Wstęp do nieskończenie-wymiarowej analizy matematycznej i topologii. 1. Rachunek różniczkowy w przestrzeniach Banacha

Transkrypt

1 Wstęp do nieskończenie-wymiarowej analizy matematycznej i topologii Wojciech Kryszewski 1. Rachunek różniczkowy w przestrzeniach Banacha 1.1. Pochodne W tym rozdziale, Y oznaczają rzeczywiste przestrzenie Banacha ( 1 ); L(, Y ) jest przestrzenią wszystkich ciągłych, tzn. ograniczonych operatorów liniowych Y. Jest to przestrzeń Banacha wraz z normą T := sup T (x) ; T L(, Y ). x 1 Równoważnie T = inf{c 0 x T (x) C x }. Zupełność L(, Y ) wynika z zupełności Y. Z definicji wynika, że dla dowolnego x, T (x) T x. W szczególności := L(, R). Elementy nazywamy funkcjonałami liniowymi i ciągłymi. Dla p i x, używamy oznaczenia p, x := p(x). Wówczas przekształcenie, : R jest dwuliniowe i ciągłe. Ponadto, dla p oraz x, p, x p x. Jeśli jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym, to istnieje izomorfizm utożsamiać oraz. Dokładniej dla dowolnego p istnieje dokładnie jeden wektor x taki, że dla każdego u, p, u = x u. Uzasadnia to dodatkowo poprawność użycia symbolu,. W dalszym ciągu iloczyn skalarny oznaczany będzie też tym symbolem. Warto pamiętać, że dla dowolnego x, x = sup p, x. p 1 1 Zupełność nie zawsze jest konieczna; wszystkie normy oznaczamy symbolem licząc na domyślność czytelnika, o którą normę chodzi. 1

2 W istocie istnieje funkcjonał p, p = 1 taki, że x = p, x. Zatem x = max p, x. p =1 Niech f : U Y, gdzie U jest zbiorem otwartym, i x 0 U Definicja: Operator T L(, Y ) jest: 1. pochodną Gateaux odwzorowania f w punkcie x 0 jeśli u f(x 0 + hu) f(x 0 ) ht (u) lim h 0 h 2. pochodną Frécheta odwzorowania f w punkcie x 0 jeśli f(x 0 + u) f(x 0 ) T (u) lim u 0 h = słabą pochodną Gateaux odwzorowania f w punkcie x 0 jeżeli u p = 0. 1 lim h 0 h p, f(x 0 + hu) f(x 0 ) ht (u) = słabą pochodną Frécheta odwzorowania f w punkcie x 0 jeżeli p Y 1 lim u 0 u p, f(x 0 + u) f(x 0 ) T (u) = 0. Odwzorowanie f jest (słabo) różniczkowalne w sensie Gateaux (odp. Frécheta) w punkcie x 0 (odp. w zbiorze A U) jeśli w tym punkcie (odp. w dowolnym punkcie zbioru A) posiada (słabą) pochodną Gateaux (odp. Frécheta). Warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej w sensie Frécheta jest: gdzie ε : Y jest funkcją taką, że f(x 0 + u) f(x 0 ) = T (u) + ε(h) lim ε(u)/ u = 0. u 0 Zauważmy, że jeśli f jest (słabo) różniczkowalna w sensie Frécheta w x 0, to jest w tym punkcie (słabo) ciągła ( 2 ). Istotnie: dla każdego ε > 0, istnieje δ > 0 taka, że jeśli u oraz u < δ, to f(x 0 + u) f(x 0 ) T (u) < ε u. 2 Przypomnijmy, że f jest słabo ciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy, dla dowolnego p Y, odwzorowanie U x p, f(x) R jest ciągłe. Zauważmy, że istnieją odwzorowania słabo ciągłe, które nie są ciągłe; podać odpowiedni przykład. Pokazać też, że gdy Y = R n, to słaba i zwykła ciągłość są równoważne. 2

3 Wobec tego f(x 0 + u) f(x 0 ) ε u + T u ; to implikuje ciągłość. W analogiczny sposób dowodzimy słabej ciągłości. (Słaba) różniczkowalność w sensie Gateaux nie implikuje (słabej) ciągłości. Dla przykładu: funkcja f : R 2 R dana wzorem f(x, y) = x y (x2 + y 2 ) oraz f(x, 0) = 0 (x, y R) jest różniczkowalna w sensie Gateaux w punkcie (0, 0) (dokładnie T 0 jest jej pochodną Gateaux w punkcie (0, 0)) lecz nie jest w tym punkcie ciągła. Oczywiście jeśli f posiada (słabą) pochodną Frécheta T w punkcie x 0, to również T jest jego (słabą) pochodną Gateaux. Zatem (słaba) różniczkowalność w sensie Frécheta implikuje (słabą) różniczkowalność w sensie Gateaux. Powyższy przykład dostarcza dowodu, że nie jest na odwrót. Oczywiście różniczkowalność w sensie Frécheta (odp. w sensie Gateaux) implikuje słabą różniczkowalność w odpowiednim sensie. Z tych względów mówi się o pochodnej mocnej (=pochodna Frécheta) 3 ) i słabej (=pochodna Gateaux). Z uwagi jednak na przyjętą wyżej terminologię nie będziemy używać tych określeń. Przypuśćmy, że f jest (słabo) różniczkowalna w sensie Frécheta (lub Gateaux). Wówczas pochodna wyznaczona jest jednoznacznie, tzn. jeśli operatory T, S L(, Y ) zadośćczynią powyższej definicji, to T = S. Udowodnimy, to w przypadku słabej pochodnej Gateaux (będzie to implikować prawdziwość tezy we wszystkich pozostałych przypadkach). Załóżmy, że operatory liniowe i ciągłe T, S : Y spełniają warunek 4, z definicji. Zatem dla dowolnego u oraz p Y, p, T (u) S(u) = 0. Stąd (zauważmy, że Y rozdziela punkty w Y ) wynika, że T (u) = S(u) dla wszystkich u U; zatem T S. Wobec tego, jeśli f, jest różniczkowalna w punkcie x 0 U, to pochodną (w określonym sensie) oznaczamy symbolem f (x 0 ) pamiętając, by każdorazowo określić w jakim sensie należy rozumieć tę pochodną Uwaga: Zauważmy, że słaba różniczkowalność w sensie Frécheta (lub Gateaux) odwzorowania f w punkcie x 0 implikuje różniczkowalność w sensie Frécheta (lub Gateaux) w punkcie x 0 funkcji ϕ : U x p, f(x) R gdzie p jest dowolnym funkcjonałem w Y. Ponadto ϕ (x 0 )(v) = p, f (x 0 )(v). Zauważmy, że jeśli, dla dowolnego p Y, funkcjonał ϕ p := p, f( ) jest różniczkowalny x 0, = R oraz przestrzeń Y jest słabo zupełna, to odwzorowanie f jest słabo różniczkowalne w x 0. Istotnie, dla dowolnego p Y istnieje granica ϕ 1 p(x 0 )(1) = lim t 0 t p, f(x 0 + t) f(x 0 ). Ze słabej zupełności i twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że (w Y ) istnieje 3 Lub po prostu o pochodnej. 3

4 słaba granica 1 y = w lim t 0 t [f(x 0 + t) f(x 0 )]. Oczywiście, dla dowolnego p Y, y = ϕ p(x 0 )(1). Zatem dla dowolnego p Y, 1 lim t 0 t p, f(x 0 + t) f(x 0 ) ty = 0. Tak więc y jest słaba pochodną f w punkcie x 0. Rozważa się niekiedy jeszcze słabsze warunki różniczkowalności. Mianowicie, dla danego wektora u, można mówić o pochodnej kierunkowej odwzorowania f w punkcie x 0 w kierunku u: f f(x 0 + hu) f(x 0 ) (x 0 ; u) := lim. h 0 h Nietrudno pokazać, że jeśli f (x 0 ; u) istnieje, to dla dowolnego λ R, istnieje pochodna f (x 0 ; λu) oraz f (x 0 ; λu) = λf (x 0 ; u). Niestety istnienie pochodnych f (x 0 ; u) oraz f (x 0 ; w) (gdzie w ) nie implikuje na ogół istnienia f (x 0 ; u + w). Ponadto nawet przy założeniu, że dla dowolnego u, istnieje f (x 0 ; u) oraz przekształcenie u f (x 0 ; u) jest liniowe, to nie musi być ono ciągłe. Tak więc istnienie wszystkich pochodnych kierunkowych oraz liniowa zależność od kierunku nie oznacza różniczkowalności w sensie Gateaux. Jednak jeśli wszystkie pochodne kierunkowe istnieją oraz przekształcenie f (x 0 ; ) L(, Y ), to f jest różniczkowalne w sensie Gateaux. W analogiczny sposób można wprowadzić pojęcie słabej pochodnej kierunkowej. O słabej pochodnej kierunkowej mówimy jeżeli, dla dowolnego p Y istnieje 1 lim h 0 h p, f(x 0 + hu) f(x 0 ). Innymi słowy granica 1 lim h 0 h (f(x 0 + hu) f(x 0 )) istnieje w słabym sensie. Granice tę oznaczamy również f (x 0 ; u). Jest jasne, że (słaba) różniczkowalność w sensie Gateaux w x 0 implikuje istnienie (słabej) pochodnej kierunkowej f u(x 0 ) w kierunku dowolnego wektora oraz f (x 0 ; u) = f (x 0 )(u). Tak więc istnienie słabej pochodnej kierunkowej wynika z dowolnie przyjętego założenia o różniczkowalności. Ważnym narzędziem w rachunku różniczkowym są różne twierdzenia o wartości średniej lub twierdzenia o przyrostach. 4

5 Twierdzenie: Załóżmy, że a, b U oraz odcinek domknięty ( 4 ) [a, b] := {(1 t)a + tb t [0, 1]} U. Niech u := b a i przypuśćmy, że dla dowolnego x [a, b] istnieje słaba pochodna kierunkowa f (x; u). Wówczas istnieje liczba θ (0, 1) taka, że f(b) f(a) f ((1 θ)a + θb; u). Jeśli Y = R (wówczas mówienie o słabej pochodnej jest bezprzedmiotowe), to θ można tak dobrać, aby f(b) f(a) = f ((1 θ)a + θb; u). Dowód: Ustalmy funkcjonał p Y, p = 1 taki, że f(b) f(a) = p, f(b) f(a) i rozważmy funkcję pomocniczą ϕ : [0, 1] R daną wzorem ϕ(t) = p, f((1 t)a + tb) = p, f(a + tu), t [0, 1]. Z przyjętych założeń wynika, że dla dowolnego t [0, 1] istnieje (zwykła) pochodna ϕ (t) (w punktach 0, 1 mamy na myśli odpowiednie pochodne jednostronne): ϕ 1 (t) = lim h 0 h p, f(x + hu) f(x) = p, f (x; u) gdzie x := (1 t)a + tb. Z twierdzenia Lagrange a istnieje θ (0, 1) taka, że f(b) f(a) = ϕ(1) ϕ(0) = ϕ (θ) = p, f ((1 θ)a+θb; u) f ((1 θ)a+θb; u). Zauważmy, że w dowodzie użyliśmy możliwie słabego założenia. Zatem, przy założeniu dowolnego mocniejszego typu różniczkowalności w punktach odcinka [a, b] otrzymamy odpowiednie wersje twierdzenie o przyrostach. Wart odnotowania jest wniosek następujący Wniosek: Przy poprzednich założeniach istnieje θ (0, 1) taka, że f(b) f(a) f (a; u) f ((1 θ)a + θb; u) f (a; u). Dowód: Dobieramy, tak jak poprzednio, p Y, p = 1 tak, by f(b) f(a) f (a; u) = p, f(b) f(a) f (a; u) i rozważamy funkcję ϕ(t) = p, f(a + tu) tf (a; u) dla t [0, 1]. Funkcja ϕ jest różniczkowalna na [0, 1] i ϕ (y) = p, f ((1 t)a + tb; u) + f (a; u). Analogicznie jak poprzednio f(b) f(a) f u(a) = ϕ(1) ϕ(0) = ϕ (θ) dla pewnego θ (0, 1). Stąd teza. 4 Oczywiście odcinek otwarty (a, b) = {(1 t)a + tb t (0, 1)} jest również zdefiniowany. 5

6 Zanotujmy jeszcze oba fakty w języku pochodnych (Frécheta lub Gateaux) Wniosek: Jeżeli f : U Y, [a, b] i w dowolnym punkcie x [a, b] istnieje (słaba) pochodna f (x) w sensie Frécheta lub Gateaux, to f(b) f(a) f (a)(b a) sup f (x) f (a) b a x (a,b) f(b) f(a) sup f (x) b a. x (a,b) Zauważmy, że powyżej x = a + θ(b a) gdzie θ (0, 1) Twierdzenie: Załóżmy, że f : U Y i x 0 U. Jeśli pochodna Gateaux f (x) istnieje dla x z pewnego otoczenia V punktu x 0 i przekształcenie V x f (x) L(, Y ) jest ciągłe w punkcie x 0, to f jest różniczkowalna w sensie Frécheta w punkcie x 0. Dowód: Dla dowolnego u takiego, że x 0 + u V mamy f(x 0 + u) f(x 0 ) f (x 0 )(u) sup f (x) f (x 0 ) u. x (x+0,x 0 +u) Weźmy ε > 0. Ciągłość odwzorowania f : V L(, Y ), x f (x) w punkcie x 0 implikuje, że istnieje 0 < δ < 1 taka, że f (x) f (x 0 ) < ε o ile x x 0 < δ. Jeśli więc u < δ oraz x 0 + u V, to f(x 0 + u) f(x 0 ) f (x 0 )(u) < ε u. Zatem T = f (x 0 ) spełnia warunek definicji różniczkowalności w sensie Frécheta Uwaga: (i) W powyższym twierdzeniu założyliśmy różniczkowalność w sensie Gateaux w otoczeniu punktu x 0 i ciągłość pochodnej Gateaux w x 0. Przypuśćmy teraz, że w otoczeniu V punktu x 0 istnieje słaba pochodna Gateaux oraz, że dla każdego p Y, odwzorowanie V x p, f (x)( ) jest ciągłe. Twierdzę, że wtedy f jest słabo różniczkowalna w sensie Frécheta. Rozumując analogicznie jak poprzednio, dla dowolnego p Y i u, p, f(x 0 + u) f(x 0 ) f (x 0 )(u) = p, f (x 0 + θu)(u) f (x 0 )(u). Jeżeli u 0, to p, [f (x 0 + θu) f (x 0 )]( ) 0 w przestrzeni. Oznacza, to że dla każdego ε > 0, istnieje δ > 0 taka, że jeśli u < δ, to dla wszystkich v, v 1, p, [f (x 0 + θu) f (x 0 )](v) < ε. 6

7 W takim razie, dla u < δ Stąd, dla 0 < u < δ, p, [f (x 0 + θu) f (x 0 )](u) < ε u. 1 u p, f(x 0 + u) f(x 0 ) f (x 0 )(u) < ε. W konsekwencji f jest słabo różniczkowalna w punkcie x 0. (ii) Zauważmy jeszcze, że (słaba w powyższym sensie) ciągłość (słabej) pochodnej Gateaux, implikuje następującą własność (nazywaną czasami (słabą) różniczkowalnością Frécheta w ścisłym sensie). Mianowicie, jeśli f jest (słabo) różniczkowalna w sensie Gateaux w otoczeniu punktu x 0 i przekształcenie U x f (x) L(, Y ) (odp. dla każdego p Y, przekształcenie U x p, f (x)( ) ) jest ciągłe, to f(x + u) f(x) f (x 0 )(u) lim = 0 x x 0, u 0 u lub, dla dowolnego p Y, lim x x 0, u 0 1 u [f(x + u) f(x) f (x 0 )(u)] = 0. Dowód w obu przypadkach przebiega analogicznie. Z przedstawionych faktów wynika następująca procedura poszukiwania pochodnej w punkcie x 0 U ciągłego odwzorowania f : U Y : 1. Dla dowolnego u, znajdujemy pochodną kierunkową f (x 0 ; u). Jeśli przekształcenie T : u f (x 0 ) nie jest liniowe lub ciągłe, to f nie jest różniczkowalna. 2. Jeśli przekształcenie T jest liniowe i ciągłe, to jest ono pochodną Gateaux: f (x 0 ) = T. 3. Badamy czy spełniony jest warunek f(x 0 + u) f(x 0 ) = T (u) + ε(u) gdzie ε : Y jest takie, że ε(u)/ u 0 przy u Można też sprawdzić, czy pochodna Gateaux f (x) istnieje dla x z otoczenia punktu x 0. Jeśli tak jest i przekształcenie f : x f (x) jest ciągłe (jako przekształcenie o wartościach w L(, Y )), to pochodna Frécheta istnieje. Ponadto można posłużyć się następującym twierdzeniem Twierdzenie: Niech f, g : U Y i λ R. Jeśli pochodne (w dowolnym sensie) odwzorowań f i g w punkcie x 0 istnieją, to również odwzorowanie f ± g oraz λf są w tym sensie różniczkowalne oraz (f ± g) (x 0 ) = f (x 0 ) ± g (x 0 ) 7

8 (λf) (x 0 ) = λf (x 0 ). Jeśli f : U R oraz pochodna f (x 0 ) (w dowolnym sensie) istnieje, to funkcja fg : U Y dana wzorem (fg)(x) = f(x)g(x) jest różniczkowalna w tym sensie oraz, dla dowolnego u (fg) (x 0 ) = f (x 0 )(u)g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 )(u). Podobny fakt ma miejsce w sytuacji, gdy Y jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym, : funkcja f, g : R dana wzorem f, g (x) = f(x), g(x) (x ) jest różniczkowalna i f, g (x 0 )(u) = f (x 0 )(u), g(x 0 ) + f(x 0 ), g (x 0 )(u). Dowód: Dowód pierwszej części jest bardzo prosty: pozostawiamy go czytelnikowi. Dla przykładu udowodnimy ostatnią część przy założeniu, że odwzorowania f i g są słabo różniczkowalne w sensie Gateaux w punkcie x 0. Pokażemy, że odwzorowanie f, g jest różniczkowalne w sensie Gateaux w x 0. Z założenia, dla dowolnego u oraz p Y, istnieją granice 1 lim h 0 h p, f(x 0 + hu) f(x 0 ) hf (x 0 )(u) 1 lim h 0 h p, g(x 0 + hu) g(x 0 ) hg (x 0 )(u). Niech u. Wtedy f(x 0 + hu), g(x 0 + hu) f(x 0 ), g(x 0 ) = f(x 0 + hu) f(x 0 ), g(x 0 ) + Niech, dla u, Mamy f(x 0 ), g(x 0 + hu) g(x 0 ). S(u) = f (x 0 )(u), g(x 0 ) + f(x 0 ), g (x 0 )(u). f(x 0 + hu), g(x 0 + hu) f(x 0 ), g(x 0 ) hs(u) = f (x 0 + hu) f(x 0 ) hf (x 0 ), g(x 0 ) + f(x 0 ), g(x 0 + hu) g(x 0 ) hg (x 0 ). Z przyjętych założeń wynika, że 1 lim h 0 h ( f(x 0 + hu), g(x 0 + hu) f(x 0 ), g(x 0 ) hs(u)) = 0. Stąd S jest pochodną Gateaux funkcji f, g w punkcie x 0. Ma miejsce również tzw. reguła łańcucha: Twierdzenie: Załóżmy, że f : U Y i g : V Z gdzie V Y i Z jest przestrzenią Banacha. Niech x 0 U oraz y 0 := f(x 0 ). Jeśli f(u) V, to 8

9 określone jest złożenie g f : U Z. Jeśli pochodne f (x 0 ) oraz g (y 0 ) istnieją w (słabym) sensie Frécheta, to pochodna (g f) (x 0 ) w odpowiednim sensie istnieje i (g f) (x 0 ) = g (y 0 ) f (x 0 ). Dowód: Dowód przeprowadzimy dla słabej pochodnej Fréchate. Weźmy dowolny funkcjonał p Y. Z założenie wynika, że istnieją funkcje ε i : Y (i = 1, 2) takie, że p, ε i (u)/ u 0 przy u 0 (w oraz Y odpowiednio) oraz p, f(x 0 + u) f(x 0 ) = p, f (x 0 )(u) + ε 1 (u) ; Stąd p, g(y 0 + v) g(y 0 ) = p, g (x 0 )(v) + ε 2 (v). p, (g f)(x 0 + u) (g f)(x 0 ) = p, g(f(x 0 ) + f (x 0 ) + ε 1 (u)) g(f(x 0 )) = gdzie p, g (y 0 )(f (x 0 )(u)) + g (y 0 )(ε 1 (u)) + ε 2 (f (x 0 )(u) + ε 1 (u)) = ε(u) := g (x 0 )(ε 1 (u)) + ε 2 (f (x 0 )(u) + ε 1 (u)). p, g (y 0 ) f (x 0 ) + ε(u) Ciągłość pochodnej g (y 0 )( ) i własności funkcji ε 1 i ε 2 implikują, że p, ε(u)/ u 0 przy u 0. Istotnie sprawdzenie wymaga tylko wyrażenie 1 p, u ε 2(f (x 0 )(u) + ε 1 (u)) = p, ε 2(f (x 0 )(u) + ε 1 (u)) f (x 0 )(u) + ε 1 (u) f (x 0 )(u) + ε 1 (u). u W powyższym iloczynie pierwszy czynnik jest zbieżny (słabo) do 0, zaś drugi jest ograniczony: ( ) f (x 0 )(u) + ε 1 (u) u u f (x 0 ) + ε 1 (u)/ u f (x 0 ) + ε 1 (u)/ u. u Dowodzi to, że istotnie g (y 0 ) f (x 0 ) jest (słabą) pochodną Frécheta odwzorowania g f Pochodne wyższych rzędów W tym paragrafie omówimy pojęcie różniczkowalności wyższych rzędów, tzn. różniczkowalność k-krotną. Niech f : U Y będzie odwzorowaniem (słabo) różniczkowalnym w sensie Frécheta lub Gateaux. Wobec tego określone jest przekształcenie f : U L(, Y ), które każdemu x U przyporządkowuje operator (słabej) pochodnej w sensie Frécheta lub Gateaux f (x). Niech x 0 U. Można wtedy badać różniczkowalność odwzorowania g = f : U Z gdzie Z := L(, Y ) jest przestrzenią Banacha. 9

10 Z uwagi na prostotę wykładu będziemy jednolicie przyjmować, że za każdym razem gdy f jest różniczkowalne w określonym sensie, to i g badamy z punktu widzenia różniczkowalności w tym sensie. Powiadamy, że odwzorowanie f jest dwukrotnie (słabo) różniczkowalne w sensie Frécheta lub Gateaux w punkcie x 0 o ile odwzorowanie g jest tam różniczkowalne w odpowiednim sensie. Wobec tego (słaba) pochodna Frécheta lub Gateaux g (x 0 ) = (f ) (x 0 ) L(, L(, Y )). Pokażemy, że przestrzeń L(, L(, Y )) dopuszcza inny adekwatny opis. Niech L 2 (, Y ) oznacza przestrzeń wektorową wszystkich odwzorowań dwuliniowych i ciągłych Y. Jest to przestrzeń Banacha z normą T := inf{c 0 u, v T (u, v) C u v }, T L 2 (, Y ). Rozważmy przekształcenie Φ : L(, L(, Y )) L 2 (, Y ) zadane wzorem Φ(T )(u, v) := T (v)(u), u, v, T L(, L(, Y )). Łatwo zobaczyć, że Φ jest poprawnie określoną bijekcją. Ponadto, dla dowolnych x, x, Φ(T )(u, v) T (v) u T u v. Zatem Φ(T ) T. Z drugiej strony T (v) = sup T (v)(u) = sup Φ(T )(u, v) Φ(T ) v. u 1 u 1 A więc także T Φ(T ). Dowodzi to, że Φ jest izometrią L(, L(, Y )) na L 2 (, Y ). Używając Φ identyfikujemy (słabą) pochodną Frécheta lub Gateaux (f ) (x 0 ) z elementem przestrzeni L 2 (, Y ), który oznaczamy f (x 0 ) i nazywamy drugą pochodną (w odpowiednim sensie) odwzorowania f w punkcie x 0. W podobny sposób można określić pojęcie trzeciej, czwartej itp. (słabej) pochodnej odwzorowania f : U Y. Mianowicie zakładając, że f jest odwzorowaniem (n 1)-krotnie różniczkowalnym w określonym sensie, tzn. że dla dowolnego x U istnieje f (n 1) (x) L n 1 (, Y ), definiujemy n-ta pochodną ( w danym sensie) jako pochodną w punkcie x 0 przekształcenia f (n 1) : U L(, L n 1 (, Y )) L n (, Y ). Zatem, z definicji f (n) (x 0 ) L n (, Y ), jest to więc ciągłe n-liniowe przekształcenie } {{... } Y o normie n f (n) (x 0 ) := inf{c 0 u i f (n) (x 0 )(u 1, u 2,..., u n ) C u 1... u n }. 10

11 Można również mówić o (słabych) pochodnych kierunkowych wyższego rzędu. Niech x 0 U i u. Załóżmy, że dla dowolnego x U istnieje f (x 0 ; u). Niech v. Wtedy (słabą) granicę f (x 0 + tv; u) f (x 0 ; u) lim t 0 t (o ile istnieje) nazywamy (słabą) pochodna kierunkową drugiego rzędu w punkcie x 0 w kierunku wektorów u, v i oznaczamy symbolem f (x 0 ; u, v) Twierdzenie: Jeżeli f : U Y jest odwzorowaniem (słabo) dwukrotnie różniczkowalnym w sensie Frécheta lub Gateaux w punkcie x 0, to dla ustalonego u, odwzorowanie g = f ( )(u) : U Y jest (słabo) różniczkowalne w sensie Fréchate lub Gateaux w punkcie x 0 i g (x 0 )(v) = f (x 0 )(u, v). Dowód: Istotnie mamy (dla przykładu weźmy słabą pochodną Gateaux), dla p Y, p, g(x 0 + tv) g(x 0 ) tf (x 0 )(u, v) = p, [f (x 0 + tv) f (x 0 ) t(f ) (v)](u). Odwzorowanie L(, Y ) T p, T (u) jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na L(, Y ) o normie p u. Zatem z założenia słabej różniczkowalności w sensie Gateaux wynika, że 1 lim t 0 t p, [f (x 0 + tv) f (x 0 ) t(f ) (v)](u) = 0. Zatem istotnie odwzorowanie g jest słabo różniczkowalne w sensie Gateaux i g (x 0 )(v) = f (x 0 )(u, v). Stąd też wynika, że jeśli odwzorowanie f jest (słabo) dwukrotnie różniczkowalne w sensie Frécheta lub Gateaux, to dla dowolnych u, v, istnieje (słaba) pochodna kierunkowa f (x 0 ; u, v) oraz f (x 0 ; u, v) = f (x 0 )(u, v). Podobnie można zdefiniować (słabą) pochodną kierunkową n-tego rzędu odwzorowania f w punkcie x 0 w kierunku wektorów u 1,..., u n, którą oznaczamy f (n) (x 0 ; u 1,..., u n ). Jest jasne, że (słaba) n-krotna różniczkowalność w sensie Frécheta implikuje (słabą) n-krotną różniczkowalność w sensie Gateaux. Z kolei istnienie (słabej) n- tej pochodnej Gateaux implikuje istnienie n-tej (słabej) pochodnej kierunkowej w kierunku dowolnych wektorów u 1,..., u n oraz f (n) (x 0 ; u 1,..., u n ) = f (n) (x 0 )(u 1,..., u n ). 11

12 Podobnie jak powyżej, z założenia n-krotnej (słabej) różniczkowalności w sensie Frécheta lub Gateaux wynika w punkcie x 0, że dla dowolnych wektorów u 1,..., u n 1, odwzorowanie g : U x f (n 1) (x)(u 1,..., u n 1 ) Y jest (słabo) różniczkowalne w punkcie x 0 i g (x 0 )(v) = f (n) (x 0 )(u 1,..., u n 1, v) Twierdzenie: (Schwarza) Niech u, v. Przypuśćmy, że dla dowolnego x U istnieją (słabe) pochodne kierunkowe f (x; u), f (x; v) funkcje f ( ; u), f ( ; v) są (słabo) różniczkowalne w sensie Frécheta w punkcie x 0. Wówczas istnieją (słabe) pochodne f (x 0 ; u, v), f (x 0 ; v, u) i są równe. Przed podaniem dowodu zacytujmy klasyczne twierdzenie Schwarza. Twierdzenie: Jeśli g : K := {(t, s) R 2 t, s < 1} R, dla dowolnego (t, s) K istnieją pochodne cząstkowe g(t, s) oraz g(t, s) i są funkcjami różniczkowalnymi w punkcie (0, 0), to pochodne cząstkowe II-rzędu 2 g(0, 0) oraz t s t s g(0, 0) istnieją i są równe. 2 s t Dowód: Oczywiście istnieją pochodne s 2 g(0, 0). Należy pokazać tylko, że są one równe. t s Wykażemy, że lim [g(t, t) g(0, t) g(t, 0) + g(0, 0)] = 2 t2 t 0 1 Rozważmy pomocniczo funkcję Udowodnimy, że ( g) (0, 0) = 2 g(0, 0) oraz ( g) (0, 0) = t s t t s g(0, 0) = 2 s t g(0, 0). t s (t, s) h(t, s) := g(t, s) t2 g(0, 0) ts g(0, 0). 2 2 t s t lim [h(t, t) h(0, t) h(t, 0) + h(0, 0)] = 0. t ( ) 2 t 0 1 Z uwagi na postać h wyniknie stąd, że lim [g(t, t) g(0, t) g(t, 0) + g(0, 0)] = 2 t2 t 0 1 Podobnie jeśli rozważyć funkcję to pokazawszy, że g(0, 0). s t (t, s) k(t, s) := g(t, s) s2 g(0, 0) ts g(0, 0), 2 2 s t s lim [k(t, t) k(0, t) k(t, 0) k(0, 0)] = 0 t ( ) 2 t

13 wyniknie, że lim [g(t, t) g(0, t) g(t, 0) + g(0, 0)] = 2 t2 t 0 1 Zauważmy wreszcie, że 2 h(0, 0) = 0 = 2 2 t 2 h(0, 0), s t g(0, 0). t s k(0, 0) = 0 = 2 k(0, 0). 2 s t s Tak więc wystarczy pokazać równość ( ) (równość ( ) można wykazać analogicznie). Ponieważ funkcja h jest różniczkowalna w punkcie (0, 0), to możemy napisać t t h(t, s) 2 2 h(0, 0) = t h(0, 0) + s t 2 t s t h(0, 0) + t 2 + s 2 η(t, s) gdzie η jest funkcja ciągłą w (0, 0) i η(0, 0) = 0. Tak więc, w świetle powyższych równości, t h(t, s) t h(0, 0) = t 2 + s 2 η(t, s). Niech ε > 0. Istnieje δ > 0 takie, że η(t, s) < ε o ile t, s < δ. Ustalmy t takie, ze t < δ. Dla dowolnego s, niech Mamy więc Zauważmy, że ϕ(s) = h(s, t) h(s, 0). ϕ(t) ϕ(0) = h(t, t) h(t, 0) h(0, t) + h(0, 0). ϕ (s) = t h(s, t) t h(s, 0) = t h(s, t) t h(0, 0) t h(s, 0) + (0, 0) = t h s2 + t 2 η(s, t) s η(s, 0). W takim razie, dla s t, ϕ (s) s 2 + t 2 η(s, t) + s η(s, 0) t ε 2 + t ε = t (1 + 2)ε. Z twierdzenia Lagrange a Dowodzi to, że ϕ(t) ϕ(0) t 2 (1 + 2)ε. h(t, t) h(0, t) h(t, 0) + h(0, 0) lim t 0 t 2 13 = lim t 0 ϕ(t) ϕ(0) t 2 = 0.

14 Uwaga: Samo istnienie pochodnych f (x 0 ; u, v) i f (x 0 ; v, u) nie wystarczy dla ich równości. Podobnie tylko istnienie pochodnych cząstkowych II-go rzędu nie gwarantuje ich równości. Dla przykładu rozważmy funkcję Wtedy pochodne cząstkowe istnieją lecz są różne. Sprawdzić to. f(x, y) = xy(x2 y 2 ) x 2 + y 2, f(0, 0) = 0. 2 x y f(0, 0), 2 f(0, 0) y x Dowód (twierdzenia Schwarza): Niech p Y i zbadajmy funkcję g : (t, s) p, f(x 0 + tu + sv). Bez zmniejszenia ogólności można założyć, że g określona jest w kwadracie K := {(t, s) R 2 t, s < 1}. Założenia twierdzenie implikują, że dla dowolnego (t, s) K istnieją pochodne cząstkowe g(t, s) oraz g(t, s) oraz są t s to funkcje różniczkowalne w sensie Frécheta w punkcie (0, 0). Z klasycznego twierdzenia Schwarza wynika, że istnieją pochodne cząstkowe drugiego rzędu 2 g(0, 0), t s 2 g(0, 0) i są równe. s s Bezpośredni rachunek pokazuje, że 2 t s g(0, 0) = p, f (x 0 ; v, u) 2 s s g(0, 0) = p, f (x 0 ; u, v). Ponieważ, dla dowolnego p Y mamy p, f (x 0 ; u, v) = p, f (x 0 ; v, u), to otrzymujemy tezę. Zacytujmy obecnie drugie klasyczne twierdzenie Schwarza. Twierdzenie: Jeśli g : K := {(t, s) R 2 t, s < 2} R, dla dowolnego (t, s) K istnieją pochodne cząstkowe 2 g(t, s) oraz 2 g(t, s) i są funkcjami t s s t ciągłymi w punkcie (0, 0), to są one równe. Dowód: Ustalmy (t 0, s 0 ) takie, że 0 < t 0, s 0 < 1 i rozważmy funkcje pomocnicze ϕ(t, s) := g(t + t 0, s) g(t, s), ψ(t, s) := g(t, s + s 0 ) g(t, s) określone dla t, s < 1. Dla (t, s) z dziedziny funkcji ϕ, ψ istnieją pochodne s ϕ(t, s) = s g(t + t 0, s) s g(t, s), t ψ(t, s) = t g(t, s + s 0) g(t, s). t Z twierdzenia o wartości średniej, dla pewnych θ 1, θ 2 (0, 1), ϕ(0, s 0 ) ϕ(0, 0) = s 0 s ϕ(0, θ 1s 0 ) = s 0 [ s g(t 0, θ 1 s 0 ) s g(0, θ 1s 0 )], 14

15 ψ(t 0, 0) ψ(0, 0) = t 0 t ψ(θ 2t 0, 0) = t g(θ 2t 0, s 0 ) t g(θ 2t 0, 0)]. Stosując powtórnie twierdzenie o wartości średniej, tym razem do funkcji g oraz s g otrzymamy, dla pewnego θ t 3, θ 4 (0, 1) ϕ(0, s 0 ) ϕ(0, 0) = t 0 s 0 2 ψ(t 0, 0) ψ(0, 0) = s 0 t 0 2 Z drugiej strony, jak łatwo sprawdzić, t s g(θ 3t 0, θ 1 s 0 ), s t g(θ 2t 0, θ 4 s 0 ). ϕ(0, s 0 ) ϕ(0, 0) = g(t 0, s 0 ) g(t 0, 0) g(0, s 0 ) + g(0, 0) = ψ(t 0, 0) ψ(0, 0). Wobec tego 2 t s g(θ 3t 0, θ 1 s 0 ) = 2 s t g(θ 2t 0, θ 4 s 0 ). Przechodząc do granicy t 0 0, s 0 0 i korzystając z założonej ciągłości, otrzymamy, że 2 g(0, 0) = 2 t s Mamy więc drugie twierdzenie Schwarza: g(0, 0). s t Twierdzenie: Jeśli dla x z pewnego otoczenia punktu x 0 istnieją (słabe) pochodne kierunkowe f (x; u, v), f (x; v, u) oraz funkcje x f (x; u, v), x f (x; v, u) są (słabo) ciągłe w x 0, to również f (x 0, u, v) = f (x 0 ; v, u). Dowód: Podobnie jak poprzednio, niech p Y i rozważmy funkcję g(t, s) := p, f(x 0 + tu + sv) określoną dla (t, s) z otoczenia punktu (0, 0) w R 2. Bez zmniejszenia ogólności można założyć, że g zdefiniowana jest poprawnie na zbiorze {(t, s) R 2 t, s < 2}. Założenia implikują, że spełnione są wszystkie założenia drugiego klasycznego twierdzenia Schwarza. Wobec tego To kończy dowód, gdyż 2 g(0, 0) = 2 t s g(0, 0). s t 2 t s g(0, 0) = p, f (x 0 ; v, u), Z dowolności p wynika teza. 2 s s g(0, 0) = p, f (x 0 ; u, v). Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli odwzorowanie f jest (słabo) dwukrotnie różniczkowalne w sensie Frécheta w punkcie x 0, to (słaba) pochodna f (x 0 ) jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym: f (x 0 )(u, v) = f (x 0 )(v, u) 15

16 dla dowolnych u, v. Analogicznie n-krotna (słaba) różniczkowalność w punkcie x 0 implikuje, że n-ta (słaba) pochodna jest odwzorowaniem n-liniowym symetrycznym, tzn. dla dowolnej permutacji π S n i u 1,..., u n mamy f (n) (x 0 )(u 1,..., u n ) = f (n) (x 0 )(u π(1),..., u π(n) ). Uwaga: Nie jestem pewien czy dwukrotna (słaba) różniczkowalność w sensie Gateaux odwzorowania f w punkcie x 0 implikuje, że (słaba) pochodna Gateaux f (x 0 ) jest odwzorowaniem symetrycznym Twierdzenie: (Wzór Taylora) Załóżmy, że odwzorowanie f : U Y jest (n 1)-krotnie (słabo) różniczkowalne w sensie Frécheta i n-ta (słaba) pochodna (w tymże sensie) f (n) (x 0 ) istnieje. Wówczas istnieje funkcja ε : Y taka, że ε(u)/ u n 0 (słabo) przy u 0 oraz dla dostatecznie małych u ( 5 ), f(x 0 + u) f(x 0 ) = n 1 k! f (k) (x 0 )(u, u,..., u) + ε(u). }{{} k=1 k Dowód: Zastosujemy indukcję matematyczną w przypadku gdy mamy do czynienia z różniczkowalnością (mocną) w sensie Frécheta. Dla n = 1 prawdziwość twierdzenia jest oczywista. Załóżmy więc, że teza jest prawdziwa dla n 1. Niech, dla u takich, że x 0 + u U, ε(u) := f(x 0 + u) n 1 k! f (k) (x 0 )(u,...u) }{{} k=0 (oczywiście, dla k = 0, f (k) (x 0 )(u,...u) = f(x }{{} 0 )). Mamy udowodnić, że ε(u)/ u n k dąży do 0 o ile u 0 w. Funkcja ε( ) przyjmuje wartości w Y i jest określona na pewnym otwartym otoczeniu V punktu u = 0. Twierdzę, że jest ona wszędzie różniczkowalna w sensie Frécheta. W tym celu wystarczy pokazać, że dla każdego k = 1,..., n, odwzorowanie g : u f (k) (x 0 )(u,..., u) }{{} k jest (słabo) różniczkowalne w sensie Frécheta. Zauważmy, że dla u z otoczenia V i v, dzięki symetrii, k Zatem g(u + v) g(u) = g(u) + nf (n) (x 0 )(u,..., u, v) + f }{{} (k) (x 0 )(v,..., v). }{{} k 1 k ε (u)(v) = f (x 0 + u)(v) n 1 (k 1)! f (k) (x 0 )(u,..., u, v) }{{} i=1 k 1 5 Na tyle małych, by x 0 + u U. 16

17 Z założenie indukcyjnego (zastosowanego do odwzorowanie f : U L(, Y )) ε otrzymujemy, że (u) dąży do 0 w L(, Y ) o ile u 0. W takim razie, z u n 1 twierdzenia o przyrostach, dla dowolnego p Y ε(u) u n ε(u) ε(0) = 1 u n u n sup ε (θu) u = sup θ (0,1) θ (0,1) θ n 1 ε (θu) 0. θu n 1 W przypadku słabej różniczkowalności weźmy p Y i rozważmy funkcję η : u p, ε(u) R Analogicznie jak poprzednio pokazujemy, że η jest różniczkowalna w sensie Frécheta: n η (u)(v) = p, ε (u)(v) = p, f 1 (x 0 + u)(v) (k 1)! f (k) (x 0 )(u,..., u, v). }{{} Wykorzystując założenie indukcyjne (zastosowane do funkcji h : U x p, f działającej następująco h(x)(v) = p, f (x)(v) ) otrzymamy, że η (u) / u n 1 0 gdy u 0. Znowu z twierdzenia o przyrostach η(u) / u n 0 przy 0. Pokazaliśmy więc, że dla każdego p Y, p, ε(u) 0. u n Ze względu na wygodę notacji w dalszym ciągu piszemy: gdy B L k (, Y ) i u, Bu k := B(u,..., u). }{{} k i=1 W pewnym sensie fakt odwrotny również zachodzi Twierdzenie: Załóżmy, że dane są operatory B k L k (, Y ), k = 1,..., n, oraz n-krotnie (słabo) różniczkowalne w punkcie x 0 odwzorowanie ε : Y takie, że ε(u)/ u n 0 (słabo) w Y o ile u 0 w. Jeśli odwzorowanie f : U Y jest takie, że dla x U, f(x) = f(x 0 ) + n k=1 1 k! B k(x x 0 ) k + ε(x x 0 ), to f jest odwzorowaniem n-krotnie (słabo) różniczkowalnym w sensie Frécheta i, dla dowolnego 1 k n, f (k) (x 0 ) = B k. Dowód: Oczywiście f jest odwzorowaniem (słabo) n-krotnie różniczkowalnym w x 0. Dla n = 1 teza jest to oczywiście prawdziwa. Przypuśćmy, że jest prawdziwa dla n 1. Skoro f(x) = f(x 0 ) + n k=1 1 k! B k(x x 0 ) k + ε(x x 0 ), 17 k 1

18 to f(x) = f(x 0 ) + n 1 k=1 [ ] 1 1 k! B k(x x 0 ) k + n! B n(x x 0 ) n + ε(x x 0 ). Ponieważ [ 1 n! B nu + ε(u) ] / u n 1 0 (słabo) w Y o ile u 0, to na mocy założenie indukcyjnego dla k = 1,..., n 1 Zauważmy, że f (x)(v) = B 1 (v) + n k=1 f (k) (x 0 ) = B k. W takim (w przestrzeni L(, Y )) można napisać f (x) = f (x 0 ) + 1 (k 1)! B k((x x 0 ) k 1, v) + ε (x x 0 )(v). n 1 k=1 1 k! C k(x x 0 ) k + η(x x 0 ) gdzie C k L k (, L(, Y )), k = 1,..., n 1, dane jest wzorem Z założenie indukcyjnego C k (u 1, u 2,..., u k )(v) = B k+1 (u 1,..., u k, v). (f ) (n 1) (x 0 ) = C n 1. Z uwagi na izomorfizm utożsamiający L n 1 (, L(, Y )) z L n (, Y ) i pamiętając, że f (n) (x 0 ) jest n-liniowym odwzorowaniem odpowiadającym (f ) (n 1) (x 0 ), możemy napisać, że f (n) = B n. Analogicznie można scharakteryzować (słabą) różniczkowalność w sensie Gateaux Twierdzenie: Niech f : U Y, x 0 U. Odwzorowanie f jest n-krotnie różniczkowalna w sensie Gateaux w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją operatory B k L k (, Y ) oraz, dla dowolnego u, funkcja ε : R Y taka, że ε(t)/t n 0 (słabo w Y ) przy t 0 oraz, dla małych t, f(x 0 + tu) = f(x 0 ) + Wówczas też (słaba) pochodna Gateaux n k=1 f (k) (x 0 ) = B k. t k k! B ku k + ε(t). 18

19 1.3. Pochodne cząstkowe Załóżmy, że Y = Y 1 Y 2... Y m, gdzie Y i jest przestrzenią Banacha. Wtedy oczywiście (Y, i ) jest przestrzenią Banacha z normą (y 1,..., y m ) := max 1 i m y i i, y i Y i, i = 1,..., m. Ta tzw. max-norma jest równoważna normie (y 1,..., y ) := ( m i=1 y i 2 ) 1 2. Dla i = 1,..., m definiujemy rzut π i : Y Y i wzorem π i (y 1,..., y m ) = y i (i = 1,..., m) oraz włożenie ι i : Y i Y wzorem ι i (y) = (0,..., 0, y, 0,..., 0) gdzie y jest na i-tym miejscu. Łatwo zauważyć, że maja miejsce związki: π i ι i = I Yi ; m ι i π i = I Y. i= Twierdzenie: Niech f : U Y. Wówczas f jest odwzorowaniem (słabo) różniczkowalnym w sensie Frécheta lub Gateaux w punkcie x 0 U wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego i = 1,..., m, f i := π i f : U Y i jest (słabo) różniczkowalne w takim sensie w punkcie x 0. Wtedy też f (x 0 ) = m ι i f i(x 0 ). i=1 Dowód: Jeżeli f jest (słabo) różniczkowalne w x 0, to również f i = π i f jest odwzorowaniem (słabo) różniczkowalnym oraz f i(x 0 ) = π i f (x 0 ). Dla (słabe) pochodnej w sensie Frécheta wynika to natychmiast z reguły łańcucha; w przypadku (słabej) pochodnej Gateaux wystarczy sprawdzić, że dla dowolnego u i p i Yi mamy 1 lim h 0 h p i, f i (x 0 +hu) f i (x 0 ) hπ i f 1 (x 0 )(u) = lim h 0 h p, f(x 0+hu) f(x 0 ) hf (x 0 ) = 0 gdzie p Y jest dany wzorem p, y = p i, π(y), y Y. 19

20 Zatem ( ) m ι i f (x 0 ) = ι i π i f (x 0 ) = f (x 0 ). i=1 i=1 Na odwrót, jeśli f i jest (słabo) różniczkowalne w x 0, to f = i=1 ι i f i. Analogicznie jak wyżej można pokazać, że dla dowolnego i = 1,..., m, odwzorowanie ι i f i jest (słabo) różniczkowalne w odpowiednim sensie oraz (ι i f i ) (x 0 ) = ι i f i(x 0 ). Zatem ( m ) m m f (x 0 ) = ι f i (x 0 ) = (ι i f i ) (x 0 ) = ι f i(x 0 ). i=1 i=1 Załóżmy obecnie, że = n gdzie, dla j = 1,..., n, j jest przestrzenią Banacha. Podobnie jak powyżej jest wówczas przestrzenią Banacha. Niech U będzie zbiorem otwartym. Dla a = (a 1,..., a n ) definiujemy przekształcenie w j : j, j = 1,..., n, wzorem Jeśli a U, to niech, dla j = 1,..., n, i=1 w j (x) = (a 1,..., a j 1, x, a j+1,..., a n ), x j. U j := {x j w j (x) U}. Jest jasne, że U j = w 1 j (U) jest zbiorem otwartym w j dla dowolnego j = 1,..., n Twierdzenie: Jeśli f : U Y jest odwzorowaniem (słabo) różniczkowalnym w sensie Frécheta lub Gateaux w punkcie a U, to odwzorowanie f w j : U j Y jest (słabo) różniczkowalne w odpowiednim sensie w punkcie a j oraz f (a)(u) = n (f w j ) (a j )(u j ), u = (u 1,..., u n ). j=1 Dowód: Niech ι j : j będzie włożeniem zdefiniowanym tak jak poprzednio. Wówczas, dla j = 1,..., n, w j (x) = a + ι j (x a j ), x j. Łatwo zauważyć, że odwzorowanie w j jest wobec tego różniczkowalne w sensie Frécheta oraz w j(x) = ι j dla wszystkich x j. W takim razie, jeśli f jest (słabo) różniczkowalne w sensie Frécheta, to z reguły łańcucha, (f w j ) (a) = f (a) ι j. 20

21 Ponieważ n j=1 ι j π j = I (gdzie pi j : j jest rzutowaniem), to ( n n n ) (f w j ) (a)(u i ) = f (a) ι j π j (u) = f (a) ι j π j (u) = f (a)(u). j=1 j=1 j=1 W powyższym dowodzie, jeśli f jest (słabo) różniczkowalne w sensie Gateaux, to bezpośrednio sprawdzamy, że (słaba) pochodna Gateaux Istotnie, dla każdego p Y i u j, (f w j ) (a) = f (a) ι j. 1 lim t 0 t p, f(w j(a + tu)) f(w j (a)) tf (a)(0,..., 0, u, 0,..., 0) = gdzie v = (0,..., 0, u, 0,.., 0). Dalej dowód wygląda tak samo. 1 lim t 0 t p, f(a + tv) f(a) tf (a)(v) = Definicja: Niech j = 1,.., n. Jeśli odwzorowanie f w j jest (słabo) różniczkowalne w sensie Frécheta w punkcie a j, to odpowiednią pochodną (f w j ) (a i ) nazywamy j-tą (słabą) pochodną cząstkową Frécheta lub Gateaux odwzorowania f w punkcie a i oznaczamy symbolem j f(a). Z udowodnionego twierdzenia wynika, że (słaba) różniczkowalność w sensie Frécheta lub Gateaux odwzorowania f w punkcie a implikuje istnienie wszystkich pochodnych cząstkowych (w odpowiednim sensie) i f (a)(u) j=1 j f(a)(u j ); u = (u 1,..., u n ). Zatem f (a) = n j f(a) π j. j=1 Istnienie (słabych) pochodnych cząstkowych w sensie Frécheta jest warunkiem koniecznym (słabej) różniczkowalności w sensie Frécheta. Nie jest natomiast warunkiem dostatecznym (są na to proste przykłady). W przypadku (słabych) pochodnych Gateaux tak jest Twierdzenie: Jeśli f posiada w otoczeniu punktu a wszystkie (słabe) pochodne cząstkowe w sensie Gateaux (Frécheta) i są one (słabo) ciągłe w a, to f jest (słabo) różniczkowalna w sensie Gateaux (Frécheta) Frécheta w punkcie a i f (a) = n j f(a) π j. j=1 21

22 Dowód: Z założenia przekształcenie x L(x) = n j f(x) π j L(, Y ) j=1 określone w otoczeniu punktu a jest ciągłe w a. Pokażemy, że f jest różniczkowalna w (słabym) sensie Gateaux w otoczeniu a i jej pochodna Gateaux dla x z tego otoczenia wyraża się prawą stroną powyższego. Dowód dla (słabej) różniczkowalności w sensie Frécheta jest analogiczny. Niech p Y, u. Dalszy dowód przeprowadzimy w przypadku, gdy n = 2; rozumowanie dla dowolnego n jest analogiczne. Dla dowolnego t R, p, f(a + tu) f(a) tl(a)(u) = p, f(a 1 + tu 1, a 2 + tu 2 ) f(a 1, a 2 ) t( 1 f(a)(u 1 ) + 2 f(a)(u 2 ) = p, [f(a 1 + tu 1, a 2 ) f(a 1, a 2 ) t 1 f(a)(u 1 )] +[f(a 1 + tu 1, a 2 + tu 2 ) f(a 1 + tu 1, a 2 ) t 2 f(a)(u 2 )] = p, f(a 1 + tu 1, a 2 ) f(a 1, a 2 ) t 1 f(a)(u 1 ) + p, t( 2 f(a 1 + tu 1, a 2 + θtu 2 )(u 2 ) 2 f(a)(u 2 )). Pierwszy składnik po prawej stronie podzielony przez t dąży do zera; drugi składnik również dąży do zera, gdyż 2 f(a 1 + tu 1, a 2 + θtu 2 )(u 2 ) 2 f(a)(u 2 )) 0 słabo w Y na mocy założenia. W takim razie L(a) jest (słabą) pochodną Gateaux w punkcie a Funkcje klasy C n Niech f : U Y. Powiadamy, że odwzorowaniem klasy C 1 (w słabym sensie) jeśli jest (słabo) różniczkowalne na całym zbiorze U oraz (dla dowolnego p Y ) odwzorowanie U x f (x) L(, Y ) (odwzorowanie U x p, f (x)( ) jest ciągłe. Piszemy też, ze f C 1 (U) (f Cw(U)) 1 albo, aby wyodrębnić przestrzeń wartości: f C 1 (U, Y ) (f Cw(U, 1 Y )). Jest jasne, że jeśli f C 1 (U), to f Cw(U). 1 Jeśli f Cw(U, 1 Y ), to, dla dowolnego p Y, mamy p, f ( ) C 1 (U, R). W świetle powyższych rozważań, jeżeli dim = 1 i przestrzeń Y jest słabo zupełna, to mam miejsce również fakt odwrotny W podobny sposób można zdefiniować klasę C 1 dla różniczkowalności w sensie Gateaux. Przypuśćmy, że f jest klasy C 1 w sensie (słabej) pochodnej Gateaux. Oznacza to, że dla dowolnego x U istnieje (słaba) pochodna Gateaux f (x) i odwzorowanie U x f (x) L(, Y ) jest ciągłe (odp. dla każdego p Y, odwzorowanie U x p, f (x)( ) jest ciągłe. Widzimy więc, że w tych warunkach f jest (słabo) różniczkowalna w sensie Frécheta i ma miejsce ciągłość, 22

23 o której wyżej mowa. Tak więc rozważanie własności C 1 w kontekście (słabej) pochodnej Gateaux nie mam sensu. W analogiczny sposób można zdefiniować pojęcie klasy C n. Mówimy, że (słabo) n-krotnie różniczkowalne w sensie Frécheta odwzorowanie f : U Y jest klasy C n (odpowiednio klasy Cw) n jeśli jest klasy C n 1 (odp. klasy Cw n 1 ) oraz przekształcenie U x f (n) (x) L n (, Y ) jest ciągłe (odp. dla dowolnego p Y, przekształcenie U x p, f (n) (x)(cot) L n (, R) jest ciągłe). Oprócz wzoru Taylora z resztą w postaci Peano ma miejsce następujący fakt Twierdzenie: (Wzór Taylora z resztą w postaci całkowej) Niech f : U Y będzie odwzorowaniem klasy C n+1 (odp. klasy Cw n+1 ). Jeśli x 0 U, u oraz [x 0, x 0 + u] U, to zachodzi następujący wzór: gdzie f(x 0 + u) = R n+1 (x 0, u) = n k= k! f (k) (x 0 )u k + R n+1 (x 0, u) (1 t) n f (n+1) (x 0 + tu)u n 1 dt. n! Dowód: Przede wszystkim zauważmy, że powyższa całka jest poprawnie zdefiniowana: jeśli f C n+1 (U, Y ), to odwzorowanie [0, 1] t (1 t)n f (n+1) (x 0 + tu)u n 1 Y n! jest ciągłe; zatem zwykła całka Riemanna jest poprawnie zdefiniowana. W przypadku, gdy f Cw n+1, to dla każdego p Y, funkcja [0, 1] t p, f (n+1) (x 0 + tu)u n+1 jest ciągła; wówczas również zdefiniowana jest ta całka (dokładne uzasadnienie podane będzie później) oraz dla każdego p Y 1 (1 t) n 1 p, f (n+1) (x 0 + tu)u n 1 (1 t)n dt = p, f (n+1) (x 0 + tu)u n 1 dt. n! n! 0 Najpierw potrzebujemy lematu. Lemat: Jeśli funkcja g : [0, 1] R jest (n+1)-krotnie różniczkowalna, ϕ : [0, 1] Y jest również (n + 1)-krotnie (słabo) różniczkowalna, to dla t [0, 1], g (n+1) (t)ϕ(t) ( 1) n+1 g(t)ϕ (n+1) (t) = 23 0 ( n+1 ) ( 1) k 1 g (n+1 k) ϕ (k 1) (t). k=1

24 Dowód (lematu): Istotnie, dla dowolnego t [0, 1], ( n+1 ) n+1 ( 1) k 1 g (n+1 k) ϕ (k 1) (t) = ( 1) k 1 g (n+2 k) (t)ϕ (k 1) (t) + k=1 k=1 n+1 n+1 ( 1) k 1 g (n+1 k) (t)ϕ (k) (t) = ( 1) k 1 g (n+1 k) ϕ (k) (t) + k=1 k=1 n ( 1) k g(n + 1 k)(t)ϕ (k) (t) = ( 1) n g(t)ϕ (n+1) (t) + g (n+1) (t)ϕ(t) k=0 = g (n+1) (t)ϕ(t) ( 1) n+1 g(t)ϕ (n+1) (t). Przechodzimy do dowodu wzoru Taylora. Niech p Y. Rozważmy, jak zwykle, funkcje pomocniczą [0, 1] t ϕ(t) := p, f(x 0 + tu) R. Wiemy już, że ϕ jest funkcja klasy C n+1 oraz, dla 1 k n + 1, ϕ (k) (t) = f (k) (x 0 + tu)u k, t [0, 1]. Niech g(t) := (1 s)n dla t [0, 1]. Ponieważ g (n+1) (t) 0 na [0, 1], to na mocy n! lematu ( (1 t) p (n+1) n (1 t) k (t)ϕ(t) = ϕ(k)) (t). ϕ k! Scałkujmy tę równość w granicach 0 do 1. n 1 ϕ(1) = k! ϕ(k) (0) + Zatem p, f(x 0 + u) n k=0 k=0 1 k! f (k) (x 0 )u k = p, 1 k= ϕ (n+1) (1 t)n (t) dt. n! p, f (n+1) (x 0 )(x 0 + tu)u n+1 dt = (1 t) n n! f (n+1) (x 0 + tu)u n+1 dt. Ponieważ równość ta zachodzi dla wszystkich p Y, to wnosimy, że teza jest prawdziwa. Podany wzór Taylora z resztą w postaci całkowej jest bardzo użyteczny również w przypadku zwykłych funkcji rzeczywistych. Zauważmy, że jeśli dim Y = 1 (tzn. np. y = R), to można uzyskać wzór z resztą w postaci Cauchy ego (lub Lagrange a). Mianowicie, wówczas istnieją stałe θ, θ (0, 1) takie, że R n+1 (x, u) = un (n + 1)! f (n+1) (x 0 + θu) = un (1 θ ) n n! 24 f (n+1) (x 0 + θ u).

25 Wynika to wprost z dowodu (wystarczy określić ϕ(t) := f(x 0 + tu) i zastosować klasyczny wzór Taylora z reszta w postaci ogólnej) Odwzorowania analityczne Niech f : Ω C, gdzie Ω jest obszarem w C (zbiorem otwartym i spójnym) będzie holomorficzna i z 0 Ω. Wówczas, jeśli D(z 0, r) Ω, to f(z) = a n (z z 0 ) n. n=0 Szereg ten jest jednostajnie bezwzględnie zbieżny oraz a n = f (n) (z 0 ). n! Dla dowolnego okręgu C o środku w punkcie z 0 i promieniu 0 < ρ r, tzn. C = {ξ C ξ = ρ} mamy, dla z leżących wewnątrz tego okręgu f (n) (z) = n! f(ξ) dξ. 2πi (ξ z) n+1 C Okrąg C można zastąpić dowolną zamkniętą krzywą Jordana, w której wnętrzu leży z. Wynika stąd, że a n = 1 f(ξ) dξ 2πi C (ξ z 0 ) n+1 oraz oszacowanie Cauchy ego a n ρ n sup f(z). z C Załóżmy obecnie, że, Y są zespolonymi przestrzeniami Banacha oraz U jest zbiorem otwartym i spójnym ( 6 ) Definicja: Mówimy, że odwzorowanie f : U Y jest analityczne jeśli, dla dowolnego x U, u oraz p Y, funkcja z p, f(x + zu) C zadane w otoczeniu V punktu z = 0 (otoczenie w C; np. V = {z C z < r}) jest holomorficzne. Zatem, jeżeli f jest odwzorowaniem analitycznym, to a n (x, u) p, f(x + zu) = z n n! 6 Spójność zbioru otwartego (w przestrzeni lokalnie łukowo spójnej jest równoważna łukowej spójności. 25 n=0

26 gdzie a n (x, u) = dn dz p, f(x + zu) n z=0 = n! p, f(x + zu) dz 2πi z =ρ z n+1 gdzie 0 < ρ < r. Z klasycznych oszacowań Cauchy ego wynika, że a n (x, u) n!ρ n sup p, f(x + zu) n!ρ n z =ρ, u =1 sup y B(x,r) p, f(y). Udowodnimy następujące podstawowe twierdzenie Twierdzenie: Przypuśćmy, że f : U Y jest odwzorowaniem lokalnie ograniczonym. Wówczas następujące warunki są równoważne: (i) f jest odwzorowaniem analitycznym; (ii) f jest różniczkowalne w zespolonym sensie Gateaux, tzn. istnieje operator T L(, Y ) taki, że dla dowolnych x U oraz u, lim z 0 1 [f(x + zu) f(x) zt (u)] = 0; z (iii) f jest różniczkowalne w zespolonym sensie Frécheta; dodatkowo f jest klasy C 1 ; (iv) f posiada pochodną Gateaux (lub Frécheta) w zespolonym sensie dowolnego rzędu; ponadto dla dowolnych wektorów u oraz u 1,..., u n ( ) f (n) (x + zu)(u 1,..., u n ) = n... f x + zu + z i u i zi =0. z 1 z n (v) szereg funkcyjny n=0 i=1 1 f (n) (x)u n jest lokalnie jednostajnie bezwzględnie n! zbieżny, tzn. dla dowolnego y U istnieje ε = ε(y) takie, że szereg jest bezwzględnie zbieżny w otoczeniu {x U x y < ε}, u < ε oraz, dla dowolnego x U, i małych u, f(x + u) = n=0 1 n! f (n) (x)u n. Dowód: (ii) (i): jeśli f jest odwzorowaniem różniczkowalnym w zespolonym sensie Gateaux, to jest również słabo różniczkowalne w tym sensie. Zatem, dla dowolnego p Y, funkcja zespolona z p, f(x + zu) jest różniczkowalna w sensie zespolonym; z klasycznych twierdzeń wynika, że jest ona holomorficzna. Stąd implikacja (ii) (i). Dla dowodu (i) (ii) załóżmy, że f jest odwzorowaniem analitycznym. Udowodnimy najpierw, że dla dowolnych x U oraz u istnieje pochodna kierunkowa f f(x + zu) f(x) (x; u) = lim. z 0 z 26

27 W tym celu wystarczy pokazać, że spełniony jest warunek Cauchy ego istnienia granicy, tzn. że g(s, t) = f(x + tu) f(x) t f(x + su) f(x) s o ile s, t 0 w C. Ze wzoru całkowego Cauchy ego, dla p Y p, f(x + tu) = 1 2πi C p, f(x + ξu) ξ t gdzie C = {ξ C ξ = r} jest małym okręgiem w C o promieniu r > 0 i środku w 0 oraz t leży wewnątrz tego okręgu. Zatem, zakładając, że t i s są wewnątrz okręgu C (tzn. t, s < r), mamy p, g(s, t) = 1 2πi C p, f(x + ξu) (s t) ξ(ξ t)(ξ s) Ponieważ funkcja C ξ p, f(x + ξu) jest ciągła, to jest ograniczona na C. Z twierdzenia Banacha-Steinhausa, istnieje L 0 takie, że f(x + ξu) L dla ξ C. Wobec tego L t s g(s, t) = sup p 1 2πi C dξ dξ. 1 ξ(ξ s)(ξ t) dξ. Stąd g(s, t) 0 gdy s, t 0 w C. Aby wykazać różniczkowalność w zespolonym sensie Gateaux w punkcie x U trzeba pokazać, że f (x; ) jest ciągłym operatorem liniowym. Oczywiście pochodna kierunkowa jest jednorodna; wystarczy pokazać addytywność: weźmy więc u 1, u 2. Z definicji odwzorowania analitycznego, dla dowolnego p Y, funkcja (z 1, z 2 ) g(z 1, z 2 ) := p, f(x + z 1 u 1 + z 2 u 2 ), określona w otoczeniu 0 w C 2, jest funkcją holomorficzną dwóch zmiennych. Wynika to z twierdzenia Hartogsa ( 7 ). Wobec tego 0 g(z 1, z 2 ) = g(0, 0) + z 1 g(0, 0) + z 2 g(0, 0) + ε(z 1, z 2 ) z 1 z 2 gdzie ε(z 1, z 2 )/ (z 1, z 2 ) 0 gdy z 1, z 2 0. Stąd p, f 1 (x; u 1 + u 2 ) = p, lim z 0 z [f(x + z(u 1 + u 2 )) f(x)] = 1 lim [g(z, z) g(0, 0)] = g(0, 0) + g(0, 0) = p, f (x; u 1 ) + f (x; u 2 ). z 0 z z 1 z 2 Z uwagi na dowolność p wnosimy, że f (x; u 1 + u 2 ) = f (x; u 1 ) + f (x; u 2 ). 7 Twierdzenie Hartogsa orzeka, że jeśli w otoczeniu punktu funkcja wielu zmiennych zespolonych jest holomorficzna ze względu na każdą zmienną z osobna, to jest holomorficzna w tym punkcie (ze względu na zespół zmiennych). 27

28 Oszacowania Cauchy ego pokazują, że dla każdego v, f d (x; v) = sup p 1 dt p, f(x + zv) z=0 M. Wobec tego, dla wszystkich u ) f (x; u) = u (x; f u M u. u Tak więc f (x; ) jest ciągłym operatorem liniowym i warunek (ii) został udowodniony. Odnotujmy jeszcze na koniec, ze w świetle istnienia (zespolonej) pochodnej Gateaux, dla dowolnego x U, u oraz p Y, p, f (x)(v) = p, f (x; v) = d dz p, f(x + zv) z=0 = 1 2πi ξ =ρ p, f(x + ξv) ξ 2 dξ. Pokażemy teraz, że (i) oraz (ii) implikuje (iii). W tym celu wystarczy pokazać, że przekształcenie U x f (x) L(, Y ) jest ciągłe (z tego wynika istnienie (zespolonej) pochodnej Frécheta i, oczywiście gładkość klasy C 1 odwzorowania f). Przede wszystkim pokażemy, że dla ustalonego v, funkcja U x f (x)(v) Y jest analityczna, tzn. dla każdego u oraz p Y, funkcja zespolona z 1 p, f(x + z 1 u)(v) jest holomorficzna. Niech g(z 1, z 2 ) := p, f(x + z 1 u + z 2 v). Jak wyżej g jest funkcją holomorficzną dwóch zmiennych. Co więcej z 2 g(z 1, 0) = p, f (x + z 1 u)(v) jest funkcja holomorficzną zmiennej z 1. Z powyższego rozumowania wynika, że odwzorowanie f ( )(u) jest różniczkowalne w sensie zespolonym Gateaux. Zatem, dla dowolnego p Y, Zatem 1 2πi p, f (x + w)(v) f (x)(v) = 1 ( d 1 0 dt 2πi = 1 1 2πi ξ =ρ ξ =ρ d dt p, f (x + tw)(v) dt = ) p, f(x + tw + ξv) dξ dt ξ 2 p, f (x + tw + ξv; w) ξ 2 dξ dt. f (x + w)(v) f (x)(v) = sup p, f (x + w)(v) f (x)(v) 1 0 ξ =ρ f (x + tw + ξv)(w) ξ 2 p 1 dξ dt M w 2πi jednostajnie dla u 1 gdy w 0. Oznacza to, że f (x + w) f (x) L(,Y ) 0 28 ξ =ρ 1 ξ 2 dξ 0

29 gdy w 0. Z naszych rozważań wynika również, że dla dowolnych u, v f (x + zu)(v) = s f(x + zu + sv) s=0. Pokażemy teraz, że (i) pociąga za sobą (iv). Zastosujemy indukcję matematyczną. Dla k = 1 jest to prawda: istnieje pochodna Frécheta f (x) dla wszystkich x U oraz zachodzi pożądany wzór (patrz dwie linijki wyżej). Załóżmy, że dla wszystkich x U istnieje f (n 1) (x) i zachodzi odpowiedni wzór z tezy punktu (iv). Pokażemy, że istnieje n-ta pochodna Frécheta f (n) (x), x U. Dla dowolnego p Y, u oraz wektorów u 1,..., u n 1, funkcja zespolona ( ) n 1 g(z 1,..., z n 1, z) := p, f x + zu + z i u i zmiennych zespolonych z 1,..., z n 1, z jest, na mocy twierdzenia Hartogsa, holomorficzna. Wobec tego funkcja h(z) := k=1 n 1 z 1 z 2... z n 1 g(0,..., 0, z) jest funkcją holomorficzną zmiennej z. Z założenia indukcyjnego, h(z) = p, f (n 1) (x + zu)(u 1,..., u n 1 ). Tak więc, dla dowolnych u i p Y, funkcja z p, f (n 1) (x + zu)(u 1,..., u n ) jest analityczna. Oznacza to, z definicji odwzorowania analitycznego, że odwzorowanie F : U x f (n 1) (x)(u 1,..., u n 1 ) jest analityczne. Analogicznie jak powyżej, dowodzimy, że jest ono jest różniczkowalne w (zespolonym sensie Frécheta) oraz jego pochodna w punkcie x zależy w sposób (n 1)-liniowy i ciągły od wektorów u 1,..., u n 1. Oznacza to, że jeśli oznaczymy tę pochodną symbolem T u1,...,u n 1 L(, Y ), to przyporządkowanie (u 1,..., u n 1 ) T u1,...,u n 1 L(, Y ) jest w L n 1 (, L(, Y )). Zdefiniujmy operator T L(, L n 1 (, Y )) wzorem Tak więc, dla p Y, T (u)(u 1,..., u n 1 ) = T u1,...,u n 1 (u). p, T (u)(u 1,..., u n 1 ) = p, T u1,...,u n 1 (u) = p, F (x)(u) = d dz p, F (x+zu) z=0 = d dz h(0). Niech w i połóżmy u = w w. Wtedy p, F (x + w) F (x) T (w)(u 1,..., u n 1 ) = p, F (x + w u) F (x) w T (u)(u 1,..., u n 1 ) = h( w ) h(0) w h (0). 29

30 Przypuśćmy, że Wówczas h(z) = c n z n. n=0 h( w ) h(0) h (0) = przy czym c n ρ n sup z =ρ h(z). Zatem Dla dowolnego n 2, h( w ) h(0) h (0) w w c n w n n=2 c n+2 w n. c n ρ n sup h(z) = ρ n sup p, f (n 1) (x + zu)(u 1,..., u n 1 ) M z =ρ z =ρ o ile u 1,..., u n 1 1, gdzie stała M (jej istnienie wynika ze wzoru Martinellego- Bochnera będącego wielowymiarową wersją wzoru całkowego Cauchy ego) nie zależy od u oraz u 1,..., u n 1. Dowodzi to, że n=0 f (n 1) (x + w) f (n 1) (x) T (w) L n 1 (,Y ) w gdy w 0 a, tym samym, że f jest n-krotnie różniczkowalna w sensie Frécheta. Poza tym, na mocy reguły łańcucha, dla dowolnych u, u 1,..., u n ( ) f (n) (x + zu)(u 1,..., u n ) = n... f x + zu + z i u i zi =0. z 1 z n W szczególności więc: n=0 f (n) (x + zu)u n = Pozostało udowodnić, że (iv) (v). Wiemy już, że dla dowolnego p Y i u, d n p, f(x + zu) = dz p, f(x + zu) z n n z=0 n! n=0 z n = n! p, f (n) (x)u n z n = p, n! f (n) u n. Kładąc z = 1 otrzymujemy tezę. n=0 n=1 n=0 i=1 0 Wreszcie zauważmy, że jeśli dla dowolnych x U oraz u, f(x + u) = 1 f (n) (x)u n, to dla dowolnego p Y, n! z n p, f(x + zu) = p, n! f (n) (x)u n z n = n! p, f (n) (x)u n. Łatwo więc widać, że funkcja zespolona z p, f(x + zu) jest holomorficzna. Oznacza to z definicji, ze odwzorowanie f jest analityczne. W takim razie pokazaliśmy implikację (v) (i). To kończy dowód twierdzenia. 30 n=1

31 1.6. Twierdzenia o funkcji odwrotnej i uwikłanej Przypomnijmy, że operator A L(, Y ) jest odwracalny (inaczej: jest liniowym homeomorfizmem) jeśli istnieje B L(Y, ) taki, że A B = I Y oraz B A = I. Oczywiście B jest wyznaczony jednoznacznie i oznaczamy A 1 := B. Przypomnijmy, że z twierdzenia Banacha o operatorze otwartym wynika, że A L(, Y ) jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy A jest bijekcją (istnienie funkcji odwrotnej i liniowej jest wówczas oczywiste; istota polega na pokazaniu ciągłości). Niech I(, Y ) = {A L(, Y ) A 1 istnieje} Twierdzenie: (i) Zbiór I(, Y ) jest otwarty w L(, Y ); dokładniej, jeśli A I(, Y ), to B(A, ε) I(, Y ) gdzie ε = A 1 1. (ii) Odwzorowanie J : I(, Y ) L(, Y ) dane wzorem J(A) = A 1 jest klasy C. Dowód: (i) Wiadomo, że jeśli S L(, ) oraz S < 1, to operator I S jest odwracalny i (I S) 1 = S n. Szereg po prawej stronie jest bezwzględnie zbieżny, zatem zbieżny. Jeśli S L(, Y ) oraz S < A 1 1, to wówczas A 1 S A 1 S < 1 i operator U := I A 1 S jest odwracalny. Zauważmy, że U = A 1 (A S). Zatem A S = A U jest odwracalny. Stąd też (A S) 1 = n=0 (A 1 S) n A 1. n=0 (ii) Łatwo sprawdzić, że dla A I(, Y ), J (A)(B) = A 1 B A 1. Istotnie, z poprzedniego wzoru gdzie Zatem J(A + B) J(A) = A 1 B A 1 + r(b) r(b) = ( 1) n (A 1 B) n A 1. n=2 r(b) / B 0 gdy B 0. Widzimy więc, że J : I(, Y ) L(L(, Y ), L(, Y )) jest operatorem ciągłym. Niech U oraz V będą zbiorami otwartymi w oraz Y, odpowiednio. Wtedy powiadamy, że odwzorowanie ciągłe f : U V jest homeomorfizmem U na V (piszemy f Homeo(U, V )) jeśli istnieje ciągłe odwzorowanie g : V U takie, że g f(x) = x oraz f g(y) = y dla wszystkich x U oraz y V. Odwzorowanie ciągłe f : Ω Y, gdzie Ω jest zbiorem otwartym, jest 31