Niestabilne orbity okresowe a (niektóre) własności układów chaotycznych
|
|
- Paweł Paluch
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Niestabilne orbity okresowe a (niektóre) własności układów chaotycznych Justyna Signerska,Jan Pyrzowski Politechnika Gdańska, Akademia Medyczna w Gdańsku
2 Hel 2008 p.1/3 Outline Podstawowe definicje
3 Hel 2008 p.1/3 Outline Podstawowe definicje Odtwarzanie miary naturalnej przy pomocy niestabilnych orbit okresowych
4 Hel 2008 p.1/3 Outline Podstawowe definicje Odtwarzanie miary naturalnej przy pomocy niestabilnych orbit okresowych Escape rates
5 Hel 2008 p.1/3 Outline Podstawowe definicje Odtwarzanie miary naturalnej przy pomocy niestabilnych orbit okresowych Escape rates Inne własności układów dynamicznych a niestabilne orbity okresowe
6 Definicje Hel 2008 p.2/3
7 Hel 2008 p.3/3 Układ dynamiczny X -p. metryczna, T -zbiór indeksów, F : T X X Definicja (F, X, T) nazywamy układem Uwaga Układy ciagłe sa zadawane dynamicznym, gdy F(t, ) = F t, przez autonomiczne równania spełnia warunki: różniczkowe zwyczajne (rzędu pierwszego): (1) F 0 (x) = x, (2) t,s T F t+s (x) = F t (F s (x)). Dla układów ciagłych T = R, dla dyskretnych T = Z, T = N. ẋ = f(x), x(0) = x 0.
8 Hel 2008 p.4/3 Miara naturalna (X, F, µ) - przestrzeń probabilistyczna Definicja Mówimy, że odwzorowanie mierzalne F : X X zachowuje miarȩ, jeśli µ(f 1 (A)) = µ(a) dla każdego A F Definicja Miara generowana przez typowe trajektorie w przestrzeni fazowej nazywana jest miara naturalna i jest ona niezmiennicza względem dynamiki układu F.
9 Hel 2008 p.5/3 Ergodyczność Definicja Odwzorowanie F : X X zachowuja ce miarȩ jest ergodyczne, jeśli spełniony jest warunek: F 1 (A) = A (A F) µ(a) = 0 lub µ(a) = 1. µ nazywamy wówczas miara ergodyczna dla F. Twierdzenie [Birkhoff] Jeśli F jest ergodyczne, µ-miara niezmiennicza oraz f L 1 (µ), to: 1 N N 1 i=0 f(f i (x)) X fdµ dla N (1)
10 Hel 2008 p.6/3 Rozmaitości stabilne i niestabilne Definicja X- zwarta gładka rozmaitość, f : X X - dyffeomorfizm klasy C k, p - punkt stały dla f Rozmaitościa stabilna punktu p nazywamy zbiór: W s (p) := {x X : lim n fn (x) p} Rozmaitościa niestabilna punktu p nazywamy zbiór: W u (p) := {x X : lim n f n (x) p}
11 Hel 2008 p.7/3 Hiperboliczność Definicja w przypadku układów dynamicznych dyskretnych x n+1 = f(x n ), mówimy, że punkt stały p jest hiperboliczny, jeśli wszystkie wartości własne macierzy Jakobiego Df(p) sa co do modułu różne od 1 w przypadku układów dynamicznych ciagłych ẋ = f(x), mówimy, że rozwiazanie stacjonarne x jest hiperboliczne, gdy żadna z wartości własnych macierzy Jakobiego Df( x) nie jest czysto urojona
12 Hel 2008 p.8/3 Hiperboliczność Definicja Odwzorowanie f nazywamy hiperbolicznym, jeśli przecinaja ce siȩ rozmaitości stabilne i niestabilne dowolnych punktów stałych zawsze przecinaja siȩ transwersalnie. Jeśli przecinaja siȩ stycznie, to odwzorowanie jest niehiperboliczne.
13 Hel 2008 p.9/3 Atraktory i repelery Definicja Zbiór zwarty i niezmienniczy A nazywamy atraktorem potoku/odwzorowania F t, jeżeli istnieje otoczenie (basen przyciagania) U A taki, że: t 0 F t (U) U oraz t 0 F t (U) = A. Repeler jest to nieprzyciagaj acy zbiór niezmienniczy; dynamika na nim ma również właściwości chaotyczne.
14 Hel 2008 p.10/3 Chaos Definicja Odwzorowanie f nazywamy tranzytywnym wtedy i tylko wtedy, gdy: =U,V X U,V otw. k>0 f k (U) V Definicja [Devaney, 1989] Odwzorowanie f : X X nazywamy chaotycznym, jeżeli: 1. f jest tranzytywne, 2. zbiór punktów periodycznych f jest gęsty, 3. f posiada wrażliwość na warunki poczatkowe.
15 Miara naturalna Hel 2008 p.11/3
16 Hel 2008 p.12/3 Wyznaczanie miary naturalnej A - atraktor o basenie przyciagania S {C i }-pokrycie atraktora A ρ(x 0, T, ǫ i )-ilość czasu, jaka trajektoria długości T wybranego losowo punktu x 0 S spędza w komórce C i rozmiaru ǫ i Wtedy miara naturalna atraktora zawarta w C i dana jest wzorem: µ i = lim T ρ(x 0, T, ǫ i ) T (2)
17 Hel 2008 p.13/3 M. naturalna a orbity okresowe Uwaga Hiperboliczne atraktory chaotyczne posiadaja nieskończenie wiele niestabilnych orbit okresowych, które tworza zbiór gęsty, ale o zerowej mierze Lebesque a. Stad miary niezmiennicze produkowane przez niestabilne orbity okresowe sa atypowe. Ponieważ jednak typowa trajektoria odwiedza ustalone otoczenie każdej z orbit okresowych z odpowiednia częstotliwościa, orbity te poniekad rozpinaja miarę naturalna.
18 Hel 2008 p.14/3 Wyznaczanie miary naturalnej M : X X - odwzorowanie d-wymiarowe x i,p - i-ty punkt periodyczny o okresie p (niekoniecznie minimalnym) Miara naturalna atraktora zawarta w C i : µ i = lim p µ i(p), (3) gdzie µ i (p) = L 1 (x i,p ) x i,p C i 1 (4) oraz L 1 (x i,p ) jest iloczynem rozszerzajacych wartości własnych macierzy Jakobiego DM p (x i,p ).
19 Hel 2008 p.15/3 Wyznaczanie miary naturalnej Wzór (4) dla układów hiperbolicznych może być wyprowadzony w nastepujacy sposób: Pokrywamy odpowiednio atraktor zbiorami C i
20 Hel 2008 p.16/3 Wyznaczanie miary naturalnej x 0 C i - warunek poczatkowy x p - punkt powrotu do C i trajektorii startujacej z x 0 po p iteracjach (ergodyczność)
21 Hel 2008 p.17/3 Wyznaczanie miary naturalnej M p (ab) = a b M p (c d ) = cd M p (efgh) = e f g h. x i,p - niestabilny punkt stały dla M p
22 Hel 2008 p.18/3 Wyznaczanie miary naturalnej Załóżmy, że odcinek c d ma długość ǫ. Wtedy odcinek cd ma długość ǫ/l 1 (x i,p ). Stad ǫ/l 1 (x i,p ) ǫ = 1 L 1 (x i,p ) jest częścia trajektorii (zwiazanych z x i,p ), które powróca do C i po p iteracjach (ponieważ miara naturalna jest jednostajna w kierunku niestabilnym). Biorac pod uwagę wszystkie niestabilne punkty stałe dla M p w C i oraz przechodzac do granicy p otrzymujemy µ i = lim p 1 L 1 (x i,p ). x i,p C i
23 Hel 2008 p.19/3 Uwagi W wyprowadzeniu wzoru (4) założono, że istnieje dobra partycja {C i } przestrzeni fazowej, tj. taka, dla której nie zachodza przypadki Dla układów hiperbolicznych taki podział przestrzeni fazowej istnieje (tzw. Markov partition). Dla niehiperbolicznych nie możemy go skonstruować, ponieważ istnieje nieskończenie wiele styczności między rozmaitościami stabilnymi i niestabilnymi.
24 Hel 2008 p.20/3 Uwagi ρ(x 0, T, ǫ i ) µ i = lim T T 1 µ i (p) = L 1 (x i,p ) x i,p C i (5) (6) Niech µ p = N [µ i (p) µ i ] 2 /N. i=1 Dla układów hiperbolicznych obserwujemy: µ p exp αp, α - tzw. entropia topologiczna (7)
25 Stałe ucieczki (Escape rates) Hel 2008 p.21/3
26 Orbity periodyczne Hel 2008 p.22/3
27 Hel 2008 p.23/3 Odwzorowania 1D Rozważmy jednowymiarowy repeler: f(x c ) > x max
28 Hel 2008 p.24/3 Odwzorowania 1D Obserwujemy przy pierwszej iteracji ucieka odcinek wokół x c w drugiej iteracji uciekaja jego dwa przeciwobrazy itd., itd.... W n-tym kroku punkty, które ocalały możemy podzielic na 2 n rozłacznych odcinków: i - ty odcinek zakodowany jest ciagiem i = ǫ 1 ǫ 2...ǫ n, gdzie ǫ k = 0, jeśli f k (x) < x c ; 1, jeśli f k (x) > x c.
29 Hel 2008 p.25/3 Odwzorowania 1D l i - szerokość i-tego odcinka Miara zbioru punktów poczatkowych x, które przetrwaja n iteracji wynosi Γ n = (n) i l i. (8) Odzworowanie jest gładkie i ma ograniczona pochodna Λ = df/dx: 1 < Λ min df/dx Λ max Stad każdy odcinek w (8) jest ograniczony: Λ n max l i Λ n min
30 Hel 2008 p.26/3 Odwzorowania 1D W konsekwencji ( ) n 2 Γ n Λ max Γ n jest rzędu wykładniczego: Γ n = e nγ n e nγ ( 2 ) n Λ min Definicja γ = 1/T - stała ucieczki - (ang. escape rate) T - asymptotyczny czas życia (asymptotic lifetime) losowo wybranego punktu poczatkowego x
31 Odwzorowania 1D Każdy odcinek i zawiera punkt periodyczny x i. Jeśli odcinki te sa dostatecznie małe, to ich ekspansja na odcinek [0, 1] w ciagu n-iteracji może być przybliżona przy pomocy stabilności punktu x i : l i = a i Λ i, gdzie Λ i = d dx fn (x i ) = n 1 k=0 f (f k (x i )) (9) Hel 2008 p.27/3
32 Hel 2008 p.28/3 Odwzorowania 1D a i = l i Λ i Uwaga Jeśli układ jest hiperboliczny, to dla dostatecznie dużych n a 1 O(1) moga być zaniedbane z powodu wykładniczego przyrostu Λ i. Stad Γ n = (n) i 1 Λ i.
33 Hel 2008 p.29/3 Odwzorowania 1D Zdefiniujmy Ω(z) = z n Γ n = n=1 n=1 (n) z n i Λ i 1 = z/ Λ 0 + z/ Λ 1 + z 2 / Λ z 2 / Λ 01 + z 2 / Λ 10 + z 2 / Λ z 3 / Λ z 3 / Λ (10) Dla dostatecznie małych z suma ta jest zbieżna. Ponieważ Γ n e nγ, to escape rate γ jest wyznaczony poprzez najmniejsze z = e γ, dla którego szereg Ω(z) jest rozbieżny: Ω(z) (ze γ ) n. (11) n=1
34 Hel 2008 p.30/3 Odwzorowania 1D Definicja Cykle pierwsze (ang. prime cycles) sa to takie orbity periodyczne (x 1 x 2 x n ), które nie moga być przedstawione w krótszej postaci - orbita taka jest zakodowana przy pomocy niepowtarzajacego się ciagu symboli. Uwaga Istnieje dokładnie jeden cykl pierwszy dla każdej cyklicznej permutacji, np. p = 0011 = 0110 = 1100 = 1001 jest cyklem pierwszym, ale nie jest nim p = 0101 = 01. Stad Ω(z) = p n p (z n p Λ 1 p ) r = p r=1 n p z n p Λ 1 p 1 z n p Λ 1 p, (12) gdzie sumujemy po wszystkich cyklach pierwszych p długości n p, a r jest liczba powtórzeń danego cyklu.
35 Hel 2008 p.31/3 Dynamiczna funkcja ζ Zauważmy, że Ω(z) = z d dz p ln(1 zn p Λ p ) Stad Ω(z) jest pochodna logarytmiczna funkcji 1 ζ(z) = p (1 zn p Λ p ) (13) Jest to tzw. dynamiczna funkcja ζ. Uwaga Funkcja ζ-riemanna: ζ(z) = n 1 1 n z = p l. pierwsza 1 1 p z
36 Układy wielowymiarowe V -ograniczone otoczenie d-wymiarowego repelera Stała ucieczki z V dana jest wzorem: (n) i e nγ n = 1 det(1 J (n) (x i )) = = V V δ(y fn (x))dxdy V dx = V (n) i δ(x f n (x))dx = 1 d a=1 (1 (14) Λa i ), gdzie J (n) (x i ) = n 1 j=0 J(f (j) (x i )), J kl = x l f k (x) oraz Λ 1 i, Λ2 i,..., Λd i sa wartościami własnymi J(n). Hel 2008 p.32/3
37 Hel 2008 p.33/3 Układy wielowymiarowe Zakładajac, że Λ a i 1: gdzie Λ i = rozsz a Λ a i e nγ n = (n) i 1 Λ i, (15) jest iloczynem rozszerzajacych wartości własnych. Stad funkcja ζ (13) uogólnia się również dla układów wielowymiarowych.
38 Inne własności układów dynamicznych a niestabilne orbity okresowe Hel 2008 p.34/3
39 Hel 2008 p.35/3 co jeszcze możemy policzyć... miara naturalna
40 Hel 2008 p.35/3 co jeszcze możemy policzyć... miara naturalna escape rates
41 Hel 2008 p.35/3 co jeszcze możemy policzyć... miara naturalna escape rates ciśnienie topologiczne P(β) (escape rate = P(1))
42 Hel 2008 p.35/3 co jeszcze możemy policzyć... miara naturalna escape rates ciśnienie topologiczne P(β) (escape rate = P(1)) wymiary Renyi ego D(β)
43 Hel 2008 p.35/3 co jeszcze możemy policzyć... miara naturalna escape rates ciśnienie topologiczne P(β) (escape rate = P(1)) wymiary Renyi ego D(β) spektrum osobliwości f(α)
44 Hel 2008 p.35/3 co jeszcze możemy policzyć... miara naturalna escape rates ciśnienie topologiczne P(β) (escape rate = P(1)) wymiary Renyi ego D(β) spektrum osobliwości f(α) znajdowanie partycji Markowa
45 Hel 2008 p.35/3 co jeszcze możemy policzyć... miara naturalna escape rates ciśnienie topologiczne P(β) (escape rate = P(1)) wymiary Renyi ego D(β) spektrum osobliwości f(α) znajdowanie partycji Markowa i przypuszczalnie jeszcze więcej...
46 Hel 2008 p.36/3 Bibliografia 1. Lai YC, Nagai Y, Grebogi C. Characterization of the Natural Measure by Unstable Periodic Orbits in Chaotic Attractors. Phys Rev Lett 79(4): (1997) 2. Artuso R, Aurell E, Cvitanovic P. Recycling of strange sets I: Cycle expansions. Nonlinearity 3: (1990) 3. Grebogi C, Ott E, Yorke JA. Unstable periodic orbits and the dimensions of multifractal chaotic attractors. Phys Rev A 37(5):1711:1724 (1988) 4. Beck C, Schlogl F. Thermodynamics of chaotic systems: an introduction. Cambridge University Press (1993)
Podkowa Smale a jako klasyk chaosu
IV Matematyczne Warsztaty KaeNeMw p. 1/? Podkowa Smale a jako klasyk chaosu Justyna Signerska jussig@wp.pl Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej, Politechnika Gdańska Konstrukcja odwzorowania
Bardziej szczegółowoJan Pyrzowski i Justyna Signerska. Termodynamika multifraktali
Jan Pyrzowski i Justyna Signerska Termodynamika multifraktali 1 Prawdopodobienstwo w teorii uk ladów dynamicznych Empiryczna definicja prawdopodobieństwa: R - liczba wszystkich roz lacznych zdarzeń, które
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego
Bardziej szczegółowoczyli o szukaniu miejsc zerowych, których nie ma
zerowych, których nie ma Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Centrum Badania Systemów Złożonych im. Marka Kaca Uniwersytet Jagielloński Metoda Metoda dla Warszawa, 9 stycznia 2006 Metoda -Raphsona
Bardziej szczegółowoChaotyczne generatory liczb pseudolosowych
Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych Michał Krzemiński michalkrzeminski@wp.pl Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Chaotyczne generatory liczb pseudolosowych -
Bardziej szczegółowoϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.
VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,
Bardziej szczegółowoWstęp do układów statycznych
Uniwersystet Warszawski 1 maja 2010 Wprowadzenie Standardowe układy dynamiczne - przestrzeń X wraz z przekształceniem f : X X zachowującym strukturę. Typowe przykłady: X - przestrzeń metryczna, f - przekształcenie
Bardziej szczegółowoFale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji
Fale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji Piotr Bartłomiejczyk Politechnika Gdańska Między teorią a zastosowaniami: Matematyka w działaniu Będlewo, 25 30 maja 2015 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 1 /
Bardziej szczegółowoLiczba obrotu i twierdzenie Poincare go o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu.
II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 1/1 Liczba obrotu i twierdzenie Poincare go o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu. Justyna Signerska jussig@wp.pl Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoTeoria ergodyczna. seminarium monograficzne dla studentów matematyki. dr hab. Krzysztof Barański i prof. dr hab. Anna Zdunik. rok akad.
Teoria ergodyczna seminarium monograficzne dla studentów matematyki dr hab. Krzysztof Barański i prof. dr hab. Anna Zdunik rok akad. 2013/14 Teoria ergodyczna Teoria ergodyczna Teoria ergodyczna zajmuje
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Stabilność rozwiązań równań różniczkowych w ujęciu lokalnych układów dynamicznych. Adam Kanigowski Toruń 2010 1 Spis treści 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoZbiór zadań z Układów Dynamicznych. Krzysztof Barański Michał Krych Anna Zdunik
Zbiór zadań z Układów Dynamicznych Krzysztof Barański Michał Krych Anna Zdunik 9 października 2017 2 c Krzysztof Barański, Michał Krych i Anna Zdunik 2015 Spis treści 1 Punkty okresowe, zbiory graniczne,
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoUkłady dynamiczne. proseminarium dla studentów III roku matematyki. Michał Krych i Anna Zdunik. rok akad. 2014/15
Układy dynamiczne proseminarium dla studentów III roku matematyki Michał Krych i Anna Zdunik rok akad. 2014/15 Układy dynamiczne Układy dynamiczne Układy dynamiczne, i związana z nimi Teoria ergodyczna
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii
Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)
Bardziej szczegółowoChaos w układach dynamicznych: miary i kryteria chaosu
: miary i kryteria chaosu Uniwersytet Śląski w Katowicach, Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii 27.08.14 : miary i kryteria chaosu Temat tego referatu jest związany z teorią układów dynamicznych która ma
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego.
Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoKrzysztof Rykaczewski. Szeregi
Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a
Bardziej szczegółowoTwierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit
Cykle graniczne Dotychczas zajmowaliśmy się głównie znajdowaniem i badaniem stabilności punktów stacjonarnych. Wiele ciekawych procesów ma naturę cykliczną. Umiemy już sobie poradzić z cyklicznością występującą
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk
Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoEntropia w układach dynamicznych Środowiskowe Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych Uniwersytet Jagielloński, Kraków, marzec-kwiecień 2013
Entropia w układach dynamicznych Środowiskowe Studia Doktoranckie z Nauk Matematycznych Uniwersytet Jagielloński, Kraków, marzec-kwiecień 2013 Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoPRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI
UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI Wydział Matematyki i Fizyki Kierunek: Matematyka Sekcja teoretyczna PRACA MAGISTERSKA DYSKRETNY NIELINIOWY UKŁAD SEMIDYNAMICZNY NA PŁASZCZYŹNIE Zbigniew Galias opiekun: doc. Jerzy
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoRachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoAlgorytm Metropolisa-Hastingsa
Seminarium szkoleniowe, 25 kwietnia 2006 Plan prezentacji 1 Problem Metoda MCMC 2 Niezależny algorytm Metropolisa-Hastingsa Bła dzenie losowe Zbieżność procedury Metropolisa-Hastingsa Problem Metoda MCMC
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoTEORIA CHAOSU. Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska
TEORIA CHAOSU Autorzy: Szymon Sapkowski, Karolina Seweryn, Olaf Skrabacz, Kinga Szarkowska Wydział MiNI Politechnika Warszawska Rok akademicki 2015/2016 Semestr letni Krótki kurs historii matematyki DEFINICJA
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowoGranica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji
27 grudnia 2011 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < 0. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy
Bardziej szczegółowoPojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1
Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład dr Mariusz Grządziel 5 lutego 04 Paradoks Zenona z Elei wersja uwspółcześniona Zenek goni Andrzeja; prędkość Andrzeja:
Bardziej szczegółowoFunkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowo21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoSpecjalistyczna Pracownia Komputerowa Obliczanie widma Lapunowa
Arkadiusz Neubauer IV rok, Fizyka z Informatyką. Specjalistyczna Pracownia Komputerowa Obliczanie widma Lapunowa 1 Problem fizyczny W poniższej pracy przedstawiono numeryczną metodę obliczania widma Lapunowa
Bardziej szczegółowoTwierdzenie o liczbach pierwszych i hipoteza Riemanna
o liczbach pierwszych i hipoteza Riemanna Artur Ulikowski Politechnika Gdańska 10 marca 2009 o liczbach pierwszych Legendre, badając rozkład liczb pierwszych, postawił następującą hipotezę: Niech π(x)
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoAlgorytmy MCMC (Markowowskie Monte Carlo) dla skokowych procesów Markowa
Algorytmy MCMC (Markowowskie Monte Carlo) dla skokowych procesów Markowa Wojciech Niemiro 1 Uniwersytet Warszawski i UMK Toruń XXX lat IMSM, Warszawa, kwiecień 2017 1 Wspólne prace z Błażejem Miasojedowem,
Bardziej szczegółowoWykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. a k
Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. Definicja 1. Niech (a n ) - ustalony ciąg liczbowy. Określamy nowy ciąg: S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. S n =. Ciąg sum częściowych (S n ) nazywamy
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy matematycznej II
Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 2. O tym, co można rozwiazać analitycznie. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 2. O tym, co można rozwiazać analitycznie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Jeszcze o równaniach liniowych Rozważmy skalarne, jednorodne równanie
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
Bardziej szczegółowoSuperdyfuzja. Maria Knorps. Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska
VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p. 1/2 Superdyfuzja Maria Knorps maria.knorps@gmail.com Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki stosowanej, Politechnika Gdańska VI Matematyczne Warsztaty KaeNeMów p.
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień
Fizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień Narzędzia przypomnienie podstawowych definicji i twierdzeń z rachunku prawdopodobienstwa; podstawowe rozkłady statystyczne
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.
Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym
Bardziej szczegółowoPAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA WRACIBORZU PODSTAWY JEDNOWYMIAROWYCH UKŁADÓW DYNAMICZNYCH
PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA WRACIBORZU INSTYTUT TECHNIKI I MATEMATYKI KIERUNEK: MATEMATYKA SPECJALNOŚĆ: NAUCZYCIELSKA ZE SPECJALIZACJĄ MATEMATYKA W INFORMATYCE PAWEŁ MICHALSKI PODSTAWY JEDNOWYMIAROWYCH
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I
Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski (tgrab@meil.pw.edu.pl) Dęblin, 11 maja 2009 1 Organizacja wykładu 5 dni x 6 h = 30 h propozycja zmiany: 6
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A
Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoUkłady statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki
Instytut Fizyki 2015 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowo1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.
WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R
Bardziej szczegółowo1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................
Bardziej szczegółowoUkłady autonomiczne. Rozdział Stabilność w sensie Lapunowa. Przedmiotem analizy w tym rozdziale będą układy równań autonomicznych
Rozdział 5 Układy autonomiczne 5.1 Stabilność w sensie Lapunowa Przedmiotem analizy w tym rozdziale będą układy równań autonomicznych ẋ = f(x), (5.1) z funkcją f : Q R m, gdzie Q jest otwartym zbiorem
Bardziej szczegółowo