACJA OŚRODKA CIĄGŁEGO Rozważmy dwa elementy płynu położone w pewnej chwili w bliskich sobie punktach A i B. Jak zmienia się ich względne położenie w krótkim

Bardziej szczegółowo

700 [kg/m 3 ] * 0,012 [m] = 8,4. Suma (g): 0,138 Ze względu na ciężar wykończenia obciążenie stałe powiększono o 1%:

700 [kg/m 3 ] * 0,012 [m] = 8,4. Suma (g): 0,138 Ze względu na ciężar wykończenia obciążenie stałe powiększono o 1%: Producent: Ryterna modul Typ: Moduł kontenerowy PB1 (długość: 6058 mm, szerokość: 2438 mm, wysokość: 2800 mm) Autor opracowania: inż. Radosław Noga (na podstawie opracowań producenta) 1. Stan graniczny

Bardziej szczegółowo

Analiza stanu przemieszczenia oraz wymiarowanie grupy pali

Analiza stanu przemieszczenia oraz wymiarowanie grupy pali Poradnik Inżyniera Nr 18 Aktualizacja: 09/2016 Analiza stanu przemieszczenia oraz wymiarowanie grupy pali Program: Plik powiązany: Grupa pali Demo_manual_18.gsp Celem niniejszego przewodnika jest przedstawienie

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Obszary sprężyste (bez możliwości uplastycznienia)

Obszary sprężyste (bez możliwości uplastycznienia) Przewodnik Inżyniera Nr 34 Aktualizacja: 01/2017 Obszary sprężyste (bez możliwości uplastycznienia) Program: MES Plik powiązany: Demo_manual_34.gmk Wprowadzenie Obciążenie gruntu może powodować powstawanie

Bardziej szczegółowo

Właściwości reologiczne

Właściwości reologiczne Ćwiczenie nr 4 Właściwości reologiczne 4.1. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z pojęciem reologii oraz właściwości reologicznych a także testami reologicznymi. 4.2. Wstęp teoretyczny:

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie Teoria sprężystości jest działem mechaniki, zajmującym się bryłami sztywnymi i ciałami plastycznymi. Sprężystość zajmuje się odkształceniami

Bardziej szczegółowo

Analiza fundamentu na mikropalach

Analiza fundamentu na mikropalach Przewodnik Inżyniera Nr 36 Aktualizacja: 09/2017 Analiza fundamentu na mikropalach Program: Plik powiązany: Grupa pali Demo_manual_en_36.gsp Celem niniejszego przewodnika jest przedstawienie wykorzystania

Bardziej szczegółowo

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y) Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Budowa Maszyn

Mechanika i Budowa Maszyn Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

Bardziej szczegółowo

. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest porównanie na drodze obserwacji wizualnej przepływu laminarnego i turbulentnego, oraz wyznaczenie krytycznej licz

. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest porównanie na drodze obserwacji wizualnej przepływu laminarnego i turbulentnego, oraz wyznaczenie krytycznej licz ZAKŁAD MECHANIKI PŁYNÓW I AERODYNAMIKI ABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW ĆWICZENIE NR DOŚWIADCZENIE REYNODSA: WYZNACZANIE KRYTYCZNEJ ICZBY REYNODSA opracował: Piotr Strzelczyk Rzeszów 997 . Cel ćwiczenia Celem

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa - podsumowanie

Funkcja liniowa - podsumowanie Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych

Bardziej szczegółowo

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.

Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

Drgania układu o wielu stopniach swobody

Drgania układu o wielu stopniach swobody Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

mgr inż. Paweł Szeptyński Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych 07 Teoria stanu naprężenia i odkształcenia

mgr inż. Paweł Szeptyński Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych 07 Teoria stanu naprężenia i odkształcenia NAPRĘŻENIE Teoria stanu naprężenia i odkształcenia Naprężeniem nazywamy gęstość powierzchniowych sił wewnętrznych obrazujących oddziaływanie jednej części ciała na drugą, po dokonaniu jego myślowego rozcięcia.

Bardziej szczegółowo

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe

Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami

Bardziej szczegółowo

Stateczność zbocza skalnego ściana skalna

Stateczność zbocza skalnego ściana skalna Przewodnik Inżyniera Nr 29 Aktualizacja: 06/2017 Stateczność zbocza skalnego ściana skalna Program: Stateczność zbocza skalnego Plik powiązany: Demo_manual_29.gsk Niniejszy Przewodnik Inżyniera przedstawia

Bardziej szczegółowo

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Dynamika

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Dynamika Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Dynamika Prowadzący: Kierunek Wyróżniony przez PKA Mechanika klasyczna Mechanika klasyczna to dział mechaniki w fizyce opisujący : - ruch ciał - kinematyka,

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo