Teoria ergodyczna. seminarium monograficzne dla studentów matematyki. dr hab. Krzysztof Barański i prof. dr hab. Anna Zdunik. rok akad.

Transkrypt

1 Teoria ergodyczna seminarium monograficzne dla studentów matematyki dr hab. Krzysztof Barański i prof. dr hab. Anna Zdunik rok akad. 2013/14

2 Teoria ergodyczna

3 Teoria ergodyczna Teoria ergodyczna zajmuje się badaniem własności układów dynamicznych z miarą niezmienniczą,

4 Teoria ergodyczna Teoria ergodyczna zajmuje się badaniem własności układów dynamicznych z miarą niezmienniczą, np. przekształcenia mierzalnego f : X X, gdzie (X, M, µ) jest przestrzenią ze skończoną miarą µ taką, że µ(f 1 (A)) = µ(a) dla A M.

5 Teoria ergodyczna Teoria ergodyczna zajmuje się badaniem własności układów dynamicznych z miarą niezmienniczą, np. przekształcenia mierzalnego f : X X, gdzie (X, M, µ) jest przestrzenią ze skończoną miarą µ taką, że µ(f 1 (A)) = µ(a) dla A M. Interesują nas stochastyczne własności iteracji f n (x) = f f (x) punktów x X.

6 Historia

7 Historia L. Boltzmann ( ): fizyka statystyczna

8 Historia L. Boltzmann ( ): fizyka statystyczna G. Birkhoff ( ): twierdzenia ergodyczne J. von Neumann ( ): twierdzenia ergodyczne

9 Historia L. Boltzmann ( ): fizyka statystyczna G. Birkhoff ( ): twierdzenia ergodyczne J. von Neumann ( ): twierdzenia ergodyczne A. Kołmogorow ( ): entropia

10 Teoria ergodyczna dzisiaj

11 Teoria ergodyczna dzisiaj Na szczytach... H. Furstenberg (nagroda Wolffa 2006) E. Lindenstrauss (medal Fieldsa 2010) T. Tao (medal Fieldsa 2006)

12 Teoria ergodyczna dzisiaj Na szczytach... H. Furstenberg (nagroda Wolffa 2006) E. Lindenstrauss (medal Fieldsa 2010) T. Tao (medal Fieldsa 2006) W Polsce: T. Downarowicz (PWr), K. Frączek (UMK), E. Gutkin (UMK), M. Lemańczyk (UMK), F. Przytycki (IMPAN),...

13 Teoria ergodyczna dzisiaj Na szczytach... H. Furstenberg (nagroda Wolffa 2006) E. Lindenstrauss (medal Fieldsa 2010) T. Tao (medal Fieldsa 2006) W Polsce: T. Downarowicz (PWr), K. Frączek (UMK), E. Gutkin (UMK), M. Lemańczyk (UMK), F. Przytycki (IMPAN),... Zagadnienia teorii ergodycznej: Teoria entropii, teoria spektralna, ergodyczna analiza układów dynamicznych (wykładniki Lapunowa, hiperboliczność, wymiar,...).

14 Teoria ergodyczna dzisiaj Na szczytach... H. Furstenberg (nagroda Wolffa 2006) E. Lindenstrauss (medal Fieldsa 2010) T. Tao (medal Fieldsa 2006) W Polsce: T. Downarowicz (PWr), K. Frączek (UMK), E. Gutkin (UMK), M. Lemańczyk (UMK), F. Przytycki (IMPAN),... Zagadnienia teorii ergodycznej: Teoria entropii, teoria spektralna, ergodyczna analiza układów dynamicznych (wykładniki Lapunowa, hiperboliczność, wymiar,...). Zastosowania: układy dynamiczne, teoria informacji, teoria liczb, rachunek prawdopodobieństwa, analiza harmoniczna...

15 Przykłady

16 Przykłady Twierdzenie Poincarego o powracaniu W układzie zachowującym miarę typowe punkty wracają nieskończenie wiele razy do danego zbioru.

17 Przykłady Twierdzenie Poincarego o powracaniu W układzie zachowującym miarę typowe punkty wracają nieskończenie wiele razy do danego zbioru.

18 Bywają też układy zupełnie chaotyczne...

19 Bywają też układy zupełnie chaotyczne...

20 ...gdzie występują dziwne atraktory...

21 ...gdzie występują dziwne atraktory...

22 ...gdzie występują dziwne atraktory...

23 ...gdzie występują dziwne atraktory...

24 A może zająć się bilardem?

25 A może zająć się bilardem?

26 Matematycznie, bilard to układ zachowujący miarę na przestrzeni fazowej położenia kąty.

27 Matematycznie, bilard to układ zachowujący miarę na przestrzeni fazowej położenia kąty.

28 Matematycznie, bilard to układ zachowujący miarę na przestrzeni fazowej położenia kąty. Otwarty problem Czy każdy bilard w wielokącie ma orbitę zamkniętą (okresową)?

29 Matematycznie, bilard to układ zachowujący miarę na przestrzeni fazowej położenia kąty. Otwarty problem Czy każdy bilard w wielokącie ma orbitę zamkniętą (okresową)? Nieznane nawet dla trójkątów!!!

30