ZASTOSOWANIE FUNKCJONAŁU HU-WASHIZU W PLASTYCZNEJ ANALIZIE MES PŁYT GRUBYCH

Transkrypt

1 CZSOPISMO IŻYIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISK I RCHIEKURY JOURL OF CIIL EGIEERIG, EIROME D RCHIECURE JCEE, t. XXXIII, z. 63 (/I/6), styczeń-marzec 06, s Jakub LEWDOWSKI Kazmerz MYŚLECKI ZSOSOWIE FUKCJOŁU HU-WSHIZU W PLSYCZEJ LIZIE MES PŁY GRUBYCH. Wprowadzee W pracy sformułowao orygaly, autorsk fukcjoał dla zagadeń teor plastyczośc. Podstawą był fukcjoał Hu-Washzu z teor sprężystośc. Przyrostowa postać fukcjoału pozwala w prosty sposób budować algorytmy MES. Zastosowae fukcjoału przedstawoo a przykładze płyty grubej. Zastosowao model warstwowy aby uwzględć częścowe uplastyczee przekroju płyty. lgorytm MES dla płyty grubej zbudowao w oparcu o trójkąty trzy węzłowy elemet skończoy z lowym fukcjam kształtu dla wszystkch przemeszczeń uogóloych. aprężea odkształcea w tego typu elemece przyjmuje sę jako stałe. Przedstawoy algorytm e wymaga żadych dodatkowych rówań teor plastyczośc jest rówoważy stowarzyszoemu prawu płyęca plastyczego. lgorytm prowadz do elowego, przyrostowego układu rówań algebraczych, który rozwązuje sę metodą ewtoa. Klka prostych przykładów pozytywe weryfkuje przyjęte założea stosowae algorytmy. Słowa kluczowe: płyta Ressera-Mdla, model warstwowy płyty, waruek plastyczośc Hubera-Msesa-Hecky ego Celem pracy jest zastosowae zmodyfkowaego fukcjoału Hu- Washzu[], omówoego przez autorów w pracy []. Jego argumetam () są: σ j, ε j, u, λ, odpowedo fukcje aprężeń, odkształceń, przemeszczeń parametr określający przyrost odkształceń plastyczych; góry deks ozacza welkośc w poprzedm kroku, a adkreślee odkształcee plastycze. Mmalzacja tego fukcjoału prowadz do rówań teor plastyczośc dla stowarzyszoego prawa plastyczego płyęca. Możlwe jest sformułowae fukcjoału dla dowolego waruku plastyczośc Φ (także ze wzmoceem). utor do korespodecj/correspodg author: Jakub Lewadowsk, Poltechka Wrocławska, Wybrzeże Wyspańskego 7, Wrocław, tel.: , jakub.lewadowsk@pwr.edu.pl Kazmerz Myśleck, Poltechka Wrocławska, Wybrzeże Wyspańskego 7, Wrocław, tel.: , kazmerz.mysleck@pwr.edu.pl

2 44 J. Lewadowsk, K. Myśleck Π ( σ j, εj, u, λ ) Cjkl ( εj εj )( εkl ε kl ) d ( ) j σ j σ j εj + ε ( u, j + u j, ) d F u d λφ( σ ) d j () W artykule [] zajmowao sę zadaam płaskego stau aprężea. ejsza publkacja ma a celu wyprowadzee rówań MES dla płyty grubej (Ressera-Mdla).Zastosowao model warstwowy płyty, tz. tak, w którym uplastyczeu mogą ulegaćposzczególe warstwy, a e cały przekrój.. Płyta gruba.. Podstawowe rówaa Przemeszczea uogóloe odesoe do powerzch środkowej płyty schematycze pokazao a Rys.. Rówaa [3] wążące uogóloe sły, odkształcea przemeszczea odesoe do powerzch środkowej płyty z odpowadającym m welkoścam w dowolym pukce materalym przedstawoo w zapse macerzowym: { M M M Q Q} { κ κ κ γ γ } { δ δ w} { m m q} σ,,,, sły wewętrze ε,,,, uogóloe odkształcea u,, uogóloe przemeszczea f,, tesywość mometów obcążeń poowych H / 3 αβ H / z x, M zσ dz, αβ Q α H / σαzdz H / () Rys.. Przemeszczea uogóloe w płyce Fg.. Geeralzed dsplacemets ofplate

3 Zastosowae fukcjoału Hu-Washzu w plastyczej aalze MES x κ δ, 0 0 κ δ x, κ 0 δ, + δ, ε u ε Lu (3) x x γ δ + w, 0 γ δ + w, x 0 x Przy ozaczeach () (3) fukcjoał () dla płyty grubej, w zapse macerzowym przyjme postać gdze ( σεu,,, λ ) ( ε ε ) ( ) ( ) ( ) C ε ε d σ σ ε ε Lu Π + d ( f u) d λφ( σ) d D ν D ν D D GH EH E C, D, G 5 (5) GH 0 ( ν ) ( + ν ) GH 6 a E, ν H są odpowedo: modułem Youga, współczykem Possoa gruboścą płyty... Model warstwowy płyty Forma fukcjoału (4) e pozwala a aalzę zagadea, kedy uplastyczeu ulega e cały przekrój, a jedyeposzczególe warstwy płyty. W fukcjoale, ależy zatem, sły wewętrze uogóloeodkształcea zastąpćaprężeam ormalym styczymoraz odkształcea ormalym postacowym.z założoego w teor płyt parabolczego rozkładu aprężeń τ 3, τ 3 orazlowego rozkładu aprężeń σ, σ,τ moża wyprowadzć astępujące zwązk (4)

4 46 J. Lewadowsk, K. Myśleck Q τ ( z) f ( z) dz α α 3 H 5 z αα σα ( z) 4 H H M g( z) dz, f ( z) 4, g( z) z M τ( z) g( z) dz H Stąd dzeląc przekrój płyty a warstwy (Rys. )otrzymamy zależośc (6) τα 3( z) f ( z) dz τα 3; fh H 5 4z σα ( z) g( z) dz σα ; gh, f f ( z ), g ( ) g z z (7) 4 H H τ( z) g( z) dz τ; gh H Przyblżoe zwązk (7) stają sę dokładym po przejścu graczym. Po uwzględeu podzału a warstwy fukcjoał przyjme astępującą postać gdze Π ( S, E, uλ, ) ( ) ( ) h E E C E E d ( S S ) ( E E MLu) + h d ( f u) d [ Λ ( S ) ] Φ S E { σ, σ, τ, τ3, τ 3} { ε, ε, γ, γ, γ } 3 3, h d umer warstwy E ν E ν ν g ν E E 0 g C ν ν, M 0 0 g 0 0 (9) 0 0 G f G f G (8)

5 Zastosowae fukcjoału Hu-Washzu w plastyczej aalze MES lgorytm MES Wprowadza sę trójkąty elemet skończoy o lowych fukcjach kształtu dla przemeszczeń stałych wartoścach aprężeń odkształceń [4] Rys.. Warstwowy,trójkąty płytowy elemet skończoy Fg.. ragular, layered plate fte elemet proksymację przemeszczeń moża opsać współrzędym powerzchowym L I, L II, L III q I I I II II II III III III { δ, δ, w, δ, δ, w, δ, δ, w } LI 0 0 LII 0 0 LIII 0 0 u 0 LI 0 0 LII 0 0 LIII 0 q q 0 0 LI 0 0 LII 0 0 L III Po dyskretyzacj scałkowau fukcjoał przyjme astępującą postać Π ( S, E, qλ, ) ( E E ) C( E E ) ( ) ( ) S S E + E Bq F q ΛΦ( S ) (0) () gdze, po uwzględeu waruku plastyczośc Hubera-Msesa-Hecky ego (HMH) w każdej warstwe, otrzymuje sę ψ ,, B ML d F f d Φ ( S ) S ψs σ 0, waruek HMH z gracą plastyczośc σ 0 () h

6 48 J. Lewadowsk, K. Myśleck Mmalzacja fukcjoału prowadz do rówaa MES dla pojedyczego elemetu skończoego (3). Rówae to przedstawoo jedye w sposób deowy, pomjając różorode możlwośc rozkładu warstw uplastyczoych 0 0 B 0 q F + B S 0 0 C I Λ 0 E CE S S B I K S S E ΛS 0 0 K 0 Λ σ 0 S (3) Macerze K S ΛS K S SΛ są zależe od S oraz Λ. Zatem układ rówań jest elowy. Obowązuje o w zakrese plastyczego płyęca w procese obcążaa elemetu. W przypadku obcążea/odcążea, gdy aprężea zajdują sę wewątrz obszaru ograczoego powerzchą plastyczośc, obowązuje układ rówań bez szarych elemetów. Problem te oraz algorytm rozwązaa zostałomówoy w []. 4. Przykłady umerycze 4.. Ugęce płyty w stae sprężystym Przedmotem aalzy umeryczej była płyta kwadratowa oproporcj grubośc do wymaru boku (a)jak :0, podparta przegubowo a wszystkch krawędzach, obcążoa rówomere obcążeem q. Satka MES składała sę z 8 (8 8 ) trójkątych ES 6 warstw.sprawdzoo poprawość rozwązaa sprężystego ugęca płyty poprzez porówae z wykem aaltyczym 4 w 0 0,00406 qa (4) D Różca wyków umeryczego aaltyczego wyosła 3%, co śwadczy o dobrym przyblżeu poprzez model warstwowy, awet przy rzadkej satce elemetów skończoych ewelkej lczbe warstw. 4.. Zgae walcowe płyty wsporkowej w stae plastyczym Drug przykład to płyta kwadratowa (m m 0.m) zamocowaa sztywo a jedej krawędz obcążoa mometem rozłożoym o stałej tesywośc a krawędz przecwległej. Wartość mometu została tak dobraa, aby wewętrza część przekroju (połowa) zajdowała sę w stae sprężystym, a zewętrza w plastyczym (Rys. 3). Przyjęto satkę 8 elemetów 4 warstwy. Ze względu a małą lczbę warstw, uplastyczee dwu zewętrzych warstw w całej płyce wystąpło przy wększej wartośc mometu (0%) ż oblczoa aaltycze dla rówoważej belk. Jest to ewelka różca borąc pod uwagę małą lczbę warstw przyjętą do aalzy MES.

7 Zastosowae fukcjoału Hu-Washzu w plastyczej aalze MES Płyta kwadratowa, podparta swobode z obcążeem rówomere rozłożoym w stae plastyczym Ostatm przykładem jest płyta kwadratowao proporcj grubośc do wymaru boku jak :0, obcążoa rówomere podzeloa a 7(6 6 ) elemety 4 warstwy (Rys. 3) Rys. 3. Satka ES wraz ze strefam plastyczym oraz uplastyczoe warstwy Fg. 3. FE mesh wth plastc regos ad layers ylko bałe ES e uległy uplastyczeu. Sta pozostałych odpowada rysukom przekrojów (Rys. 3).alzę umeryczą o detyczych parametrach, geometr satce elemetów skończoych przeprowadzoo w programe baqus. Uzyskao tak sam rozkład stref plastyczych,choć różce w ugęcach w środku płyty wyoszą 40%. 5. Uwag końcowe Przedstawoy w artykule fukcjoał jest fukcjoałem zupełym zagadea teor plastyczośc e wymaga żadych dodatkowych waruków akładaych a parametry fukcjoału. Zastosoway warstwowy model płyty grubej pozwala a aalzę MES częścowo uplastyczoych w przekroju płyt. Zaprezetowae przykłady umerycze wskazują a dobrą zgodość wyków z ym rozwązaam. Obserwowae różce wykają z ograczeń zastosowaego środowska programstyczego Mathematc, w którym e udało sę zwększyć gęstośc satk elemetów skończoych lczby warstw płyty. Zaprezetoway algorytm warstwowy łatwo moża zaadaptować do aalzy rzeczywstych płyt warstwowych, z warstwam o różych własoścach sprężystych plastyczych. Lteratura [] Washzu K., aratoal Methods Elastcty ad Plastcty 3 rd ed., Pergamo Press, ew York 98. [] Myśleck K., Lewadowsk J., Modfed Hu-Washzu prcple as a geeral bass for FEM plastcty equatos, 3 rd Polsh Cogress of Mechacs ad st Iteratoal

8 430 J. Lewadowsk, K. Myśleck Coferece o Computer Methods Mechacs Short Papers ol., PMS, Gdańsk 05. [3] Reddy J.., heory ad alyss of Elastc Plates ad Shells d Edto, CRC Press, ew York 006. [4] Zekewcz O.C., aylor R.L., he Fte Elemet Method ol. : he Bass 5 th ed., Butterworth-Heema, Oxford 000. HU-WSHIZU FUCIOL PPLICIO I FEM PLSIC LYSIS OF HICK PLES S u m m a r y I ths paper orgal fuctoal for plastcty problems s formulated. It s based o Hu- Washzu fuctoal for elastcty. Its cremetal form allows to buld FEM algorthms a smple way. he fuctoal applcato s preseted o thck plate example. Mult-layered model s assumed to eable partal plastfcato of the plate secto. algorthm for thck plate s show for tragular fte elemet wth lear shape fuctos for all geeral dsplacemets. Stresses ad stras such a elemet are costat. he preseted algorthm does ot requre ay addtoal plastcty theory equatos ad t correspods to the assocated flow rule. It leads to set of olear cremetal algebrac equatos whch are solved by ewto method. erfcato of the fuctoal ad the algorthm s doe o several smple examples. Keywords: Resser-Mdl plate, mult-layered plate, Huber-Mses-Hecky yeld codto Przesłao do redakcj: r. Przyjęto do druku: r. DOI: 0.786/rb.06.50