Metoda analizy niesprężystych elementów żelbetowych ściskanych mimośrodowo

Transkrypt

1 BIULETYN WAT VOL. LVIII, NR 4, 9 Metoda aalzy esprężystych elemetów żelbetowych ścskaych mmośrodowo ANNA STOLARCZUK, ADAM STOLARSKI Wojskowa Akadema Techcza, Wydzał Iżyer Lądowej Geodezj, -98 Warszawa, ul. S. Kalskego Streszczee. W pracy przedstawoo metodę aalzy statyczego odkształcaa ścskaych elemetów żelbetowych z uwzględeem elowośc geometryczej elemetów elowośc fzyczych materałów kostrukcyjych: betou stal. Dla stal zbrojeowej zastosowao model materału sprężysto-deale plastyczego. Dla betou przyjęto model materału sprężysto-plastyczego z uwzględeem osłabea materałowego. Metodę aalzy wytężea układu kostrukcyjego opracowao z wykorzystaem metody różc skończoych. Opracowao efektywe algorytmy rozwązaa układów rówań kostytutywych przyrostowych rówań rówowag prętowych elemetów żelbetowych umożlwających aalzę wyboczea. Słowa kluczowe: mechaka kostrukcj, ścskae elemety żelbetowe, elowość fzycza, elowość geometrycza Symbole UKD: Wstęp Celem artykułu jest opracowae modelu oblczeowego ścskaych elemetów żelbetowych, który umożlw badae zachowaa elemetu od stau czysto sprężystego, przez sta sprężysto-plastyczy, do pełego uplastyczea zszczea przekroju, z uwzględeem wyboczea. Opracowae metody rozwązaa wymaga przeprowadzea rozważań w zakrese modelowaa esprężystych właścwośc materałów kostrukcyjych oraz modelowaa procesów odkształcaa ścskaego elemetu żelbetowego. Modelowae właścwośc materałów kostrukcyjych przeprowadzoo z wykorzystaem założeń teor plastyczego płyęca. Dla stal zbrojeowej zastosowao

2 38 A. Stolarczuk, A. Stolarsk model materału sprężysto-deale plastyczego. Dla betou przyjęto zredukowaą (statyczą) formę estadardowego modelu dyamczego odkształcaa [], w którym pomęto wyzaczae wytrzymałośc dyamczej. Model te opsuje właścwośc sprężyste betou, ograczoe właścwośc dealego płyęca plastyczego, osłabee materałowe oraz zmay objętośc. W modelu pomęto degradację modułu odkształcea. Przyjęty model betou umożlwa uproszczoy ops staów zszczea (zarysowaa lub zmażdżea) materału jako staów utraty ośośc osągaych w procese osłabea materałowego przy rozcągau lub ścskau. Aalza obejmuje ops zachowaa ścskaego elemetu żelbetowego, modelowaego jako ustrój prętowy. Ustrój te obcążoy jest statycze słą ormalą, mometem zgającym oraz obcążeem cągłym, dzałającym w płaszczyźe prostopadłej do os podłużej elemetu. Podstawą teoretyczego modelowaa zachowaa elemetu kostrukcyjego są rówaa teor dużych przemeszczeń ustroju prętowego. Aalza pracy czyych sł wewętrzych obejmuje sły podłuże, poprzecze momety zgające. Metodę aalzy wytężea układu kostrukcyjego opracowao z wykorzystaem metody różc skończoych. Rozwązae układów elowych rówań rówowag przeprowadzoo a podstawe algorytmów aalzy elemetów prętowych umożlwających określee staów przemeszczea, odkształcea aprężea z uwzględeem efektów elowośc fzyczej materałów oraz elowośc geometryczej elemetu kostrukcyjego.. Modelowae właścwośc materałów kostrukcyjych.. Stal zbrojeowa Przyjęto sprężysto-deale plastyczy model stal zbrojeowej. Rozważao zredukoway płask sta aprężea, ze względu a charakter pracy wotkch prętów zbrojea w elemece żelbetowym (rozcągae lub ścskae ze ścaem). Model fzyczy stal zbrojeowej opsują rówaa przyrostowe: σ σ + E Δ ε σ + μ Δε,, S + E ΔΛ + μ ΔΛ 3 s s = σ = S () gdze: E s moduł odkształcea; μ s moduł odkształcea postacowego Δ ε j ;, j =, zae przyrosty odkształceń w stal; ΔΛ możk skalary defujący sta aprężea; krok chwlowego stau aprężea-odkształcea.

3 Metoda aalzy esprężystych elemetów żelbetowych ścskaych mmośrodowo 39 Określee skalarego możka ΔΛ wymaga sprawdzea wartośc fukcj uplastyczea dla materału uplastyczającego sę zgode z warukem plastyczośc Hubera-Msesa-Hecky: J F =, () k y gdze: ( J = σσ j j σσ jj ) drug ezmek dewatora aprężea; 6 k y graca plastyczośc stal dla czystego ścaa. Stwerdzee przy wstępym założeu ΔΛ =, że F < lub F = ΔF < ozacza czysto sprężysty sta aprężea (lub odcążee), atomast F > ozacza deale plastyczy sta aprężea, dla którego ależy wyzaczyć wartość możka ΔΛ z waruków: F =, Δ F =. (3) Rozwązae powyższego rówaa otrzymuje sę umerycze metodą Newtoa, uzyskując rozwązae po -tej teracj: z założoą dokładoścą ΔΛ : F( ΔΛ( ) ) () ( ) F ( ) ΔΛ( ) ΔΛ = ΔΛ ( ΔΛ ) (4) ΔΛ ΔΛ ΔΛ. (5) () ( ) Rozwązae umerycze elowego rówaa algebraczego (4) jest dobrze uwarukowae steje tylko jede perwastek ΔΛ >... Beto Dla betou przyjęto zredukowaą formę estadardowego modelu dyamczego odkształcaa []. Redukcja ta polega a pomęcu wyzaczaa wytrzymałośc dyamczej betou umożlwa ops statyczego zachowaa materału z uwzględeem osłabea materałowego. Model opsuje cztery fazy zachowaa betou (rys. ): o sprężystego osągaa początkowej powerzch plastyczośc; o dealego płyęca plastyczego w ograczoym zakrese odkształcea; 3 o osłabea materałowego; 4 o zszczea (zarysowaa przy rozcągau lub zmażdżea przy ścskau) terpretowaą jako fazę aprężeń resztkowych.

4 3 A. Stolarczuk, A. Stolarsk K( /f c ) p f = fc e c e c =f c /E c E c/fc K m e c fc uc ef ( ) K( /f c ) H K m fc p Rys.. Fazy zachowaa betou p p Kc uc ef ( ) Model fzyczy betou opsują rówaa przyrostowe: σ σ + E Δ ε σ + μ Δε,, C + E ΔΛ + μ ΔΛ 3 c c = σ = C (6) gdze: E c moduł odkształcea; μ c moduł odkształcea postacowego; Δ ε j,, j =, zay przyrost odkształceń w betoe; ΔΛ możk skalary defujący sta aprężea; krok chwlowego stau aprężea-odkształcea.

5 Metoda aalzy esprężystych elemetów żelbetowych ścskaych mmośrodowo 3 Określee skalarego możka ΔΛ wymaga sprawdzea wartośc fukcj uplastyczea: τ F ( σj, K ) = [ K a] K bσ K c, ρ ( ϕ) + (7) gdze: σ j tesor aprężea; τ stycze aprężee oktaedrycze, jako fukcja drugego ezmeka dewatora aprężea; σ średe aprężee ormale, jako fukcja perwszego ezmeka tesora aprężea; ρ ( ϕ ) fukcja określająca kształt przekroju powerzch graczej płaszczyzą oktaedryczą σ = cost, zależa od trzecego ezmeka dewatora aprężea; a, b, c stałe materałowe, będące fukcjam podstawowych wytrzymałośc betou dla jedoosowego dwuosowego ścskaa oraz jedoosowego rozcągaa; K parametr ewolucj powerzch plastyczośc (tj. parametr dealego płyęca plastyczego-osłabea materałowego-zszczea); krok chwlowego stau aprężea-odkształcea. Stwerdzee przy wstępym założeu ΔΛ =, że F < lub F = ΔF < ozacza czysto sprężysty sta aprężea (lub odcążee), atomast F > ozacza esprężyste stay aprężea, dla których ależy wyzaczyć wartość możka ΔΛ z rówaa: F C jkl Δεkl σ j G ΔΛ =, AH (, ηef ) = Hηef ( ), (8) F F G σ kl AH (, ηef ) + Cjkl K σ σ gdze: C jkl tesor stałych sprężystośc. j W rówau (8) występują poadto astępujące parametry fukcje. Parametr ewolucj K zdefowao w astępujący sposób (rys. ): kl dla p p ef fc p p = +Δ εef > εfc p p Km dla εef > εuc K K K ε ε dla, (9) gdze: p ε ef efektywe odkształcea plastycze;

6 3 A. Stolarczuk, A. Stolarsk ε gracze odkształcea plastycze w faze dealego płyęca; ε gracze odkształcea plastycze w faze osłabea materałowego. p fc p uc Zmaę ΔK parametru ewolucj opsuje astępująca zależość: dla p p ef fc p p p H( σ ) εef dla εef εfc. p p dla εef > εuc Δ K = Δ > ε ε () Bezwymarowy moduł osłabea ma postać: H ( σ ) =, fc σ ( εuc εfc + ) Ec () gdze: σ bezwymarowa tesywość aprężea odesoa względem stau aprężea a początkowej powerzch plastyczośc; εfc, ε uc odkształcea gracze; E c moduł odkształcea; f c wytrzymałość betou dla jedoosowego ścskaa. Fukcja potecjału plastyczego G ( σ j, K ), opsująca estowarzyszoe prawo płyęca, została przyjęta w postac zmodyfkowaego rówaa powerzch plastyczośc: τ b G ( σj, K ) = [ + K a] K σ K c=, () ρ ( ϕ) β gdze β to stała materałowa określająca zmay objętoścowe materału podczas deformacj plastyczych. Przyjęty model odkształcea betou, umożlwa przyblżoe modelowae mechazmów zarysowaa (tj. powstawaa, rozweraa zamykaa rys) lub zmażdżea, zarówo w procesach mootoczego odkształcaa, jak w procesach cyklczego, przemeego odkształcaa. Mechazm zarysowaa lub zmażdżea betou wyka z przyjętego prawa osłabea materałowego, które zakłada stopową utratę ośośc materału aż do osągęca stau aprężeń resztkowych. Wyróżoo przypadk osągaa stau aprężeń resztkowych: w procese rozcągaa, dla σ oraz w procese ścskaa, dla σ >.

7 Metoda aalzy esprężystych elemetów żelbetowych ścskaych mmośrodowo 33 Osągęce stau aprężeń resztkowych w procese rozcągaa ( σ ) powoduje sta zarysowaa e ozacza bezpowrotego zszczea materału. Sta zarysowaa e redukuje wytrzymałośc betou a ścskae możlwe jest poowe odkształcee przy ścskau po uprzedm zamkęcu rysy. Przyjmując ε za wartość trwałego odkształcea objętoścowego, przy którym astępuje zarysowae, to sta rozwarca uogóloej rysy jest określoy przez waruek ε, < ε atomast sta zamkęca rysy poowa praca materału a ścskae astępuje gdy ε. > ε Beto uprzedo zarysoway trac zdolość do poowego przeoszea aprężeń rozcągających. Osągęce stau aprężeń resztkowych w procese ścskaa powoduje: zmażdżee betou, jeżel, σ, > σ częścowe zszczee, jeżel < σ σ, gdze σ jest umową, graczą wartoścą średego aprężea ormalego. Zmażdżee betou ozacza zdolość do przeoszea aprężeń resztkowych. Zszczee częścowe (aalogcze do procesu zarysowaa) charakteryzuje sę możlwoścą poowego rozpoczęca procesu odkształcaa przy ścskau, jeżel aktuale odkształcee objętoścowe ε jest wększe od wartośc graczej ε osągętej w chwl częścowego zszczea materału w poprzedm cyklu odkształcea. 3. Układ rówań podstawowych 3.. Rówaa rówowag zwązk geometrycze Aalza obejmuje pracę ścskaego elemetu żelbetowego, przedstawoego jako płask ustrój prętowy z uwzględeem jego krzywzy początkowej. Omaway ustrój obcążoy jest statycze słą ormalą mometem zgającym a jedym z węzłów brzegowych oraz obcążeem erówomere rozłożoym, dzałającym w płaszczyźe prostopadłej do powerzch przekroju poprzeczego elemetu. Podstawą teoretyczego ujęca zachowaa sę kostrukcj są rówaa teor dużych przemeszczeń ustroju prętowego. Aalza pracy czyych sł wewętrzych obejmuje pracę sł podłużych, poprzeczych mometów zgających. W rozpatrywaym elemece żelbetowym uwzględamy charakterystycze uwarukowaa geometrycze, tj. zmay przekroju betou stal zbrojeowej, zakrzywee początkowe oraz waruk brzegowe wykające ze sposobu podparca dzałaa obcążea zewętrzego. W globalym kartezjańskm układze współrzędych {x, z}, dla układu sł wewętrzych podłużych N, poprzeczych Q mometów zgających M oraz składowych obcążeń zewętrzych {p x, p z } dzałających a odkształcoy elemet

8 34 A. Stolarczuk, A. Stolarsk o długośc ds kące achylea θ, różczkowe rówaa rówowag mają postać (rys. ): ( Ncos θ) ( Qs θ) + + px () s = s s ( Ns θ) ( Qcosθ) + + pz () s = (3) s s M Q =. s z s d M M+ ds s N N+ s ds + s ds pz(s) ds Q Q+ s ds px(s) ds M Q ds N x,u w Rys.. Schemat układu rówowag sł wewętrzych Uwzględamy elowe zwązk geometrycze, które określają odkształcee podłuże os środkowej e(s), zmaę średego kąta obrotu przekroju poprzeczego κ(s) oraz śred kąt odkształcea postacowego γ(s) (rys. 3): gdze: ds ds es () = ds dϕ κ() s = ds γ s = ϕ+φ Φ= θ θ (),, ϕ śred kąt obrotu przekroju poprzeczego; Φ kąt obrotu os środkowej pręta. (4)

9 Metoda aalzy esprężystych elemetów żelbetowych ścskaych mmośrodowo 35 a) A. s b) z B. A [x;y] x B A [x;y] B A [x;y] A B [x;y] B s s s s z x s Rys. 3. Geometra układu prętowego Zależośc (4) odesoe są do aktualej kofguracj elemetu prętowego. W zależoścach tych deksem ( ) ozaczoo odpowede welkośc dla kofguracj początkowej (poprzedej). Defcja welkośc e(s) wg zależośc (4) dostosowaa została do przyjętego ozaczea dodatej sły podłużej jako sły ścskającej (rys. ). 3.. Rówaa rówowag wewętrzej w przekroju poprzeczym Model oblczeowy przekroju poprzeczego elemetu prętowego opracowao przy złożeu podzału przekroju a warstwy betoowe o grubośc Δh oraz wyróżeu dwu warstw stalowych o przekrojach A s A s (rys. 4). h a zas As zk k h z k M Q N k,s As k,s As k zas a h As K,s As,s As b e Rys. 4. Model żelbetowego przekroju poprzeczego

10 36 A. Stolarczuk, A. Stolarsk Fukcjoowae modelu oblczeowego przekroju jest uwarukowae modelam odkształcea betou stal oraz hpotezą kematyczą dla przekroju poprzeczego. Podstawą tej hpotezy jest założee płaskego przekroju, który e jest prostopadły do odkształcoej os środkowej elemetu. W modelu za oś środkową uzawaa jest oś przechodząca w połowe wysokośc przekroju poprzeczego. Hpoteza kematycza określa sta odkształcea wszystkch warstw przekroju oraz zasadę współpracy warstw przeoszących aprężea. Sta odkształcea w poszczególych warstwach przekroju poprzeczego dla każdego kroku obcążea jest określoy układem zależośc: ε r r r k s s ε r = e + z κ, z = { z, z, z }, k =,,..., K = γ. (5) Dla zaych odkształceń podłużych os środkowej e zmay średego kąta obrotu przekroju poprzeczego κ oraz średego kąta odkształcea postacowego γ, wartośc sły podłużej N, mometu zgającego M oraz sł poprzeczej Q wyzacza sę z rówań rówowag przekroju poprzeczego: K = σ k k + σs s + σs s k = N A A A K = σ k k k + σs s s + σs s s k = M A z A z A z K = σk k + σs s + σs s k = Q A A A, (6) gdze A k pole powerzch k-tej warstwy przekroju. 4. Dyskretyzacja różcowa elemetu prętowego Rówaa rówowag (3) oraz zwązk geometrycze (4) wraz z modelam odkształcea materałów modelem przekroju poprzeczego zdefowaym rówaam (6) staową sformułowae problemu w ramach techczej teor kostrukcj prętowych. Take przedstawee problemu odpowada teor geometrycze elowej pozwalającej a ops dużych przemeszczeń elemetu. Rozwązae układu rówań podstawowych przeprowadzoo metodą różcową a podstawe przyjętej dyskretyzacj elemetu kostrukcyjego (rys. 5). Dyskretyzacja ustrojów prętowych polega a dokoau podzału os środkowej prętów węzłam o współrzędych {x, z}, =,,...,,, +,..., I. Na tej

11 Metoda aalzy esprężystych elemetów żelbetowych ścskaych mmośrodowo 37 podstawe rówaom rówowag (3) moża adać formę różcową ze względu a różczkowe operatory przestrzee: () () N cos θ + N cosθ + Q s θ Q s θ + F s = x N s θ + N s θ + Q cos θ Q cosθ + F s = z M M Q Δ s =, + (7) gdze: = +, = ozaczea pośredch węzłów podzału przestrzeego; N+ N N = + średa sła podłuża a odcku (, + ); Q+ Q Q = + średa sła poprzecza a odcku (, + ); F s = p s Δ s, F s = p s Δ s składowe obcążea -tego () () () () x x z z węzła; Δ s +Δs Δ x = x+ x, Δ z = z+ z, Δ s = Δ x +Δz, Δ s = składowe długośc odcka (, + ); Δy Δx s θ =, cos θ = fukcje kątów obrotu odcków (, + ). Δs Δs N M k oz. = + z, w q(x) 3 l w - w w + + [x;z] [x;z] [x;z] w - + w + w + + u - u + + u + [x;z] + - [x;z] + [x;z] k 9 x,u [x;z] = [x,z] + [u=;w] + + [x;z] = [x,z] + [u;w] Rys. 5. Dyskretyzacja elemetu kostrukcyjego

12 38 A. Stolarczuk, A. Stolarsk Dyskretyzacja os środkowej modelu pozwala róweż a różcowe sformułowae zwązków geometryczych (4) w postac: gdze: Δs es () = Δs ϕ ϕo κ( s ) = Δs γ( s ) = ϕ +Φ, Δs (8) ϕ + ϕ ϕ = średa wartość kąta obrotu przekroju poprzeczego a odcku (, + ); Φ +Φ Φ = średa wartość kąta obrotu os środkowej a odcku (, + ); Φ = θ θ s( θ θ) = s θ cos θ cosθ s θ kąt obrotu os środkowej a odcku (, + ). Dyskretyzacja os środkowej elemetu prętowego wymaga rozpatrzea problemów wykających z przyjętego podzału przestrzeego. W tym celu przeprowadza sę pełą aalzę odkształcea/aprężea przekrojów poprzeczych, co pozwala a określee zma sztywośc a długośc elemetów. 5. Waruk brzegowe Waruk brzegowe waruk symetr wyraża sę w sposób typowy dla metody różcowej przez wprowadzee węzłów fkcyjych: b =, s = I +. Najbardzej odpowede jest formułowae waruków brzegowych przez wprowadzee tzw. węzła podwójego składającego sę z węzła rzeczywstego r = b + oraz pokrywającego sę z m węzła fkcyjego b. W węzłach tych e występuje różca przemeszczeń mają oe te same współrzęde podczas deformacj kostrukcj: ( x, ) (, ) (, z x z x z ) = = (9) r r b b r r Węzły te tworzą fkcyje odck brzegowe ( b, r ), dla których, w zależośc od sposobu zamocowaa brzegu, przyjmujemy waruk: ϕ = kϕ = kϕ, Φ = kφ = kφ, () b r r b r r

13 Metoda aalzy esprężystych elemetów żelbetowych ścskaych mmośrodowo 39 gdze: k = dla brzegu utwerdzoego; k = dla brzegu przegubowo podpartego. Wykorzystując podae zależośc, moża wyzaczyć odkształcea podłuże oraz zmay średego kąta obrotu przekroju poprzeczego średe odkształcea postacowe w rzeczywstym węźle brzegowym. Należy zwrócć uwagę, że tak określoe welkośc odoszące sę do węzłów brzegowych, będą mej dokłade ż dla pozostałych węzłów wewętrzych modelu dyskretego. Waruk symetr w węźle fkcyjym s = I + formułuje sę tradycyje w astępujący sposób: ( x z ) ( x z ) ϕ, =,, () I+ I+ I I = ϕ, Φ = Φ. () I I I I W przypadku zadaego mometu brzegowego M b = M koecze jest spełee rówaa zgodośc mometów a brzegu: F M = M b M b =. (3) Spełee tego waruku wymaga rozwązaa układu elowych rówań algebraczych (6) dla obydwu węzłów brzegowych: fkcyjego b rzeczywstego r = b względem krzywz κ = { κ, κ }, przy zaych odkształceach b b podłużych e = { e, e } średch kątach obrotu przekroju poprzeczego b b ϕ = { ϕ, ϕ }. b b Rozwązae rówaa (4) otrzymuje sę umerycze metodą Newtoa, uzyskując wyk po -tej teracj: z założoą dokładoścą Δκ: κ F Μ( ) () = κ( ) ± F Μ( ) κ( ) (4) κ κ Δ κ. (5) () ( ) W rówau (4) zak + obowązuje dla węzła b, a zak dla węzła b. Rozwązae rówaa (3) w każdym kroku obcążea wymaga przyjęca zerowego przyblżea rozwązaa (4) jako wyk z poprzedego kroku obcążea κ κ ( = ) =.

14 33 A. Stolarczuk, A. Stolarsk 6. Metoda rozwązaa układu rówań rówowag Rozwązae układu elowych rówań rówowag (7) przeprowadzoo metodą śledzea śceżk rozwązaa dla welu zmeych [, 3]. Metoda ta jest azywaa także metodą długośc łuku (ag. arc-legth) lub metodą kotyuacyją. W tym celu układ rówań (7), który zapsao w macerzowej forme układu fukcj G = (G, G, G 3 ) ewadomych przemeszczeń q = (u, w, ϕ), jako sumę składowych sł wewętrzych składowych obcążea zewętrzego: Gq (, λ) = Fq ( ) λp =, (6) zostae uzupełoy dodatkowym rówaem węzów: łączącym przemeszczea q z parametrem obcążea λ. Otrzymay w te sposób rozszerzoy układ rówań: f ( q, λ ) =, (7) Gq (, λ) q Qw ( ) = =, w=, f ( q, λ) λ (8) umożlwa wyzaczee e tylko poszukwaego wektora przemeszczeń q, lecz także parametru obcążea λ a elowej śceżce rówowag zawerającej lokale pukty gracze G G (rys. 6). G( q, )= G s q G q Rys. 6. Nelowa śceżka rówowag

15 Metoda aalzy esprężystych elemetów żelbetowych ścskaych mmośrodowo 33 W celu rozwązaa układu rówań (8) ależy zastosować learyzację względem wektora w z wykorzystaem metody Newtoa [4, 5]. W wyku tej learyzacj otrzymujemy astępujący układ rówań: Gq (, λ) Δ q+ Gq (, λ) Δλ Qw ( ) Δ w=, f( q, λ) Δ q+ f( q, λ) Δλ (9) w którym występują astępujące ozaczea: Gq (, λ) G, q = K macerz sztywośc styczej układu kostrukcyjego; T Gq (, λ) Δ λ= P Δλ wyk learyzacj rówaa (6) względem λ; T T f ( q, λ) Δ q= f Δq fukcja gradetu f = f q rówaa węzów f względem wektora przemeszczeń q; f( q, λ) Δ λ= f, λ Δλ pochoda cząstkowa fukcj f względem parametru obcążea λ. Wykorzystując ozaczea learyzacj (9), układ rówań moża zapsać w astępującej postac: K P Δq G. T T f = f, λ Δ λ f (3) Wykorzystując metodę rozwązaa macerzy blokowych do rozwązaa układu rówań (3), otrzymujemy ezay przyrost parametru obcążea: oraz przyrost przemeszczeń: gdze wprowadzoo defcje: Δ λ = f f q T + Δ G T f, λ + f Δq P P G, (3) Δ q=δλδ q +Δq (3) Δ q = K P Δ q = K G (33) P ( T), G ( T). Metoda śledzea śceżk rozwązaa wymaga wyzaczea początkowego (tzw. zerowego, startowego) rozwązaa a początku każdego kroku przyrostu obcążea. Rozwązae początkowe Δq P wyzacza sę z rozwązaa układu rówań lowych (33). Następe określa sę początkową wartość przyrostu parametru obcążea Δλ przez skalowae wektora styczego o składowych (Δq P, Δλ ), z wykorzystaem parametru skalowaa jako przyrostu długośc łuku Δs: ±Δλ Δ q = Δ (34) P s.

16 33 A. Stolarczuk, A. Stolarsk Zak przyrostu parametru obcążea Δλ zależy od achylea śceżk rozwązaa w układze współrzędych (Δq P, Δλ ), czyl od sztywośc styczej układu kostrukcyjego. Określee tego zaku jest ułatwoe, jeżel zastosuje sę skalary parametr sztywośc układu kostrukcyjego. Defcję sposób wyzaczaa tego parametru moża zaczerpąć z pracy [6]. Rówae węzów przyjęto w postac zapropoowaej w pracy [7]: f( q, λ) = g( q, λ) Δ s, g( q, λ) = ( q q) T ( q q ) + ( λ λ), (35) gdze q λ ozaczają wartośc wektora przemeszczeń parametru obcążea z poprzedego kroku obcążea, uzyskae z założoą dokładoścą. Dla przyjętej postac rówaa węzów (35) odpowede wartośc gradetu pochodej cząstkowej mają postać: f T T ( q q) ( λ λ) =, f, λ =. g( q, λ) g( q, λ) (36) Rozwązae układu rówań (8) uzyskuje sę teracyje po -tej teracj (rys. 7): λ = λ +Δ λ, q = q +Δq. (37) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) P Gq (, )= P s f( q, )= P s q () q () q q q() q + () Rys. 7. Metoda długośc łuku q Proces teracyjego poprawaa wyku kończy sę w chwl osągęca żądaej dokładośc ε G rozwązaa: Gq (, ). (38) ( + ) λ( + ) εg

17 Metoda aalzy esprężystych elemetów żelbetowych ścskaych mmośrodowo Algorytm wyzaczea przemeszczeń Ogóly algorytm rozwązaa zagadea statyk dyskretyzowaego układu kostrukcyjego, moża przedstawć w astępującej sekwecj czyośc.. Dla zaych w kroku obcążea aktualych współrzędych węzłów ( xz, ) oraz parametru obcążea λ λ uogóloych przemeszczeń (,, q = u w ϕ ) określamy wg (8) odkształcea podłuże e, zmay średego kąta obrotu przekrojów poprzeczych κ oraz średe kąty odkształcea postacowego γ w każdym węźle podzału elemetu prętowego.. Korzystając z rówań opsujących hpotezę kematyczą (5), wyzaczamy odkształcea ( εjr ) = ( εjk, εjs, εjs) w każdej warstwe przekroju poprzeczego r = {,,}. k s s 3. Dla zaych odkształceń ( ε jr ), wyzaczamy przyrosty odkształceń ( Δ εjr ) = ( εjr ) ( εjr ) w warstwach przekroju poprzeczego z uwzględeem trasformacj odkształceń ( εjr ) + ( ε ) jr = ( εjr ). + ( εjr ) 4. Dla przyrostów odkształceń ( ε ) Δ jr oraz zaych aprężeń ( σ ) jr wyzaczamy aprężea ( σjr ) = ( σjk, σjs, σjs) w poszczególych warstwach przekroju zgode z przyjętym modelam odkształcea betou stal. 5. Zgode z rówaam (6) wyzaczamy wartośc sł podłużych N, mometów zgających M oraz sł poprzeczych Q w węzłach os podłużej elemetu. 6. Na podstawe przyjętej umeryczej metody rozwązaa rozszerzoego układu elowych rówań rówowag (8) określamy poszukwae przyrosty: parametru obcążea Δλ + uogóloych przemeszczeń + (,, u + w + ϕ Δ q = Δ Δ Δ ) oraz parametr obcążea λ = λ +Δ λ + + przemeszczea q = q +Δq w astępym kroku obcążea Uaktualamy współrzęde poszczególych węzłów podzału os środkowej + + xz, = xy, + Δu, Δw. elemetu prętowego ( ) ( ) ( ) Powyższy algorytm ależy powtarzać dla kolejych zma wartośc obcążea, uwzględając zmaę położea wszystkch węzłów podzału. Podstawą omawaej aalzy jest wyzaczee aprężeń w warstwach stalowych betoowych oraz metoda umeryczego rozwązaa układu elowych rówań rówowag, pozwalająca a określee uogóloych przemeszczeń poszczególych węzłów podzału elemetu prętowego.

18 334 A. Stolarczuk, A. Stolarsk 8. Zakończee W pracy przedstawoo sformułowae teoretycze oraz algorytmzację metody aalzy zachowaa ścskaych elemetów żelbetowych poddaych dzałau krótkotrwałych obcążeń statyczych. Metoda aalzy wytężea kostrukcj jest podstawą opracowaa własych procedur umeryczych programów oblczeowych z wykorzystaem metody różc skończoych. Przyjęty rząd fzyczej elowośc rówań kostytutywych betou umożlwa śledzee zjawsk osłabea materałowego oraz zarysowaa zmażdżea w obszarach krytyczego wytężea prętowego elemetu żelbetowego. Przyjęty rząd geometryczej elowośc zwązków odkształceowo-przemeszczeowych umożlwa aalzę zjawsk wyboczea prętowego elemetu żelbetowego. Artykuł wpłyął do redakcj r. Zweryfkowaą wersję po recezj otrzymao w paźdzerku 9 r. LITERATURA [] A. Stolarsk, Model dyamczego odkształcaa betou, Archwum Iżyer Lądowej, 37, 3-4, 99, [] P. Wrggers, Nolear Fte Elemet Methods, Sprger-Verlag, Berl, Hedelberg, 8. [3] Z. Waszczyszy, Cz. Cchoń, M. Radwańska, Metoda elemetów skończoych w stateczośc kostrukcj, Arkady, Warszawa, 99. [4] J. Szmelter, Metody komputerowe w mechace, PWN, Warszawa, 98. [5] A. Ralsto, Wstęp do aalzy umeryczej, PWN, Warszawa, 97. [6] M. Kleber, Metoda elemetów skończoych w mechace kotuum, PWN, Warszawa Pozań, 985. [7] M. A. Crsfeld, A fast cremetal/teratve soluto procedure that hadles sap-through, Computers ad structures, 3, 98, A. STOLARCZUK, A. STOLARSKI Method of aalyss of elastc reforced cocrete members compressed eccetrcally Abstract. Theoretcal formulato ad algorthmzato of the method of the aalyss of behavour of compressed reforced cocrete members subjected to the short-durato statc loadg were troduced the paper. The method of aalyss of the structure effort s the bass of developmet of the ow umerc procedures ad computatoal programmes usg the fte dfferece method. The receved order of the physcal olearty of costtutve equatos for the cocrete makes possble tracg the materal softeg pheomea as well as crackg ad crushg the areas of crtcal effort of the reforced cocrete bar member. The receved order of the geometrcal olearty of stra-dsplacemet relatoshps makes possble the aalyss of bucklg pheomea of the reforced cocrete bar member. Keywords: mechacs of structures, compressed reforced cocrete members, physcal olearty, geometrcal olearty Uversal Decmal Classfcato: